MAŠ I NSK I F A KU L TE T UN I V ERZ I T E TA U N I ŠU

Primena programskog paketa MATLAB u Geometrisjkoj optici

Seminarski rad

Predmetni nastavnik Student

Dr. Nenad Pavlović Marko Kovandžić

Prostiranje zraka koroz optički medijum sa indeksom refrakcije u obliku

kvadratne funkcije ( ) (

)

Analogno Hamiltonovom principu u mehanici, uz pomoć koga možemo izvesti zakone kretanja tela,

u geometrijskoj optici važi Fermatov princip. Uvodeći analogiju između ova dva principa možemo

izvesti jednačine kretanja zraka kroz optički medijum. Fermatov princip ima oblik

∫ ( )

Kao što se Hamiltonov princip bazira na minimizaciji funkcije vremena tako će kod Fermatovog

principa biti korišćena minimizacije dužine , gde je osa izabrana za pravac prostiranja zraka.

Kako je √ ,

,

, Fermatov princip postaje

∫ ( ) √

Podintegralna funkcija ( ) ( )√ ( ) ( ) naziva se optički Lagranžijan.

Kada je definisan optički Lagranžijan mogu se napisati Lagranžove jednačine u optici u obliku

(

)

,

(

)

Uvođenjem izraza u predhodne jednačine dobijaju se diferencijalne

jednačine kretanja zraka kroz optički medijum sa promenljivim indeksom refrakcije

(

)

i

(

)

Treća jednačina, koja sadrži kordinatu, je redundantna u odnosu na predhodne dve tj. može biti

izvedena iz ovih jednačina

(

)

Ako vrednost indeksa refrakcije ne zavisi od kordinate onda iz predhodnog izraza sledi

(

)

odnosno

Ovo znači da je izraz je veličina

konstantna duž trajektorije pa se može obeležiti kao

.

Sa slike je očigledno da je

( ) i uzimajući, radi opštosti, u obzir kordinatu iz predhodna

dva izraza se dobija

( ) ( )

i predstavlja Snelov zakon u opštem obliku. Prema ovom

zakonu zrak se, u slučaju na vedenih predpostavki, kreće

po takvoj putanji kod koje je proizvod ( ) ( ) ili

( ) ( ) osataje konstantan.

Za optiki medijum kod koga indeks refrakcije ne zavisi od

kordinate , optički Lagranžijan ima oblik

( ) ( )√ ( ) ( )

pa zamenom ove funkcije u Lagranžovim jenačinama za

optiku dobijaju se diferencijalne jednačine kretanja zraka

za slučaj kada indeks refrakcije ne zavisi od ose

odnosno

Vrednost konstate najjednostavnije je odrediti na osnovu početnih uslova gde je ( )

gde su i respektivno rastojanje zraka od optičke ose i ugao koji sa njom zrak zaklapa u

početnoj tački.

Za slučaj kada indeks refrakcije ima oblik ( ) (

) predhodne jednačine posaju

( )

( ), odnosno ( )

( )

Rešenje ovih diferencijalnih jednačina ima oblik

( ) (√

) i ( ) (√

)

gde se vrednosti konstanti određuju iz početnih uslova.

Primer 1

Matlab kod Helix.m namenjen je za dobijanje 3D prikaza prostiranja zraka kroz optički medijum sa

indeksom refrakcije koji ima oblik kvadratne funkcije koja zavisi od kordinata i tj. ( )

( ). Jednačina trajektorije zraka u ovom slučaju ima oblik ( ) (

√

) i ( )

√ (√

). Za najjednostavniji primer

√ jednačina trajektorije dobija oblik ( )

( ) .

Komentar programskog koda nalazi se u odgovarajućem m fajlu a rezultati dobijeni za ulazne

podatke ( ) , , i od do su

Matrični metodi u pralaksijalnoj optici

U paralaksijalnoj optici razmatraju se zraci čija je trajektorija bliska optičkoj osi sistema koji se

nazivaju paralaksijalni zraci. Opšta je konvencija da se za optičku osu, odnosno za pravac

prostiranja zraka, bira osa Dekartovog kordinatnog sistema. Paralaksijalni zraci imaju pravac koji

vrlo malo odstupa od pravca ose pa su sinusna in tangensna funkcija ugla koji ovi zraci zaklapaju

sa optičkom osom pribliližno jednake veličini samog ugla. Posledica je da se svi paralaksijalni zraci

koji polaze sa jedne tačke objekta seku u drugoj tački nakon prolaska kroz optički sistem. Ova tačka

nalazi se na slici objekta. Zraci koji nisu paralaksijalni se ne seku u tački iza optičkog sistema i ova

pojava se naziva aberacija.

Zrak u proizvoljnoj tački na osi može biti opisan dvema kordinatama, pozicijom zraka i njegovim

pravcem, odnosno uglom koji zaklapa sa optičkom osom. Konvencija je da se ugao meri u

radijanima u pozitinom matematičkom smeru. Vremenom se, međutim, pokazalo da je praktičnije

0

200400

600800

1000 -30

-20

-10

0

10

20

30

-30

-20

-10

0

10

20

30

y in micrometers

Helix ray propagation

z in micrometers

x in m

icro

mete

rs

umesto kordinate koristiti kao drugu kordinatu proizvod ovog ugla i indeksa refrakcije optičkog

medijuma tj. . Cilj geometrijske optike je pronaći takav operator koji će, na osnovu početne

pozicije zraka ( ), omogućiti određivanje kordinata ( ) zraka u nekoj tački

koja sledi na optičkoj osi. Ovaj operator

treba da odslikava karakterisike optičkog

sistema kroz koji se zrak prostire. Pošto

u geometrijskoj otpici izlazne veličine

predstavljaju linearne funkcije ulaznih

veličina ovaj operator možemo

predstaviti u obliku matrice

[

] [

] [

]

Matrica naziva se matrica

prostiranja zraka

Uticaj elemenata matrice na trajektoriju zraka može slikovito prikazati posmatranjem secijalnih

slučajeva

a) Ako je na osnovu relacije prostiranja zraka dobija se .

Ovo znači da za svi zraci koji polaze iz iste tačke ulazne ravni seku

izlaznu ravan pod istim uglom bez obzira pod kojim uglom su ušli u

optički sistem. Ulazna ravan se u ovom slučaju naziva prednja žižna

ravan optičkog sistema.

b) Ako je na osnovu relacije prostiranja zraka dobija se .

Ovo znači da za svi zraci koji prođu kroz jednu tačku ulazne ravni

seku izlaznu ravan u istoj tački. Ulazna i izlazna ravan u ovom

slučaju nazivaju se ravan objekta i ravan slike objekta a veličina je

uvećanje sistema.

c) Ako je na osnovu relacije prostiranja zraka dobija se .

Ovo znači da svi zraci koji prođu kroz ulaznu ravan pod istim ulgom

seku izlaznu ravan paralelni pod drugim uglom. Odnos ulaznog i

izlaznog ugla naziva se ugaono uvećanje sistema. U slučaju da su

ovi uglovi isti ulazna i izlazna ravan nazivaju se nodalne ravni.

d) Ako je na osnovu relacije prostiranja zraka dobija se .

Ovo znači da svi zraci koji prolaze kroz ulaznu ravan pod istim uglom

seku izlaznu ravanu u istoj tački bez obzira na njihovu udaljenost od

optičke ose. Izlazna ravan se u ovom slučaju naziva zadnja žižna

ravan optičkog sistema.

Sada je moguće izmesti matricu koja opisuje neke specijalne slučajeve optičkog sistema

Translaciona matrica

Sledeća slika prikazuje prostiranje zraka od ulazne ravni do izlazne ravni , koje se nalaze na

udaljenosti kroz optički homogenu sredinu indeksa refrakcije . Indeks refrakcije je konstantan pa

zrak ima pravolinijsku trajektoriju. Na osnovu slike

slede očigledne relacije

i odnosno

Izjednačavanjem ovih relacija sa matričnom

jednačinom

[

] [

] [

]

dobijamo vrednosti nepoznatih konstanti ,

, i pa matrična jednačina

dobija oblik

[

] [

] [

]

a matrica matrica prostiranja zraka [

] naziva se translaciona. Determinanta ove matrice

je jednaka jedinici.

Refrakciona matrica

Sledeći slučaj je sferna površina koja razdvaja

dve sredine indeksa refrakcije i . Centar

površine je tačka a radijus krivine . Zrak

preseca površinu u tački i biva prelomljen pri

čemu je upadni ugao a ugao refrakcije.

Prema konvenciji radijus krivine ima pozitivnu

vrednost ako se centar nalazi sa leve strane a

negativnu vrednost ako se nalazi sa desne

strane površine. Na osnovu slike sledi relacije

i

gde predstavlja rastojanje tačke od optičke ose. Na osnovu Snelovog zakona dobija se

a na osnovu geometrije slede relacije

i

Kombinovanjem predhodnih jednačina se dobija konačna relacija

Ako se ova jendačina uporedi sa matričnom jednačinom

[

] [

] [

]

dobijaju se vrednosti elemenata matrice , , i gde je vrednost konstante

Jednačina koja daje relaciju između kordinata zraka pre i nakon refleksije sada ima oblik

[

] [

] [

]

gde je

[

]

refrakciona matrica. Determinanta ove matrice je takođe jednaka jedinici.

Matrica tankog sočiva

Na osnovu slike je očigledno da su izlazne i

ulazne kordinate povezane sa tri matrice

[

] [

]

gde je [

] refrakciona matrica

površine 1, [

] translaciona matrica

kretanja zraka unutar sočiva i [

]

refrakciona matrica površine 2. Za tanko sočivo predpostavlja se da i da je indeks refrakcije

okoline . Uzimajući ovo u obzir jednačina prolaska zraka kroz tanko sočivo postaje

[

] [

] [

] [

] [

]

gde su oznake , ( ) , ( ) i

( ) (

). Matrica tankog

sočiva je [

] a veličina je žižna daljina sočiva.

Primer 2

Matlab kod Ray_s.m namenjen je za izračunavanje kordinata zraka nakon prolaska kroz tanko

sočivo. Izlazne kordinate zraka određuju se na osnovu izraza [

] [

] gde je [

]

translaciona matrica kretanja zraka od objekta do tankog sočiva. U ovoj matrici je rastojanje od

objekta do tankog sočiva. [

] je matrica koja opisuje ktretanje zraka kroz tanko sočivo.

Veličina predstavlja žižnu daljinu sočiva. Matrica [

] je translaciona matrica kretanja

zraka nakon prolaska kroz sočivo. Ova matrica sadrži promenljivu . Pored izračunavanja izlaznih

kordinata u ovom kodu vrši se izračunavanje matrice sistema kao vid kontrole tačnosti

izračunavanja. Vrednost matrice optičkog sistema mora da bude jednak jedinici.

Komentar programskog koda nalazi se u odgovarajućem m fajlu a rezultati za ulazne podatke

[ ], , i su i [

].

Primer 3

Matlab kod Ray_d.m namenjen je za izračunavanje kordinata zraka nakon prolaska kroz dva tanka

sočiva postavljena jedno od drugog na rastojanju . Izlazne kordinate zraka nakon izlazka iz

optičkog sistema određuju se na osnovu izraza [

] [

] gde je [

]

translaciona matrica kretanja zraka od objekta do tankog sočiva. U ovoj matrici je rastojanje od

objekta do prvog sočiva. [

] je matrica koja opisuje ktretanje zraka kroz prvo tanko

sočivo. Veličina predstavlja žižnu daljinu ovog sočiva. Matrica [

] je translaciona

matrica kretanja zraka između dva tanka sočiva. U ovoj matrici je rastojanje izmeđi sočiva.

[

] je matrica koja opisuje ktretanje zraka kroz drugo tanko sočivo. Veličina

predstavlja žižnu daljinu ovog sočiva. [

] je translaciona matrica kretanja zraka nakon

prolaska kroz optički sistem. Ova matrica sadrži promenljivu . Pored izračunavanja izlaznih

kordinata u ovom kodu vrši se izračunavanje matrice sistema kao vid kontrole tačnosti

izračunavanja. Vrednost matrice optičkog sistema mora da bude jednak jedinici.

Komentar programskog koda nalazi se u odgovarajućem m fajlu a rezultati za ulazne podatke

[ ], , , , i su i [

].

Primer 4

Matlab kod Ray_z.m namenjen je za određivanje lokacije slike objekta za odgovarajuću lokaciju

objekta u slučaju tankog sočiva. Za odrešivanje lokacije slike objekta koristi se tačkasti objekat na

optičkoj osi i ispituju se kordinate nakon izlaska zraka iz sočiva. Izlazne kordinate zraka određuju se

na osnovu izraza [

] [

] gde je [

] translaciona matrica kretanja zraka od

objekta do tankog sočiva. U ovoj matrici je rastojanje od objekta do tankog sočiva.

[

] je matrica koja opisuje ktretanje zraka kroz tanko sočivo. Veličina predstavlja žižnu

daljinu sočiva. Matrica [

] je translaciona matrica kretanja zraka nakon prolaska kroz

sočivo. Ova matrica sadrži promenljivu . Oblast nakon izlazka zraka iz sočiva omeđena početnom

tačkom i završnom deli se na intervale i ispituje u podeonim tačkama. Ako je pozicija

izlaznog zraka dovoljno bliska optičkoj osi onda odgovarajuća vrednost kordinate predstavlja

lokaciju slike objekta. Tačnost određivanja ove lokacije u opšrem slučaju zavisi od odnosno od

rezolucije pretraživanja.

Komentar programskog koda nalazi se u odgovarajućem m fajlu a rezultati za ulazne podatke

, , , i dobijaju se rezultati i gde je

približna kordinata lokacija objekta a udaljenost zraka od optičke ose u tački .

Problemi

1. Laserska raketa ubrzava u slobodnom prostoru uz pomoć fotonske mašine koja emituje 10kW

plave svetlosti ( ).

a) Kolika sila deluje na raketu?

b) Ako je težina rakete 100kg, koliko je njeno ubrzanje?

c) Koliko daleko će raketa odmaći za jednu godinu ako ona startuje od stanja mirovanja?

Rešenje

a) ( )

( )

,

| |

b)

c) ( )

4.

a) Pokazati da za optičku sredinu koju karakteriše kvadratna funkcija indeksa refrakcije

( ) (

), važi ( )

√ ( √

) kada je polazni ugao za

jednak .

b) Nacrtati ( ) za i kada je . Izvesti zaključke iz ovih

crteža.

c) Da li jemoguće izvesti drugačije zaključke nego u predhodnoj tački za paralaksijalne zrake,

kod kojih je malo .

Rešenje

a) Jednačina zraka komponente za optički medijum kod koga indeks refrakcije ne zavisi od

glasi

(

)

odakle je

. Na osnovu slike je

( ) odakle

sledi ( ) ( ) Na osnovu Lagranžove jednačine

(

)

i kako je

( ) ( )√ ( ) ( ) dobjia se

(

√ ( ) ( ) )

( )

√ ( ) ( )

( ) ( )

a kako je √ ( ) ( )

sledi

. Ako se uzmu u obzir

početni uslovi onda je pa je predhodna jednačina

.

Za konkretnu funkciju indeksa refrakcije jednačina dobija oblik

( (

))

( ). Rešenje ove jednačine ima oblik ( )

( √

) a nepoznate konstante se određuju iz početnih uslova ( )

( ) i ( ) √

( √

)

√ pa konačna

jednačina ima oblik ( )

√ ( √

).

b)

Na osnovu grafika moguće je zaključiti da većem početnom uglu odgovara veća amplituda a

manji period oscilovanja zraka. Za crtanje grafika korišćen je Matlab kod Primer_4b.m.

c) Za male početne uglove sledi pa je period oscilovanja zraka za ovakve

zrake približno jednak

√

√ .

6. Za optički medijum ( )

, gde je , naći ( ) za zrak koji prolazi kroz

pod uglom u odnosu na optičku osu. Skicirati putanju zraka ( ). Ova putanja

zraka je dobar primer za prostiranje radio talasa kroz jonosferu.

Rešenje

Pošto optički medijum ima indeks refrakcije koji ne zavisi od komponente diferencijalna

jednačina prostiranja zraka ima oblik

. Za konkretan primer funkcije indeksa

refrakcije dobija se

a) Za ( ) pa je

( ). Ova diferencijalna ima rešenje

( ) ( √

√ ) gde koeficijente određujemo iz početnih uslova ( )

( ) i ( ) √

√ ( √

√ )

√

√ pa

konačna jednačina ima oblik ( ) √

√ ( √

√ )

b) Za ( ) pa je

pa je ( ) .

Na osnovu početnih uslova

dobijaju se vrednosti

konstanti ( ) i

( ) pa

konačnajednačina ima oblik.

( ) .

Trajektorija zraka u ravni nacrtana je uz pomoć Matlab koda Primer_6b.m.

7. Tačkasti objekat nalazi se na razdaljini od od konkavnog ogledala radijusa krivine

. Naći poziciju i nacrtati dijagram zraka slike objekta.

Rešenje

U slučaju paralaksijalnih zraka za ogledalo važi ralacija

. Pošto je

formula za

distancu slike je

9. Objekat je postavljen na od optičkog sistema koji se sastoji iz kombinacije sočiva i

ogledala. Koristeći koncept matrice prostiranja zraka naći poziciju i uvećanje slike. Takođe

nacrtati dijagram zraka ovog optičkog sistema.

[

] [

], [

] [

], [

] [

]

[

] [

], [

]

[

] [

] [

] [

] [

] [

] [

] [

] [

] [

] [

]

[

] [

] [

] [

] [

]

[

] [

] [

] [

] [

] [

]

Matrica optičkog sistema u ravni slike objekta je [

] pa je uvećanje .

Razdaljina slike objekta od ogledala određena me Matlag kodom Primer_9.m.

11. Pokazati da odgovarajuća žižna daljina , optičkog sistema sa slike koga čine dva sočiva može

biti izražena jednačinom

, uz pretpostavku da je . Locirati drugu

glavnu površinu ovog optičkog sistema odakle se meri.

Zrak paralelan osi koji prolazi kroz prvo sočivo presecao bi, da nije drugo sočivo, osu u tački

S koja se nalazi na razdaljini desno od prvog sočiva ili razdaljini desno od drugog

sočiva. Ova tačka predstavlja imaginarni objekat drugog sočiva a slika ovog objekta nalazi se

na rastojanju desno od drugog sočiva. Jednačina drugog sočiva glasi

. Na osnov

sličnosti trouglova moguće je dobiti kordinatu prolaska zraka kroz drugo sočivo

( ) odakle je

( ).

Iz jednačine drugog sočiva i izraza za izvodi se jednačina žižne daljine sistema

( )

( )

13. Putem matematičke indukcije dokazati jednačinu prostiranja zraka koroz optički rezonator

(

)

( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )

Rešenje

1) za

(

)

( ( )

( ) ) (

)

2) pretpostavlja se da jednačina važi za m=n

(

)

( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )

3) za

(

)

( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ) (

)=

( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

Ako uzmemo u obzir relacije i sledi

(

)

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

[ ( )( )) ( ) ( )]

[ ( ) ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

(

)

[ ( ) ( ) ( ) ( )]

[ ( )( ) ( ) ( ) ]

[ ( ) ( ) ]

[ ( ) ]

(

)

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ]

[ ( )( ) ( ) ( ) ]

[ ( ) ( ) ]

[ ( ) ]

(

)

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]

[ ( )( ) ( ) ( )]

[ ( ) ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

(

)

( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ))

Pošto važi i za jedinačina je dokazana.