19
Logika 6. Logikai következtetések Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék 2011. március 17.

Logika 6. Logikai következtetések

  • Upload
    greta

  • View
    72

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Logika 6. Logikai következtetések. Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék 2011. március 17. Érvényes következtetések, következményreláció. igaz premisszák  a logika szabályainak betartása esetén szükségszerűen igaz konklúzió - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Logika 6. Logikai következtetések

Logika6. Logikai következtetések

Miskolci EgyetemÁllam- és Jogtudományi Kar

Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék2011. március 17.

Page 2: Logika 6. Logikai következtetések

Érvényes következtetések, következményreláció

igaz premisszák a logika szabályainak betartása esetén szükségszerűen

igaz konklúzió• Az érvényességet kizárólag

1. az állítások logikai szerkezete és 2. a logikai szavak jelentése biztosítja

• Az állítások között feltárható viszony, kapcsolat 1. nem maguk az állítások között, hanem 2. az állítások – formulákkal, sémákkal kifejezett – logikai szerkezete között áll fenn.

• Logikai következtetés: állítások logikai szerkezete közötti olyan viszony feltárása, amelyben az egyik állítás a többi logikai következményeként szerepel ezt a viszonyt következményrelációnak nevezzük: P K, {A1, A2, …, An} B

Page 3: Logika 6. Logikai következtetések

Érvényes következtetésekA következtetési séma (mint formulák nem üres halmaza)• kielégíthető: lehetséges a benne szereplő paraméterek

(betűjelek) olyan interpretálása, hogy a sémát alkotó formulák együttesen igazak legyenek

• kielégíthetetlen: nem lehetséges ilyen interpretáció; logikai törvény zárja ki a kielégíthetőséget logikai lehetetlenség, logikai ellentmondáson alapul

• releváns: a konklúzióban szereplő valamennyi nem-logikai alkatrész paramétere (erős relevancia), de legalább egyikük (gyenge relevancia) előfordul a premisszák valamelyikében tényleges kapcsolatteremtés: az a konklúzió azoknak a premisszáknak a következménye

• érvényes: a premisszák igazsága – a logikai szerkezet és a logikai szavak jelentése folytán – szükségszerűen eredményezi a konklúzió igazságát a premisszák igazsága és a konklúzió hamissága együttesen logikai lehetetlenség

Page 4: Logika 6. Logikai következtetések

Nevezetes következtetési formák• Elvileg végtelen számú következtetési forma eredményezhet

érvényes következtetést• Néhányat korábban már említettünk:

o logikai igazság: Abármely premissza mellett érvényes következtetéspl.: (p p), (p p), (p & p)

o logikai ekvivalencia: A Ba két formula kölcsönösen egymás következménye:A B és A B, azaz A B

• Vannak a hagyomány által nevesített következtetési formák – középkori elnevezésekkel (ezeket vesszük sorra a következő oldalakon)

• A következtetési sémákban formulák betűjelei szerepelnek a következtetések a formulák tetszőleges logikai sémákkal való behelyettesítésük esetén is érvényesek

Page 5: Logika 6. Logikai következtetések

Nevezetes következtetési formák• Modus ponendo ponens – „állítva állító mód”

(T41) {A B, A} BIgaz kondicionálisból az igaz előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag is igaz.{„Ha esik az eső, sáros a mező.”, „Esik az eső.”} „Sáros a mező.”

• Modus tollendo tollens – „tagadva tagadó mód”(T42) {A B, B} AIgaz kondicionálisból a hamis utótagot leválasztva a következtetésként fennmaradó előtag is hamis. {„Ha esik az eső, sáros a mező.”, „Nem sáros a mező.”} „Nem esik az eső.”

Page 6: Logika 6. Logikai következtetések

Nevezetes következtetési formák• Modus ponendo tollens – „állítva tagadó mód”

(T43) {(A & B), A} B {A B, A} B

Állító előtagból és tagadó utótagból álló igaz kondicionálisból az állító előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag tagadó.

{„Nem igaz, hogy (esik az eső és süt a Nap).”(azaz: „Ha esik az eső, akkor nem süt a Nap.”),„Esik az eső.”} „Nem süt a Nap.”

Page 7: Logika 6. Logikai következtetések

Nevezetes következtetési formák• Modus tollendo ponens – „tagadva állító mód”

(T44) {A V B, A} B {A B, A} B

Tagadó előtagból és állító utótagból álló igaz kondicionálisból a tagadó előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag állító.

{„Vagy esik az eső, vagy süt a Nap.”(azaz: „Ha nem esik az eső, akkor süt a Nap.”),„Nem esik az eső.”} „Süt a Nap.”

Page 8: Logika 6. Logikai következtetések

Nevezetes következtetési formák• Tiszta hipotetikus szillogizmus: olyan kétpremisszás

következtetési forma, amelyek tisztán csak feltételes állításokat (hipotetikus állításokat) tartalmaz

(T45) {A B, B C} A C(ez az ún. láncszabály, vagy tranzitív tulajdonság)

{„Ha esik az eső, sáros a mező.”,„Ha sáros a mező, haragszik a katona.”} „Ha esik az eső, haragszik a katona.”

Page 9: Logika 6. Logikai következtetések

Kategorikus szillogizmusok

{ (G, H), (F, G) } (F, H)

Példa:„Ha minden ember halandó,és minden görög ember,akkor az összes görög halandó.”

felső tétel (premissa maior)

alsó tétel (premissa minor)

konklúzió

Page 10: Logika 6. Logikai következtetések

Kategorikus szillogizmusok• Kategorikus szillogizmus: olyan kétpremisszás

következtetési forma, amelyek kategorikus állításokat (a, e, i, o) tartalmaz

{ (G, H), (F, G) } (F, H)• terminusok: a kategorikus állításokat felépítő

predikátumok (F, G, H)o Az egyik premisszában H és G terminusok, közülük H

a konklúzió állítmánya felső tétel (premissa maior)o A másik premisszában G és F terminusok, közülük F a

konklúzió alanya alsó tétel (premissa minor)o Kapcsolatteremtő G, az ún. középfogalom (tertium

medium)

Page 11: Logika 6. Logikai következtetések

Kategorikus szillogizmusokMódozatok:

aaa : „Minden ember halandó. – Minden ember férfi – Minden férfi halandó.”

eae : „Egy hüllő sem emlős. – Minden kígyó hüllő. – Egy kígyó sem emlős.”

aii : „Minden tigris ragadozó. – Némely állat tigris. – Némely állat ragadozó.”

{ felső tétel, alsó tétel } konklúzióa a a Barbara

e a e Celarent

a i i Darii

Lehet több lehetőség is, ezek csak példák!

Page 12: Logika 6. Logikai következtetések

Kategorikus szillogizmusok• A szillogizmus alakzatán a középső terminus helyzetének

megadását értették

A II. alakzatra egy példa:„Minden becsületes ember fizeti az adókat. – XY nem fizeti

az adókat. – XY nem becsületes ember.”

Felső tételben Alsó tételben

I. alanyként állítmányként

II. állítmányként állítmányként

III. alanyként alanyként

IV. állítmányként alanyként

I II III IVG–HF–G

H–GF–G

G–HG–F

H–GG–F

felsőtétel (premissa maior)

alsótétel (premissa minor)

alany – állítmány

Page 13: Logika 6. Logikai következtetések

Kategorikus szillogizmusok

A legegyszerűbb és legfontosabb szillogizmus az I. alakzat aaa (Barbara) módozata:

„Ha minden ember halandó, és minden görög ember, akkor az összes görög halandó.”

{ (G, H), (F, G) } (F, H)

{ x.[G(x) H(x)], x.[F(x) G(x)] } x.[F(x) H(x)]

ez a kvantifikációs láncszabály

Page 14: Logika 6. Logikai következtetések

Szillogizmusok és a JOG• A szillogizmusok alapja és modellje: a kategorikus szillogizmusok• Számunkra (= a jog számára) a hipotetikus szillogizmusok bírnak

kiemelkedő jelentőséggelo A tiszta hipotetikus szillogizmus: mindkét premisszája és

konklúziója is hipotetikus állítást tartalmaz(ezt vizsgáltuk a mai órán már: 8. slide)„Ha a gyerek lázas, akkor beteg. – Ha beteg, akkor orvost kell hozzá hívni. – Ha a gyerek lázas, akkor orvost kell hozzá hívni.”

o Vagy pedig felső tétele tartalmaz hipotetikus állítást„Ha a lélek mindig mozog, akkor a lélek halhatatlan. – A lélek mindig mozog. – Tehát a lélek halhatatlan.” a jogalkalmazás logikai szerkezete

„Ha valaki (Aki) másnak vétkesen és jogellenesen kárt okoz, köteles azt megtéríteni. [normaszöveg, törvényi tényállás] – XY vétkesen és jogellenesen kárt okozott másnak. [történeti tényállás] – Tehát XY köteles a kárt megtéríteni. [jogalkalmazás]”

Page 15: Logika 6. Logikai következtetések

Következtetések ellenőrzéseAz analitikai táblázat módszere

• A premisszákban és a konklúzióban szereplő igazságfunktorok egybevetésén alapuló módszer

• A következtetés akkor érvényes, ha az igaz premisszákból és a hamis/negált konklúzióból álló formulahalmaz nem elégíthető ki (indirekt bizonyítás)

• A módszer alkalmazása:1. Logikai elemzés: a logikai szerkezet feltárása, betűjelekből

és logikai jelekből álló formulákban való kifejezése2. Az alternatív igazságfelvételeket sorra véve kell levezetni,

hogy alkot-e logikai ellentmondást a premisszákkal a negált konklúzió – ha igen, akkor a konklúzió helyes, a következtetés érvényes

Page 16: Logika 6. Logikai következtetések

Következtetések ellenőrzéseAz analitikai táblázat módszere

• Az analitikai táblázat módszerét mi is alkalmaztuk már, igaz egyszerűsített formában (erősebb alkalmazására nem is lesz szükségünk), logikai ekvivalenciákra (ahol, ha az egyik oldal premissza, akkor a másik oldal konklúzió – és természetesen megfordítva)

• Mindkét oldal alternatív igazságfelvételeit sorra véve vezettük le, mutattuk meg a két oldal igazságértékeinek megfelelő egybeeséseit (direkt bizonyítás) (tehát mi a konklúziót nem negáltuk, és azt vezettük le, mutattuk meg, hogy nincs logikai ellentmondás)

• A konjunkció és az alternáció duálisainál láttuk például, hogy: p V q (p & q)

p q p q p V q p & q (p & q)

1 1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1

Page 17: Logika 6. Logikai következtetések

Következtetések ellenőrzéseAz analitikai táblázat módszere

• Nézzünk meg egy olyan esetet, ahol a felírt/feltételezett ekvivalenciánk nem állja ki az analitikai táblázat módszerével történő ellenőrzés próbáját!

• p V q p q

• Itt mindkét oldal alternatív igazságfelvételeit sorra véve igyekszünk megmutatni a két oldal igazságértékeinek megfelelő egybeeséseit (direkt bizonyítás), miközben logikai ellentmondásra jutunk.

• A 4. előadás 11. diáján megtalálható a fenti törvény érvényes módosítása (T18), és annak táblázatos ellenőrzése/igazolása is.

p q p V q p q p q p q

1 1 1 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1 1

0 1 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 1 1

Page 18: Logika 6. Logikai következtetések

Következtetések ellenőrzéseVenn-diagramok módszere

• A logika és a halmazelmélet egymásra vonatkoztatása• Az elkészítendő ábrán egy négyzet jelképezi a tárgyalási

univerzumot, az azon belül elhelyezett körök/oválisok a formulákban szereplő predikátumok terjedelmét.

• Az egymást metsző alakzatok által kimetszett mezők jelzik a logikai kapcsolatokat (pl. a közös tartomány a predikátumok konjunkcióját) – a logikai műveletek tárgyalásánál (3. előadás)mi is minden esetben megnéztük az egyes műveletek halmaz-ábráit, Venn-diagramjait is

• Ellenőrzés/bizonyítás menete:1. Ábrázoljuk ilyen módon a premisszákat, és előáll a

konklúzió ábrája, vagy2. ábrázoljuk ekként a premisszákat és a konklúziót is, és

ugyanazt az ábrát kapjuk.

Page 19: Logika 6. Logikai következtetések

Következtetések ellenőrzéseVenn-diagramok módszere

• Nézzük meg most is p V q (p & q) ellenőrzését!

Mind a két módszert érdemes egyszerűbb logikai törvények, logikai következtetések ellenőrzésére/igazolására önállóan is kipróbálni.