Il campo magnetico B 1Magnetismo naturale

Polo Nord

Terra

Polo Sud

S

SN

N

Sole

Alcuni minerali (es. magnetite, da Magnesia – Tessaglia) attirano il ferro. Aghi calamitati si orientano nel campo magnetico terrestre.

Il campo magnetico B 2Dipoli magnetici

La Terra e le calamite sono dipoli magnetici, con proprietà simili a quelle dei dipoli elettrici; poli opposti si attraggono e concordi si respingono; le

"linee di forza" escono dal polo nord ed entrano al sud

Il polo nord terrestre è il polo sud del dipolo magnetico terrestre

Direzione e verso di B sono indicati da un ago calamitato

Forza magnetica su corrente 3II legge di Laplace

Lo studio quantitativo del campo magnetico B comincia a partire dal 1800 grazie alle correnti continue prodotte dalla pila di Volta.

Sud

f ∆l

B

NordI

B produce una forza f su un tratto di conduttore ∆l percorso da corrente I

(seconda legge di Laplace)

B∆f ×⋅= lI

Il campo magnetico B("campo di induzione magnetica” ) è l'analogo di E (campo elettrico)

in quanto è il responsabile di azioni di forza

BlIFrrr

×∆=

cba rrr×=

θ

ar

br

cr

θsen modulo cba =

θ

Fr

lr

∆

Br

cbacb =⇒⊥rr

se

cba rrr e a perpend.

0|| se =⇒ acb rr

lBIF ∆= θsen modulo terna di assi cartesiani ortogonali (x,y,z)

x

z

y

a è nella direzione di avanzamento della viteProdotto vettoriale

Forza del campo B

Forza magnetica su corrente 4Convenzioni sui segni

B ∆l

f I

z

x y Nord Sud

La forza è perpendicolare al piano individuato da ∆l e B

Un osservatore orientato piedi-testa come f deve ruotare ∆lin senso antiorario di meno di 180° per sovrapporlo a B.

"regola della mano sinistra" = medio su ∆l, indice su B, pollice su f

Dimensioni di B 5Unità di misura

lunghezzacorrenteforza×

Dimensioni di B =

tesla(T)metroweber

metrosvolt

metrocoulombmetroampere(SI)diunità

22

2

==×

=

=××

=×

=B sjoulenewton

Si usa spesso il gauss = 10−4 tesla

Campo prodotto da corrente 6I legge di Laplace

I

O P

∆B

∆ l

Campo magnetico ∆B prodotto in P da tratto ∆l di corrente I in O(prima legge di Laplace ovvero

legge di Biot-Savart)

3OPOP×∆

=∆lIkB m

∆S

J

∆l Per distribuzione di corrente J

lSVconVk ∆⋅∆=∆∆×

=∆ 3mOP

OPJB

La costante magnetica 7Permeabilità magnetica

Il valore di km è legato alla scelta della unità di

corrente/carica [ ] [ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ] 2

72m A

N10−==⋅×

==If

Il

lIf

IlBk

La costante magnetica si esprime solitamente

mediante la permeabilitàmagnetica del vuoto µ0

( )πµ4A

N 0m2

7m0

−ππ 1044 === kkµ

( ) 22

216

2

2

22

2

2

0000m

e

109

/

144

1

csm

sm

sCN

CmN

kk

≈≈

≈

=

⋅

==⋅=µεµ

ππε

Il rapporto costante elettrica / costante magneticaè indipendente dalla

scelta dell'unitàelettrica

[ ] [ ]BlIFBlIF ∆=⇒×∆=rrr

La forza su fili definisce completamente B

[ ]LunghezzaCorrente

Forza di dimensioni⋅

=⇒

∆

=⇒ B lI

FB

Si definisce il Tesla,unità di misura di B m 1A 1

N 1 T 1⋅

= Esempi: Elettromagnete B ≈ 2 TFerromagnete B ≈ 0.2 TCampo magnetico terrestre ≈ 10-4 T

Si usa anche il Gauss: 1 Gauss = 10-4 T

LBIdlBIdlBIdFFfilofilofilo

==== ∫∫∫ θsen I

Fr ld

r

L

Simbologia:Campo entrante nel foglioCampo uscente dal foglioForza totale su filo rettilineo in

campo magnetico uniforme e perpendicolare al filo

B costante, θ = π/2, sen θ = 1F diretta verso sinistra

Br

rI

Forza sul tratto rettilineo: direzione entrante nel piano

BLIF =1

Forza sul tratto semicircolare: direzione uscente dal piano; dato che dl = r dθ e che l’angolo da da 0 a π percorrendo il semicerchio si ha

direzione entrante nel pianodirezione uscente dal piano

[ ] LBIrBIrBIdsenrBIdlsenBIFosemicerchi

==−=== ∫∫ 2cos 00

2π

π

θθθθ

Br

x

y

L

0

r

I

O

1Fr

2Fr

ldrθθ θdld

r

θ

Esempio: forza totale su un circuito semicircolare in campo magnetico uniforme, come in figura

diretto come xraggio del semicerchiocorrentetratto di filo infinitesimoangolo tra la direzione di dl e quella di B

uguale e opposta alla precedente. Quindi la forza totale è nulla.Sarà possibile però un moto di rotazione (coppia di forze e momento meccanico)

Spira di corrente 8B assiale

Campo lungo l'asse di una spira circolare di corrente

dϕ

Ids r

dB(P)

ϑ

R

O

P(z)

dBz

ϑ

x

y

z 22 zRr +=

22cos

zR

RrR

+==ϑ

( ) ϕπ

µϕπ

µ

ϑϕπ

µϑ

dzR

IR

zR

RzR

RdIr

rRdIPddB

322

20

22220

30

z

44

cos4

cos)(

+=

++=

=⋅

=⋅= B

( )322

20

2 zR

IRBz

+=

µ

Spira: momento magnetico 9Dipolo magnetico

Il campo al centro della spira è inversamente proporzionale al raggio R

( ) ( )3

mag03

20

00

22

20

22

2

2zz

RIRI

zR

IRB

Rz

z

z

π

µ

ππµ

µµ

=≈ →

= →⇒

+=

>>

=

3 m

A grande distanza dalla spira il campo magnetico è inversamente propor-zionale al cubo della distanza (z) dal centro della spira e direttamente

proporzionale al prodotto della corrente (I) per l’area della spira (πR2).

( )magmmagneticomomentospiraareacorrente ≡×

Dipolo elettrico e dipolo magnetico si estinguono con il reciproco del cubo della distanza

Dipolo magnetico 10Confronto con dipolo elettrico Dipolo elettrico e dipolo magnetico sono differenti

N

S

E B

Le linee di forza elettriche escono

dalle cariche positive ed entrano in quelle negative

Manca l'equivalente di "carica" localizzata nel caso magnetico: le linee di forza sono continue attraverso il dipolo.

Filo percorso da corrente 11Formula di Biot-Savart

Campo in punto P a distanza R da un filo indefinito percorso da corrente I

z + dz

ϑ

dϑ

OR R

dz

r

O

dB(P)

PP

I

dz×r

RI

RdI

rdzrIPB

πµϑϑ

πµ

ϑπ

µ

π

π 2cos

4

cos4

)(

02/

2/

0

30

==

==

∫

∫

−

∞

∞−

ϑϑϑ

ϑ

2cos

tancos

dRdz

Rz

Rr

=

=

=z

Filo percorso da corrente 12Regola della mano destra

Le linee di forza di B sono cerchi concentrici attorno al filo e vale la "regola della mano destra"

B ∝ ∆l × OP

B∝1/distanzaI

P

O ∆l

Pollice nel verso della corrente ⇐⇒ le dita

chiuse seguono B

La divergenza di B è nulla 13B solenoidale

Le linee di B prodotte dal filo indefinito sono anelli chiusi ⇒ B è un campo solenoidale, ossia a divergenza nulla 0

0

=⋅∇

=⋅∫B

nBS

dS

Il risultato è subito dimostrabile per fili indefiniti normali al

piano del disegno, ma è vero in generale come conseguenza

formale della legge di Laplace.

B

Qualunque siano le correnti, le linee di B sono sempre chiuse (mancano sorgenti o pozzi)

La circuitazione di B 14Il caso del filo indefinito

La circuitazione di B prodotto da filo indefinito percorso da corrente lungo linea chiusa

appartenente al pino del disegno normale al filo ≡≡ lavoro di B lungo una linea chiusa e orientata C

B

R

C

dldϕ

IRdRId 0

2

0

0

C 2µϕ

πµπ

∫∫ ==⋅ lB

La circuitazione di B è indipendente da R !!!

Corrente concatenata 15Il risultato vale per qualunque linea chiusa che concatena la

corrente. Il contributo di un tratto di C dipende solo dall’angolo dϕ

sotto cui è vista da I

dlB

R

dϕ

ϕC

IRdRId 0

2

0

0

C 2µϕ

πµπ

=⋅=⋅ ∫∫ lB

B

dl

dϕ

ϕ0

B

dl'

A

B

Se C non concatena la corrente la circuitazione di Bè nulla. L'integrale da A a B (lungo il verso positivo di C) è proporzionale a ϕ0, quello

da B ad A a −ϕ0.

Teorema di Ampère 16Fili di correnteLa circuitazione di B lungo

una linea chiusa C è uguale a µ0 per la somma delle

correnti concatenate con C I

C

C I I IcC

'∑ = −1 2

I3

I2

I1 I4

I3

∫ ∑=⋅C

c CId '0µlB

Teorema di Ampère 17Densità di corrente

Nel caso di correnti non filiformi di densità J, la corrente concatenata è pari al flusso di J su una qualunque superficie

appoggiata su C e orientata secondo la regola della mano destra (dita lungo verso positivo di C, pollice nella direzione positiva della

normale ad S)

∫ ∫ ⋅=⋅C S

dSd nJB 0µl

C

dlJ

J

n

B

n

J J

S

Teorema del rotore

B(0,dy/2)

B(0,−dy/2)

B(−dx/2,0)B(dx/2,0)

x

y

( )y

Bx

Bdydx

yB

dxdyx

B

dxdyBdyBdydxBdxB

dydyBdydxBdxdyBdydxBd

xyxy

xxyy

xyxyC

B

∂∂

∂

∂

∂∂

−∂

∂=

=

−−

−

−−

=

=

−+

−−

−

=⋅∫

22

2222l

Circuitazione e rotore 18

22

dSdS kB ⋅×∇=−=

La circuitazione lungo un quadrato elementare nel piano xy è uguale al

flusso del rotore attraverso la superficie del quadrato. La somma

delle circuitazioni su quadrati adiacenti è pari alla somma dei

flussi e alla circuitazione sul perimetro complessivo.

Circuitazione e rotore 19Forme integra-le e puntualeLa circuitazione di B lungo una linea chiusa qualunque C è sempre ugua-le al flusso di rotB su S a contorno C ; per il teorema di Ampère tale circuitazione è pari al flusso per S della densità di corrente (concatenata)

( )∫ ∫∫ ⋅=⋅×∇≡⋅C SS

dSdSd nJnBB 0µl

Il teorema di Ampère vale se e solo se gli integrandi degli integrali su S sono uguali (forma puntuale del teorema di Ampère)

JBB 0rot µ=×∇≡

NB. Perché l'integrale di J su S dipenda solo dal contorno C di S è necessario che

Il rotore di un qualunque vettore è sempresolenoidale

0=⋅∇ J

( ) 0rotdiv =×∇⋅∇≡ BB

Il rotore 20Definizione

Il rotore in coordinate cartesiane si esprime mediante lo sviluppo di una matrice 3×3, in modo analogo al prodotto vettoriale

kji

kji

kji

B

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+

∂

∂−

∂∂

=

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

=∂∂

∂∂

∂∂

≡×∇

yB

xB

xB

zB

zB

yB

BByx

BBzx

BBzy

BBBzyx

xyzxyz

yxzxzy

zyx

Applicazioni 21Cavo pieno

0

µπ0 0

2IR

d

2

B1

B

2RR

B

J

Cavo conduttore cilindrico di raggio R e corrente continua complessiva I0

ddI

B

dIdBd

πµ

µπ

2)(

)(2

0

0

=⇒

=⋅=⋅∫ sB

0

02

2

)(

)(conIdIRd

IRddIRd

=⇒>

=⇒<

caso2)(2

)(

caso1)(2

)(

00

200

dI

dIRd

dRIdBRd

πµπµ

=⇒>

=⇒<

Applicazioni 22Corrente su lastra

La lastra indefinita di corrente con densità J e spessore s

J

s l

B

B

J

x

y

zC

( )2

2 00

sJBslJlB µµ =⇒=

B è costante per distanze dalla lastra piccole rispetto alla sua dimensione

Applicazioni 23Solenoide

Solenoide indefinito con n spire di corrente I in un tratto L. Solo il campo interno contribuisce alla circuitazione perché molto maggiore di quello esterno. Il campo del solenoide infinito è omogeneo

( )

lnIBH

lnIB

nIlBB

==

⇓

⋅⋅=

⇓

=

0

0int

0int

ext 0~

µ

µ

µ

B

B

I

l

Forze tra correnti parallele 24Forze tra fili percorsi da correnti

B1 f21 f12

B2

B2

I2I1

∆l1P O

r

z

x

y

1210

21112 2ll ∆=×∆=

rIII

πµBf

correnti equiverse si attiranocorrenti opposte si respingonoL’ampere di corrente è stato

definito grazie alle forze su fili

Forze su spira 25Momento di f

−fb

I

b

a

−fa

x

y z

jf IaB=a

iM ϑsinIabB−=momento delle forze fa e −fa

fa

n

B fb

ϑ

La spira di corrente è libera di ruotare lungo il suo asse

parallelo ad x ( i) in un campo B uniforme

forza su lato lungo a

Il momento delle forze fb è nullo poiché le forze hanno la stessa retta d'azione (braccio nullo)

Energia della spira in B 26Potenziale della spira

Il momento magnetico della spira rettangolare della figura precedente è( )jknm ⋅−⋅== ϑϑ sincosmag IabIab

Definizione generale del momento delle forze →agenti su spira

espressione precedente → i

kjiBmM

ϑ

ϑϑ

sin00

cossin0mag

IabBB

IabIab

−=

=−=×=

( ) ϑcosmag BIabE p −=⋅−= Bm Energia potenziale di un dipolo

( ) ( ) ϑϑϑϑϑϑ

cos''sin'9090

BIabdBIabdME xp −==−= ∫∫°°

L’energia potenziale del dipolo magnetico è il lavoro del momento cambiato di segno

Vista di fronte Vista dall’alto

IBr

Br

Br

x

z

x

y

1Fr 1F

r

2Fr

2Fr

θ

Angolo tra B e la normale alla superficie della spiraθ

1Fr

2Fr

nr

Momento meccanico su una spira

Spira rettangolare di superficie S = a b, con corrente I, immersa in campomagnetico uniforme B diretto come x

Forze sui tratti diretti come x(paralleli a B) : nulle

Forze sui tratti diretti come z(perpendicolari a B) : F1 = F2 = I B b

F1 e F2 hanno direzioni opposte ⇒ coppia di forzemoto rotatorio intorno al punto centrale O

momento meccanico rispetto a O:

θ

θθθ

sen

sen2

2sen2

sen2 21

⋅⋅⋅=⇒

=⋅=+=

BSIM

aIbBaFaFM

Corrente entrante nel foglioCorrente uscente dal foglio

[ ] [ ] mNmA

NmATmA 22 ===⋅⋅= BSIM

2/πθ =

Momento meccanico massimoenergia zeroBSIM =

0=θ

Momento meccanico zero(posizione di equilibrio stabile)

energia minima U = - I S B

Br

o

Br

πθ =o

Momento meccanico zero(posizione di equilibrio instabile)

energia massima U = + I S B

0=U

nrnr

nr

Momento meccanico = corrente · superficie · campo

(N.B la normale n alla spira corrisponde alla regola del cacciavite ruotando secondo la rotazione della corrente)

Energia della spira nel campo magnetico: θcosBSIU −=

(si ricava calcolando il lavoro meccanico per la rotazione della spira)

Motori elettrici: si ottiene lavoro meccanico sfruttando il movimento della spira nelcampo di induzione magnetica, variando nel tempo sinusoidalmente la corrente per

mantenere momento meccanico e rotazione (motori sincroni)