Luke i Pomorske Gradevine

Sveučilište u Splitu, Građevinsko-arhitektonski fakultet Luke i pomorske gradnje 2010

SADRŽAJ: 1. UVOD................................................................................................................................................................ 3

1.1. ZEMLJA U SVEMIRU ............................................................................................................................... 3 1.2. STRUKTURA ZEMLJE............................................................................................................................. 3

1.2.2. Formiranje kopna i mora na Zemlji .................................................................................................. 5 1.2.3. Opći podaci...................................................................................................................................... 5 1.2.4. Prikaz Zemlje ................................................................................................................................... 6

1.3. MORE....................................................................................................................................................... 7 1.3.1. Opći podaci...................................................................................................................................... 7 1.3.2. Reljef morskog dna.......................................................................................................................... 8 1.3.3. Fizikalna svojstva mora ................................................................................................................... 9 1.3.4. Karakteristike mora........................................................................................................................ 11 1.3.5. Korištenje mora i podmorja............................................................................................................ 11 1.3.6. Gibanje mora ................................................................................................................................. 13

2. MORSKI VALOVI............................................................................................................................................ 20 2.1. DEFINICIJA MORSKIH VALOVA ........................................................................................................... 20 2.2. VRSTE VALOVA .................................................................................................................................... 21 2.3. OPIS VALA............................................................................................................................................. 23

3. IDEALNI VALOVI............................................................................................................................................ 24 3.1. DEFINICIJA............................................................................................................................................ 24 3.2. VRSTE IDEALNIH VALOVA................................................................................................................... 24 3.3. DETERMINISTIČKI OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA......................................................................... 26 3.4. OSNOVNE JEDNADŽBE VALNOG GIBANJA ....................................................................................... 27 3.5. VALOVI MALIH AMPLITUDA – AIRY-EVA TEORIJA................................................................................... 29

4. VALNA KINEMATIKA .................................................................................................................................... 33 4.1. KINEMATIČKE VELIČINE.............................................................................................................................. 33 4.2. PARAMETARSKI OBLIK PUTANJA ČESTICA: ................................................................................................... 34

4.2.2. Duboko more ................................................................................................................................. 34 4.2.3. Plitko more..................................................................................................................................... 35

4.3. RASPODJELA TLAKA .................................................................................................................................. 35 4.4. SUPERPOZICIJA VALOVA MALIH AMPLITUDA................................................................................... 36

4.4.1. Općenito ........................................................................................................................................ 36 4.4.2. Superpozicija pozitivnih i negativnih valova, odbijanje (refleksija)................................................. 37 4.4.3. Utjecaj malih nagiba dna na refleksiju valova................................................................................ 40 4.4.4. Energija i snaga valova.................................................................................................................. 41 4.4.5. Protok energije (snaga toka) u smjeru vala ................................................................................... 41

5. TRANSFORMACIJE VALA............................................................................................................................ 43 5.1. JEDNADŽBE TRANSFORMACIJA VALA........................................................................................................... 43 5.2. „SHOALING“ EFEKT (UTJECAJ PLIĆINE): ................................................................................................. 44 5.3. REFRAKCIJA VALA ..................................................................................................................................... 45

5.3.1. Jednadžbe refrakcije...................................................................................................................... 45 5.3.2. Planovi refrakcije ........................................................................................................................... 46 5.3.3. Snellov zakon ................................................................................................................................ 47 5.3.4. Primjena numeričke integracije...................................................................................................... 49

5.4. LOM VALA................................................................................................................................................. 52 5.5. DIFRAKCIJA VALA ...................................................................................................................................... 54

1


2


1. UVOD

1.1. ZEMLJA U SVEMIRU Općenito, Zemlja kao planet u sunčevom sustavu predstavlja dragocjen dom brojnim živim bićima. Ono što je prvenstveno razlikuje od ostalih planeta, te je i omogućilo toliki razvoj živog svijeta jest, uz atmosferu, bogatstvo vode. Zemlja jedina ima vodu – zato se popularno i naziva „Plavi planet“. U nastavku su dati neki zanimljivi podaci enciklopedijskog karaktera u svrhu predočavanja koncepta samog položaja, a i strukture Zemlje. Radijus Zemlje iznosi 6370 km. Prosječna gustoća je 5,52 g/cm3. Temperatura na površini Zemlje iznosi 300 K. Udaljenost od Sunca 150 000 000 km. Slika 1.1: Položaj Zemlje u Sunčevom sustavu 1.2. STRUKTURA ZEMLJE Postoje brojne znanstvene discipline i njihove metode kojima se izučavala i izučava struktura Zemlje, te njenih slojeva i podslojeva. Pretežito se koristi metoda refrakcije različitih vrsta valova, na osnovu koje se definiraju položaji i dubine pojedinih slojeva – Slika 1.2. je rezultat takvih istraživanja sa naznačenim putanjama širenja i deformiranja vala unutar slojeva.

~125 km

5000 km2900 km 6300 km

40°

80°110°

160°

150°

KORA (6 35 km)÷

MOHOROVIČIĆEV DISKONTINUITETASTENOSFERA (dno 125 km)

VANJSKA JEZGRA (TEKUĆA)

UNUTRAŠNJA JEZGRA (KRUTA)

područje sjene

Slika 1.2: Struktura Zemlje

3


Slojevi prikazani na Slika 1.2.:

• KORA (litosfera) - na kopnu prosječno 35-40 km, većinom granitne i sedimentne stijene

- na morskom dnu iznosi od 10-12 km; bazaltne stijene - gustoća iznosi 2,7 g/cm3

• MOHOROVIČIĆEV DISKONTINUITET – naglašena granica između kore i omotača

(plašta); Andrija Mohorovičić je utvrdio granicu proučavanjem potresnih valova

• OMOTAČ – unutarnji dio Zemlje koji od granice sa litosferom seže do dubine od 2900 km; razlikuje se unutarnji, donji dio plašta – mezosfera i gornji – astenosfera u kojoj se odvija termalna dinamika s kojom i konvekcijska strujanja koja uzrokuju dinamičke procese i plastične deformacije u tektosferi.

• VANJSKA JEZGRA – je metalna tekuća masa u kojoj se odvijaju konvekcijska

strujanja

• UNUTRAŠNJA JEZGRA – u čvrstom stanju, gustoće od 7,2 do 11,5 kg/dm3 Kora (litosfera) se sastoji od 12 ploča: Pacifička, Sjevernoamerička, Karipska, Australijska, Afrička, Euroazijska, Arabijska, Južnoamerička, Iranska, Antartička. Također postoje manje ploče. Uslijed endodinamičkih pokreta u unutrašnjosti Zemlje, kora se nabire u planinske lance, ili uslijed podvlačenja moguće je nastajanje dubokomorskih zaljeva, smicanjem rasjedi, i razvlačenjem oceanski hrptovi (4 do 10 cm/god). Potres je jedan od važnijih oblika manifestacije endodinamičkog djelovanja. Kod potresa se razlikuju : EPICENTAR – mjesto na površini Zemlje na kojem se potres najjače osjetio HIPOCENTAR – mjesto u unutrašnjosti Zemlje odakle se potres širi ovisno o vrsti valova (transvezalni, longitudinalni, lowe valovi i sl.) Utjecaji potresa se mjere različitim ljestvicama a većina ih se zasniva na mjerenju MAGNITUDE (Richterova ljestvica 0-9 stupnjeva)– M količine oslobođene energije ili pak prema INTENZITETU – IM (Mercalyjeva ljestvica).

Slika 1.3: Prikaz djelovanja potresa

4

seizmološki valovi


1.2.2. Formiranje kopna i mora na Zemlji Formiranje kopna i mora na Zemlji se tijekom prošlosti odvijalo različitim pokretanjem kopnene mase, koja su učinila izgled Zemlje kakav danas poznajemo. Od početnog kopna Pangea, razvojem u Lauraziju i Gondvanu, te daljnjim transformacijama došlo se do današnjih kontinenata kao na Slika 1.4. Slika 1.4: Razvoj mora i kopna na Zemlji 1.2.3. Opći podaci Tablica 1.1: Globalna podjela površine Zemlje SJEVERNA HEMISFERA JUŽNA HEMISFERA UKUPNO MORE 154,695*10^6 km2 60,7% 206,364*10^6 km2 80,9% 361*10^6 km2 70,8%KOPNO 100,281*10^6 km2 39,3% 48,611*10^6 km2 19,1% 149*10^6 km2 29,2% No za sav život na Zemlji, najvažnija je raspodjela vode na Zemlji, pa je u Tablici1.2 dat prikaz raspodjele onih okvirnih 3% pitke vode. Tablica 1.2: Relativna podjela vode na Zemlji POJAVNI OBLIK % Volumen [km3]*10^6 Polarni led 75 29

Podzemna voda do 750 m dubine 11 4,2

Podzemna voda od 750 do 4000 m dubine 13,6 5,3 Jezera 0,3 0,12 Rijeke 0,03 0,012 Vlaga u tlu 0,06 0,024 Atmosfera 0,035 0,013

5


1.2.4. Prikaz Zemlje

Zemlja se prikazuje različitim projekcijama – kartama i modelima. Prema položaju normalne kartografske mreže projekcije se dijele na uspravne, poprečne i kose, a prema obliku te mreže uobičajena je podjela na konusne, cilindrične, azimutalne, pseudokonusne, pseudocilindrične, polikonusne, kružne i druge. Kartografske projekcije upotrebljavaju se za prikazivanje jednog dijela ili čitave Zemljine plohe uz što je moguće manje deformacije. Prema vrstama deformacija kartografske projekcije dijele se na konformne (čuvaju kutove), ekvivalentne (čuvaju površine), ekvidistantne (čuvaju duljine u određenom smjeru) i uvjetne. Neke od projekcija dobile su imena po svojim pronalazačima. To su npr. Mercatorova (obično uspravna ili poprečna cilindrična konformna), Lambertova (azimutalna ekvivalentna, ali i konusna konformna), Bonneova (pseudokonusna ekvivalentna), Mollweideova (pseudocilin-drična ekvivalentna), zatim niz pseudocilindričnih projekcija Eckerta, Kavrajskoga i drugih. Posebnu skupinu projekcija čine geodetske projekcije, a to su projekcije za potrebe državne izmjere i izradu službenih topografskih karata. U tu svrhu najrasprostranjenije su univerzalna poprečna Mercatorova projekcija (UTM), poprečna Mercatorova ili Gauß-Krügerova projekcija, polikonusna i Lambertova konformna konusna projekcija. U Hrvatskoj je u službenoj upotrebi Gauß-Krügerova (poprečna cilindrična konformna) projekcija rotacijskog elipsoida. Slika 1.5: Prikaz različitih projekcija prema obliku kartografske mreže

6


1.3. MORE

1.3.1. Opći podaci

OBLIK IME POVRŠINA [10^6 km2] VOLUMEN [10^6 km3] SREDNJA DUBINA [m]Atlantski ocean 82,44 323,613 3925Tihi ocean 165,246 707,555 4282Indijski ocean 73,443 291,03 3963Sjeverni mediteran 14,09 16,98 1205Američki mediteran 4,319 9,573 2216Sredozemno i Crno more 2,966 4,238 1429Azijski mediteran 8,143 9,873 1212Crveno more 0,438 0,215 491

Perzijski zaljev 0,239 0,006 25

Hudsonov zaljev 1,232 0,158 128

Baltičko more 0,422 0,023 55

Sjeverno more 0,575 0,054 94

Engleski kanal 0,075 0,004 53

Irsko more 0,103 0,006 58

Zaljev Sv. Lowrencea 0,238 0,03 126Andamansko more 0,798 0,694 870Beringovo more 2,268 3,259 1437Ohotsko more 1,528 1,279 837Japansko more 1,008 1,361 1350Istočno Kinesko more 1,249 0,335 268Kalifornijski zaljev 0,162 0,132 815Bass 0,075 0,005 67

39,928 48,125 12058,079 7,059 874361,057 1370,423 24906,66796

mala sredozemna mora

ostala moramarginalna mora

Ukupno oceani i sva mora

oceani

sreozemna mora (oceani)

velika sredozemna mora

Kao što je već navedeno, more čini gotovo 71% ukupne površine Zemlje, i za potrebe ovog kolegija će biti značajne upravo njegove karakteristike, pa će se u nastavku dati neke opće informacije o moru.

Slika 1.6: Svjetski oceani i mora Tablica 1.3: Podjela mora

7


1.3.2. Reljef morskog dna

Reljef morskog dna je ponajviše određen mjerenjima ultrazvukom – ehosonderima, na osnovu kojih se dobiva batimetrija iz kojih se nadalje konstruiraju oceanografske i geodetske karte, ta posebno mape i reljef dna.

Glavne topografske značajke prikazane su na Slika 1.7: 1.3.2.1 Kontinentski rubovi 1.3.2.2 Dna oceanskih bazena – abisalne ravnice 1.3.2.3 Glavni oceanski hrbat

Slika 1.7: Prikaz osnovnih elemenata reljefa morskog dna

U Tihom oceanu je abisalna ravnica izbrazdana brežuljcima uslijed intezivnog vulkanskog djelovanja. Općenito, hrptovi su visine 2 do 3 km, dužine oko 60 000 km, širine 100 km. Na njima se odvijaju snažni tektonski poremećaji. Na Slika 1.8. dat je prikaz reljefa morskog dna u Atlantskom oceanu.

Slika 1.8: Prikaz hrbata u Atlantskom oceanu

8


1.3.3. Fizikalna svojstva mora

1.3.3.1 Temperatura Temperatura je vrlo važno svojstvo mora, ponajviše zbog promjena u kemijsko – biološkom smislu. Oscilira po dubini i po zemljopisnoj širini. Vrlo je važna i zbog utjecaja na klimu, uzimajući u obzir visoki toplinski kapacitet mora. Razlike morskih masa u temperatui ujedno i generiraju morske struje što je od izuzetne važnosti za cijeli živi svijet.

Slika 1.9: Oscilacije temperature po dubini i godišnjem dobu Srednje temperature mora se kreću od 15-25°C (za kupanje cca 21-22 °C). Najviša temperature je izmjerena u Crvenom moru – 36 °C. Najveća amplitude mora iznosi 38°C, a usporedbe radi, u zraku je najveća amplitude 150°C. More je dobar regulator temperature, upravo zbog spomenutog visokog toplinskog kapaciteta. Kao što je rečeno, temperatura mora i njene promjene mogu drastičo utjecati na živi svijet, kao u aktualnom problemu gornjih horizonata – određene srpske hidroelektrana u kombinaciji i sa HE Dubrovnik oduzimaju Jadranskom slivu, zbog čega će doći do podizanja temperature obalnog mora za 1-2°C, što predstavlja veliki poremećaj i dovesti će do odumiranja nekih morskih organizama. Školjkaši su posebno osjetljivi na ovu vrstu poremećaja.

1.3.3.2 Slanost i gustoća U moru je otopljeno mnogo mineral i organskih tvari, kao i plinova. Kemijski i biološki procesi mjenjaju sastav rastvora i otopljenih tvari. 96,5% mora je voda, a preostalih 3,5 % čine otopljene tvari. Salinitet u današnjm morima ne varira značajno, pogotovo ne u dubljim dijelovima (34,5-35). Površinski salinitet otvorenih mora raste do 37,3; u istočnom Sredozemlju do 39.Gustoća mora izravno ovisi o koncentraciji otopljenih tvari, u prosjeku iznosi 1,026 kg/dm3 na površini, i 1, 05 kg/dm3 na dubini od 5000 m.U Mediteranu se kreće oko 1,03 kg/dm3.

Slika 1.10: Prikaz saliniteta u svjetskim morima

9


Posljedice slanosti mora:

a) Fizičke – odnose se na gaz brodova; npr. za brod duljine L= 200 m, B=25 m, gaz je veći 0,35 m u La Manche-u nego u Crvenom moru, što odgovara volumenu od 1700 m3.

b) Kemijske – slanost štetno djeluje na materijale c) Administrativne – razgraničenje pomorskog i riječnog brodarstva

1.3.3.3 Prozirnost U bistrom moru predmet je s površine vidljiv do 50 m dubine, u Jadranskom moru ta dubina iznosi od 30-40 m. Ultraljubičaste zrake idu do 300 – 400 m. Svjetlost napreduje do 200 m – to je ujedno i granična dubina kontinentalnog platoa. Prozirnost kao svojstvo je više vezana za samu biologiju mora i uvjete za marikulturu, odnosno za količinu fitoplanktona – najvećih proizvođača kisika i hrane. Svjetlost je nužna za fotosintezu. Najveća je prozirnost mora između Lošinja i Unija gdje iznosi 50-55 m. Prozirnost je složeno optičko svojstvo koje ujedno upućuje na siromaštvo organiskim svijetom. 1.3.3.4 Boja mora Boja mora se mjenja ovisno o godišnjim dobima, a također na njen intenzitet utječe pristunost različitih organizama – najviše zooplankton i fitoplanktoni. Najčešće more ima jednu od slijedećih boja:

a) Općenito tamnoplava b) Plavo-zelena – uz obale kontinenata i na umjerenim širinama, do zeleno-plave uz

obale na ekvatorijalnom području. c) Zelena – more u polarnim područjima d) Zelena sa žutim nijansama – Bijelo more e) Svijetlo plava – Crveno more f) Žuta – Žuto more

Mediteransko more ima tamno plavu boju. Općenito, plava bistra boja označava mora siromašnija organskim tvarima, dok mutna sivo-zelena boja se referira na bogata (sjeverna) mora. 1.3.3.5 Led u moru Nastanak leda u moru ovisi o salinitetu i temperaturi. Može nastati na više načina:

a) zaleđivanjem površine mora b) transport rijekama s kopna c) obrušavanjem ledenjaka (ledeni brijegovi)

Općenito led ometa plovidbu, utječe na klimu i oblikuje reljef podmorja.

10


1.3.4. Karakteristike mora

1.3.4.1 Dobre karakteristike: - izvor života - produkcija kisika 30-70% (fitoplanktoni) - regulator temperature (spremnik topline) - izvorište hrane i sirovina - nalazišta ruda, minerala, rijetkih metala, fosilnih goriva -proizvodnja soli 1.3.4.2 Loše karakteristike - agresivno djelovanje na materijale - vremenska ćudljivost - erupcije, zemljotresi, tsunamiji Primjer štetnog djelovanja mora je i razaranje velikog djela splitske rive 19. 11. 1999. godine koje su prouzročili snažni valovi izazvani jugozapadnim vjetrom-lebić. Val ispred luke je bio 5,5 m. Dotični vjetar se javi rijetko, i kratkog je djelovanja ali devastirajuće snage. More je potrebno štititi, i prilagođavati ljudske djelatnosti i potrebe pravilnom korištenju resursa. Ljudskim djelovanjem ne smije se narušavati ravnoteža prirodnih procesa. Svako planiranje, izgradnja i eksploatacija mora odvijati prema načelima održivog razvoja.

1.3.5. Korištenje mora i podmorja

Kao što je i prikazano u podnaslovu 1.3.4., more ima veliki gospodarski i ekonomski značaj, te se ono može eksploatirati na različite načine, kako je prikazano u nastavku: 1.3.5.1 IZVOR HRANE

Kao izvor hrane, more daje ribe, školjke, alge. Danas ulov iznosi oko 70*106 t godišnje, što se može i udvostručiti ali kontrolirano. 1.3.5.2 NALAZIŠTA NAFTE I PLINA

a) Koriste se fiksne platforme za dubine do 200 m, odnosno plutajuće za veće dubine b) Kod manjih dubina se vrši i nasipanje – stvaranje umjetnog otoka u svrhu crpljenja

nafte ili plina

1.3.5.3 PIJESAK I ŠLJUNAK Pijesak i šljunak se vade iz mora za različite svrhe, nasipanje, uređivanje plaža, stvaranje novih umjetnih otoka (Dubai). Koriste se različiti kopači, zgrtalice, pumpe. 1.3.5.4 RUDA METALA Mangan se nalazi u nodulima – obla tijela, veličina u rasponu od oblutka do veće stijene. Nastaju taloženjem oko neke jezgre, pokrivaju gotovo 1/4 dna mora. U sastavu modula uz 27 – 30% mangana, sudjeluju još i nikal, bakar, kobalt. Vade se iz dubina 4000-5000 m, putem usisivača ili kablica.

11


1.3.5.5 SOL

Od davnina se more koristi za dobivanje soli različitim metodama odvajanja drugih sastojaka–taloženje vapnenca i sedre, te korištenjem bazena iz kojih voda ispari, a ostaje sol (berba soli). 1.3.5.6 PITKA VODA Pitka voda iz mora se dobiva procesom desalinizacije u staklenim bazenima, uz pomoć sunčeve energije ili nekim drugim sustavom napajanja, koristeći procese isparavanja i kondenzacije. Općenito je proces energetski skup za veće količine vode, no povezivanjem sa drugim procesima može se dobro iskoristiti. Na svim većim brodovim na taj način se, korištenjem otpadne energije produkta rada motora, kombinacijom i uređaja za hlađenje samog motor, dobiva voda za tuširanje, ali ne i za piće. Sustav koji koristi sunčevu energiju daje prosječno 5l/dan/5m2 (Grčka). U takvim postrojenjim postoji opasnost od korozije zbog kemijski agresivnih tvari iz mora, te se stoga koriste legure i drugi adekvatno otporni materijali. 1.3.5.7 ENERGIJA

a) Energija valova - mehanički dobivena, a nadalje ju generator pretvara u električnu, dobiva se na više načina : - niz cilindara učvršćenih na dno mora

- plutajući modeli s turbinama - pokretanje turbine istiskivanjem zraka - korištenje rotacione splavi, stabilne i plutajuće serijski spojene - izbacivanje valova u bazen na obali

b) Toplinska energija – koristi se razlika temperature na površini i u dubokim slojevima mora. Konstrukcije su samostalni plivajući objekti. Princip mehanizma se zasniva na zagrijavanju amonijaka i njegovoj pretvorbi u plin toplim morem, koji zatim pokreće turbine. Djelovanjem hladnog mora, amonijak se vraća u tekuće stanje. Amonijak ima nisko vrelište. Voda iz dubljih slojeva se podizala freonom – danas je zabranjena upotreba zbog ozonskih omotača.

c) Energija strujanja zbog plime i oseke – u Francuskoj postoji hidroelektrana koja koristi visinsku razliku plime i oseke od oko 5m. Za ovu vrstu iskorištenja energije pogodna je sjeverna Europa, SSSR, Kanada, Južna Amerika i sjeverna Australija. Mjesto hidroelektrane mora biti najviše 150km udaljeno od potrošača, jer je u suprotnom neracionalna i neisplativa.

d) Nuklearna energija – teoretski najbolje energetsko rješenje je fuzija – kemijska reakcija na razini subatomskih čestica u kojoj se spajaju neutroni i protoni u jezgru atoma helija prilikom čega se oslobađa velika i čista energija. Najpogodniji su atomi teškog vodika – DEUTERIJ ( jedan na svakih 3000 običnih atoma vodika). U moru ima oko 40 bilijuna tona te materije. Takvu reakciju u kojoj se atomi oslobađaju elektrona omogućuje visokoionizirana plazma za koju je potrebna vrlo visoka temperatura. Takvu temperaturu od 5000-6000°C nemože zadržati nijedan poznati materijal, zbog čega bi bilo nužno stvoriti takvo elektromagnetsko polje koje bi držalo plazmu na odgovarajućoj distanci. To je, također problem, jer bi se za tako jako elektromagnetsko polje potrošilo više energije nego što bi se dobilo, zato se u zadnje vrijeme radi na osposobljavanju supervodiča pomoću kojih bi se eliminirali gubici energije na otpor, no i sa supervodičima, cijeli postupak bi se trebao vršiti samo na apsoltunoj nuli (-273 °C).

12


1.3.5.8 URBANI PROSTOR Nauštrb mora, proširuju se obale nasipavanjem (npr. Žnjan). Zanimljive su namjene morskih površina za ploveće aerodrome na Dalekom istoku (Singapur). Izvode se umjetni otoci (Zlatni rat kod Zadra, Dubai – « palme » i « svijet »). Futurolozi predviđaju naselja pod vodom. 1.3.5.9 ODMOR I REKREACIJA, LJEČILIŠTA

1.3.5.10 PLOVNI PUT 1.3.6. Gibanje mora Gibanje mora se odvija pod utjecajem raznih sila: 1.3.6.1 FIZIKALNO-KEMIJSKO DJELOVANJE POD UTJECAJEM SUNČEVE RADIJACIJE

Navedeni faktori daju slijedeće pojave: - vjetar ; - promjene atmosferskog tlaka; - temperaturne razlike; - dotok vode s kopna. Manifestiraju se u obliku : - valova; - živog i mrtvog mora; - stojnih valova: - štige (seše) ; - utjecaja na morske mijene. 1.3.6.2 GEODINAMIČKE I GEOTEHNIČKE POJAVE U LITOSFERI I ZEMLJINOJ KORI Gornje pojave su najčešće različiti - tektonski poremećaji; - erupcije vulkana; - pomaci na rasjedima i pukotinama. Manifestiraju se u obliku valova tsunami. 1.3.6.3 PRIVLAČNO DJELOVANJE NEBESKIH TIJELA – generiranje morskih mijena Izravno utječe na stvaranje morskih mijena – plime i oseke, te morskih struja. 1.3.6.4 UMJETNE TVOREVINE (brodovi) Manifestacija u obliku valova generiranih kretanjem brodova i od utjecaja eksplozija. Kako je u Republici Hrvatskoj, dakle, u Primorju i Dalmaciji najveći problem vjetar, tj. on predstavlja najvažniji generator valova- ulaznih veličina za projektiranje bilo kojeg pomorskog objekta, u nastavku će se detaljnije obraditi svojstva vjetra i ostalih povezujućih klimatskih čimbenika.

13


VJETAR Vjetar je, po definiciji, pojava prirodnog kretanja zračnih masa, koje je uglavnom paralelno s površinom Zemlje. Kretanjem zračnih masa izjednačavaju se razlike atmosferskog tlaka nad određenim područjima. Djelovanje strujanja prikazano je na Slika 1.11.

HLADNO TOPLO

VJETAR

VISINSKI VJETAR

PRIZEMNI

SILAZNOSRUJANJE

UZLAZNOSRUJANJE

NE VJETROVI

NE VJETROVI

ZAPADNI VJETROVI

ZAPADNI VJETROVI

VISOKI TLAK

DIZANJE ZRAKA I CIRKULACIJA

VISOKI TLAK

NE PASATI

NE PASATI

NISKI TLAK0°

30°

30°

60°

60°

8 0 0 k m

a) b) Slika 1.11: a)Strujanje zračnih masa različitih temperatura; b)planetarni vjetrovi Na Slika 1.11, b) prikazani su stalni vjetrovi koji pušu u atmosferi (opći tok). Unutar strujanja odvijaju se procesi konvekcije – vertikalnog izdizanja zraka prema gore, te adijabatsko hlađenje. Atmosferski tlak – težina stupca zraka, računa se u hektopaskalima (hPa), a često se zna izražavti i u milimetrima stupca žive: 1000 [hPa] = 750,1 [mmHg] NORMALNI ATMOSFERSKI TLAK – je tlak na morskoj razini i 45° sjeverne širine, temperaturi 0°C uz 760 mmHg ili 10,33 N/cm2 =1033 hPa.

ON V

p0 p1

l

p2 p3

Baričko polje ili sistem je područje na kojem se promatra stanje tlakova u atmosferi, i u njemu se definiraju područja utjecaja ciklone- područja niskog tlaka i anticiklone-područja visokog tlaka. U takvom polju značajan je GRADIJENT TLAKA ILI BARIČKI GRADIJENT kao razlika između pojedinih izobara na Slika 1.12. Gradijent tlaka je okomit na izobare. Horizontalni gradijent tlaka u O:

2 1p pl−

Slika 1.12: Gradijent tlaka

14


Horizontalni barički gradijent:

2 1p p 60; l - u miljamal−

⋅

Horizontalni gradijent djeluje na jedinični volumen zraka, te stoga sila gradijenta tlaka iznosi

g

dp / dlF =ρ

.

Otklanjajuće sile odmiču smjer vjetra od smjera gradijenta. Na sjevernoj polutci vjetrovi se otklanjaju u desno, a na južnoj u lijevo. Djelujuće sile:

a) CORIOLISOVA SILA (FC) – sila koja nastaje zbog utjecaja rotacije Zemlje. Uvijek djeluje okomito na smjer gibanja, pa uzrokuje promjenu smjera, ali ne i brzine.

A’

A

ω ω

b) AKCELERACIJA (Fa) – ovisi o brzini vjetra i o geografskoj širini

[ ]

a 2 v sin 0,000146v sinbrzina rotacije Zemlje

v brzina vjetra m/s geografska širina

= ω ϕ =ω−

−

ϕ−

ϕ

Slika 1.13: Utjecaj akceleracije

c) CIKLOSTROFIČKA SILA (Fcf) – pojava zakrivljenih izobara

d) TRENJE – unutarnje trenje predstavlja otpore između čestica pojedine tvari, te dodatno vanjsko – trenje po površini zemlje.

Mjerenjem je utvrđeno da vjetar skreće od smjera gradijenta pod kutem od 20°- 30°. Što je veća brzina, manji je kut. Kut opada od ekvatora prema polovima. Iznad 700 m visine vjetar puše paralelno s izobarama jer nema trenja. MAHOVITOST VJETRA – za odstupanja < ±5 m/s - miran ili ravnomjeran vjetar < ±5 m/s - mahovit ili refulni vjetar U nastavku su grafički prikazane zračne struj, zračne mase i frontovi, te njihovo nastajanje.

15


16

PRIKAZ ZRAČNIH STRUJA:

N

N N

Sjeverna polutka

N

Južna polutkaCIKLONA

V V

ANTICIKLONAN – niski tlak V – visoki tlak Slika 1.14: Grafički prikaz zračnih struja


RASPORED ZRAČNIH MASA NA SJEVERNOJ POLUTCI

4

3

2

1

1

2

3 4

1

2

3

4

1-ARKTIČKI FRONT2-POLARNI FRONT3-TROPSKI FRONT

ARKTIČKI ZRAK

ARKTIČKI ZRAK ZRAČNE MASETROPSKI ZRAK

EKVATORIJALNI ZRAK

Slika 1.15: Raspored zračnih masa

Izvorna područja (zračnih masa) – područja gdje nastaju su prikazana na Slika 1.14 Karakteristike pojedinih zračnih masa : - jednolika temperatura i relativno slab vjetar – tropska mora, pustinje, polarna područja. Dijele se na tople i hladne zračne mase. Atmosferski frontovi su prelazna područja – javljaju se pri naglim promjenama metereoloških elemenata (Slika 1.15)

0123456

7

km

hladniklin

1:n

topli (n=100 300)-nagib klina

÷

frontalnapovršina

Slika 1.16: Formiranje atmosferske fronte Većina ciklona stvara se na glavnim frontovima troposfere. Na sinoptičkim kartama linije fronta predstavljaju sjecište frontalne površine s površinom Zemlje.

17


GLAVNE KARAKTERISTIKE VJETRA:

NNNE

NE

ENE

E

ESE

SE

SSES

SSW

SW

WSW

W

WNW

NW

NNW

RUŽA KOMPASA

1. SMJER 2. UČESTALOST 3. INTENZITET

Vjetar se mjeri različitim anemometrima – spravama za mjerenje brzine i jakosti vjetra. Za projektiranje, uz poznavanje prosječnih godišnjih brzina vjetra, potrebno je poznavati i postotak dana u godini kada nije bilo vjetra –calma (tišina). Obično postoji 8 podjela vjetrova, s obzirom na smjer (rjeđe 16, ponekad i 32) – Slika 1.17.

Slika 1.17: Ruža kompasa

Najzorniji prikaz djelovanja vjetra je graf ruže vjetrova (u nastavku je dato nekoliko primjera), ali i tablica sa numeričkim podacima (bolje za očitavanje vrijednosti). Navedeni podaci se nabavljaju od Državnog hidro-metereološkog zavoda (DHMZ), Oceanografskog instituta ili Hrvatskog hidrografskog zavoda (HHZ – ujedno vrši i sve premjere na moru).

N

E

S

W

INTENZITET UČESTALOSTINTENZITET I U šČESTALOST(najče će)

N

E

S

W

62°

0 20 40 60 80 100Skala za učestalost intenzitet

0-5 čvorova6-10 čvorova11-15 čvorova16-20 čvorova

C=6% - postotak tišine

Za točan smjer i intenzitet,koristi seprikaz u polarnim koordinatama

C=6% - postotak tišine

Slika 1.18: Ruže po različitim obilježjima

Ruža vjetrova se radi iz podataka za najmanje 20 godina.

18


VJETROVI KOJI SU AKTUALNI U NAŠEM PODRUČJU: N (tramontana)

NE (bura) ili grego

E (levanat)

SE (jugo)

S (oštro)

SW (lebi )grbin

ć

W (povenat)

NW (maestral)

Slika 1.19: Smjerovi i nazivi odgovarajućih vjetrova

MORE

MORE

KOPNO

KOPNO

26°C

26°C

40°C

20°C

topli zrak

noćni povjetarac

maestral

LJETNO RAZDOBLJEDAN

Noć

Ponašanje zagrijavanja mora i kopna koje rezultira i nastankom dnevnih vjetrova u tijeku jednog dana ljetnog razdoblja prikazano je na Slika 1.20 Kod projektiranja pomorskih objekata podaci o vjetru koriste se za: - određivanje opterećenja - trasiranje konstrukcija (lukobrani) - određivanje parametara vala Za sve navedeno, ranije spomenute institucije (DHMZ, HHZ, OI) izrađuju ELABORAT O VJETROVALNOJ KLIMI.

Slika 1.20: Nastanak poludnevnih vjetrova Elaborat o vjetrovalnoj klimi sadrži podatke o: - smjeru vjetra - intenzitetu - učestalosti Smjer vjetra određen je pravcem iz kojeg vjetar puše. Intenzitet se mjeri jedinicom brzine (m/s. km/h, čvor,mph – mile per hour). Tablica 1.4: Odnos jedinica brzine (intenziteta)

m/s km/h čvor mph 1 3,6 1,944 2,237

Razlikuju se DOMINANTNI VJETAR – s najvećom učestalošću, i VLADAJUĆI VJETAR – n najvećim intezitetom (jakosti). Za projektiranje pomorskih objekata uzima se vladajući vjetar, ali gleda se i učestalost.

19


2. MORSKI VALOVI

Za pravilno projektiranje i dimenzioniranje pomorskih objekata potrebno je poznavati val, i sile kojima on utječe na pojedine konstrukcije i njene dijelove, stoga je nužno promatrati teoriju nastanka i djelovanja valova. 2.1. DEFINICIJA MORSKIH VALOVA Morski valovi su proces periodičkog kolebanja neke granične plohe u moru udružen s osciliranjem vodnih čestica pod djelovanjem pobuđujućih i umirujućih sila. Pobuđujuće sile dolaze od zvijezda, gibanja meteoroloških sustava, seizmičkih i tektonskih poremećaja, vjetra i brodova. Umirujuće sile su površinska napetost, gravitacija i Coriolisova sila. Valovi prenose energiju kroz materijal bez značajnog ukupnog gibanja samog materijala. Pojedine čestice kružno gibaju i vraćaju u ravnotežnu točku kako val prolazi (oscilacije). Pojedini djelovi vala i oscilatorno ponašanje čestica prikazano je na Slika 2.1 i 2.2.

Slika 2.1: Djelovi vala Slika 2.2: Oscilatorno ponašanje čestica vala Valovi su općenito potencijalna i nestacionarna pojava.

20


2.2. VRSTE VALOVA Različiti su kriteriji i osobine valova na osnovu kojih ih možemo dijeliti, stoga je u nastavku dat niz podjela i definiranih vrsta valova. 2.2.1.1 S obzirom na sloj mora koji oscilira postoje:

ρ1

ρzp0

ρ2

DNO

a) površinski valovi - nastaju na plohama između različith fluida (more-zrak), zbog relativnog pomaka među njima ili kad je fluid pobuđen vanjskom silom.

Slika 2.3: Shema površinskih valova

b) dubinski valovi (interni)- nastaju u vodenoj masi na granici između različitih vodenih masa .

ρ1

ρz p0

ρ2

DNO

Slika 2.4: Shema internih valova Interni valovi se neće posebno obrađivati, te se stoga, u nastavku teksta pod izrazom val misli isključivo na površinske valove.

21


morske mijene

valovi od brodova

vjetrovni valovi

tsunami

sešeolujni valovi

2.2.1.2 S obzirom na generator koji ga proizvodi val može biti: a) pod utjecajem nebeskih tijela – plima i oseka

(plimni val) b) vjetrovni val c) val generiran kretanjem brodova d) tsunami – pod utjecajem seizmičkih sila e) meterološko reljefni utjecaj – seše

(meteotsunami), su stojni valovi u zatvorenim ili poluzatvorenim bazenima, te mogu nastati zbog djelovanja vjetra, promjene pritiska, seizmičkim ili dugim valovima s mora.

Na Slika 2.5. prikazana je shematski vremenska zastupljenost pojedinih vrsta valova

Slika 2.5: Vremenska zastupljenost valova

2.2.1.3 S obzirom na duljinu perioda

a) valovi kratkih perioda: – kapilarni (T=0,01-0,1s) – vjetrovni (T=1-14 s)

– valovi od brodova (T=0,8 – 2,0s)

b) valovi dugih perioda: – plimni valovi – tsunami (T=5 min – 1h)

– seše (T=15min – nekoliko sati) – olujni valovi (T=0,5 – 60 min)

2.2.1.4 S obzirom na smisao prostiranja kolebanja

a) pozitivan val – giba se u pozitivnom (+) smjeru osi – x

b) negativan val – giba se u negativnom (-) smjeru osi – x

U prirodi nikada pojedine pobuđujuće i umirujuće sile ne djeluju separatno nego kompleksno s različitim intenzitetom. Osim toga pobuđujuće sile su pulsirajuće i često slučajne prirode što sve skupa realne valove čini nepravilnim po frekvenciji, smjeru i amplitudi. Stoga se valovi još teoretski dijele na REALNE i IDEALNE, i kao takvi zahtjevaju i različite pristupe izučavanja i opisa. U nastavku su prezentirani različiti pristupi koji su se razvili za opise valova. Na razini ovog kolegija bavit ćemo se idelanim valovima koji se opsežnije odrađuju u posebnom poglavlju.

22


2.3. OPIS VALA Općenito osnovne karakteristike vala su: - visina, smjer, učestalost i trajanje. Važno je razlikovati tri pristupa u promatranju i opisu vala:

a) DETERMINISTIČKI PRISTUP – zahtjeva jasno determinirane podatke koji zanimaju inženjera za daljni proces analize djelovanja i konačno dimenzioniranja pojedinih objekata, i to su: - visina vala, H - brzina vala, c - profil vala - dužina vala, L - period, T - promjena tlaka - amplituda, a - strmost, H/L - energija

∆y

DOL

BRIJEG ca

H

L

Slika 2.6: Podaci za val Deterministički opis će se koristiti za opis idealnih pravilnih dvodimenzionalnih valova s konstantnim parametrima valnog profila.

b) STATISTIČKI PRISTUP – prikazuje realne nepravilne trodimenzionalne valove, na jednoj geografskoj točki za neko stacionarno stanje mora (10min do nekoliko sati), reprezentativnim parametrima valnog profila koji su za to stanje konstantni. Za statistički opis je potreban valni zapis ili vizualno opažanje.

REALNI VAL

KOMPONENTE

t

t

t

c) SPEKTRALNI PRISTUP - kao i statistički služi za prikaz kratkoročnog stacionarnog stanja realnih valova. No sredstvo spektralnog opisa je matematičko: funkcija spektralne gustoće koja se često skraćeno naziva valni spektar. Dakle, ovaj opis zahtjeva primjenu spektralne analize vala, u kojoj se realni polikromatski val rastavlja na niz komponenti koje se potom posebno promatraju. Ovaj proces se radi putem različitih stohastičkih (kratkoročnih i dugoročnih) metoda prognoze valovanja, parametarske metode i slično (o ovoj tematici više u Obalnom inženjerstvu).

Slika 2.7: Rastav realnog vala na komponente

23


3. IDEALNI VALOVI

3.1. DEFINICIJA Idealni val je veoma restriktivan fizikalni ili matematički model realnog vala. Fizikalni model je u odnosu na realni val restriktivan u toliko što je:

• dvodimenzionalan • monokromatski • jednostavan (opisan jednom(više) sinusoida ili nekom drugom harmonijskom

funkcijom) Mogu opstati samo u laboratoriju. Realni morski valovi nemaju niti jednu od karakteristika idealnih valova, a samo iznimno im se u tom pogledu približuju (dugi valovi mrtvog mora). Matematički model uključuje slijedeće važne pretpostavke bez kojih se nebi mogla pojava valovanja definirati jednadžbama:

• fluid je homogen i nestišljiv, gustoća je konstantna; • površinska napetost se zanemaruje; • Coriolis-ov efekt se zanemaruje; • tlak na površini mora je jednoličan i konstantan; • fluid je idealan ili neviskozan; • pojedini val se promatra bez interakcije s ostalim gibanjima vode; • dno je horizontalno, čvrsto, nepomičnog ruba što uključuje da čestice na dnu imaju

vertikalnu brzinu nula; • amplituda vala je mala, a forma vala je nepromjenljiva u prostoru i vremenu; • valovi su male strmine.

3.2. VRSTE IDEALNIH VALOVA

• S obzirom na duljinu perioda valovi se mogu dijeliti na : - valove kratkih perioda (periodi manji od 30 s) -velovi dugih perioda (periodi veći od 5min) Prvi imaju karakteristiku da je u pokretu pretežno površinski sloj mora dok se dubinski slojevi znatno manje ili ništa ne pokreću. Elementarne čestice se kreću u kružnim ili eliptičnim putanjama. Drugi imaju karakteristiku da pokreti zahvaćaju čitavu morsku masu. Pri tome su putanje karikirano izdužene elipse tako da se uočavaju samo horizontalni pokreti tamo-amo. Promjena gibanja čestica po dubini je mala u odnosu na promjenu kod kratkih valova.

• S obzirom na način i vrstu gibanja VALNOG PROFILA, gledajući po prostoru dijele se na progresivne i stojne valove, a gledajući po vremenu razlikuju se periodički i neperiodički valovi. Progresivni val je onaj kome se valni profil horizontalno giba u odnosu na fiksnu točku. Smjer u kome se greben giba je smjer rasprostiranja vala. Stojni val je onaj kome se valni profil pomiče samo gore-dolje na fiksnoj poziciji. Karakteriziran je trbusima i čvorovima. Periodički val je onaj kome se valni profil: t.j. kolebanje fizičke površine mora ponavlja u jednakim vremenskim intervalima. Neperiodički val je onaj kome se valni profil, odnosno izdizanje fizičke površine mora pojavi usamljeno, ili se ponavlja u vrlo dugim vremenskim intervalima tako da val izgleda usamljen (naziva se i soliterni val).

24


• S obzirom na gibanje VODNIH ČESTICA, koje se razlikuje od gibanja valnog profila, postoji oscilatorni i translatorni val.

Oscilatorni val je onaj kome se gibanje čestica odvija po kružnim ili eliptičnim putanjama (trajektorijama) koje su manje-više na istom mjestu. Vodna čestica pređe cijelu putanju za jedan valni period i to se na istom mjestu stalno ponjavlja s tim istim periodom. Ako su trajektorije zatvorene takvo gibanje vodnih čestica se naziva rotaciono,a ako su približno zatvorene naziva se irotaciono. Rotaciono gibanje ne daje nikakvo napredovanje vodnih čestica u smjeru rasprostiranja vala, a kod irotacionog gibanje daje veoma malo napredovanje vodnih čestica u smjeru rasprostiranja vala (t.z.v. drift struju). S druge strane pokreti susjednih vodnih čestica su jednake periodičnosti (frekvencije), ali su međusobno pomaknuti u fazi. Neke čestice su na vrhovima svojih orbita, neke malo niže tako da se može formirati valovita fizička površina mora. Translatorni val je onaj kome vodene čestice permanentno, u znatnom iznosu, napreduju s valnim grebenom i ne vraćaju se na svoje početno (originalno) mjesto. Spomenutih šest vrsta valova prikazani su na Slika 3.1.

Slika 3.1: Vrste valnog gibanja

25


3.3. DETERMINISTIČKI OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA Determinističkim načinom može se u potpunosti opisati samo idealni valovi preko zakona valne mehanike. Datira s početka razvoja pomorske hidraulike, 19. st. Realni valovi ne mogu se na taj način zadovoljavajuće opisati radi slučajne varijacije njegovih parametara. Najosnovniji parametri za opis valnog profila su visina H[m], dužina L[m] i period T[s]. - Amplituda a[m]=H/2 je maksimalni pomak fizičke površine mora od srednjice vala - Period vala T[s] je vremenski period između dva uzastopna prolaza grebena kroz istu točku. Visina H i dužina L su parametri vala koji se mijenjaju s dubinom. Period T se ne mijenja s dubinom! - Valni profil η(x,t)[m]≡z(x,t)[m] predstavlja vertikalno kolebanje fizičke površine mora po prostoru i vremenu u vidu neke cikličke funkcije. - Strmost vala H/L[1°] je odnos visine i dužine vala, kreće se od 1/7 do 1/200 (najčešće od 1/10 – 1/25)

- Brzina rasprostiranja vala, ili samo brzina vala, c[m/s] je brzina pojedinačnog brijega ili dola vala kojom se on rasprostire morskom površinom u odnosu na fiksnu točku. Kod oscilatornog vala dade se izraziti kao c = L/T, dok se brzina translatornog vala ne da izraziti na taj način jer T→∞. - Brzina vodne čestice v[m/s] je brzina kojom ona prolazi svoju putanju. Ima horizontalnu

komponentu "u[m/s]≡vx" i vertikalnu "w[m/s]≡vz". Većina navedenih parametara prikazani su na Slika 2.6., a ostale u nastavku valne mehanike. Nakon što je izvedena prva valna teorija (Trohoidalna, Gerstner 1802.) pokazalo se da ona ne može dobro opisati sva valna gibanja i svim područjima dubina mora, pa su razvijene pojedine teorije koje najbolje opisuju određeni valni profil i valna gibanja u određenom području dubina .Zbog toga neka teorija, prilagođena određenom valnom profilu, gibanju i području dubine mora, ima najmanje pogreške za upravo tekav val. Za drukčiji val i dubinu mora više griješi. Najčešće se koristi linearna teorija koja za najčešće inženjerske probleme prihvatljivo opisuje progresivnan, periodički, oscilatorni val u svim područjima dubina mora.

Veličina amplitude Red teorije Naziv i autor teorije 1) Valovi malih amplituda

H/L < 1/150 Prvog reda ili linearna

L > 150 H Airy (1845)

Trohoidalna, Gerstner (1802.), Stokes 2. reda (1880.), Stokes 3. reda Stokes 4. reda Stokes 5. reda

Prvog reda ili linearna Koncidalna 1. reda, Korteweg i De Vries (1895.),

2 Valovi konačnih amplituda i Knoidalna 2. reda, Hiperbolična (1968.) Iwagaki,

višeg reda ili nelinearna Soliterna (1872.) Businesque, Teorija strujne funkcije (1973.)

Dean

26


Tablica 3.1: Determinističke teorije idealnih valova kratkih perioda 3.4. OSNOVNE JEDNADŽBE VALNOG GIBANJA Equation Chapter (Next) Section 3. EULER-ova jednadžba:

2v v 1grad rotv x v R gradp

t 2∂

+ + = −∂

rur r ur

ρ (3.1)

Strujanje je bezvrtložno: rot v 0=

r (3.2)

Strujanje je u općem polju sila: R grad= Ω

ur (3.3)

Za polje sila teže vrijedi : , g zΩ = ⋅ R g= − Uzima se nestišlijvi fluid : const.ρ = Uvrštenjem u (3.1) slijedi:

2v p v vgrad 0 ili gradB 0

t 2 t⎛ ⎞∂ ∂

+ Ω + + = + =⎜ ⎟∂ ρ ∂⎝ ⎠

r r

(3.4)

gdje je 2p v

2Ω+ +

ρ- Bernoulijev tročlan

Uvođenjem brzinskog potencijala slijedi: (x,y,z,t)Φ = Φ v grad=r

Φ u svakom trenutku t

vr

dlr

2

1

Put integracije neovisan o t

x y zv i j k v i v j v kx y z

∂Φ ∂Φ ∂Φ= + + = + +∂ ∂ ∂

r r r r r r r (3.5)

Promotrimo v dl⋅r r

(3.6) x y zv dl v dx v dy v dz⋅ = + +r r

( )grad dl dx dy dz 0 po definiciji za totalni diferencijal dx y z

∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ = + + = − Φ

∂ ∂ ∂

r (3.7)

Dakle: d v dΦ = ⋅

r rl je jednadđžba potencijala što je analogno ( )gradB dl dB=

r

Jednadžbu (3.4) integrira se uzduž „l“ (vektorski integral)

( )v dl gradB dl 0 (v dl) dB 0 (d ) dB 0t t t

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ = → ⋅ + = → Φ + =⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎝ ⎠

rr r r r

(3.8)

d dB 0 / B Ft t

∂Φ ∂Φ+ = → + =∫

∂ ∂(t) (3.9)

27


Opterator d ne djeljuje na vremensku komponentu ! Kako je gradΦ ovisan samo o položaju u prostoru F(t) može se uzeti cont. (ili uključiti u Φ ):

B constt

.∂Φ+ =

∂ (3.10)

Za polje sila teže slijedi.

2p vgz const.

t 2∂Φ

+ + + =∂ ρ

(3.11)

To je Bernoully-jeva jednadžba za nestacionarni tok. jednadžba kontinuiteta za const.ρ =

yxvv vdivv 0 0

x y z∂∂ ∂ z= → + + =

∂ ∂ ∂

r (3.12)

Slijedi Laplace-ova jednadžba potencijalnog toka:

x y zv grad v ; v ; vx y z

∂Φ ∂Φ= Φ→ = = =

∂Φ∂ ∂ ∂

r (3.13)

Uvođenjem u (3.12) sliejdi:

2 2 2

2 2 2 0x y z

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ+ + =

∂ ∂ ∂ (3.14)

v grad= Φr

(3.15)

2p vgz const.

t 2∂Φ

+ + + =∂ ρ

(3.16)

Jednadžbe (3.14),(3.15) i (3.16) su za rješavanje valnog problema + rubni i početni uvjeti Nepoznato je : v,p,Φ

r

Broj nepoznanica može se reducirati na p i Φ 2 2 2

2 2 2 0x y z

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ+ + =

∂ ∂ ∂

22 2p 1gz c

t 2 x y z⎡ ⎤⎛ ⎞∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + =⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

onst.⎥ (3.17)

Dvodimenzionalna predstava:

-z

n

y

D

x

DNO

z

O

DOL

S.R.M. (z=0)

BRIJEG0p p 0= =

Slika 3.2: Shematski prikaz površinskog vala

Za mirno more: 0v 0; z 0; p p 0; 0 const. 0t

∂Φ= = = = = →

∂

r=

28


Rubni uvjeti su : Dno:

n z Dv 0, z D |n n =−

∂Φ ∂Φ⎛= = = − → =⎜∂ ∂⎝ ⎠

r0⎞⎟ (3.18)

Površina mora:

0

2 2

z y

z y; p p 0

1| gt 2 x z=

= = =

⎡ ⎤∂Φ ∂Φ ∂Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦y 0=

(3.19)

Početni uvjeti su: 0(x,z,t ) F(x,z)Φ =

3.5. VALOVI MALIH AMPLITUDA – Airy-eva teorija Najelementarnija od svih teorija je teorija valova malih amplituda ili još nazvana linearna teorija, odnosno, prema autoru Airy-jeva teorija (1845). Airyjeva teorija može se označiti kao prva aproksimacija nelinearnog opisa oscilatornih valova. Ta teorija daje uvid u sva periodička valna ponašanja i opis valnog profila u svim područjima dubina mora.

-z

nz=-D DNO

y x

x

D

z

OS.R.M

H

L2 2

2 2

Jednadžba :

0x z

- xD z 0

∂ Φ ∂ Φ+ =

∂ ∂∞ < < +∞− < <

Slika 3.3: Grafička prezentacija Airy-evih postavki Rubni uvijeti:

pretpostavke su: H D; na površini v 0<< ≈r

z y z 0|t t

|= =

∂Φ ∂Φ∂ ∂

(3.20)

za površinu:∞ z 0

1| gy 0; yt g t=

∂Φ ∂Φ+ = = −

∂ ∂ (3.21)

29


z D z Dza dno: | 0; | 0;n z=− =−

∂Φ ∂Φ= =

∂ ∂ (3.22)

Rješenje se traži Fourierovom separacijom varijabli: ( x ) ( z) ( t )(x,z,t) X Z TΦ = ⋅ ⋅ (3.23) Uvođenjem u Laplace-ovu jednadžbu dobije se:

X '' Z ''X '' Z T X Z '' T 0 | X Z TX Z

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ÷ ⋅ ⋅ → = − (3.24)

kako desna strana ne ovisi o (x), to je u jednadžbi konstanta:

2 2X '' Z ''k 0; kX Z+ = = (3.25)

iz čega slijedi :

2X '' k X 0+ = (3.26) 2Z '' k Z 0− = (3.27) Rješenje dobivenih običnih jedndžbi (diferencijalnih) glasi:

kz kzX Acos(kx) Bsin(kx) i Z Ce De−= + = + (3.28) gdje su A, B, C i D konstante. Potencijal glasi: kz kz(x,z,t) (Acos(kx) Bsin(kx)) (Ce De ) T(t)−Φ = + ⋅ + ⋅ (3.29)Za funkciju T(t) predpostavlja se, radi razvijenosti oscilatornog vala,

2 da je harmonijskog oblika: T(t) cos( t) ili sin( t);gdje je frekvencija valaTπ

= σ σ σ = −

Za izabrani val (pozitivni) moguće je prema rubnim uvjetima odrediti konstante da rješenje glasi:

[ ]cosh k(D z)H(x,z,t) g cos(kx t)2 cosh(kD)

+Φ = − −

σσ (3.30)

a za negativni val:


+Φ = + −σ

σ (3.31)

gdje je H visina vala.

Profil vala : z 0

1 Hz 0; y | y sin(kx t)g t 2=

∂Φ= = − → = −σ

∂ (3.32)

2 2gdje je : k valni broj ; frekvencija valaL Tπ π

= − σ = −

H x ty sin 2 ( )2 L T

⎡ ⎤= π −⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.33)

Dakle, profil vala po linearnoj teoriji (malih amplituda) je sinusoidalni val. Periodičan je po prostoru i vremenu. Oblik vala za promatrača koji putuje brzinom vala, je nepromjenjen: kx t const.−σ =

30


Brzina pomaka koordinatnog sustava biti će :

dx 2 / T L cdt k 2 / L T

σ π= = =

π= (3.34)

Brzina i dužina vala - određuju se posrednim putem Vertikalna brzina čestice na površini :

2

z z 0 2

y 1 1v ( | )t t g t g t z 0|= =

∂ ∂ ∂Φ ∂ Φ= = − = −∂ ∂ ∂ ∂

(3.35)

Vrijedi i slijedeće:

zvz z 0| =

∂Φ=∂

(3.36)

tako da se izjednačavanjem dobije:

2

z 02 g |t z =

∂ Φ ∂Φ 0+ =∂ ∂

(3.37)

Ako se uvrsti Φ za pozitivni i negativni val, dobije se: 2 g k tgh(kD)σ = ⋅ ⋅ (3.38)

LKako je : c ; c kk T

dobije brzina vala koja je neovisna o visini vala H :

σ= = σ = ⋅

gL 2 Dc tgh2 L

π= ⋅

π (3.39)

Dužina vala je : 2gT 2 DL c T ili L tgh

2 Lπ

= ⋅ = ⋅π

(3.40)

pa je brzina vala : gT 2 Dc tgh2 L

π=

π (3.41)

Period T Po jednostavnoj harmonijskoj analizi period vala ne ovisi o dubini – VAŽNA PRETPOSTAVKA. Dokaz:

DNO

1 2ulazni val: T=T1 izlazni val: T=T2 U dugačkom ∆t uđe:

11

22

tN valoT

tN valoT

∆=

∆=

va

va

Slika 3.4: Ponašanje valova smanjenjem dubine Kada je ∆t dovoljno veliko mora biti N1=N2

1 2 11 2

1 1N N t( ) samo za T TT T

− = ∆ − → = 2

Period vala se mjeri. Za vjetrovne valove T=1÷14 s (približno).

31


Podjela valova prema relativnoj dubini D/L Tablica 3.2: Tablični prikaz podjele valova

ASIMPTOTSKE FUNKCIJE RELATIVNA DUBINA D/L

TIP VALOVA PARAMETAR Kd=2πD/L sinh(kD) cosh(kD) tgh(kD)

0 do 1/20 PLITKO MORE (dugački valovi) 0 do π/10 kD 1 kD 1/20 do 1/2 SREDNJE MORE (normalni valovi) π/10 do π ‐ ‐ ‐

1/2 do ∞ PLITKO MORE (kratki valovi) π do ∞ kD1 e2

kD1 e2

1

• DUBOKO MORE – D/L>1/2 (pučina)

0

0

2

0

gL gTbrzina vala : c2 2

gTdužina vala : L2

= =π π

=π

• PLITKO MORE – D/L<1/20

gLbrzina vala : c tgh(kD) gD2

dužina vala : L c T gD T

= =π

= ⋅ = ⋅

• SREDNJE MORE – 1/20<D/L<1/2

0

2 Dbrzina vala : c c tgh( )Lπ

=

0

2 Ddužina vala : L L tgh( )Lπ

=

0 0

c Lc L

⇒ =

0

0

D D 2 DMože se izvesti i slijedeće : tgh( );L L L

na osnovu čega se može izračunati dužina vala L na zadanoj dubini D i dužina vala na pučini L .

π=

32


4. VALNA KINEMATIKA

-z

Putan ja čestice

z=-D DNO

y x

D

D+(-z)

z

OS.R.M

H

L

c

xvε

ζ

zv

4.1. Kinematičke veličine

Slika 4.1: Definicija parametara površinskog vala Equation Chapter (Next) Section 4 Potencijal vala definiran već ranije dat je izrazom:


+Φ = − −

σσ (4.1)

Brzine su definirane izrazima:

[ ]x

cosh k(D z)Hvx T sinh(kD)

+∂Φ π= = −σ∂

cos(kx t) (4.2)

[ ]z

sinh k(D z)Hvz T sinh(kD)

+∂Φ π= = −σ∂

sin(kx t) (4.3)

Pomaci čestica (putanje):

[ ]x

cosh k(D z)Hv dt sin2 sinh(kD)

+ζ = = −∫ ϑ (4.4)

[ ]z

sinh k(D z)Hv dt cos2 sinh(kD)

+ε = = ϑ∫ (4.5)

gdje je x t(kx t) 2 ( )L T

ϑ = −σ = π − fazni kut.

Ubrzanje čestica:

x x xx x z

loka lno ubrzanjekonvektivno ubrzanje

v v va v vx x t

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂1442443 (4.6)

Konvektivno ubrzanje (ubrzanje od utjecaja toka) se može zanemariti (polazna pretpostavka),

te stoga vrijedi xx

vat

∂≈∂

i zz

va , a nakon sređivanja slijedi: t

∂≈∂

33


[ ]2

x 2

cosh k(D z)2 HaT sinh(kD)

+π= sinϑ (4.7)

[ ]2

z 2

sinh k(D z)2 HaT sinh(kD)

+π= − ϑcos

)

(4.8)

Iz izraza za putanju, brzinu i ubrzanje čestice proizlazi da se odgovarajući parametar sastoji iz:

( ) (veličina parametra

hiperbolni utjecajveličina parametra na površini fazni utjecaj

relativne dubinedubokog mora

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

4.2. Parametarski oblik putanja čestica: Za zadano „z“ mogu se izdvojiti konstante:

[ ] [ ]cosh k(D z) sinh k(D z)H HA ; B2 sinh(kD) 2 sinh(kD)

+ += = ;

tako da putanja čestice se može pisati: A sin i Bcosζ = ϑ ε = ϑ ; odnosno:

2 2

2 2 1 jednadžba elipseA Bζ ε

+ = − (4.9)

D D D

H

B B B

A A A

L L=D L=D

a) DUBOKO MORE b) SREDNJE MORE c) PLITKO MORE

DNO

DNODNO

Lz2

= −

1D / L2

>1 1D / L

20 2< <

1D / L20

<

Slika 4.2: Putanje čestica u različitim područjima mora: a)duboko more; b)srednje more; c)plitko more 4.2.2. Duboko more Asimptotske vrijednosti funkcija za D/L→∞ bit će:

[ ]( )

[ ]( )

kzcosh k(D z) sinh k(D z)e ;

sinh kD sinh kD+ +

≈ ≈ (4.10)

zbog čega osi elipse postaju jednake :

2 zLHA B e

2

π

= = (4.11)

Putanje čestica u dubokom moru su kružnice (Slika 4.2.a)) Navedeni izraz vrijedi iz slijedećeg matematičkog odnosa

34


x x xe e e esinh(x) ; a cosh(x)2 2

i za slučaj kad x , cosh(x) sinh(x)

− −− += =

→∞ ≈

x

4.2.3. Plitko more Vrijedi za asimptotsko stanje D/L→0 :

[ ]( )

[ ]( )

cosh k(D z) sinh k(D z)1 ;sinh kD kD sinh kD D

+ + z1≈ ≈ + (4.12)

što je proizašlo iz odnosa za slučaj kad ; te će osi elipse za plitko more glasiti:

x 0, sinh(x) x→ ≈

(kad z 0 B H/2)

H L H zA ; B (1 )2 2 D 2 D

= → =

= ⋅ = ⋅ +π 1442443

(4.13)

4.3. Raspodjela tlaka Iz Bernoullijeve jednadžbe (gdje je zanemareno v2)

p gz ot

∂Φ+ + =

∂ ρ (4.14)

uvede se izraz za valnu funkciju Φ i izračuna se tlak:

[ ]

1max i min

za brijeg i dol

cosh k(D z)gHp gz cos2 sinh(kD)

p gz gA cos±

+ρ= −ρ + ϑ

= −ρ +ρ ϑ

ili (4.15)

Grafički prikaz raspodjele tlaka na Slika 4.3

DNO

DNO

DUBOKO MORE PLITKO MORE

-z -z

L2−ρgz −ρgz

+ρgA +ρgA−ρgA −ρgA

Slika 4.3: Raspodjela tlaka u dubokom i plitkom moru

35


4.4. SUPERPOZICIJA VALOVA MALIH AMPLITUDA 4.4.1. Općenito

Uvjetna jednadžba 2 2

2 2 0x z

∂ Φ ∂ Φ+ =

∂ ∂, kao i pripadajuća amplituda z 0

1y |g t =

∂Φ= −

∂, su line

i

arne,

te stoga vrijedi zakon superpozicije (pojedine faze se zbrajaju). Ukupni potencijal je:

N

T 1 2 Ni 1

...=

Φ =Φ +Φ + +Φ = Φ∑ (4.16)

a i-ta faza vala glasi:

[ ]iii

i i

cosh k (D z)H g cos(k x2 sinh(kD)

+Φ = ±σ +δ

σ i i it ) (4.17)

gdje predznak ± određuje smjer vala, a iδ predstavlja fazni pomak (mjereno od ishodišta). Ukupno ima (N-1) nezavisnih faznih pomaka (jer je jedan određen odgovarajućim izborom ishodišta - kx ). t±σRezultirajući profil vala, brzine i tlaka:

=

= = − −σ∑N

T i i ii 1

Hy y , gdje je y sin(kx t )2

+ δi (4.18)

=

=∑N

xi 1

v xiv (4.19)

=

∂Φ∂Φ= − − = − −

ρ ∂ ρ ∂∑N

T T

i 1

p pgz ili gzt

i

t (4.20)

Neka je za sve komponente ki=k: σi=σ, tada se može na osnovu identiteta + = ⋅ + ⋅sin(a b) sina cosb cosa sinb napisati:

N N

iT i

i 1 i 1

Hy sin(kx t) cos cos(kx t) sin2 2= =

= −σ δ + −σ∑ ii

Hδ∑ (4.21)

Neka je: N N

i ii

i 1 i 1

H Hcos r cos ; i sin r sin ,2 2= =

δ = λ δ = λ∑ ∑ i može se izračunati

Ni

iN N2 2i i i 1

i i Ni 1 i 1 i

ii 1

H sinH H 2r ( cos ) ( cos ) ; i arctgH2 2 cos2

=

= =

=

δ= δ + δ λ =

δ

∑∑ ∑

∑ (4.22)

pa je rezultirajući val Ty r cos sin(kx t) r sin cos(kx t)= λ ⋅ −σ + λ ⋅ −σ (4.23) Izračunavanje može se prikazati vektorski u polarnom koordinatnom sustavu: r i λ

nH2

r

δ

r

2δ

λ

2π− λ

kx t−σ

1/2H

2H2

36


Slika 4.4: Polarni koordinatni sustav i poligon vektora

4.4.2. Superpozicija pozitivnih i negativnih valova, odbijanje (refleksija) Pozitivni i negativni valovi zbrajaju se prema općem pravilu. Posebno su važne za razmatranje superpozicije pozitivnog i negativnog vala koje nastaju refleksijom dolaznog vala od neke prepreke na mjestu (Slika 4.5.a)) Rx x=Odbijeni val imat će isti period jer se period ne mjenja – invarijantan je. Vrijedi i . 2 1k k= 1 2σ = σAmplituda vala u točki iznosit će Rx x= RH K H1= ⋅ (4.24)

Rgdje je 0 K 1≤ ≤ - koeficijent odbijanja (refleksije). Ako je dobijanje potpuno

R RK 1; a za slučaj potpune propusnosti prepreke (obale) K 0,u kojoj krajnosti više i nema refleksije.= =Za spomenuti slučaj RK 1; brzinski potencijal odbijenog vala biti će :=

[ ][Tcosh k(D z)H g cos(kx t) cos(kx t )

2 cosh(kD)+

Φ = −σ − +σ + δσ

] (4.25)

2gdje je fazni pomak odbijenog vala.δ Ako je prepreka od koje se val odbija vertikalna i nepropusna onda je na njoj ispunjen uvijet:

T R0, za x x i za svaki tx

∂Φµ = − = =

∂.

Uvodeći izraz za derivaciju potencijala dobije se:

[ ][T 2cosh k(D z)H gk sin(kx t) sin(kx t )

2 cosh(kD)−

µ = −σ − +σ + δσ

] (4.26)

Odakle trebaizračunati fazni kut (pomak) - 2δ . Fazni pomak odnosi se na varijablu x, na koju 2Tπ

σ = ne utječe. Ovaj uvjet je ispunjen u slučaju:

R T R 2sin(kx ) sin((kx ) t) 0−σ − + δ +σ⋅ = (4.27) Razvojem gornjeg izraza u oblik: R R R 2 Rsinkx cos t coskx sin t sin 2(k x )cos t cos(k x )sin tσ⋅ − ⋅ σ ⋅ = ⋅ + δ δ + ⋅ + δ δ (4.28) Odakle slijedi:

R R 2

R R

sinkx sin

2

(kx )coskx cos(kx )

= + δ= − + δ

(4.29)

Ova dva uvjeta ispunjena su kod faznog pomaka: 2 R(2n 1) 2kx ; n 0,1, 2, 3,...δ = + π− = (4.30) Razultirajući profil vala bit će:

T RH Hy sin(kx t) K sin(kx t )2 2

= −σ + + σ + δ2 (4.31)

37


; uvodeći i , nakon sređivanja se dobije: 2δ RK = 1

R

T Ry Hsin(kx t) cos(kx kx )= −σ ⋅ − (4.32) U dobivenoj jednadžbi postoje dva faktora; jedan je ovisan samo o x, a drugi samo o t. Prema tome, postoje trenuci kada je yT = 0 za svaki x, a također postoje i mjesta kada je yT = 0 za svaki t. Mjesta gdje je yT = 0 za svaki t zovu se čvorovi. Lokacija čvorova bit će određena iz:

R čvor R(2n 1)cos(kx kx ) 0; i x x n 0, 1, 2, 3,...

2k+ π

− = = − = (4.33)

Opisano stanje valova sa stacionarnim čvorovima zove se stojni val ili klapotis (Slika 4.5 b)) Konstrukcija odbijenog vala zasniva se na zrcaljenju dolazećeg vala. Iz konstrukcije se može „očitati“ fazni pomak 2δ .

c c

y

a)

x=0H

Rx x=

ZRCALO

2 / kδ

x

b)

y

x=0 čvor čvorH

TH

TmaxH 2H=

x

Slika 4.5: Prikaz odbijanja vala od prepreke a)refrakcija; b)klapotis

U analizi refleksije vala prikladnije je postaviti koordinatni sustav uz pregradu tako da je xR = 0. Tada rezultirajući val ima jednadžbu: T 2y Hsin t coskx; (2n 1)= − σ ⋅ δ = + π (4.34) Maksimalna visina stojnog vala je dvostruka u odnosu na osnovni val. Stojni val opisan je

normalnim oblikom pozitivnog vala: Hy sin(kx t)2

= −σ ; koji u čvorovima mora zadovoljiti

uvjet ; pa je: sin(kx t) 0−σ =

čvorn tx ; n 0, 1, 2, 3,...

k⋅ π + σ

= = (4.35)

Brzinski potencijal stojnog vala biti će:

[ ]T R

cosh k(D z)Hg cos(kx t)cos(kx kx )cosh(kD)

+Φ = − ⋅ −σ −

σ R (4.36)

Te kao takav, potencijal daje komponente brzine stojnog vala:

38


[ ]

[ ]

Tx R

Tz R

cosh k(D z)Hk gv cos(kx tx cosh(kD)

sinh k(D z)Hk gv cos(kx t)cos(kx kx )z sinh(kD)

+∂Φ ⋅= = ⋅ −σ −

∂ σ

+∂Φ ⋅= = − ⋅ −σ −

∂ σ

R

R

)sin(kx kx )

(4.37)

Kako je u čvorovima Rcos(kx k ) 0− = vidi se da u položaju čvorova postoje samo horizontalnna strujanja, a u antičvorovima (trbusima) samo vertikalna. Ukupni tlak unutar stojnog vala određen je izrazom:

Tcoshk(D z)p g y z

coshkD+⎡ ⎤= ρ −⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.38)

Ispod čvora (yT =0) tlak je samo hidrostatički. DJELOMIČNA REFLEKSIJA – K 1 R < U slučaju djelomične refleksije, fazni pomak 2δ ne mora biti ( ) R2n 1 2kx+ π− . Fazni pomak

određuje se kao i ranije iz rubnog uvjeta u točki refleksije. Nepoznati koeficijenti refleksije određuju se iz energijskog uvjeta. Obično se jedan dio energije prenosi dalje kroz pregradu (iznad, ispod ili kroz), jedan dio energije se izgubi (disipacija), a ostatak se odbije.

2δ

Veličina koeficijenata odbijanja (refleksije) odredi se pokusom, a za uobičajene primjere postoje tablice.

39


BRZINA GRUPE VALOVA

Dva pozitivna vala različitih perioda daju:

( ) (1T 1 1 1 2 2

H Hy sin k x t sin k x t2 2

= −σ + δ + −σ + )2δ

=

(4.39)

Primjer: 1 2 1 2T 12s, T 8s, 0= = δ = δSuperpozicija različitih valova može dati pojavu grupe valova koja ima neku grupnu brzinu . Promotriti će se grupa valova kao beskonačni red malih poremećaja. Neka su poznata dva „bliska“ vala istih amplituda i u fazi su

gC

( )0δ = . Rezultirajući val za takva dva vala biti će nakon transformacije :

( ) ( ) ( ) (T 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1y Hcos k k x t sin k k x t2 2 2 2

)⎡ ⎤ ⎡= − − σ −σ ⋅ + − σ + σ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.40)

Anvelopa tih valova imat će nultočke (čvorove)

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2 čvor

1 2 1 2

2m 11 1k k x t 2m 1 ili x t2 2 2 k k k

+ π⎡ ⎤σ −σπ− − σ −σ = + = +⎢ ⎥− −⎣ ⎦ k

(4.41)

koji su funkcija vremena. Brzina pomaka čvorova biti će brzina grupe valova:

( )( )

1 2čvorg 1 2

1 2

dx dbrzina grupe C ili za Cdt k k dk

σ −σ σ= = σ → σ

− g = (4.42)

Kako je k cσ = ⋅ slijedi gdcC c kdk

= − , a za 2kLπ

= dobije se za brzinu grupe valova

gdcC c LdL

= − .

Uvodeći 2 gc tghkDk

= nakon sređivanja se dobije

gc 2kDC 1 n2 sh2kD⎡ ⎤ c= + =⎢ ⎥⎣ ⎦

⋅ (4.43)

Gdje je n broj iznad 12

za duboko more i 1 za plitko more. Prema tome vidi se da pojedinačni

valovi imju uvijek veću brzinu od grupe valova. 4.4.3. Utjecaj malih nagiba dna na refleksiju valova

40


Kada je dno nagnuto val iz dubine dolazi na plićak i dolazi do snažnog utjecaja dna na val uslijed čega se mijenja dužina i visina vala. Nagibi dna su mali Miche-ova formula za koeficijent refleksije:

( ) ( )2

0 0 0 0 0 0 critcrit crit

2 sinH L , za H L H L K 1β ⋅ β= ⋅ ≤

π π→ = (4.44)

Inače:

( )0 0 critr

0 0

H LK

H L= δ (4.45)

oH -visinaidužina valana pučiniδ-eksperimentalni koeficijentδ=1za nepropusne i glatke kosineδ=0,7do0,9za nepropusne i neravne kosineδ=0,3do0,6za propusne i neravne kosine

4.4.4. Energija i snaga valova Ukupna energija : p kE E E= + Kinetička energija :

( )( ) ( )L D L D L D

2 2 2 2k x z

0 0 0 0 0 0

1 1 1E mv dx dz v v v v d2 2 2

− − −

= δ = ρ − + = ρ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2x z xdz (4.46)

Nakon uvođenja , te nakon integriranja dobije se: x yv ,v

2

kHE g L16

= ρ (4.47)

Potencijalna energija (ukupna energija mirovanja):

L

p T T0 ukupna potencijalna

potencijalna energijaenergijamirovanja

D D yE p (D y)dx g D L ;p g težišni tlak2 2

++ − ρ ⋅ = ρ −∫ (4.48)

L

2 2p

0

1E g(D y) dx gD L2

ρ + − ρ ⋅∫ (4.49)

Uvođenjem y i integracijom dobije se 2

pH LE g16

= ρ , pa je pE Ek= , iz čega je ukupna energija:

2

p kH LE E E g

8= + = ρ (4.50)

Srednja kinetička energija po jedinici dužine vala je

(2E H LE g gustoća ener )gije

L 8= = ρ (4.51)

4.4.5. Protok energije (snaga toka) u smjeru vala

Zanemareno u skladu s linearnom teorijom. Ukupni protok energije u periodu T, po dubini D iznosi:

2v

41


( )T 0 2

x0 D

H L 2kDP p gz v dzdt ili P g 116 sh2kD−

⎛= +ρ = ρ +⎜⎝ ⎠∫ ∫ ⎞

⎟ (4.52)

Srednji protok energije (srednja snaga toka) u periodu T:

2 2P H L 1 2kD H c 2kDP ili P g 1 g 1

T 8 T 2 sh2kD 8 2 sh2kD⎛ ⎞ ⎛= = ρ ⋅ ⋅ + = ρ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞ =⎟ (4.53)

Kako je gc 2kDC 1 brzina grupe valova biti će protok energije : 2 sh2kD⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

gHP g C8

= ρ ⋅ ili gP E C= ⋅ ili nEPT

=

Dakle, protok(prijenos) energije odvija se brzinom grupe valova Vrijedi zakon održanja:

Slika 4.6: Shema zakona održanja Uz pretpostavku stacionarnog procesa i bez disipacije i proizvodnje energije ili refleksije valova, zakon održanja snage ima jednostavniji oblik. 2 1P P 0− = (4.54) odnosno ( ) ( )g g2 1

E B C E B C const. (4.55) ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Iz prethodnoga izvodi se izraz za transformaciju visine vala uzduž valnih ortogonala (zraka).

1 2 2

2 1 1

H n L BH n L B

= ⋅ 2

1

(4.56)

Općenito može se pisati :

s r

K

o 01

2K K

L BHH 2nL B

= ⋅ (4.57)

s - koeficijent pličine , Kr – koeficijent refrakcije Transformacija vala može se izraziti u obliku :

2

01

2

BH 2ch kDH B 2kD sh2k

=+ D

(4.58)

Isto se može pisati i za strminu vala:

2

0 0

0

H BH 2ch kD ctghkDL L B 2kD sh2kD= = ⋅

+ (4.59)

gdje je: B – širina između dviju zraka B0,H0,L0 – parametri vala na dubokom moru.

42


5. TRANSFORMACIJE VALA

Profil i parametri vala postepeno se mijenjaju kad se val rasprostire iz dubokog mora prema plitkom. U dubokom moru valne karakteristike se dobro opisuju linearnom teorijom, dok teorije valova konačnih amplituda dobro aproksimiraju valove u plićem moru. Prema ovim teroijama izvedene su brojne relacije i definirani parametri prema kojima se izračunavaju transformacije valova.

Slika 5.1: Primjer transformiranog vala Rasprostiranjem vala prema obali nastaje prostorno i vremenski niz deformacija, a to su: 1. deformacija valova na nagnutom dnu zbog smanjenja dubine (“shoaling” efekt) 2. deformacija valova usljed trenja s dnom 3. refrakcija valova (kad valovi nailaze koso na izobate) 4. difrakcija valova 5. lom valova 5.1. Jednadžbe transformacija vala Transformacije vala opisuju što se događa s valovima kada oni dospiju iz dubine u plitko more. Te pojave su definirane pomoću dviju vektorskih jednažbi: 6. jednadžba propagacije vala: Equation Section 5 0k∇× =

r (5.1)

7. i jednadžba očuvanja protoka energije: ( )gEC 0∇⋅ =

uur (5.2)

43


Vektor k predstavlja vektor valnog broja, njegov smjer je određen smjerom propagacije vala, a iznos je jednak valnom broju:

2kLπ

= (5.3)

Prema teoriji valova malih amplituda, duljina vala L je:

2

0( ) ( )2gTL tgh kD L tgh kDπ

= = (5.4)

gdje je T period vala, L0 je duljina vala u dubokom moru i D je dubina mora. U jednadžbi 5.2 (ECg) je izraz za protok energije (fluks), a E je gustoća energije vala data izrazom:

218

E gHρ= (5.5)

dok je Cg vektor brzine grupe valova, čija vrijednost je: gC nC= (5.6) gdje je C brzina propagacije pojedinačnih valova

0( ) (2

L gTC tgh kD C tgh kDT

)π

= = = (5.7)

a n je

1 212 sinh(2 )

kDnkD

⎛= +⎜

⎝ ⎠

⎞⎟ (5.8)

Gore su prikazane osnovne jednadžbe potrebne za opis transformacija a njihov složeniji izvod i rješenja mogu se potražiti u literaturi (Liu 1990., Berkhoff 1972. i sl.)

5.2. „SHOALING“ EFEKT (utjecaj plićine):

Iz analize valova kratkih perioda čiji je pravac napredovanja okomit na izobate morskog dna (poseban slučaj refrakcije α=0), te primjenom zakona održanja protoka energije na jedinicu širine grebena u dubokom i plićem moru, proizlazi koeficijent plićine („shoaling coefficient“) prikazan u jednadžba 5.11

Slika 5.2: 3D Prikaz utjecaja plićine (5.9) o go gE c E c nCE const⋅ = ⋅ = =

Eo – srednja kinetička energija na jedinicu dužine vala u dubokom moru cgo – brzina grupe valova u dubokom moru

44


E – srednja kinetička energija na jedinicu dužine vala u plićem moru, na mjestu na kojem se računa deformacija vala zbog smanjenja dubine cg – brzina grupe valova na mjestu na kojem računamo deformaciju vala zbog smanjenja dubine

0 0 012g0c n C C= ⋅ = ⋅ (5.10)

Izraz za n dat je u jednadžbi 5.9. Co – brzina pojedinačnog vala u dubokom moru C – brzina pojedinačnog vala na mjestu na kojem računamo deformaciju vala zbog smanjenja dubine Iz prethodno spomenutih relacija održanja protoka izvodi se izraz:

0 0

0 0

1 1 12 ( ) ' S

n CH KH n C n tgh kD H

= = = =H (5.11)

H'o – visina vala u dubokom moru kada valovi dolaze na obalu pod pravim kutem. H – visina vala na mjestu na kojem računamo deformaciju vala zbog smanjenja dubine Ks – koeficijent plićine (shoalling coefficient)

5.3. Refrakcija vala 5.3.1. Jednadžbe refrakcije

Refrakcija je deformacija valova na nagnutnom dnu kada oni nailaze koso(α≠0) na izobate morskog dna. Manifestira se promjenom smjera rasprostiranja valova i parametara vala. Promjena smjera rasprostiranja valova nastaje u prelaznom području i u plitkom moru, kad je d < Lo/2 i ovisi o dubini d i kutu α kojeg zraka vala čini s konturom dna.

Slika 5.3: Prikaz pojave refrakcije pri kosom nailasku vala na obalu Promjena smjera zraka vala nastaje zbog razlika u brzini rasprostiranja dijela vala koji je u plićem moru te napreduje sporije i dijela vala koji je u dubljem moru i napreduje brže. Ova promjena smjera se očituje povijanjem grebenova, koji su u dubokoj vodi paralelni pravci, a rasprostiranjem prema obali grebenovi se savijaju i sve više poprimaju oblik izobata odnosno obalne crte. Smjer valova, odnosno zrake postaju okomite na obalnu crtu (formira se lice plaže). Dužina vala se prema obali smanjuje, a visina vala se ovisno o refrakciji povećava (na rtovima) ili smanjuje (u uvalama). Kada je protok energije sačuvan između zraka vala, na udaljenosti B, tada vrijedi:

45


nCEB const= (5.12) što se nadalje usporedbom razvije u (isto kao i za „shoaling efekt“):

0 0 0 0

0

1 1 12 ( ) S R

n C B BH K KH n C B n tgh kD B

= = = (5.13)

gdje je R0

BKB

= – koeficijent refrakcije (a B se očita ili izračuna iz plana refrakcije)

Bo – širina snopa jedinične valne energije u dubokom moru (d >Lo/2) B – širina snopa na mjestu na kojem računamo valnu visinu Navedeni izrazi su već dijelom prezentirani u jednadžbama 4.54 do 4.59. 5.3.2. Planovi refrakcije Refrakcija valova prikazuje se planom refrakcije koji se sastoji od grebenova valova i zraka (ortogonala) – okomica na grebenove. Postoje različite metode izrade planova refrakcije (prelamanja valova):

1. Metoda valne dužine - grafička konstrukcija na osnovi Snellovog zakona - direktna primjena Snell-ovog zakon

2. Numerička integracija diferencijalnih jednadžbi zraka vala U nastavku su opisana opća načela primjene Snell-ovog zakona i numeričke integracije (5.3.3 i 5.3.4), a na idućim slikama prikazani su primjeri refrakcije u stvarnim situacijama.

Slika 5.4: Prikaz koncentracije energije zraka valova

na rtovima

46


Slika 5.5: Primjer deformacije grebena vala (Aljaska) s naznačenim smjerom zraka koje u ovom slučaju i ogibaju oko rta i završavaju okomito na obalnu crtu 5.3.3. Snellov zakon Za praktičnu primjenu često se uzimaju pretpostavke da su obalna crta i linije batometrije približno ravne i međusobno paralelne. Za proračun propagacije vala koristi se jednadžba 5.1. koja se sada može napisati na slijedeći načina (upotrebom Kartezijevih koordinata):

( sin ) ( cos ) 0k kx y

α α∂ ∂+ =

∂ ∂ (5.14)

gdje je x predstavlja os okomito na obalnu crtu, a y uzdužno, kao što se vidi na Slika 5.6.

Slika 5.6: Shema refrakcije Za obalu i batimeriju drugi dio gornje jednadžbe je nula pa ostatak daje: ksin 0α = (5.15) Kako period T ostaje isti tijekom refrakcije dobije se izraz:

C constsin

=α

(5.16)

47


Ovi izrazi predstavljaju Snell-ov zakon refrakcije vala koji računa kuteve nadolazećih zraka vala prema slijedećem:

2 2

1 1 0 0

sin C sin C 2 D, odnosno tghsin C sin C Lα α π⎛= = = ⎜α α ⎝ ⎠

⎞⎟ (5.17)

Kako se svaka zraka jednako refraktira udaljenost paralelna s obalnom crtom ostaje konstantna između dviju zraka:

B constcos

=α

(5.18)

što znači,

1

2 2

B cosB cos

1α=α

(5.19)

i koeficijent refrakcije se može izraziti:

0R

B cosKB cos

0α= =α

(5.20)

Ako se u obzir uzme duljina vala – L, uz malo trigonometrije (l=y u prethodnim izrazima) Snellov zakon može se prikazati i na slijedeći način na Slika 5.7 i izrazima:

2

2 1

L Llsin sin

= = 1

α α (5.21)

1 1 1

2 2 2

sin L C T Csin L C T C

1

2

α ⋅= = =

α ⋅ (5.22)

1. greben

2. greben

2 1 2D D ;C<

1 1L C T= ⋅

2 2L C T= ⋅

1 2D ;C1α

1α

l

2α2α

Slika 5.7: Bliži prikaz trigonometrije veličina koje opisuju dvije susjedne zrake vala i njihove transformacije uslijed refrakcije (prelamanja)

48


5.3.4. Primjena numeričke integracije

dx

dydl

greben

zraka

x

y

-d +dl(x,y)

+d

t

t+dt

s

c

c+δcsδ ds

ds

U dubokom moru dno ne utječe na promjenu parametara vala (kaže se da val “ne osjeća dno”). Zbog toga parametri vala su konstantne veličine i u dubokom moru se “indeksiraju” s “0”: H0 – visina vala, L0 – dužina vala, c0 – brzina vala. Brzina vala ne ovisi o dubini mora d, već o periodu vala c =f(T), koji je za idealan val konstantan (T = const.). Zbog toga sve točke duž grebena vala u dubokom moru imaju istu brzinu pa su grebenovi i zrake valova pravci, mo kao što se na Slika 5.8 vidi, čim zrake dospiju u plići dio, dolazi do zakretanja kako je opisano u nastavku

Slika 5.8: Diferencijalni segment integracije u planu refrakcije (x i y su obrnuto prikazani u odnosu na Slika 5.6)

U prelaznom području i u plitkom moru valovi “osjećaju” dno te dolazi do savijanja grebenova, jer se dio grebena koji je u dubljoj vodi kreće brže nego u plitkoj vodi. Kod analize refrakcije valova smatra se da prenošenje energije između zraka vala (ortogonala) ostaje konstantno, odnosno da ne dolazi do širenja energije bočno po grebenu.

49


Jednadžbe zrake vala date su slijedećim izrazima: c = c(x,y) – brzina vala u točki (x,y)

- promjena položaja točke vala u vremenu dt:

dl c dt dx c cos dt dy c sin dt

= ⋅= ⋅ α ⋅= ⋅ α ⋅

(5.23)

- nadalje, uređivanjem izraza:

dx c cos dtdy c sindt

= ⋅ α

= ⋅ α (5.24)

- promjena kuta zrake vala u vremenu dt:

cc ds dt cdtdcsd

ds ds

∂⎛ ⎞+ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠α = − = − dt (5.25)

ddt s

cα ∂= −

∂ (5.26)

gdje je:

c csin coss x

∂ ∂ cy

∂= − α ⋅ + α ⋅

∂ ∂ ∂ (5.27)

Početni uvjeti: ( )0 0 0

0 0

0 0

0

T x , y – početna točka zrake valaD – dubina u točki Tc – brzina vala u točki T

početni kut upada zrake valaα −

Za formirane varijable x, y i α date su diferencijalne jednadžbe:

0

t

0t

x x c cos dt= + ⋅ α∫ (5.28)

0

t

0t

y y c sin dt= + ⋅ α∫ (5.29)

0

t

0t

c dts

∂α = α + −

∂∫ (5.30)

50


Rješavanje sustava jednadžbi provodi se jednim od postupaka (eksplicitna metoda, implicitna metoda i ili mješoviti postupak) numeričke integracije (diskretizacija u vremenu – ∆t) koje onda daju vrijednosti integrala u pojedinim točkama. U nastavku je dat konkretan primjer rješenog plana refrakcije na području plaže autokampa u Splitu, primjenom metode konačnih elemenata na kojima je vršen gore opisan postupak uz korištenje algoritma za proračun točki progresije zraka vala u Fortranu.

Slika 5.9: Mreža konačnih elemenata za plan refrakcije na području plaže autokamp

51


Slika 5.10: Proračunsko rješenje plana refrakcije Kao što je vidljivo na Slika 5.10 proračunate zrake vala se postepeno u plićem moru šire i prelamaju na rtovima, odnosno na platou i punti, da bi u konačnici njihov smjer bio okomit na obalnu crtu. 5.4. Lom vala Kada se val rasprostire prema plaži, u vrlo plitkom moru visine vala teže u beskonačnost, ali postoji fizička granica određene strmosti vala. Kada val prođe tu granicu dolazi do loma i disipacije energije vala. Strmost vala se definira kao kvocijent visine i dužine vala. Idealan val može zadržat stabilnu formu i neće se lomiti samo ako mu je strmost manja od maximalne strmosti za određenu dubinu.

Slika 5.11: Lom vala u dubokom moru Kriterij Stokes-a: Povećanjem visine vala brzina čela vala postaje bliska brzini vala, zbog čega val postaje nestabilan i lomi se. Duboko more - valovi ne reagiraju s dnom tako da im strmost može povećati samo vjetar i na taj način dovesti do loma kad se prekorači (Ho/Lo)max. Maximalan strmost vala u dubokoj vodi (d > Lo/2) određena je izrazom:

o

o max

H 1 0.142L 7

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.31)

Plitko more - valovi u plitkom reagiraju s dnom što rezultira povećanjem strmosti i lomom vala ako se prekorači (H/L)max. Maximalna strmost vala u plitkom moru (d < L/20) određena je izrazom:

max

H 1 2L 7

DLπ⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.32)

Izraze 5.31 i 2.32 dokazao je eksperimentom Dunel (1952.) Srednje more - uvjet za lom vala (maksimalnu strmost) postavio je Miché (1944.):

52


max

H 1 2tghL 7 L

Dπ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.33)

Slika 5.12: Lom vala u plitkom moru Usporedbom izraza za duboku i plitku vodu može se zaključiti da valovi u dubokoj vodi mogu održati stabilnu formu uz veću strmost nego u plitkoj vodi. Poznavanje loma vala je vrlo važno radi određivanja stabilnosti

građevina koje se nalaze na području loma.

RASPADANJE VALAPROPINJANJE VALA (UDARNI LOM)

NAKUPLJANJE

Lom vala može biti u različitim oblicima, neki od njih su prikazani na Slika 5.13.

Slika 5.13: Primjeri tipova loma vala Lom vala po Miche-ovoj formuli vrijedi za idealan val. Na lom još utječe nagib dna i strmina vala, tip zaštite obale i sl. Za takve i druge slučajeve koriste se Goda (1970.) dijagrami.

USPINJANJE VALA

lD lD

uDuD

Slika 5.14: Prikaz uspinjanja vala uz obalu (konstrukciju-lukobran i lukobran s bermom) Kod blažeg nagiba obale od 5 do 10 % dolazi do prelamanja vala, dok se kod strmijeg nagiba obale ne stigne prelomiti nego dolazi do uspinjanja (Slika 5.14).

53


5.5. Difrakcija vala Difrakcija vala je pojava kod valovanja koja se bavi prijenosom energije vala poprečno na zrake vala. Posebno je odvojena od refrakcije mada najčešće u prirodi se javljaju u zajedničkom međudjelovanju. Osnovna razlika od refrakcije jest da se difrakcija ne bavi promjenom dubine, nego isključivo transformacijama vala zbog iznenadne promjene uvjeta valovanja kao što je to prilikom pojave prepreka tipa lukobrana i valobrana, ili npr. broda kao na Slika 5.15.

Slika 5.15: Primjer difrakcije oko broda Klasičan primjer čiste difrakcije vala je primjer valobrana – Slika 5.16.

Zona sjene Zona valovanja

Zrake valova

Grebeni valova

Valobran

Zrake

Grebeni

Slika 5.16: Čista difrakcija Valobran dijelu zonu valovanja i zonu sjene a linija koja ih povezuje je zraka vala. Uz pretpostavku konstantne dubine (bez refrakcije), analiza difrakcije proračunava energiju vala koja se disipira unutar zone sjene. Navedeni proračun, čak i za jednostavne situacije kao što je 5.16 je vrlo kompliciran, a rješenja su dali brojni autori kao što su Dean i Dalrymple (1984), Goda(2000.– razradio je model za realan val koji daje isto tako nešto točnije vrijednosti KD), Penney i Price (1951.) i za zahtjevnije proračune čitatelj se upućuje na spomenutu literaturu. Za preliminarne proračune je, zato, vrlo često dovoljno koristiti dijagrame difrakcije koji su već ranije određeni proračunom(numerički) ili eksperimentalno. Dijagram difrakcije daje numeričke vrijednosri koeficijenta difrakcije:

( )Di

HK F xH

= = ,y (5.34)

gdje je Hi – incidentni val koji nailazi na prepreku, a H je tražena za KD umanjena visina vala u zoni sjene. Na Slika 5.17 prikazan je takav dijagram za položaj valobrana iz Slika 5.16 prema

54


CERC (1984.) a u navedenoj literaturi se mogu naći i ostali dijagrami za različiti kut nailaska incidentnog vala. Slika 5.17: Dijagram difrakcije za kut nailaska vala α=90° (CERC 1984.) Kada efekt plićine, refrakcija i difrakcija djeluju istovremeno visina vala se može izraziti:

S R D0

H K K KH

= (5.35)

Kombinacijom različitih dijagrama mogu se rješavati kompleksniji problemi. Na slijedećim slikama su prikazani primjeri dijagrama za različite ulaze u luku.

Slika 5.18: Difrakcija na ulazu u luku otvora - B/L=2

55


Slika 5.19: Difrakcija na ulazu u luku – detaljnije za veličinu

otvora B/L=2,5 (gore) i B/L=2,95 (dolje)

56

Documents

Luke i Pomorske Gradevine