M103 Linearna algebra 1 - UNIOS · 2018. 6. 11. · M103 Linearna algebra 1 Tema: Linearni operatori 8. 5. 2018. predavac: Darija Markoviˇ ´c asistent: Darija Markovic´

M103 Linearna algebra 1

Tema: Linearni operatori

8. 5. 2018.

predavač: Darija Marković asistent: Darija Marković

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Matrični zapis linearnog operatora

1 Matrični zapis linearnog operatora

M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 2/15




Primjer 2.34.

Neka je V = LuM pri čemu je dimL = k i dimV = n. Znamo datada svaki vektor x ∈ V ima jedinstven zapis u oblikux = a+ b, a ∈ L, b ∈M. Neka je sada preslikavanje P : V → Vdefinirano formulom

Px = a.

P se zove projektor na potprostor L u smjeru potprostora M .

Primjer 2.35.Pogledajmo operator deriviranja

D ∈ L(Pn), Dp = p′

na prostoru polinoma Pn.





Napomena 2.36.

Za A ∈ L(V,W ) pišemo

[A]fe = [αij ] ∈Mmn.

Sjetimo se baze {Eij : i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n} prostora L(V,W )koju smo konstruirali u dokazu teorema 2.27. Lako se vidi da u toj bazioperatoru A pripada rastav

A =

m∑i=1

n∑j=1

αijEij ,

gdje su αij upravo matrični koeficijenti iz matrice [A]fe .





Propozicija 2.37.

Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskih prostoraV i W , neka je x ∈ V i A ∈ L(V,W ). Tada je

[Ax]f = [A]fe [x]e.

Propozicija 2.38.

Neka su redom e = {e1, . . . , en}, f = {f1, . . . , fm} i g = {g1, . . . , gl}baze vektorskih prostora V , W i X , neka je A ∈ L(V,W ) iB ∈ L(W,X). Tada za operator BA ∈ L(V,X) vrijedi

[BA]ge = [B]gf [A]

fe .





Napomena 2.39.Isprva se definicija matričnog množenja uvijek čini kao zamršen ineintuitivan koncept. Sad, nakon prethodnih dviju propozicija, vidimostvarnu prirodu te definicije. Matrično množenje je, zapravo, i definiranotako kako jest upravo zato da bismo imali pravila računanja kakva suiskazana u prethodnim dvjema propozicijama.





Propozicija 2.40.

Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskih prostoraV i W , te neka je A ∈ L(V,W ). Tada je

r(A) = r([A]fe ).





Korolar 2.41.

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka je e = {e1, . . . , en}baza za V . Tada je

Φ : L(V )→Mn(F), Φ(A) = [A]ee

izomorfizam algebri.

Korolar 2.42.

Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e = {e1, . . . , en} baza za V .Operator A ∈ L(V ) je regularan ako i samo ako je [A]ee regularnamatrica.





Teorem 2.43.

Neka je A ∈ L(V,W ) i neka su e = {e1, . . . , en}, e′ = {e′1, . . . , e′n} tef = {f1, . . . , fm}, f ′ = {f ′1, . . . , f ′m} po dvije baze prostora V ,odnosno W . Neka su operatori T ∈ L(W ) i S ∈ L(V ) definirani nabazama f , odnosno e, s

Tfi = f′i , i = 1, . . . ,m,

iSej = e

′j , j = 1, . . . , n.

Tada je[A]f

′

e′ = ([T ]ff )−1[A]fe [S]

ee





Definicija 2.44.Matrica

[S]ee = [I]ee′ ,

zove se matrica prijelaza iz baze e u bazu e′.

Korolar 2.45.

Neka je A ∈ L(V ), neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvijebaze za V te neka je [S]ee = [I]

ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e

′.Tada je

[A]e′e′ = ([S]

ee)−1[A]ee[S]

ee





Korolar 2.46.

Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , neka je[S]ee = [I]


′. Tada je

([S]ee)−1 = ([I]ee′)

−1,

matrica prijelaza iz baze e′ u bazu e.

Korolar 2.47.

Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , neka je[S]ee = [I]


′. Tada za svaki vektor xiz V vrijedi

[x]e′

= ([S]ee)−1[x]e.





Primjer 2.48.

Neka je e kanonska baza u R2, a e′ = {e′1, e′2}, e′1 = (2,−1),e′2 = (−1, 1). Neka je operator A ∈ L(R2) zadan s

A(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2)

te neka je x = (1, 1). Izračunat ćemo [Ax]e i [Ax]e′.





Definicija 2.49.

Neka su A,B ∈Mn(F). Kažemo da je matrica B slična matrici A akopostoji regularna matrica S ∈ GL(n,F) takva da je

B = S−1AS.

Korolar 2.50.

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ). Matričniprikazi operatora A u raznim bazama su slične matrice.





Napomena 2.51.

Često se nameće potreba za obratnim postupkom: za danu matricu Atrebamo naći linearan operator čiji će matrični zapis u nekom paru baza (iliu nekoj bazi, ako je matrica kvadratna) biti upravo A. Evo kako to možemoučiniti. Neka je zadana matrica A = [αij ] ∈Mmn(F).Uzmimo dva vektorska prostora V i W nad F tako da je dimV = n idimW = m, zatim neke baze e = {e1, . . . , en} u V if = {f1, . . . , fm} u W te uz pomoć propozicije 2.10. definirajmoÃ ∈ L(V,W ) formulom

Ãej =

m∑i=1

αijfi, ∀j = 1, . . . , n.

Jasno je da vrijedi [Ã]fe = A.Još uočimo: ako je polazna matrica A kvadratna onda se može uzetiW = V i f = e.





Napomena 2.52.

Neka je Ax = b proizvoljan sustav linearnih jednadžbi i Ax = 0 pridruženhomogeni sustav.Uvedemo li kao u prethodnoj napomeni prostore V i W , operator Ã i(analognim postupkom) vektor b̃ ∈W takav da je

[b̃]f = b,

primjenom propozicija 2.29. , 2.30. i 2.37. rješavanje polaznog sustavasvodi se na rješavanje vektorske jednadžbe

Ãx = b̃.

To omogućuje alternativni (i zapravo znatno brži i elegantniji) tretmansustava linearnih jednadžbi. Npr. informacija o dimenziji prostora rješenjahomogenog sustava dobije se sada kao direktna posljedica teorema orangu i defektu.



Matricni zapis linearnog operatora

Documents

M103 Linearna algebra 1 - UNIOS · 2018. 6. 11. · M103 Linearna algebra 1 Tema: Linearni operatori 8. 5. 2018. predavac: Darija Markoviˇ ´c asistent: Darija Markovic´