Logika Stosowana - Wykład 8 - Wnioskowanie indukcyjne Czesc 1

Logika StosowanaWykład 8 - Wnioskowanie indukcyjne

Część 1 – Problem indukcji

Marcin Szczuka

Instytut Informatyki UW

Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30

Plan wykładu

1 Wprowadzenie

2 Niezupełne wnioskowanie indukcyjneRodzaje wnioskowań indukcyjnych

3 W stronę logiki indukcyjnej



Dedukcja vs. indukcja

Wszystkie systemy wnioskowania poznane dotąd na tym wykładzie byłysystemami dedukcyjnymi, czyli działającymi w sposób całkowicie pewny woparciu o przyjęty zbiór przesłanek (założeń, aksjomatów) za pomocąniezawodnych reguł wnioskowania. W szczególności, niesprzeczne systemydedukcyjne są zamknięte ze względu na tworzenie nowych pojęć iwyciąganie prawdziwych wniosków.Rozumowania czysto dedukcyjne są stosunkowo rzadko spotykane wprawdziwym świecie. Najczęściej mamy z nimi do czynienia w przypadkumatematycznych modeli świata (fizyka teoretyczna, matematyka,informatyka) których opis poddaje się uporządkowaniu. Znamienitymprzykładem stosowania podejścia (głównie) dedukcyjnego są ElementyEuklidesa. Jednak rygorystyczne trzymanie się dedukcji i zasadyzachowywania absolutnej prawdziwości wniosków bardzo szybko napotykana wielkie problemy.Dlatego, istotnym dopełnieniem metod dedukcyjnych w nauce sąrozumowania innego rodzaju, w szczególności oparte o indukcję, abdukcjęi/lub kombinację tychże.


Rozumowania indukcyjne

W największym uproszczeniu, rozumowania indukcyjne można rozumiećjako wnioskowania

od szczegółu do ogółuczyli od przykładów do reguły.

Wnioskowania indukcyjne są ze swojej natury niedokładne.

Wnioskowanie indukcyjne jest oparte na wrodzonej ludziom zdolności doznajdowania wzorców i reguł na podstawie skończonej (i być możeniekompletnej i niedokładnej) próbki pochodzącej z obserwacji.

Na przykład na podstawie obserwacji każdy “rozsądny” badacz stwierdziempirycznie prawdziwość stwierdzenia:

Wszystkie kruki są czarne, ale nie wszystkie koty są czarne.


Niuanse indukcji

Zagadnieniem przeprowadzania wywodów w oparciu o obserwację, czyliindukcyjnych, zajmowali się badacze od zarania dziejów. Jednakże aż doschyłku średniowiecza za niepodważalną metodę badawczą uważanodedukcję w formie wprowadzonej przez Arystotelesa.Dzisiejsze pojęcie indukcji jest znacznie precyzyjniejsze niemniej jednakarystotelesowskie podejście też wymagało przyjęcia założeń i prowadzeniarozumowania w sposób, który ich nie podważa. Arystoteles rozważałwprawdzie metodę rozumowania indukcyjnego, ale tylko w formieprymitywnej indukcji enumeracyjnej zupełnej.Pierwsze znaczące wątpliwości co do tej metody badawczej przedstawiłFrancis Bacon (1561-1626) jednocześnie proponując zasadę indukcjieliminacyjnej. Zasada indukcji eliminacyjnej została dokładniejsformułowana przez Johna Stuarta Milla w Systemie logiki dedukcyjnej iindukcyjnej (1843) w formie tzw. kanonów Milla.


Niuanse indukcji

Indukcję niezupełną eliminacyjną poddał krytycznej analizie David Hume(1748). Swoje trzy grosze dorzucił też Immanuel Kant. W swoich dziełachfilozoficznych, zajmujących się przede wszystkim zagadnieniami poznania ikwestiami przyczynowości, Hume zaproponował nowe spojrzenie naindukcję i przeprowadził jej krytyczną analizę.Jego postulaty stały się początkiem współczesnego rozumienia zagadnieniaindukcji - w ujęciu Hume’a stanowi ono alternatywę głoszącą, że albowiedza jest pewna i dotyczy idei (abstraktów, np. obiektówmatematycznych), albo jest niepewna i dotyczy faktów z rzeczywistości.Współcześnie pogląd, że wiedza o faktach świata materialnego nie jestpewna jest przyjęty powszechnie, w czasach Hume’a stanowił jednakszokujący paradoks, głównie ze względu na rozwój fizyki newtonowskiej.Współczesne rozumienie wnioskowań indukcyjnych odeszło od idei Kanta iHume’a w stronę logik indukcyjnych, które na zamiast na pytanie “couzasadnia prawdziwość?” starają się odpowiadać na pytanie “dlaczegostwierdzenie jest prawdopodobne/możliwe?”. Tego typu podejściereprezentował m.in. Rudolf Carnap.


Typy rozumowań indukcyjnych

Indukcja zupełnaIndukcja zupełna (indukcja enumeracyjna zupełna, indukcja wyczerpująca)to wnioskowanie, w którym jakąś ogólną prawidłowość uznaje się zaprawdziwą na podstawie zdań stwierdzających wszystkie możliweprzypadki wystąpienia tej prawidłowości.Indukcja zupełna jest w rzeczywistości rozumowaniem dedukcyjnym ipewnym, gdyż wyklucza sprzeczność przez wyliczenie (enumerację)wszystkich pozytywnych przypadków. Jest też w większości nietrywialnychprzypadków całkowicie nieefektywną metodą prowadzenia praktycznegorozumowania.Szczególnym przypadkiem indukcji zupełnej jest indukcja matematycznapowszechnie stosowana do dowodzenia twierdzeń. Niejako wbrew swojejnazwie, jest to metoda dedukcyjna.


Indukcja eliminacyjna

“...when you have eliminated all which isimpossible, then whatever remains, howeverimprobable, must be the truth.”

Sherlock Holmes

Źródło: Arthur Conan Doyle, The Blanched Soldier



Indukcja eliminacyjnaProsta indukcja eliminacyjna (Bacon) polega na sformułowaniu listyhipotez, które wzajemnie się wykluczają a następnie dokonaniu eliminacji zużyciem narzędzia jakim jest eksperyment.J.S. Mill rozwinął indukcję eliminacyjną poprzez dodanie pięciu regułeliminacji hipotez (kanonów Milla) które pozwalają częściowosformalizować proces wnioskowania. Kanony Milla pozwalają ustalaćzwiązki przyczynowo-skutkowe typu “przyczyna A powoduje skutek a”, napodstawie serii obserwacji. Na przykład metoda zgodności (kanonpierwszy) pozwala przeprowadzić wnioskowanie:Sytuacja 1: Obserwujemy przyczyny A, B, C i skutki a, b, c.Sytuacja 2: Obserwujemy przyczyny A, D, E i skutki a, d, e.Wniosek: Eliminujemy niepowtarzające się (niezgodne) obserwacje i mamy“przyczyna A powoduje skutek a”.



Indukcja niezupełnaIndukcja niezupełna (indukcja enumeracyjna niezupełna), polega nauznaniu jakiejś ogólnej prawidłowości na podstawie skończonej liczbyzdań stwierdzających niektóre wystąpienia tej prawidłowości. Wnioskujemyzatem na podstawie próbki o prawidłowościach ogólnych.Niezupełność tego rozumowania jest naturalną manifestacją rzeczywistościktórą próbujemy opisać. Prawie nigdy nie mamy możliwości obserwowaniadostatecznie wielu (wszystkich możliwych) przypadków. Niezupełnośćoznacza także, że raz zbudowane teorie nie są zamknięte i mogą byćuzupełniane w miarę napływania nowych przypadków (obserwacji), którenie dają sie dobrze wyjaśnić za pomocą dotychczasowej wiedzy. Tak, naprzykład, teoria względności Einsteina uzupełniła mechanikę Newtona.Indukcja niezupełna jest jednym z podstawowych narzędzi naukdoświadczalnych. Na potrzeby jej stosowania zostały opracowane licznemetodologie badawcze (np. rachunek błędów, ewaluacja statystyczna,etc.), które pozwalają eliminować negatywne skutki niezupełności.


Plan wykładu

1 Wprowadzenie




Problem indukcji

Problem indukcji niezupełnej był rozważany i poddawany krytycznejanalizie od wieków. Zasadność, wiarygodność i konieczność stosowaniatego podejścia do formułowania stwierdzeń opisujących świat dyskutowałjuż Sextus Empiricus (3-2 wiek p.n.e.). Na przestrzeni wieków wielunajwybitniejszych uczonych odnosiło się do tego zagadnienia, np. Bacon,Kartezjusz, Kant, Newton, Mill, Hume. Współcześnie własną wersję tegopodejścia przedstawiali eminentni filozofowie nauki, m.in. Karl Popper,Wesley C. Salmon i David Miller.

W konstrukcji systemu opartego na indukcji niezupełnej napotykamy nazasadniczy problem. Logika taka powinna rozszerzać systemy dedukcyjne omechanizm do wyprowadzania niekoniecznie całkowicie prawdziwychtwierdzeń. Chcielibyśmy, aby taki system pozwalał w jak największymstopniu odzwierciedlić podstawową własność systemów dedukcyjnych, tj.

Prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwośćwniosków.


Kryterium zgodności

Aby logika indukcyjna zachowywała pożądaną spójność zazwyczaj wymagasię od niej, aby możliwe było ustalenie stopnia wsparcia dla prawdziwościsformułowanych w niej wniosków. Mierzy on siłę wpływu prawdziwościprzesłanek na prawdziwość wniosku. Od takiej miary wymaga się spełnianiaCoA (Criterion of Adequacy - kryterium zgodności).CoA - Criterion of AdequacyAs evidence accumulates, the degree to which the collection of trueevidence statements comes to support a hypothesis, as measured by thelogic, should tend to indicate that false hypotheses are probably false andthat true hypotheses are probably true.

CoA - Kryterium zgodnościW miarę rozszerzania zbioru faktów stopień w jakim zawarte w nimprzesłanki pozytywne (prawdziwe) wspierają wniosek powinien wskazywaćna wzrastające prawdopodobieństwo prawdziwości dla wnioskówprawdziwych i spadające prawdopodobieństwo prawdziwości dla fałszywych.


Manowce indukcji

Aby z powodzeniem stosować systemy wnioskowania indukcyjnego (logikiindukcyjne) należy się zabezpieczać przed pułapkami, które mogą prowadzićdo powstawania paradoksów lub dowodzenia sofizmatów. Na przykład:

Indukcyjny dowód nieśmiertelnościFakty 1 – n Wiele razy (n� 1) słyszałem, że ktoś umarł.Fakt n+ 1 Za każdym razem gdy słyszałem, że ktoś umarł, nie byłem to

ja.Konkluzja Nic nie wskazuje na to, że mogę umrzeć, więc jestem

nieśmiertelny.

Oczywiście powyższe wnioskowanie jest błędne, bo nie uwzględniaprzesłanek negatywnych i nie spełnia choćby podstawowych kryteriów“przyzwoitości” dla kompletności zbioru przesłanek. Niemniej jednak, wrzeczywistych systemach indukcyjnych musimy bardzo uważać nazabezpieczanie się przed nonsensownymi wnioskami.


Plan wykładu

1 Wprowadzenie




Rodzaje wnioskowań indukcyjnych

W praktyce codziennego (formalnego) wnioskowania indukcyjnego stosujesię wiele schematów (metod), często pochodzących z innych dziedzinnauki. Są wśród nich:

1 Uogólnienie indukcyjne (ang. inductive generalisation).2 Sylogizm statystyczny (ang. statistical syllogism).3 Indukcja prosta/bezpośrednia (ang. simple/direct induction).4 Wnioskowanie przez analogię (ang. argument from analogy).5 Predykcja (ang. prediction).6 Wnioskowanie przyczynowe lub przyczynowo-skutkowe (ang. causal

inference). Etiologia.

UWAGA: wnioskowanie przez analogię może być rozpatrywane jako bardzoszczególny przypadek prostej indukcji.


Uogólnienie indukcyjne

Uogólnienie indukcyjne to metoda, która rozszerza przesłankę prawdziwądla próbki na wniosek dla całej populacji.

RegułaPrzesłanka:W próbce p wybranej z populacji P odsetek q przypadków w spełniawarunek A.Wniosek:W populacji P odsetek q przypadków w spełnia warunek A.

Zauważmy, że na razie nie zajmujemy się kwestią tego jak duża jest próbka,jak jest reprezentatywna, jak duży jest odsetek q, etc. Wpływ tychczynników nie może być jednak w ogólności zaniedbany, gdyż może todoprowadzić do błędnych wniosków.


Sylogizm statystyczny

Sylogizm to technika wnioskowania o dwóch przesłankach, przy czym obieprzesłanki zawierają wspólny element, a każdy element wniosku zawartyjest w dokładnie jednej z nich.Sylogizm statystyczny to wnioskowanie o pojedynczym przypadku napodstawie przesłanek mówiących o całej populacji.

RegułaPrzesłanki:– W populacji P odsetek q przypadków w spełnia warunek A.– Nowy przypadek s jest w P .Wniosek:Z prawdopodobieństwem będącym w (jakimś) związku z q przypadek sspełnia warunek A.

Wnioskowanie przez sylogizm statystyczny jest narażone na błędy typusecundum quid typowe dla sylogizmów.


Fallacia dicto simpliciter

Błędy (fallacia) typu secundum quid pojawiają się przy niewłaściwymstosowaniu sylogizmów, takich jak np. sylogizm Arystotelesa:Jeżeli każdy A jest B oraz każdy B jest C, to każdy A jest B.W przypadku sylogizmu statystycznego możemy napotkać dwie odmianytakich błędów.

1 Błąd akcydentacji – Fallacia a dicto simpliciter ad dictum secundumquid – wyprowadzenie zdania szczegółowego ze zdania ogólnego przypominięciu koniecznych domyślnych ograniczeń, np. “Skoro jest takwielu leniwych studentów, to niektórzy studenci w tej grupie są leniwi”.

2 Błąd odwróconej akcydentacji – Fallacia a dicto secundum quid addictum simpliciter – wyprowadzenie zdania ogólnego ze zdaniaszczegółowego przez opuszczenie niezbędnego dookreśleniawystępującego w tym zdaniu ogólnym, np. “Skoro można zabijać wobronie koniecznej, to zabijanie jest dozwolone”.


Indukcja prosta

Indukcja bezpośrednia (prosta) działa przez zastosowanie przesłankiprawdziwej dla części znanych wcześniej przykładów (populacji) do nowegoprzykładu.

RegułaPrzesłanki:– W populacji P odsetek q przypadków spełnia warunek A.– Nowy przypadek s jest w P .Wniosek:s spełnia A z prawdopodobieństwem proporcjonalnym do q

W tym konkretnym przykładzie prosta indukcja jest wynikiem złożeniauogólnienia i sylogizmu statystycznego. Wniosek z uogólnienia staje siępierwszą przesłanką sylogizmu.


Wnioskowanie przez analogię

Podobieństwo w jednych aspektach przesądza o podobieństwie w innych.

RegułaPrzesłanki:– Przypadki (obiekty) s i t są zgodne ze względu na warunki A,B,C.– Przypadek (obiekt) s spełnia też warunek D.Wniosek:t z dużym prawdopodobieństwem spełnia D.

Analogię stosuje się bardzo często w rozumowaniach zdroworozsądkowych,naukowych (ścisłych i humanistycznych), prawniczych i filozoficznych.Doprecyzowana i uregulowana wersja tego rozumowania stanowi działinformatyki (poddział SI) znany jako CBR (od ang. Case Based Reasoning).


Predykcja

Predykcja to wyciąganie wniosków o nowych obiektach (obserwowanych wprzyszłości) na podstawie obserwacji zebranych z posiadanej próbkiobiektów (w przeszłości/teraźniejszości).

RegułaPrzesłanka:W dotychczas zaobserwowanej populacji P odsetek q przypadkówspełnia warunek A.Wniosek:Nowo zaobserwowany przypadek s spełnia A z prawdopodobieństwemproporcjonalnym do q

Predykcja jest jednym z najczęściej wykorzystywanych schematówrozumowania indukcyjnego. Po uzbrojeniu w ścisły aparat matematycznystanowi punkt wyjściowy współczesnych metod odkrywania wiedzy zdanych w wielu dziedzinach zastosowań informatyki.


Etiologia – przyczynowość

Etiologia (aitiología) to dział nauki badający przyczyny zjawisk, procesów,faktów, zwłaszcza przyczyny przestępczości i chorób.W sensie rozumowania indukcyjnego, szczególnie w wydaniuinformatycznym, badanie związków przyczynowo-skutkowych najczęściejsprowadza się do rozstrzygania następującej kwestii.

Szukanie przyczynowości w danychW najprostszym przypadku w danych obserwujemy dwa fakty (dwiezmienne) X i Y . Zwykle przyjmujemy, że te fakty nie zależą od czasu.Sprawdzamy na podstawie zgromadzonych danych która z zależnościX → Y czy Y → X ma więcej przesłanek wspierających (większewsparcie) jako hipoteza (potencjalny wniosek).Sposób ustalania wsparcia dla każdej z hipotez na podstawie danychodróżnia metody.


Plan wykładu

1 Wprowadzenie




Wymagania dla logiki indukcyjnej

Od systemu (semi-)formalnego, który odważymy się nazwać logikąindukcyjną powinniśmy wymagać:

1 Spełniania kryterium zgodności (CoA).2 Zapewnienia, aby stopień pewności, z jakim przyjmujemy wniosek nie

przewyższał stopnia pewności z którym uznajemy przesłanki orazstopnia ufności w stosowane reguły inferencji (quasi-monotoniczność).

3 Możliwości wskazania jednoznacznej granicy między prawidłowymi anonsensownymi wnioskami (patrz dowód nieśmiertelności).

Dodatkowym wymogiem jest intuicyjność, choć z tym bywa różnie (patrznastępny slajd).


Problem (paradoks) Monty Halla

Nazwany tak na cześć wieloletniego gospodarza teleturnieju “Let’s Make aDeal”. Jest nie tyle paradoksem, co demonstracją, że nasza intuicja“statystyczna / probabilistyczna” jest czasem bardzo płytka i zawodna.

Problem Monty HallaGracz ma przed sobą troje drzwi za którymi są odpowiednio nagroda i dwiekozy. Wybiera jedne z drzwi. Gospodarz programu, który wie za którymidrzwiami jest nagroda, otwiera jedne spośród dwóch nie wybranych przezgracza drzwi. Za tymi drzwiami jest koza. Gospodarz pyta gracza, czychciałby zmienić wybór?Co powinien zrobić gracz by zmaksymalizować swoje szanse na nagrodę,zmienić wybór czy pozostać przy dotychczasowym?

Odpowiedź jest na tyle nieintuicyjna, że nawet Paul Erdős nie uwierzyłdopóki nie pokazano mu w 1995 roku dowodu za pomocą drzewadecyzyjnego i potwierdzenia za pomocą symulacji komputerowej.


Indukcyjne = statystyczne?

Bardzo często i (przy zachowaniu odpowiedniej ostrożności) przeważnie zsukcesem do realizacji praktycznych systemów indukcyjnych wykorzystujesię elementy probabilistyczne i statystyczne.

Były to pierwsze historycznie, uporządkowane podejścia do zagadnieniaustalania wsparcia dla stwierdzeń.

Jednym z najczęściej wykorzystywanych podejść są wnioskowaniabayesowskie (probabilistyczne). Mówi się nawet, nieco na wyrost, o logicebayesowskiej (BLOG – Bayesian LOGic).

Wykorzystanie prawdopodobieństwa, w tym warunkowego, jako miarywsparcia, pewności czy wiarygodności pozwala nam skorzystać z osiągnięćrachunku prawdopodobieństwa i dokonać formalizacji rozumowania.

Trzeba jednak być ostrożnym, bo złożone wywody probabilistyczne majątendencję do wymykania się “naturalnej” intuicji.


Wnioskowania niepewne

Jak już wcześniej zaznaczyliśmy, wszelkie wnioskowania związane z indukcjąniezupełną są wnioskowaniami niepewnymi (ang. uncertain reasoning). Wwiększości przypadków są to także wnioskowania niemonotoniczne, tzn.przy pojawieniu się nowych przykładów (nowych przesłanek) może dojść dowykluczenia (zaprzeczenia) wniosków uważanych dotąd za wysoceprawdopodobne. Wnioskowania w obecności niepewności były i są szerokobadane w wielu dziedzinach nauki. Kilka najważniejszych podejść:

Relacje wiarygodności – plausibility relationsFunkcje przekonań Dempstera-Shafera – Dempster-Shafer belieffunctionsJakościowe relacje prawdopodobieństwa – qualitative probabilityrelationsFunkcje probabilistyczne – probability functionsFunkcje possybilistyczne (rozmyte) – possibility functions in FuzzyLogicFunkcje rankujące (sic!) – ranking functions


Wnioskowania niepewne

Poniższy rysunek pokazuje zależności między podejściami do wnioskowańniepewnych. Strzałki prowadzą od podejść bardziej do mniej ogólnych.

Jakościowe relacje prawdopodobieństwa

Funkcje possybilistyczne

(rozmyte)

Relacje wiarygodności

Funcje rankujące

Funkcje probabilistyczne

Funkcje przekonań Dempstera-Shafera


Documents

Logika Stosowana - Wykład 8 - Wnioskowanie indukcyjne Czesc 1