Los fardos de cereal - Intergranadaselectividad.intergranada.com/Bach/mate2ccnn/Anaya_16...1 nia 3 ia ain BACHILLERATO Matemáticas Resuelve Página 89 Los fardos de cereal Resuelve

1

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones BACHILLERATOMatemáticas II

Resuelve

Página 89

Los fardos de cerealResuelve el problema chino de los fardos de cereal procediendo de forma similar a como lo resolvie-ron ellos. Recuerda el método de Gauss que aprendiste el curso pasado y ten en cuenta que, en los cuadros, las ecuaciones están descritas en columnas en vez de en filas.

Llamamos:x = 1.er cerealy = 2.° cerealz = 3.er cereal

Del enunciado deducimos las ecuaciones:

xxx

yyy

zzz

32

232 3

393426

+++

+++

===4 →

321

232

113

393426

300

250

1136

392499

=f fp p

Solución:

x = y z3

39 2437– – = , y = z

524

417– = , z = 36

99411=

BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones

2

Matemáticas II

1 Sistemas de ecuaciones lineales

Página 91

1 ¿Verdadero o falso?

a) En un sistema de ecuaciones con dos incógnitas (x, y) la ecuación x + y = 4 tiene, entre otras, la solución (3, 1).

b) En un sistema con tres incógnitas (x, y, z) la ecuación x + y = 4 no tiene sentido.

c) En un sistema con tres incógnitas (x, y, z) la ecuación x + y = 4 sí tiene sentido. Representa un plano. Algunas soluciones suyas son (3, 1, 0), (3, 1, 7), (3, 1, – 4).

d) Si estamos en el plano (dos incógnitas, x, y) la ecuación y = 0 representa al eje X.

e) Si estamos en el espacio (tres incógnitas, x, y, z) la ecuación y = 0 representa al plano XZ.

a) Verdadero, porque 3 + 1 = 4.

b) Falso. En una ecuación no tienen por qué aparecer todas las incógnitas.

c) Verdadero. El valor de la tercera coordenada puede ser cualquiera.

d) Verdadero. En el eje X todos los puntos tienen la segunda coordenadas igual a cero.

e) Verdadero. En el plano XZ todos los puntos tienen la segunda coordenada igual a cero.

2 Sin resolverlos, explica por qué son equivalentes los siguientes pares de sistemas:

a) xx

yy2

57–

+ ==

( xx

y3

512

+ ==

)

b) xx

yy

z 57

–++

==

( x yz 2

7+==

*

c) xxx

yyy

z

z2 2

5712

–

–

+++

===

* x yz 2

7+==

*

d) xx

yy

zz2

117

––

++

==

( x y

yz 11

4–

–+ =

=)

a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que teníamos.

b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera.

c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El resto es igual que en b).

d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera.


3

Matemáticas II

2 Posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

Página 93

1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) xxx

yyy

23 2

143

+++

===

* b) x

x

yyy

zz

2

617

–+

+

+ ===

* c) xxx

yy

zzz

600–

++

++

===

* d) x y

yzzz

611

–+ + =

==

*a)

8

8

xxx

yyy

y x

y x

23 2

143

1 2

3

–

–

+++

===

=

=4 4 1 – 2x = 3 – x → x = –2, y = 3 – (–2) = 5

Veamos si cumple la 2.ª ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = – 6 + 10 = 4 Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).b)

x

x

yyy

zz

2

617

–+

+

+ ===4 La 3.ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras; podemos precindir de ella.

x y z

y zx z y z z zy z

61

6 6 1 5 21

– – – – – – –+ == +

= = == +

2

Solución: x = 5 – 2λ, y = 1 + λ, z = λ. Son tres planos que se cortan en una recta.c)

xxx

yy

zzx

600–

++

++

===4 Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.

El sistema es incompatible. Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.d)

x yy

zzz

zy zx y z

611

11 26 6 2 1 3

–– – – –

+ + ===

== + == = =

4 Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).

2 a) Resuelve este sistema:

xx

yy

2 34–

+ ==

*b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.

c) Añade una tercera ecuación de modo que el sistema sea incompatible.

d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

a) 8 8x

xyy

xx

yy

y y y y

x y

2 34

34

2 3 2 4 1 3 31

4 4 31

311–

– – – –

–

+ ==

==

= + = =

= + = =+2 2

Solución: x = 311 , y = 3

1–

b) Por ejemplo: 2x + y = 7 (suma de las dos anteriores)c) Por ejemplo: 2x + y = 9

d) En a) → Son dos rectas que se cortan en ,311

31–d n .

En b) → La nueva recta también pasa por ,311

31–d n .

En c) → La nueva recta no pasa por ,311

31–d n . No existe ningún punto común a las tres rectas.

Se cortan dos a dos.


4

Matemáticas II

3 Sistemas escalonados

Página 94

1 Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos:

a) xx y

32

75–

==

* b) xxx

y zz

2

53

674–

+ +===

* c) xxx

y zz

t

t

2

53

2 674–

–+ +

+

===

* d) xxx

yzz

2

43

3 074

–++ =

==

*

a)

xx y

x

y x3

275

37

25

34– – –

==

=

= =

_

`

a

bb

bb4 Solución: x =

37 , y = 3

4–

b)

xxx

y zz

xxx y

zz

xz xy x z

2

53

674

25

3

647

35 4 117 3 7 3 33 29–

– –– – – – –

+ +=== + +

===

== == = =

_

`

a

bb

b

_

`

a

bb

bb

Solución: x = 3, y = –29, z = 11

c)

xxx

y zz

t

t

xxx y

zz

tt

x tz x t ty x z t

2

53

2 674

25

3

6 247

35 4 11 67 3 29 19–

–– – –

– – – –+ +

+

=== + +

= +==

= += + = += =

_

`

a

bb

b

_

`

a

bb

bb

Soluciones: x = 3 + λ, y = –29 – 19λ, z = 11 + 6λ, t = λ

d)

x

x

x

y

z

z

x

x

x y

x

z x

y x z

z

z

2

4

3

3 0

7

4 3

4

0

7

1

32

32

37

916

4

2 3– – –

––

+

+ =

=

= +

=

=

=

=

= =

= + =

+

_

`

a

bbb

bb

_

`

a

bbb

bb

Solución: x = 1, y = 916 , z =

32–

2 ¿Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos:

a) x

yyy

z

z

222 2

111+

+

+

===

* b) xx

y zz2

74–

+ + ==

* c) xx

yy

z 32–

+ + ==

* d)

x

yzzzz

tt

t

32

2

2

3425–

–++

+

====

*a)

x

yyy

z

z x

yyy

zz

yz yx y z

222 2

111

222

111

21

1 2 01 2 0

–– –+

+

+

=== +

++

===

== == =

_

`

a

bb

bb

_

`

a

bb

bb

Solución: x = 0, y = 21 , z = 0

b)

xx

y zz

xx y

zz

x z

y z x z274

2 47

22

7 523– – – – –

+ + == +

= +=

= +

= =3 4

Soluciones: x = 2 + λ, y = 5 – 3λ, z = 2λ

c)

xx

yy

z xx z

yy

x yz y y y

32

23

23 2 1 2– – – – – –

+ + == +

= +=

= += =

4 4

Soluciones: x = 2 + λ, y = λ, z = 1 – 2λ


5

Matemáticas II

d)

x

yzzzz

tt

t xy

zzzz

ttt

zt zy z tx z t

32

2

2

3425

2

3 22

2345

13 24 3 2 55 2 2–

–

––

––

–

++

+

====

+

=+ =

=+ =

== == + == + =

_

`

a

bbb

bb

_

`

a

bbb

bb

Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2

Página 95

3 Transforma en escalonados y resuelve.

a) xx

yy

23

3 214

–+

==

* b) xxx

yyy

zzz2

3 426

–

–

–++

++

===

* c) xxx

yyy

zzz3

64

8– – –+

+

+

+

===

* d)

xxxx

yyyy

zzzz

www

3 223

35 7

32

032

1826

––

–

––

–

–+

+

+

+++

====

*a)

xx

yy

23

3 214

–+

==4

(1.ª)

3 · (2.ª) + (1.ª) xx

y xy x

211

3 2133

3

321 2 5

–

–– –

==

== =3 4

Solución: x = 3, y = –5

b)

xxx

yyy

zzz2

3 426

–

–

–++

++

===

_

`

a

bb

b

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

x y

yy

zzz

23

324

46

10

–––

–+ ===

_

`

a

bb

b

(1.ª)

(2.ª) : 2

(3.ª)

x y

yy

zzz3

3

4

43

10

–––

–+ ===

_

`

a

bb

b

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 3 · (2.ª)

x y

yzzz

zy zx y z

3 431

13 2

4 3 1

–––

– –

– –

+ ===

== + == + =

_

`

a

bb

b

_

`

a

bb

b

Solución: x = 1, y = 2, z = –1

c)

xxx

yyy

zzz3

648

– – –+

+

+

+

===

_

`

a

bb

b

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

x y

yy

zzz

22

22

61010

––

––

––

+ + ===

_

`

a

bb

b

(1.ª)

(2.ª) : (–2) x y

yzz

65

+ ++

==4

(Podemos prescindir de la 3.ª, pues es igual que la 2.ª).

x y z

y zx z y z zy z

65

6 6 5 15

––

– – – ––

+== = = + =

=4

Soluciones: x = 1, y = 5 – λ, z = λ

d)

xxxx

yyyy

zzzz

www

3 223

35 7

32

0321826

––

–

––

–

–+

+ =+ =+ =+ =+

_

`

a

bbb

bb

(1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

x yyyy

zzzz

www

32

31442

732

0321826

–

–

–––

–

–

+ =+ =+ =+ =

_

`

a

bbb

bb

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 3 · (2.ª)

(4.ª) + 2 · (2.ª)

x yy

zzzz

www

3143830

71816

032

11490

––

––

–

–

+ =+ =

=+ =

_

`

a

bbb

bb

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) : 2

15 · (3.ª) + 19 · (4.ª)

x yy

zzz

www

w

z w

y z wx y z

31419

79

34

032570

0

1957 9 3

32 14 7 103 1

––

––

– ––

+ =+ =

==

=

= + =

= + == =

_

`

a

bbb

bb

_

`

a

bbb

bbb

Solución: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0


6

Matemáticas II

4 Método de Gauss

Página 96

1 ¿Verdadero o falso?

a) Es posible que un sistema incompatible, al aplicar el método de Gauss, dé lugar a un sistema escalonado compatible. O viceversa.

b) Al aplicar el método de Gauss, el sistema escalonado al que se llega finalmente es del mismo tipo que el sistema inicial, pues todos los pasos que se dan transforman cada sistema en otro equivalente a él.

a) Falso. Las soluciones de un sistema no dependen del método empleado para resolverlo.

b) Verdadero. Las soluciones de un sistema no dependen del método empleado para resolverlo.

Página 98

2 Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss:

a) xxx

yyy

zzz

32

22

242–

– –+

+

+

+

===

* b) xxx

yyy

zzz

325

43

2 125

––––

+++

===

* c) xxx

yyy

zz

22

23

5

344

––

–

–++

+===

*a)

xxx

yyy

zzz

32

22

242

––

–+

+

+

+

===4

132

121

112

242–

– –f p → (1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) + 2 · (1.ª)

100

153

14

4

226

– – –f p →

→ (1.ª)

(2.ª) · (–1)

(3.ª) · 5 + (2.ª) · 3

100

150

148

2224

f p → x y

y

z

z

z

z

y z

x y z

5 42

2224

3

52 4 2

2 1

– –

– –

+ ++

===

=

= =

= =

4 4 Solución: x = 1, y = –2, z = 3

b)

xxx

yyy

zzz

325

43

2 125

–– –

–

+++

===4

325

431

211

125

––––

f p → (1.ª) – 2 · (3.ª)

(2.ª) – (3.ª)

(3.ª)

775

221

001

935

––

–––

––f p

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

c)

xxx

yyy

zz

22

23

5

344

––

–

–++

=+ =

=4

122

231

015

344

––

–

–f p →

(1.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

100

215

015

32

10

––

–

––f p →

→ (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 5 · (2.ª)

100

210

010

320

––

––f p →

x yy z

x yz y

2 32

3 22

––

––

––+

==

= += +4

Soluciones: x = –3 + 2λ, y = λ, z = –2 + λ


7

Matemáticas II

3 Resuelve mediante el método de Gauss.

a) xxx

yyy

zzz

32

5

237

––++

+++

===

* b)

xxxx

yyyy

zzz

w

ww

2

55

2

2 2

0000

–––– –

++

+

++

====

* c)

xxxx

yyyy

zzz

w

ww

2

55

2

2 2

911240

–––– –

++

+

++

====

*a)

xxx

yyy

zzz

32

5

237

–– +

+

+++

===4

111

131

215

237

––

f p → (1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

122

233

255

–f p →

→ x y

yzz

x y zy z

x z y

y z z223

25

2 22 5 3

2 2

25 3

25

23

– – ––

–– –

++

==

==

= +

= =4 4

x = 2 – 2z + z z25

23

29

27– –=

Soluciones: x = , ,l l ly z29 7

25 3 2– –= =

b)

xxxx

yyyy

zzz

w

ww

2

55

2

2 2

0000

–––– –

++

+ ==

+ =+ =

4

2155

1212

0111

1012

0000

–––– –

f p →

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – 2 · (1.ª)

2131

1200

0111

1000

0000

––

–

f p →

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (4.ª)

(4.ª)

2141

1200

0101

1000

0000

––

–

f p →

xxxx

yy z

z

w xzyw

2

42

0000

0000

––

–

++ =

===

====

4 Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0

c)

xxxx

yyyy

zzz

w

ww

2

55

2

2 2

911240

–––– –

++

+ ==

+ =+ =

4

2155

1212

0111

1012

911240

–––– –

f p →

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – 2 · (1.ª)

2131

1200

0111

1000

9111518

––

– –

f p →

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (4.ª)

(4.ª)

2141

1200

0101

1000

911318

––

–––

f p →

xxxx

yy z

z

w2

42

9113

18

––

––

–

++ =

===

4 x

43–= z = x + 18 =

469 y = x z

211

411–+ = w = 9 – 2x + y =

453

Solución: , , ,x y z w43

411

469

453–= = = =


8

Matemáticas II

5 Discusión de sistemas de ecuaciones

Página 99

1 Discute, en función de k, estos sistemas de ecuaciones:

a) xx

kx

yyy

zz

k4 221

–+++ +

===

* b) xx

kx

yyy

zz

k4 220

–+++ +

===

*a)

xx

kx

yyy

zz

k4 221

–+++

==

+ =4

k

k41

211

011

21

–f p → (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

k

k41

1

212

010

23

–+

f p → (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

k

k

k

41

3

210

010

23–

––

f p• Sik = 3, queda:

k4

10

210

010

20

–f p → 8xx

yy

z x z yx y x

y y4 2

23

24 3 2 4

3 243

2– – –

––

–++

==

== = =4 4

z = x – 2 + y = y

yy y

43 2

24

5 245

2–

–– –+ =

+= +

Sistema incompatible indeterminado.

Soluciones: x = , ,l l ly z43 2

45– –= = +

• Sik ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

( ) ( )

xx

k x

yy

zk

k4

32

2

3–

–

–

++

===

4 x = k

k3

3–– = –1; y = k x k k

24

24 2

2– = + = +

z = x + y – 2 = –1 + 2 + k2

– 2 = –1 + k2

Solución: x = –1, y = 2 + k2

, z = –1 + k2

b)

xx

kx

yyy

zz

k4 220

–+++ +

===4

k

k41

211

011

20

–f p → (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

k

k41

1

212

010

22

–+

f p → (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

k

k

k

41

3

210

010

22–

––

f p• Sik = 3, queda:

410

210

010

321

––

f p El sistema es incompatible.

• Sik ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

( ) ( )

xx

k x

yy

zk

k4

32

2

2–

–

–

++

===

4 x = k

k3

2–– ; y = k x

kk k

24

2 68–

––2

= +

z = x + y – 2 = ( )k

kk

k kk

k k3

22 3

8 22 6

5 8––

–– –

––2 2

+ + = +

Solución: , ,xk

k yk

k k zk

k k3

22 6

82 6

5 8––

––

––2 2

= = + = +


9

Matemáticas II

2 Discute estos sistemas de ecuaciones en función de k :

a) kx

xx

yy

zzz k2

80

–++ +

+

===

* b) x

x

yyy

zkz

k2

11

+

+

++

===

*a)

kxxx

yy

zzz k2

80

–++

=+ =+ =

4 k

k12

110

111

80

–f p →

(1.ª) – (2.ª)

(2.ª)

(3.ª)

k

k

112

010

211

80

– –f p →

(1.ª) + 2 · (3.ª)

(2.ª)

(3.ª)

k k

k

312

010

011

8 20

+ +f p

• Sik = –3, queda:

012

010

011

203–

f p Sistema incompatible.

• Sik ≠ –3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

( )x

xx

y zz

k

k

k 3

2

8 20

++

=+ =+ =

+4

x = k

k3

8 2+

+

z = k – 2x = k

k k3

16– –2

+

y = –x – z = k

k k3

8– –2

++

Solución: x = k

k3

8 2+

+ , y = k

k k3

8– –2

++ , z =

kk k

316– –2

+

b)

x

x

yyy

zkz

k2

11

+

+

++

===4 k

k

101

112

1

0

11f p →

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

kk

100

111

1

1

11

1– –f p →

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

kk k

100

110

1

1

11

2– – –f p

• Sik = –1, queda:

100

110

110

113

––

f p Sistema incompatible.

• Sik ≠ –1, es compatible determinado. Lo resolvemos:

( )

x yy

zkz

k z k1

11

2– – –

+ + =+ =

=4

z = k

kkk

12

12

– –– –=

+

y + k 8kk y

kk k

kk k k

kk k

12 1 1

12

11 2

11– – – – –2 2 2

+= =

+=

++ + =

++d n

x = 1 – y – z = k

k kkk

kk k k k

kk k1

11

12

11 1 2

12 3– – – – – – – – –2 2 2

++

+=

++ + + =

++

Solución: x = k

k k1

2 3– – 2

++ , y =

kk k

11 – 2

++ , z =

kk

12 –

+


10

Matemáticas II

6 Un nuevo criterio para saber si un sistema es compatible

Página 101

1 Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompa-tibles:

a) xxx

yyy

3

2

23

52

3

–

––+

===

* b) xxx

yyy

427

5

11

704

–+

+

===

* c) xxx

yyy

z

ztt

33

2

444

716

–– –

+ +++

===

*a)

xxx

yyy

3

2

23

523

–

––+

===4 A =

312

231

–

–f p A' =

312

231

523

–

––f p

( )

| | ( )' '

8

8

ran A

A ran A

31

23 11 0 2

0 2

–≠ = =

= =4 El sistema es compatible.

b)

xxx

yyy

427

5

11

704

–+

+

===4 A = 'A

427

51

11

427

51

11

704

– –=f fp p | A' | = 147 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2

El sistema es incompatible.

c)

xxx

yyy

z

ztt

33

2

444

716

–– –

+ ++

==

+ =4 A = 'A

131

113

204

044

131

113

204

044

716

–– –

–– –

=f fp p

Calculamos el rango de A :

≠ ; ;13

11 4 0

131

113

204

0131

113

044

0– – –– –

––

= = = → ran (A ) = 2

Calculamos el rango de A' :

131

113

716

––

= –76 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A )



11

Matemáticas II

2 Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior, averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles:

a) xx

y

y

zzz

23

2

120

–

–

++

===

* b) xx

y

y

zzz

23

2

125

–

–

++

===

* c) xxx

yyy

z

ztt

33

2

444

71

13–– – –

+ +++

===

*a)

xx

y

y

zzz

23

2

120

–

–

++

===4 'A A

120

302

111

120

302

111

120

–

–

–

–= =f fp p


12

30 = – 6 ≠ 0 y | A | = 0 → ran (A ) = 2


120

302

120

0= (pues la 1.ª y la 3.ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2 = ran (A )

El sistema es compatible.

Observación: Como la 4.ª columna de A' y la 1.ª son iguales, necesariamente ran (A' ) = ran (A ); es decir, el sistema es compatible.

b)

xx

y

y

zzz

23

2

125

–

–

++

===4 A =

120

302

111

–

–f p A' =

120

302

111

125

–

–f p

Sabemos que ran (A ) = 2 (ver apartado a) de este ejercicio).


120

302

125

= –30 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A )


c)

xxx

yyy

z

ztt

33

2

444

71

13–– – –

+ ++

==

+ =4 A =

131

113

204

044

–– –

f p A' = 131

113

204

044

7113

–– – –

f p

Sabemos que ran (A ) = 2 (ver apartado c) del ejercicio anterior).


131

113

7113

–– –

= 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A )

El sistema es compatible.


12

Matemáticas II

7 Regla de Cramer

Página 102

1 Enuncia la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

a xa xa x

a ya ya y

a za za z

ccc

11

21

31

12

22

32

13

23

33

1

2

3

+++

+++

===

*

Si | A | = aaa

aaa

aaa

11

21

31

12

22

32

13

23

33

≠0 → ran (A ) = 3 = ran (A' )

Por tanto, el sistema es compatible.

Su solución es: x = | || |

,| || |

,| || |

AA

yAA

zAAx y z= =

siendo Ax la matriz que resulta de sustituir en la matriz A la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. Análogamente, Ay y Az se obtienen sustituyendo en A la columna de los coeficientes de la incógnita correspondiente por la de los términos independientes.

2 Utilizando la regla de Cramer, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

xxx

yyy

zz2

3 54

248

9

––

––

+

++

===

*xxx

yyy

zz2

3 54

248

9

––

––

+

++

===

4 | A | = 121

311

540

–– = –1 ≠ 0

| Ax | = ; | | ; | |A A248

9

311

540

7121

248

9

540

2121

311

248

95

––

–– –

–– –

––

––y z= = = = =

Por tanto: x = 7, y = 2, z = –5

Página 103

3 Demuestra la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Procede de forma análoga a como se ha hecho en esta página.

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

a xa xa x

a ya ya y

a za za z

ccc

11

21

31

12

22

32

13

23

33

1

2

3

+++

+++

===4, con | A | =

aaa

aaa

aaa

11

21

31

12

22

32

13

23

33

≠ 0

Hemos de despejar cada una de las incógnitas. Empecemos por la x.

Para despejar x, hemos de eliminar y, z. Esto se consigue multiplicando las tres ecuaciones, que lla-mamos (1), (2), (3), por los adjuntos de los coeficientes de la x :

(1) · A11 → a11 A11x + a12 A11 y + a13 A11z = c1 A11

(2) · A21 → a21 A21x + a22 A21 y + a23 A21z = c2 A21

(3) · A31 → a31 A31x + a32 A31 y + a33 A31z = c3 A31


13

Matemáticas II

Sumando, obtenemos una igualdad que vamos a analizar por partes:

•Elcoeficientedelax es:

a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 = | A |

•Elcoeficientedelay es:

a12 A11 + a22 A21 y + a32 A31 = 0

Análogamente, se ve que el coeficiente de z es cero.

•Eltérminoindependientees:

c1 A11 + c2 A21 + c3 A31, que es el determinante de la matriz Ax que resulta al sustituir en A la co-lumna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes:

Ax = ccc

aaa

aaa

1

2

3

12

22

32

13

23

33

f p

Recapitulamos: al efectuar la suma (1) · A11 + (2) · A21 + (3) · A31, obtenemos:

| A |x + 0y + 0z = | Ax |

Puesto que | A | ≠ 0, podemos despejar la x, y obtenemos:

x = | || |

AAx

Para despejar la y habría que multiplicar las ecuaciones (1), (2), (3) por A12, A22, A32, respectivamen-te. Y análogamente procederíamos para despejar z, obteniéndose:

y = | || |

,| || |

AA

zAAy z=


14

Matemáticas II

8 Aplicación de la regla de Cramer a sistemas cualesquiera

Página 105

1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) xx

yyy

zzz

32

327

130

–––

+++

===

* b) xx

yyy

zzz

32

327

1310

–––

+++

===

* c)

x

xx

yy

y

zzz5

3546–

++++

====

* d) xxx

yyy

322

463

4231–

+++

===

*

a)

xx

yyy

zzz

32

327

130

–––

+++

===4 A = 'A

130

112

327

130

112

327

130

–––

–––

= ff pp


10

12

–– = –2 ≠ 0 y | A | = 0 → ran (A ) = 2


130

112

130

–––

= 0 (la 1.ª y la 3.ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 2.ª ecuación:

8

8x y zy z

x y z x y z z

y z y z3 1

2 7 0

1 3 1 3 12

2 727

––

– – –

– –

+ =+ =

= = + = +

= =4

Soluciones: x = 1 + λ, y = 7λ, z = 2λ

b)

xx

yyy

zzz

32

327

1310

–––

+++

===4 A = 'A

130

112

327

130

112

327

1310

–––

–––

=f fp p Sabemos, por el apartado a), que ran (A ) = 2.


130

112

1310

–––

= 20 ≠0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A )


c)

x

xx

yy

y

zzz5

3546–

++++

====

_

`

a

bbb

bb

A = 'A

1015

1101

0111

1015

1101

0111

3546– –

=f fp p

Como 101

110

011

= 2 ≠ 0 → ran (A ) = 3


| A' | = 0 → ran (A' ) = 3


15

Matemáticas II

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la última ecuación y aplicar la regla de Cramer:

x = 2

354

110

011

22= = 1; y =

2

101

354

011

24 2= = ; z =

2

101

110

354

26 3= =

Solución: x = 1, y = 2, z = 3

d)

xxx

yyy

322

463

4231–

+++

===4 A = 'A

32

463

322

463

42312– –

=f fp p

Como | A' | = –309 ≠ 0, entonces ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ).



16

Matemáticas II

9 Sistemas homogéneos

Página 106

1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) xxx

yyy

zz

3 52

000

––+

++

===

* b) xxx

yyy

zzz5

39

000

–

–

–

–+ +

===

*

c)

xxxx

yyyy

zzzz

2

2

114

16

4

25

0000

–

–

–

–

+++

+

+

====

* d) xxx

yyy

z

ztt

35

2000

––

––

+ +

+

===

*

a)

xxx

yyy

zz

3 52

000

––+

++

===4 | A | =

311

521

110

–– = –5 ≠ 0

Por tanto, ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0

b)

xxx

yyy

zzz5

39

000

–

–

–

–+ +

===4 | A | =

111

115

139

–

–

–

– = 0

Seleccionamos el menor 11

11–

= 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Podemos suprimir la 3.ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:

x y zx y z

x zy z3 2

––

––

=+ =

==

3 3 Soluciones: x = –λ, y = –2λ, z = λ

c)

xxxx

yyyy

zzzz

2

2

114

16

4

25

0000

–

–

–

–

+++

+

+

====

_

`

a

bbb

bb

121

1141

412

––

– = –18 → ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas.

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0

d)

xxx

yyy

z

ztt

35

2000

––

––

+ +

+

===

_

`

a

bb

bb A =

131

111

501

021

––

––

f p

131

111

501

––

= –14 ≠ 0 → ran (A ) = 3

Para resolverlo, pasamos la t al 2.° miembro:

x y zx y tx y z t

5 03 2–

–

+ + ==

+ =4

x =

tt t t

14

02

111

501

147

2–

––

––= = ; y =

tt t t14

131

02

501

147

2– ––= = ; z =

tt

14

131

111

02

140 0

–

––

–= =

Soluciones: x = λ, y = –λ, z = 0, t = 2λ


17

Matemáticas II

2 Resuelve.

a)

x

xx

yyyy

zzz

2

35

3

2

0000–

–

–+

+++

====

*

b)

x

xx

yyyy

zzzz

2

35

3

23

0000–

–

–+

++++

====

*

c)

x

xx

yyy

z

z

ttt2 2

3

32

0000

–++

+

+++

====

*

d)

x

xx

yyy

z

z

ttt2 2

3

329

0000

–++

+

+++

====

*a)

x

xx

yyyy

zzz

2

35

3

2

0000–

–

–+

+++

====

_

`

a

bb

bb

→ A =

1011

2135

3120–

–

–f p


≠ ; ;10

21 1 0

101

213

312

0101

215

310

0– –

– –

–= = =

Por tanto, ran (A ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, podemos prescindir de las dos últimas ecuaciones y pasar la z al segundo miembro:

x y z

y zx z y z z zy z

2 3 3 2 3 2 5– ––

– – – ––

==

= + = ==

4 4

Soluciones: x = –5λ, y = –λ, z = λ

b)

x

xx

yyyy

zzzz

2

35

3

23

0000–

–

–+

++++

====

_

`

a

bbb

bb

El menor asociado a las 1.ª, 2.ª y 4.ª ecuaciones es:

≠101

215

313

3 0–

–= → ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas

El sistema tiene solución única, que es la solución trivial por ser homogéneo.

Solución: x = 0, y = 0, z = 0


18

Matemáticas II

c)

x

xx

yyy

z

z

ttt2 2

3

32

0000

–++

+

+++

====

_

`

a

bbb

bb

A =

1012

0112

3003

0121

–f p ; | A | = 0

101

011

300

= –3 ≠ 0 → ran (A ) = 3 < n.º de incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación y pasar la t al segundo miembro:

x z

y tx y t

z x t ty tx t y t t t

3 0

2

3 33

2 2 3

–

–

–

– – – – –

==

+ =

= = === = =

4

Soluciones: x = –3λ, y = λ, z = λ, t = λ

d)

x

xx

yyy

z

z

ttt2 2

3

329

0000

–++

+

+++

====

_

`

a

bbb

bb

→ | A | = ≠

1012

0112

3003

0129

24 0–

–= → ran (A ) = 4 = n.º de incógnitas

El sistema tiene solución única, que es la solución trivial por ser homogéneo.

Solución: x = 0, y = 0, z = 0, t = 0


19

Matemáticas II

10 Discusión de sistemas mediante determinantes

Página 108

1 Discute y resuelve.

a) x

axx

yyy

az

z4 6

01

0– –+

+

+

+

===

* b) x

kxx

yyy

k

5 31316

–+

+

===

*a)

xaxx

yyy

az

z4 6

01

0– –+

+

+

+

===4 → A = a

a1

1

114

06

–f p ; A' = aa1

1

114

06

010

– –f p

| A | = 4a 2 – 5a – 6 = 0 → a = ± ± ±8

5 25 968

5 1218

5 11+ = = a

a

2

43–

=

=• Sia = 2, queda:

A' = 121

114

206

010

– –f p Tomamos el menor: 12

11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2

A

121

114

010

– – = 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) → El sistema es incompatible.

• Sia = – 43 , queda:

A' = //1

3 41

114

3 406

010

– ––

–f p Tomamos el menor: /13 4

11 4

1– –

–= ≠ 0 → ran (A) = 2

A

/1

1

114

010

3 4 – –– = 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) → El sistema es incompatible.

• Sia ≠ 2 y a ≠ –3/4 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3, el sistema es compatible deter-minado. Lo resolvemos:

x = a a

a

a aa

4 5 6

010

114

06

4 5 66 4

– –

– –

– ––

2 2= ; y = a a

aa

a aa

4 5 6

1

1

010

06

4 5 66

– –

–

– ––

2 2=

z = a a

a

a a4 5 6

1

1

114

010

4 5 63

– –

– –

– –2 2=

Solución: , ,xa a

a ya a

a za a4 5 6

6 44 5 6

64 5 6

3– ––

– ––

– –2 2 2= = =


20

Matemáticas II

b)

xkxx

yyy

k

5 31316

–+

+

===4 → A' = k

k1

5

113

1316

–f p A

| A' | = 3k 2 – 11k + 10 = 0 → k = ± ±6

11 121 1206

11 1– = k

k

2

35

=

=• Sik = 2, queda:

A' = 125

113

21316

–f p

A

Tomamos el menor: 12

11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación:

x yx y

22 13–

+ ==4 Sumando: 3x = 15 → x = 5; y = 2 – x = 2 – 5 = –3


• Sik = 35 , queda:

A' = //1

5 35

113

5 31316

–f p

A

/1

5 311 3

8–

–= ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación:

x y

x y35

35 13–

+ =

=4

Sumando: 8x x38

344

844

211= = = ; y = x

35

35

211

623– – –= =

Solución: x = , y211

623–=

• Sik ≠ 2 y k ≠ 35 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ), el sistema es incompatible.


21

Matemáticas II

2 Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones:

( )( ) ( )a xa x

ya y

11 1

00

––

++ +

==

*

( )( ) ( )a xa x

ya y

11 1

00

––

++ +

==4

A = aa a

11

11

–– +

e o

| A | = (a – 1) a11

11+ = (a – 1)(a + 1 – 1) = a(a – 1) = 0

aa

01

==

• Sia = 0, queda:

x yx y

00

––

+ =+ =

4 y = x → Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = λ, y = λ

• Sia = 1, queda:

yy

02 0

==4 Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = λ, y = 0

• Sia ≠ 0 y a ≠ 1 → ran (A ) = 2

El sistema tiene solo la solución trivial: x = 0, y = 0


22

Matemáticas II

11 Forma matricial de un sistema de ecuaciones

Página 109

1 Expresa en forma matricial y resuelve (ten en cuenta el ejercicio propuesto 1 de la página 78 de la unidad anterior).

a) xxx

y

y

zzz2 5

33

620

––

– –

–++

===

* b) xx

yy

22

711

––

==

*

a)

xxx

y

y

zzz2 5

33

620

––

– –

–++

===4 → ·

xyz

112

105

133

620

––

– –

–=f ff p pp

A · X = B

En el ejercicio 1 de la página 78 hemos calculado A –1.

A · X = B → X = A –1 · B = ·1595

853

321

620

1066436

=f f fp p p Solución: x = 106, y = 64, z = 36

b)

xx

yy

22

711

––

==4 → ·

xy

21

12

711

–– =e e eo o o

B · X = C

En el ejercicio 1 de la página 78 hemos calculado B –1.

B · X = C → X = B –1 · C = ·31 2

112

711 3

1 315

15

– ––

– ––= =e e e eo o o o


2 Expresa en forma matricial y resuelve.

a)

x

x

yyyy

zzz

t

tt3

2

22

323

041

2

–

–

– –

–

++ +

+

====

* b)

x yy z

z tt

51

42

–+

++

====

*a)

x

x

yyyy

zzz

t

tt3

2

22

323

0412

–

–

– –

–

++ +

+

====

_

`

a

bb

bb

→ ·

xyzt

1003

2122

3230

1011

0412

–

–

– –

–

=f f fp p p A · X = B

Calculamos la inversa de la matriz A :

| A | = –5 ≠ 0 → existe A –1

A –1 = 51

56

33

034

6

58

41

0211

–

––

–

––

–––

f p


23

Matemáticas II

A · X = B → X = A –1 · B = · ·51

56

33

034

6

58

41

0211

0412

51

501025

1025

–

––

–

––

––– –

–

–

––

= =f f f fp p p p Solución: x = 1, y = 0, z = 2, t = –5

b)

x yy z

z tt

51

42

–+

++

====

_

`

a

bbb

bb

→

xyzt

100

10

0

0011 20

1

0

011

514·–

=f f fp p p A · X = B Resolvemos el sistema escalonado. Solución: x = 8, y = –3, z = 2, t = 2


24

Matemáticas II

Ejercicios y problemas resueltos

Página 110

1. Discusión de sistemas aplicando el método de Gauss

Hazlo tú. Discute y resuelve, en función del parámetro, aplicando el método de Gauss.

a) xxx

myy

zzz

2 23

20

2

–

––

– –

+ ++

===

* b) xxx

yyy

zaz

z32

2053

+++

+++

===

*

a) m1

21

10

123

202

–

––

– –f p

(3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

m

121

01

321

202

–

––

– –f p

(3.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

m

100

01

34

4

24

4

––

––

––f p

(3.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

m

100

01

1

34

0

24

0

–––

––

––f p

• Sim ≠ 1, el sistema es compatible determinado.

( )

xy

m y

zz

1

34

240

––

–

––

––

===

4 Solución: x = –1, y = 0, z = 1

• Sim = 1, el sistema es compatible indeterminado.

x

yy

zz

0

34

240

––

––

––

===

4 Soluciones: x = 2 – 3λ, y = 4 – 4λ, z = λ

b) a132

121

1

1

053

f p (1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

a100

111

13

1

053

––

––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

aa

100

110

13

2

052

– –– –

f p

• Sia ≠ 2, el sistema es compatible determinado.

xxx

yyy

zazz

32

2053

+++

+++

===4 Solución: , ,x y

aa z

a3

23 4

22–

––

–= = =

Los tres planos se cortan en un punto.

• Sia = 2, la matriz queda:

100

110

110

052

– ––

f p

El sistema es incompatible. Los planos se cortan dos a dos.


25

Matemáticas II

Página 111

2. Discusión de sistemas aplicando el teorema de Rouché

Hazlo tú. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones y resuélvelos cuando sean compatibles:

a) xxx

yy

ay

zaz

z

aa2

1

1

–+++

+++

===

* b)

xx

mxx

yyy

zzzz

232

2460

––

–

++

+

+

====

*

a) | |8a

aa

a Aa

a a a121

11

1

1

1

1

121

11

1

13 2

–– –2= = +f p = 0

aa

21

==

• Sia ≠ 2 y a ≠ –1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.

Para cada valor de a distinto de –1 y 2, tenemos un sistema con solución única, que por la regla de Cramer es:

xa a

aa

aa

3 2

1

1

11

1

1– –

–

2=+

y = a a

aa a

3 2

121

1

1

1

1– –

–

2 + z =

a aa

aa

3 2

121

11

1

1– –

–

2 +

Solución: , ,x a ya

a za

a11

21–

– ––

= + = =

Son tres planos que se cortan en un punto.

• Sia = –1:

xxx

yyy

zzz

2211–

–––

++

+

+

===4 →

121

111

111

21

1––

––f p

≠ ( )

≠ ( )'8

8 ran A

ran A

12

11

121

111

211

1 0 2

3 0 3–

––

–= =

= =4 El sistema es incompatible.

Son tres planos que se cortan dos a dos.

• Sia = 2:

xxx

yyy

zzz

22

2 21

1++

+

+

===+

+ 4 → 121

112

121

121

f p

12

11 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Como la columna de términos independientes es igual a la columna de coeficientes de z, tenemos que ran (A' ) = 2 = ran (A ), el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro:

xx

yy

zz2 2

12

++

++

==4 → x = 1 – λ, y = 0, z = λ

Los planos se cortan en una recta.


26

Matemáticas II

b) Empezamos estudiando el rango de A', ya que puede ser 4:

m

12

1

1110

1132

2460

––

–

= 12 – 12m

• Sim ≠ 1 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ), el sistema es incompatible.

• Sim = 1, quitando la tercera ecuación:

121

110

112

–––

= – 6 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = ran (A' ), el sistema es compatible determinado:

xxx

yy

zzz

22

240

–

––++ =

==4 Aplicamos la regla de Cramer y obtenemos: x = 2, y = 1, z = 1

Los planos se cortan en un punto: P = (2, 1, 1).

Página 112

3. Sistemas que dependen de dos parámetros

Hazlo tú. Discute y resuelve según los valores de m y n el sistema siguiente:

mx

xx

yyy

zmzmz

n

n22

+++

+++

===

*

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

m

mm

12

111

1 = m – 1

• Sim ≠ 1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.

Para cada valor de m distinto de 1, tenemos un sistema con solución única:

mx

xx

yyy

zmzmz

n

n22

+++

+++

===4 → , ,x n y

mn m n mn m z

mm n mn2

12 4

12 2 4–

–– – –

–– –2 2

= = + + = +

• Sim = 1 y n = 2:

xxx

yyy

zzz

n

n22

+++

+++

===4

Las dos primeras ecuaciones son iguales. El sistema es compatible indeterminado.

El sistema queda:

xx

yy

zz2

22

++

++

==4

Pasando z al segundo miembro obtenemos: x = 0, y = 2 – λ, z = λ

• Sim = 1 y n ≠ 2, las dos primeras ecuaciones representan dos planos paralelos.



27

Matemáticas II

4. Sistemas homogéneos

Hazlo tú. Discute y resuelve este sistema de ecuaciones:

xxx

yy

ay

zzz3

34

000

–+++

++

===

*Es un sistema homogéneo, luego siempre es compatible. Calculamos el determinante de la matriz de co-eficientes:

a

113

13

114

– = 20 – 2a

• Sia ≠ 10 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.

Para cada valor de a distinto de 10, tenemos un sistema con solución única: (0, 0, 0), la solución trivial.

• Sia = 10 → ran (A ) = 2 = ran (A' ) → el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro:

xx

yy

zz3 –

++

==3 Soluciones: x = 2λ, y = –λ, z = λ

5. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones

Hazlo tú. Discute este sistema de ecuaciones y resuélvelo en el caso a = 0:

xxx

yyy

zzz

t

at a3

5 5

21

5

–

––

–

––+

+

+

=== +

*Como A no es cuadrada, vamos a calcular su rango:

A = a

131

115

115

10

–

––

–

–f p → calculamos los siguientes determinantes:

≠ ,13

11 4 0

131

115

115

0– –

––= = ,

a

131

115

10

–

–

–

– = 16 – 4a

• Sia ≠ 4 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) < n.º de incógnitas → el sistema es compatible indeterminado.

Pasamos z al segundo miembro como parámetro por no haber seleccionado la columna de coeficientes de z para el menor distinto de cero.

xxx

yyy

zzz

t

at a3

5 5

215

–

––

–

––+

+

+

=== +

4 → x = 0, y = λ – 1, z = λ, t = –1

• Sia = 4 → ran (A ) = 2

xxx

yyy

zzz

t

t3

5 5 4

219

–

––

–

––+

+

+

===4 Si añadimos la columna de términos independientes:

131

115

219

–

–– = 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A ) → el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z y t al segundo miembro como pa-rámetros:

xx

yy

zz

t3

21

––

––+

+ ==4 Soluciones: , , ,µ l µ l µx y z t

41

41

43

47– –= + = = =


28

Matemáticas II

Ejercicios y problemas guiados

Página 113

1. Sistema matricial

Dado este sistema de ecuaciones:

( )

xmx

m x

yy

mzzz

mmm1 2

––

++

+

+

=== +

*

hallar la matriz A –1B, sin calcular la matriz inversa de A, siendo A la matriz de coeficientes y B la de términos independientes.

a) X = xyzf p = A –1 B

b) AX = AA –1 B = B

c) X es la solución del sistema:

( )

xmx

m x

yy

mzzz

mmm1 2

––+

+ +

+ === +

* Para que exista A –1 el sistema tiene que tener solución única.

| A | = mm

m1

1

110

11

––

+ = –m 2 + m + 2 ≠ 0

Luego m ≠ –1 y m ≠ 2.

En estos casos,

x = m m

mm

m

m

m mm m

22

110

11

22 1

–

––

––

2 2

2

+ ++ =

+ ++ + = ; y =

m m

mm

mm

m

m

m mm m

2

1

1 211

22 1

–

––

– 2 2

2

+ ++ + =

+ ++ + =

z = m m

mm

mm

mm mm m

2

1

1

110 2

22 1

–

–

––

2 2

2

+ ++ + =

+ ++ + =

Solución: X = 111f p

2. Sistemas con infinitas soluciones

Sean S y S' dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas que difieren solo en los términos indepen-dientes. Si S es compatible indeterminado, ¿lo será también S'?

Si S es compatible indeterminado significa que la columna de términos independientes es linealmente dependiente de las columnas de los coeficientes.

Al cambiar los términos independientes, cambiamos la columna correspondiente y puede que sera lineal-mente independiente con las anteriores, luego puede que el sistema resulte ser incompatible.


29

Matemáticas II

3. Sistema compatible para cualquier valor del parámetroSea el sistema de ecuaciones:

axxx

yay

y

zz

az

a

a2

22–

––

+ +++

===

+*

a) Comprobar que es compatible para cualquier valor de a.

b) Calcular su solución en forma matricial en el caso a = 0.

c) Resolver para a = 1 utilizando el método de Gauss.

a) a

aa

21

1

1

11–

– = –a 3 – 1 = 0 → a = –1

•Sia ≠ –1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado, tiene solución única. •Sia = –1:

xxx

yyy

zzz

2121

–

– – –

++

++

===

*

12

11

– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Añadimos la columna de términos independientes:

121

111

121

–

– – = 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A )

El sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Es compatible para cualquier valor de a.b) a = 0:

·xyz

021

101

110

220––=f ff p pp → AX = B → X = A –1 B

021

101

110

11

2

111

12

2–

––

–

––

1–

=f fp p

X = ·11

2

111

12

2

220

44

6

––

–

–– –

––=f ff p pp

c) a = 1:

xxx

yyy

zzz

2321

––

–+ +

++

===

*

121

111

111

321

––

–f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

132

110

382

––

– ––

f p (1.ª)

(2.ª)

3 · (3.ª) – 2 · (2.ª)

100

130

112

38

10– – –f p → x = –3, y = 1, z = 5


30

Matemáticas II

4. Añadir una ecuación a un sistema

Añadir una ecuación al sistema

xx

yy

zz

2 2 13

––++ =

=*

de modo que sea:

a) incompatible.

b) compatible determinado.

c) compatible indeterminado.

a) xx

yy z

z2 2 13

––++ =

=*

Hacemos (1.ª) + (2.ª) → 3x + z = 4

Cambiamos el término independiente → 3x + z = 5

El sistema:

xxx

yy

zzz

2

3

2 135

––+

+

+ ===

* es incompatible.

b) xx

yy z

z2 2 13

––++ =

=* → , ,l l lx y z

34

31

34

35–= = + =

Una solución es: , ,x y z34

35 0= = =

Añadimos la ecuación 5x – 4y = 0

El sistema:

xxx

yyy

zz

2

5 4

2 130

–

–––

++ =

==

* es compatible determinado.

c) Hacemos (1.ª) + (2.ª) → 3x + z = 4

Ponemos esta nueva ecuación que es combinación lineal de las anteriores.

El sistema:

xxx

yy

zzz

2

3

2 134

––+

+

+ ===

* es compatible indeterminado.


31

Matemáticas II

Ejercicios y problemas propuestos

Página 114

Para practicar

Método de Gauss

1 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:

a) xxx

yyy

zzz2

2 910

5––

– –+ +

+

===

* b) xx

yy

zz2

2 31– –

+ ++

==

*

c) xxx

yyy

zzz

224 2

132

––

–+

+++

===

* d) xxx

yyy

z

z

234

3 000

––

–+

+ ===

*a)

xxx

yyy

zzz2

2 910

5––

– –+ +

+

===

4 112

211

111

9105

––

– –f p (1.ª)

–(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

100

235

121

91913– – –

f p

(1.ª)

(2.ª)

(2.ª) + 2 · (3.ª)

100

237

120

9197– –

f p → x y

yy

zz

237

29197– –

+ + =+ =

=4 → y = 1; z =

y2

19 38

–= ; x = 9 – 2y – z = –1

Solución: x = –1, y = 1, z = 8

b)

xx

yy

zz2

2 31– –

+ ++

==4 1

221

11

31– –

e o (1.ª)

–(2.ª) + 2 · (1.ª) 10

25

11

37

e o →

→ x y z

y z

y z

x z y z z z2 35 7

57

53 2 3

514

52

51

53

––

–

– – – – –

+ ==

=

= = + =4

Si tomamos z = 5λ, las soluciones son: , ,l l lx y z51 3

57 5– –= = =

c)

xxx

yyy

zzz

224 2

132

––

–+

+++

===4

121

24

1

121

132

––

–f p

(3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

121

14

2

121

231–

––

f p →

→ (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

100

16

3

100

213

– –f p (1.ª)

(2.ª) + 2 · (3.ª)

(3.ª)

100

103

100

253

f p La segunda ecuación es imposible: 0x + 0y + 0z = 5 El sistema es incompatible.

d)

xxx

yyy

z

z

234

3 000

––

–+

+ ===4

234

311

101

000

––

–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (1.ª)

236

312

100

000

–––

f p →

→ (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 2 · (2.ª)

230

310

100

000

––f p →

x y zx y

2 3 03 0

––

+ ==4

y = 3x ; z = –2x + 3y = –2x + 9x = 7x ; x = λ Soluciones: x = λ, y = 3λ, z = 7λ


32

Matemáticas II

2 Estudia y resuelve por el método de Gauss.

a) xxx

yyy

zzz

42

24

3

7

251

–––

–+++

+ ===

* b) xx

yyy

z

z2 3

11

2–

–

–+

+

+

===

*

c) xxx

yyy

zzz

52

222

3

2

43

3– –

++

+++

===

* d) xxx

yyy

zzz

ttt

23

23

335

14

6

000

–––

–+++

++

===

*a)

xxx

yyy

zzz

42

24

3

7

251

–––

–+++

+ ===4

142

124

317

251

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª) + 4 · (1.ª)

(3.ª) + 2 · (1.ª)

100

166

3111

233

–

–

–––

f p →

→ (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

100

160

31112

230

–

–

––f p → Sistema compatible determinado.

Lo resolvemos:

;x y

yzzz

y x y z63

1123

021 3 2

23

– –– –

+ ++

===

= = + + =4

Solución: , ,x y z23

21 0–= = =

b) x

x

yyy

z

z2 3

112

––

–+

+

+

===

_

`

a

bb

bb

011

112

103

112

––

–f p

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

101

112

013

112

–––

f p →

→ (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

113

013

113

–––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 3 · (2.ª)

100

110

010

110

––f p

Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

; ; lx y

y z x y z y y1

1 1 1–

– – –=

+ = = + = =4

Soluciones: x = 1 + λ, y = λ, z = –1 – λ

c)

xxx

yyy

zzz

52

222

3

2

433– –

++

+++

===4

521

222

312

433– –

f p (3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

125

222

213

334

– –f p →

→ (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 5 · (1.ª)

100

2612

237

3919

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª) : 3

(3.ª) – 2 · (2.ª)

100

220

211

331

–––

–f p

Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

x y

yzzz

zyx y z

22

2 331

11

3 2 2 1

–––

– –

– –

+ ===

=== + =

4 Solución: x = 1, y = 1, z = –1


33

Matemáticas II

d)

xxx

yyy

zzz

ttt

23

23

335

14

6

000

–––

–+++

++

===4

123

123

335

1416

000

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

100

100

334

142948

000

–––

–f p →

→ (1.ª)

(2.ª)

– 4 · (2.ª) + 3 · (3.ª)

100

100

330

142928

000

––

–f p

Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

x y z

zttt

33

142928

000

––

–++

===4 → t = 0; z = 0; x = y ; y = λ

Soluciones: x = λ, y = λ, z = 0, t = 0

3 Resuelve por el método de Gauss.

a)

xx

x

yyy

z

zz

2 1131310

+

+

+

++

====

* b)

xxxx

yyyy

zzzz

tttt

10

12

––

–––

–

+

++

++

+

+ ====

*

a)

1101

0111

2011

1131310

f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª)

(4.ª) – (1.ª)

1000

0111

2211

118

131

–

–

–

–

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

(4.ª) – (2.ª)

1000

0100

2231

118

217

– –f p →

→

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª) – (1/3) · (3.ª)

1000

0100

2230

118

210

– –f p (3.ª) → 3z = 21 → z = 7

(2.ª) → y – 2z = – 8 → y – 14 = – 8 → y = 6

(1.ª) → x + 2z = 11 → x + 14 = 11 → x = –3

Solución: x = –3, y = 6, z = 7

b)

1111

1111

1111

1111

1012

––

–––

–f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

1000

1200

1020

1222

1121

––

–––

––f p

(4.ª) → –2t = 1 → t = – 21

(3.ª) → –2z – 2t = –2 → –2z + 1 = –2 → z = 23

(2.ª) → –2y – 2z = –1 → –2y – 3 = –1 → y = 1

(1.ª) → x + y + z + t = 1 → x + 1 + 23

21– = 1 → x = –1

Solución: x = –1, y = 1, z = 23 , t = –

21


34

Matemáticas II

4 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:

a) x y

yy m

2

2

31

2–

+ ===

* b) x y

yy

zzz m

2

327

30

– +++

===

*

c) x y

yzz

mz2 8

131

––++

===

* d) ( )

xx

yz

m z3

5

000

–

–+

===

*a)

x yyy m

2

2

31

2–

+ ===

4 m

100

212

31

2–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 2 · (2.ª)

m

100

210

31

4–f p

• Sim = 4 → Sistema compatible determinado.• Sim ≠ 4 → Sistema incompatible.

b)

x yyy

zzz m

2

327

30

– +++

===4

m

100

213

127

30

–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

m

100

210

121

30

–f p

Sistema compatible determinado para todo m.

c)

x yy

zz

mz2 8

131

––++

===4

m

100

120

18

131

––

f p •Sim = 0 → Sistema incompatible. •Sim ≠ 0 → Sistema compatible determinado.

d)

( )

xx

yz

m z3

5

000

–

–+

===4

m

130

100

01

5

000

–

–f p

•Sim = 5 → Sistema compatible indeterminado. •Sim ≠ 5 → Sistema compatible determinado con solución x = 0, y = 0, z = 0.

5 Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

a) ( / )xxx

yy

my

22

42

2–

––+

+

===

* b) xxx

yyy

zzz m

2

525 2

13–

–

–+++

===

* c) xxx

yyy m

24

2

3

31–

+

+

===

* d)

xxxx

yy

y

zzzz m

23

2

23

5

213

– –+

+

+++

====

*a) ( / )

xxx

yy

my

22

42

2–

––+

+

===4 /

m

211

11 2

422

––

–f p (1.ª)

2 · (2.ª) + (1.ª)

2 · (3.ª) – (1.ª)

m

200

10

2 1

400

–

+f p

• Sim = – 21 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

2x – y = 4 → l

y xx

2 4–==

*

Soluciones: x = λ, y = 2λ – 4

• Sim ≠ – 21 → Sistema compatible determinado.

( )x y

m yyx

2 42 1 0

02

– =+ =

==

4

Solución: x = 2, y = 0


35

Matemáticas II

b)

xxx

yyy

zzz m

2

525 2

13–

–

–+++

===4

m

215

125

112

13–

–

–f p

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

m

125

215

112

31

–

––f p →

→ (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 5 · (1.ª)

m

100

255

133

3515

–––

––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

m

100

250

130

3510

–– –

–f p

• Sim = 10 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

y 1–= = +x y z

y z

z z

z z

2 3

5 3 5

55 3

53

56

5

–

– –

–+ =

=

+

x y z z3 2 3 2 1– – –= + = + = +4

Hacemos z = 5λ

Soluciones: x = 1 + λ, y = –1 + 3λ, z = 5λ

• Sim ≠ 10 → Sistema incompatible.

c)

xxx

yyy m

24

2

3

31–

+

+

===4

m

124

213

31–f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 4 · (1.ª)

m

100

255

3512

––

––

f p →

→ (1.ª)

(2.ª) : (–5)

(3.ª) – (2.ª)

m

100

210

31

7–f p

• Sim = 7 → Sistema compatible determinado.

x y

y2 3

1+ =

=4 x = 3 – 2y = 1

Solución: x = 1, y = 1

• Sim ≠ 7 → Sistema incompatible

d)

xxxx

yy

y

zzzz m

23

2

23

5

213

– –+

+

+++

====

_

`

a

bb

bb

m

1231

1102

2315

213

– –

f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

m

1000

1333

2777

233

2

– ––––

f p →

→

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

(4.ª) – (2.ª)

m

1000

1300

2700

230

1

– ––

+

f p• Sim = –1 → Sistema compatible indeterminado.

x y z z2 2 2 1 2 1– – –= + + = + =

x y z

y z

z z

z z

2 2

3 7 3

33 7

37

37

3

– –

–

– –=

+ =

y 1– –= =4

Haciendo z = 3λ:

Soluciones: x = 1 – λ, y = –1 – 7λ, z = 3λ

• Sim ≠ –1 → Sistema incompatible.


36

Matemáticas II

Teorema de Rouché. Regla de Cramer

6 Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incom-patibles:

a) xxx

yyy

45 2

615

–––

++

===

* b) xxx

yyy

zzz

22

32

23

0––

–––

––

+ ===

* c) xxx

yyy

zzz

2

3

35

306

– ––

–

+

++

===

*

d) xxx

yy

zzz

23

23

215

– –+ +

+

===

* e)

xx

x

yyyy

zzz

2

2

3

720

10

– ––

+

+

+

+

====

* f ) xxx

yyy

zzz2

3

3

11

5– –

––

+

+

+

+

===

*

a)

xxx

yyy

45 2

615

–––

++

===4 A' =

145

112

615

–––

f p

A

Como 14

11–

= 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas.

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación:

8x y

x yx x

y x6

4 15 5 1

1 4 1 4 5–

–Sumando:

– – – – –=

+ == =

= = =4 4 Solución: x = 1, y = –5

b)

xxx

yyy

zzz

22

32

23

0––

–––

––

+ ===4 A' =

121

112

132

230

––

–––

––f p

A

Tenemos que | A | = 0 y que 12

11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Como 121

112

230

––

–– = –3 ≠0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2

Por tanto, el sistema es incompatible.

c)

xxx

yyy

zzz

2

3

35

306

– ––

–

+

++

===4 A' =

213

351

111

306

– ––

–f p

A

Como | A | = 0 y 21

35– – = –7 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.

Además, 213

351

306

– – = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A ) < n.º de incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación:

xx

yy

zz

x z yx z y

x yz y x y y t

2 35

30

2 3 35

3 25 5 3 2 3 7– –

– – ––

Sumando:++

==

=+ =

= += + = + + = +

4 4

Soluciones: x = 3 + 2λ, y = λ, z = 3 + 7λ


37

Matemáticas II

d)

xxx

yy

zzz

23

23

215

– –+ +

+

===4 A' =

123

110

231

215

– –f p

A

Como | A | = 0 y 23

10 = –3 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.

Como 123

110

213

– = 6 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2


e)

xx

x

yyyy

zzz

2

2

3

7201

0

– ––

+

+

+

+

====

_

`

a

bb

bb

A' =

1102

1213

1710

2010

– ––f p

A

Como 110

121

171

– – = 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.

El sistema es compatible determinado.

Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:

x = 5

201

121

171

515 3–

– –

= = y = 5

110

201

171

510 2–

–– –= = z =

5

110

121

201

55 1

–– = =

Solución: x = 3, y = –2, z = 1

f )

xxx

yyy

zzz2

3

3

11

5– –

––

+

+

+

+

===4 A' =

112

311

113

115

– –––f p

A

Como | A | = –14 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.

El sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

x = 14

115

311

113

140 0

–

–– – –

–= = y =

14

112

115

113

1414 1

–

–– –

––= = z =

14

112

311

115

1428 2

–

– –

––= =

Solución: x = 0, y = –1, z = 2


38

Matemáticas II

7 Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer:

a) xx

yy

83

145

211–

+ ==

* b) xx

yy

z

z

ttt

120

––

––

+ + ===

*

c) xx

yyy

zz

32

3 2

20

1

–

–+ +

+

===

* d) xx

yy

zz

tt

42

– ––+ ++ =

=*

a)

xx

yy

83

145

211–

+ ==4 A' =

83

145

211–

e o → | A | = – 82 ≠ 0

A

x = 82

211

145

82164 2

––

––= = ; y =

82

83

211

8282 1

– ––= =


b)

xx

yy

z

z

ttt

120

––

––

+ + ===4 A' =

110

110

101

111

120

––

––

f p → Tenemos que 110

11

0

101

––

= –2 ≠ 0.

A

x =

tt

t t t2

12

110

101

23

23

–

––

–

–– –

+

= = + ; y =

tt

t t t2

110

12

101

21

21

–

– –

–– –

+

= + = ;

z =

tt

t t t2

110

110

12

22

–

––

––

+

= =

Soluciones: , , ,l l l lx y z t2

32

1– –= + = = =

c)

xx

yyy

zz

32

3 2

201

–

–+ +

+

===

_

`

a

bb

bb A' =

320

113

012

201

–

–f p → | A | = 1 ≠ 0

A

x = 1

201

113

012

11 1–

–

– –= = ; y = 1

320

201

012

15 5– – –= = ; z =

1

320

113

201

17 7

–

– = =

Solución: x = –1, y = –5, z = 7

d)

xx

yy

zz

tt

42

– ––+ ++ =

=4 x y z t

x y z t42

11

11

– ––

–= ++ = +

4 = 2 ≠ 0

x =

z tz t

2

42

11

26 3

––

–++

= = ; y =

z tz t z t z t

2

11

42

22 2 2 1

–– – – – –

++

= + = +

Soluciones: x = 3, y = –1 – λ + μ, z = λ, t = μ


39

Matemáticas II

8 Estudia y resuelve estos sistemas, cuando sea posible:

a) xx

yyy

zzz

3 001

–

–

++ +

===

* b) xxx

yyy

zzz

22

2

222

––

–

–––

++

++

===

*

c) xx

yyy

z

z

2 01

1– –

– – –

+ + ===

* d)

xx

x

y

yy

zzz2

56711

+

+

+++

====

*a)

xx

yyy

zzz

3 001

–

–

++ +

===4 A' =

310

111

111

001

–

–f p

A

Como | A | = – 6 ≠ 0, tenemos que: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

x = 6

001

111

111

62

31

–

–

––

–= = ; y = 6

310

001

111

64

32

–

–

–––= = ; z =

6

310

111

001

62

31

– ––= =

Solución: , ,x y z31

32

31– –= = =

b)

xxx

yyy

zzz

22

2

222

––

–

–––

++

++

===4 A' =

121

211

112

222

––

–

–––

f p

A

Como 12

21––

= –3 y | A | = 0, tenemos que ran (A ) = 2.

Además, 121

211

222

–– –

––

= 18 ≠ 0. Luego ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2.


c)

xx

yyy

z

z

2 011

– –– – –

+ + ===4 A' =

110

211

101

011

– –– – –

f p

A

Como | A | = 0, 110

211

011

– –– –

= 0 y 11

21– – = 1 ≠ 0, tenemos que:

ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para hallar sus soluciones, podemos prescindir de la 1.ª ecuación y resolverlo en función de y :

x y

y zx yz y

11

11

– –– – –

– ––

==

==

4 4

Soluciones: x = –1 – λ, y = λ, z = 1 – λ


40

Matemáticas II

d)

xx

x

y

yy

zzz2

56711

+

+

+++

====

_

`

a

bbb

bb

A' =

1102

1011

0111

56711

f p A

Tenemos que | A' | = 0 y 110

101

011

= –2 ≠ 0.

Luego ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Para resol-verlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación:

x2

567

101

011

24 2

– ––= = = ; y

2

110

567

011

26 3

– ––= = = ; z

2

110

101

567

28 4

– ––= = =

Solución: x = 2, y = 3, z = 4

9 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:

a) xxx

yyy

zzz

12 32

2000

––

––

+

+

===

* b)

xxxx

yyyy

zzzz

938

3

2

2

42

0000

–

–

+

++

+++

====

*a)

xxx

yyy

zzz

12 32

2000

––

––

+

+

===4

xxx

yyy

zzz12 2

000

23

––

–

–

+ ===

+ 4 A = 1112

123

112

––

–

–f p

Como | A | = 0 y 12

21––

= –3 ≠ 0, entonces, ran (A ) = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:

x y zx y z2– –

+ ==3

x

zz z z z

3

12

3 3––

––=

-= = ; y

zz z z

3

11

32

32

––

––= = =

Soluciones: , ,l l lx y z3 3

2= = =

b)

xxxx

yyyy

zzzz

938

3

2

2

42

0000

–

–

+

++

+++

====

_

`

a

bb

bb

A =

9381

3112

2142

–

–

f p

Como 938

311

214

– = –35 ≠ 0, entonces ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas.

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.


41

Matemáticas II

Discusión de sistemas mediante determinantes

10 ¿Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas soluciones?:

a) xxx

yayy

zzz

32

2 352

24

2

– –– –+

+ +

===

* b) xxx

yy

ay

zazz

aa2

1

1

–+++

+++

===

*a)

xxx

yayy

zzz

32

2 352

24

2

– –– –+

+ +

===

4 A' = a321

2

1

352

24

2

– –– –f p

A

| A | = 9a + 27 = 0 → a = –3• Sia = –3, queda:

A' = 321

231

352

24

2

––

–– –f p

Como 32

23

–– = –5 y

321

231

24

2

–– – = 20, entonces ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3

El sistema es incompatible.• Sia = –3 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas soluciones.

b)

xxx

yy

ay

zazz

aa2

1

1

–+++

+++

===

4 A' = a

aa

a121

11

1

1

1

1

–f p

A

| A | = –a 2 + 3a – 2 = 0 → a = ± ±2

3 9 82

3 1–

– ––

–= aa

12

==

• Sia = 1, queda:

A' = 121

111

111

011

f p La 1.ª y la 3.ª ecuación son contradictorias, luego el sistema es incompatible.• Sia = 2, queda:

A' = 121

112

121

121

f p Las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª son iguales, y 12

11 = –1 ≠ 0;

A

luego, ran (A ) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = 2.


42

Matemáticas II

Página 115

11 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a:

a) xxx

yyy

zz

az

2

324

3000

–

–––

++ =

==

* b) x

axx

y

y

zz

az22

000–

+ +++

===

* c) ax

xx

yyy

zzz3

210 4

000

–+++

++

===

* d) xxx

yyy

zaz

z

343

324 6

000

––

+++ +

===

*a)

xxx

yyy

zz

az

2

324

3000

–

–––

++ =

==4 A =

a

213

124

13

–

–––

f p Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).

| A | = –5a – 25 = 0 → a = –5

• Sia = –5 → Como 21

12–

= 5 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2

El sistema es compatible indeterminado.

• Sia ≠ –5 → Solo tiene la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0.

b)

xaxx

y

y

zz

az22

000–

+ +++

===4 A ' = a

a

1

2

101

12

–f p

Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).

| A | = –a 2 – a + 6 = 0 → a = ± ±2

1 1 242

1 5– –

+ = aa

32–=

=

• Sia = –3 o a = 2 → Como 10

12 = 2 ≠0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2


• Sia ≠ –3 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0.

c)

axxx

yyy

zzz3

210 4

000

–+++

++

===4 A' =

a13

1210

114

–f p

Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).

| A | = –2a – 5 = 0 → a = 25–

• Sia = – 25 → Como

12

11–

= 3 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2


• Sia ≠ – 25 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0.

d)

xxx

yyy

zazz

343

324 6

000

––

+++ +

===4 A' = a

343

324

1

6

––f p → | A | = 3a – 46 = 0 → a =

346

• Sia = 346 → Como

34

32 = – 6 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2


• Sia ≠ 346 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0.


43

Matemáticas II

12 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:

a) mx

xx

yyy

zz

mzm4

2–

++

+++

===

* b) xxx

yy

my

zmz

z

mm2

1

1

–+++

+++

===

* c) xxx

ymy

y

zzz2

2

3

3

4

002

+++

+++

===

*

d) xx

mx

myyy

zzz

3454

+++

+++

===

* e)

xx

x

yyy

zzz

mz

32

2 3125–

––––

+++

+

====

* f )

xxxx

yyyy

zzzz

m

m

22

2

1

0

––

–––

+

+

++

====

*a)

mxxx

yyy

zz

mzm4

2–

++

+++

===4 A' =

m

mm1

1

111

11

4

2–f p

A

| A | = m 2 – 1 = 0 mm

11–

==

• Sim = 1, queda:

A' = 111

111

111

412–

f p Contradictorias → Sistema incompatible.

• Sim = –1, queda:

A' = 111

111

111

412

–

– ––f p Contradictorias → Sistema incompatible.

• Sim ≠ 1 y m ≠ –1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.

b)

xxx

yy

my

zmz

z

mm2

1

1

–+++

+++

===

4 A' = m

mm

m121

11

1

1

1

1

–f p

A

| A | = –m 2 + 3m – 2 = 0 → m = ± ±2

3 9 82

3 1–

– ––

–= mm

12

==

• Sim = 1, queda:

A' = 121

111

111

011


• Sim = 2, queda:

A' = 121

112

121

121

f p . Las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª son iguales.

A

Como 12

11 = –1 ≠ 0 → ran (A' ) = ran (A ) = 2 < n.º de incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.


44

Matemáticas II

c)

xxx

ymy

y

zzz2

2

3

3

4

002

+++

+++

===4 A' = m

112

2

3

314

002

f p

A

| A | = –2m + 2 = 0 → m = 1• Sim = 1, queda:

A' = 112

213

314

002

f p

Como 11

21 = –1 y

112

213

002

= –2 ≠ 0, entonces: ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3

El sistema es incompatible.• Sim ≠ 1, queda: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.

d)

xx

mx

myyy

zzz

3454

+++

+++

===4 A' =

m

m11 3

1

111

454

f p

A

| A | = m 2 – 4m + 3 = 0 → m = ± ± ±2

4 16 122

4 42

4 2– = = mm

31

==

• Sim = 3, queda:

A' = 113

331

111

454


• Sim = 1, queda:

A' = 111

131

111

454

f p . La 1.ª y la 3.ª fila son iguales.

Además, 11

13 = 2 ≠ 0. Luego, ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 3 y m ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.


45

Matemáticas II

e)

xx

x

yyy

zzz

mz

32

2 3125–

––––

+++

+

====

_

`

a

bbb

bb

A' =

m

1301

0121

211

3125–

––––

f p A

| A | =

m

1301

0121

211

3125–

––––

=

filas(1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª)

(4.ª) – (1.ª)

m

1000

0121

251

2

31028–

–––

–––

=

= m

121

51

2

1028–

–––

–––

= (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

filas

m

100

59

7

101818

–

–

–

– =

= m9

71818– – = 18 m

97

11– – = 18(–9 – m + 7) = 18(–m – 2) = 0 → m = –2

Además, 130

012

211–

= 9 ≠ 0 → ran (A ) = 3

• Sim = –2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ –2 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ) = 3. El sistema es incompatible.

f )

xxxx

yyyy

zzzz

m

m

22

2

1

0

––

–––

+

+

++

====

_

`

a

bb

bb

A' = m

m

2111

1211

1121

1

0

––

–––

f p A

| A' | = 3m + 3 = 0 → m = –1

Eliminando de A la 3.ª fila, 211

121

111

––– –

= –3 ≠ 0

• Sim = –1, queda:

A' =

2111

1211

1121

1101

––

–––

–

–

f p Entonces: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.• Sim ≠ –1, queda: 3 = ran (A ) < ran (A' ) = 4 → El sistema es incompatible.


46

Matemáticas II

13 Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones. Resuélvelos cuando sean compatibles e interpreta geométricamente las soluciones obtenidas:

a) xxx

yyy

zzz m

2

525 2

13–

–

–+++

===

* b) xxx

ayyy

zaz

z

aaa

1

–

–––

++

===

+*

c) ( )x y z

mx y m zx my z m

11 2–

+ + =+ + =+ + =

* d) ( )( )

x zy a z

x a y az a

11 0

1–

–

+ =+ =

+ + =*

a) La matriz asociada al sistema, permutando las dos primeras filas entre sí, es:

m

125

215

112

31

–

––f p

Usando el método de Gauss obtenemos:

m

100

250

130

3510

–– –

–f p

• Sim ≠ 10 → El sistema es incompatible.

• Sim = 10 → El sistema es compatible indeterminado.

Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro.

Soluciones: , ,l l lx y z51 1

53 1–= + = =

Interpetación geométrica:

• Sim ≠ 10, tenemos tres planos que se cortan dos a dos.

• Sim = 10, tenemos tres planos que se cortan en una recta.

b)

xxx

ayyy

zazz

aaa

1

–

–––

++

===

+4 →

aa

111

11

1

1–

–––

= 1 – a 2

• Sia ≠ –1 y a ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos usando la regla de Cramer:

, ,xa

a a ya

za1

11

11

2–

––

2

2= + + =+

=

• Sia = –1:

xxx

yyy

zzz

11

0

–

–

–––

–+

===

+ 4 → 11

11–

= 2 ≠0 → ran (A ) = 2

Añadimos la 4.ª columna:

111

111

011

–

–––

= –2 → ran (A' ) = 3

Luego, ran (A ) ≠ ran (A' ) → El sistema es incompatible.


47

Matemáticas II

• Sia = 1:

xxx

yyy

zzz

11

2

–

–

–+ +

===

+4 →

11

11– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Añadimos la 4.ª columna y la 2.ª fila:

111

111

211–

= –2 → ran (A' ) = 3

Luego, ran (A ) ≠ ran (A' ) → El sistema es incompatible.Interpretación geométrica:• Sia ≠ –1 y a ≠ 1, tenemos tres planos que se cortan en un punto.• Sia = –1, el primer y el tercer plano son paralelos.• Sia = 1, el primer y el segundo plano son paralelos.

c) mm

m1

1

11

11

1– = m – 1

• Sim ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos usando la regla de Cramer y obtenemos: x = 1, y = 1, z = –1.• Sim = 1:

xxx

yyy

z

z

121

+++

+ ==

+ =4 →

11

10 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2


111

101

121

= 0 → ran (A' ) = 2

Luego, ran (A ) = ran (A' ) = 2 → El sistema es compatible indeterminado. Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos y al segundo miembro como parámetro. Soluciones: x = –λ + 2, y = λ, z = –1Interpretación geométrica:• Sim ≠ 1, tenemos tres planos que se cortan en un punto.• Sim = 1, los tres planos se cortan en una recta.

d) a

aa

101

01

1

11

–– = –a 2 + 3a – 2 = 0 → a = 2, a = 1

• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Usando la regla de Cramer:

x = , ,aa y

aa z

a21

21

21

––

–– –

–= =

• Sia = 1:

x z

yx z

101

+ ==

+ =*

Las ecuaciones 1.ª y 3.ª representan el mismo plano.


48

Matemáticas II

x z

y10

+ ==

*

Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro. Soluciones: x = 1 – λ, y = 0, z = λ• Sia = 2:

x z

y zx y z

10

2 2

+ =+ =

+ + =*

10

01 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2


101

011

102

= 1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

En este caso el sistema es incompatible.Interpretación geométrica• Sia ≠ 1 y a ≠ 2, tenemos tres planos que se cortan en un punto.• Sia = 1, dos planos son coincidentes y se cortan en una recta con el tercero.• Sia = 2, los planos se cortan dos a dos.

Forma matricial de un sistema

14 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:

a) x

x

yyy

zz

2

23

202

+

+++

===

* b) xxx

yyy

zzz

22 3

32

1–

–

––

++ +

===

* c) x

x

yy z

z

12

3

––

+++

===

* d) x

x

yyy

zzz

232 2

344

+

+

+++

===

*

a)

x

x

yyy

zz

2

23

202

+

+++

===

_

`

a

bb

bb ·

xyz

202

111

031

202

=f f fp p p

A · X = B

| A | = 2 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:

αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |A1 (Adj (A ))t

/ /

8 8 8 A213

626

202

213

626

202

262

120

36

2

131

1 210

3 231

– – – ––

–

– –

–

––

–

–

–– 1–=f f f fp p p p

Luego:

A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = / /1

31

1 210

3 231

20

1002

–

–

–– · =f f fp p p

Por tanto: x = 1, y = 0, z = 0


49

Matemáticas II

b)

xxx

yyy

zzz

22 3

32

1–

–

––

++ +

===4 ·

xyz

121

112

113

321–

–

––=f f fp p p

A · X = B



8 8 8 A152

723

531

152

723

531

175

523

231

111

175

523

231

––

––

–––

–––

–

–

–

–– –

–

–

–– –

–

1–=f f f fp p p p Luego:

A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·111

175

523

231

321

111

112222

122

–

–– –

––

–

–

–

–= =f f f fp p p p

Por tanto: x = –1, y = 2, z = –2c)

x

x

yy z

z

12

3

––

+++

===4

xyz

101

110

011

123

·––=f f fp p p

A · X = B



8 8 8 A111

111

111

111

111

111

111

111

111

1111

111

111

2

– –– –

–

–

–

––

–

–– 1–=f f f fp p p p

Luego:

A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·1111

111

111

12 1

46

22

32

231–

––

–– – –= =f f f fp p p p

Por tanto: x = 2, y = –3, z = 1d)

x

x

yyy

zzz

232 2

344

+

+

+++

===4

xyz

101

232

112

344

· =f f fp p p

A · X = B



8 8 8 A421

111

303

421

111

303

413

210

113

1413

210

113

3–

– ––– –

–

–

– ––

–

– –– 1–=f f f fp p p p

Luego:

A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·31

413

210

113

1

1

344

3

033

01

–

– –– = =f f f fp p p p

Por tanto: x = 0, y = 1, z = 1


50

Matemáticas II

15 Escribe en la forma habitual estos sistemas y resuélvelos si es posible:

a) 11

31

21– –

e o fx

y

zp =

40e o b) f

132

111

––

p xye o = f

401p

a) l

lxx

yy

xz

x yx y

3 2 40

3 4 2– –

––

+ + ==

+ ==4 4

x =

ll l l11

31

4 2 31

44

44

–

––

–– –= = + ; y =

ll l l

4

11

4 2

44 3

44 3

–

–

–– –= + =

Soluciones: x = l4

4 + , y = l4

4 3– , z = 1

b)

xxx

yyy

32

401

––

+ ===4 Comprobamos si tiene solución:

132

111

401

––

= – 8 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

13

11– ≠ 0 → ran (A ) = 2

Como ran (A ) ≠ ran (A' ), el sistema es incompatible.

16 Escribe las ecuaciones lineales del sistema AX = B, siendo A = f131

110

401–

–p y B = f

1152p, y

resuélvelo.

AX = B → xyz

131

110

401

1152–

–=f f fp p p

Multiplicando las matrices del primer término:

xxx

yy

z

z3

4 1152

–

–++

+ ===4

Resolvemos el sistema:

A' = 131

110

401

1152–

–f p

A B

| A | = 8

x = 8

1152

110

401

88 1

–

= = ; y = 8

131

1152

401

816 2– = = ; z =

8

131

110

1152

824 3–

–

= =

Solución: x = 1, y = 2, z = 3


51

Matemáticas II

17 Resuelve el siguiente sistema:

f211

011

52

1–– p f

x

y

zp + f

312

–p = f

41

1– p

·xyz

211

011

521

721–

– ––

=f f fp p p

A · X = B

Calculamos A –1 (| A | = 16 ≠ 0 → existe A –1):


8 8 8 A355

179

222

355

179

222

312

572

592

161

312

572

592

––

–

– ––

–

–

–

–1–=f f f fp p p p

Por tanto:

A · X = B → X = A –1 · B = ·161

312

572

592

721

161

161616

111–

–––

– –= =f f f fp p p p

Luego, xyz

111–=f fp p ; es decir: x = 1, y = –1, z = 1

Para resolver

18 Una panadería utiliza tres ingredientes A, B y C para elaborar tres tipos de tarta. La tarta T1 se hace con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C. La tarta T2 lleva 4 unidades de A, 1 de B y 1 de C. Y la T3 necesita 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. Los precios de venta al público son 7,50 la T1; 6,50 la T2 y 7 la T3. Sabiendo que el beneficio que se obtiene con la venta de cada tarta es de 2 , calcula cuánto le cuesta a la panadería cada unidad de A, B y C.

Llamamos X = xyzf p a la matriz de precios por unidad de A, B y C, respectivamente.

La matriz que indica los ingredientes en relación con el tipo de tarta es: A B C

142

211

212

TTT3

1

2 f pEl gasto para cada tipo de tarta es:

,,

,,

7 506 50

7

222

5 504 50

5– =f f fp p p

Podemos calcular la solución mediante la resolución del siguiente sistema:

·,,

xyz

142

211

212

5 504 50

5=f f fp p p → La solución es:

,

,

xyz

0 501

1 50=f fp p

La unidad A cuesta 0,50 €, la unidad B cuesta 1 € y la unidad C cuesta 1,50 €.


52

Matemáticas II

19 a) Halla un número de tres cifras tal que la suma de las centenas y las unidades con el doble de las decenas es 23; la diferencia entre el doble de las centenas y la suma de las decenas más las unidades es 9 y la media de las centenas y decenas más el doble de las unidades es 15.

b) ¿Es posible encontrar un número de tres cifras si cambiamos la tercera condición por “el triple de las centenas más las decenas es 25”?

a) El número buscado es xyz.

El sistema que expresa las condiciones del problema es:

( ) , ,8x y zx y zx y

z

x y z2 23

2 9

22 15

9 5 4–+ + =

+ =+

+ =

= = =4 El número es 954.

b) El sistema resultante es:

( )x y zx y zx y

2 232 93 25

–+ + =

+ =+ =

4 Este sistema no tiene solución, luego no hay ningún número que verifique esas condiciones.

20 Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de B a A, 2 horas y 45 minutos. ¿Cuál es la longitud de camino llano entre A y B si sabemos que la distancia entre A y B es de 192 km?

Llamamos x a la longitud de camino llano entre A y B, y a la longitud de cuesta arriba yendo de A a B y z a la longitud de cuesta abajo yendo de A a B.

Tenemos que:

,

,

x y z

x y z

x y z

xxx

yyy

zzz

192

80 54 902 5

80 90 542 75

2727

4024

2440

1925 4005 940

km

horas

horas

+ + =

+ + =

+ + =

+++

+++

===4 4

12727

14024

12440

1925 4005 940

f p (1.ª)

(2.ª) – 27 · (1.ª)

(3.ª) – 27 · (1.ª)

100

1133

13

13

192216756–

–f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) · 3 + (2.ª) · 13

100

113160

130

192216

5 076–f p

x yyy

zz13

1603

192216

5 076–

+ + ===

4 ,,,

yzx

31 72565 47594 800

kmkmkm

===

Solución: La longitud de camino llano entre A y B es de 94,8 km.


53

Matemáticas II

21 Una persona ha obtenido 6 000 de beneficio por invertir un total de 60 000 en tres empresas: A, B y C. La suma del dinero invertido en A y B fue m veces el invertido en C, y los beneficios fueron el 5 % en A, el 10 % en B y el 20 % en C.

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cada empresa.

b) Prueba que si m > 0, el sistema es compatible determinado.

c) Halla la solución para m = 5.

a) Sean x, y, z las cantidades invertidas en A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema:

, , , , , ,

xxx

yyy

z

zmz

xxx

yyy

zmz

z0 05 0 1 0 2

60 000

6 000 0 05 0 1 0 2

60 0000

6 000–

+++

+ ==

+ =

+++

+

+

===

4 4

b) , , ,

m11

0 05

11

0 1

1

0 2

60 0000

6 000–f p

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 0,05 · (1.ª)

, ,

m100

10

0 05

11

0 15

60 00060 0003 000

– – –f p• Sim = –1: El sistema es incompatible.• Sim ≠ –1: El sistema es compatible determinado. Por tanto, si m > 0, el sistema es compatible determinado.

c) m = 5, solución: x = 20 000 €, y = 30 000 €, z = 10 000 €.

Página 116

22 Tres comerciantes invierten en la compra de ordenadores de los modelos A, B y C de la siguiente for-ma. El primero invierte 50 000 en los de tipo A, 25 000 en los de tipo B y 25 000 en los de tipo C. El segundo dedica 12 500 a los de tipo A, 25 000 a los de tipo B y 12 500 a los de tipo C y el tercero 10 000 , 10 000 y 20 000 , respectivamente, en los modelos A, B y C. Después de venderlos todos, la rentabilidad que obtiene el primero es el 15 %, el segundo el 12 % y el tercero el 10 %. Determina la rentabilidad de cada uno de los modelos vendidos.

Llamamos x = xyzf p a la matriz de rentabilidad por modelo: A, B y C, respectivamente.

La matriz que indica la inversión en relación con el comerciante es: A B C

.º.º.º

50 00012 50010 000

25 00025 00010 000

25 00012 50020 000

123

f pLa rentabilidad para cada comerciante es:

, ·, ·, ·

0 15 100 0000 12 50 0000 1 40 000

15 0006 0004 000

=f fp pPodemos calcular la rentabilidad por modelo mediante la resolución del siguiente sistema:

·xyz

50 00012 50010 000

25 00025 00010 000

25 00012 50020 000

15 0006 0004 000

=f f fp p pcuya solución es:

,,,

xyz

0 230 110 03

=f fp pLa rentabilidad del modelo A es del 23 %, la rentabilidad del modelo B es del 11 %, y la rentabilidad del modelo C es del 3 %.


54

Matemáticas II

23 Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y m euros. Se sabe que tiene almacenados 2 000 y que el número de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que refleje las condiciones del problema. Prueba que si m ∈ [5, 50, 100], el sistema es compatible determinado.

b) ¿Puede haber billetes de 5 o 100 euros en el cajero?

c) Resuelve el sistema para m = 50.

a) Llamamos x al número de billetes de 10 €, y al número de billetes de 20 € y z al número de billetes de m €.

El sistema que expresa las condiciones del problema es:

8xxx

yy

zmz

y

xxx

yyy

zmz10 20

952 000

210 20

2

952 000

0–

++

+ =+ =

=

++

+ =+ =

=*4

Para m = 5, la matriz de coeficientes es:

1101

1202

150–

f p

Su determinante resulta: 1101

1202

150–

= –25 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3

Luego el sistema es compatible determinado. Para m = 50, la matriz de coeficientes es:

1101

1202

1500–

f p Su determinante es:

1101

1202

1500–

= 110 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3

Luego el sistema es compatible determinado. Para m = 500, la matriz de coeficientes es:

1101

1202

15000–


1101

1202

15000–

= 1 460 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3

Luego el sistema es compatible determinado.b) Para m = 5, el sistema es:

xxx

yyy

zz10 20

25

952 000

0–

++

+ =+ =

=4 → x = 122, y = 61, z = – 88

La solución no es posible porque el número de billetes no puede ser negativo. Para m = 100, la matriz de coeficientes es:

1101

1202

11000–

f p


55

Matemáticas II

Su determinante es:

1101

1202

11000–

= 260 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3

Luego el sistema es compatible determinado.

xxx

yyy

zz10 20

2100

952 000

0–

++

+ =+ =

=4 → , ,x y z

13750

13375

13110= = =

La solución no es posible porque el número de billetes no puede ser un número fraccionario. Para cualquiera de los dos casos el sistema tiene solución, pero no son soluciones reales.c) Para m = 50, el sistema es:

xxx

yyy

zz10 20

250

952 000

0–

++

+ =+ =

=4 → x = 50, y = 25, z = 20

Hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €.

24 Discute y resuelve los siguientes sistemas:

a) l

l lx

xyy

zzz3

2 0

5–

+

+

+

===

* b) ( ) ( )m x

mxx

m yy

my

zzz

2 1 321

–– –

–

+ +

++

===

*

c) l

l llx

xx

yyy

zzz

311–

+++

++

===

* d) mx

xx

ymy

y

zm z

z22

212

2+++

+++

===

*a)

ll l

x

xyy

zzz3

2 0

5–

+

+ +

===4 → | A | =

ll l l0

1

0

3

211– 2= + = 0 → λ = –1, λ = 0

Si λ ≠ –1 y λ ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Usando la regla de Cramer:

x = , ,l l

ll

ly z1

413

12–

+=

++ =

+ Si λ = 0:

zz

x y z

2 00

3 5–

==

+ + =

+4

Las dos primeras ecuaciones son equivalentes.

z

x y z0

3 5– =

+ + =4

Sistema compatible indeterminado. Pasamos y al segundo miembro como parámetro. Soluciones: x = –3λ + 5, y = λ, z = 0


56

Matemáticas II

Si λ = –1:

x z

y zx y z

2 01

3 5

–– – –+ =

=+ + =

4 → A = 101

013

211

–– –f p →

10

01

–– = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Añadimos la cuarta columna.

101

013

015

–– – = 2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.

b)

( ) ( )m xmx

x

m yy

my

zzz

2 1 321

–– –

–

+ +

++

===4 → | A | =

mm

m

m

2

1

11

111

––

–

–

+ = –m 2 – m = 0 → m = 0, m = –1

Si m ≠ 0 y m ≠ –1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.

Usando la regla de Cramer: x = , ,m m

m ym

zm m

m2 1 1 2 12 2+

+ = =++

Si m = 0:

x

x

yy

zzz

2 321

–––

++

=

== 4 → ran (A ) < 3, pero ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.

Si m = –1:

xxx

yy

zzz

321

–– –

– –+

===4 → ran (A ) < 3, pero ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.

c)

ll l

lxxx

yyy

zzz

311–

+++

++

===4 Estudiamos el determinante de la matriz de coeficientes:

| A | = l

l l11

3

1

1

1– = –2λ2 + 2λ + 4 = 0 → λ = 2, λ = –1

Si λ ≠ –1 y λ ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado. Usando la regla de Cramer:

x = , ,l l

ll l

l l

l ll

l l

ll

l

y z2 2 4

11

3

1

1

1 12 2 4

11

11

1

1 02 2 4

11

3

111 0

––

––

–2 2 2+ += =

+ += =

+ +=

Si λ = 2:

xxx

yyy

zzz

2 32 2

211–

+++

++

===4 →

21

32 = 1 → ran (A ) = 2


211

321

211

= 0 → ran (A' ) = 2 → Sistema compatible indeterminado.


xx

yy

zz

2 32 2

21

++

++

==

*

Soluciones: x = 4μ + 1, y = –3μ, z = μ


57

Matemáticas II

Si λ = –1:

xxx

yyy

zzz

3 111

–– –

–

–+

+

+ ===4 →

11

31

–– = –2 → ran (A ) = 2


111

311

111

––

– = 0 → ran (A' ) = 2 → Sistema compatible indeterminado.


xx

yy

zz

3 11

–– –

–+ + ==4

Soluciones: x = μ + 1, y = 0, z = μ

d)

mxxx

ymy

y

zm z

z22

212

2+++

+++

===4

La matriz de coeficientes es:

m

m m22

1

1

1

1

2f p , cuyo determinante es m

m m22

1

1

1

1

2 = –m 3 + 3m 2 – 2m = 0 mm

m02

1==

=

Si m ≠ 0, m ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 Luego el sistema es compatible determinado. Usamos la regla de Cramer.

Solución: x = 0, y = ,m mm z

m mm2 1 2 1–

––

––

2

2

2=


8022

101

101

02

10f p = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Añadimos la última columna.

022

101

212

= 2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.


122

111

111

f p → 12

11 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2


122

111

212

= –1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.


8222

121

141

22

12f p = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2


58

Matemáticas II


222

121

212


Tomamos las dos primeras filas y pasamos z al segundo miembro como parámetro.

xx

yy

zz

22 2 4

21

++

++

==4

Soluciones: x = λ + 23 , y = –3λ – 1, z = λ

25 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro y resuélvelos cuando sean compatibles:

a) ax

x

yy

ayaz2

000–

–+

++

===

* b) mx

xx

ymy

y

zzz2

010

– –+

+

+

+

===

* c)

kxxxx

kykyky

z

z

35

2

2001

––+

++

====

* d)

xmx

x

y

myy

zzzz

m

32

50

0––

+ ++

+

====

*a)

ax

x

yy

ayaz2

000–

–+

++

===

_

`

a

bb

bb Este sistema es compatible por ser homogéneo.


a

aa0

1

11 2

0

0

––f p

Su determinante es: a

aa0

1

11

020–

– = –2a 3 – 2a = 0 → a = 0

Si a ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado. Solución: x = 0, y = 0, z = 0 Si a = 0:

yyx

000

––

===4

Las dos primeras ecuaciones son equivalentes → Sistema compatible indeterminado. El sistema queda:

yx

00–

==3 Soluciones: x = 0, y = 0, z = λ

b)

mxxx

ymy

y

zzz2

010

– –+

+

+

+

===4


m

m12

1

1

11

1– –f p

Su determinante es:

m

m12

1

1

111

– – = –m 2 + 3m – 2 = 0 → m = 2, m = 1


59

Matemáticas II

Si m ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.

Utilizando la regla de Cramer: x = , ,ym

zm

01

11

1–– –

= =

Si m = 1:

112

111

111

– –f p → 11

11– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2


112

111

010

– = 1 ≠0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.

Si m = 2:

212

121

111

– –f p → 21

12– = –5 ≠ 0 → ran (A ) = 2


212

121

010

– = 0 → ran (A' ) = 2 → Sistema compatible indeterminado.


xx

yy

zz

22

01– –

+ + ==4 → Soluciones: x = , ,l l ly z

51

53 2– – –= =

c)

kxxxx

kykyky

z

z

35

2

2001

––+

++

====

_

`

a

bb

bb

La matriz ampliada es:

k kkk

351 0

1002

2001

––


k kkk

351 0

1002

2001

––

= – 40k

Si k ≠ 0 → ran (A' ) = 4 → Sistema incompatible. Si k = 0:

zxxx z

23 05 0

2 1

– ===

+ =

4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes, nos queda: z

xx z

23 0

2 1

– ==

+ =4

El determinante de la matriz ampliada es:

031

102

201

– = 15 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Como ran (A ) < 3, el sistema es incompatible. Este sistema no tiene solución para ningún valor de k.


60

Matemáticas II

d)

xmx

x

y

myy

zzzz

m

32

50

0––

+ ++

+

====

_

`

a

bb

bb

La matriz ampliada es:

m

m m

1

01

30

1

1211

50

0––f p

Su determinante es:

m

m m

1

01

30

1

1211

50

0–– = 7m – m 2 = 0 → m = 7, m = 0

Si m ≠ 0 y m ≠ 7 → ran (A' ) = 4 → Sistema incompatible. Si m = 0:

x y zzz

x y z

3 52 0

00

––

+ + ===

+ =

4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes, por tanto el sistema es equivalente a:

x y z

zx y z

3 52 0

0–

+ + ==

+ =4

El determinante de la matriz de coeficientes es:

101

301

121–

= 8 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.

Usando la regla de Cramer: x = , ,y z45

45 0= =

Si m = 7:

x y zx z

y zx y z

3 57 2 0

7 70

––

+ + =+ =

=+ =

4 El menor formado por los coeficientes de las tres primeras ecuaciones es:

170

307

121–

= 56 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.

Tomamos las tres primeras ecuaciones:

x y zx z

y z

3 57 2 0

7 7–

+ + =+ =

=4

Usando la regla de Cramer: x = , ,y z21

45

47– = =


61

Matemáticas II

26 Sea la matriz: A = fmmm

mm m

111

122

02

1

–––

++ +

p

a) Determina para qué valores de m la matriz es singular.

b) Resuelve, si es posible, el siguiente sistema para m = 1 y m = –1:

A f

x

y

zp = f

288p

a) A = mmm

mm m

111

122

02

1

–––

++ +

f p

| A | = ( ) ( )mmm

mm m

m mm m

m mm m

111

122

02

11

111

122

02

11

111

011

02

1

–––

– –++ +

= ++ +

= ++ +

=

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm

m mm

m m1 1111

011

02

11 1

111

011

00

11 1– –

–– 2+

+= + = +

A es singular para m = –1 y m = 1.

b) Si m = –1 → A = 222

111

020

–––f p

El sistema queda:

8x yx y zx y

2 22 2 82 8

11

02

–––

+ =+ + =+ =

4 = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2


111

020

288

= 12 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.

Si m = 1 → A = 000

133

022

f p El sistema queda:

yy zy z

23 2 83 2 8

=+ =+ =

4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes.

13

02 = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2


133

022

288


Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos x al segundo miembro como parámetro.

yy z

23 2 8

=+ =

4 → Soluciones: x = λ, y = 2, z = 1


62

Matemáticas II

27 Sea el sistema de ecuaciones: ax

xax

byby

y

zczcz

ca

b

23

52

22

3

4––

––

+ +

+

===

*a) Justifica que para los valores de los parámetros a = 0, b = 1, c = 2 el sistema es compatible.

b) Determina los valores de los parámetros a, b y c para los que se verifica que (x, y, z) = (1, 2, 3) es solución del sistema.

c) Justifica si dicha solución es o no es única.

a)

axx

ax

bybyy

zczcz

ca

b

23

522

23

4––

––

+ +

+

===

4 Para a = 0, b = 1, c = 2, el sistema queda:

xyyy

zzz

3 22

42

604

– ––

+

+

===4


030

122

14

2– – = 0 → ran (A ) = 2

030

122

604

––

= 48 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Como ran (A ) ≠ ran (A' ), el sistema es incompatible.b) Sustituimos las incógnitas por los datos y resolvemos las ecuaciones. Obtenemos el sistema:

a

a

bb c

c

cab

23

5

24

4

363

3

4––

––

+ +

+

===

4 Las nuevas incógnitas son a, b, c.

aaa

bbb

ccc

2

5

244

363

334

– –––

––

+

+ +

===4


215

24

4

36

3– –

–– = –78 → ran (A ) = 3 → Sistema compatible determinado.

Solución: a = 1, b = –1, c = 1c) Como el sistema es compatible determinado, la solución es única.


63

Matemáticas II

28 a) Demuestra que el siguiente sistema de ecuaciones tiene siempre solución para cualquier valor de α y β:

( )a b a

ba b

xxx

y zzz 3

–

– –

++

+ ===

*b) ¿Es posible que tenga infinitas soluciones para algún valor de α y β?

a)

( )a b aba b

xxx

y zzz 3

–

– –

++

+ ===

4 A' = a b a

ba b

111

100

11 3

–

– –

+f p

A

| A | = a b1

11

100

11

11

11

–

––

+= = –2 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3

El sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β.b) El determinante de la matriz de coeficientes es:

a b1

11

100

11

–

–

+ = –2 → ran (A ) = 3 → El sistema será siempre compatible determinado,

luego la solución siempre será única. No puede haber infinitas soluciones.

Cuestiones teóricas

29 ¿Verdadero o falso? Justifica tus respuestas y pon ejemplos.

a) A un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas que es compatible indeterminado, podemos añadirle una ecuación que lo transforme en incompatible.

b) Si S y S' son dos sistemas equivalentes con solución única que tienen iguales los términos inde-pendientes, entonces los coeficientes de las incógnitas también son iguales.

c) Para m = 1, el sistema fm

mm

11

1

1

11 p f

x

y

zp = f

m

m

mp tiene infinitas soluciones que dependen de un

parámetro.

d) El sistema anterior es incompatible si m = –2.

e) El sistema ax

xx

yay

y

zz

az

a

a2

22–

–

+ +++

===

+* tiene siempre solución para cualquier valor de a.

f ) El sistema 11

23

01

e o fx

y

zp

ab=c m es compatible indeterminado para cualquier valor de a y b.

g) Si el determinante de la matriz ampliada de un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas es distinto de cero, el sistema tiene solución única.

h) Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

a) Verdadero. Tenemos el sistema:

x yx yz

22 2 4

––

==4 → Compatible indeterminado.


64

Matemáticas II

Le añadimos la ecuación: x – y = 3.

x yx yz

x y

22 2 4

3

––

–

==

=4 → Incompatible.

b) Falso. Los siguientes sistemas son equivalentes, tienen iguales los términos independientes y no tienen los mismos coeficientes en las incógnitas.

,8x yx y x y

31 2 1–

+ == = =4 ,8

yx x y

3 3

22 1

== =

1= 4c) Falso. Para m = 1 el sistema tiene infinitas soluciones, pero dependen de dos parámetros ya que: ran (A ) = ran (A' ) = 1 Podemos quedarnos con una sola ecuación y pasar dos incógnitas al segundo miembro como pará-

metros.d) Verdadero. El rango de la matriz de coeficientes es:

211

121

112

––

– = 0 → ran (A ) < 3

El menor tiene como rango:

211

121

222

––

–––

= –18 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.e)

axxx

yayy

zz

az

a

a2

22–

–

+ +++

===

+4

Falso, para a = 1 el rango de la matriz de coeficientes es:

121

111

111

–––

= 0 → ran (A ) < 3

Añadimos la 4.ª columna al menor 12

11 ≠ 0.

121

111

321

= 2 → ran (A' ) = 3

Luego para a = 1, el sistema es incompatible y, por tanto, no tiene solución.f ) Verdadero, ran (A ) = 2, y como solo hay dos filas, A' no tiene más rango. Es compatible determi-

nado para cualquier valor de a y b.g) Falso, puede ser también incompatible.

x y zy zy z

x y

02 2 33 3 1

1– –

+ + =+ =+ =

=

4 Tiene | A' | = 7 ≠ 0, pero ran (A ) = 3 → El sistema es incompatible.


65

Matemáticas II

h) Falso, puede ser también incompatible.

x y zx y zx y z

32 2 2 43 3 3 5

+ + =+ + =+ + =

4 ran (A ) = 1, ran (A' ) = 2

Página 117

30 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede ser compatible?

b) ¿Puede tener solución única?

c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?

a) Sí, podría ser compatible indeterminado si ran (A ) = ran (A' ) < n.º de incógnitas.b) No, pues al ser ran (A ) < n.º de incógnitas, el sistema no puede ser compatible determinado.c) Sí, si es compatible, pasando al 2.° miembro las incógnitas que sea necesario.

31 Si dos sistemas de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, AX = B y AX = B', tienen una misma matriz de coeficientes A, ¿puede ser incompatible uno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible determinado?

No. Si uno de ellos es compatible determinado es porque ran (A ) = ran (A' ) = 4. Por tanto, si A es la misma matriz en los dos sistemas, también en el otro será ran (A ) = 4. Luego los dos serían com-patibles determinados.

32 Determina una matriz A para que el sistema homogéneo AX = 0 sea equivalente a la ecuación matricial:

x y z` j f121

212

–p = (0, 0)

La ecuación matricial dada la podemos escribir así:

x y zx y z

2 02 2 0–

+ + =+ + =

4

Si llamamos A = 12

21

12–

e o y X = xyzf p , entonces: AX = 0.

Por tanto, la matriz A que buscamos es A = 12

21

12–

e o .

33 Sean A = f110

21

3– p, B = f

a

b

cp y C = f

ab

c

3

3

+

+p.

Justifica que si el sistema AX = B es compatible determinado, entonces el sistema AX = C tam-bién lo es.

Si AX = B, es compatible determinado → ran (A ) = ran (A' ) = 2.Para ello, el siguiente determinante debe ser igual a 0:

abc

110

21

3– = 3a – 3b – 3c = 0


66

Matemáticas II

Calculamos el determinante de la matriz ampliada correspondiente al sistema AX = C :

a

bc

110

213

3

3–

+

+ = 3a – 3b – 3c

Los dos determinantes tienen el mismo valor, porque el segundo se obtiene sustituyendo la 3.ª colum-na por ella más la suma de las otras dos, luego valen cero para los mismos valores de a, b y c. Por tanto, el sistema AX = C es compatible determinado.

Para profundizar

34 Estudia y resuelve cuando sea posible.

a)

xxxx

yyyy

zzz

tttt

a352

3 2

2

4

31

2

––

––

+

+

+++

+

+

====

* b)

axayay

zzz

az

tttt

2

1120

–––

+++

+ ====

*a)

xxxx

yyyy

zzz

tttt

a352

3 2

2

4

31

2

––

––

+

+

+++

+

+

====

_

`

a

bbb

bb

A' =

a

1325

1113

0112

2114

312

–

–

–

–

f p A

| A | = 0 y 132

111

011

– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 3

(La 4.ª columna depende linealmente de las tres primeras).

| A | =

a

1325

1113

0112

312

–

–

filas(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

(4.ª) – 2 · (2.ª)

a a

1311

1121

0100

311

2

111

121

31

2––

–

– –

–– – –

= (1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

filas

a

100

130

34

1+ =

= 3(a + 1) = 0 → a = –1• Sia = –1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación y pasar la t al 2.° miembro:

x y tx y z tx y z t

3 23 12 2

––

–

+ =+ = +

+ + =4

x =

ttt t t

3

3 212

111

011

32 5

35 2

–

––

–– –

–

+

= = ; y =

ttt t t

3

131

3 212

011

34 4

34 4

–

–

––– –

+

= = ;

z =

ttt t t

3

132

111

3 212

38 5

38 5

–

––

––– –

+

= = +

Soluciones: , , ,l l l lx y z t3

5 23

4 43

8 5– – –= = = + =

• Sia ≠ –1 → ran (A ) = 3 ≠ ran (A' ) = 4. El sistema es incompatible.


67

Matemáticas II

b)

axayay

zzz

az

tttt

2

1120

–––

+++

+ ====

_

`

a

bbb

bb

A' =

aaa

a

000

0

0

111

1121

1120

–––

f p A

| A | =

aaa

a

aaa

a

000

0

0

111

1121 0

11

121

–––

–––

= =(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª)

filas

a

aa a

aa0

0

10

111

01–

––

= =

= a · a 2 = a 3 = 0 → a = 0• Sia = 0, queda:

A' = 88

8 zzt

Incompatible

0000

0000

1110

1121

1120

120

–––

===

f p 3

• Sia ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 4. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos:

x = ( )a

aa

aa

a aaa

1120

0

0

111

1121 2 1 2 1

–––

3 3 2= + = + ; y = a

a

aaa

a

000

1120

111

1121 1

–––

3 3 2= = ;

z = a

aaa

aa

a

000

0

0

1120

1121 1

––– – –

3 3

2= = ; t =

a

aaa

aaa

000

0

0

111

1120 1– –3 3

3= =

Soluciones: x = , , ,aa y

az

at2 1 1 1 1– –2 2

+ = = =

35 Discute los siguientes sistemas:

a) xxx

yyy

zz

az b24

3 22

8–

– –++

+

+

===

* b) xxx

yy

ay

zaz

z

aab

21–+

++

+++

===

* c) xxx

y zzz

abc

3––+

+

===

* d) ax

xx

yay

z

z

bbb

211

–

– –++

+

===

+*a)

xxx

yyy

zz

az b24

3 228

–– –+

+

+

+

===4 A' =

a b

124

131

12

28

–– –f p

A

| A | = 5a = 0 → a = 0• Sia = 0, queda:

A' = ; ≠ ;b b

124

131

120

28

12

13 5 0

124

131

28

–– –

– ––=f p = 5b + 20 = 0 → b = – 4

• Sia = 0 y b = – 4 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.


68

Matemáticas II

• Sia = 0 y b ≠ – 4 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.• Sia ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3. El sistema es compatible determinado,

cualquiera que sea el valor de b.

b)

xxx

yy

ay

zazz

aab

21–+

++

+++

===

4 A' = a

aa

ab

121

11

1

1

1–f p

A

| A | = –(a – 1)(a – 2) = 0 aa

12

==

• Sia = 1, queda:

A' = b

121

111

111

01f p Contradictorias, a no ser que b = 0.

— Si a = 1 y b ≠ 0 → Sistema incompatible. — Si a = 1 y b = 0, queda:

A' = 121

111

111

010

f p La 1.ª fila y la 3.ª son iguales.

12

11 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → Sistema compatible indeterminado.

• Sia = 2, queda:

A' = b

121

112

121

12f p La 1.ª columna y la 3.ª son iguales.

12

11 ≠ 0 → ran (A ) = 2

b

121

112

12 = –(b – 1) = 0 → b = 1

— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible. — Si a = 2 y b = 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. — Si a ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

c)

xxx

y zzz

abc

3––+

+

===4 A' =

abc

111

300

111

––f p

A

| A | = 6 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a, b y c.

d)

axxx

yay

z

z

bbb

211

–

– –++

+

===

+ 4 A' = a

abb

b21

1

0

101

11

–

– –+f p

A


69

Matemáticas II

| A | = a 2 – a– 2 = 0 aa

12–=

=

• Sia = –1, queda:

A' = bb

b

121

110

101

11

–

––

– –+f p

12

11

–– ≠ 0 → ran (A ) = 2

bb

b

121

110

11

–

––

–+ = –3b = 0 → b = 0

— Si a = –1 y b ≠ 0 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible. — Si a = –1 y b = 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.• Sia = 2, queda:

A' = bb

b

221

120

101

11

–

– –+f p

22

12 ≠ 0 → ran (A ) = 2

bb

b

221

120

11

–

–+ = 3b – 3 = 0 → b = 1

— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible. — Si a = 2 y b = 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. — Si a ≠ –1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

36 Dado este sistema de ecuaciones:

a ba b

a b

xy

z

12

32

2

– –+

===

++

* donde α, β ∈ Á

transfórmalo en un sistema equivalente que no dependa de los parámetros α, β; es decir, trans-fórmalo en un sistema en el que sus ecuaciones se expresen solo en función de las incógnitas.

Interpretamos el sistema al revés, es decir:

a ba b

a b

xyz

32

2

12

– –+

+

== +=

*Para que este sistema tenga solución, el siguiente determinante debe ser igual a 0:

xy

z

321

112

12

– –+ = 3x – 7y + 5z – 17 = 0


70

Matemáticas II

En este caso, para calcular α y β, tomamos las dos primeras ecuaciones y obtenemos un sistema compatible determinado:

a ba b

xy

3 12 2

– –=+ = +*

Las soluciones son: α = , bx y x y51

51

51

52

53

58–+ + = + +

Sustituimos α y β por sus valores en el sistema original y obtenemos:

x x y x y

y x y x y

z x y x y

1 351

51

51

52

53

58

2 251

51

51

52

53

58

51

51

51 2

52

53

58

– – –

–

–

= + + + +

+ = + + + + +

= + + + + +d

d

d

d

d

d

n

n

n

n

n

n

*Las ecuaciones de este sistema se expresan solo en función de las incógnitas.


71

Matemáticas II

Autoevaluación

Página 117

1 Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema e interprétalo geométricamente:

xxxx

yyyy

zzzz3

35

7

3

5

1315

– – –+++

+++

====

*xxxx

yyyy

zzzz3

35

7

3

5

1315

– – –+++

+++

====

_

`

a

bb

bb

1113

3517

1315

1315

– – –

f p →

(3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

(4.ª)

1113

1537

1315

1315

– – –f p →

→

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – 3 · (1.ª)

1000

144

4

1222

1222

– – –f p →

(1.ª)

(2.ª) : 2

(3.ª) + (2.ª)

(4.ª) – (2.ª)

1000

1200

1100

1100

f p →

→ l

x y zy z

z yx y z yy

12 1

1 21

–– –

+ + =+ =

== ==

4Soluciones: x = λ, y = λ, z = 1 – 2λ. Son cuatro planos con una recta en común.

2 Un transportista tiene tres camiones P, Q y R en los que caben un cierto número de contenedores de tres tipos A, B y C. En el camión P caben 5 contenedores del tipo A, 3 del tipo B y 4 del C. En el camión Q, caben 2 contenedores del tipo A, 5 del B y 5 del C. Y en el camión R, caben 4 del A, 3 del B y 6 del C. Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo B y 58 del tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes los hacen totalmente llenos?

Llamamos:x = viajes del camión Py = viajes del camión Qz = viajes del camión R P Q R

·xyz

534

255

436

454458

ABC

=f f fp p pObtenemos el sistema de ecuaciones:

x y zx y zx y z

5 2 4 453 5 3 444 5 6 58

+ + =+ + =+ + =

4 → x = 5, y = 4, z = 3

El camión P tiene que dar 5 viajes.El camión Q tiene que dar 4 viajes.El camión R, tiene que dar 3 viajes.


72

Matemáticas II

3 a) Discute, en función de a, el siguiente sistema:

( )xx

ax

ayyy

zaz

z

aa

a

22 1–

+++

+++

===

++*

b) Resuelve el sistema anterior para el caso a = –1.

a) ( )

xx

ax

ayyy

zazz

aa

a

22 1–

+++

+++

===

++ 4 A' = ( )

a

aa

aaa

11 1

1

1

1

22 1–

++f p

A

| A | = a 3 – 3a + 2 = 0 = (a – 1)2(a + 2) = 0 aa

12–

==

• Sia = 1, queda:

A' = 111

111

111

34

1–f p → El sistema es incompatible.

• Sia = –2, queda:

A' = 112

211

121

022–

––

–f p

Como 11

21–

= 3 y 112

211

022–

–

– = 0, entonces ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas.


• Sia ≠ 1 y a ≠ –2: ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.

b) Para a = –1, queda:

A' = 111

111

111

101–

––

–f p y sabemos que | A | = 4

A

El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

x = 4

101

111

111

42

21–

––

= = ;

y = 4

111

101

111

42

21– –

–– –= = ;

z = 4

111

111

101

40 0–

–

– = =

Solución: x = , ,y z21

21 0–= =


73

Matemáticas II

4 Demuestra que no hay valores de m para los que este sistema no tenga solución. Resuélvelo:

xxx

yy

my

zzz

23 2

3

357

+++

+++

===

*

xxx

yy

my

zzz

23 2

3

357

+++

+++

===4 A' =

m

111

23

123

357

f p

A

| A | = 4 – m = 0 → m = 4• Sim = 4:

A' = 111

234

123

357

f p La 4.ª columna se obtiene sumando la 2.ª y la 3.ª.

Luego, ran (A ) = ran (A' ). El sistema es compatible. (En este caso sería compatible indeterminado, pues:

11

23 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2).

Lo resolvemos en este caso. Podemos prescindir de la 3.ª ecuación:

x y zx y z

x y zx y z

2 33 2 5

2 33 5 2

11

23 1

––

+ + =+ + =

+ =+ = =4 4

x =

zz

z1

35 2

23

1

––

–= + ; y =

zz

z1

11

35 2

2

––

–=

Soluciones: x = –1 + λ, y = 2 – λ, z = λ• Sim ≠ 4 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos en este caso:

x = m

mmm

4

357

23

123

44 1

– ––= = ; y =

m m4

111

357

123

40 0

– –= = ;

z = ( )m

mmm

mm

4

111

23

357

48 2

42 4 2

– ––

––= = =

Solución: x = 1, y = 0, z = 2 Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución.

5 El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas es 3. ¿Qué rango puede tener la matriz ampliada? En base a ello, ¿cuántas soluciones tendrá el sistema?

La matriz ampliada es una matriz cuadrada de orden 4.Su rango puede ser 3 (si | A' | = 0) o 4 (si | A' | ≠ 0).•Siran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema será compatible determinado.•Siran (A ) = 3 ≠ ran (A' ) = 4 → El sistema será incompatible.


74

Matemáticas II

6 Discute y resuelve el siguiente sistema:

x

x

yy

y

zzz

a2

3

1

12

–

––

–+

====

*Según el teorema de Rouché, el sistema tendrá solución si el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada son iguales.

A' = a

1010

2101

0131

1

12

–

––

–f p A

Como la matriz ampliada es de orden 4, buscamos los valores que anulan su determinante.

| A' | =

filas(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª)

a a

1000

2121

0131

1

22

121

131

22

–

––

– ––

–= = – 6 – 2a – 2 + 3a – 2 – 4 → a = 14

• Sia = 14

A' =

1010

2101

0131

1142

2

–

––

–f p → Como 010

101

131

––

≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.

A

El sistema es compatible determinado.• Sia ≠ 14 → ran (A ) = 3 ≠ ran (A' ) = 4. El sistema es incompatible.•Resoluciónsia = 14: Tomamos las ecuaciones 2.ª, 3.ª y 4.ª:

y z

x zy z

143 1

2– –

–

+ ===

* De la 1.ª y la 3.ª ecuación obtenemos 2y = 16 → y = 8z = 14 – 8 = 6En la 2.ª x = –1 + 3z = –1 + 18 = 17

Solución: x = 17, y = 8, z = 6

Otra forma de resolver el problemaSi resolvemos el sistema formado por las ecuaciones 1.ª, 3.ª y 4.ª, obtendríamos la solución x = 17, y = 8, z = 6.Llevando estos valores a la 2.ª ecuación, y + z = a → 8 + 6 = a → a = 14. Este es el valor de a que hace el sistema compatible. Para cualquier otro valor de a, el sistema no tiene solución.

7 En un sistema homogéneo de tres ecuaciones y dos incógnitas, la matriz de los coeficientes tiene rango 2.

Di, razonadamente, cuántas soluciones tendrá el sistema.

En un sistema homogéneo el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada siempre coin-cide ya que al añadir una columna de ceros no cambia el rango.Por tanto, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas.El sistema será compatible determinado. Solo tiene una solución que es la trivial: x = 0, y = 0.

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