MAKALAH METODE NUMERIK

Pemanfaatan Metode Numerik Turunan dan Integrasi Numerik

dalam Bidang IT

Disusun Oleh : Ismail Wibi Wicaksono

NRP : 2103157011

Jurusan : Teknik Informatika

POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA

2016

2

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Allah S.W.T yamg atas karunia dan Hidayah –Nya

serta seizing-Nya lah kami dapat menyelesaikan makalah Metode Numerik ini. Tidak lupa shalawat

serta salam semoga selalu tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad S.A.W.

Dalam kesempatan ini saya mencoba membuat suatu Makalah yaitu : “Pemanfaatan

Metode Numerik Turunan dan Integrasi Numerikdalam Bidang IT”.

Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat tugas akhir semester genap.Selama pembuatan

makalah ini penulis banyak menghadapi kendala, namun atas bantuan dan dukungan moril maupun

materil dari semua pihak yang telah membantu kelancaran dalam menyelesaikan karya tulis ini, rasa

terima kasih tersebut penulis ucapkan kepada :

1. Orang tua kami yang selalu mendoakan dan membimbing kami ke jalan yang benar. Dan juga

membantu dalam bidang apapun selama praktek kerja ini dan terus menerus memberi

semangat kepada kami, semoga Allah SWT membalas atas semua apa yang telah diberikan

kepada kami selama ini “AMIN”.

2. Bapak Isbat Uzzin Nadhori, S.Kom, MT selaku dosen metode numerik kami.

3. Seluruh rekan-rekan D3 PJJ Teknik Informatika.

Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan Makalah ini masih belum sepenuhnya sempurna

baik dalam ejaan ataupun dalam penyajiannya. Oleh karena itu penulis mengharapkan adanya saran

dan kritik yang membangun dari pembaca agar penulis mampu memperbaiki kekurangan yang ada.

Akhirnya penulis berharap makalah ini dapat memberikan manfaat khususnya bagi penulis

dan umumnya bagi pembaca.

Mojokerto, Agustus 2016

penulis

3

DAFTAR ISI

BAB 1 PENDAHULUAN…………………………………………………………………………4

1. 1. Latar Belakang…………………………………………………………………………………4

1.2. Rumusan Masalah………………………………………………………………………………4

1.3. Tujuan Masalah…………………………………………………………………………………4

BAB II METODE NUMERIK / IMPLEMENTASI / HASIL PEMBAHASAN……………..5

2.1. Metode Numerik………………………………………………………………………………5

2.1.1. Integrasi Numerik……………………………………………………………………..5

2.1.2. Turunan Numerik dan Interpolasi Polinomial………………………………………6

2.2. Implementasi / Hasil dan Pembahasan …………………………………………………….7

2.2.1. Integrasi Numerik………………………………………………………………….7

2.2.1.1 Kaidah Reimann…………………………………………………………..8

2.2.1.2 Kaidah Trapezoida……………………………………………………….10

2.2.1.3 Kaidah Gauss…………………………………………………………….11

2.2.2 Turunan Numerik dan Interpolasi Polinomial…………………………………..13

BAB III PENUTUP………………………………………………………………………………17

3.1. Kesimpulan……………………………………………………………………………………17

3.2. Saran………………………………………………………………………………………….17

4

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Metode Numerik adalah metode yang sudah tidak asing lagi bagi para mahasiswa yang

sedang mengambil jurusan dalam bidang rekayasa. Misalnya dalam bidang Pengolahan Citra

(Image Processing). Sementara dalam perhitungan numeric sendiri, turunan fungsi dalam orde

yang lebih tinggi sering dibutuhkan.Misalnya untuk menghitung batas-batas galat dengan rumus.

Berdasarkan hal tersebut nakalah ini saya buat.yang diharapkan para mahasiswa yang

mengambil konsentrasi jurusan bidang rekayasa bisa lebih memaksimalkan dari mata kuliah

metode numeric ini.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah di kemukakan diatas, saya mencoba mengidentifikasi

masalah yang merupakan dasar bagi makalah ini.Adapun masalah yang dapat di identifikasi

adalah :

1. Bagaimana pemanfaatan Metode Numerik Turunan dan Integrasi Numerik dalam Bidang

IT ?

2. Bagaimana mahasiswa dapat memaksimalkan dari metode Numerik itu sendiri ?

1.3. Tujuan Makalah

Adapun Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai ssalah satu syarat tugas semester dari

mata kuliah metode numeric.Selain itu makalah ini bermanfaat bagi mahasiswa bagaimana

memaksimalkan metode numeric itu dalam bidang IT.

5

BAB II

METODE NUMERIK / IMPLEMENTASI / HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1. Metode Numerik

2.1.1 Integrasi Numerik

Di dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok bahasan yang mendasar disamping

turunan (derivative). Dalam kuliah kalkulus integral, telah diajarkan cara memperoleh solusi

analitik (dan eksak) dari integral Tak-tentu maupun integral Tentu. Integral Tak-tentu dinyatakan

sebagai

∫ ( ) ( )

Solusinya, F(x), adalah fungsi menerus sedemikian sehingga F'(x) = f(x), dan C adalah sebuah

konstanta. Integral Tentu menangani perhitungan integral di antara batas-batas yang telah

ditentukan, yang dinyatakan sebagai

∫ ( ) ( )∫ ( ) ( )

Secara geometri, integrasi Tentu sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x

= a dan garis x = b (Gambar 6.1). Daerah yang dimaksud ditunjukkan oleh bagian yang diarsir

Fungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan dapat dikelompokkan sebagai

1. Fungsi menerus yang sederhana, seperti polinomial, eksponensial, atau fungsi

trigonometri. Misalnya,

∫ ( ( ) )

Fungsi sederhana seperti ini mudah dihitung integralnya secara eksak dengan menggunakan

metode analitik. Metode-metode analitik untuk menghitung integral fungsi yang demikian

sudah tersedia, yaitu

∫

6

∫

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

∫ | |

∫ | | | |

2. Fungsi menerus yang rumit,misalnya

Fungsi yang rumit seperti ini jelas sulit, bahkan tidak mungkin, diselesaikan dengan metode-

metode integrasi yang sederhana. Karena itu, solusinya hanya dapat dihitung dengan metode numerik.

3. Fungsi yang ditabulasikan, yang dalam hal ini nilai x dan f(x) diberikan dalam sejumlah titik

diskrit. Fungsi seperti ini sering dijumpai pada data hasil eksperimen di laboratorium atau

berupa data pengamatan di lapangan. Pada kasus terakhir ini, umumnya fungsi f(x) tidak

diketahui secara eksplisit. Yang dapat diukur hanyalah besaran fisisnya saja. Misalnya,

x f(x)

0.00 6.0

0.25 7.5

0.50 8.0

0.75 9.0

1.00 8.5

Integrasi fungsi seperti ini jelas harus didikerjakan secara numerik.

2.1.2 Turunan Numerik dan Interpolasi Polinomial

Setiap mahasiswa yang pernah mengambil kuliah kalkulus tentu masih ingat dengan turunan

fungsi yang didefenisikan sebagai

Persoalan menghitung turunan fungsi cukup banyak muncul dalam bidang rekayasa. Misalnya

dalam bidang pengolahan citra (image processing), turunan fungsi diterapkan untuk mendeteksi sisi

(edge) obyek pada suatu citra (lihat bagian terakhir bab ini). Sementara dalam perhitungan numerik

sendiri, turunan fungsi dalam orde yang lebih tinggi, f ', f ", f "', ..., kadang-kadang diperlukan.

Misalnya untuk menghitung batas-batas galat interpolasi polinom dengan rumus

7

Atau untuk menghitung galat integrasi numeric dengan aturan trapezium

Bila persamaan fungsi f(x) diberikan secara eksplisit, maka kita dapat menentukan fungsi

turunannya, f '(x), f "(x), ..., f (n+1) (x), lalu menggunakannya untuk menghitung nilai turunan

fungsi di x = t.

Seringkali fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit, tetapi kita hanya memiliki beberapa

titik data saja. Pada kasus seperti ini kita tidak dapat menemukan nilai turunan fungsi secara analitik.

Sebaliknya, pada kasus lain, meskipun f(x) diketahui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit sehingga

menentukan fungsi turunannya merupakan pekerjaan yang tidak mangkus dan tidak praktis, misalnya

pada fungsi-fungsi berikut ini :

Untuk kedua kasus terakhir, perhitungan nilai turunan dapat dikerjakan secara numerik

(numerical differentiation atau numerical derivative). Nilai turunan yang diperoleh merupakan nilai

hampiran. Sebagaimana halnya pada integrasi numerik, perhitungan turunan numerik juga

menggunakan nilai-nilai diskrit. Karena itu, fungsi dalam bentuk tabel merupakan bentuk alami

untuk perhitungan turunan.

2.2. Implementasi / Hasil dan Pembahasan

2.2.1 Integrasi Numerik

Integral mempunyai banyak terapan dalam bidang sains dan rekayasa. Dalam praktek

rekayasa, seringkali fungsi yang diintegrasikan (integrand) adalah fungsi empirik yang diberikan

dalam bentuk tabel, atau integrand-nya tidak dalam bentuk fungsi elementer (seperti sinh x, fungsi

Gamma G(a), dsb), atau fungsi eksplisit f yang terlalu rumit untuk diintegralkan [KRE88]. Oleh

sebab itu, metode

numerik dapat digunakan untuk menghampiri integrasi.

Di bawah ini diberikan beberapa contoh persoalan dalam bidang sains dan

rekayasa.

1) Dalam bidang fisika, integral digunakan untuk menghitung persamaan kecepatan. Misalkan

kecepatan sebuah partikel merupakan fungsi waktu menerus yang diketahui terhadap waktu,

v(t). Jarak total d yang ditempuh oleh partikel ini selama waktu t diberikan oleh:

d=∫ ( )

2) Dalam bidang teknik elektro/kelistrikan, telah diketahui bahwa harga rata-rata suatu arus

listrik yang berosilasi sepanjang satu periode boleh nol. Disamping kenyataan bahwa hasil

8

netto adalah nol, arus tersebut mampu menimbulkan kerja dan menghasilkan panas. Karena

itu para rekayasawan listrik sering mencirikan arus yang demikian dengan persamaan

IRMS = √∫ ( )

yang dalam hal ini IRMS adalah arus RMS (root-mean-square), T adalah periode, dan i(t)

adalah arus pada rangkaian, misalnya

i(t) = 5e-2i

sin 2Πt untuk 0 ≤ t ≤T/2

=0 untuk T/2 ≤ t ≤ T

3) Contoh fungsi dalam bentuk tabel adalah pengukuran fluks panas matahari yang diberikan

oleh tabel berikut:

Data yang ditabulasikan pada tabel ini memberikan pengukuran fluks panas q setiap jam

pada permukaan sebuah kolektor sinar matahari. Diminta memperkiraan panas total yang

diserap oleh panel kolektor seluas 150.000 cm selama waktu 14 jam. Panel mempunyai

kemangkusan penyerapan (absorption), eab , sebesar 45%. Panas total yang diserap diberikan

oleh persamaan

Demikianlah beberapa contoh terapan integral dalam bidang sains dan rekayasa. Umumnya

fungsi yang diintegralkan bentuknya rumit sehingga sukar diselesaikan secara analitik.

Karena itu, perhitungan integral secara numerik lebih banyak diprak-tekkan oleh para

insinyur.

2.2.1.1 Kaidah Reimann

Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x = x0 sampai x = x1 berikut

9

Luas satu pias adalah (Tinggi pias = f(xo))

∫ ( ) ( )

Atau (tinggi pias = f(x1))

∫ ( ) ( )

Jadi

Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan di atas dengan 2, untuk menghasilkan

Persamaan ini dinamakan kaidah reimann atau segi empat.Kaidah Reimann untuk satu pias dapat kita

perluuas untuk mengitung

I = ∫ ( )

Yang dalam hal ini.I samadengan luas daerah integrasi dalam selang (a,b).Luas derah tersebut

diperoleh dengan membagi selang (a,b) menjadi n buah pias segiempat dengan lebar h,yaitu dengan

absis [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],………Jumlah luas seluruh pias segiempat itu adalah hampiran lias

I.Kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah segiempat gabungan

10

Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan diatas dengan 2, untuk menghasilkan

Dengan fr = f(xr), r=0, 1, 2……n

2.2.1.2 Kaidah Trapezoida

Pandang sebuah pias berbentuk trapezium dari x = x0 sampai x = xi

Luas trapezium adalah

∫ ( )

( ) ( )

Persamaan ini dikenal dengan nama kidah trapezium.

11

Bila selang [a,b] dibagi atas n buah pias trapezium,kaidah integrasi yang diperoleh adalah Kaidah

Trapesium Gabungan

2.2.1.3 Kaidah Gauss

Sampai saat ini kita telah membahas kaidah integrasi yang berbasis titik-titik data

diskrit.Titik-titik diskrit tersebut harus berawal dan berahir di ujung-ujung selang a dan b.Trapesium-

trapesium yang menghampiri daerah integrasi harus berawal dan berahir di ujung-ujung

tersebut.Batasan ini mengakibatkan galat yang dihasilkan dengan mekanisme ini ternyata cukup

besar.

Pendekatan integrasi yang berbeda dengan metode Newton-Cotes dikembangkan oleh Gauss

dan dinamakan metode kuadratur Gauss (Gaussian Quadrature). Dengan metode kuadratur Gauss,

batasan-batasan yang terdapat pada metode Newton-Cotes kuadratur dihilangkan. Di sini kita tidak

perlu lagi menentukan titik-titik diskrit yang berjarak sama, tetapi nilai integrasi numerik cukup

diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f(x) pada beberapa titik tertentu. Untuk memberi

gambaran tentang kuadratur Gauss, perhatikan Gambar 6.15. Sebuah garis lurus ditarik

menghubungkan dua titik sembarang pada kurva y = f(x). Titik-titik tersebut diatur sedemikian

sehingga garis lurus tersebut menyeimbangkan galat positif dan galat negatif. Luas daerah yang

dihitung sekarang adalah luas daerah di bawah garis lurus, yang dinyatakan sebagai

12

Dengan C1, C2, X1 dan X2 adalah sembarang nilai.Persamaan ini dinamakan kuadratur

Gauss.Perhatikan bahwa bila dipilih x1 = -1 , x2 = 1 dan c1= c2 = 1 maka persamaan kuadratur Gauss

menjadi kaidah trapezium.Jadi kaidah trapezium memenuhi kuadratur Gauss

Di atas telah dikatakan bahwa kaidah trapesium bersesuaian dengan kuadratur Gauss. Dapat

dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan kaidah trapesium akan tepat (galatnya = 0) untuk

fungsi tetap dan fungsi lanjar. Misalnya untuk f(x) = 1 dan f(x) = x . Dari dua buah fungsi tersebut,

diperoleh dua persamaan:

13

Kita memerlukan dua buah persamaan lagi agar x1, x2, c1, dan c2 dapat ditentukan. Dari

penalaran bahwa kaidah trapesium sejati untuk fungsi tetap dan fungsi lanjar, maka penalaran ini

juga kita perluas dengan menambahkan anggapan bahwa integrasinya juga sejati untuk

F(x) = x2 dan f(x) = x

2

Sekarang kita mendaatkan dua persamaan tambahan yaitu :

Sekarang kita sudah mempunyai empat buah persamaan simultan

C1 + C2 = 2

C1X1 + C2X2 = 0

C1X12 + C2X2

2= 2/3

C1X3 + C2X

3 = 0

Yang bila dipecahkan menjadi

C1 = C2 = 1

X1 = 1√ = 0.5773

X2 = -1√

Jadi

Persamaan dinamakan kaidah Gauss-Legendre 2-titik. Dengan kaidah ini, menghitung

integral f(x) di dalam selang [-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi nilai fungsi f di x =1√ dan

di x = -1√ .

2.2.2 Turunan Numerik dan Interpolasi Polinomial

Citra (image) merupakan kumpulan elemen gambar (picture element = pixel) yang secara

keseluruhan merekam suatu adegan (scene) melalui pengindera visual (kamera) . Citra intensitas

ialah citra yang setiap pixel merekam intensitas cahaya yang dipantulkan dari setiap titik di objek,

misalnya citra biner, graylevel, berwarna, dan banyak-alur (multi-channel). Untuk kebutuhan

pengolahan dengan komputer, citra disajikan dalam bentuk diskrit yang disebut citra digital. Citra

digital dapat disajikan oleh matriks f yang berukuran M ´ N dengan bentuk:

14

Tiap elemen matriks adalah bilangan bulat dalam rentang [0..255] untuk citra 8 bit

Salah satu proses yang terdapat dalam pengolahan citra ialah pendeteksian tepi. Tepi merupakan

feature yang penting pada suatu citra. Tepi didefinisikan sebagai perubahan intensitas yang besar

dalam jarak yang singkat. Perbedaan intensitas inilah yang menampakkan rincian pada gambar. Tepi

biasanya terdapat pada batas antara dua daerah berbeda pada suatu citra. Tepi memberikan informasi

batas-batas objek dengan lingkungannya atau dengan objek yang lain, feature untuk

mengidentifikasi objek, dan untuk terapan penapisan citra.

Pendeteksian tepi merupakan langkah pertama untuk melingkupi informasi di dalam citra. Tepi

mencirikan batas-batas objek dan karena itu tepi berguna untuk proses segmentasi dan identifikasi

objek di dalam citra. Tujuan operasi pendeteksian tepi adalah untuk meningkatkan penampakan

garis batas suatu daerah atau objek di dalam citra.

Salah satu pendekatamyang dipakai dalam pendeteksian sisi adalah dengan kemiringan diferensial

(differential gradient). Secara matematis perubahan intensitas yang besar dalam jarak yang sangat

singkat dapat dipandang sebagai suatu fungsi yang memiliki kemiringan yang besar. Pengukuran

kemiringan suatu fungsi dilakukan dengan menghitung turunan pertamanya. Dalam citra digital,

pendeteksian tepi dapat dilakukan dengan cara yang mirip, yaitu dengan turunan pertamanya secara

parsial dalam ruang diskrit:

Yang dalam hal ini kedua turunan parsial didefinisikan sebagai

Biasanya , sehingga persamaan turunan pertama menjadi:

15

Kekuatan tepi pada setiap pixel citra dihitung dengan rumus :

Atau dengan rumus

Suatu pixel dianggap sebagai pixel sisi jika kekuatan tepinya di atas nilai ambang (threshold)

tertentu.

D1(x) dan D1( y) merupakan hampiran selisih-maju. Hampiran lain yang dipakai adalah hampiran

selisih-pusat, yaitu:

Operator lain yang digunakan untuk mendeteksi sisi adalah yang berdasarkan pada operasi turunan

kedua, yang dikenal dengan operator Laplace (Laplacian). Operator Laplace mendeteksi lokasi tepi

lebih akurat khususnya pada tepi yang curam.

Pada Gambar 7.3, kurva pada baris pertama menunjukkan perubahan intensitas suatu tepi. Baris

kedua adalah turunan pertamanya, dan baris ketiga adalah turunan keduanya. Kolom kiri (a) adalah

untuk sisi yang landai sedangkan kolom (b) untuk sisi yang curam. Dari Gambar 7.3 terlihat juga

bahwa turunan kedua dari tepi yang landai tidak terdapat persilangan-nol (zerro crossing), sedangkan

pada tepi yang curam terdapat persilangan-nol yang ditandai dengan titik (·). Persilangan-nol ialah

titik perubahan dari nilai positif ke negatif atau sebaliknya.

16

Jika digunakan hampiran selisih-maju, maka operator Laplace diturunkan sebagai berikut:

Biasanya ∆x = ∆x = 1 sehingga bentuk menjadi lebih sederhana.Gambar 7.4 memperlihatkan

pendeteksian tepi pada citra botol dengan operator Laplace

17

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Metode Numerik adalah metode hampiran yang digunakan dalam menghitung suatu

permasalahan dibidang Sains dan Rekayasa.Dan Metode Numerik juga dipakai dalam IT

untuk menyelesaikan atau mempermudah dalam mencari jalan keluar suatu masalah seperti

yang digunakan dalam menghitung tepi dalam Pengolahan Citra.Selain itu Metode Numerik

adalah metode yang dipakai oleh computer untuk mengeksekusi atau menghitung suatu

permasalahan sehingga computer tetap teratur dan terstruktur dalam menyelesaikan suatu

permasalahn tersebut.

Dan fungsi utama seorang IT adalah ketika ia hendak untuk membuta program sebaiknya

ia mempelajari dahulu bagaimana computer itu menyelesaikan suatu permasalahan.

3.2. Saran Hasil proyek makalah ini belum sempurna, oleh karena itu ada beberapa saran yg mungkin dapat

menjadi masukan untuk rekan-rekan.