TEORI DAN APLIKASI OPERASI KOMPUTER DENGAN BILANGAN BULATQoriaini SassemitaLasmanian Rezekina

PROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGIUNIVERSITAS ISLAM NEGERISYARIF HIDAYATULLAHJAKARTA2014 M / 1436 H

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadiran Allah SWT karena atas rahmat dan karunianya-Nya sehingga makalah Teori Bilangan ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat pada waktu yang telah ditentukan. Shalawat serta salampun kami haturkan kepada junjungan kita Nabi Besar Muhammad SAW dan para sahabatnya, yang telah memberikan tauladan baik sehingga akal dan fikiran kami mampu menyelesaikan makalah Teori Bilangan ini. Makalah ini merupakan salah satu tugas mata kuliah Teori Bilangan. Pada makalah Teori Bilangan ini, kelompok kami membahas tentang bilangan dan barisan.Akhir kata kami menyampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang sudah mendukung penyusunan makalah ini. Kami menyadari bahwa dalam proses pembuatan makalah ini masih memiliki banyak kekurangan. Oleh karena itu kami mengharapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini kedepannya. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca.

Ciputat, 22 Oktober 2014

PenyusunDAFTAR ISI

Kata PengantariDaftar IsiiiBAB I PENDAHULUAN11.1 Latar Belakang11.2 Permasalahan2BAB II LANDASAN TEORI32.1Bilangan32.1.2 Sejarah Bilangan32.1.3 Definisi Bilangan52.1.3 Bilangan dan Angka62.1.4 Jenis-jenis Bilangan62.2 Barisan92.2.1 Definisi Barisan92.2.2 Jenis-jenis Barisan10BAB III PEMBAHASAN113.1 Bilangan113.1.1 Aplikasi Bilangan 133.1.2 Contoh Soal Bilangan 153.1.3 Algoritma Bilangan163.2 Barisan203.2.1 Aplikasi Barisan203.2.2 Contoh Soal Barisan223.2.3 Algortima Barisan24BAB IV KESIMPULAN27REFERENSI28

iii

BAB IPENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANGMatematika, mungkin banyak orang menganggap bahwa matematika merupakan suatu mata pelajaran yang membosankan dan menyusahkan sehingga dijadikan momok oleh beberapa orang, namun jika kita melirik kembali pengertian dari matematika itu sendiri yang di ambil dari bahasa yunani matematika memiliki artistudi besaran, struktur, ruang dan perubahan. Ini berarti dibalik keruwetannya itu matematika memiliki peranan penting dalam kehidupan kita, itulah alasan kenapa matematika harus kita pelajari.Jika kita berbicara tentang matematika tentunya kita tidak akan bisa lepas dari hal yang disebut dengan bilangan dan barisan. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner,yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangansebagai keluaran. Di dalam makalah ini kamiakan membahas tentang bilangan dan barisan,serta bagaimana peranan bilangan dan barisan dalam kehidupan nyata.1.2 1

1.3 PERMASALAHAN1. Bagaimana peran bilangan dan barisan dalam kehidupan?2. Bagaimana algoritma mencari suatu bilangan dan barisan?

1.4 TUJUAN1. Mengetahui aplikasi bilangan dan barisan dalam kehidupan2. Mengetahui algoritma mencari suatu bilangan dan barisan

2

BAB IILANDASAN TEORI

2.1 Bilangan 2.1.1 Sejarah BilanganPada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar yaitu bangsa Mesir, bangsa Hindu dan bangsa Cina. Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan dan penanggalan yang dipakai sesuai dengan perubahan musim. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya bilangan matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan karena dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan bilangan. Bilangan selalu dibutuhkan dalam teknologi, sains, ekonomi, dunia musik, filosofi serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda, masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :

1. Simbol Bilangan Babilonia

2. 3

3. Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM

4. Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno

5. Simbol bilangan bangsa Arabyang dibuat pada abad ke-11 dandipakai hingga kini oleh umat Islamdi seluruh dunia

6. Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno

7. Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini

8. Dalam perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai hingga saat ini.

9. Bilangan yang populer saat ini

2.1.2 Definisi BilanganBilangan adalah satuan dalam sistem matematik yang dapat dioperasikan secara matematik [1] Lambang bilangan adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan bilangan, lambang yang dimaksud adalah dan , lambang bilangan juga disebut dengan angka [1]Operasi yang lebih umumnya ditemukan pada bilangan adalah operasi biner. Operasi biner adalah operasi antara dua bilangan [2]Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran.

2.1.3 Bilangan dan AngkaAngka disebut juga digit. Angka tidak sama dengan bilangan, tetapi bilangan terdiri dari angka-angka. Misal: 456 adalah lambang bilangan untuk empat ratus lima puluh enam yang terdiri dari tiga angka.Bilangan 123 mengandung: angka 1 yang mengandung arti 100, angka 2 yang mengandung arti 20, angka 3 yang mengandung arti 3. Jadi 123 dapat ditulis dalam bentuk panjang dengan lambang yang lain adalah sebagai berikut: 100+20+3.Bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan.2.1.4 Jenis-Jenis BilanganBilangan terdiri atas beberapa jenis sebagai berikut [3]

1. Bilangan Kompleksadalah bilangan yang memiliki format, dengandanadalah bilangan real, danadalah bilangan imajiner. Bilangan kompleks biasanya disimbolkan dengan lambang. Contoh :, denganadalah bilangan imajiner.2. Bilangan Imajineradalah bilangan yang berbentuk sqrt (sqrt = square root / akar kuadrat). Atau dengan kata lain, jika bilangan ini dikuadratkan, akan menghasilkan ( dengan adalah pangkat). Bilangan ini dikatakan imajiner, karena bilangan ini sebenarnya tidak ada (hanya khayalan) atau tidak dapat dijelaskan secara nyata keberadaannya.3. Bilangan Realadalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. Bilangan ini terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan real, umumnya disimbolkan dengan lambang. Contoh: .4. Bilangan Rasionaladalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (perbandingan). Yaitu dinyatakan dalam bentukdengandanadalah bilangan bulat dan tidak sama dengan nol. Bilangan rasional umumnya dinyatakan dalam simbol. Contoh: .5. Bilangan Irrasionaladalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan (pecahan). Contoh: phi , sqrt , bilangan Euller .6. Bilangan Pecahanadalah bilangan rasional yang tidak bulat. Contoh: 7. Bilangan Bulatdilambangkan dengan symbol . Contoh: -.8. Bilangan Negatifadalah bilangan real yang nilainya dibawah nol.Contoh: -9. Bilangan Cacahadalah bilangan bulat tak negatif. Bilangan ini dimulai dari dst.10. Bilangan Noladalah .11. Bilangan Asliadalah bilangan bulat positif. Bilangan asli disebut juga bilangan hitung. Bilangan ini disimbolkan dengan lambang. Dimulai dari dst .12. Bilangan Ganjiladalah bilangan yang tidak habis dibagi . Bilangan ini memiliki format untukbilangan bulat. Contoh: 13. Bilangan Genapadalah bilangan yang habis dibagi . Bilangan ini memiliki format untuk bilangan bulat. Contoh :.14. Bilangan Primaadalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, dimana bilangan tersebut hanya habis dibagi dan bilangan itu sendiri (hanya memilki faktor). Contoh: .15. Bilangan Kompositadalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, yang tidak termasuk bilangan prima (memiliki lebih dari faktor). Contoh:.

2.2 Barisan2.2.1 Definisi BarisanBarisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan dari bilangan asli yang rangenya termuat di himpunan dari bilangan real [4]Barisan adalah fungsi dari subset dari bilangan asli ke bilangan real. Dengan kata lain, barisan adalah pemetaan [5]Suatu barisan terbatas terdiri dari suku , berkorespondensi satu-satuke setiap bilangan bulat dimana bilangan bulat positif adalah panjang dari barisan [6]Perhatikan pola-pola bilangan berikut :a. b. Kedua susunan barisan di atas disebut barisan bilangan. Adapun algoritma pembentukan barisan bilangan tersebut sebagai berikuta. Aturan pembentukannya, setiap bilangan adalah jumlah dari dua bilangan sebelumnya.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 1Suku ke-3 adalah 2 Suku ke-4 adalah 3 Suku ke-5 adalah 5 b. Aturan pembentukannya adalah untuk setiap bilangan dikali 2.Suku ke-1 adalah Suku ke-2adalah Suku ke-3 adalah Suku ke-4 adalah Suku ke-5 adalah2.2.2 Jenis-jenis Barisan1. Barisan Aritmatika Barisan aritmatika adalah barisan dengan bentuk dengan beda , yang dan seterusnya. Suku pertama dinotasikan dengan [6]Perhatikan uraian berikut Diketahui barisan bilangan

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih antara dua suku barisan yang berurutan. berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetikaMenghitung suku ke- dengan rumus Diketahui barisan bilangan aritmatika sebagai berikut

Selisish atau beda tiap suku dimisalkan dan suku pertama dimisalkan

sebanyakJadi untuk menentukan suku ke- () dari barisan aritmatika digunakan rumusDimana dan 2. Barisan geometriBarisan geometri adalah barisan dengan bentuk dengan rasio yang dan seterusnya. Suku pertama dinotasikan dengan [6]Perhatikan uraian berikut Diketahui barisan bilangan sebagai berikut

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.Menghitung suku ke-n dengan rumus Diketahui barisan bilangan geometri sebagai berikut

Rasio tiap suku dimisalkan dan suku pertama dimisalkan

sebanyakJadi untuk menentukan suku ke- () dari barisan geometri digunakan rumusdimanadan

4

BAB IIIPEMBAHASAN3.1Bilangan3.1.1Aplikasi BilanganBanyak sekali aplikasi-aplikasi bilangan dalam kehidupan. Misalnya saja untuk bilangan bulat. Bilangan bulat memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-gari misalnya pada disiplin ilmu fisika, bidang kedokteran, pendidikan maupun bidang ekonomi.1. Penerapan pada TermometerPernahkah Anda memperhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0 C digunakan tanda negatif.Selama bulan Januari suhu tertinggi di kota Berlin, Jerman 2 C di atas titik beku (0 C) dan suhu terendah 3 C di bawah titik beku. Bilangan apakah yang digunakan untuk kondisi cuaca seperti di kota Berlin? Cukupkah bilangan asli atau bilangan cacah untuk menyatakan kondisi suhu tersebut? Perhatikanlah uraian berikut ini.Untuk suhu 2 C di atas titik beku (0 C) biasa ditulis +2 C atau 2 C, sedangkan untuk suhu 3 C di bawah titik beku (0 C) biasa ditulis 3 C. Bilangan +2 dan 3 adalah contoh bilangan bulat dan berturut-turut 13

disebut bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif (+2 dibaca positif 2 dan 3 dibaca negatif 3).2. Penerapan pada Seleksi Penerimaan Mahasiswa BaruPara peserta seleksi penerimaan mahasiswa baru (SPMB) pada ujian matematika ditetapkan aturan bahwa jika siswa menjawab benar suatubutir soal diberi skor 4, jika tidak menjawab diberi skor 0, dan jika menjawab salah diberi skor 1. Misalnya, jika ada 40 soal. Kamu bisa menjawab 25 soal dan dari jawaban soal tersebut ternyata yang benar hanya 10 soal. Berapakah nilai kamu jadinya?Dari 40 soal yang terjawab dengan benar ada 10 soal, yang terjawab salah ada 15 soal dan sisanya lagi 15 soal tidak di jawab. Jika menjawab benar di beri skor 4 maka nilai kamu untuk jawaban benar adalah 10 x 4 = 40, sedangkan karena kamu juga menjawab 15 soal dengan salah maka skor kamu dikurangi lagi (menjawab soal salah diberi skor 1) 15 (1) = 15. Untuk tidak menjawab soal diberi skor 0 (nol) jadi untuk tidak menjawab soal adalah 15 x 0 = 0. Jadi skor totalnya adalah skor menjawab benar + skor menjawab salah + skor tidak menjawab: 40 + (15) + 0 = 253. Penerapan pada Kapal SelamSelain digunakan pada termometer dan tes ujian SPMB, bilangan bulat juga digunakan pada kapal selam. Kapal selam digunakan untuk kepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan.

Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlu mengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air laut dinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakan dengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m di bawah permukaan laut ditulis 10 m.

3.1.2 Contoh Soal BilanganJumlah 101 bilangan berturut-turut adalah 101. Berapakah bilangan bulat yang terbesar di dalam barisan bilangan tersebut?Penyelesaian : Jika dimulai dari ke bilanngan bulat positif hanya ada deretan angka berurutan. Sehingga sudah mencapai angka -an Ini berarti kita akan memulai dari bilangan negatif Jika digambar pada garis bilangan

deretan angka= jumlah Majukan satuan, sehingga

deretan angka= jumlah Jadi, bilangan bulat terbesar adalah

3.1.3 Algoritma BilanganSalah satu contohnya adalah algoritma pada bilangan.Algoritma bilangan prima :1. Deklarasikan variable i untuk iterasi, variable bil untuk bilangan yang ingin ditentukan apakah bilangan prima atau bukan, dan variabel x.2. Masukkan bilangan yang ingin ditentukan apakah bilangan prima atau bukan dan nyatakan ke variabel bil.3. Apabila bilangan yang dimasukkan tadi kurang dari atau sama dengan 0 maka cetak Bukan Bilangan Prima, namun bila bilangan tersebut lebih dari 0 maka lakukan langkah 4 s/d 8. Kemudian lanjutkan ke langkah 9.4. Isi variabel i dengan nilai 2.5. Selama nilai pada variabel i masih kurang dari nilai pada variabel bil, lakukan langkah 6 s/d 8.6. Hitung sisa hasil bagi nilai pada variabel bil dengan i dan nyatakan ke variabel x.7. Bila hasil bagi tersebut sama dengan 0, cetak Bukan Bilangan Prima dan langsung ke langkah 10.8. Tambahkan nilai pada variabel i dengan 1.9. Cetak Bilangan Prima .10. Tanya apakah user masih ingin menentukan suatu bilangan apakah merupakan bilangan prima.11. Bila jawabannya iya, maka kembali ke langkah ke-2.12. Bila jawabannya tidak, maka program dapat langsung diakhiri.13. Namun jika bukan keduanya, tanyalah kembali (kembali ke langkah 9).Source code bilangan prima :#includeusingnamespace std;main(){int x,i,count=0;coutx;for(i=2;i0 || x