Logika matematika - · PDF fileNyatakan dalam lambang logika predikat dari proposisi : a. Untuk semua bilangan bulat, jika habis dibagi 4 maka habis dibagi 2 b

LOGIKA MATEMATIKA

Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

LOGIKA

Pendahuluan

Untuk menemukan suatu gagasan baru dari informasi dan gagasan yang telah ada, diperlukan proses berpikir. Proses ini dikenal dengan bernalar. Dalam bernalar, kita memiliki argumen untuk sampai pada suatu kesimpulan.

Kaidah-kaidah dalam logika akan mempermudah untuk menilai apakah suatu argumen sampai pada suatu kesimpulan adalah sah/valid atau tidak.

Pada bab ini akan dibahas beberapa terminologi dan operasi dasar yang akan digunakan dalam logika matematika serta beberapa cara pengambilan keputusan yang sah.

Proposisi

Dalam mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang

dimiliki, seseorang akan menggunakan kalimat-

kalimat dalam bahasa yang dipahami

pendengarnya.

Perhatikan contoh kalimat-kalimat berikut :

1. Manado terletak di Sumatera Utara.

2. Unsrit adalah perguruan tinggi swasta.

3. Peter adalah pria yang tinggi.

Proposisi ….

Dalam mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang

dimiliki, seseorang akan menggunakan kalimat-

kalimat dalam bahasa yang dipahami

pendengarnya.

Perhatikan contoh kalimat-kalimat berikut :

1. Manado terletak di Sumatera Utara.

2. Unsrit adalah perguruan tinggi swasta.

3. Peter adalah pria yang tinggi.

Proposisi ….

Contoh 1 adalah kalimat yang bernilai benar

Contoh 2 bernilai salah

Contoh 3 bisa benar dan juga bisa salah.

Dalam logika matematika, harus menggunakan

kalimat yang jelas nilai kebenarannya (apakah

benar atau salah).

Proposisi ….

Definisi 2.1

Proposisi adalah suatu pernyataan yang

mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran yaitu

benar atau salah tetapi tidak mungkin keduanya.

Proposisi ….

Untuk penyederhanaan, dalam logika matematika

suatu proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf

kecil p, q, r, …, dst, dan digunakan notasi “:”

untuk menyatakan apa yang dimaksud dengan

lambang tersebut.

Sebagai contoh,

p : Saya belajar Teknologi Informasi.

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran

Jika ada dua proposisi p dan q, dapat dibentuk

proposisi baru dengan menggunakan kata-kata

perangkai sebagai penghubung proposisi p dan q.

Proposisi yang dibentuk dari beberapa proposisi

dengan menggunakan kata-kata perangkai

sebagai penghubung disebut proposisi majemuk.

Ada 5 perangkai dasar untuk membentuk proposisi

majemuk dalam bentuk Tabel Kebenaran.

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

1. Perangkai ingkaran (negasi) Misalkan p suatu proposisi. Ingkaran/negasi p,

dilambangkan –p (dibaca tidak p) adalah suatu proposisi yang salah jika p benar, atau sebaliknya.

Dalam bentuk Tabel Kebenaran :

Angka 1 menyatakan proposisi bernilai benar dan

0 bernilai salah.

p -p

1 0

0 1


Contoh 2.2

Buatlah ingkaran dari proposisi “bilangan 6 habis

dibagi 3” dan nilai kebenarannya.

Jawab

p : bilangan 6 habis dibagi 3

nilai kebenarannya 1 (benar)

-p : bilangan 6 tidak habis dibagi 3

nilai kebenarannya 0 (salah)


2. Perangkai dan (konjungsi)

Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p dan q”

(konjungsi p dan q), dilambangkan p q, bernilai

benar hanya jika kedua proposisi p dan q bernilai

benar. p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0


Contoh 2.3

Lambangkan proposisi berikut “Meskipun hari ini

hujan, Pak Robby berangkat juga mengajar”.

Jawab

p : Hari ini hujan

q : Pak Robby berangkat mengajar

sehingga lambang proposisi tersebut adalah p q


3. Perangkai atau (disjungsi)

Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p dan q”

(konjungsi p dan q), dilambangkan p q, bernilai

benar jika sekurang-kurangnya satu proposisi

penyusunnya bernilai benar.

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0


Contoh 2.4

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut,

“8 habis dibagi 2 atau 7 bilangan genap”

Jawab

p : 8 habis dibagi 2 , bernilai benar

q : 7 bilangan genap , bernilai salah

sehingga proposisi tersebut adalah p q, bernilai

benar.


4. Perangkai jika … maka … (implikasi)

Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “jika p maka q”

disebut proposisi bersyarat, dilambangkan p q,

bernilai salah hanya jika p benar dan q salah.

p disebut premis/hipotesis/anteseden sedangkan q

disebut konsekuen/ kesimpulan.

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1


Contoh 2.5

Buatlah proposisi implikasi dari proposisi-proposisi berikut, dan tentukan nilai kebenarannya.

p : segitiga ABC sama sisi

q : segitiga ABC sama kaki

Jawab

p q : jika segitiga ABC sama sisi maka segitiga

ABC sama kaki, bernilai benar, karena

semua segitiga sama sisi pasti sama kaki.

q p : jika segitiga ABC sama kaki maka segitiga

ABC sama sisi, bernilai salah, karena tidak

semua segitiga sama kaki adalah sama sisi.


Jika proposisi bersyarat p q diajukan sebagai proposisi yang benar dan terdapat hubungan antara premis dan konsekuen maka proposisi p q dapat juga diucapkan :

p berimplikasi q

p syarat cukup bagi q

q syarat perlu bagi p

p hanya jika q

p syarat cukup bagi q artinya jika p terjadi akan berakibat q juga terjadi. Tetapi untuk terjadinya q dapat disebabkan oleh proposisi selain p.

q syarat perlu bagi p artinya jika q tidak terjadi akan berakibat p juga tidak terjadi, sehingga terjadinya q mutlak diperlukan untuk terjadinya p.


Definisi 2.2

Misalkan diberikan proposisi bersyarat p q, maka

proposisi:

1. q p disebut konvers dari p q

2. -p -q disebut invers dari p q

3. -q -p disebut kontrapositif dari p q


Konvers dan invers mempunyai nilai kebenaran yang

sama, demikian untuk implikasi dan kontrapositif

Proposisi yang mempunyai nilai kebenaran yang sama

disebut ekuivalen logik/setara logik.

p q -p -q p q -q -p q p -p -q

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 1 1


5. Perangkai … jika dan hanya jika … (biimplikasi)

Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p jika dan

hanya jika q” disebut proposisi dwisyarat,

dilambangkan p q, bernilai benar hanya jika p

dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1


Contoh 2.6

Lambangkan proposisi berikut:

“Segiempat ABCD adalah bujursangkar jika dan hanya jika semua sudutnya 90o dan semua sisinya sama panjang”

Jawab

p : segiempat ABCD adalah bujursangkar

q : semua sudut segiempat ABCD adalah 90o

r : semua sisi segiempat ABCD sama panjang

proposisinya menjadi p ( q r )

Proposisi Kompleks

Proposisi yang dibentuk oleh beberapa perangkai

dasar akan membentuk proposisi yang lebih

kompleks atau majemuk.

Untuk menganalisa nilai kebenarannya akan

digunakan tabel kebenaran untuk semua

kemungkinan proposisi penyusunnya.

Proposisi Kompleks ….

Contoh 2.7

Tentukan tabel kebenaran untuk porposisi

Jawab

(( ) ) ( ( ))p q r p r

p q r p q p r (p q) r -(p r)

1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 0 1 0 1 1 1

1 0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1

(( ) ) ( ( ))p q r p r


Berdasarkan nilai kebenaran dari suatu proposisi

majemuk, maka dapat dibedakan atas 3 bentuk.

Definisi 2.3

1. Tautologi adalah suatu proposisi yang selalu bernilai benar

untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran

proposisi peyusunnya.

2. Kontradiksi adalah suatu proposisi yang selalu bernilai salah

untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran

proposisi peyusunnya.

3. Kontingensi adalah suatu proposisi yang bukan tautologi

dan kontradiksi


Contoh 2.8

Soal contoh 2.7 adalah tautologi karena semua

nilai kebenarannya adalah benar.

Kesetaraan Dua Proposisi

Definisi 2.4 (Kesetaraan Logik)

Dua proposisi dikatakan setara logik/equivalent logic

bila kedua proposisi tersebut memiliki nilai kebenaran

yang sama untuk semua pasangan proposisi

penyusunnya

Kesetaraan Dua Proposisi ….

Jika proposisi a dan b setara logik, dapat

dinotasikan :

a b

a b

a = b


Dalil-dalil Kesetaraan

1. Dalil Identitas

a. p 0 = p

b. p 1 = 1

c. p 0 = 0

d. p 1 = p

2. Dalil Idempoten

a. p p = p

b. p p = p


3. Dalil Komplemen

a. p - p = 1

b. p - p = 0

4. Dalil Komutatif

a. p q = q p

b. p q = q p


5. Dalil Asosiatif

a. (p q) r = p (q r)

b. (p q) r = p (q r)

6. Dalil Distributif

a. p (q r) = (p q) (p r)

b. p (q r) = (p q) (p r)


7. Dalil Ingkaran Ganda

- ( - p ) = p

8. Dalil de Morgan

a. -(p q) = -p -q

b. -(p q) = -p -q

9. Dalil Penghapusan

a. (p q) p = p

b. (p q) q = q


Kesetaraan lain yang digunakan :

a. p q = -q -p

b. p q = -p q

c. -(p q) = p -q

d. p q = (p q) (q p) = (-p q) (-q p)


Contoh 2.9

Buktikan kesetaraan proposisi berikut dengan dalil-

dalil kesetaraan.

(p q) -p = -p q

Jawab

(p q) -p = (p -p) (q -p) (dalil distributif)

= 0 (q -p) (dalil komplemen)

= (q -p) (dalil identitas)

= -p q (dalil komutatif)

Logika Predikat

Seringkali kita harus memeriksa argumen yang

berisi proposisi-proposisi yang berkenaan dengan

kumpulan objek.

Misalkan, memeriksa kebenaran dari proposisi

“Semua bilangan asli yang habis dibagi 4 adalah

habis dibagi 2”.

Pada proposisi ini mengandung suatu pernyataan

yang berkenaan dengan himpunan bilangan asli.

Definisi 2.5

Suatu predikat (proposisi terbuka) adalah suatu

pernyataan yang melibatkan peubah yang nilainya

tidak ditentukan.

Logika Predikat ….

Misalnya :

Predikat : P(x) : bilangan bulat x habis dibagi 3

dan 4.

Proposisi : P(24) : 24 habis dibagi 3 dan 4.

Peubah dalam predikat hanya bisa diganti oleh

nilai yang merupakan anggota semesta

pembicaraan.


Definisi 2.6

Himpunan nilai-nilai yang mungkin menggantikan

peubah dalam suatu predikat disebut sebagai

semesta bagi peubah tersebut.


Untuk menyatakan nilai-nilai apa saja yang akan menjadi peubah dalam suatu predikat, digunakan kata:

semua, setiap, selalu, dll, disebut suku pengkuatifikasi umum,

disimbolkan

ada, terdapat, beberapa, minimal satu, dll, disebut suku pengkuatifikasi khusus,

disimbolkan

Misalkan x [P(x)] = untuk setiap x berlaku P(x)

x [P(x)] = ada x sehingga P(x)

P(x) bisa berupa proposisi tunggal atau majemuk.


Contoh 2.10

Nyatakan dalam lambang logika predikat dari proposisi :

a. Untuk semua bilangan bulat, jika habis dibagi 4 maka

habis dibagi 2

b. Ada bilangan asli yang habis dibagi 3 dan 4.

Jawab

a. P(x) : x habis dibagi 4

Q(x) : x habis dibagi 2

xZ [P(x) Q(x)]

b. P(x) : x habis dibagi 3

Q(x) : x habis dibagi 4

xN [P(x) Q(x)]


Contoh 2.11

Jika semesta dinyatakan U = {3,5,17,120}, x adalah peubah dalam U. Buatlah suatu logika predikat dengan menggunakan proposisi, P(x) = x > 2.

Jawab

xU [P(x)] = semua x di U adalah lebih besar 2

-[xU (-P(x))] = tidak ada x di U yang tidak lebih

besar 2

xU [P(x)] = ada x di U yang lebih besar 2

-[xU (-P(x))] = tidak semua x di U adalah tidak

lebih besar 2.


Jika suatu logika predikat dibuat ingkarannya,

maka tanda ingkaran itu akan berlaku pada suku

kuantifikasi dan predikatnya.

-[x (P(x))] =(-x )[-P(x)] = x[-P(x)]

-[x (P(x))] =(-x )[-P(x)] = x [-P(x)]


Dari bentuk ingkaran ini diperoleh 4 dasar kesetaraan pada logika predikat yaitu :

1. Semua benar sama artinya dengan tidak ada yang salah

x [P(x)] = -[x (-P(x))]

2. Semua salah sama artinya dengan tidak ada yang benar

x [-P(x)] = -[x (P(x))]

3. Tidak semua benar sama artinya dengan ada yang salah

-[x (P(x))] = x [-P(x)]

4. Tidak semua salah sama artinya dengan ada yang benar

-[x (-P(x))] = x [P(x)]


Contoh 2.12

Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut :

a. x [P(x) Q(x)]

b. x[y [P(y) Q(x,y)]

c. xy[z(P(x) R(y,z)) (P(y) z R(x,z))]

Jawab

a. -[x [P(x) Q(x)]] = -(x)(-(P(x) Q(x)))

= x[-(-P(x) Q(x))]

= x[P(x) -Q(x)]


Contoh 2.12

Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut :

a. x [P(x) Q(x)]

b. x[y [P(y) Q(x,y)]

c. xy[z(P(x) R(y,z)) (P(y) z R(x,z))]


Jawab

a. -[x [P(x) Q(x)]] = -(x)(-(P(x) Q(x)))

= x[-(-P(x) Q(x))]

= x[P(x) -Q(x)]

b. -[x[y [P(y) Q(x,y)]] = -(x)[-(y P(y) Q(x,y))]

= x[-(-y P(y) Q(x,y))]

= x[y P(y) -Q(x,y)]


c. -[xy[z(P(x) R(y,z)) (P(y) z R(x,z))]]

= -(xy)(-[z(P(x) R(y,z)) (P(y) z R(x,z))])

= xy [-(z(-P(x) R(y,z))) -(P(y) z R(x,z))]

= xy [z(-(P(x) R(y,z))) (-P(y) -(z R(x,z)))]

= xy [z (P(x) -R(y,z)) (-P(y) z (-R(x,z)))]

Documents

Logika matematika - · PDF fileNyatakan dalam lambang logika predikat dari proposisi : a. Untuk semua bilangan bulat, jika habis dibagi 4 maka habis dibagi 2 b