Løsningsforslag til kapittel 10 - Lydbølger Oppgaver til plenum: Vi regner med at decibelskalaen og bruk av logaritmer kan by på enkelte problemer. Derfor en kort repetisjon:

• Absolutt lydintensitet: Vi betegner lydintensiteten med bokstaven I, og siden intensitet er energi per tid per areal måler vi lydintensiteten med enheten Joule/sekund/meter2 = W/m2.

• Høreterskelen: Vi kan høre lyder helt fra 10-12 W/m2 til 10 W/m2. Ofte angir

vi ikke den absolutte lydintensiteten i W/m2, men i form av et tall som angir lydens intensitet i forhold til intensiteten til den svakeste lyd vi kan høre, nemlig høreterskelen I0 :

• Decibelskalaen: Oftest angir vi lydintensiteten ved hjelp av den logaritmiske decibelskalaen, forkortet dB, og vi bruker her den greske bokstaven beta når vi angir lydintensiteten i decibel:

Decibel angir forholdet mellom en gitt lydintensitet I og intensiteten til den svakeste lyd vi kan høre, slik at høreterskelen I0 får verdien 0 dB.

Tier-logaritmen Definisjon:

Logaritmen med basis 10 til et tall x, her skrevet log10(x), er den potensen vi må opphøye basistallet 10 i for å få tallet x.

Eksempler: 1. log10(100) = 2 fordi 100 = 10 * 10 = 102 2. log10(1000) = 3 fordi 1000 = 10 * 10 * 10 = 103

Oppgave 1 Hvis I = 100 ganger høreterskelen I0, hva er da forholdet I/I0, og hva er lydintensiteten uttrykt i dB? Hvis I = 100 ganger høreterskelen I0, så er forholdet I/I0 lik 100 = 102, tierpotensen er 2, og lydintensiteten er 20 dB, som svarer til en hviskende stemme: Hvis lydintensiteten øker med en faktor 100, svarer det til en økning på 20 dB.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

010log10

IIdBβ

2120 /10 mWI −=

( ) dBI

IdB 20210

100log10

0

010 =×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=β

Oppgave 2 Lydenergi som kommer fra et punkt, brer seg utover i det 3-dimensjonale rommet. Når vi dobler avstanden til lydkilden, må energien fordeles over et kuleskall med fire ganger så stor flate, som illustrert i figur 10-14 l læreboka. Tidobler vi radien, blir lydintensiteten bare en hundredel. En forelesning blir holdt ute på en stor åpen plass – uten mikrofon. En student som sitter 3 meter fra foreleseren hører en høy og klar stemme med intensitet I1 som svarer til β1 = 70 dB. Hvilken lydintensitet β2 vil en student som kom litt seint og satte seg 30 meter fra foreleseren oppleve? Først ser vi at differansen mellom de to lydintensitetene – uttrykt i dB – er gitt ved: Her har vi benyttet oss av at det finnes enkle regneregler for logaritmer:

Logaritmen til et produkt av to tall

er lik summen av logaritmen til de to tallene. Logaritmen til forholdet mellom to tall

er lik differansen mellom logaritmen til de to tallene.

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=−−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

1

210

110210

010110010210

0

110

0

21012

log10

loglog10loglog10loglog10

log10log10

II

IIIIII

II

IIββ

( ) ( ) ( )BABA logloglog +=×

( ) ( )BABA logloglog −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Forholdet mellom størrelsen på et kuleskall mer radius 30 meter og et kuleskall med radius 3 meter er f = (30)2 / (3)2 = 900 / 9 = 100.Altså er lydintensiteten I2 bare 1/100 av I1. Ergo blir lydintensitet β2 gitt ved En tidobling av avstanden fører til at lydintensiteten faller med 20 dB.

Oppgave 3 Et flue i en viss avstand fra øret gir en lydintensitet på 40 dB. a) Hva blir lydintensiteten hvis to fluer lager like mye lyd i denne avstanden fra øret? En lydintensitet på 40 dB svarer til en lydintensitet I angitt i W/m2, der forholdet mellom I og høreterskelen I0 er slik at

Og siden vi vet at I0 = 10-12 W/m2, så har vi følgende lille ligning som kan gi oss I : Fluesurret svarer altså til I = 10-8 W/m2. To fluer gir da I2 = 2I, som svarer til En dobling av lydintensiteten svarer til 3 dB. b) Hvor mange fluer (N) skal det til for å komme opp i 60 dB? ( se bilde)

En økning på 20 dB svarer til en økning i intensitet med en faktor 100.

40log100

10 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛II

( ) ( )( )( ) 8

10

10

121010

1210

108log

412log410loglog

4010

log10

−

−

−

=⇔−=

=+=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

II

II

I

( )( ) ( )( )

( ) dBdBdB

dB

4343010.010)(10log2log10)(

102log1010

102log10)(

41010

41012

8

10

≈+=+=

×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×= −

−

ββ

β

( )( ) ( )( )( )( ) .100log2

4log610loglog6

10log1060

1010log1060

10

10

41010

410

12

8

10

=⇔=+=+=

×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×= −

−

NNNN

N

N

dBI

I5020)2(10100log10 11

1

1

1012 =−=−+=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+= ββββ

Oppgave 4: Toner og frekvenser a) En kammertone (A) har frekvens lik 440 Hz. Dette er samme frekvens som summetonen i telefonen. Hva er perioden til denne svingningen? For periodisk svingende signaler er perioden lik tidsintervallet mellom to punkter på samme sted i svingningen. Perioden er gitt ved T = 1 / f. Når f = 440 Hz får vi en periode T = 1 / 440 s = 2.27 millisekunder. Se for eksempel på figur 10-6.

Figur 10-6. Et utsnitt på ett hundredels sekund av funksjonen y(t) = cos(2π*440t), som tilsvarer kammertonen A4 (440 Hz).

b) Hvis vi går en oktav ned, hvor mange perioder er det da per sekund? En oktav ned betyr at f = 220 Hz, se figur 10-7. Vi ser at den samme bølgeformen gjentar seg 2.2 ganger i løpet av 1/100 sekund, tilsvarende 220 ganger per sekund. Antall perioder per sekund er alltid gitt ved 1 / T = f. Antall gjentakelser per sekund gir frekvensen, målt i Hertz.

Figur 10-7. Funksjonen y(t) = cos(2π*220t) fra t=0 til t=0.01 tilsvarer tonen A3 (220 Hz).

Siden det er 12 halvtonetrinn i en oktav vil vi få neste halvtone ved å multiplisere frekvensen med en konstant k. Når vi har multiplisert 12 ganger skal vi ha gått opp en oktav, dvs. at frekvensen skal være doblet. Siden k12 = 2, må vi ha k=2(1/12), eller verbalt: faktoren k er lik 12-te rot av 2, dvs k = 1.0594631. c) Hva er forholdet mellom frekvensen til en Fiss og en C? (se figur 10-8 i boka) Det er seks trinn mellom disse to tonene. Tolv trinn svarer til en oktav, altså et forhold lik 2, så sånn sett er vi halvveis til en dobling Men selv om seks er halvparten av tolv, så er naturligvis ikke forholdet mellom Fiss og C lik halvparten av 2 ! Forholdet er 2(1/12) . 2(1/12) . 2(1/12) . 2(1/12) . 2(1/12) . 2(1/12) = 2(6/12) = 2(1/2) ≈ 1.414…, altså lik kvadratroten av 2.

-1

1

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

-1

1

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Oppgave 5: Doppler-effekt: Hva skjer når lydkilden flytter seg? Når vi skal illustrere hva som skjer når en lydkilde flytter seg i forhold til lytteren, er det enklest å se på lydbølger som ringer som brer seg utover. La oss si at vi tegner en ring for hvert maksimum i trykkamplituden til en lydbølge med frekvens f. Hvis lydkilden er i ro, får vi et mønster av konsentriske sirkler, og avstanden mellom sirklene blir lik bølgelengden til lyden. Denne bølgelengden er gitt ved λ = v/f, der v er lyd-hastigheten i mediet. Siden f = 1/T (der T er perioden), kan dette også skrives λ = vT.

Figur 10-19. Trykkbølger fra en stillestående lydkilde brer seg utover som ekvidistante konsentriske ringer. Bølgelengden er den samme i alle retninger.

Hvis lydkilden flytter seg mens den sender ut en lyd med en bestemt frekvens – og dermed en bestemt bølgelengde, får vi en situasjon som i figur 10-20.

Figur 10-20. Trykkbølger fra en lydkilde som beveger seg mot høyre med vS = v/2.

λ=vT

λ1=vT1 λ2=vT2

Her har lydkilden beveget seg med jevn hastighet mot høyre. Hver lydbølge brer seg utover i luften fra det stedet der lydkilden var da lyden ble sendt ut. Resultatet er at bølgetoppene ligger tettere på denne siden mens de ligger lenger fra hverandre på motsatt side. Hvis vi sender ut lyd med en bestemt bølgelengde mens lydkilden beveger seg med en hastighet vS rett mot en observatør, så vil observatøren oppleve at det er flere lydbølger som passerer per tidsenhet enn om lydkilden hadde stått i ro, og hun vil høre en lyd med kortere bølgelengde enn λ. Denne bølgelengden er λ1 = (v - vS ) T, der T er perioden til lydbølgen når lydkilden var i ro. Observatøren opplever en periode T1 gitt ved T1 = λ1/v og en høyere frekvens:

f1 = 1 / T1 = v / λ1 = f v/(v - vS ) (I) På motsatt side vil en observatør oppleve at en lydkilde som fjerner seg gir en lyd med lengre bølgelengde: λ2 = (v + vS ) T, lengre periode: T2 = λ2 / v og en lavere frekvens:

f2 = 1 / T2 = v / λ2 = f v / (v + vS ) (II) Dette fenomenet har sikkert alle opplevd mange ganger. Når et utrykningskjøretøy med sirene kommer mot oss hører vi en høyfrekvent lyd – altså en lyd der bølgelengden er ganske kort. Idet kjøretøyet passerer faller frekvensen – bølgelengden blir lengre – tonen flytter seg nærmere bassen. a) Hvor stor må hastigheten vS være for at en frekvensendring skal være hørbar? Endringen i frekvens må være større enn 0.3% av utgangsfrekvensen (se avsnitt 10.2). For en sirene som kommer rett mot oss, og deretter fortsetter rett bort fra oss, må vi ha:

(f1 - f2) / f1 > 0.003 1 - ( f2 / f1) = 1 – (v - vS ) / (v + vS ) = 2 vS / (v + vS ) > 0.003

dvs at vS /v > 0.003 / (2-0.003) ≈ 0.15%. Med en lydhastighet v på ca 330 m/s svarer det til at vi så vidt kan høre Doppler-effekten hvis vS = 0.5 m/s = 1.8 km/t – altså langt under normal gangfart.

b) Hvor stor må hastigheten vS være for at en tone skal falle et halvtonetrinn på 12-toneskalaen? Vi må ha et forhold mellom frekvensene som er lik tolvte rot av 2:

f1 / f2 = 2(1/12 )= 1.06, dvs at (v + vS )/ (v - vS )=1.06 altså (v + vS ) = 1.06 (v - vS ), eller vS / v = 0.06 / 2.06 ≈ 3%. Dette svarer til vS ≈ 10 m/s = 36 km/t.

Oppgaver terminalstue:

Oppgave 6: Introduksjon til å spille lyd på termstuene For å spille lyd på linux-maskin, sett inn pluggen til høretelefonene dine. Prøv å spille en .wav-fil fra inf1040/www_docs/lydfiler/*.wav med programmet play. For eksempel: play ~inf1040/www_docs/lydfiler/star.wav Prøv noen av de andre lydfilene. Alle disse filene er på WAV-format. Du lærer mer om lydformater senere, som f.eks. hvorfor en .wav-fil tar så mye mer plass enn en .mp3-fil med samme musikkstykke.

Cosinus-signaler, frekvens og amplitude På figuren under ser du en funksjon av typen x(t)=A cos(2πft+ϕ). Kan du bestemme amplituden A og frekvensen f for dette plottet?

Amplituden er høyden på den største utslaget. Dette er ca. 15 her, dvs. A=15. For å regne ut frekvensen, finner vi først perioden T som er avstanden mellom to ”like” steder på kurven (rød strek på kurven). T er ca. 1*10-3=0.001s (som er 1ms) Frekvensen f=1/T=1/0.001=1000Hz. Og hva er A og f for plottet under?

A=10, T=0.001s, f=1/0.001=1000Hz. Dette plottet har også en faseforskyvning phi fordi cosinus-kurven ikke har sin maksimumsverdi for t=0..

Programmet SumOfSignals Først et lite hint om SumOfSignals: hvis programmet hakker noen ganger, så skru av plottingen og prøv igjen, eller stopp lyden og start den igjen. Hvis noen spør om programmene kan kjøres på PC, så er svaret ja, men de må være litt nevenyttig, kunne kopiere filene over nettet og sette CLASSPATH fra et MS-DOS kommandovindu. Hvis noen vil kjøre disse programmene på sin egen PC hjemme, så må de kopiere filene på ~inf1040/www_docs/java over nettet til sin egen PC, f.eks. i en mappe på harddisken som heter Java. Opprett et kommandovindu, gå så til dette området. Skriv set CLASSPATH=.;./inf1040.jar java SumOf Signals Da skal det virke, men det virker bare tilfredsstillende hvis PC-en er relativt ny og rask. Vi skal bruke to spesielle Java-programmer for å jobbe med lyd. Programmene ligger på ~inf1040/www_docs/java og heter SumOfSignals og DACSimulator. For å kjøre dem på linux, trenger du å sette en variabel som heter CLASSPATH. Dette gjør du ved å legge inn følgende setning nederst i din .envir-fil: setenv CLASSPATH $CLASSPATH:/hom/inf1040/www_docs/java:/hom/inf1040/www_docs/java/inf1040.jar

Så må du logge ut og inn igjen. Alternativt kan du sette det i et xterm-vindu, men da virker det bare i dette vinduet, og ikke neste gang du logger deg inn. Prøv nå å starte programmet SumOfSignals ved å si java SumOfSignals Nå får du opp et vindu med kontrollknapper for å lage enkle sinussignaler og spille dem av. Prøv å skru litt på knappene og hør hva som skjer. Først vil du kanskje skru ned lydvolumen litt ved å justere på knappene merket Amplitude. Sett amplituden for ”square wave” og ”triangle wave” til 0. Sett amplituden til Sine Wave 1 til en høy verdi, og amplituden til ”sine wave 2” og ”sine wave 3” til 0. Da hører du bare én tone. Prøv å endre frekvens og amplitude til den sinus-komponenter du hører. Hva skjer når du endrer amplitude og frekvens? Når man øker amplitude, øker lydstyrken. Når man endrer frekvens, endrer vi på antall svingninger i sekundet. Øker vi frekvensen, høres det ut som en høyere tone, og senker vi frekvensen, høres det ut som en lavere tone. Velg knappen ”Signal from generator” og få et plott over signalet som en funksjon av tiden. Se hvordan plottet endrer seg når du endrer amplitude og frekvens. Hvor langt ned i frekvens kan du høre? Kan du høre et signal med frekvens 20 Hz? 50 Hz? 75 Hz? 100 Hz?

Vi skal kunne høre ned mot 20Hz når vi er små, men de færreste voksne hører en så lavfrekvent lyd. Prøv å skjønne litt av sammenhengen mellom den amplitudeverdien du velger, og hva plottet viser. Hvor stor er den største verdien du ser i kurven? Prøv så å forstå sammenhengen mellom hvilken frekvens du har valgt og hva du ser i plottet. Ser du endringen i kurveformen når du f.eks. velger først frekvens 100Hz og så skifter til litt høyere frekvens. Hva skjer med den lyden du hører når du øker frekvensen. Amplituden er gitt som den største verdien vi ser i kurven. Frekvensen forteller hvor raskt kurven svinger. Lav frekvens svinger sakte, høy frekvens svinger raskere. Velg knappen ”Signal in D/A”, som viser plott av signalet etter konvertering til analogt signal for avspilling. Hvis du velger for høyt lydnivå, vil signalet klippes i amplitude. Prøv å velge minst to signaler samtidig (”sine wave 1” og ”sine wave 2”) og øk gradvis amplitudene. Se hva som skjer med D/A-plottet. Kan du høre effekten av dette? Når du velger to amplituder samtidig og summen av dem blir større enn 32767 (max-verdi i 16 bit), klippes verdier større enn dette, dvs. de settes til 32767. Dette hører du som skurring, og du ser det som flate topper i plottet Signal in D/A. Velg knappen ”Generator spectrum”, og se på frekvensinnholdet til det signalet du lager. Velg to sinus-komponenter med ulik frekvens og se når du ser to topper i frekvensplottet. Velger du to sinuskomponenter, så ER det to topper i frekvensspekteret, men hvis disse frekvensene er ganske like, så klarer ikke plottet å vise to topper. Øker du forskjellen i frekvens noe, så ser du etter hvert to topper. Firkantpuls, trekantpuls og sinus Velg en enkelt sinuskomponent og se at den gir en topp i frekvensplottet/spekteret. Velg så en enkelt trekantpuls og se på spekteret til denne. Hva skjer med spekteret når du går fra en sinus til en trekantpuls og siden til en firkantpuls? Hører du forskjell på en sinus, trekantpuls og firkantpuls? Hva tror du er best egnet for å representere musikk? Spekteret til en sinus har en klar topp. Spekteret til en trekantpuls er mer uregelmessig med også andre frekvenskomponenter. Spekteret til firkantpuls inneholder mange andre frekvenser. Sinusen, som er en glatt kurve, gir den beste lyden, mens firkantpulsen er mest skurrete. Lag sum av flere signaler Ved å velge flere komponenter samtidig, både sinuskomponenter og trekant- og firkantpuls, kan vi lage mange rare lyder. Se på signalet i ””Signal from generator og prøv deg litt fram med ulike valg. Lag toner og akkorder Du kan lage bestemte toner ved å lage bestemte frekvenser. En C-dur skala som ligger midt i vanlig register består av følgende toner og frekvenser:

C D E F G A H C 262 Hz 294 Hz 330 Hz 349 Hz 392 Hz 440 Hz 494 Hz 523 Hz Prøv å velge akkurat en av disse frekvensene på en av sinuskomponentene. Hint: tast inn tallet i den hvite boksen hvis du ikke får flyttet slidebaren til akkurat riktig frekvens. Så kan du prøve å lage en akkord av tre toner samtidig. Lag en C-dur treklang ved å la en sinuskomponent være lav C (262 Hz), en E (330 Hz), og en G (392 Hz) samtidig. Pass på amplitudene slik at summen av alle de tre komponentene ikke blir så stor at den klippes (se på ”Signal in D/A” for å sjekke om klipping skjer). Se på spekteret til treklangen. Merknad: det ER tre frekvenskomponenter du hører, men hvis du ikke kan se tre topper i spekteret så skyldes det plotteprogrammet. Forsøk å gå en eller to oktaver opp for hver av de tre tonene. I forelesningsnotatene finner dere formelen for vilkålige toner, så de som vil kan bruke denne til å lage andre akkorder/toner. De som spiller et instrument har kanskje moro av dette, men dere trenger ikke kunne formlene. For de som er interessert i å regne på sammenhengen mellom frekvensen til en tone og tangentens nummer på et 88-tangenters klaviatur, og omvendt, tar vi med et par enkle ligninger: Hvis N er notens nummer på et keyboard (49 for kammertonen), så finner vi frekvensen for en vilkårlig MIDI-note enten ved f(N) = 27.5 * 2 (N-1)/12 eller ved A-dur skala lages ved N=37,39,41,42,44,46,48,49. En detaljert beskrivelse av skalaer finnes på http://www.phy.mtu.edu/~suits/scales.html. Merke at N ikke behøver å være et helt tall. Såkalt ”mikrotonalitet” håndteres derfor problemfritt med den oppgitte formelen. Vi kan også finne MIDI-notenummer fra en oppgitt frekvens i Hz. Vi tar bare formelen ovenfor, tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet, løser med hensyn på N, og får: Frekvenser og bølgelengder for den tempererte 12-tone skalaen er gitt i tabell 10-1.

[ ] ( )490594631.1*440 −= Nf

49)0594631.1ln()440ln()ln( +−= fN

Beat-frekvens for to toner Når vi stemmer to musikkinstrumenter, prøver vi å få dem til å spille samme tone (med eksakt samme grunnfrekvens). Når to instrumenter er urent stemt, hører vi to sinuser med nesten samme frekvens. Dette høres ut som noen ekstra svingninger, som roer seg når frekvensene blir like. I avsnitt 10.4 og figur 10-9 i læreboka har vi vist at to toner med frekvenser som ligger nær hverandre vil høres ut som en tone med den høyeste av de to frekvensene, men der amplituden varierer med en frekvens fb som er differansen mellom frekvensene til de to tonene. Dette kalles ”beat-frekvensen”. (Den tilsvarende beatperioden Tb er den tiden det tar for den ene lydbølgen å gjennomløpe nøyaktig en periode mer enn den andre lydbølgen. ) Prøv å velge en sinuskomponent på 440 Hz, og en annen sinuskomponent på 450 Hz. Hør på resultatet. Endre nå verdien på den andre komponenten gradvis ned fra 450 til 440 Hz. Hører du hvordan svingningene endrer seg? Prøv også å starte med 440 og 430 Hz og endre fra 430 og opp mot 440 Hz. Legg merke til at selv om vi ikke kan høre frekvenser under ca 20 Hz, så kan vi fint høre beat-frekvenser fb som er mye lavere enn 20 Hz, fordi vi har en tone på en hørbar frekvens der amplituden varierer 1/ fb ganger per sekund.

-2

-1

0

1

2

0 0,25 0,5 0,75 1

Tid

ampl

itude

beat

Figur 10-9. En 16 Hz og en 18 Hz svingning gir opphav til en 2 Hz ”beat-frekvens”.

For den som har tid og lyst til å prøve mer:

Mer om fysikken bak lyd (for de spesielt interesserte): Gå til http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/sound/soundtoc.html. Les litt mer om fysikken bak lyd. Prøv deg på noen av oppgavene som gis nederst på hver side. Les mer om decibel på http://www.phys.unsw.edu.au/~jw/dB.html For de som er interessert i mer om fysikken bak lyd, prøv å søke etter ”physics of music” på www.google.com.