UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES

Annales de sujets dexamen

Volume 5 : Licence 3 Semestre 1

Volumes labors par la commission pdagogique de lUFR dconomie

Avertissements : - Suite au changement de contrat quadriennal, lintitul, le contenu des cours, et par consquent la nature des sujets dexamen ont parfois connu des modifications sensibles partir de lexercice universitaire 2010-2011. Cest pourquoi, dans certaines matires, vous ne trouverez dans les prsents volumes que les sujets de lanne dernire. - Dautres matires ont galement chang de semestre loccasion de la mise en uvre du contrat quadriennal. Cest pourquoi pour une mme matire, il est possible de trouver des sujets dexamen correspondant des semestres de L diffrents. Dans les prsents volumes dannales, les matires sont rparties selon larchitecture du quadriennal actuel. - La thmatique des projets tutors est susceptible de changer chaque anne. Les ventuels documents compils dans ces volumes dannales ne sont donc fournis qu titre indicatif. - Dautres documents pdagogiques du mme ordre (sujets dexamens antrieurs, sujets et corrigs dexercices de TD, dinterrogations de rattrapage) sont susceptibles de se trouver sur les EPI (Espaces Pdagogiques Interactifs) de vos diffrentes matires. Il est donc fortement recommand de consulter rgulirement ces derniers : http://epi.univ-paris1.fr/55125523/0/fiche___pagelibre/&RH=n1sitesEPI&RF=RUB_U02 - Merci, enfin, de lire attentivement le rglement du contrle des connaissances de lUFR dconomie, situ en fin de volume.

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UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES

Annales de sujets dexamen Licence 3 S5 (premier semestre)

Table des matires : Macroconomie : Croissance (sujets et corrigs, p. 5) Statistique Applique (sujets et lments de correction, p. 40) Microconomie applique [option] (sujets, p. 52) Rglement du contrle des connaissances (p. 64)

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Universit Paris 1 PanthonSorbonneMacroconomie L3Cours de K. SchubertPartiel de janvier 2011

Question (8 points)

En quoi le progrs technique est-il un facteur essentiel de la croissance ? Peut-onpenser quil est exogne ? Sil ne lest pas, comment lanalyse conomique explique-t-ellelapparition des innovations ?

Exercice 1 (7 points)

On considre une conomie dans laquelle le stock de capital K et le stock de connais-sances technologiques A voluent de la manire suivante :

_Kt = Yt Ct_At = mYt

o Y et C sont respectivement la production et la consommation agrges, et le coe cientm une constante positive.La fonction de production est :

Yt = bKt (AtL)

1 ; b > 0; 0 < < 1

Lemploi L est constant.Le taux dpargne est constant et gal s.

1) Interprtez le modle. Pour cela, commentez chacune des quations et les hypothsesquelles incorporent, puis indiquez sil sagit dun modle de croissance la Solow ou dunmodle de croissance endogne, en justiant votre rponse.

2) On dnit la variable z = K=A. Montrez que le taux de croissance gK du capi-tal, dune part, et celui gA du stock de connaissances, de lautre, peuvent sexprimer enfonction de z et des paramtres et donnes du problme.

3) Reprsentez sur le mme schma les deux taux de croissance gK et gA en fonctionde z. Pour cela, tudiez si chacun de ces taux est une fonction croissante ou dcroissante,et convexe ou concave de z:

4) Montrez que lconomie reprsente par ce modle admet un sentier de croissancequilibre de long terme. Indiquez comment ce sentier est dtermin. Calculez les valeursstationnaires de z et du taux de croissance de lconomie (on notera ces valeurs z et g).Commentez : quels sont les dterminants de la croissance long terme ? En utilisant leschma de la question prcdente, montrez par un raisonnement graphique que le pointstationnaire est stable. Interprtez la trajectoire de croissance lorsque lconomie partdun niveau bas de z.

5) Quel est le taux dintrt rel dans cette conomie ? Donnez son expression enfonction de z:Interprtez.

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6) On suppose quil existe deux pays, le Nord et le Sud, dcrits par le modle prcdent.Le Nord et le Sud ont la mme technologie, la mme population et le mme taux dpargne,mais des niveaux initiaux dirents de capital physique et de connaissances technologiques: le Nord a initialement la fois plus de capital physique et plus de capital technologique(KN0 > K

S0 et A

N0 > A

S0 ). Le capital physique est mobile dun pays lautre. Partant de

la situation initiale, comment est dtermine son allocation entre les deux pays ?

7) Pourquoi est-il possible que le capital se dplace du Sud vers le Nord ? Commentez.

Exercice 2 (5 points)

On considre une conomie la Solow sans progrs technique dans laquelle le taux decroissance dmographique est donn par :

_LtLt= n+

kt

o Lt reprsente la population, kt le capital par tte, et n et sont des paramtrespositifs Le taux dpargne de lconomie, s > 0, est exogne et constant. Il ny a pasde dprciation du capital. La fonction de production est Yt = F (Kt; Lt) o F est unefonction rendements dchelle constants possdant les proprits habituelles.

1) Reprsenter graphiquement le taux de croissance dmographique en fonction du capitalpar tte et commenter la spcication adopte. Quel phnomne dmographique cettespcication cherche-t-elle reproduire ?

2) Ecrire lquation daccumulation du capital par tte. Eectuer la reprsentationgraphique de cette quation, en adaptant la reprsentation habituelle du modle de Solow.Existe-t-il un tat stationnaire ? Commenter.

3) Etudier graphiquement la stabilit du ou des tats stationnaires et commenter. Que sepasse-t-il quand il nexiste pas dtat stationnaire ?

4) Que se passe-t-il si n = 0 ?

5) On considre maintenant le cas dune fonction de production AK : Yt = AKt avec A >ns: Ecrire lquation daccumulation du capital par tte. Existe-t-il un tat stationnaire ?Si oui, est-il stable ? Si non, comment se comporte cette conomie ? Commenter.

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Macroconomie L3Partiel de janvier 2011Corrig des exercices

Exercice 1

Le modle :

_Kt = Yt Ct_At = mYt; m > 0

Yt = bKt (AtL)

1 ; b > 0; 0 < < 1; L > 0 constant

Ct = (1 s)Yt

1) Interprtation du modle.

Equation daccumulation du capital standard avec taux de dprciation du capitalnul.

A chaque date, production de connaissances proportionnelle la production de biensi.e. le stock de connaissances une date t donne est proportionnel la productioncumule entre 0 et t : learning by doing;

Fonction de production de biens Cobb-Douglas rendements dchelle constants etprogrs technique portant sur le travail, neutre au sens de Harrod.

Modle de croissance endogne : le rendement conjoint des 2 facteurs accumulablesK et A dans la production est constant.

2) On dnit la variable z = K=A. Taux de croissance du capital et du stock deconnaissances :

gK;t =_KtKt

=Yt CtKt

=sYtKt

=sbKt (AtL)

1

Kt= sbK1t (AtL)

1 = sbL1z1t

gA;t =_AtAt=mYtAt

=mbKt (AtL)

1

At= mbKt A

t L

1 = mbL1zt

3)

dgKdz

= ( 1)sbL1z2 < 0; d2gKdz2

= ( 2)( 1)sbL1z3 > 0dgAdz

= mbL1z1 > 0;d2gAdz2

= ( 1)mbL1z2 < 0

gK est donc une fonction dcroissante et convexe de z; tandis que gA est une fonctioncroissante et concave de z: Cf. schma.

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-6

z

gA

gK

z

g

--

4) La direntiation logarithmique de la fonction de production par rapport au tempsdonne :

_YtYt=

_KtKt+ (1 )

_AtAt

Sil existe un sentier de croissance quilibre de long terme le long duquel production etstock de capital croissent au mme taux gK constant, alors lexpression prcdente montreque le stock de connaissance crot aussi au mme taux : gA = gK : On note ce taux g: Lepoint stationnaire est obtenu lintersection des 2 courbes sur le schma prcdent. On a

gK = gA () sbL1z1 = mbL1z () z = sm

Alorsg = sbL1z1 = sbL1

sm

1= sm1bL1

Le taux de croissance de long terme est une fonction croissante du taux dpargne, duparamtre m reprsentant le cacit du learning by doing, de la PGF b et de la taille dela population L (eet dchelle).Le point stationnaire est stable. On voit sur le schma que si z < z alors gK > gA

: le stock de capital crot plus vite que le stock de connaissances, ce qui fait augmenterz = K=A: On se rapproche alors de z: Raisonnement symtrique si z > z:Une conomie partant dun niveau bas de z est une conomie dans laquelle initialement

le stock de connaissances est lev mais qui manque de capital physique pour produire.Ce type dconomie, dans la transition vers le sentier de croissance quilibre o K etA croissent au mme taux, doit accumuler relativement plus de capital physique que deconnaissances.

5) Le taux dintrt rel est la productivit marginale du capital :

rt = bK1t (AtL)

1 = bL1z1t

Cest une fonction dcroissante de z: En eet, plus z est faible plus le stock de capitalphysique est peu abondant relativement au stock de connaissances et plus lconomie doiten accumuler, ce qui est rendu possible par un taux dintrt lev.

6) Il existe deux pays, le Nord et le Sud, ayant la mme technologie, la mme populationet le mme taux dpargne, mais des niveaux initiaux dirents de capital physique et deconnaissances technologiques : le Nord a initialement la fois plus de capital physique etplus de capital technologique (KN0 > K

S0 et A

N0 > A

S0 ). Le capital physique est mobile

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dun pays lautre. Son allocation entre les deux pays est dtermine par les valeursrespectives du taux dintrt rel dans les deux pays : le capital se dplace vers le paysqui le rmunre le plus. Les mouvements de capital entranent lgalisation long termedes taux dintrt au niveau

r = bL1z1 = bL1ms

17) Initialement, on a

rN0 = bL1(zN0 )

1 et rS0 = bL1(zS0 )

1

Le pays qui a le taux dintrt le plus lev est celui qui a le z le plus faible, et cest versce pays que va se diriger le capital physique. Ce qui compte ce nest donc pas le niveauabsolu de K et A dans les deux pays, mais le niveau relatif z = K=A: On sait que le Norda initialement la fois plus de capital physique et un plus grand stock de connaissancestechnologiques que le Sud, mais ceci ne dit rien sur les niveaux relatifs zN0 et z

S0 : Si z

N0 r

S0 et le capital physique se dplacera du Sud vers le Nord.

Exercice 2 (5 points)

Economie la Solow sans progrs technique dans laquelle le taux de croissance dmo-graphique est donn par :

_LtLt= n+

kt1) Cette spcication du taux de croissance dmographique modlise (grossirement) uneet de type transition dmographique : plus les agents sont riches (capital par tte klev) plus la croissance dmographique est faible. Quand k devient trs grand le tauxde croissance dmographique se stabilise un niveau constant n: Quand k tend vers 0 ilest inni (pas plausible ; il faudrait borner cet eet). Cest linverse dun eet malthusiendans lequel le taux de croissance dmographique serait une fonction croissante du revenupar tte.

-

6

k

_LL

n

2) Equation daccumulation du capital, en labsence de dprciation :

_Kt = sF (Kt; Lt)

Do lquation daccumulation du capital par tte kt = Kt=Lt :

_kt =_KtLt Kt _Lt

L2t=sF (Kt; Lt)

Lt_LtLt

KtLt= sf(kt) nkt

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Reprsentation graphique de cette quation :

-

6

- -- ktk

2k

1

sf(kt)

nkt + , n levbnkt + nkt + , n faible

Pour donn, on voit graphiquement quen fonction de la valeur de n il existe 2(pour n faible), 1 (pour une valeur unique de n intermdiaire) ou 0 (pour n lev) tatsstationnaires.1

3) Dans le cas o il existe 2 tats stationnaires, on voit graphiquement que celui corre-spondant au capital par tte le plus lev k2 est stable tandis que lautre est instable.Dans le cas o il nexiste pas dtat stationnaire, quelque soit le niveau initial du

capital par tte la croissance dmographique est trop leve (leet de dilution est tropfort par rapport lpargne par tte), le capital par tte diminue et lconomie seondre long terme, avec k ! 0 et L!1 (de nouveau, trs peu plausible).4) Si n = 0, il existe un tat stationnaire unique k dtermin par f(k) = =s: On peutmontrer graphiquement quil est instable. Si k0 < k (conomie initialement pauvre, la forte croissance dmographique) leet de dilution est toujours trop fort par rapport lpargne et lconomie seondre long terme. Si k0 > k cest linverse : k crot de faonperptuelle tandis que le taux de croissance dmographique tend vers 0 (la population serenouvelle juste).

5) Dans le cas dune fonction de production AK Yt = AKt avec A > ns ; lquationdaccumulation du capital par tte devient

_kt = (sA n) kt

1Remarque : on peut calculer en fonction de le taux n limite pour lequel ltat stationnaire estunique. On obtient pour une fonction de production Cobb-Douglas f(k) = k :

bn() = s(1 )11

1

Cest une fonction dcroissante de :

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-6

- -kt

(sA n)kt

Il existe un tat stationnaire unique, instable (cf. graphique). Si le capital par tteinitial est plus faible que le capital par tte stationnaire, lconomie seondre long terme.Dans le cas contraire, le capital par tte crot perptuellement, son taux de croissance delong terme tendant vers sA n:

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Universit Paris 1 PanthonSorbonneMacroconomie L3Cours de K. SchubertPartiel de janvier 2010

Question (8 points)

Sous quelle forme les modles de croissance rcents incorporent-ils les ides ou encore la connais-sance, et pourquoi le font-ils ? Quelles sont les proprits caractrisant les ides en tant que bienconomique, et quelles sont les implications de ces proprits pour la croissance ?

Exercice 1 : la stagnation malthusienne (7 points)

On considre une conomie agricole dont la fonction de production est

Yt = AtTL1t ; 0 < < 1:

Yt est la production agricole linstant t; Lt lemploi dans lagriculture, assimil la population, Tle stock de terre, disponible en quantit xe et normalis 1 dans la suite de lexercice, et At le stockde connaissances de lconomie.

1) Le stock de connaissances est constant au cours du temps et la population volue au taux n T 0;exogne et constant : _Lt=Lt = n. Donnez lexpression du niveau du revenu par tte yt = Yt=Lt etcelle de son taux de croissance. Que se passe-t-il long terme dans cette conomie ? Expliquez.

2) La population crot toujours au taux n mais le stock de connaissances volue maintenant au coursdu temps de la faon suivante :

_At = L t A

t ; > 0; 0 < < 1; 1:

a) Commentez cette spcication. Que reprsentent les paramtres ; et ? Vous expliquerezplus particulirement la signication des direntes valeurs que peut prendre le paramtre ( = 1;0 < < 1; < 0).b) Donnez lexpression du taux de croissance du stock de connaissances en fonction de la populationtotale et du stock de connaissances, et lexpression du taux de croissance du revenu par tte.c) A quelle(s) condition(s) existe-t-il un sentier de croissance quilibre taux constant ? Quel estalors, le long de ce sentier, le taux de croissance du revenu par tte ? Vous distinguerez dans larponse les cas = 1 et 6= 1 et vous commenterez les dirences entre les sentiers de croissance delong terme obtenus dans les deux cas.

3) Le stock de connaissances est constant mais le taux de croissance dmographique est fonction durevenu par tte :

_LtLt= n(yt); avec n0(yt) > 0; n00(yt) < 0; n(0) = n < 0; lim

yt!1n(yt) = n > 0:

a) Reprsentez graphiquement le taux de croissance dmographique en fonction du revenu par tte.Vous noterez y le revenu par tte pour lequel le taux de croissance dmographique sannule. Com-mentez la pertinence de la spcication retenue.

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b) Ecrivez lquation direntielle reprsentant lvolution au cours du temps du revenu par tte.Donnez une reprsentation graphique de cette quation dans le plan (yt; _yt=yt): Existe-t-il un tatstationnaire ? Si oui, tudiez graphiquement sa stabilit.c) Expliquez quelle sera lvolution de lconomie partir dune situation initiale o la populationL0 est trs faible, de sorte que y0 > y. Que se passe-t-il long terme ? Pourquoi peut-on qualierla situation de long terme de cette conomie de stagnation malthusienne ?4) Le taux de croissance dmographique dpend du revenu par tte, et le stock de connaissances crot taux constant : _At=At = > 0:a) Ecrivez lquation direntielle reprsentant lvolution au cours du temps du revenu par tte.Donnez-en une reprsentation graphique dans le plan (yt; _yt=yt): Existe-t-il un tat stationnaire ?b) Comparez le long terme de cette conomie avec celui dune conomie identique sans accumulationde connaissances (voir la question 3). Commentez. A quelle condition laccumulation de connais-sances permet-elle de sortir de la stagnation malthusienne ?

Exercice 2 : learning by doing et croissance (5 points)

1) On considre une conomie dans laquelle M entreprises identiques (indices par i) ont chacune lafonction de production suivante :

Yit = K1it (AtLi)

o Yit est la production de lentreprise i linstant t; Kit son stock de capital productif, Li lemploisuppos constant. At reprsente le progrs technique, avec

At =MXi=1

Kit = Kt

o Kt est le stock de capital agrg.a) Commentez les hypothses sous-jacentes cette formulation du progrs technique.b) Donnez lexpression de la fonction de production macroconomique. Commentez, en discutant enparticulier des rendements dchelle aux niveaux microconomique et macroconomique.2) On admet que le comportement des consommateurs conduit la relation suivante donnant le tauxde croissance de la consommation :

_CtCt= (rt )

o r est le taux dintrt rel, reprsente llasticit de substitution intertemporelle de la consom-mation et le taux de prfrence pour le prsent des consommateurs.a) Calculez les productivits marginales sociale et prive du capital physique. Sont-elles dcrois-santes ? constantes ? Comparez-les et commentez.b) Que valent les taux de croissance loptimum social (gopt) et lquilibre concurrentiel (geq) ?Comparez-les.c) Que valent les taux dpargne de lconomie, loptimum social (sopt) et lquilibre concurrentiel(seq) ? Comparez-les.3) On choisit = 1 et = 5 %. On talonne le modle de sorte quil fournisse, lquilibreconcurrentiel, geq = 3 %, req = 5 % et seq = 20 %.a) Dduisez-en successivement la valeur du taux de prfrence pour le prsent ; celle du facteurdchelle AL et celle de la part du capital dans la production 1 :b) Calculez enn les grandeurs correspondantes loptimum social, ropt, gopt et sopt. Ces valeursvous semblent-elles plausibles ? Discutez de la pertinence du modle la lumire de ces rsultats.

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Macroconomie L3Partiel de janvier 2010Elments de corrig

Question

Modles de croissance rcents : endognisation du progrs technique. La connaissance est unbien produit intentionnellement laide de ressources (matrielles et humaines).Connaissance, ide : bien conomique particulier, non rival mais potentiellement exclusif (modal-

its de lexclusion : secret, protection par le brevet, droit dauteur).Fonction de production des biens (privs) associs aux ides :

cot xe trs lev cots variables ngligeables cot moyen toujours suprieur au cot marginal prix lev mme si cot marginal faible rendements croissants concurrence imparfaite

Exercice 1 : la stagnation malthusienne

On considre une conomie agricole dont la fonction de production est

Yt = AtTL1t ; 0 < < 1:

Yt est la production agricole linstant t; Lt lemploi dans lagriculture, assimil la population, Tle stock de terre, disponible en quantit xe et normalis 1 dans la suite de lexercice, et At le stockde connaissances de lconomie.

1) Le stock de connaissances est constant au cours du temps et la population volue au taux n T 0;exogne et constant : _Lt=Lt = n.Le revenu par tte est

yt =YtLt= ALt

et son taux de croissance vaut :_ytyt= n:

Si le taux de croissance dmographique est positif, le revenu par tte diminue taux constant et tend long terme vers 0. Ceci provient du fait que la terre est disponible en quantit xe tandis que lapopulation crot. Si le taux de croissance dmographique est ngatif en revanche, le revenu par tteaugmente taux constant. Aucun des deux cas nest convaincant : il manque ce modle un lienentre la croissance de la population et le revenu par tte.

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2) La population crot toujours au taux n mais le stock de connaissances volue maintenant au coursdu temps de la faon suivante :

_At = L t A

t ; > 0; 0 < 1; 1:

a) La production de connaissances _At est dautant plus importante que la population est grande. Si = 1; la productivit du travail dans la production de connaissances est constante, alors quelle estdcroissante si 6= 1; ce qui semble plus pertinent.

reprsente le cacit du processus de production de connaissances. mesure limpact du stock de connaissances existant sur la production de nouvelles connais-

sances. = 1 est le cas envisag par Romer. La production de connaissances augmente avec le stockde connaissances car > 0 (eet standing on shoulders). En outre, le taux de croissance du stockde connaissances est indpendant du niveau de ce stock car = 1 ; autrement dit, la productivitdu stock de connaissances dans la production de connaissances est constante. Dans le cas 0 < < 1leet standing on shoulders est prsent, mais la productivit du stock de connaissances dans la pro-duction de connaissances est dcroissante. Dans le cas < 0; la production de connaissances est unefonction dcroissante du stock de connaissances. Eet dpuisement des opportunits technologiques(shing out).b) Taux de croissance du stock de connaissances et du revenu par tte :

_AtAt

= L t A1t

_ytyt

=_AtAt n:

c) Dans le cas = 1; _At=At = L t et il existe un sentier de croissance quilibre taux constant si

et seulement si Lt est constant, cest--dire si et seulement si le taux de croissance dmographiqueest nul. Dans ce cas, le taux de croissance du revenu par tte est

_ytyt=

_AtAt= L :

Il est toujours positif, fonction de la taille de la population (eet dchelle) et de le cacit duprocessus de production de connaissances.Dans le cas 6= 1; il existe un SCE taux constant si et seulement si L t A1t est constant,

cest--dire si et seulement si le taux de croissance de cette grandeur est nul :

_LtLt+ ( 1)

_AtAt= 0

i.e._AtAt=

1 ndont on dduit

_ytyt=

1 n:

Pour que le taux de croissance du revenu par tte soit positif, il faut que et soient su sammentlevs (productivit du travail et du stock de connaissances dans la production de connaissances pastrop dcroissantes).

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3) Le stock de connaissances est constant mais le taux de croissance dmographique est fonction durevenu par tte :

_LtLt= n(yt); avec n0(yt) > 0; n00(yt) < 0; n(0) = n < 0; lim

yt!1n(yt) = n > 0:

a) Reprsentation graphique du taux de croissance dmographique en fonction du revenu par tte :

6

-

n(y)

n

n

yy

Cette formulation indique que le taux de croissance dmographique est une fonction croissantedu revenu par tte ; il est ngatif quand celui-ci est trs faible, infrieur au niveau y qui permet toutjuste la population de se renouveler, puis devient positif quand le revenu par tte excde y ; il nepeut cependant pas crotre indniment : il existe un maximum biologique n: A y correspond, parla fonction de production, une population L :

L =A

y

1

:

b) Le taux de croissance du revenu par tte est :

_ytyt= n(y):

6

-

_ytyt

n

n

yy

Ltat stationnaire est y: On voit graphiquement quil est stable : si yt < y; _yt=yt > 0 et ytaugmente ; cest linverse si yt > y:.c) On part dune situation initiale dans laquelle la population L0 est trs faible. La fonction de pro-duction indique alors que le revenu par tte est lev. Sil est suprieur y; on a simultanment unecroissance dmographique positive et une baisse du revenu par tte, jusqu ce que lconomie con-verge vers ltat stationnaire (y; L): Cest la stagnation malthusienne : la croissance dmographiqueassocie une technologie dpendant dun facteur xe maintient lconomie dans une trappe.

3

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4) Le taux de croissance dmographique dpend du revenu par tte, et le stock de connaissances crot taux constant : _At=At = > 0: Le taux de croissance du revenu par tte est alors :

_ytyt= n(y):

On distingue deux cas trs dirents (voir gure) : n(y) > 0 8y , n > 0 et n < 0:Dans le premier cas, le taux de croissance du revenu par tte est toujours positif, et il tend longterme vers n: Laccroissement du stock de connaissances se fait un rythme su sant pourque lconomie sorte de la trappe malthusienne. Dans le second cas, laccroissement du stock deconnaissances permet juste de dplacer ltat stationnaire au niveau y > y :

_ytyt= 0, n(y) =

:

A ltat stationnaire, la croissance dmographique est maintenant positive.

6

-

_ytyt

n

n

n

n

yy by

cas n < 0 6

-

n

n n

n

yy

cas n 0

Exercice 2 : learning by doing et croissance

1) On considre une conomie dans laquelle M entreprises identiques (indices par i) ont chacune lafonction de production suivante :

Yit = K1it (AtLi)

o Yit est la production de lentreprise i linstant t; Kit son stock de capital productif, Li lemploisuppos constant. At reprsente le progrs technique, avec

At = a1

MXi=1

Kit = a1Kt

o Kt est le stock de capital agrg et a un paramtre positif.a) Formulation du progrs technique : learning by doing la Arrow.

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b) Fonction de production macroconomique :

Yt =

MXi=1

Yit =

MXi=1

K1it (AtLi) =

MXi=1

KtM

1 a1Kt

L

M

= aLKt:

Les rendements dchelle sont constants au niveau microconomique et croissants au niveau macro-conomique, en raison de lexternalit.

2) On admet que le comportement des consommateurs conduit la relation suivante donnant le tauxde croissance de la consommation :

_CtCt= (rt )

o r est le taux dintrt rel, reprsente llasticit de substitution intertemporelle de la consom-mation et le taux de prfrence pour le prsent des consommateurs.a) La productivit marginale sociale du capital physique est Pms = @Yt

@Kt= aL: Elle est constante.

La productivit marginale prive vaut :

Pmp =@Yit@Kit

= (1 )Kit (AtLi) = (1 )KtM

At

L

M

= (1 )Kt (AtL) :

Elle est dcroissante. Ex post cependant, on a At = a1Kt et

Pmp = (1 )aL:La productivit marginale prive est infrieure la productivit marginale soiale, car lexternalit

nest pas prise en compte par le march et les entreprises sous-estiment donc le rendement de leurinvestissement.b) Taux de croissance loptimum social :

gopt = (ropt ) = (Pms ) = (aL ):Taux de croissance lquilibre concurrentiel :

geq = (req ) = (Pmp ) = ((1 )aL ):

geq < gopt:

Lquilibre concurrentiel est sous-optimal.c) Taux dpargne de lconomie :

s =_K + K

Y=

_K + K

K

K

Y=g +

aL:

On a donc

sopt =gopt +

aL=(aL ) + (1 )

aL

seq =geq +

aL=((1 )aL ) + (1 )

aL:

seq < sopt:

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3) On choisit = 1 et = 5 %. On talonne le modle de sorte quil fournisse, lquilibreconcurrentiel, geq = 3 %, req = 5 % et seq = 20 %.a) On a alors

= req geq= 0; 05 0; 03 = 0; 02 = 2 %

aL =geq +

seq=0; 08

0; 2= 0; 4

1 = req + AL

=0; 1

0; 4= 0; 25:

b) Grandeurs correspondantes loptimum social :

ropt = aL = 0; 4 0; 05 = 0; 35 = 35 %

gopt = (ropt ) = 0; 35 0; 02 = 0; 33 = 33 %sopt =

gopt +

aL=0; 38

0; 4= 0; 95 = 95 %

soit des valeurs manifestement irralistes. Lexternalit est beaucoup trop forte dans ce modle ; elleinduit un cart entre quilibre concurrentiel et optimum social beaucoup trop grand.

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Universit Paris 1 PanthonSorbonneMacroconomie L3 (Magistre, MOSEF, MASS)

Partiel de janvier 2009

Question (8 points)

Que sont les politiques de croissance et en quoi les thories de la croissance endogne leurdonnent-elles des fondements ?

Exercice 1 : modle de Solow avec migration (8 points)

0) Question prliminaire.Rappelez quel est limpact de long terme du taux de croissance de la population dans le

modle de Solow. Quel eet une augmentation de ce taux de croissance a-t-elle long termesur le niveau du revenu par tte, son taux de croissance, les niveaux du salaire rel et du tauxdintrt rel ?

On considre une conomie la Solow ouverte limmigration en provenance du reste dumonde. La population totale de cette conomie la date t est Lt, et son taux de croissance estdonn par

_LtLt= n+mt

o n exogne et constant est le taux de croissance dmographique, et mt = Mt=Lt est letaux dimmigration, Mt dsignant le ux instantan de migrants. On suppose ce ux positif :lconomie considre est riche par rapport au reste du monde, et est donc un pays daccueil. Onsuppose que chaque migrant arrive dans le pays considr avec un capital k donn et constant.It dsigne linvestissement brut, Yt = F (Kt; Lt) la fonction de production ( rendements

dchelle constants), Ct la consommation globale. Lvolution du capital global est dcrite parla relation

_Kt = F (Kt; Lt) Kt Ct + kMto est le taux de dprciation du capital. Il ny a pas de progrs technique.

1) Le seul capital accumul dans le pays provient ainsi de lpargne locale ou des apports desmigrants. Cette hypothse vous semble-t-elle raliste ? Discutez les hypothses faites en matirede mobilit du travail et du capital.

2) On note f(k) la fonction de production par tte et on suppose que lpargne nationale estune proportion s du revenu. Dduisez-en lvolution du capital par tte.

3) On suppose que le taux de migration est constant. Comment la prsence des migrationsaecte-t-elle _k ? Discutez et interprtez selon la position du capital par tte courant kt parrapport k:

4) Reprsentez le diagramme de Solow dans le plank; _k

. Vous reprsenterez la fois la courbe

correspondant au cas sans migration, cest--dire le diagramme de Solow habituel, et la courbe

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correspondant au cas avec migration. Comment le nouveau point stationnaire se situe-t-il parrapport au point stationnaire sans migrations ? Quel est leet des migrations sur le capitalpar tte de long terme ? Est-il identique ce qui se passerait sil ny avait pas de migrationset si le taux de croissance de la population tait n +m ? Quelles en sont les consquences enmatire de revenu par tte ? Interprtez.

5) La fonction dimmigration est maintenant

m(kt) =

0 si kt < k(kt k); avec 0 < si kt < k

Expliquez comment cette spcication dcrit la dcision de migrer, ou non, des travailleurs dureste du monde. Reprenez alors toute lanalyse de la question 4.

6) Discutez en conclusion la manire dont ce modle dcrit limpact des migrations sur lasituation des travailleurs nationaux. Quels mcanismes vous semblent absents du modle ?

Exercice 2 : accumulation de connaissances et croissance (4 points)

On considre une conomie dont la fonction de production agrge de bien nal est :

Yt = F (Kt; AtLY t) = Kt (AtLY t)

1; 0 < < 1 (1)

o Kt est le stock de capital, LY t lemploi dans la production du bien nal et At le stock deconnaissances, linstant t: La population totale est Lt = LY t + LAt; o LAt dsigne lemploidans lactivit de recherche, productrice de connaissances. Le taux de dprciation du capitalest > 0 et le taux de croissance de la population n 0:Lvolution du stock de connaissances au cours du temps est donne par :

_At = LAtAt ; > 0; 1 (2)

1) Commenter lquation (2) dans les cas (a) = 1; (b) 0 < < 1 et (c) < 0:

2) On note = LAtLtla part des chercheurs dans la population totale, avec 0 1; et on

suppose que est constant au cours du temps. Donner lexpression du revenu par tte yt = YtLten fonction de ; du capital par tte et du stock de connaissances, puis lexpression du taux decroissance du stock de connaissances, que lon notera gAt; en fonction de ; de la populationtotale et du stock de connaissances.

3) On se place dans le cas = 1: Que vaut le taux de croissance du stock de connaissances ? Aquelle condition existe-t-il un sentier de croissance quilibre taux constant ? Quel est alors,le long de ce sentier, le taux de croissance du revenu par tte ?

4) On se place maintenant dans le cas 6= 1: Mmes questions.5) Commenter les dirences entre les sentiers de croissance de long terme obtenus dans les deuxcas. Quels sont les dterminants de la croissance ? Quel rle joue sur le taux de croissanceet sur le niveau du produit par tte de long terme ?

2

Page 21

Partiel de janvier 2009Elments de corrig

Question

Les politiques de croissance sont des politiques structurelles. Cf agenda de Lisbonne...Les thories de la croissance endogne mettent laccent sur des mcanismes essentiels pour

la croissance : ducation, innovation, apprentissage.... et sur le fait quils peuvent inuencerle taux de croissance de long terme. Elles montrent aussi que le fonctionnement spontan delconomie nest pas satisfaisant (externalits, concurrence imparfaite...) Elles servent donc debase la dnition de politiques de croissance.Il faut ensuite donner des exemples.

Exercice 1 : modle de Solow avec migrations

0) Question prliminaire.Dans le modle de Solow sans progrs technique, le capital par tte et le produit (le revenu)

par tte sont constants long terme. Avec progrs technique exogne (portant sur le travail),ils croissent au taux de progrs technique . Le taux de croissance de la population na doncaucun eet sur le taux de croissance de long terme du produit par tte.En revanche, il a une inuence ngative sur le capital par tte. La croissance de la population

impose dquiper en capital les nouveaux entrants sur le march du travail. A taux dpargnedonne, cela conduit une baisse du capital par tte de long terme et donc une baisse dusalaire rel, mais une hausse du taux dintrt rel. On parle deet de dilution.Formellement, le capital par tte de long terme kS est dtermin par

f(kS)kS

=n+

s

Comme la productivit moyenne est dcroissante, kS est dautant plus faible que le taux decroissance de la population est lev. Une augmentation de ce taux de croissance diminue doncle revenu par tte de long terme. Le salaire rel et le taux dintrt rel de long terme valentrespectivement

wS = f(kS) kSf 0(kS)

rS = f0(kS)

Le premier diminue quand n augmente (formellement, @wS=@n = kSf 00(kS)@kS=@n), tandisque le second augmente quand n augmente.

1) Les hypothses sont quil ny a pas de mobilit internationale des capitaux, hormis le fait queles migrants arrivent dans le pays daccueil avec leur capital, mais quil y a parfaite mobilitdu travail. Peu raliste. On considre souvent que le capital est plus mobile que le travail.Remarque : on devrait aussi distinguer la mobilit du capital nancier (cest--dire lexistencedun march nancier international) et la mobilit du capital physique.

2) Evolution du capital en niveau (en omettant lindice temporel) :

_K = sF (K;L) K + kM

Page 22

Evolution du capital par tte :

_k =_K

L_L

Lk = sf(k) (n+m+ )k +mk

3) On suppose que le taux de migration m est constant.

_k = sf(k) (n+ )k +m k kSi k < k; la prsence de migrations augmente _k: Cest intuitif : les migrants arrivent avec uncapital par tte suprieur au capital par tte du pays daccueil. Peu raliste : on voit mal alorspourquoi limmigration aurait lieu vers un pays daccueil moins riche que le pays dorigine desmigrants (k tant une estimation du capital par tte dans ce dernier). Si k > k; la prsence demigrations diminue _k:

4) On suppose a priori que le niveau de capital k que les immigrs peuvent apporter est infrieur celui quatteindrait long terme le pays daccueil en labsence de migrations.Plusieurs reprsentations graphiques sont possibles.On peut raisonner sur le diagramme de Solow synthtique, en traant les trois courbes

suggres dans lnonc :_kSolow n

= sf(k) (n+ )k

_kSolow n+m

= sf(k) (n+m+ )k

_kmigr

= sf(k) (n+ )k +m k k = sf(k) (n+m+ )k +mk= _k

Solow n

+mk k = _k

Solow n+m+mk

Ceci permet de situer les direntes courbes, pour chaque niveau de k, sur la gure 1.

-

6

kS k k kS k

_k

_kSolow n

_kmigr

_kSolow n+m

Figure 1

2 Page 23

La valeur stationnaire k du capital par tte dans le modle avec migrations est infrieure celle, kS, du modle de Solow sans migrations, mais suprieure celle, k

S , du modle de Solow

sans migrations mais avec un taux de croissance dmographique gal m+ n.Les migrations augmentent le taux de croissance dmographique et accroissent donc le

phnomne de dilution : il faut quiper en capital les migrants. Mais cet eet de dilution estamoindri par le fait que les migrants apportent du capital. Il ne disparat pas parce que lesmigrants apportent un capital infrieur celui que nit par atteindre le pays dvelopp.On peut aussi mener lanalyse sur la gure 2, plus dtaille, qui distingue lpargne sf(k)

de limpact de la dmographie et de la dprciation, (n+ )k dans le modle de Solow habituel,(n+m+ )k mk dans le modle avec migrations, (n +m + )k dans le modle de Solowavec un taux de croissance dmographique de n+m:Ds lors que k < kS, comme on la suppos, le point stationnaire k

se situe gauche dupoint stationnaire sans migrations kS (k

< kS) La migration diminue le capital par tte delong terme, par rapport au cas sans migration. En revanche, k > kS ; le capital par tte delong terme du cas o il ny a pas de migrations et o le taux de croissance de la population estn+m. La raison en est que les agents qui naissent dans le pays arriventavec un capital nul,tandis que les migrants arrivent avec un capital positif k: Leet de dilution est donc moinsimportant. Ces rsultats se transposent directement en termes de revenu par tte de long terme.

6

-

sf(k)

(n+ )k

k

(n+m+ )k mk

mkk k kS

(n+m+ )k

kS

Figure 2

Enn, on peut mener lanalyse sur la gure 3. Pour construire cette gure, on considre quelpargne par tte en cas de migrations est lpargne domestique sf(k) plus lpargne apportepar les immigrants mk:

3 Page 24

-6

sf(k)

sf(k) +mk

(n+ )k(n+m+ )k

kkSkS

Figure 3

Il est mons facile de voir sur cette dernire reprsentation que k < kS , k < kS:5) La fonction dimmigration est maintenant

m(kt) =

0 si kt < k(kt k); avec 0 < si kt > k

Cette spcication permet de traduire le fait que limmigration na lieu que si le capital partte est plus lev dans le pays daccueil que dans le pays dorigine. Limmigration est dautantplus importante que lcart est grand.Les niveaux de salaire peuvent justier ce mcanisme. Si les deux pays ont la mme fonction

de production, un capital par tte plus lev implique un salaire plus lev. Les travailleursmigrent si le salaire est plus lev dans le pays daccueil, cest--dire si le capital par tte y estplus lev. On peut considrer que k reprsente a priori le capital par tte moyen dans le paysde dpart, qui dtermine le niveau des salaires, mais quil reprsente aussi le niveau de capitalapport en moyenne par chaque migrant.Lvolution du capital par tte est alors :

_k = sf(k) (n+ )k m(k)(k k)=

sf(k) (n+ )k si k < ksf(k) (n+ )k (k k)2; si k > k

De nouveau, on peut donner plusieurs reprsentations de ce modle.

4 Page 25

-6

k

_k

Figure 4

-

6

kSkk k

sf(k)

(n+ )k(n+ )k + (k k)2

Figure 5

On a toujours k < kS:

6) Dans ce problme les migrations ont toujours un eet ngatif sur les travailleurs du paysdaccueil. Bien dautres eets peuvent jouer dans un sens positif. Les migrations peuvent setraduire par larrive de catgories de travailleurs qui font dfaut dans le pays daccueil. Ellespeuvent compenser une tendance la baisse de la population. Pour des motifs qui ne sont passeulement conomiques, une telle baisse nest sans doute pas souhaitable. Larrive de migrantsjeunes peut aussi faciliter le nancement des retraites, mais cet eet positif nest a priori quetemporaire.

Exercice 2 : accumulation de connaissances et croissance

Fonction de production agrge de bien nal :

Yt = F (Kt; AtLY t) = Kt (AtLY t)

1; 0 < < 1

Evolution du stock de connaissances :

_At = LAtAt ; > 0; 1

5 Page 26

La production de connaissances _At augmente avec le nombre de chercheurs. reprsentele cacit de la recherche. mesure limpact du stock de connaissances existant sur la produc-tion de nouvelles connaissances.

1) (a) = 1 : cas envisag par Romer. La production de connaissances augmente avec le stockde connaissances car > 0 (eet standing on shoulders). En outre, le taux de croissance dustock de connaissances est indpendant du niveau de ce stock car = 1 ; autrement dit, laproductivit du stock de connaissances dans la production de connaissances est constante.(b) 0 < < 1 : eet standing on shoulders, mais la productivit du stock de connaissances

dans la production de connaissances est dcroissante.(c) < 0 : la production de connaissances est une fonction dcroissante du stock de

connaissances. Eet dpuisement des opportunits technologiques (shing out).

2) = LAtLtpart des chercheurs dans la population totale, suppose constante au cours du temps.

Revenu par tte :

yt =YtLt=Kt (At(1 )Lt)1

Lt= kt (At(1 ))1

Taux de croissance du revenu par tte :

gyt = gkt + (1 )gAtTaux de croissance du stock de connaissances :

gAt = LAtA1t = LtA

1t

3) Cas = 1:gAt = Lt

Daprs cette expression, il existe un sentier de croissance quilibre taux constant si lapopulation est constante (Lt = L; n = 0). Alors, le long de ce sentier, on a gA = L;gkt = gyt = gy et

gy = gA = L

4) Cas 6= 1: Il existe un sentier de croissance quilibre taux constant si gAt est constant,cest--dire si LtA

1t est constant au cours du temps, cest--dire encore si

_LtLt+ ( 1)gA = 0:

Alors,gy = gA =

n

1 5) Cas = 1 : les dterminants de la croissance sont la productivit de la recherche ; la partdu travail consacr la recherche et la taille de la population L (eet de taille ou dchelle,empiriquement contestable).Cas 6= 1 : les dterminants de la croissance sont le taux de croissance de la population

et non plus son niveau (plus deet dchelle) et le paramtre mesurant limpact du stock deconnaissances existant sur la production de nouvelles connaissances. Plus est lev (cest--dire proche de 1), plus il est facile dinnover et donc plus le taux de croissance est lev. na pas dinuence sur le taux de croissance de long terme. Une hausse de augmente bien court terme la production de connaissances, mais comme < 1 la productivit de ces nouvellesconnaissances est plus faible. A long terme, les deux eets se compensent.Enn, une augmentation de toutes choses gales par ailleurs provoque une baisse du niveau

du produit par tte, car moins de travail est consacr la production.

6 Page 27

Universit de Paris IMacroconomie L3 : la croissance

IUP, Magistre, MASSPartiel de janvier 2006

Question (7 points)

Porte et limites du modle de Solow.

Exercice 1 : progrs technique biais (4 points)

On considre une conomie dans laquelle la fonction de production est une CES :

Y = F (K;L) =haK1

1 + (1 a) (AL)1 1

i 11 1 ;

o Y est la production, K le stock de capital L lemploi et A le progrs technique, exogne.

1) Commentez la forme de la fonction de production. Que reprsentent les paramtres a et ? Que peut-on dire du progrs technique ?

2) Calculez les productivits marginales du capital et du travail. Si lon suppose que laconcurrence est parfaite, que vaut le prix relatif du travail par rapport au capital ? Commentvarie-t-il quand labondance relative de travail L=K augmente ? Interprtez.

3) On dira que le progrs technique est biais en faveur du travail sil augmente la productiv-it marginale du travail davantage que celle du capital (cest--dire le prix relatif du travail parrapport au capital), toutes choses gales par ailleurs. Discutez du biais du progrs techniquedans ce modle, en fonction de la substituabilit des facteurs de production. Commentez.

Exercice 2 : croissance par innovation et par imitation (9 points)

On considre une conomie dans laquelle lemploi total L; constant, peut tre consacr laproduction (LY ) ou la recherche (LA) :

L = LY + LA

On note A =LALla part de lemploi dans la recherche dans lemploi total.

La fonction de production est trs simple :

Y = ALY

o A est le stock de connaissances technologiques.Lquation daccumulation des connaissances scrit :

_A = LAA; > 0

1) Rcrivez les deux quations prcdentes en utilisant A et interprtez le modle. Quereprsente ?

Page 28

2) On suppose tout dabord que A est constant. Quel est le taux de croissance du produitpar tte y dans cette conomie ?

3) On suppose maintenant qu une certaine date lconomie dcide de consacrer davantagede ressources la recherche : A augmente. Que devient le taux de croissance du produit partte ? Que devient, linstant ; le niveau du produit par tte ? Reprsentez graphiquementlnAt en fonction du temps t et ln yt en fonction du temps t; en indiquant ce qui se produit linstant : Commentez.

4) On sintresse maintenant non plus un seul pays mais deux pays, 1 et 2. Ces deuxpays sont supposs de mme taille (mme L). Les parts de lemploi dans la recherche dans lesdeux pays sont notes A;1 et A;2 =

LA;2L; et on fait lhypothse A;1 > A;2:

Les fonctions de production des deux pays sont identiques :

Y1 = A1LY;1; Y2 = A2LY;2

Le pays 1 est le leader technologique : cest dans ce pays que lactivit dinnovation alieu. Le pays 2 est suiveur ; il ninnove pas mais imite les technologies mises au point dans lepays 1. On a donc A1 > A2 8t. Les quations daccumulation des connaissances des deux payssont alors direntes :

_A1 = LA;1A1; _A2 =

A1A2

LA;2A2; > 0; 0 < < 1

Comment peut-on interprter le terme A1A2

dans lquation daccumulation des con-

naissances du pays 2 ? Reprsentez graphiquement ce terme en fonction de A1=A2; lcarttechnologique entre les deux pays.

5) Que valent les taux de croissance du produit par tte dans les deux pays ? Reprsentezgraphiquement ces taux de croissance en fonction de lcart ttechnologique.

6) Que vaut le taux de croissance de lcart technologique ? On suppose quinitialementlcart technologique est trs important. Comment va-t-il voluer au cours du temps ? Pourquoiva-t-il converger vers une valeur stationnaire, et quelle est-elle ?

7) Donnez lexpression du niveau du revenu par tte dans les deux pays, puis du rapportde ces revenus par tte en fonction de lcart technologique. Le leader technologique a-t-ilforcment un revenu par tte plus lev que le suiveur ? Commentez.

2 Page 29

Partiel de janvier 2006Corrig des exercices

Exercice 1 : progrs technique biais

Fonction de production CES :

Y = F (K;L) =haK1

1 + (1 a) (AL)1 1

i 11 1

1) Cest une fonction facteurs substituables. a est un paramtre positif de part du capital, est llasticit de substitution du capital au travail, constante comme lindique le nom de lafonction. Les rendements dchelle sont constants. Le progrs technique A porte sur le travail.

2) Productivits marginales du capital et du travail :

@F

@K= a

Y

K

1

et@F

@L= (1 a)A1 1

Y

L

1

Si la concurrence est parfaite le prix relatif du travail par rapport au capital est gal aurapport des productivits marginales :

w

u=@F=@L

@F=@K=1 aaA1

1

L

K

1

Le prix relatif du travail par rapport au capital est dcroissant par rapport labondancerelative du travail L

K: Eet de substitution

3) Le progrs technique est biais en faveur du travail sil augmente la productivit marginaledu travail davantage que celle du capital, toutes choses gales par ailleurs. Dans ce modle :

si > 1 une augmentation de A augmente @F=@L@F=@K

: Donc si K et L sont trs substituables,un PT portant sur le travail est aussi biais en faveur du travail ;

si < 1 cest linverse ; si = 1 (cas Cobb-Douglas), pas de biais.

Exercice 2 : croissance par innovation et par imitation

Lemploi total L; constant, peut tre consacr la production ou la recherche : L =LY +LA. A =

LALest la part de lemploi dans la recherche dans lemploi total, et donc 1 A

la part de lemploi dans la production.

1) Fonction de production :

Y = ALY = A(1 A)LEquation daccumulation des connaissances technologiques :

_A = LAA = ALA; > 0

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reprsente le cacit de la recherche. A A donn, plus est lev plus un nombre donn LAde chercheurs produit une quantit importante de connaissances technologiques.Dans ce modle (sans capital physique), le moteur de la croissance est le progrs technique,

endogne. Accumulation des connaissances la Romer 1991.

2) On suppose que A est constant. Produit par tte :

y =Y

L= A(1 A)

Taux de croissance du produit par tte :

_y

y=

_A

A= AL

Ce taux est constant. Il est dautant plus lev que la recherche est e cace, que la part dutravail consacre la recherche est grande et que la taille du pays est grande (eet dchelle).

3) A la date lconomie dcide de consacrer davantage de ressources la recherche :

A augmente. Le taux de croissance du produit par tte, qui est une fonction linaire de

A; augmente galement. Le niveau du produit par tte est y = A(1 A): A linstant ildiminue donc (saut vers le bas), puis il crot un taux plus lev que prcdemment. Donclaccroissement des ressources consacres la recherche provoque la fois un eet de niveaungatif (d la baisse des ressources en travail consacres la production) et un eet de tauxpositif (d lacclration du progrs technique) sur le produit par tte. Formellement, on a :

_A

A= AL, At = A0eALt , lnAt = lnA0 + ALt

etyt = At(1 A), ln yt = lnAt + ln(1 A) = lnA0 + ln(1 A) + ALt

-

6

!!!!

!!!!

t0

lnAt

lnA0

########

-

6

!!!!

!!!!

t0

ln yt

lnA0 + ln(1 A)########

4) On considre deux pays, 1 et 2 de mme taille (mme L). Parts de lemploi dans larecherche dans les deux pays : A;1 et A;2 avec A;1 > A;2:

2 Page 31

Fonctions de production :

Y1 = A1LY;1 = A1(1 A;1)L; Y2 = A2LY;2 = A2(1 A;2)L

Le pays 1 est le leader technologique : il innove. Le pays 2 est suiveur : il imite lestechnologies mises au point dans le pays 1. On a donc A1 > A2 8t. Equations daccumulationdes connaissances :

_A1 = LA;1A1 = A;1LA1; _A2 =

A1A2

A;2LA2; > 0; 0 < < 1

Le terme A1A2

reprsente le cacit de limitation dans le pays 2. Lhypothse sous-

jacente est que plus lcart technologique A1=A2 est grand plus cette e cacit est importante.

-

6

A1=A2

A1A2

1

5) Taux de croissance du produit par tte :

_y1y1=

_A1A1

= A;1L;_y2y2=

_A2A2

=

A1A2

A;2L

_y1y1est constant au cours du temps tandis que _y2

y2ne lest pas. Il est dautant plus lev que

lcart technologique est grand.

-

6

A1A2

A;1L

A;2L

1

_y1y1

_y2y2

A1A2

6) Le taux de croissance de lcart technologique est

_A1A1_A2A2

= A;1L A1A2

A;2L = A;1L

1

A1A2

A;2

A;1

!

Si initialement lcart technologique est trs important (A1=A2 1), le membre de droite delquation ci-dessus est ngatif et le taux de croissance de lcart technologiqe aussi : lcart

3 Page 32

technologique diminue. Cette diminution se poursuit jusqu ce que le taux de croissance delcart soit nul. Lcart technologique atteint alors une valeur stationnaire :

A1A2

=

A;1

A;2

1

> 1

Plus la part du travail consacre la recherche dans le pays 1 est leve par rapport la partdu travail consacre limitation dans le pays 2, plus lcart technologique stationnaire de longterme est grand.

7) Niveau du revenu par tte :

y1 = A1(1 A;1); y2 = A2(1 A;2)

Rapport des revenus par tte des deux pays :

y1y2=A1A2

1 A;11 A;2

Le leader technologique a donc un revenu par tte plus lev que le suiveur ssi A1A2>

1A;21A;1

cest--dire ssi lcart technologique est plus grand que linverse du rapport des parts de travailconsacres la production dans les 2 pays. Or ceci nest pas ncessairement vrai.En particulier, ltat stationnaire, le leader a un revenu par tte plus lev que le suiveur

ssi

A;1

A;2

1>

1A;21A;1 i.e. A;1(1A;1)

> A;2(1A;2): On peut en dduire une condition surles valeurs respectives de A;1 et A;2 pour que le leader ait un revenu par tte plus lev que lesuiveur ltat stationnaire, mais ce nest pas demand. Le point important et contre-intuitifest que le revenu par tte du leader nest pas forcment plus lev ; consacrer beaucoup deressources linnovation a un eet positif sur le taux de croissance, mais aussi un eet ngatifsur le niveau du revenu puisque a implique de consacrer moins de ressources la production.

4 Page 33

Universit de Paris I3me anne de sciences conomiques

Macroconomie 3 (conomtrie, magistre, MASS)Partiel de mai 2005

QUESTIONS (4 points chacune ; il sera tenu compte de la clart et de la rigueur delexposition bien davantage que de sa longueur.)

1. Expliquer la mthodologie de la comptabilit de la croissance. Quels en sont les principauxenseignements ?

2. En quoi laccumulation de capital humain est-elle un facteur de croissance ?

EXERCICE (12 points)

I. Le tableau suivant donne pour la France la consommation et la FBCF en volume et leursprix, en 1978 et 2003 (source : INSEE, comptes nationaux).

1978 2003consommation (milliards deuros 1995) 486,2 762,3FBCF (milliards deuros 1995) 160,7 276,3prix conso.(base 100 en 1995) 38,5 112,1prix FBCF (base 100 en 1995) 48,8 108,1

Calculer les taux de croissance annuels moyens de la consommation et de la FBCF envolume, et le taux de croissance annuel moyen du prix relatif de la FBCF par rapport laconsommation. Quobserve-t-on ?Les comptes nationaux montrent par ailleurs que le taux dpargne est rest approximative-

ment stable sur la priode 1978-2003. Cet exercice propose un modle de croissance susceptiblede reproduire ces faits styliss, communs lensemble des pays de lOCDE.

II. On considre une conomie dans laquelle existent deux secteurs, un secteur de productiondun bien de consommation (indic par c) et un secteur de production dun bien dinvestissement(indic par i). Les fonctions de production scrivent respectivement dans ces deux secteurs :

Ct = B (Kct ) L1t

It = A Kit

o A et B sont des paramtres positifs, un paramtre compris entre 0 et 1, Kct le stock decapital utilis dans la production de bien de consommation, Kit le stock de capital utilis dansla production de bien dinvestissement, Ct lore de bien de consommation, It lore de biendinvestissement et Lt la population employe linstant t:

1. Interprter ces fonctions de production et les crire en grandeurs par tte (notes avec deslettres minuscules).

2. On note Kt le stock de capital total. Le taux de dprciation du capital est > 0 et le tauxde croissance de la population n > 0: Ecrire lquation daccumulation du capital par tte.

Page 34

3. On choisit le bien de consommation comme numraire et on note pt le prix relatif du biendinvestissement. La concurrence est parfaite, le capital parfaitement mobile entre les deuxsecteurs. On note wt le taux de salaire nominal et ut le cot dusage nominal du capital. Ecrirele programme des entreprises des deux secteurs et donner les conditions doptimalit dcrivantles demandes optimales de facteurs.

4. En dduire une quation reliant le prix relatif du bien dinvestissement et le capital par tteoptimal dans le secteur du bien de consommation.

5. On note gk le taux de croissance du capital par tte utilis dans le secteur du bien deconsommation. Quelle relation (dduite de la question prcdente) lie le taux de croissance duprix relatif du bien dinvestissement et gk ?

6. On note gc le taux de croissance de la consommation par tte. Daprs la fonction deproduction du bien de consommation, quelle relation lie gc et gk ? Commenter, en rfrenceaux faits styliss mis en vidence en I.

7. On admet que le cot dusage nominal du capital vaut :

ut = pt

rt + _pt

pt

o rt est le taux dintrt nominal. Que vaut le taux dintrt, en fonction du taux de croissancedu prix du bien dinvestissement et des paramtres ?

8. On admet que le comportement des consommateurs conduit la relation suivante donnantle taux de croissance de la consommation par tte :

gc = (rt n )

o est llasticit de substitution intertemporelle de la consommation et le taux dactualisation.Trouver alors une seconde relation liant gk et gc: En dduire les valeurs respectives de gk et gcet commenter.

9. A quelle condition, que lon interprtera, les deux taux de croissance sont-ils positifs ? Onsupposera dans la suite cette condition vrie.

10. On admet sans le dmontrer que le capital par tte total kt et ses composantes kct et kit

croissent ds linstant initial au mme taux gk. Que valent alors tout instant le rapport kit=kt(on utilisera lquation daccumulation du capital par tte) et le rapport kct=kt ou, autrementdit, comment seectue le partage du capital entre les deux secteurs ? (On supposera vriela condition sur les paramtres qui assure que les deux rapports sont compris entre 0 et 1.)

11. Donner lexpression de linvestissement par tte it; la consommation par tte ct; le prixrelatif de linvestissement pt et linvestissement par tte en valeur ptit, en fonction de gk;desparamtres du modle et du stock de capital par tte initial k0.

12. On dnit le taux dpargne par st =ptit

ct+ptit: En utilisant la question prcdente, montrer

que lon a :

st =(gk + n+ )

A (1 )(gk + n+ )Commenter.

13. Comment varient gc; gk et _pt=pt quand augmente ? Etudier et interprter le cas particulier = 1:

2 Page 35

Macroconomie 3 (conomtrie, magistre, MASS)Partiel de mai 2005, corrig de lexercice

I. Le taux de croissance annuel moyen de la grandeur x entre 1978 et 2003 est dni par :

TCAM =x2003x1978

125

1

On obtient les valeurs suivantes (le TCAM du prix relatif de la FBCF par rapport la con-sommation tant la dirence entre le TCAM du prix de la FBCF et celui du prix de laconsommation) :

TCAM (%)consommation 1,82

FBCF 2,19prix conso. 4,38prix FBCF 3,23prix relatif -1,15

On observe que les taux de croissance de la consommation et de la FBCF en volume sontdirents, le second tant sensiblement plus lev que le premier, et que le prix relatif diminueau cours du temps.

II.1. La fonction de production dans le secteur du bien de consommation est une Cobb-Douglas rendements dchelle constants, et rendement marginal du capital dcroissant. La fonctionde production dans le secteur du bien dinvestissement est une fonction rendement marginaldu capital constant, de type AK. La condition qui permet une croissance illimite nest doncremplie que dans le secteur du bien dinvestissement.En grandeurs par tte, les fonctions de production scrivent :

ct = B (kct )

it = Akit

2. On a Kt = Kct +Kit et donc en grandeurs par tte :

kt = kct + k

it

Lquation daccumulation du capital scrit _Kt = It Kt; et donc en grandeurs par tte :_kt = it (n+ )kt = Akit (n+ )kt

Page 36

3. Programme des entreprises du secteur du bien de consommation (en grandeurs par tte) :

maxc = ct wt utkct = B (kct ) wt utkctConditions du premier ordre : galits des productivits marginales des facteurs et de leursrmunrations, soit :

B (kct )1 = ut

(1 )B (kct ) = wtProgramme des entreprises du secteur du bien dinvestissement :

maxi = ptit utkit = Aptkit utkitCondition du premier ordre :

Apt = ut

4. On dduit des conditions du premier ordre portant sur le capital lquation suivante, parlimination de ut :

B (kct )1 = Apt

5. Soit gk le taux de croissance du capital par tte utilis dans le secteur du bien de consom-mation. La direntiation logarithmique de lquation prcdente donne :

_ptpt= ( 1)gk

Donc si gk est positif, le prix relatif du bien dinvestissement par rapport au bien de consom-mation diminue (car < 1), ce qui correspond lun des faits que lon cherche reproduire.6. Soit gc le taux de croissance de la consommation par tte. La direntiation logarithmiquede la fonction de production du bien de consommation donne :

gc = gk

Donc gc est infrieur gk (toujours car < 1), ce qui correspond au deuxime fait que loncherche reproduire.

7. Le cot dusage nominal du capital est ut = ptrt + _ptpt

; mais on a galement ut = Apt:

On dduit de ces deux relations le taux dintrt nominal :

rt = A + _ptpt

8. On a :

gc = (rt n )=

A n + _pt

pt

= (A n + ( 1)gk)= (1 )gk + (A n )

2

Page 37

soit une deuxime quation liant gk et gc: On dduit de ces deux quations :

gk =

+ (1 )(A n )

gc =

+ (1 )(A n )

9. Ces deux taux de croissance sont positifs si et seulement si :

A > n+ On suppose dans la suite cette condition vrie. Elle signie que la productivit marginalenette du capital dans le secteur du bien dinvestissement doit tre su samment grande parrapport la somme du taux de croissance dmographique et du taux dactualisation, cest--dire limpatience des agents.10. k; kc et ki croissent tout instant au mme taux gk (on ne le dmontre pas ici mais onladmet). Lquation daccumulation du capital par tte donne alors :

_ktkt= A

kitkt (n+ ), k

it

kt=gk + n+

A

On en dduit :kctkt= 1 k

it

kt= 1 gk + n+

A

11.

it = Akit = A

kitktkt = A

gk + n+

Ak0e

gkt = (gk + n+ )k0egkt

ct = B (kct ) = B

kctkt

kt = B

1 gk + n+

A

k0 e

gkt

pt =B

A(kct )

1 =B

A

1 gk + n+

A

1k10 e

(1)gkt

ptit =B

A

1 gk + n+

A

1(gk + n+ )k

0 egkt

La consommation par tte ct et linvestissement par tte nominal ptit croissent au mmetaux gk:12. Taux dpargne :

st =ptit

ct + ptit

=BA

1 gk+n+

A

1(gk + n+ )k

0 egkt

B1 gk+n+

A

k0 e

gkt + BA

1 gk+n+

A

1(gk + n+ )k0 e

gkt

=A(gk + n+ )

1 gk+n+A

+

A(gk + n+ )

=(gk + n+ )

A (1 )(gk + n+ )

3

Page 38

Le taux dpargne est donc constant, ce qui correspond au 3me fait stylis.

13.@gc@

=2

(+ (1 ))2 (A n ) > 0

@gk@

= (1 )(+ (1 ))2 (A n ) T 0, T 1

@( _pt=pt)

@=

(+ (1 ))2 (A n ) > 0

Quand augmente, les taux de croissance de la consommation et du prix relatif de linvestissementaugmentent, tandis que le sens de variation du taux de croissance du capital dpend de la valeurpar rapport 1 de llasticit de substitution intertemporelle de la consommation.Dans le cas particulier o = 1; on a un rendement marginal du capital constant dans les

deux secteurs, _pt=pt = 0; gc = gk = (A n ); s = gk+n+A : La productivit marginale ducapital dans le secteur du bien de consommation, B; nintervient pas du tout. On retrouve lemodle AK habituel.

4

Page 39

UNIVERSIT PARIS 1 PANTHON-SORBONNE, UFR 02

Licence 3 conomie Dure : 2 heuresStatistiques Appliques Examen de 2nde session, 28 juin 2011

QCM (10 pts)Le premire partie de cet examen consiste en une srie de 5 questions choix multiple. Pour

chaque question, 4 rponses possibles sont proposes. Une seule de ces 4 rponses est correcte.Pour chaque question, choisir la rponse correcte rapporte 2 points. Choisir une rponseincorrecte (ou donner plusieur rponses) retranche un demi point. Ne pas choisir de r-ponse ne rapporte ni ne retranche aucun point. Le total des points obtenus ce QCM nepourra pas tre ngatif.

1 - Un estimateur dun paramtre inconnu est convergent. Cela impliquea) Uniquement quil est forcment sans biais

b) Uniquement quil est forcment de variance minimale

c) Ni forcment lun, ni forcment lautre

d) Forcment les deux

2 - On dispose dun chantillon de N = 9 observations issues dune loi normaleN (,2) o et 2 sont des paramtres inconnus. La moyenne des observations est X = 1.25, et la varianceempirique (non corrige) est de S2 = 4. Un test de H0 : = 0 contre H1 : > 0 aura commeconclusion :

a) H0 est rejet au seuil = 1%

b) H0 est rejet au seuil = 5%, mais pas au seuil = 1%

c) H0 est rejet au seuil = 10%, mais pas au seuil = 5%

d) H0 nest pas rejet au seuil = 10%

3 - On dispose dun chantillon de N observations X1 . . . Xn dune variable alatoire discrtede paramtre dont la fonction de densit est

f (k) = Pr (X = k) =

{k

k!e si k N

0 sinon

Lestimateur de maximum de vraisemblance de sera :

a) = Xnb) = 1/Xn

c) = 1N1

Ni=1

(Xi Xn

)2d) = k/Xn

1Page 40

4 - On souhaite construire un intervalle de confiance bilatral 95 % pour lesprance inconnue dune loi normaleN (,2) dont la variance 2 est connue et gale 1. On se demande quelleest la taille N de lchantillon quon doit collecter. Parmi les valeurs suivantes de N , quelle estla valeur minimale qui assure que la largeur de cet intervalle de confiance sera plus petit que0.2 ?

a) N = 200

b) N = 300

c) N = 400

d) N = 500

5 - Un tudiant choisit une rponse au hasard chacune des 5 questions de ce QCM. Quelle estlesprance du nombre de points total quil va obtenir au QCM ?

a) 0,625

b) 0,842

c) 1,218

d) 1,417

Questions de cours1 - Un estimateur du maximum de vraisemblance est toujours sans biais, mais nest pas forc- (1,5 pts)ment convergent. Est-ce exact ?

2 - Lorsquon effectue un test de niveau quelconque et quon ne rejette pas H0, cela veut-il (1 pts)dire que H1 est fausse ?

3 - Si vous disposez de deux estimateurs sans biais et convergents pour un paramtre dintrt, (1,5 pts)cela veut-il dire que vous avez tout intrt choisir lestimateur dont le calcul est le plus simple,car le choix entre ces deux estimateurs nimpactera pas la qualit de votre estimation ?

Exercice (6 pts)La dure dattente dans un centre dappel peut tre modlise comme une loi exponentielle

de paramtre dont la densit est

fX (x) =

{ex si x 00 sinon

Vous observez un chantillon de taille n = 15 temps dattente dont la moyenne empirique estXn =

103

. On rappelle quune variable alatoire suivant une loi exponentielle de paramtre apour esprance 1

a) crivez les fonctions de vraisemblance et de log-vraisemblance pour cet chantillon.

b) Trouvez lestimateur du maximum de vraisemblance de , et donnez la valeur correspon-dante pour notre chantillon (on supposera que la condition du second ordre est vrifie).

2Page 41

c) On veut tester H0 : = 0 contre H1 : = 1, avec 1 > 0. En vous servant du Lemmede Neyman-Pearson, montrez que le test de plus puissant de notre jeu dhypothses mne une rgion de rejet du type Xn c o c est une constante (on ne demande pas decalculer c pour le moment). Expliquer en une ou deux phrases en quoi la forme de cettergion de rejet a du sens .

d) On peut montrer que, si X suit une exponentielle de paramtre , alors 2n

i=1Xi suitune loi du 2 2n degrs de libert. Utilisez ce fait pour tester H0 : = 0.2 contreH1 : = 0.4 au niveau = 0.01 dans notre chantillon.NB : cette question peut tre rsolue mme si vous navez pas rpondu aux questions pr-cdentes (mais utilisez quand mme les indication donnes dans leurs noncs...).

La distribution normale N (0,1)

Pr[X x] = (x) = x

12pi

ey2/2 dy; (x) = 1 (x)

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.99983.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

3Page 42

La distribution t de Student

Pr[T t] = t

((r + 1)/2)pir (r/2)

1

(1 + x2/r)(r+1)/2dx

Pr[T t] = 1 Pr[T t]

Pr[T t]r 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.6572 1.886 2.920 4.303 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.528 2.84521 1.323 1.721 2.080 2.518 2.83122 1.321 1.717 2.074 2.508 2.81923 1.319 1.714 2.069 2.500 2.80724 1.318 1.711 2.064 2.492 2.79725 1.316 1.708 2.060 2.485 2.78726 1.315 1.706 2.056 2.479 2.77927 1.314 1.703 2.052 2.473 2.77128 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 1.311 1.699 2.045 2.462 2.75630 1.310 1.697 2.042 2.457 2.75040 1.303 1.684 2.021 2.423 2.70450 1.299 1.676 2.009 2.403 2.67875 1.293 1.665 1.992 2.377 2.643

100 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626200 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601500 1.283 1.648 1.965 2.334 2.586

1000 1.282 1.646 1.962 2.330 2.581 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576

4Page 43

UNIVERSIT PARIS 1 PANTHON-SORBONNE, UFR 02

Licence 3 conomie Dure : 2 heuresStatistiques Appliques Examen Partiel, 11 janvier 2011

Veuillez justifier soigneusement vos rponses

Questions de cours1 - Aprs avoir prcis les notion de risque de premire espce et de puissance pour une proc- (1,5 pts)dure de test, noncez le lemme de Neyman-Pearson.

2 - Quelle est la diffrence entre convergence en probabilit et convergence en loi ? Donnez un (1,5 pts)exemple de chaque.

3 - Un estimateur sans biais est-il toujours prfrable un estimateur biais ? Expliquez pour- (1 pts)quoi.

4 - Comme une probabilit doit toujours tre comprise entre 0 et 1, la mme chose doit tre (1 pts)vraie dune densit de probabilit. Est-ce exact ? Justifiez votre rponse.

ExercicesExercice 1 (4 pts)On considre une suite {Zn} de variables alatoires telles que Zn =

ni=1 Yi, o les Yi sont des

variables alatoires indpendantes issues dune loi de Poisson de paramtre . On rappelle quesi X P (), alors E [X] = Var (X) =

1. Calculez E[Znn

]et Var

(Znn

)2. En utilisant lingalit de Bienaym-Chebychev, montrez que Zn

n

p 3. Aurait-on pu montrer plus simplement que Zn

n

p ?

Exercice 2 (7 pts)Vous faites rgulirement la queue au stand des sandwiches au centre Panthon avant le cours deStatistiques. chaque fois, vous avez not le nombre Xi de personnes servies dans un intervallede 10 minutes. Au bout de 12 semaines, vous avez obtenu un chantillon X1 . . . X12 dont lamoyenne empirique est X12 = 6,5 et la moyenne des carrs est 112

12i=1X

2i = 47,8. Vous

pensez que le nombre de personnes servies dans un intervalle de 10 minutes suit une loi dePoisson de paramtre . Pour les proprits de cette loi, on consultera lnonc de lexercice 1.

1. Donnez lestimateur de la mthode des moments de en vous basant sur la moyenneempirique.

2. Trouvez un autre estimateur de la mthode des moments de en vous basant sur les in-formations de lnonc. Est-il numriquement identique celui de la question 1 ? Est-ceun problme ?

1Page 44

chaque fois que vous faisiez la queue au stand des sandwiches, vous avez remarqu quunde vos amis tait 5 places devant vous dans la queue. Vous avez not chaque fois le temps Tiqui sest coul entre le moment o il a t servi et celui o vous avez t servi. Votre bouquinde statistique vous indique que la dure coule jusqu la kme occurrence (NB : on a ici k = 5)dun vnement Poisson de paramtre est une variable alatoire dont la fonction de densit est

fT (t) =

{tk1(k1)!

ket si t 00 sinon

3. Donnez les fonctions de vraisemblance et de log-vraisemblance dun chantillon T1 . . . Tn.4. Donnez lestimateur du maximum de vraisemblance de , et calculez sa valeur observe

lorsque T 12 = 0,84 (NB : le 0,84 correspond 84 % de lunit de temps qui est ici de 10minutes. La vraie dure moyenne est de 8,4 minutes).

5. Montrez que le test le plus puissant de H0 : = 6 contre H1 : = 5 va avoir une rgionde rejet de la forme T n c o c est une constante (on ne demande pas de calculer c).

Exercice 3 (4 pts)Vous disposez de deux chantillons X1 . . . Xnx et Z1 . . . Znz (nx et nz peuvent tre diffrents)issus de lois normales indpendantes : Xi N (x,2x) ; Zi N (z,2z). Les variances 2x et2z sont connues.

1. Donnez la distribution de Xnx Znz, et construisez un test de H0 : x = z contreH1 : x > z se basant sur Xnx Znz au niveau = 5% (vous trouverez un extrait dela table dune N (0,1) en bas de cette page). Que concluez-vous si nx = 40, nz = 80,Xnx = 1,5, Znz = 1, 2x = 1 et

2z = 4 ?

2. Exprimez la puissance du test en fonction de x z (on notera (x) la probabilitquune variable alatoire suivant une loi normale centre-rduite soit infrieure ou gale x). Comment varie la puissance en fonction des variances des deux chantillons ?

DE (bonus) (2 pts)Indiquez rapidement ce quillustre le code R suivant, et dcrivez le graphique quil produit

n=5000moy=rep(NA,n) # On cre un vecteur vide de taille nx=runif(n) # On tire dans une U(0,1)for (i in 1:n) {

moy[i]=mean(x[1:i])}

plot(moy,type="l")

La distribution normale N (0,1) : Pr[X x] = (x) ; (x) = 1 (x)x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2Page 45

lments de correction du partiel

Questions de cours1 - Dans une procdure de test, le risque de premire espce, not , correspond la probabilit de rejeter lhypothse nulle alors que cette dernire est vraie : =Pr (rejet de H0|H0 vraie). La puissance, au contraire, est la probabilit de rejeter H0lorsque cette dernire est fausse : puissance = Pr (rejet de H0|H0 fausse). Cest gale-ment 1 o est le risque de seconde espce : = Pr (non rejet deH0|H0 fausse).

Le lemme de Neyman-Pearson indique que la rgion de rejet L0L1 k o L0 est la

vraisemblance de lchantillon sous H0 et L1 est la vraisemblance de lchantillon sousH1 permet dobtenir la procdure de test la plus puissante pour tout niveau dans le caso les deux hypothses sont des hypothses simples.

2 - On dit quune squence {Xn} de variables alatoires converge en probabilit versune variable alatoire Y (Xn

p Y ) si limn Pr (|Xn Y | > ) = 0 > 0 ; cest--dire que Xn tend devenir identique Y lorsque n grandit.

On dit quune squence {Xn} de variables alatoires converge en loi vers une va-riable alatoire Y (Xn

L Y ) si limn Fn (x) = F (y) o Fn (x) est la fonction derpartition de Xn et F (y) est la fonction de rpartition de Y . En dautres termes, Xntend se comporter de plus en plus comme Y lorsque n augmente (il tend avoir lamme distribution), sans pour autant devenir identique Y comme dans le cas de laconvergence en probabilit.

La loi des grands nombre indique que la moyenne empirique dun chantillon iiddune distribution donne converge en probabilit vers lesprance de cette distribution(Xn

p E [X]). Le thorme Central-Limite quant lui dit que XnE[X]n

L N (0,1)o est lcart-type de la distribution ; cest--dire que la distribution de la moyenneempirique, une fois centre et rduite, va avoir une distribution qui se rapprochera deplus en plus de celle dune variable alatoire Normale centre-rduite.

3 - Non, car il faut galement considrer la variance de lestimateur. On peut prfrerun estimateur biais un estimateur sans biais si ce dernier a une variance sensiblementplus forte (et donc une prcision sensiblement moins grande) que lestimateur biais.LErreur Quadratique Moyenne est une faon de faire un arbitrage biais/variance.Une vocation de la convergence comme critre de qualit dun estimateur rapporte ga-lement les points.

4 - Non, une densit de probabilit doit simplement tre positive ou nulle, et intgrer 1 sur le support de la variable alatoire. On peut parfaitement avoir une densit de pro-

1

Page 46

babilit plus grande que 1. Par exemple, le densit de probabilit dune U(0,1

2

)est de 2.

ExercicesExercice 1On a Zn =

ni=1 Yi, Yi P () et donc E [Yi] = Var (Yi) =

1. On remarque que Znn

= Y n. Il sensuit que E[Znn

]= et que Var

(Znn

)=

n

2. Lingalit Bienaym-Chebychev nous dit que pour toute v.a. X desprance etde variance finies,

Pr (|X E [X]| ) Var (X)2

, > 0

En lappliquant Znn

, on obtient

Pr

(Znn ) n2 , > 0

En passant la limite, on a

limn

Pr

(Znn ) limn n2 , > 0

et donc

limn

Pr

(Znn ) = 0, > 0

Ce qui implique que Znn

p

3. On aurait pu galement remarquer que limnE[Znn

]= et que limnVar

(Znn

)=

0, ces conditions tant suffisantes pour que Znn

p

Exercice 2On a Xi P (), n = 12, X12 = 6,5 et 112

12i=1X

2i = 47,8

1. Lnonc de lexercice 1 indique que E [Xi] = . On peut donc galiser le pre-mier moment empirique Xn au premier moment thorique E [Xi] pour obtenirnotre estimation de . On a donc = X12 = 6,5.

2. Lnonc de lexercice 1 indique galement que Var (Xi). On peut donc gale-ment galiser les second moments centrs pour construire notre estimateur de .Le second moment empirique centr est donn par S2n =

1n

ni=1

(Xi Xn

)2. On

peut remarquer que :

2

Page 47

1n

ni=1

(Xi Xn

)2=

1

n

ni=1

(X2i +X

2

n 2XiXn)

=1

n

ni=1

X2i +1

n

ni=1

X2

n 2

n

ni=1

XiXn

=1

n

ni=1

X2i +X2

n 2X2n

=1

n

ni=1

X2i X2n

Et donc, dans notre cas, on obtient S2n = 47,8 6,52 = 5,55Notre seconde estimation de par la mthode des moments est donc = 5,55Les deux estimations obtenues ne sont pas numriquement identiques, mais onsait par les proprits des estimateurs issus de la mthode des moments quellessont toutes deux des ralisations destimateurs convergents. Donc lun nest pasmeilleur que lautre en ce sens.

Les temps dattente Ti sont de densit

fT (t) =

{tk1(k1)!

ket si t 00 sinon

avec k = 5

3. La fonction de vraisemblance pour notre chantillon scrit comme la densitjointe des donnes, cest--dire comme le produit des densits individuelles :

L (|T1 . . . Tn) =ni=1

(T k1i

(k 1)!keTi

)La fonction de log-vraisemblance est simplement le logarithme de la fonction devraisemblance :

LL (|T1 . . . Tn) = ln (L (|T1 . . . Tn))

=ni=1

ln

(T k1i

(k 1)!keTi

)= (k 1)

ni=1

ln (Ti) n ln ((k 1)!) + nk ln () ni=1

Ti

4. Pour trouver lestimateur du maximum de vraisemblance, on drive la fonction delog-vraisemblance de lchantillon par rapport , puis on lannule. On a

LL (|T1 . . . Tn)

=nk

ni=1

Ti

3

Page 48

En lannulant et en rsolvant pour , on obtient :

=nkni=1 Ti

=k

T n

Notre estimation est donc = 50,84

= 5,95

Bonus si on vrifie la condition du second ordre, cest--dire que

2LL (|T1 . . . Tn)2

= nk< 0

5. Le lemme de Neyman-Pearson dit que, lorsquon souhaite tester une hypothsesimple H0 : = 0 contre une autre hypothse simple H1 : = 1, alors la rglede dcision o on rejette H0 si

L (0|X1 . . . Xn)L (1|X1 . . . Xn) h

permet dobtenir le test uniformment plus puissant tout niveau de notre jeudhypothses.[NB, dans le cours jai donn cette formule avec un k au lieu dunh.] Cette condition est quivalente

LL (0|X1 . . . Xn) LL (1|X1 . . . Xn) ln (h)

Dans notre cas, cela se traduit par

LL (0|T1 . . . Tn) LL (1|T1 . . . Tn) ln (h)

avec 0 = 6 et 1 = 5En soustrayant les deux log-vraisemblances, les lments qui ne dpendent pas de sannulent, et on obtient :

nk ln (0) 0ni=1

Ti nk ln (1) + 1ni=1

Ti ln (h)

nk ln

(01

)+ (1 0)

ni=1

Ti ln (h)

ni=1

Ti ln (h) nk ln

(01

)1 0

T n =1

n

ni=1

Ti ln (h) nk ln

(01

)n (1 0)

O on inverse le signe de lingalit car, dans notre cas, 1 0 < 0, et oln(h)nk ln

(01

)n(10) est la constante c.

Exercice 3On a : Xi N (x,2x) et Zi N (z,2z). o 2x et 2z sont connues.

4

Page 49

1. On a Xnx N(n,

2xnx

)et Znz N

(n,

2znz

).

Donc,(Xnx Znz

) N (x z,2xnx + 2znz) On obtient donc une statistiquepivotale pour x z :(

Xnx Znz) (x z)

2xnx

+ 2z

nz

N (0,1)

Nos hypothses de test peuvent se r-crire :H0 : xz = 0 etH1 : xz > 0.Donc, sous H0, (

Xnx Znz)

2xnx

+ 2z

nz

H0 N (0,1)

Au vu de notre hypothse alternative, la rgion de rejet va correspondre aux va-leurs leves de notre statistique de test. La valeur critique va tre le 95me per-centile de la N (0,1), cest--dire 1,645 (NB : 1,64 ou 1,65 sont galement cor-rects vu la table). On va donc rejeter H0 si la valeur observe de notre statistiqueest suprieure 1,645.

Avec les valeurs numriques donnes, la statistique observe est de 1,826, et doncon dcide de rejeter H0 au niveau = 0,05

2. La puissance dun test peut se dfinir comme la probabilit de rejeter H0 lorsqueH0 est fausse. Dans notre cas, on a :

Puissance = Pr

(Xnx Znz)2xnx

+ 2z

nz

> 1,645|x z > 0

= Pr

(Xnx Znz) (x z)2xnx

+ 2z

nz

> 1,645 (x z)2xnx

+ 2z

nz

|x z > 0

Pour toutes valeurs donnes de x et z telles que x z > 0, on a(XnxZnz)(xz)

2xnx

+2znz

N (0,1)

La puissance peut donc scrire :

Puissance = 1 1,645 (x z)

2xnx

+ 2z

nz

On constate que la puissance va augmenter lorsque les variances 2x et

2z dimi-

nuent.

DELe code illustre la loi des grands nombre, cest--dire la convergence en probabilit

de la moyenne empirique vers lesprance de la loi. On lillustre ici sur des chantillons

5

Page 50

de taille 1. . . 5000 tirs dune uniforme entre 0 et 1, et dont lesprance est 12. Pour

chaque chantillon on calcule la moyenne que lon sauve en tant qulment dun vec-teur de taille 5000. Enfin, on trace la figure reliant ces moyennes empiriques. On doitobtenir une courbe sloignant de moins en moins de 0,5. Le graphique est donc du typesuivant :

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

Index

moy

6

Page 51

Universit de Paris ILicence dEconomie

Cours de Microconomie (Catherine Sofer et J-P Tropeano)Premire session

Lundi 17 septembre 2011Dure: 3 heures

Exercice 1Un consommateur a une fonction dutilit indirecte v de la forme (1):

v(p1, p2, R) = A(p1, p2)R

o la fonction dutilit directe scrit u(q1, q2), o p1, p2 sont les prix unitaires re-spectifs des biens q1 et q2, R reprsente le revenu du consommateur et A une fonctionquelconque de p1, p2.

1. Donner la dfinition de la fonction v dans le cas gnral. Comment lobtient-on lorsque la fonction dutilit correspondante u est connue ? Donner ses propritsgnrales. (1,5 pt).

2. Quelle est la fonction de dpense correspondant la forme gnrale (1)? Montrerquelle peut se mettre sous la forme e(p1, p2, u) = B(p1, p2)u. (0,5 pt)

3. Montrer que la fonction dutilit indirecte corre