46
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ Mục Lục: Trang Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ. 2 Phần II - NỘI DUNG Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA 3 - 6 Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 6 - 7 Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ 7 - 19 Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 20 - 23 Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 24 Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC 25 - 27 Bài tập tổng hợp: 27 – 31 Phần III- KẾT LUẬN 31-33 Tài liệu tham khảo 34 -Các từ viết tắt: sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN) - Điều kiện xác định: (ĐKXĐ) Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 1

LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

  • Upload
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Mục Lục: Trang

Phần I:

ĐẶT VẤN ĐỀ. 2 Phần II - NỘI DUNGPhương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA 3 - 6Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 6 - 7Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ 7 - 19Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 20 - 23 Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 24 Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC 25 - 27Bài tập tổng hợp: 27 – 31Phần III- KẾT LUẬN 31-33Tài liệu tham khảo 34

-Các từ viết tắt:

sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN)

- Điều kiện xác định: (ĐKXĐ)

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 1

Page 2: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ .

Phương trình vô tỷ là một đề tài ly thú vị của đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, y tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy. Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS.Sáng kiến kinh nghiệm ''Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi lớp 9 và học sinh ôn thi vào THPT đối với hoc sinh trường THCS Yên Lạc. Trong SKKN này đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ:Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn:Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh tự luyện.

Tôi hy vọng SKKN này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của toán học qua các phương trình vô tỷ.Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những y kiên đóng góp quy báu từ các thầy cô và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn!Mọi đóng góp xin gửi về : [email protected]

Tôi xin cảm ơn!

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 2

Page 3: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

PHẦN II- NỘI DUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

* PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪAI-KIẾN THỨC:

1/

2/

3/

4/

5/

6/ 7/ …II-BÀI TẬPBài 1: Giải phương trình: (1)

HD: (1)

Bài 2: Giải phương trình: HD:Ta có:

Bài 3: Giải phương trình: HD: Ta có:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 3

Page 4: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Bài 4: Giải phương trình:

HD:ĐK: (1)

PT

Kêt hợp (1) và (2) ta được:x = 2Bài 5. Giải phương trình : HD:Đk: khi đó pt đã cho tương đương:

Bài 6. Giải phương trình sau :HD:Đk: phương trình tương đương :

Bài 7. Giải phương trình sau :

HD: pt

Bài 8. Giải và biện luận phương trình:

HD: Ta có:

– Nêu m = 0: phương trình vô nghiệm

– Nêu m ≠ 0: . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ≥ m

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 4

Page 5: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

+ Nêu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 m2 ≤ 4 + Nêu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 m2 ≥ 4 m ≤ –2

Tóm lại:

– Nêu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm

– Nêu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

Bài 9. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: (Đê thi hoc sinh gioi câp tinh năm hoc 1999 – 2000)

HD: Ta có:

– Nêu m = 0: phương trình vô nghiệm

– Nêu m ≠ 0: . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m

+ Nêu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 m2 ≤ 3 + Nêu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 m2 ≥ 3 m ≤

Tóm lại: – Nêu hoặc . Phương trình có một nghiệm:

– Nêu hoặc : phương trình vô nghiệmBài 10. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: HD: Điều kiện: x ≥ 0

– Nêu m < 0: phương trình vô nghiệm– Nêu m = 0: phương trình trở thành có hai nghiệm: x1

= 0, x2 = 1– Nêu m > 0: phương trình đã cho tương đương với

+ Nêu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 =

+ Nêu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = mIII-Bài tập áp dụng:Bài 1:Giải các phương trình sau:1/ 2/ 4/ 5/

7/ 8/

10/ 11/

13/ 14/ Bài 2: Giải phương trình:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 5

Page 6: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

a) b) d) e) g) h)

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 4: Cho phương trình: a) Giải phương trình khi m = 1b) Tìm m để phương trình có nghiệm.Bài 5: Cho phương trình: a) Giải phương trình khi m=3b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

Bài 6: Giải các phương trình sau:a/ d/

b/ e/

c/ f) PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI

I-KIẾN THỨC:

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

II-BÀI TẬP:Bài 1: Giải phương trình: (1)HD: (1)

|x – 2| = 8 – x– Nêu x < 2: (1) 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)– Nêu x 2 : (1) x – 2 = 8 – x x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5.

Bài 2: Giải phương trình: (2)

HD : (2)

(*)

Đặt y = (y ≥ 0) phương trình(*) đã cho trở thành:

– Nêu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y y = –1 (loại)– Nêu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 y = 3– Nêu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 6

Page 7: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Với y = 3 x + 1 = 9 x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8Bài 3:Giải phương trình:

HD:ĐK:

PT

(Thoả mãn) Vậy:x = 15Bài 4:Giải phương trình: HD:ĐK:Pt

Nêu pt (Loại) Nêu pt (Luôn đúng với )Vậy tập nghiệm của phương trình là: III-Bài tập áp dụng:Giải các phương trình sau:1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/

9/ 10/ 11/ 12/

13/ 14/

15/ 16/

17/ 18/

19/ 20/

21/ 22/PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú y điều kiện của nêu phương trình ban đầu trở thành phương trình

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 7

Page 8: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

chứa một biên quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” . Bài 1. Giải phương trình: HD:Điều kiện: Nhận xét.

Đặt thì phương trình có dạng:

Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình:

HD:Điều kiện:

Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:

Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vê của phương trình với điều kiện

Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)Bài 3. Giải phương trình sau: HD:Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thành:

( với

Từ đó ta tìm được các giá trị của

Bài 4. Giải phương trình sau :

HD: ĐK: Đặt thì phương trình trở thành:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 8

Page 9: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Bài 5. Giải phương trình sau :

HD:Điều kiện:

Chia cả hai vê cho x ta nhận được:

Đặt , ta giải được.

Bài 6. Giải phương trình : HD: không phải là nghiệm , Chia cả hai vê cho x ta được:

Đặt t= , Ta có :

Bài 7.Giải phương trình:HD:Đặt y = ;

Phương trình có dạng: 3y2 + 2y - 5 = 0

Với y = 1 Là nghiệm của phương trình đã cho.

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyêt được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biêt cách giải phương trình: (1) bằng cách

Xét phương trình trở thành :

thử trực tiêp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .a) . Phương trình dạng :

Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên

nêu:

Xuất phát từ đẳng thức :

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 9

Page 10: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”Bài 1. Giải phương trình :

HD: Đặt

phương trình trở thành : Tìm được:

Bài 2. Giải phương trình : (*)

HD:Dễ thấy:

Ta viêt Đồng nhất vê trái với (*) ta được :

Đặt :

phương trình trở thành :-3u+6v=- Từ đây ta sẽ tìm được x.Bài 3: Giải phương trình sau : (*)HD:Đk: Nhận xét : Ta viêt Đồng nhất vê trái với (*) ta được :

Đặt , ta được:

Ta được :

Bài 4. Giải phương trình :

HD:Nhận xét : Đặt ta biên pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 10

Page 11: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Pt có nghiệm :

Bài 5:Giải phương trình: HD:ĐK:Pt

Đặt

Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2)

Nêu u = 3v (vô nghiệm)

Nêu v = 3u là nghiệm.

b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nêu ta bình phương hai vê thì đưa về được dạng trên. Bài 1. Giải phương trình :

HD:Ta đặt : khi đó phương trình trở thành :

hay: 2(u + v) - (u - v)=Bài 2.Giải phương trình sau :

HD:Đk . Bình phương 2 vê ta có :

Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ :

Do .

Bài 3. Giải phương trình : HD:Đk . Chuyển vê bình phương ta được:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 11

Page 12: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Nhận xét : Không tồn tại số để :

vậy ta không thể đặt : .

Nhưng may mắn ta có :

Ta viêt lại phương trình: . Đên đây bài toán được giải quyêt . 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích ,

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .

Bài 1. Giải phương trình :

HD:Đặt ; , ta có :

Bài 2. Giải phương trình :

HD:Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :

Bài 3:Giải phương trình:HD:Đặt Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = 0 (t - x)(t - 3) = 0

Nêu t = x (Vô ly)Nêu t = 3 Vậy:4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 12

Page 13: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Xuất phát từ đẳng thức , Ta có

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .

Bài 1. Giải phương trình :HD:ĐK:

Đặt , ta có :

, giải hệ ta được:

Bài 2. Giải phương trình sau :

HD:Ta đặt : , khi đó ta có :

Bài 3. Giải các phương trình sau :

HD:Đặt

Ta được hệ phương trình:

Từ đó ta có: a2 - 4b2 = a - 2b (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0

Nêu a = 2b (thoả mãn)

Nêu a = 1 - 2b (*)Ta có : VT(*) (1)

VP(*) = (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 13

Page 14: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài tập áp dụng:Giải các phương trình sau :

5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 1. Giải phương trình:

HD:Đặt

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ

này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là

Bài 2. Giải phương trình:

HD:Điều kiện:

Đặt

Ta đưa về hệ phương trình sau:

Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay

vào tìm nghiệm của phương trình.Bài 3. Giải phương trình sau: HD:Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:

Vậy

Bài 4. Giải phương trình:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 14

Page 15: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

HD:Điều kiện: Đặt .

Khi đó ta được hệ phương trình:

Bài 5. Giải phương trình: HD:ĐK:

Đặt

Đặt t = uv

Với t = 15 x = 4Với t = 113 x = 548Bài 6. Giải phương trình: (1)HD:Với điều kiện:

Đặt Với v > u ≥ 0

Phương trình (1) trở thành u + v = 3 Ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

Bài 7. Giải phương trình:

HD: Điều kiện: (*)

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 15

Page 16: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Với điều kiện (*),đặt ; , với u ≥ 0,

Ta có:

Do dó ta có hệ

u và v là nghiệm của phương trình

(b) vô nghiệm (a) có 2 nghiệm

Do đó:

Vì u ≥ 0 nên ta chọn

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 16

Page 17: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 8. Giải phương trình: HD:Với điều kiện

(*)

Đặt , với u ≥ 0, v ≥ 0

Suy ra

Phương trình đã cho tương đương với hệ:

Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:

(1) Với S = 4, P = 3u và v là nghiệm của phương trình:

Do đó ta có:

Suy ra

thoả mãn (*)(2) Với S = 4, P = 29 không tồn tại u và vVậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 17

Page 18: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :

việc giải hệ này thì đơn giản Bây giờ ta sẽ biên hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình :

Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ

xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có

phương trình :

Tương tự cho bậc cao hơn :

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viêt về dạng : đặt để đưa về hệ , chú y về dấu

của ???Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viêt dưới dạng :

là chọn được.Bài 1: Giải phương trình:

HD:Điều kiện:

Ta có phương trình được viêt lại là:

Đặt thì ta đưa về hệ sau:

Trừ hai vê của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Cách 2: Đặt Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2

kêt hợp với đầu bài ta có hệ phương trình:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 18

Page 19: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Giải hệ này ta sẽ tìm được x.Bài 2. Giải phương trình:

HD:Điều kiện

Ta biên đổi phương trình như sau:

Đặt ta được hệ phương trình sau:

Với Với (vô nghiệm)Kêt luận: Nghiệm của phương trình là Bài 3:Giải phương trình:HD:ĐK:Pt (*)Đặt Chọn a = 0 ta được:t2 - 5 = x và kêt hợp với (*) ta được hệ phương trình:

từ đây ta sẽ tìm được nghiệm.

Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = .

HD:Đặt

Chọn ta được:

Kêt hợp với đầu bài ta được hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm.Bài tập áp dụng:Giải phương trình:

PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁI-KIẾN THỨC:1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)2

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 19

Page 20: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

2.Bất đẳng thức côsi:

a) Với hai số a, b 0 thì ta có:

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

b) Với ba số a, b, c 0 thì ta có:

Dấu ‘‘=’’ xảy ra = c

c) Với bốn số a, b, c, d 0 thì ta có:

Dấu ‘‘=’’ xảy ra = c = d

e) Với n số a1, a2,…, an 0 thì ta có:

Dấu ‘‘=’’ xảy ra 3.GTLN,GTNN của biểu thức:a/ A = m + f2(x) m

Dấu ''='' xảy ra f(x) = 0

b/ A = M - g2(x) M

Dấu ''='' xảy ra g(x) = 0

4. Dùng hằng đẳng thức :Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng

Từ phương trình

ta khai triển ra có phương trình :5. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:

nêu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và

, dấu bằng khi và chỉ khi x = 0. Vậy ta có phương trình:

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ y tưởng : khi đó :

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 20

Page 21: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Nêu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được.II-BÀI TẬP:

Bài 1. Giải phương trình :

HD:Đk:

Ta có :

Dấu bằng

Bài 2. Giải phương trình : HD:Đk:

Biên đổi pt ta có :

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Dấu bằng

Bài 3. Giải phương trình: HD:Ta chứng minh : và

Bài 4: Giải phương trình: HD:Ta có :VT2=( )2 (1 + 1).(7- x + x - 5) = 4Nên : 0 < VT 2 Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 2Theo giả thiêt dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi:x = 6Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.Bài 5: Giải phương trình: HD:ĐK:PT Từ (2) ta có:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 21

Page 22: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thê vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1

Bài 6:Giải phương trình :

HD: Điều kiện

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

.

Theo giả thiêt dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Dấu “=” xảy ra (Thoả mãn)

Vậy :Bài 7:Giải phương trình :HD: Cách 1. điều kiện x ≥ 1

Với x ≥ 1 thì: Vê trái: vê trái luôn âm Vê phải: ≥ 1 vê phải luôn dương

Vậy: phương trình đã cho vô nghiệmCách 2. Với x ≥ 1, ta có:

Vê trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vê phải dương với x ≥ 1 phương trình vô nghiệmBài 8:Giải phương trình : (1)

HD: Ta có (1)

Ta có: Vê trái ≥ . Dấu “=” xảy ra x = –1

Vê phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra x = –1Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Bài 9:Giải phương trình :

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 22

Page 23: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

HD: điều kiện x ≥

Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình

– Nêu : VT = . Mà: VP >

– Nêu x > 2: VP = 2x2 + > 2.22 + = . VT <

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

Bài 10:Giải phương trình :

HD: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình.

Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy:Với x < :

và .

Tương tự với < x < 2:

Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

HD:ĐK: (1)

Ta có: (*)

Ta có: VP(*) = (2)Từ (1) và (2) ta có:x = 4 là nghiệm duy nhất. III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1: Giải các phương trình sau :

Bài 2: Giải các phương trình sau :1/ 2/ 3/ 4/

PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 23

Page 24: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:Hướng 1: Thực hiện theo các bước:Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với do đó là nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trìnhHướng 2: Thực hiện theo các bướcBước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.Hướng 3: Thực hiện theo các bước:Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệuBước 3: Khi đó

Ví dụ: Giải phương trình :

HD:pt

Xét hàm số , là hàm đồng biên trên R, ta có

Ví Dụ 2: Giải phương trình: HD: nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trìnhĐặt Với vậy hàm số f(x) đồng biên trên R.Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình.Bài tập áp dụng:Giải phương trình:

a) c) e) b) d) f)

PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 24

Page 25: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điêu kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm Bài 1:Giải phương trình: (1)HD: C1: ĐK

Nêu x 1 ta có

Giải (3) ta tìm được x

Nêu x -2 ta có

Giải (4) ta tìm được x C2: ĐK: Nêu x 1 ta chia cả hai vê cho ta được: Bình phương hai vê sau đó giải phương trình ta tìm được xNêu x -2 Đặt t = -x Thay vào phương trình ta được

Chia cả hai vê cho ta được Bình phương hai vê tìm được tSau đó tìm ra x.Trong C1 ta đã sử dụng kiên thức liên hợp. Còn trong C2 ta vận dụng kiên thức miền xác định về ẩn của phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản hơn.Bài 2 . Giải phương trình sau :

HD: Ta nhận thấy : v

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 25

Page 26: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Ta có thể trục căn thức 2 vê :

Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình .Bài 3. Giải phương trình sau:

HD: Để phương trình có nghiệm thì :

Ta nhận thấy : x = 2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

Dễ dàng chứng minh được :

Bài 4. Giải phương trình :HD :Đk Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biên đổi phương trình

Ta chứng minh :

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 5:Giải phương trình sau:

HD:ĐK:Nhân với lượng liên hợp của từng mẫu số của phương trình đã cho ta được:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 26

Page 27: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Giải hệ trên ta tìm được

Bài 6:Giải phương trình:

HD:ĐK:

Pt

là nghiệm

Bài tập vận dụng: 1)

2)

Tổng quát:

3)

BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 1: Tìm tất cả các số thực x1; x2; …; x2013 thoả mãn:

Bài 2: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:

Bài 3: Giải các phương trình sau:

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 27

Page 28: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Bài 4: Giải các phương trình sau:

x = .

x4 + . (a , b > 0)64x6 - 112x4 + 56x2 - 7 = 2 .

Bài 5: Ky hiệu [x] là phần nguyên của xGiải phương trình sau:

Bài 6:Cho phương trình:Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15 .Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ . b/ . c/ Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

Bài 9:Giải các phương trình sau :

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 28

Page 29: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Bài 10: Giải phương trình:a) b) c) d) e) f)

g) h) Bài 11: Giải phương trình:

Bài 12: Cho phương trình: a) Giải phương trình với m = 3b) Tìm m để phương trình có nghiệmc) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 13: Cho phương trình:

a) Giải phương trình với

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.Bài 14: Cho phương trình: a) Giải phương trình với m = 9b) Tìm m để phương trình có nghiệm.Bài 15:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:y =

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 29

Page 30: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Bài 16: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: nêu:

a/ Vê trái có 100 dấu căn.b/ Vê trái có n dấu căn.Bài 17:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

(Vê trái có 100 dấu căn).

Bài 18:Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn:

Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn: . Tính x + y

Bài 20:Giải phương trình:Bài 21:Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:

Chứng minh rằng:

Bài 22:Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện:

Chứng minh rằng:Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: Bài 24:Tìm các số hữu tỉ a và b biêt:

Bài 25:Giải phương trình:

Bài 26:Tìm các số nguyên k thoả mãn:

Bài 27:Giải phương trình:1/ 2/ 3/ 4/ 5/

6/

7/

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 30

Page 31: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

8/

9/

10/ Bài 28:Giải các phương trình sau:

PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

1)-Kết luận đối với học sinh.

Qua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi dạy xong chuyên đề trắc nhiệm ở một số học sinh tôi thu được kêt quả dưới đây.

- Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ.-Hoc sinh thấy hứng thú hơn đối với môn toán đặc biệt là khi giải phương trình vô tỉ.- Sau khi kiểm tra đánh giá 3 lần kêt quả thu được cụ thể như sau:

Điểm < 5 5 – < 6,5 6,5 - < 8 8-10 Từ 5 -10 Đề SL % SL % SL % SL % SL %Đề 1 14 41,4 9 26,4 7 20,5 4 11,7 20 58,8Đề 2 10 29,4 8 23,5 10 29,4 6 17,6 24 70,6Đề 3 2 5,8 14 41,3 8 23,5 10 29,4 32 94,1

2) Bài học kinh nghiệm. Từ những kêt quả cụ thể trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thân cũng như cho đồng nghiệp khi hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ như sau.

- Phương pháp giải phương trình vô tỉ không khó đối với học sinh khá giỏi, mà điều cần lưu y đối với giáo viên dạy toán là.

+ Cần phân dạng các phương trình vô tỉ, và phương pháp giải cụ thể từng dạng với các ví dụ cụ thể.+ Những dạng bài tập giao cho học sinh phải thực tê dễ hiểu và gợi mở, giúp kích thích óc sáng tạo của học sinh nhưng không quá cao siêu trừu tượng.

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 31

Page 32: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

+ Hướng dẫn các em trước khi giải phương trình cần phân loại dạng toán, phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán tìm hiểu cách giải, phán đoán cách giải, các bước giải để các em đi đên lời giải thông minh ngắn gọn nhất.+ Rèn kĩ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh, thường xuyên để y giúp các em sửa chữa những sai lầm thường mắc phải khi giải phương trình vô tỉ nhất là ĐKXĐ.+ Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng bài tập về nhà có nội dụng tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình giải quyêt các phương trình vô tỉ ấy.- Nêu có được những việc làm trên tôi tin chắc rằng tất cả các em học sinh sẽ không còn lúng túng khi giải phương trình đặc biệt là pt vô tỉ.

3) Điều kiện áp dụng. Như tôi đã trình bày ở trên bản kinh nghiệm này được áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong các trường THCS hoặc sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao vốn kiên thức cho các đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, là cơ sở vững chắc cho các em học tốt hơn trong chương trình cấp 3 đối với bô môn toán đặc biệt là khi học về phương trình vô tỉ. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ mà tôi đề cập ở trên cũng đã được sử dụng rộng rãi xong phần nào giúp học sinh lớp 9 và giáo viên dạy toán 9 nâng cao chất lượng dạy và học của mình.

4) Kết luận. Sau một thời gian tự nghiên cứu cùng với các phương pháp tìm đọc tài liệu tham khảo, sưu tầm các bài tập và kêt hợp với thực tê giảng dạy tôi thấy rằng sáng kiên kinh nghiệm đã góp phần giúp học sinh giải phương trình vô tỉ ở bậc THCS đã phần nào giúp các em hứng thú học tập hơn, không còn sợ khi gặp dạng toán này. Trong SKKN này tôi đã cố gắng sắp xêp các phương pháp giải phương trình vô tỉ từ dễ đên khó, từ đơn giản đên phức tạp giúp học sinh vận dụng một cách linh hoạt từng phương pháp cụ thể trong từng trường hợp nhất định. Qua đó học sinh có thể đào sâu kiên thức, tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, bên cạch đó các ví dụ giúp học sinh có thể rèn kĩ năng giải toán đối với các dạng toán khác nhau…, Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều truyền tải những nội dụng trên mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp kiên thức phù hơp với trình độ và quỹ thời gian của học sinh.Toán giải phương trình được nhắc đên nhiều trong các loại sách đọc thêm hoặc trong các tài liệu tham khảo do đó giáo viên toán thường vất vả trong việc sưu tầm tuyển chọn mới gây được sự hứng thú học tập, lòng say mê học toán của học sinh. Với mong muốn có được tài liệu giúp học sinh dễ dàng hơn trong học toán giải phương trình vô tỉ tôi đã viêt SKKN này.

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 32

Page 33: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chê nên trong quá trình viêt khó tránh được những sai sót trong cách trình bày cũng như hệ thống các bài tâp đưa ra còn hạn chê , chưa đầy đủ, chưa khoa học tôi rất mong các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp đóng góp y kiên để SKKN được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Yên Lạc , ngày 15 tháng 03 năm 2013Người viêt sáng kiên kinh nghiệm

(Ký, ghi rõ ho tên)

Tạ Văn Đức

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 33

Page 34: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Tài liệu tham khảo:

- Nâng cao và phát triển toán 9 - Tập 1 - Vũ Hữu Bình

- Tài liệu chuyên toán lớp 9 tập 1 – Vũ Hữu Bình.

- Các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh thành trong cả nước

- Báo toán học tuổi trẻ

-Bào toán tuổi thơ 2.

- Các trang báo mạng về toán.

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 34

Page 35: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 35

Page 36: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 36

Page 37: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP TỈNH

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 37

Page 38: LỜI NÓI ĐẦU · Web viewQua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 38