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1 Chap.17 수치적분 CAE 기본개념 소개 Chap. 17 Chap. 17 수치적분 수치적분 (Numerical Integration) (Numerical Integration) 수치적분 개요 사다리꼴 공식 Simpson의 공식 2 Chap.17 수치적분 적분의 개념 b a dx x f ) ( : 구간 [a, b]에서의 f(x) 곡선 아래의 면적 => 특정 구간에서 주어진 물리적 변수의 총량 또는 총 합 의미

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1 Chap.17 수치적분

CAE 기본개념소개Chap. 17Chap. 17 수치적분수치적분 (Numerical Integration)(Numerical Integration)

수치적분 개요

사다리꼴 공식

Simpson의 공식

2 Chap.17 수치적분

적분의개념

∫b

adxxf )(

: 구간 [a, b]에서의

f(x) 곡선아래의면적

=> 특정구간에서주어진

물리적변수의총량또는총

합 의미

Page 2: m17 Integration

2

3 Chap.17 수치적분

적분의응용사례

강물과길로둘러싸인

들판의면적계산

강물의단면적계산 고층건물의측면에부는

바람에의한유효힘계산

4 Chap.17 수치적분

사다리꼴공식 (Trapezoid rule)

[ ] ⇒−

−+−

=∫ )("12

)()()(2

)(3

ηfabbfafabdxxfb

a

사다리꼴공식에서의절단오차

Page 3: m17 Integration

3

5 Chap.17 수치적분

수치적분에서의구간의영향

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=P. 453 예제 17.1

6 Chap.17 수치적분

합성사다리꼴공식

)(...)()(

, ,

1

1

0

0

∫∫∫−

++≈=

==−

=

n

n

x

x

x

x

b

a

n

dxxfdxxfdxxfI

bxaxnabhlet

22

3

13

3 1"12

)()("12

)(n

Efnabf

nabE t

n

iit ∝⇒

−−=

−−= ∑

=

ξ절단오차 : 1차의정확도

Page 4: m17 Integration

4

7 Chap.17 수치적분

합성사다리꼴공식 – M File

function I = trap(func,a,b,n)% I = trap(func,a,b,n):% multiple-application trapezoidal rule.% input:% func = name of function to be integrated% a, b = integration limits% n = number of segments% output:% I = integral estimate

x = a;h = (b - a)/n;s = feval(func,a);for i = 1 : n-1x = x + h;s = s + 2*feval(func,x);

ends = s + feval(func,b);I = (b - a) * s/(2*n);

++= ∑−

=

)()(2)(2

1

10 n

n

ii xfxfxfhI

P. 456 예제 17.2

8 Chap.17 수치적분

Simpson 공식

사다리꼴공식: 구간을나누어데이터점간선형보간기초로면적계산

Simson공식: 구간을나누어데이터점간고차다항식보간기초로면적계산

Simson 1/3 공식: 세점을연결하는포물선아래에있는면적계산

Simson 3/8 공식: 네점을연결하는3차곡선아래에있는면적계산

Page 5: m17 Integration

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9 Chap.17 수치적분

Simpson의 1/3 공식

세점을연결하는 Lagrange 보간다항식 (2차)

)())((

))(()())((

))(()())((

))(()( 21202

101

2121

200

2010

21 xfxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxf

xxxxxxxxxL

−−−−

+−−−−

+−−−−

=

bxhxxaxabhwhere =+==−

= 2010 ,,,2

)(2880

)()(90

)4(5

)4(5

ξξ fabfhEt−

−=−= : 3차의정확도

P. 460 예제 17.3

10 Chap.17 수치적분

합성 Simpson의 1/3 rule

P. 462 예제 17.4

)(180

)(

)(90

)4(4

5

)4(5

ξ

ξ

fnab

fhEt

−−=

−=

4

1n

Et ∝∴

Page 6: m17 Integration

6

11 Chap.17 수치적분

Simpson의 3/8 공식

)())()((

))()(()(

))()(())()((

)())()((

))()(()())()((

))()(()(

3231303

2102

321202

310

1312101

3200

302010

321

xfxxxxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxxxx

xfxxxxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxxxxxL

−−−−−−

+−−−

−−−+

−−−−−−

+−−−

−−−=

bxhxxhxxaxabhwhere =+=+==−

= 302010 ,2,,,3

12 Chap.17 수치적분

Simpson의 3/8 공식

P. 464 예제 17.5

)(6480

)(

)(803

)4(5

)4(5

ξ

ξ

fab

fhEt

−−=

−=

분모비교

Simson의 1/3 공식: 2880Simson의 3/8 공식: 6480

Page 7: m17 Integration

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13 Chap.17 수치적분

Newton-Cotes 의폐구간적분공식

Simpson의 1/3 공식(3 points)과 3/8 공식(4 points)의오차의차수는같음

일반적으로짝수구간(segment) -홀수점(point) 공식을선호

실제공학문제에서합성 Simpson 1/3 공식이널리사용 (정확도는구간늘려서향상)