23
Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi dasar himpunan. Tedjo Nugroho, ST. MT ILMU KOMPUTER Sistem Informasi www.mercubuana.ac.id

Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

  • Upload
    lydiep

  • View
    280

  • Download
    18

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Logika MatematikaHimpunanModul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasidasar himpunan.

Tedjo Nugroho, ST. MTILMU KOMPUTER

Sistem Informasi

www.mercubuana.ac.id

Page 2: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Outline :

• Definisi himpunan• Notasi Himpunan• Operasi-operasi dasar himpunan• Sumber Pustaka

Page 3: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

HimpunanHimpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikansecara jelas dalam sembarang urutan atau keberurutanobjek-objek anggotanya tidak diperhatikan. Objek-objekitu disebut elemen-elemen atau anggota-anggotahimpunan.

Jika himpunan A memiliki x sebagai anggotanya makadapat dituliskan sebagai x Є A, dibaca “x adalahanggota himpunan A” atau “x adalah elemen darihimpunan A”. Jika objek y bukan elemen atau anggotahimpunan A maka dapat ditulis y A.

Page 4: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Notasi Himpunan• Himpunan dinyatakan dengan huruf besar : A, B, C, D,

…. Sedangkan elemen-elemen dalam suatu himpunandinyatakan dengan huruf kecil : a, b, c, d, …

• Contoh:1. Himpunan A terdiri atas bilangan 2, 4, 6, 8 maka

dapat dituliskan sebagai A = {2, 4, 6, 8}; elemen-elemen didaftarkan dengan dipisah tanda koma (‘ , ’) dan dalam tanda kurung kurawal { }.

2. Himpunan B adalah himpunan bilangan genappositif, maka dapat dituliskan B = {x І x genap > 0}

Page 5: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Cara Penulisan HimpunanTerdiri atas 4 cara, yaitu:1. Enumerasi, dengan menyebutkan semua (satu per satu) elemen himpunan.

Contoh : A = {1,2,3,4,5}B = {mangga, pepaya, sirsak,melon}

2. Notasi khusus himpunan atau symbol standar.Contoh : P = Himpunan bilangan integer positif = {1,2,3,…}Q = Himpunan bilangan natural = {0,1,2,…}Z = Himpunan bilangan rasional = {…, -2,-1,0,1,2, …}

Page 6: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Cara Penulisan Himpunan3. Notasi pembentuk himpunan, menyebutkan sifat atau syarat

keanggotaan himpunan.Contoh:B = {x І x ≤ 5, x Є A}

Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan himpunan: - Bagian di kiri tanda ‘І’ melambangkan elemen himpunan- Tanda ‘І’ dibaca sebagai dimana atau sedemikian sehingga. - Bagian di kanan tanda ‘І’ menunjukkan syarat keanggotaan

himpunan.- Setiap tanda ‘ , ’ dibaca sebagai dan

Page 7: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Cara Penulisan Himpunan4. Diagram Venn, dengan menggambarkan keberadaan himpunan terhadap himpunanlain. Himpunan Semesta (S) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkanhimpunan lain digambarkan sebagai lingkaran.

Contoh : S = {1,2,3,…,7,8}A = {1,2,3,5}B = {2,5,6,8}

Atau dengan area himpunan:

S

1 2 6

4 3 5 8 7

S A B

1 2 3

Himpunan Area

A 1,2

B 2,3

A ∩ B 3

A ∪ B 1,2,3

Page 8: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Himpunan Semesta

Himpunan Semesta atau Semesta Pembicaraanbiasanya diberi symbol S atau U mengandungsemua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan S disebut himpunan semesta darihimpunan A, jika setiap anggota yang ada di A terdapat dalam S.

Page 9: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Himpunan Kosong

• Adalah suatu himpunan yang tidak mempunyaianggota.

• Notasi himpunan kosong adalah { } atau Ø.

• Contoh:E = {x І x2 = 9, x genap}, maka E = Ø; karena

n(E) = 0.

Page 10: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Himpunan Berhingga dan Tak Hingga

• Himpunan berhingga: suatu himpunan yang banyakanggotanya (yang berbeda) berhingga.Contoh: Himpunan nama hari dalam seminggu.Himpunan bilangan asli kurang dari 10.

• Himpunan tak hingga: suatu himpunan yang banyakanggotanya tak berhingga.Contoh:A = {x І x bilangan asli}A = {x І x bilangan bulat}

Page 11: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Operasi-Operasi Dasar Himpunan• Union (Gabungan)

Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemenyang termasuk dalam A atau B atau keduanya. Union tersebut dapatdinyatakan sebagai : A ∪ BContoh:A = {a, b, c, d} dan B = {e, f, g}, maka A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}.Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut:A ∪ B = {x І x Є A atau x Є B}Berlaku hukum : A ∪ B = B ∪ A

Sub Himpunan:A dan B keduanya selalu berupa subhimpunan dari A ∪ B, yaitu :A ⊂ (A ∪ B) dan B ⊂ (A ∪ B)

Page 12: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Operasi-Operasi Dasar Himpunan

• Intersection/Irisan (perpotongan)Irisan himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan dari

elemen-elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaituelemen-elemen yang termasuk di A dan juga termasuk di B.Irisan dinyatakan dengan : A ∩ B dibaca A irisan B, atau A ∩ B = {x І x Є A dan x Є B}

Setiap subhimpunan A dan subhimpunan B mengandung A ∩ Bsebagai subhimpunan, yaitu :(A ∩ B ) ⊂ A dan (A ∩ B ) ⊂ B

Page 13: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Operasi-Operasi Dasar Himpunan

• Relative Complement/SelisihSelisih antara himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya hanya menjadi anggota himpunan A tetapi tidaktermasuk anggota himpunan B.Notasi: A – B

Contoh: A = {SQL server, MySQL, MsAcces}B = {MySQL, MsAcces, Oracle}Maka: A-B = {SQL server}

Page 14: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Operasi-Operasi Dasar Himpunan

• KomplemenKomplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan yanganggotanya bukan anggota A. dengan kata lain komplemen Aadalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil dari U – A.• Notasi : Ac , A’Contoh: U = {Win3.1, Win3.11, Win95, Win97, Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP}A = {Win3.1, Win3.11, Win95, Win97}B = {Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP}Maka,Ac = {Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP

Page 15: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Operasi-Operasi Dasar Himpunan

• Beda Setangkup (Symmetric Difference)Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunanyang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak padakeduanya.• Notasi : A ⊕ Β =(A ∪ B) – (A ∩ B )

• Perkalian Kartesian (Cartesian Product)Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan B.Notasi : A x B ={(a,b) І a Є A dan b Є B}.

Page 16: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Contoh soal 1:

Nyatakan himpunan berikut ini denganmenuliskan semua anggotanya denganmenuliskan sifat-sifatnya:• A=Himpunan Bilangan bulat antara 1 dan 5• B=Himpunan yang anggotanya adalah kucing,

meja, buku, air.• C=himpunan bilangan real yang lebih besar

dari 1.

Page 17: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Contoh Soal 1

Jawaban:• Cara menuliskan himpunan dengan kedua cara

adalah sbb:

Dengan Menuliskan anggota-anggotanya Dengan menuliskan sifat-sifatnyaA = {1,2,3,4,5} A={xЄ Bulat І 1 ≤ x ≤ 5}

B = {kucing, meja, buku, air}B tidak bisa dinyatakan dengan cara menuliskan sifat-sifatnya karena tidak ada sifat yang sama diantara anggota-anggotanya.

C tidak bisa dinyata-kan dengan menuliskan anggota-anggotanya karena jumlah anggota C tak berhingga banyak.

C={x Є Riil І x . 1}

Page 18: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Contoh soal 2

Diketahui A={x Є R І -1 < x < 0} dan B={x Є R І 0 <x ≤ 1}.Tentukan himpunan:a. A ∪ Bb. Ac - Bc

Page 19: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Contoh soal 2Jawaban:a. Himpunan A dan B dapat dinyatakan pada gambar dibawah. Maka A ∪ B

= {x Є R І -1 < x ≤ 1 dan x ≠ 0}.

b. Perhatikan gambar dibawah. Ac = {x Є R І x ≤ -1 atau x ≥ 0} dan Bc = {x Є R І x ≤ 0 atau x > 1}. Sehingga: Ac - Bc = {x Є R І 0 < x ≤ 1}

Page 20: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Latihan soal

1. Gambarkan himpunan-himpunan berikut dengan diagram venn:

a. A ∪ (B ∩ Cc )b. (A ∪ B) c ∪ C2. Daerah 1 mengekspresikan himpunan Ac ∩ Bc ∩ Cc . Tentukanhimpunan-himpunan yang mengekspresikan daerah 2 s/d 8.

Page 21: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Latihan Soal3. Diketahui: U = {1,2,3,…,10}.

A = {1,4,7,10}B = {1,2,3,4,5}C = {2,4,6,8}

Tentukan:a. B ∩ Cb. A – Bc. Ac

d. U – Ce. A ∪ Øf. B ∩ Øg. B ∩ Uh. A ∩ (B ∪ C)i. (A ∪ B) – Cj. A ∩ B ∪ C

Page 22: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Sumber Pustaka

1. Afidah Khairunnisa, “Matematika Dasar”, Rajawali Pers, Jakarta, 2015.2. Jong Jek Siang,”Logika Matematika”, ANDI, Yogyakarta, 2014.3. Jong Jek Siang,”Matematika Diskrit & Aplikasinya Pada Ilmu Komputer”, ANDI, Yogyakarta, 2002.4. Rinaldi Munir,”Matematika Diskrit”, Informatika, Bandung, 2005.5. Samuel Wibisono,”Matematika Diskrit”, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2008.6. Yusuf Yahya, “Matematika Dasar Perguruan Tinggi”, Ghalia Indonesia, Jakarta, 2013.

Page 23: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi

Terima KasihTedjo Nugroho, ST. MT