Embed Size (px)
Citation preview
M A T R I K S
Oleh:
Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc
Email: [email protected]
JURUSAN ILMU DAN TEKNOLOGI PANGAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
DEFINISI...
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk
jajaran segi empat siku-siku yang diatur berdasa
Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut
entri dari matriks atau elemen atau unsur
35
23
41
036
142
312
52
1
2
4
2
ORDO MATRIK...
ORDO (ukuran) suatu matriks dinyatakan
dalam banyaknya baris (arah horizontal) dan
banyaknya kolom (arah vertikal).
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
Suatu matriks A dengan ukuran m x n ditulis:
ijmxnij aaA
Entri pada baris dan kolom dalam matriks A
juga biasa dinyatakan dengan simbol (A)ij
05
21A
Dapat ditulis (A)11 = 1, (A)12 = -2, (A)21 = ?, (A)22 = ?
Matriks bujursangkar
adalah matriks yang
jumlah baris dan jumlah
kolomnya sama.
Jika jumlah baris = jumlah
kolom = n, maka disebut
matriks bujursangkar
berorde n.
...JENIS MATRIKSMatriks Bujur Sangkar / Persegi
60
13A
311
312
104
B
Matriks nol adalah matriks yang semua
entri-entrinya sama dengan nol
...JENIS MATRIKS
Matriks Nol
0
0
0
00
00
000
000
Sifat-sifat matriks nol: 1. A + 0 = 0 + A = A
2. A – A = 0
3. 0 – A = –A
4. A0 = 0A = 0
Matriks satu adalah matriks yang semua
entri-entrinya sama dengan satu
...JENIS MATRIKSMatriks Satu / Vektor Satu
1
1
1
11
11
111
111
Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang
entri atau elemennya tersusun tepat satu baris
Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang
entri atau elemennya tersusun tepat satu kolom
...JENIS MATRIKSMatriks Baris dan Matriks Kolom
52
1
2
4
Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar
yang semua entri di luar diagonal utama sama
dengan nol. Dengan perkataan lain, (aij) adalah
matriks diagonal jika (aij)=0 untuk i≠j
...JENIS MATRIKS
Matriks Diagonal
20
01A
300
010
002
B
Matriks segitiga atas adalah matriks bujursangkar yang
semua entri di bawah diagonal utama sama dengan nol.
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujursangkar yang
semua entri di atas diagonal utama sama dengan nol.
...JENIS MATRIKSMatriks Segitiga Atas dan Bawah
100
230
501
A
2000
7100
6510
4932
B
862
021
003
A
21193
0761
0032
0005
B
Matriks identitas adalah
matriks diagonal yang
semua entri pada
diagonal utama sama
dengan satu dan entri
lainnya adalah nol.
Matriks identitas biasa
ditulis I atau In di mana n
menunjukkan ukuran
matriks bujursangkar
tersebut.
...JENIS MATRIKS
Matriks Identitas
10
012I
100
010
001
3I
Sifat matriks
identitas adalah
seperti bilangan 1
(satu) dalam operasi-
operasi dengan
bilangan biasa, yaitu
jika A adalah matrik
sebarang, maka
AI = IA = A.
Jika adalah matriks berukuran m x n, maka transpose
dari A (ditulis AT ), adalah matriks n x m yang
diperoleh dari A dengan mengubah baris menjadi
kolom dan kolom menjadi baris.
...MATRIKS TRANSPOSE
Sekaligus menjadi bukti bahwa transpose dari matriks segitiga
bawah merupakan matriks segitiga atas, dan sebaliknya.
100
230
501
A
Carilah matriks transpose dari:
21193
0761
0032
0005
B
Maka aij = bij untuk setiap i dan j
Dengan demikian nilai w,x,y dan z dapat ditentukan
LATIHAN !
a. Tentukan nilai (z+y) x 3(x-w) – z3 !
b. Tentukan nilai z2 + (y-x)2 – w + 9 !
...KESAMAAN MATRIKS
wzzy
yxx
2
JIKA:
106
68=
...OPERASI MATRIKSPenjumlahan dan pengurangan
Jika dua matriks A dan B memiliki ukuran sama, maka kedua
matriks tersebut dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Penjumlahan A + B adalah menjumlahkan entri-entri pada
matriks A dengan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B.
Pengurangan A – B adalah matriks mengurangkan entri-entri
pada matriks A dengan entri-entri yang bersesuaian pada
matriks B. Dikatakan pula mengurangi matriks A dengan
matriks B, yaitu A – B, adalah menjumlahkan matriks A dengan
–B. Jadi A – B = A + (–B).
Matriks-matriks dengan ukuran berbeda tidak dijumlahkan atau
dikurangkan.
.
...LATIHAN
89
125A
42
69B
1396
7617C
TENTUKAN !
a. A+B e. (A+A)+B
b. B+A f. A+(A+B)
c. A-B g. A+C
d. B-A h. B+C
Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks:
• Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks berukuran
sama, dan k skalar, maka
1. A + B = B + A (komutatif)
2. (A + B) + C = A + (B + C) (asosiatif)
3. k(A + B) = kA + kB (distributif)
4. Selalu ada matriks D sedemikian sehingga A + D = B
.
...OPERASI MATRIKSPerkalian Skalar dengan Matriks
Jika A adalah sebarang matriks dan k adalah sebarang
skalar, maka perkalian kA adalah mengalikan setiap
entri pada matriks A dengan bilangan k.
TENTUKAN !
a. 2B
b. 3A
c. 3B+3C
d. 3(B+C)
21
33A
32
13B
26
34C
...OPERASI MATRIKSPerkalian Matriks dengan Matriks
• Perkalian dua matriks A dan B, yaitu AB, dapat
dilakukan jika jumlah kolom dari matriks A sama
dengan jumlah baris dari matriks B.
• Jika A=(aij) adalah matriks berukuran m x r dan
B=(bij) adalah matriks berukuran r x n, maka
perkalian AB adalah suatu matriks B=(cij) berukuran
m x n dimana entri ke-ij berasal dari perkalian baris
ke-i dari matriks A dengan kolom ke-j dari matriks B
yang kemudian dijumlahkan
.
...LATIHAN
89
125A
42
69B
1396
7617C
TENTUKAN !
a. AB e. ABC h. A(AB)
b. BA f. BCA i. (AA)B
c. AC g. CBA
d. CA
Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memenuhi
syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka:
1. A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA (distributif)
2. A(BC) = (AB)C (asosiatif)
3. AB ≠ BA (tidak komutatif)
4. Jika AB = 0, di mana 0 adalah matriks nol, yaitu matriks yang
semua elemennya sama dengan nol, maka ada tiga
kemungkinan: (i) A = 0 dan B = 0
(ii) A = 0 atau B = 0
(iii) A ≠ 0 dan B ≠ 0
5. Bila AB = AC, belum tentu B = C
Setiap matriks bujursangkar A selalu dihubungkan
dengan suatu skalar yang disebut determinan dari
matriks tersebut. Determinan dari matriks A ditulis
det(A) atau │A │
...DETERMINAN
...MENCARI DETERMINAN
MATRIKS 2x2
2221
1211
aa
aaA
2221
1211
aa
aa
maka determinan dari matriks A mengikuti anak panah berikut:
dengan det(A)=a11a22 – a12a21
...LATIHAN
27
46A
CARILAH DETERMINAN DARI MATRIKS BERIKUT !
60
33B
65
65C
42
23D
41
54E
23
10F
...MENCARI DETERMINAN
MATRIKS 3x3
maka determinan dari matriks A
mengikuti anak panah berikut:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
322311332112312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa dengan det(A)=
...LATIHANCARILAH DETERMINAN DARI MATRIKS BERIKUT !
100
230
501
A
112
010
321
B
862
021
003
C
311
212
113
D
...INVERS MATRIKS
• Jika A adalah matriks bujursangkar, dan
terdapat matriks B yang memiliki ukuran
sama sedemikian sehingga AB = BA = I,
maka A disebut matriks yang mempunyai
invers (invertible) dan B disebut sebagai
invers dari A.
...CONTOH
31
21A
JIKA: DAN:
11
23B
MAKA DAPAT DIPASTIKAN BAHWA B ADALAH INVERS DARI A
ATAU BIASA DITULIS A-1
IAB
10
01
11
23
31
21
IBA
10
01
31
21
11
23BUKTI
...MENCARI INVERS MATRIKS 2x2
bcad
a
bcad
cbcad
b
bcad
d
ac
bd
bcadA
11
dc
baA mempunyai invers apabila ad-bc≠0
...LATIHAN
27
46A
CARILAH INVERS DARI MATRIKS BERIKUT !
60
33B
65
65C
42
23D
41
54E
23
10F
Untuk matriks bujursangkar secara umum, invers dari
matriks tersebut dapat dicari dengan menggunakan Operasi
Baris Elementer (OBE). Misal A adalah matriks
bujursangkar sebarang. Pada matriks A tersebut dilakukan
serangkaian OBE sedemikian sehingga menjadi matriks
identitas I. Selanjutnya, pada matriks I juga dilakukan
serangkaian OBE yang sama, sehingga akan diperoleh
matriks A-1.
...MENCARI INVERS MATRIKS
BUJUR SANGKAR SECARA UMUM
IA : 1: AIOBE
...CONTOH
Tentukan invers dari
112
010
321
A
JAWAB:
IA :
100
010
001
:
:
:
112
010
321=
~13 2BB
102
010
001
:
:
:
530
010
321
~23 3BB
132
010
001
:
:
:
500
010
321
~5
13
B
515352
010
001
:
:
:
100
010
321
~21 2BB
515352
010
021
:
:
:
100
010
301
~31 3BB
515352
010
535151
:
:
:
100
010
001
1: AI
Carilah x dan y apabila
x+2y=5 dan 2x+5y=12
a. dengan metode subtitusi
b. dengan metode OBE
... PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DENGAN MATRIKS DAN OBE
Penyelesaian dengan OBE :
210
101
210
521
1252
521~~
2112 22 BBBB
Jika dikembalikan ke SPL maka:
1x+0y=1 x=1
0x+1y=2 y=2
Sehingga didapatkan x=1 dan y=2
Selesaikan dengan OBE !
1.
3.
2.
...LATIHAN
SELAMAT
BELAJAR !
