Luong giac

Copyrights 2013 By Lê Văn Huynh Phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc

Leâ Vaên Huynh 01683515610 facebook.com/huynhICT 1

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC

1. Hệ thức LG cơ bản 2 2

22

sin cos 1sintancos 2

1 tan 12cos

k

k

22

tan .cot 1coscotsin

1 cot 1sin

k

k

2. Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:

sin sinacosb sinbcosa

cos cosa cos b sinasinbtan tantan b

1 tan tan

a b

a ba ba

a b

m

m

Công thức nhân:

2 2 2 2

3

3

3

2

sin 2 2sin .coscos 2 cos sin 2cos 1 1 2sincos3 4cos 3cossin 3 3sin 4sin

3 tan tantan 3 =1 3 tan

a a aa a a a aa a aa a a

a aaa

Tích thành tổng: cosa.cosb = 12

[cos(ab)+cos(a+b)]

sina.sinb = 12

[cos(ab)cos(a+b)]

sina.cosb = 12

[sin(ab)+sin(a+b)]

Tổng thành tích: sin sin 2sin cos2 2

a b a ba b

sin sin 2cos sin2 2

a b a ba b

cos cos 2cos cos2 2

a b a ba b

cos cos 2sin sin2 2

a b a ba b

sin( )tan tancos .cos

a ba ba b

Công thức hạ bậc: cos2a = 12

(1+cos2a)

sin2a = 12

(1cos2a)



Biểu diễn các hàm số LG theo tan2at

2

2 2 2

2 1- 2sin ; cos ; tan .1 1 1

t t ta a at t t

3. Phương trìng LG cơ bản

* sinu=sinv2

2u v ku v k

* cosu=cosvu=v+k2

* tanu=tanv u=v+k * cotu=cotv u=v+k Zk . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.

b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c .

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tanba

, ta được: sinx+tancosx= cosca

sinx cos + sin cosx= cosca

sin(x+ )= cosca

sinñaët

.

Cách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2a b , ta được:

2 2 2 2 2 2sin cosa b cx x

a b a b a b

Đặt: 2 2 2 2

cos ; sina ba b a b

. Khi đó phương trình tương đương:

2 2cos sin sin cos cx x

a b

hay

2 2sin sincx

a b

ñaët.

Cách 3: Đặt tan2xt .

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2

x k .

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.

Chú ý: 22

1 tan 12cos

x x kx

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện t 2 .

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

sin cos 2 sin 2 cos4 4

x x x x

x x x x

Löu y ù caùc coâng thöùc :



Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).

Giải

Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos6 1 cos 4 1 cos82 2 2 2

x x x x

cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0

510 52cos5 0

cos 2 0 2 , ( , , )2 4 2

cos 0

2 2

π kππ xx kπx

π π lπx x kπ x k l nx π πx kπ x nπ

¢

Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). Giải Ta có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)

cos2x(sin6x–cos6x) = 0 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 cos2x = 0

2 , ( )2 4 2π π kπx kπ x k ¢

Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x (3). Giải Ta có:

3 3 3

2 2

2

(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2

2cos 2 (1 cos 4 )2

2cos 2 .cos 24

2cos 22 8

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x

πx x

, ( )kπ k ¢

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17sin cos32

x x (4).

Giải Ta có (4)



4 44 21 cos 2 1 cos 2 17 1 17(cos 2 6 cos 2 1)

2 2 32 8 32x x x x

Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2

117 13 26 1 6 0

134 42

tt t t t

t

Vì t[0;1], nên 21 1 cos 4 1 1cos 22 2 2 2

xt x

cos4x = 0 4 , ( )2 8 4π π πx kπ x k k ¢

Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải

Ta có (5) 2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

cos 1 2 , ( )2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)

x x k π kx x x x

¢

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t , khi đó phương trình (*) trở thành:

2t + t2 – 1 + 1 = 0 t2 + 2t = 00

sin -cos , ( )2 ( 4

t πx x x nπ nt lo

¢

¹i)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:4πx nπ ; 2 , ( , ) x k π n k ¢

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin | cosxπ x (6).

Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin | 0,x nên |sin | 0 1xπ π , mà |cosx| ≤ 1.

Do đó 2 2 2 0| sin | 0 ,( )(6)

0| cos | 1 , ( )k nx k π k π nx x kπ kxx nπ x nπx x nπ n

¢¢

(Vì k, n Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.

Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 2

1 cos2x x .

Giải

Đặt 2

( )= cos2xf x x . Dễ thấy f(x) = f(x), x ¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét

với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;2π

thoả mãn

phương trình:2

2sin cos 2n

n nx x

. Giải



Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)

Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;2

, ta có minf(x) = f4

= 2

22n

Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

BÀI TẬP Giải các phương trình sau:

1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 22

x k x n

2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 24 3

x k x n

3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

ĐS: 7; ; .4 4 12 12

x k x n x m

4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:2

x k .

5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)

ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;2

x k x n x l với 1sin4

.

6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4

x k .

7. sin 3 sin 2 .sin4 4

x x x

; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2

x k

8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: 12

x k .

9. 1 1 74sin3sin 4sin2

xx x

ĐS:

4

858

x k

x k

x k

10. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x

HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = 3

k ,

4x k

11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( )4 3

x k x k k ¢

12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải

(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.

Đặt t=cosx, ĐK 1t , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.



112 cos2sin - 2

tx

t x

loaïi

…(biết giải)

13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK 1t . 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2. 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …

15. Giải phương trình lượng giác: 2 cos sin1tan cot 2 cot 1

x xx x x

Giải

Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0

cot 1x x x x xx

Từ (1) ta có: 2 cos sin1 cos .sin 2 2 sinsin cos 2 cos cos1cos sin 2 sin

x x x x xx x x xx x x

2sin .cos 2 sinx x x

22 4cos

2 24

x kx k

x k

¢

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 24

x k k ¢

16. Giải phương trình: 4 4sin cos 1 tan cotsin 2 2x x x x

x

Giải

4 4sin cos 1 tan cotsin 2 2x x x x

x

(1)

Điều kiện: sin 2 0x 211 sin 2 1 sin cos2(1)

sin 2 2 cos sin

x x xx x x

2

2

11 sin 2 1 12 1 sin 2 1 sin 2 0sin 2 sin 2 2

xx x

x x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

17. Giải phương trình: 2 22 sin 2sin tan4

x x x

.

Giải

Pt 2 22 sin 2sin tan4

x x x

(cosx )0 21 cos 2 cos 2sin .cos sin2

x x x x x

(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 18. Giải phương trình: 3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x .

Giải



3

2 3 2

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

x x x x x x

x x x x x x x x

0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2 xxxxxxxx 2

2

( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0

tan 33 cos sin 0

cos 1cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai)

x x x x

xx x

xx x x

lo

,32

x kk

x k

Z

19. Giải phương trình: cosx=8sin3

6x

Giải

cosx=8sin3

6x

cosx = 3

3 sin cosx x

3 2 2 33 3 sin 9sin cos 3 3 sin cos cos cos 0x x x x x x x (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) 3 23 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x

tan 0 x x k

20. Giải phương trình lượng giác: 2 cos sin1tan cot 2 cot 1

x xx x x

Giải

Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0

cot 1x x x x xx

Từ (1) ta có: 2 cos sin1 cos .sin 2 2 sinsin cos 2 cos cos1cos sin 2 sin

x x x x xx x x xx x x

2sin .cos 2 sinx x x

2

2 4cos2 2

4

x kx k

x k

¢

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 24

x k k ¢Z

21. Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x Giải Phương trình (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0

cos sin 1

cos sin 5 ( cos sin 2)

x x

x x loai vi x x

222 sin 1 sin sin ( )

4 4 4 2

x kx x k Z

x k



22. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 Giải

3 sin cos 2cos3 0x x x sin3 sinx + cos

3 cosx = – cos3x.

cos cos33

x x

cos cos( 3 )3

x x

3 2 ( )

3

kxk

x k

Z x = 3 2

k (kZ)

23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 28

Giải

Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 28

cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2

8

2 2 2 3 2cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin2

x x x x x x 2cos 4 ,

2 16 2x x k k Z .

24. Định m để phương trình sau có nghiệm 24sin 3 sin 4cos 3 cos cos 2 0

4 4 4x x x x x m

Giải Ta có: * 4sin 3 sin 2 cos 2 cos 4x x x x ;

* 4cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 44 4 2

x x x x x x

* 2 1 1cos 2 1 cos 4 1 sin 44 2 2 2

x x x

Do đó phương trình đã cho tương đương:

1 12 cos 2 sin 2 sin 4 0 (1)2 2

x x x m

Đặt cos 2 sin 2 2 cos 24

t x x x

(điều kiện: 2 2t ).

Khi đó 2sin 4 2sin 2 cos 2 1x x x t . Phương trình (1) trở thành: 2 4 2 2 0t t m (2) với 2 2t

2(2) 4 2 2t t m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) : 2 2D y m (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4y t t với 2 2t .

x 2 2 y’ + y 2 4 2 2 4 2

Trong đoạn 2; 2 , hàm số 2 4y t t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại 2t và đạt giá trị lớn

nhất là 2 4 2 tại 2t .



Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m 2 2 2 2m .

o0o



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009

KHỐI A

1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: cos3 sin 35 sin cos 2 31 2sin 2

x xx xx

(Khối A_2002).

Giải

ĐS: 5;

3 3x x .

2. Giải phương trình: 2cos 2 1cot 1 sin sin 21 tan 2

xx x xx

(Khối A_2003)

Giải

ĐS:

4x k k

Z

3. Giải phương trình: 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x (Khối A_2005) Giải



ĐS:

2kx k

Z

4. Giải phương trình: 6 62 cos sin sin cos

02 2sin

x x x x

x

(Khối A_2006)

Giải

ĐS: 5 2

4x k k

Z

5. Giải phương trình: 2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x (Khối A_2007) Giải

ĐS: , 2 , 2

4 2x k x k x k k

Z

6. 1 1 74sin3sin 4sin2

xx x

(Khối A_2008)

Giải



ĐS: 5, , ,

4 8 8x k x k x k k Z

7. Giải phương trình:

1 2sin cos

31 2sin 1 sin

x xx x

. (Khối A_2009)

Giải

ĐS: 2 ,

18 3x k k Z

KHỐI B 8. Giải phương trình 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x (Khối B_2002) Giải

ĐS: ; ,

9 2x k x k k Z

9. Giải phương trình 2cot tan 4sin 2sin 2

x x xx

(Khối B_2003)

Giải



ĐS: ,

3x k k

Z

10. Giải phương trình 25sin 2 3 1 sin tanx x x (Khối B_2004) Giải

ĐS: 52 ; 2 ,

6 6x k x k k

Z

11. Giải phương trình 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x (Khối B_2005) Giải

ĐS: 2 2

3x k k Z

12. Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 42xx x x

(Khối B_2006)

Giải



ĐS: 5; ,

12 12x k x k k

Z

13. Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x (Khối B_2007) Giải

ĐS: 2 5 2; ,

18 3 18 3x k x k k Z

14. Giải phương trình 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x (Khối B_2008) Giải

ĐS: ; ,

4 2 3x k x k k

Z

15. Giải phương trình: 3sin cos sin 2 3 cos 3 2 cos 4 sinx x x x x x . (Khối B_2009)

Giải

ĐS: 2 , 2 ,

42 7 6kx x k k

Z



KHỐI D 16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002) Giải

ĐS: 3 5 7; ; ;

2 2 2 2x x x x

17. 2 2 2sin tan cos 02 4 2x xx

(Khối D_2003)

Giải

ĐS: 2 , ,

4x k x k k

Z

18. Giải phương trình 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x (Khối D_2004) Giải

ĐS: 2 , ,

3 4x k x k k

Z

19. Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos sin 3 04 4 2

x x x x

(Khối D_2005)

Giải



ĐS: ,

4x k k Z

20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 (Khối D_2006) Giải

ĐS: 2 2 ,

3x k k

Z

21. Giải phương trình 2

sin cos 3 cos 22 2x x x

(Khối D_2007)

Giải

ĐS: 2 , 2 ,

2 6x k x k k Z

22. Giải phương trình sin 3 3 cos3 2sin 2x x x (CĐ_A_B_D_2008) Giải



ĐS: 4 22 , ,3 15 5

x k x k k Z

23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) Giải

ĐS: 2 2 , ,

3 4x k x k k Z

24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) Giải

ĐS: 5, ,

12 12x k x k k

Z

25. Giải phương trình 3 cos 5 2 sin 3 cos 2 sin 0x x x x (Khối D_2009) Giải

ĐS: , ,

18 3 6 2x k x k k Z

Hết

Documents

Luong giac