Logiczna reprezentacja wiedzy - gfilcek.modeleisystemy.plgfilcek.modeleisystemy.pl/LRW/prezentacja.pdf · Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji, Instytut Informatyki,

Logiczna reprezentacja wiedzy i metoda logiczno-algebraiczna

dr inż. Grzegorz Filcek &

dr inż. Maciej Hojda Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania

Decyzji, Instytut Informatyki, Politechnika Wrocławska

copyright Grzegorz Filcek & Maciej Hojda ©

Obiekt opisany logiczną reprezentacją wiedzy

F(αu,αw,αy)Fu(αu) Fy(αy)u y

Obiekt opisany relacyjną reprezentacją wiedzy

R(u,y)Du Dyu y

Wybrane opisy obiektów wejściowo-wyjściowych

Obiekt opisany funkcyjną

zależnością wyjścia od wejścia

u yy=f (u)

copyright Grzegorz Filcek ©

Podstawowe pojęcia

Formuła logiczna opisująca obiekt składa się z formuł elementarnych α i operacji

logicznych:

– alternatywy ( ᴠ ),

– koniunkcji ( ᴧ ),

– negacji ( ¬ ),

– Implikacji ( → ).

Np. F(α1, α2, α3, α4)= ¬α1 ᴠ α2 ᴧ α3 → α4.


Podstawowe pojęcia

α(x) –formuła elementarna ( własność zmiennych wejściowych, wyjściowych, bądź pomocniczych ogólnie oznaczonych przez x) pewne „z założenia” niepodzielne „klocki” (z założenia, tzn. zakładamy, że są niepodzielne, ale w rzeczywistości mogą składać się ze skomplikowanych formuł logicznych). Np. α(x)=„Prędkość x>100 km/h” lub α(x)=„Dla każdego x spełniona jest relacja R(x,a)=x>a”.

αu,i (u)ЄAu –i-ta (i=1,2,…,n1) formuła elementarna wejściowa dotycząca tylko zmiennych u należąca do zbioru formuł wejściowych Au

αy,i (y) ЄAy –i-ta (i=1,2,…,n2) formuła elementarna wyjściowa dotycząca tylko zmiennych y należąca do zbioru formuł wyjściowych Ay

αw,i (u,w,y) ЄAw –i-ta (i=1,2,…,n3) formuła elementarna pomocnicza (wewnętrzna systemu) dotycząca zmiennych u lub y lub w (nie tylko u i nie tylko y) należąca do zbioru formuł pomocniczych (wewnętrznych) Aw

(W ogólności αw,i może zależeć nie tylko od trójki (u,w, y), ale również od par (u,w), a także (w,y)). copyright Grzegorz Filcek ©

Podstawowe pojęcia

n=n1+n2+n3 – liczba wszystkich formuł elementarnych (αu, αw, αy) =α –ciąg wszystkich formuł elementarnych

aj=w(αj)Є{0,1} –wartość logiczna j-ej formuły elementarnej

(au, aw, ay)=a –zerojedynkowy ciąg wartości logicznych odpowiednich

formuł elementarnych αu, αw, αy (takich ciągów jest 2n dla każdego ciągu

formuł elementarnych α)

Np. dla ciągu formuł elementarnych α=(αu1, αu2, αw, αy) przykładowe 4 (z 16)

ciągi wartości (ai=(au1, au2, aw, ay),

i-numer ciągu wartości), są następujące: a1=(1,1,1,1), a2=(0,1,1,0),

a3=(0,0,0,1), a4=(0,1,0,1).


Logiczna reprezentacja wiedzy jest zbiorem faktów

F(α)= F1(α)ᴧF2(α)ᴧ…ᴧFk(α) – zbiór k faktów (definiuje relację R(u,y))

Fi(α) – i-ty fakt, (i=1,2,…,k) zapisany jako formuła logiczna składająca się z

formuł elementarnych α

Fi(a), F(a) –wyrażenia algebraiczne w algebrze logiki dwuwartościowej

W bazie wiedzy zakłada się, że wszystkie występujące w niej formuły są

faktami, czyli są prawdziwe, czyli dla każdego ciągu a, F(a)=1.

W literaturze fakty w formie implikacji często zwane są regułami, stąd

możliwe są inne określenia jak : baza faktów, baza reguł, baza reguł i

faktów.


Fakty a relacje

Każdy fakt Fi(α) określa relację między zmiennymi wejściowymi,

wyjściowymi i pomocniczymi (wewnętrznymi):

Ri(u,w,y)={(u,w,y) Є UΧWΧY: Fi[au(u),aw(u,w,y),ay(y))]=1}, i=1,2,…,k

Zbiór tych relacji tworzy bazę wiedzy (k –liczba reguł i faktów w bazie wiedzy).

Zmienne w można wyeliminować i sprowadzić bazę wiedzy do jednej

relacji:

R(u,y)={(u,y) Є UΧY: VwЄW [(u,w,y) Є R1(u,w,y)∩… ∩ Rk(u,w,y)]},

czyli R(u,y)={(u,y) Є UΧY: VwЄW [F(a)=1]}.


Fakty a relacje c.d.

Oznacza to, że w obiekcie mogą wystąpić tylko takie wartości (u,y), dla

których istnieje taka wartość w, że wszystkie fakty są prawdziwe.

Fu (αu) – logiczna formuła wejściowa, w której występują tylko podciągi α

złożone z αu,i (i=1,2,…,n1) (definiuje zbiór Du={uЄU: Fu[au(u)]=1})

Fy (αy) – logiczna formuła wyjściowa , w której występują tylko podciągi α

złożone z αy,i (i=1,2,…,n2) (definiuje zbiór Dy={yЄY: Fy[ay(y)]=1})


„Proste” zadanie analizy

• Proste zadanie analizy, inaczej problem dowodzenia twierdzeń. Należy dla przyjętej bazy faktów i reguł podać postać formuły wejściowej Fu oraz Fy, przy czym zakłada się, że formuła Fu jest prawdziwa, a więc formuła

F= Fu ᴧ F uznana jest za prawdziwą. Należy odpowiedzieć na pytanie: Jaka jest wartość logiczna podanej

formuły Fy? (Inaczej, czy Fy jest logiczną konsekwencją F?). Możliwe odpowiedzi to: „TAK”, „NIE”, „NIE WIEM”. (Ta ostatnia oznacza, że wartość logiczna Fy nie jest zdeterminowana

zbiorem faktów i reguł i własnością Fu.) W rzeczywistości wyznaczenie algorytmu wnioskowania (z użyciem

odpowiednich reguł wnioskowania) dla skomplikowanych struktur logicznych może być bardzo trudne, o ile w ogóle możliwe.


~

~

Zadanie analizy

Zadanie analizy polega na wyznaczeniu najlepszej* postaci formuły wyjściowej Fy dla zadanej formuły wejściowej Fu, a więc odpowiedniego zdania logicznego zawierającego elementarne formuły wyjściowe połączone odpowiednimi spójnikami logicznymi, które spełnia implikację

Fu ᴧ F → Fy. (#)

*Najlepsza oznacza taką formułę, która implikuje wszystkie inne. Np. jeśli M formuł F1

y , F2

y , F3

y ,…, FMy spełnia (#) oraz zachodzi

(F1y → F2

y) ᴧ (F1y → F3

y) ᴧ … ᴧ (F1y → FM

y),

to najlepszą formułą jest F1y

Zadanie można więc sformułować następująco:

Dane: Fu , F Wyznacz: najlepszą* Fy spełniającą (#).


Zadanie podejmowania decyzji (sterowania)

Zadanie podejmowania decyzji (sterowania) polega na wyznaczeniu najlepszej** postaci formuły wejściowej Fu dla zadanej formuły wyjściowej Fy, a więc odpowiedniego zdania logicznego zawierającego elementarne formuły wejściowe połączone odpowiednimi spójnikami logicznymi, które spełnia implikację

Fu ᴧ F → Fy. (#)

**Najlepsza oznacza taką formułę, która jest implikowana przez wszystkie inne. Np. jeśli M formuł F1

u , F2

u , F3

u ,…, FMu spełnia (#) oraz zachodzi

(F2u → F1

u) ᴧ ( F3u →F1

u) ᴧ … ᴧ (FMu → F1

u),

to najlepszą formułą jest F1u

Zadanie można więc sformułować następująco:

Dane: Fy , F Wyznacz: najlepszą** Fu spełniającą (#).


Metoda logiczno-algebraiczna

Metoda logiczno-algebraiczna, zwana też metodą Bubnickiego. Polega na rozwiązaniu zadania analizy bądź podejmowania decyzji poprzez przejście z reprezentacji zdania w formie zmiennych logicznych na ich reprezentację w algebrze dwuwartościowej, rozwiązaniu postawionego równoważnego zadania zastępczego, a następnie powrotu do reprezentacji w formie zmiennych logicznych.


Dodatkowe oznaczenia

• A –zbiór wszystkich ciągów a=(au,aw,ay)

• Sa={a Є A: F(a)=1} –zbiór równoważny formule F(α).

• Su={au Є A: Fu(au)=1} –zbiór równoważny formule Fu(αu).

• Sy={ay Є A: Fy(ay)=1} –zbiór równoważny formule Fy(αy)


Rozwiązanie zadania analizy

Równoważny problem analizy polega na wyznaczeniu najmniejszego zbioru Sy, dla którego spełniona jest implikacja

auЄSu → ayЄSy

Aby rozwiązać zadanie analizy należy znaleźć wszystkie ciągi wartości formuł elementarnych ay (czyli zbiór Sy), dla których spełnione jest

F(au,aw,ay)=1 ᴧ Fu(au)=1


Rozwiązanie zadania podejmowania decyzji (sterowania)

Równoważny problem analizy polega na wyznaczeniu największego zbioru Su, dla którego spełniona jest implikacja

auЄSu → ayЄSy

Aby rozwiązać zadanie podejmowania decyzji należy znaleźć wszystkie ciągi wartości formuł elementarnych au (czyli zbiór Su), dla których spełnione jest

F(au,aw,ay)=1 ᴧ Fy(ay)=1

ale niespełnione jest

F(au,aw,ay)=1 ᴧ Fy(ay)=0


Rozwiązanie zadania podejmowania decyzji (sterowania) c.d.

W praktyce należy wyznaczyć dwa zbiory Su1 i Su2.

Dla Su1 spełnione jest

F(au,aw,ay)=1 ᴧ Fy(ay)=1,

Dla Su2 , spełnione jest

F(au,aw,ay)=1 ᴧ Fy(ay)=0.

Ostatecznie

Su = Su1 – Su2


Powrót do reprezentacji w formie zmiennych logicznych

Aby przejść z reprezentacji algebraicznej do logicznej, wystarczy utworzyć formułę stworzoną z alternatyw koniunkcji zmiennych logicznych (formuł elementarnych), których wartości występują w odpowiednim zbiorze Su lub Sy, przy czym jeśli w danym ciągu wartości przy odpowiadającej zmiennej logicznej jest wartość 0, to w formule ta zmienna wystąpi z negacją. Jest to tzw. postać dysjunkcyjna.

Przykład:

Dla rozwiązania zadania analizy Sy={(0,1);(1,0);(1,1)}, formuła wyjściowa wygląda następująco:

Fy = (¬αy1 ᴧ αy2) ᴠ (αy1 ᴧ ¬αy2) ᴠ (αy1 ᴧ αy2).

Otrzymaną formułę często można uprościć stosując prawa i twierdzenia rachunku zdań logicznych, np. powyższą formułę można zapisać prościej jako Fy = αy1 ᴠ αy2.


Dodatkowe informacje

W sformułowanych rozwiązaniach zastępczych, zadań analizy i podejmowania decyzji wykorzystujących algebrę dwuwartościową, można zauważyć, że do znalezienia rozwiązania należy przeglądnąć wszystkie możliwe ciągi wartościowań formuł elementarnych. Dla dużych i skomplikowanych problemów zadanie może być bardzo trudne, głównie ze względu na jego czasochłonność. Aby dla wielu przypadków uprościć procedurę rozwiązania zaproponowano metody dekompozycji. Metoda logiczno-algebraiczna jak i metody dekompozycji zarówno dla zadania analizy jak i podejmowania decyzji zostały opisane m.in. w następujących publikacjach:


Literatura • Bubnicki, Z. (1990), Wstęp do systemów ekspertowych, PWN, W-wa. • Bubnicki, Z. (1992), Decomposition of a system described by logical model.

R. Trappl (red.) Cybernetics and System Research, t. 1, Singapore: World Scientific, 121-128

• Bubnicki, Z. (1997), Logic-algebraic method for a class of knowledge-based systems. F. Pichler, R. Moreno-Diaz (red.) Computer Aided System Theory, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, 1333, Berlin, 420-428

• Bubnicki, Z. (1997), Logic-algebraic method for a class of dynamical knowledge-based systems. A. Sydow (red.) Proc. of the 15th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics, t. 4, 101-106, Berlin

• Bubnicki, Z. (1998), Logic-algebraic method for knowledge-based relation systems. Sys. Anal. Model. Simul., 33, 21-35

• Bubnicki, Z. (1999), Learning processes and logic-algebraic method in knowledge-based control systems. S.G. Tzafestas, G. Schmidt (red.) Progress in System and Robot Analysis and Control Design. Lecture Notes in Control and Information Sciences, 243. Springer-Verlag, London, 183-194

• Bubnicki, Z. (2002), Teoria i algorytmy sterowania, PWN, W-wa copyright Grzegorz Filcek ©

Przykłady

Na kolejnych slajdach znajdują się przykłady ilustrujące przedstawioną teorię


System grzewczy - schemat

Grzejnik wody

Podsystem sterujący

(F)

u3

u4

u5

u2

u1 y1

y2

y3

copyright Maciej Hojda ©

Wejścia i wyjścia

),0[1

u Doprowadzone napięcie zasilające do grzałki [V ]

}1,0{2u Włącznik grzejnika [wył., wł.]

),(3

u Wprowadzona docelowa temperatura wody [ C ]

),(4

u Zmierzona aktualna temperatura wody [ C ]

),0[5

u Poziom wody w zbiorniku [ cm]

},,{1

czerwonyzielonybraky Sygnał kontrolki [nieaktywny, ogrzewanie włączone, ogrzewanie

niemożliwe]

}1,0{2y Podanie napięcia na grzałkę [nie, tak]

),(3

y Różnica między temperaturami: docelową, a aktualną[ C ]


Formuły elementarne i fakty

}1,0{1u " 46024 1 u "

}1,0{2 u " 12 u "

}1,0{3 u " 43 uu "

}1,0{4 u " 105 u "

}1,0{1y " braky ~1 "

}1,0{2 y " zielonyy 1 "

}1,0{3 y " 12 y "

}1,0{4 y " 03 y "

}1,0{1w Czy system jest gotowy do ogrzewania wody [nie, tak]

}1,0{2 w Czy woda powinna być ogrzana [nie, tak]

1211 wuuF 2432 wuuF 32213 yywwF

434 yuF 434 yuF


Przykładowe przekształcenia między wejściami, wyjściami, a formułami

elementarnymi uD ]240,210[1u , 12 u , 303 u , 204 u , 55 u

u 11 u , 12 u , 13 u , 04 u

)( uuF 4321 uuuu

)( uuF 4321 uuuu

u 11 u , 02 u , 03 u , 14 u

uD ]460,40[1u , 02 u , 43 uu , 105 u

yD braky 1 , taky 2 , 03 y

y 01 y , 02 y , 13 y , 14 y

y 11 y , 12 y , 03 y , 14 y

yD zielonyy 1 , niey 2 , 03 y


Przez formuły wejściowe Fu i wyjściowe Fy rozumiemy koniunkcje odpowiednich formuł elementarnych.

Przykładowa reprezentacja wiedzy

Zadanie analizy

Zadanie syntezy

1211 wuuF

1212~

yuwF

2113)(~

yywF

21~

uuuF

?y

F

)~(~21 yyy

F

?u

F


Zadanie analizy - rozwiązanie

1ua

2ua

1wa

1ya

2ya

1F

2F

3F

uF

uFF

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 1 0 1 0

...

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

...

0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

...

0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

...

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

...

)}1,1(),1,0(),0,1{(yS

21212121 )()(~)~( yyyyyyyyyF


Zadanie syntezy - rozwiązanie 1u

a 2u

a 1w

a 1y

a 2y

a 1

F 2

F 3

F y

F F y

FF y

FF ~

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

...

0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1

...

0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0

...

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0

1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0

...

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

)}1,1(),1,0(),1,0(),0,0{(

1

uS

)}1,0(),0,1(),0,0{(2

uS

)}1,1{(uS21 uuu

F


Uproszczony system grzewczy

}1,0{1u Włącznik grzejnika [wył., wł.]

),(2

u Wprowadzona docelowa temperatura wody [ C ]

),(3

u Zmierzona aktualna temperatura wody [ C ]

}1,0{1y Podanie napięcia na grzałkę [nie, tak]

Grzejnik wody

Podsystem sterujący

(F)

u2

u3

u1

y1


Uproszczony system grzewczy

}1,0{2

u " 1

2u "

}1,0{3

u "

43uu "

}1,0{

2

y " zielonyy

1"

}1,0{3

y " 1

2y "

}1,0{

1

w Czy system jest gotowy do ogrzewania wody [nie, tak]

}1,0{2

y Czy woda powinna być ogrzana [nie, tak]


Documents

Logiczna reprezentacja wiedzy - gfilcek.modeleisystemy.plgfilcek.modeleisystemy.pl/LRW/prezentacja.pdf · Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji, Instytut Informatyki,