M2 Analyse Arithmétique et Géométrie 2009-2010ecdoct/ecdoct/infos/Plaquette_AAG_09... · Analyse réelle et complexe ... Géométrie algébrique et théorie des nombres : Jean-Benoit

M2 Analyse Arithmétique et Géométrie

2009-2010 Responsable : Nessim SIBONY

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Les résumés peuvent être consultés sur le site : http://webens.math.u-psud.fr/M/Parcours/D5MAAAG.html

Secrétariat : Valérie Blandin-Lavigne, tél. 01 69 15 71 53 – [email protected]

Stages de rentrée : - Yves Laszlo : Algèbre et Géométrie

14. 15. 18. 29. 30 septembre – 1er et 2 octobre de 10h à 12h30 et 14h à 16h30 à l’Ecole Polytechnique - Francois Labourie : Variétés différentielles et formes différentielles

du lundi 21 au vendredi 25 septembre 2009 de 10h-12h et 13h30 -15h30, salle 113-115, bât. 425 - Nessim Sibony : Analyse complexe 16. 17. 23 28 septembre de 10h à 12h et de 14h30 à 16h30, salle 113-115, bât. 425 Les stages se dérouleront sur 3 semaines : du 14 septembre au 2 octobre

Réunion de rentrée : vendredi 2 octobre 2009 à 16h, salle 113-115, bât. 425 Début des cours : lundi 5 octobre 2009 Fin du 1er semestre : vendredi 22 janvier 2010 Début du 2nd semestre : lundi 1er février 2010

1er semestre Géométrie algébrique et théorie des nombres

• J.B. Bost, J. Riou (TD) : Théorie des nombres. (50+25h)

• D. Harari, P. Lorenzon (TD) : Géométrie algébrique. (50+25h)

Topologie, géométrie et systèmes dynamiques

• C. Viterbo, S. Dumitrescu (TD) : Introduction à la géométrie différentielle. (50+25h)

• F. Béguin, S. Lelièvre : Introduction à la théorie des systèmes dynamiques. (60h)

• E. Breuillard : Groupe de travail sur les produits de matrices aléatoires. (20 h)

• V. Kaloshin : Stability vs instability in the Newtonian N(>2) body problem (30h) A partir du 30 octobre Analyse réelle et complexe

• J. Duval, C. Dupont (TD) : Surfaces de Riemann. (50+25h)

• A. Ancona (TD) : Analyse et théorie du potentiel. (50+25h)

Equations aux dérivées partielles

• J.C. Saut : Problème de Cauchy pour les EDP non linéaires dispersives et hyperboliques. Partie 1 (24h)

• N. Burq : Problème de Cauchy pour les EDP non linéaires dispersives et hyperboliques. Partie 2 (24h)

• B. Helffer : Introduction à la théorie spectrale. (30h)

2ème semestre

• J.M. Bismut : Introduction au théorème de l’indice. (30h)

• Yves Benoist : Groupes discrets et applications. (30h) • G. Henniart : Représentations complexes de GL(2, F), F corps p-adique. Cours à l’IHP. (30h)

• L. Fargues : Filtrations des schémas en groupes finis et plats et des groupes p-divisibles. Applications aux espaces de modules. Cours à l’IHP. (30h)

• L. Clozel : Théorie analytique des représentations p-adiques de groupes p-adiques. Cours à l’IHP (30h)

• A. Erschler : Introduction aux groupes infinis. (24h)

• P.H. Chaudouard : Géométrie de la fibration de Hitchin. (20h)

• D. Rossler : Introduction aux courbes de Mumford-Tate. (16h)

• F. Golse : Analyse mathématique des modèles cinétiques. (24h)

• P. Colmez : Représentation p-adiques de GL_2(Q_p). Cours à l’IHP (24h)

• V. Rivasseau : Combinatoire, Polynômes de graphes et théorie des champs. (30h)



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Résumés des cours

M2 AAG – 2009-10

1er et 2nd semestre



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Cours accélérés du 14 septembre au 2 octobre 2009

Yves Laszlo : Algèbre et géométrie – 3ECTS – DMMACC1 Le but de ce cours accéléré est de donner les bases nécessaires d’algèbre-géométrie pour les cours de M2, notamment de géométrie algébrique ou de théorie des nombres. Le programme s’adaptera en fonction de l’auditoire. On privilégiera une approche aussi géométrique que possible, proche de la théorie des schémas. Toutefois, on peut donner d’ores et déjà les points suivants qui seront traités :

- localisation, - techniques noethériennes, - nilpotents, idéaux associés, décomposition primaire, - entiers, théorème de Cohen-Seidenberg, théorème des zéros de Hilbert, - introduction aux faisceaux. Ce cours aura lieu : 14, 15, 18, 29, 30 septembre- 1er et 2 octobre à l’Ecole Polytechnique de : 10h-12h30 et 14h-16h30 François Labourie : Variétés différentielles et formes différentielles – 3ECTS – DMMACC2 - Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses, submersions et immersions. - Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré. - Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères et des surfaces. - Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord et formules de Stokes. - Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan Ce cours aura lieu : 21, 22, 24, 25 septembre de : 10h-12h et 13h30-15h30, salle 113-115, bât. 425 Nessim Sibony : Analyse complexe – 3ECTS – DMMACC3 - Théorie élémentaire des fonctions de plusieurs variables complexes. Equation d-barre. Cohomologie de

Dolbeault - Ensembles analytiques. Théorie des courants.

Ce cours aura lieu : 16, 17, 23, 28 septembre de : 10h-12h et 13h30-15h30, salle 113-115, bât. 425



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Géométrie algébrique et théorie des nombres :

Jean-Benoit BOST, J. RIOU (TD) : Théorie des nombres – 15 ECTS

Volume horaire: 75h DMMA502 – 1er semestre

Résumé : Le but de ce cours est d’abord de présenter quelques notions et théorèmes classiques de la théorie des nombres algébriques. Dans une seconde partie, on donnera une introduction à quelques développements plus récents de la théorie des nombres. Le cours portera sur les points suivants :

- les corps de nombres algébriques et leurs anneaux d’entiers, - valeurs absolues, places, complétions. Corps p-adiques, - théories de Galois des corps valués complets et des corps de nombres, - théorie élémentaire des fibrés vectoriels hermitiens, - introduction aux fonctions zêta et aux fonctions L, - théorie élémentaire des formes modulaires et applications aux formes quadratiques entières, - introduction à la théorie des nombres transcendants : le théorème de Schneider-Lang.

Abstract : The purpose of this course is firstly to present the basic notions and results of algebraic number theory, and secondly to give an introduction to some more recent developments of number theory. The following topics will be covered :

- algebraic number fields and their rings of integers, - absolute values, places, completions ; p-adic fields, - Galois theory of complete valued fields and number fields, - elementary theory of hermitian vector bundles, - introduction to zeta and L-functions, - elementary theory of modular forms. Applications to integral quadratic forms, - introduction to the theory of transcendental numbers : the theorem of Schneider-Lang.

Parcours : M2 Analyse, arithmétique et géométrie Commentaires : Cours fondamental renforcé. Ce cours aura lieu le mardi de 9h30 à 11h30 et de 13h30 à 15h30, et les TD le lundi matin de 10h à12h.



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David HARARI, P. LORENZON (TD) Géométrie Algébrique – 15 ECTS Volume horaire : 52h + 25h TD

DMMA500– 1er semestre

Résumé : Le but de ce cours est de présenter les outils de la géométrie algébrique moderne, et en particulier le langage des schémas. Dans un premier temps, on parlera des propriétés générales des schémas et des morphismes de schémas. Dans une deuxième partie plus géométrique, on introduira les faisceaux de modules et leur cohomologie. On donnera de nombreux exemples en mettant l'accent sur les variétés algébriques et les schémas arithmétiques.

"Algebraic Geometry" (52 hours+26 hours of exercices sessions). Abstract : The goal of this course is to develop the tools of modern algebraic geometry, in particular the language of schemes. The first part is devoted to general properties of schemes and morphisms of schemes. The second part is more geometric: we deal with sheaves of modules with their cohomology. Numerous examples will be considered, in particular algebraic varieties and arithmetic schemes.



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Topologie géométrique et systèmes dynamiques

Claude VITERBO, Sorin DUMITRESCU (TD) : Introduction à la géométrie différentielle – 15 ECTS

Volume horaire : 75h DMMA503 – 1er semestre

Résumé : L'objectif du cours est de donner une formation générale en géométrie différentielle. Les étudiants seront supposés maîtriser le contenu du cours accéléré de géométrie différentielle. On abordera les sujets suivants, ceux marqués d'une (*) étant optionnels: Variétés, formes différentielles, cohomologie de de Rham Groupes de Lie, algèbres de Lie et leur cohomologie Théorème de Frobenius, feuilletages et structures de contact (*) Fibrés vectoriels, connexions, courbure Théorie de Chern-Weil, classes caractéristiques Géométrie Riemannienne: Connexion de Levi-Civita, théorème de Hopf-Rinow. Théorie de Morse, théorie de Lusternik-Shirelman(*), application aux géodésiques. Théorèmes de comparaison (Myers, Bonnet). Classification des métriques à courbure constante. Théorème de Bishop-Gromov.Inégalités isopérimétriques en géométrie riemannienne, en théorie des groupes. Groupes à croissance polynomiale, exponentielle. Les étudiants devront faire un exposé parmi ceux proposés pour valider l'examen. Références: 1) Gallot, Hulin, Lafontaine, Riemannian Geometry, Universitext, Springer-Verlag 2) Chavel, Riemannian Geometry: A Modern Introduction, Cambridge University press. 3) Milnor, Morse theory, Princeton University Press. 4) Milnor, Characteristic classes, Princeton University Pres Commentaires : Les cours auront lieu à l’Ecole Polytechnique, les TD auront lieu le mercredi de 16h à 18h, à Orsay

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C. Viterbo, S. Dumitrescu : Introduction à la géométrie différentielle

Abstract : The goal of this course is to give students a broad view of Differential geometry. The prerequisites are contained in the "fast track" differential geometry course by F. Labourie. The topics marked with (*) are optional. Manifolds, differential forms, de Rham cohomology Lie groups, Lie algebras and their cohomology Frobenius theorem, foliations, contact structures (*) Vector bundles, connexions, curvature. Chern-Weil theory, characteristic classes Riemannian Geometry : Levi-Civita connexion, Hopf-Rinow theorem. Morse theory, Lusternik-Shnirelman theory (*) and applications to geodesics. Comparison theorems (Myers, Bonnet). Classification of constant curvature spaces. Bishop-Gromov's theorem. Isoperimetric inequalities in riemannian geometry and group theory. Groups with exponential and polynomial growth. Students will be required to give a talk on one of the topics from a list that will be communicated after the first lecture. Bibliography: 1) Gallot, Hulin, Lafontaine, Riemannian Geometry, Universitext, Springer-Verlag 2) Chavel, Riemannian Geometry : A Modern Introduction, Cambridge University press. 3) Milnor, Morse theory, Princeton University Press. 4) Milnor, Characteristic classes, Princeton University Press



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François BEGUIN, Samuel LELIEVRE Introduction à la théorie des systèmes dynamiques - 15 ECTS

Volume horaire : 50h+25h TD DMMA504 – 1er semestre

Résumé : Un système dynamique à temps continu est la donnée d'une équation différentielle x'(t)=f(x(t)) ; on cherche alors à comprendre le comportement asymptotique des différentes solutions de cette équation quand le temps t tend vers l'infini, en fonction de leur condition initiale x(0). Un système dynamique à temps discret est la donnée d'une application T : X --> X d'un espace X dans lui-même ; on étudie alors le comportement asymptotique des suites (x(n)) définies par x(n+1)=T(x(n)) en fonction de leur condition intiale x(0). L'intérêt pour la théorie des systèmes dynamiques a explosé dans les années 60-70 quand on a compris : - qu'il existe des systèmes dynamiques très simples qui présentent un comportement extrêmement complexe ("chaotique"), qui semble "aléatoire" ; - qu'un tel comportement "chaotique" peut paradoxalement être "stable" ; - que le comportement de certains systèmes dynamiques est tellement "chaotique" et "aléatoire" qu'on peut en faire une étude statistique. Le but de ce cours est de présenter des classes d'exemples importants de systèmes dynamiques, ainsi que les outils classiques pour les étudier. Nous parlerons par exemple : - des homéomorphismes du cercle qui constituent une des seules classes de systèmes dynamiques dont on comprend bien la dynamique ; - des échanges d'intervalles, qui sont des exemples de systèmes dynamiques très simples à définir, et pourtant encore mal compris à l'heure actuelle ; - des résultats de base de théorie ergodique qui permettent d'étudier les propriétés statistiques d'un système dynamique ; - des flots géodésiques des surfaces à courbure négative, qui jouent un rôle crucial en géométrie, et sont des exemples archétypaux de systèmes dynamiques à la fois "chaotiques" et "stables"; - de la notion de codage (en particulier, via des partitions de Markov) qui constitue un des outils les plus importants pour l'étude des systèmes dynamiques. Bibliographie : - A. Katok, B. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press.

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F. Béguin, S. Lelièvre : Introduction à la théorie des systèmes dynamiques. Abstract : A continuous-time dynamical system is given by a differential equation x'(t)=f(x(t)); one is interested in the asymptotic behaviour of the various solutions to this equation as the time t tends to infinity, depending on the initial condition x(0). A discrete-time dynamical system is given by an map T : X --> X from a space X into itself; one is interested in the asymptotic behaviour of sequences (x(n)) defined by x(n+1)=T(x(n)), depending on the initial condition x(0). Interest in dynamical systems exploded in the 1960s-70s when it was shown that: - very simple dynamical systems can have an extremely complex ("chaotic") behaviour, which appears to be "random"; - such "chaotic" behaviour can paradoxically be "stable"; - the behaviour of some dynamical systems is so "chaotic" and "random" that it is best studied statistically. The aim of this course is to present important classes of examples of dynamical systems as well as the classical tools to study them. We will for instance mention: - homeomorphisms of the circle, a class of dynamical systems whose dynamics is well understood; - interval exchange transformations, which are simple to describe yet still not well understood today; - basic results of ergodic theory, a tool for studying statistical properties of a dynamical system; - geodesic flows on negatively curved surfaces, which play a crucial role in geometry, and are an archetype of dynamics which are at the same time "chaotic" and "stable"; - the notion of coding (in particular via Markov partitions) with which one can study a dynamical system symbolically. Bibliography: - A. Katok, B. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press.



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Emmanuel BREUILLARD :

Groupe de travail sur les produits de matrices aléatoires - 15 ECTS Volume horaire : 20 h

DMMA507A – 1er semestre Résumé : Le but du groupe de travail sera de présenter la théorie des marches aléatoires sur les groupes de Lie semisimples développée depuis les années 60 par Furstenberg, Guivarch, Le Page, Margulis, Raugi, etc…, en vue de comprendre certaines applications récentes (Benoist-Quint, Bourgain-Furman-Lindenstrauss-Mozes) liées à l’analyse harmonique et à la théorie ergodique sur les espaces G gamma.

Working seminar on products of random matrices Abstract : The purpose of this seminar will be to present the theory of random walks on semisimple Lie groups as developed since the 60's by Furstenberg, Guivarch, Le Page, Margulis, Raugi and many others. We hope to cover enough of material to eventually be able to understand recent applications of these tools to harmonic analysis and ergodic theory on G gamma (Benoist-Quint, Bourgain-Furman-Lindenstrauss-Mozes).



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V. KALOSHIN

Stability vs instability in the Newtonian N(>2) body problem – 15 ECTS Volume horaire : 30h

DMMA509A – 1er semestre Abstract: In the course we shall discuss various mathematical tools to analyze stability vs instability for the Newtonian N (>2) Body Problem. Topics include averaging, Nekhoroshev theory, KAM theory, exponentially small splitting, Aubry-Mather theory and its higher dimensional generalizations. Variety of open problems will also be discussed. Prerequisites: ODE, Basic principles of Classical mechanics (see e.g. first 3 sections of chapter 1 of Arnold--Kozlov--Neishtadt book ''Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics'' 3-rd edition). Ce cours aura lieu à partir du 30 octobre 2009.



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Analyse réelle et complexe

Julien DUVAL, Christophe DUPONT (TD) Surfaces de Riemann – 15 ECTS

Volume horaire : 75h DMMA501 – 1er semestre

Résumé : Ce cours traite de la théorie classique des surfaces de Riemann, dont on présentera plusieurs résultats fondamentaux comme les théorèmes de Riemann-Roch et d'uniformisation. Bibliographie : Farkas et Kra, Riemann surfaces, Springer. Forster, Lectures on Rieman surfaces, Springer. Narasimhan, Compact Riemann surfaces, Birkhauser.

Abstract : This course is devoted to the classical theory of Riemann surfaces, including fundamental results as the Riemann-Roch and uniformization theorems.



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Alano ANCONA Analyse et théorie du potentiel – 15 ECTS

Volume horaire : 75h DMMA505A – 1er semestre

Thèmes envisagés (à adapter selon l’auditoire et le rythme du cours) : Résumé : Noyau de la chaleur associé à un opérateur elliptique d’ordre 2 sur Rn ou une variété. Estimées de Schauder locales. Eléments de théorie du potentiel. Cas parabolique et elliptique. Fonctions surharmoniques, potentiels, représentation intégrale, ensemble polaires ou semi-polaires. Applications (dont surfaces de Riemann). Capacité et réduites. Théorème d’Evans-Vasilescu et applications. Mouvements Browniens associés, Problème de Dirichlet. Espaces de Dirichlet. Cas des opérateurs à structure divergence. Abstract : Heat kernel associated to an elliptic operator on Rn or a manifold. Local Schauder estimates. Potential theory. Parabolic and elliptic cases. Superharmonic functions potentials integral representations, polar and semi-polar sets. Applications (in particular Riemann surfaces). Capacity and reduction. EvansVasilescu theorem and applications. Associated Brownian motions. Dirichlet problem. Dirichlet spaces. The case of divergence type elliptic operators



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Equations aux dérivées partielles

Jean-Claude SAUT : Problème de Cauchy pour EDP non linéaires dispersives et hyperboliques. Partie 1 - 7,5 ECTS Volume horaire : 24h

DMMA542B – 1er semestre N. BURQ : Problème de Cauchy pour EDP non linéaires dispersives et hyperboliques. Partie 2 – 7,5 ECTS

Volume horaire : 24h DMMA542D - 1er semestre

Les équations aux dérivées non linéaires dispersives sont une des classes d’équations les plus étudiées actuellement. Parmi elles notons en particulier les équations des ondes et de Schrödinger. Les solutions de ces équations présentent des propriétés de régularité étonnante. Ce cours a pour but d’introduire un riche éventail de techniques permettant de les étudier aussi bien du point de vue de la théorie de Cauchy locale que du point de vue des propriétés dynamiques (explosion, étude en temps longs, etc…) Partie 1 : J.C. Saut Notion de problème de Cauchy bien posé (semi-linéaire (flot régulier), quasi-linéaire (flot pas plus que continu)). Généralités sur les méthodes de compacité (lemmes de Aubin-Lions, J. Simon ; méthode de Bona-Smith : comment récupérer la continuité forte en temps et la continuité du flot). Applications : problèmes hyperboliques quasi-linéaires symétrisables et leurs perturbations dispersives; équation d'Euler. Le flot n'est pas UC. Problèmes "semi-linéaires" via Picard sur Duhamel. Exemples : NLS via Strichartz. KdV (théorie H¹ via les estimations dispersives sur le groupe d'Airy et théorie L² via Bourgain). Benjamin-Ono et KP I ne sont pas semi-linéaires. Benjamin-Ono (théorie H¹ via Tao) Si le temps le permet : blow-up NLS. Partie 2 : N. Burq Equations des ondes dans un domaine borné.

- Estimations de Strichartz. Le cas des données initiales critiques pour l’énergie. - Existence globale. - Scattering à l’extérieur d’un obstacle étoile. - Solutions en grand temps pour des données aléatoires. - Mesures de Gibbs.

L’oscillateur harmonique

- Le cas L2-critique : estimations de Strichartz - Théorie locale déterministe pour l’équation de Schrödinger non linéaire associée. Solutions globales pour

des données aléatoires sur-critiques. - Mesures de Gibbs.



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Bernard HELFFER Introduction à la théorie spectrale – 7,5 ECTS

Volume horaire : 30h DMMA541E - 1er semestre

Résumé : On se propose dans ce cours de présenter la théorie spectrale des opérateurs non bornés en mettant l’accent sur des applications (Opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique ou Problèmes spectraux provenant de la supraconductivité) On présentera en particulier des critères pour qu’un opérateur soit autoadjoint, à résolvante compacte et le principe du MiniMax. On discutera aussi la question du pseudospectre des opérateurs non autoadjoints. Abstract : In this basic course, our aim is to present the standard results in spectral analysis for unbounded selfadjoint operators. The course will be illustrated with applications of the theory to the analysis of problems coming from Solid State Physics (Schrödinger operators with magnetic fields) or superconductivity. In particular, we will discuss the criteria for selfadjointness, maximal accretivity, compact resolvent, and the Minimax Principle. We will also analyze the pseudo-spectrum of non self-adjoint operators.



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Cours du 2nd semestre

Jean-Michel BISMUT Introduction au théorème de l’indice - 15 ECTS

Volume horaire : 30h DMMA511 - 2nd semestre

Résumé : L’objet de ce cours est de donner une introduction aux aspects géométriques du théorème de l’indice. Le cours portera sur les points suivants :

- Géométrie Riemannienne et spineurs. - Classes caractéristiques et théorie de Chern-Weil. - L’opérateur de Dirac sur une variété Riemannienne. - Le théorème de l’indice pour les opérateurs de Dirac. - Application aux variétés complexes et aux espaces localement symétriques.

An introduction to the index theorem

Abstract: The purpose of the course is to give an introduction to the geometric aspects of the index theorem. The following topics will be covered :

- Riemannian geometry and spinors - Characteristic classes and Chern-Weil theory - The Dirac operator on a Riemannian manifold - The index theorem for Dirac operators. - Applications to complex manifolds and to locally symmetric spaces.



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Yves BENOIST

Groupes discrets et applications - 15 ECTS Volume horaire : 30h

DMMA514A - 2nd semestre

Résumé : Ce cours est une introduction aux sous-groupes Zariski denses des groupes semisimples. Le groupe des matrices entières inversibles est un exemple de tel sous-groupe. I – Propriétés générales de ces sous-groupes : - éléments de torsion et complétion profinie - sous-groupes libres et éléments réguliers, - ensemble limite, cône limite et croissance. II – Sous-groupes discrets en rang un : - flot géodésique , exposant critique et comptage III – Construction de sous-groupes discrets en rang supérieur : - groupes engendrés par des éléments unipotents, - produits amalgamés, - holonomies de structures géométriques, - groupes de Coxeter IV – Quelques applications : - cercle d’Appolonius, - pavages en géométrie projective - fractions continues. Abstract : This course is an introduction to Zariski dense subgroups of semisimple groups. The group of invertible integral matrices is an example of such a subgroup. I- General properties of Zariski dense subgroups: - torsion elements and profinite completion, - free subgroups and regular elements, - limit set, limit cone and growth. II- Discrete subgroups in rank one: - geodesic flow, critical exponent and counting. III- Construction of discrete subgroups in higher rank. - groups generated by unipotent elements, - amalgamated products, - holonomy of geometric structures, - Coxeter groups. IV- Some applications - Appolonius circles, - tilings in projective geometry, - continuous fractions.



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Guy HENNIART Représentations complexes de GL(2, F), F corps p-adique – 15 ECTS

Volume horaire : 30h DMMA515A – 2nd semestre

Ce cours aura lieu à IHP de janvier à mars 2010 – 3h par semaine, entre 8 et 10 séances

Dans le cadre du M2 du Master MFA de l'Université Paris-Sud, et de la période spéciale "Galois Theory" à l'Institut Henri Poincaré.

Résumé : Après avoir rappelé les propriétés de base d'un corps p-adique F, et quelques décompositions intéressantes du groupe G=GL(2,F), nous étudions les représentations lisses de G dans des espaces vectoriels complexes, avec le but de présenter une classification des représentations irréductibles, et de décrire pour elles la correspondance de Langlands qui, généralisant la théorie du corps de classes (qui serait le cas de GL(1,F)=F*), les relient aux représentations de dimension 2 des groupes de Galois d'extensions galoisiennes de F. Les notions et propriétés de base seront présentées pour les représentations dans des espaces vectoriels sur un corps quelconque. Nous introduirons le processus d'induction et celui de restriction à la Jacquet, ainsi que le rôle des algèbres de Hecke. Nous analyserons les "séries principales" et dirons comment construire les représentations cuspidales. Connaissances conseillées: Représentations linéaires des groupes finis (par exemple le début du livre de J.P. Serre portant ce titre), rudiments sur les corps p-adiques, souvent traités dans les cours d'arithmétique de niveau M1. Référence de base: The local Langlands conjecture for GL(2), C.J.Bushnell et G.Henniart, Springer.

Complex representations of GL(2,F), F a p-adic field.

Abstract: We first recall the basic properties of a p-adic field F, and interesting decompositions of the group G=GL(2,F). Then we study smooth representations of G on complex vector spaces. Our goal is to get a classification of the irreducible ones, and to describe the Langlands correspondence which relates them to 2-dimensional representations of Galois groups of Galois extensions of F. That correspondence generalizes class field theory, which deals with the group GL(1,F)=F*. Basic notions will be introduced for representations on vector spaces over any field. We shall study the induction process, the Jacquet restriction process, and the rôle of Hecke algebras. We shall analyse principal series representations and give a construction of cuspidal representations. Main reference: The local Langlands conjecture for GL(2), C.J.Bushnell et G.Henniart, Springer.



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Laurent FARGUES Filtrations des schémas en groupes finis et plats et des groupes p-divisibles

Applications aux espaces de modules – 15 ECTS Volume horaire : 30h

DMMA516A – 2nd semestre

Ce cours aura lieu à l’IHP de janvier à mars 2010. Dans le cadre du M2 du Master MFA de l'Université Paris-Sud, et de la période spéciale "Galois Theory"

à l'Institut Henri Poincaré.

Résumé : On commencera par des rappels sur la théorie générale des schémas en groupes commutatifs finis et plats ainsi que les groupes p-divisibles. On décrira ensuite différentes filtrations sur les schémas en groupes finis et plats sur les anneaux de valuation d’inégales caractéristiques : les filtrations d’Abbes-Saito, la filtration de ramification inférieure « naïve » et la filtration de Harder-Narasimhan (ainsi que d’autres filtrations intermédiaires). J’expliquerai ensuite le lien entre ces filtrations dans le cas monogène et comment on peut lire celle-ci sur l’immeuble de Bruhat-Tits pour les espaces de Lubin-Tate. On donnera ensuite des preuves de résultats récents sur les sous-groupes canoniques. Durant le cours, je parlerai également d’application/décomposition de Hodge-Tate, de la théorie cristalline associée aux groupes p-divisibles, d’anneaux de Fontaine et d’isomorphismes des périodes entiers pour les groupes p-divisibles. Abstract : I will first review the general theory of commutative finite flat group schemes and p-divisible groups. Then I will describe different filtrations on finite flat group schemes over unequal characteristic valuation rings : Abbes-Saito filtration, the « naïve » lower ramification filtration and the Harder-Narasimhan filtration (and other intermediate filtrations). I will explain the link between all those filtrations in the monogenous case and how one can read those filtrations on the Bruhat-Tits building for Lubin-Tate spaces. Then I will give proofs of the most recent results on canonical subgroups. Inside the course, I will discuss subjects like Hodge-Tate map/decomposition, crystalline theory of p-divisible groups, Fontaine rings, integral p-adic period isomorphisms for p-divisible groups.



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Laurent CLOZEL Théorie analytique des representations p-adiques de groupes p-adiques – 15 ECTS


Ce cours aura lieu à l’IHP de janvier à mars 2010.

Dans le cadre du M2 du Master MFA de l'Université Paris-Sud, et de la période spéciale "Galois Theory" à l'Institut Henri Poincaré.

Résumé : On exposera les résultats généraux, dus à Schneider, Teitelbaum et al., concernant les représentations des groupes réductifs p-adiques dans des espaces vectoriels topologiques p-adiques.



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Anna ERSCHLER Introduction aux groupes finis – 7,5 ECTS


Résumé : 1. Groupes résolubles: Abéliens, nilpotents, polycycliques,

non-polycycliques. 2. Moyennabilité de groupes. Propriétés de groupes moyennables. Exemples de groupes élémentairement

moyennables. 3. Croissance de groupes. Groupes à croissance intermédiaire.

Propriétés asymptotiques et algébriques de groupes de Grigorchuk. 4. Groupes non-moyennables. Groupes hyperboliques. Propriété T de Kazhdan.

Bibliographie:

1- Daniel Segal, Polycyclic groups. Cambridge Tracts in Mathematics, 82. Cambridge University Press, Cambridge, 1983. 2- Pierre de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000.

Introduction to infinite groups. Abstract :

1. Solvable groups: Abelian, nilpotent, polycyclic, non-polycyclic. 2. Amenability of groups. Properties of amenable groups. Examples of elementary amenable groups. 3. Growth of groups. Groups of intermediate growth. Asymptotic and algebraic properties of Grigorchuk

groups. 4. Non-amenable groups. Hyperbolic groups. Kazhdan's Property T.



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Pierre-Henri CHAUDOUARD Géométrie de la fibration de Hitchin – 7,5 ECTS


Résumé : N. Hitchin a montré que le fibré cotangent à l’espace de modules des fibrés vectoriels stables sur une courbe complexe, projective et lisse est un système hamiltonien complètement intégrable. Pour cela, il introduit un morphisme de ce cotangent vers un espace affine, qui généralise l’opération d’associer à une matrice son polynôme caractéristique. C’est ce morphisme qu’on appelle la fibration de Hitchin. La fibre générique de ce morphisme s’interprète comme la jacobienne d’une courbe « spectrale », qui est un revêtement fini de la courbe de départ. La fibration de Hitchin est au cœur des démonstrations récentes du « lemme fondamental de Langlands-Shelstad » (par B.C. Ngô) et de sa variante pondérée (par Chaudouard-Laumon). Dans ce cours, on explorera, entre autres, les divers aspects géométriques de la fibration de Hitchin qui interviennent dans ces démonstrations. On limitera les prérequis à un cours fondamental de géométrie algébrique. Bibliographie : A.Beauville, M.Narasimhan, and S.Ramanan : Spectral curves and the generalised theta divisor. J. Reine Angew. Math., 398 : 169--179, 1989. I.Biswas and S.Ramanan. :An infinitesimal study of the moduli of Hitchin pairs. J. London Math. Soc. (2), 49(2):219--231, 1994. P.-H. Chaudouard, G. Laumon : Le lemme fondamental pondéré I : constructions géométriques - http://arxiv.org/abs/0902.2684 N.Hitchin. : Stable bundles and integrable systems. Duke Math. J., 54:91--114, 1987. B.C. Ngô. : Fibration de Hitchin et endoscopie. Invent. Math., 164(2):399--453, 2006. B.C. Ngô. Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie http://arxiv.org/abs/0801.0446

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Pierre-Henri Chaudouard : Géométrie de la fibration de Hitchin Abstract : N. Hitchin proved that the cotangent bundle of the moduli space of stable vector bundles on a smooth projective complex curve is a completely integrable Hamiltonian system. To prove this, he introduced a morphism from this cotangent bundle to an affine space . This morphism is known as the Hitchin fibration and its generic fiber is the jacobian of a ``spectral curve'', a finite cover of the base curve. On the other hand, the Hitchin fibration is at the heart of the recent proofs of the ``Langlands-Shelstad fundamental lemma'' (by B.C. Ngo and its weighted version (by Chaudouard-Laumon). In this course, among other things, we shall explore geometric properties of the Hitchin fibration which are used in these proofs. This course will be accessible to students familiar with basic notions in algebraic geometry.



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Damian ROSSLER Introduction aux courbes de Mumford-Tate – 7,5 ECTS


Résumé : Le cours est une introduction à l’article de D. Mumford intitulé « An analytic construction of degenerating curves over complete local rings » (Compositio Math., 24, n°2 (1972), p. 129-174) Cet article décrit un analogue non-archimédien de l’uniformisation de Schottky des surfaces de Riemann. Les prérequis du cours sont une connaissance du langage de la géométrie algébrique schématique (y compris les schémas formels). Si le temps le permet, on survolera aussi l’article « an analytic construction of degenerating abelian varieties over complete local rings » de D. Mumford (Composition Math., 24, n°2, (1972), p.129-174). Bibliographie :

- Illusie, Luc : Grothendieck's existence theorem in formal geometry. With a letter (in French) of Jean-Pierre Serre. Math. Surveys Monogr., 123, Fundamental algebraic geometry, 179--233, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005. - Liu, Qing : Algebraic geometry and arithmetic curves. Translated from the French by Reinie Erné. Oxford Graduate Texts in Mathematics, 6. Oxford Science Publications. Oxford University Press, Oxford, 2002. - Mumford, David : An analytic construction of degenerating curves over complete local rings. Compositio Math. 24 (1972), 129--174. - Raynaud, Michel : Construction analytique de courbes en géométrie non archimédienne (d'après David Mumford). Séminaire Bourbaki, 25e année (1972/1973), Exp. No. 427, pp. 171--185. Lecture Notes in Math., Vol. 383, Springer, Berlin, 1974.

Ce cours aura lieu entre le 1er mars et le 8 mai 2009.



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Damian Rossler : Introduction to Mumford-Tate curves Abstract: The object of this course is to provide an introduction to the article by D. Mumford "An analytic construction of degenerating curves over complete local rings" (Compositio Math. 24, no. 2 (1972), 129--174). This article describes an non-archimedean analog of the Schottky uniformization of Riemann surfaces. An acquaintance with the language of scheme-theoretic algebraic geometry (including formal schemes) is a prerequisite for this course. If there is enough time (which is not likely), we shall also give an overview of the article "An analytic construction of degenerating abelian varieties over complete local rings" by the same author (same journal, same issue), which is a follow-up to the article above.



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François GOLSE

Analyse mathématique des modèles cinétiques – 15 ECTS Volume horaire : 24 h

DMMA 525 – 2nd semestre

Ce cours aura lieu à l’Ecole Polytechnique

Prérequis :

notions de base d'analyse fonctionnelle et d'analyse de Fourier : cf. par exemple les livres de H. Brézis (1) et de C. Zuily (4).

Résumé :

Ce cours est une introduction à l'analyse mathématique des modèles de la théorie cinétique des gaz et des plasmas.

• L'équation de transport: a)méthodes des caractéristiques b)lemmes de moyennes c)lemmes de dispersion

• Les équations de Vlasov : a)le modèle de Vlasov-Poisson : existence, unicité et régularité en dimension 3 (d'après Pfaffelmoser, Lions, Perthame) b)le modèle de Vlasov-Maxwell : existence globale de solutions renormalisées (d'après DiPerna-Lions) ; le critère de régularité de Glassey-Strauss

• L'équation de Boltzmann : existence globale de solutions renormalisées (d'après di Perna-Lions)

Bibliographie :

• H. Brézis : Analyse fonctionnelle et applications, Masson, Paris, 1983

• F. Bouchut, F. Golse, M. Pulvirenti : Kinetic equations and asymptotic theory, B. Perthame et L. Desvillettes (eds) : Series in applied mathematics, Paris, 4. Gauthier-Villars - Editions Scientifiques et Médicales Elsevier, Paris 2000

• R.T. Glassey : The Cauchy problem in kinetic theory : SIAM, Philadelphia 1996

• C. Zuily : Eléments de distribution et d'équations aux dérivées partielles, Dunod, Paris 2002



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Pierre COLMEZ Représentation p-adiques de GL_2(Q_p) – 15 ECTS

Volume horaire : 24 h DMMA 508 - 2nd semestre

Ce cours aura lieu à l’IHP

Résumé : Nous expliquerons comment naviguer entre les représentation p-adiques de GL2(Qp) et les représentations p-adiques de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Qp (premier cas d'une correspondance de Langlands locale p-adique dont le cas général est encore à définir).



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Vincent RIVASSEAU Combinatoire, polynômes de graphes et théorie des champs – 15 ECTS

Volume horaire : 30 h DMMA529A - 2nd semestre

Résumé : On étudiera les rapports entre différents problèmes de combinatoire tels que formules d’arbre ou de forêts et la théorie des champs. On montrera en particulier le rapport des polynômes de Tutte et de Bollobas-Riordan avec les amplitudes de Feynman dans les théories des champs commutatives et non commutatives basées sur le Laplacien, c'est-à-dire le noyau de la chaleur et on montrera comment les généraliser aux théories bâties sur des noyaux de Mehler. Bien qu’ambitieux ce cours ne nécessite pas de connaissances préalables en théorie des champs.

Documents

M2 Analyse Arithmétique et Géométrie 2009-2010ecdoct/ecdoct/infos/Plaquette_AAG_09... · Analyse réelle et complexe ... Géométrie algébrique et théorie des nombres : Jean-Benoit