manualul de matematicƒ pentru clasa a XII-a M2

  • View
    277

  • Download
    27

Embed Size (px)

Text of manualul de matematicƒ pentru clasa a XII-a M2

  • Marius Burtea Georgeta Burtea

    MATEMATIC

    Manual pentru clasa a XII-a

    M2

    Trunchi comun

    +

    curriculum difereniat

  • Manualul a fost aprobat prin Ordinul ministrului Educaiei, Cercetrii i Tineretului nr. 1262/32 din 06.06.2007 n urma evalurii calitative i este realizat n conformitate cu programa analitic aprobat prin Ordin al ministrului Educaiei i Cercetrii nr. 5959 din 22.12.2006

    Copert: Giorgian Gngu

    Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei BURTEA, MARIUS

    Matematic M2 : trunchi comun i curriculum difereniat : clasa a XII-a / Marius Burtea, Georgeta Burtea. Piteti: Carminis Educaional, 2007 272 p.; il.; 23,5 cm ISBN 978-973-123-019-1

    I. Burtea, Georgeta

    51(075.35)

    Toate drepturile aparin Editurii CARMINIS

    Refereni: Prof. Univ. Dr. Radovici Mrculescu Paul, Universitatea din Piteti

    Prof. Gr. I Georgic Marineci, Colegiul Naional I. C. Brtianu, Piteti

    Redactor: Carmen Joldescu

    Tehnoredactori: Alina Pieptea, Marius Hrzoiu

    Corectur: Marius Burtea, Georgeta Burtea

    Tehnoredactare computerizat: Editura CARMINIS

    Tiparul executat la S.C. TIPARG S.A. PITETI

    Comenzile se primesc la

    tel./fax: 0248253022, 0248252467 sau pe adresa: Editura CARMINIS

    str. Exerciiu, bl. D 22, sc. B, ap. 1, cod 110242, Piteti, jud. Arge

    www.carminis.ro

    e-mail: editura_carminis@yahoo.com

    ISBN 978-973-123-019-1

  • PREFA

    Manualul are la baz PROGRAMA 2 i se adreseaz elevilor de liceu din clasa a XII-a de la urmtoarele filiere, profiluri i specializri: filiera teoretic, profilul real, specializarea tiine ale naturii: 2 ore/sptmn (TC) + 1 or/sptmn (CD); filiera tehnologic, toate calificrile profesionale: 3 ore/sptmn (TC). Acesta este conceput avnd n vedere noul curriculum colar elaborat pentru clasa a XII-a, viznd formarea de competene, valori i aptitudini n actul nvrii, elemente care s dea posibilitatea elevilor s perceap mai uor dimensiunile realitii nconjurtoare i s aplice metodele matematice n situaii ct mai diverse. Manualul este format n esen din dou pri distincte care continu n mod coerent matematica studiat n clasa a XI-a. Partea I, intitulat ELEMENTE DE ALGEBR, dezvolt urmtoarele capitole: Grupuri, Inele i corpuri, Inele de polinoame. Partea a II-a, intitulat ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC, dezvolt urmtoarele capitole: Primitive (antiderivate), Integrala definit, Aplicaii ale integralei definite. Partea teoretic a manualului este redat ntr-o manier direct, concis, definind noile concepte matematice i apoi aplicnd aceste concepte n exerciii i probleme corespunztoare. Cnd este cazul, partea teoretic este introdus ntr-o manier problematizat pornind de la situaii-problem a cror rezolvare legitimeaz introducerea i dezvoltarea diferitelor noiuni i metode de lucru. Partea aplicativ a manualului este alctuit din: Exerciii i probleme rezolvate. Acestea apar cu regularitate n fiecare paragraf, dup introducerea unor noiuni teoretice. Ele ofer modele de aplicare i folosire a elementelor teoretice n exerciii i probleme noi. Teste de evaluare, care apar la sfrit de capitol. Seturi de exerciii i probleme structurate n dou categorii:

    a) Exersare. n aceast categorie exerciiile sunt numerotate cu simbolul E, iar parcurgerea lor asigur nsuirea i folosirea noiunilor fundamentale nvate ntr-o lecie sau n grupuri de lecii.

  • b) Aprofundare. n acest grup de exerciii i probleme, notate cu simbolul A, se ntlnesc probleme a cror rezolvare presu-pune aplicarea noilor noiuni n contexte variate i realizarea unor conexiuni intra- i extradisciplinare.

    Teme, destinate aplicrii imediate a unor algoritmi de lucru folo-sii n modelele de exerciii rezolvate.

    Teme de studiu i Teme de proiect, care au drept scop aprofun-darea unor noiuni sau aplicarea acestora n situaii noi.

    De asemenea, acestea pot constitui subiectul unor referate tema-tice care s completeze portofoliul elevului. Teme de sintez destinate recapitulrii i sistematizrii cunotin-elor, n vederea susinerii examenului de bacalaureat. Ca auxiliare n nelegerea, nvarea i aplicarea unor noiuni sunt casetele n care se prezint formule de calcul ntlnite n anii prece-deni, rubric intitulat Ne reamintim. Manualul se ncheie cu un paragraf de INDICAII I RSPUNSURI elaborate pentru un numr semnificativ de exerciii i probleme.

    Autorii

  • Algebr I. Grupuri

    5

    ELEMENTE DE ALGEBR

    I. GRUPURI

    1 Legi de compoziie pe o mulime 1.1. Definiii i exemple Din studiul diferitelor operaii ntlnite pn acum (adunarea i

    nmulirea numerelor, compunerea funciilor, adunarea i nmulirea matricelor etc.) se pot desprinde concluziile:

    exist o mare diversitate att n ceea ce privete natura mulimilor pe care sunt definite aceste operaii (numere, funcii, matrice, vectori, iruri, perechi ordonate...), ct i n ceea ce privete regulile specifice dup care se opereaz cu elementele acestor mulimi;

    operaiile algebrice ntlnite au o serie de proprieti comune, indiferent de natura elementelor asupra crora opereaz (comutati-vitate, asociativitate etc.).

    Reinnd aspectele eseniale ale operaiilor, n acest capitol se va face o prezentare a acestora ntr-o form general prin intermediul conceptului de lege de compoziie, concept care d posibilitatea folosirii metodei axiomatice n algebr.

    v DEFINIII Fie M o mulime nevid.

    O aplicaie ( ) ( ): M M M, x, y x, y se numete lege de compo-ziie (operaie algebric) pe mulimea M.

    Elementul ( )x, y M, care corespunde prin aplicaia perechii ordonate ( )x, y M M se numete compusul lui x cu y prin legea de compoziie .

    Exemple de legi de compoziie

    Operaia de adunare + i operaia de nmulire pe mulimile de numere N, Z, Q, R, C. + : ( ), x, y x y, +N N N : ( ), x, y x y, N N N + : ( ), x, y x y, +Z Z Z : ( ), x, y x y, Z Z Z etc.

  • Algebr I. Grupuri

    6

    Operaia de adunare + pe mulimea V a vectorilor din plan:

    ( ) : , a, b a b.+ +V V V Operaiile de reuniune , intersecie , diferen \ , diferen simetric , pe mulimea ( )MP a prilor (submulimilor) unei mulimi M: : ( ) ( ) ( ) ( )M M M , A, B A B, P P P : ( ) ( ) ( ) ( )M M M , A, B A B, P P P etc. Operaia de compunere a funciilor pe mulimea ( ) { }M f f : M M := F

    ( ) ( ) ( ) ( ) : M M M , f, g f g. F F F

    Legile de compoziie sunt date n diferite notaii: n notaie aditiv se scrie ( )x, y x y; = + elementul x + y M se

    numete suma lui x cu y, iar operaia se numete adunare. n notaie multiplicativ se scrie ( )x, y x y; = elementul x y M

    se numete produsul lui x cu y, iar operaia se numete nmulire. Deseori, dac : M M M este o lege de compoziie (operaie alge-

    bric) pe mulimea M, n loc de notaia ( )x, y se folosesc notaiile: x y, x y, x y, x T y, x y etc.

    Problem rezolvat Pe mulimea R se definete operaia algebric T , astfel: ( ): , x, y x y xy x y. = R R RT T a) S se calculeze: 2 T 3, ( ) ( ) ( )5 3 , 6 8 . T T b) Pentru care elemente x R, avem x T 2 = 8? c) S se rezolve ecuaia ( )x x 1 1.+ =T

    Soluie a) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 1; 5 3 5 3 5 3 17,= = = = T T iar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 8 6 8 6 8 62. = =T b) Avem: x T 2 = x 2 x 2 = x 2. Din egalitatea x 2 = 8 se obine x = 10. c) Avem: ( ) ( ) ( ) 2x x 1 x x 1 x x 1 x x 1.+ = + + = T Rezult ecuaia

    2x x 2 0 = cu soluiile 1 2x 1, x 2.= = Aadar: ( )1 0 1 =T i 2 T 3 = 1. 1.2. Adunarea i nmulirea modulo n

    Fie *n N un numr natural i a Z. Din teorema mpririi cu rest a numerelor ntregi rezult c exist i sunt unice numerele q Z i { }r 0, 1, 2, , n 1 cu proprietatea c a = nq + r.

  • Algebr I. Grupuri

    7

    Numrul natural r care reprezint restul mpririi lui a la n, se noteaz a mod n (se citete a modulo n) i se numete redusul modulo n al numrului a.

    Aadar, r = a mod n. Astfel, dac n = 6, atunci: 15 mod6 3, 5 mod6 5,= = ( )10 mod6 2. = Pe mulimea Z definim urmtoarele legi de compoziie: a) ( ): , a b a b modn, = +Z Z Z numit adunarea modulo n. a b se numete suma modulo n a lui a cu b. b) ( ): , a b ab modn, =Z Z Z numit nmulirea modulo n. a b se numete produsul modulo n al lui a cu b. Astfel, pentru n = 8, avem:

    ( )6 10 6 10 mod8 16 mod8 0; = + = = ( )7 12 7 12 mod8 19mod8 3; = + = =

    ( )4 3 4 3 mod8 12mod8 4;= = = ( ) ( ) ( )2 5 2 5mod8 10 mod8 6. = = =

    1.3. Adunarea i nmulirea claselor de resturi

    modulo n

    Fie *n N un numr natural fixat. Pentru a Z notm

    { }a a nk k= + Z i r = a mod n restul mpririi lui a la n. Din teorema mpririi cu rest, exist q Z astfel nct a = nq + r. Atunci, { } { } { }a a nk k r nq nk k r nh h r.= + = + + = + =Z Z Z Aadar, n determinarea mulimii a este esenial s cunoatem

    restul mpririi lui a la n. Mulimea a se numete clasa de resturi modulo n a lui a. Deoarece resturile obinute la mprirea cu n a numerelor ntregi

    pot fi 0, 1, 2, ... , n 1, rezult c exist numai n clase de resturi modulo n

    distincte dou cte dou i acestea pot fi considerate 0, 1, 2, , n 1. Mulimea claselor de resturi modulo n se noteaz cu nZ i putem

    scrie { }n 0, 1, 2, , n 1 .= Z Pe mulimea nZ se definesc urmtoarele legi de compoziie:

    a) n n n : , a b a b,+ + = Z Z Z numit adunarea claselor de

    resturi modulo n, iar a b+ se numete suma claselor a i b.

    TEMPentru n = 6 calculai: 2 5, 2 5, 16 9, 9 4, ( )2 3, ( )5 5, ( ) ( )7 9 , ( ) ( )9 5 , ( )2 9 3, ( )3 7 8.

  • Algebr I. Grupuri

    8

    b) n n n : , a b a b, =Z Z Z numit nmulirea claselor de

    resturi modulo n, iar a b se numete produsul claselor