Lo spazio matematico dell’arte

Servizi Educativi del Museo e del Territorio della Soprintendenza Beni Architettonici Paesaggio Patrimonio Storico Artistico Etnoantropologico di CA e OR

Classe 3^ E scuola secondaria primo grado “Porcu+Satta” Quartu S’Elena

anno scolastico 2005/2006

Motivazioni

Il progetto didattico LO SPAZIO MATEMATICO DELL’ARTE nascedall’esigenza di individuare il rapporto tra la rappresentazione dello spaziocalcolato matematicamente e la cultura del periodo storico in cui opera

l’artistae dall’esigenza di capire l’armonia nell’arte, sia essa un dipinto, unmonumento, la pianta di una città.

Numero Aureo e Sezione Aurea, Rettangolo aureo, Prospettiva sono gli elementi

sui quali ci siamo soffermati dando una risposta alle nostre esigenze.

Per comunicare le conoscenze acquisite e le esperienze effettuate abbiamoprogettato e realizzato dei pannelli con disegni, immagini e testi.

L’attività è stata presentata in occasione della manifestazione “QuartuMonumenti Aperti” il 13 e 14 maggio 2006 nella chiesa di San Benedetto in

ViaMarconi.

l power point che vediamo è scaturito dalle nostre relazioni, i nostri disegni, lenostre considerazioni e approfondimenti.

Numero aureo e Sezione aurea

L’aggettivo “aureo” fu attribuito dai matematici pitagorici al numero 1,618, numero magico che indica il rapporto tra due parti dove la maggiore, chiamata parte aurea o sezione aurea, è media proporzionale tra l’intero e la parte rimanente.

Disegno di Leonardo da Vinci che illustra le regole di Vitruvio della sezione aurea: il rapporto tra l’altezza dell’uomo e la distanza del suo ombelico da terra risulta uguale a 1,618

Rettangolo aureoLa facciata del Partenone, tempio più importante che sorge sull’Acropoli di Atene, si può racchiudere in un rettangolo aureo.

Leonardo da Vinci chiamò aureo il rettangolo avente i due lati in rapporto aureo l’uno con l’altro, cioè il lato più lungo è 1,618 volte più grande dell’altro.

M

m

Mm

M

m=1,618

Prospettiva

È l’arte di disegnare un oggetto a tre dimensioni in modo che la rappresentazione che se ne dà corrisponda alla propria percezione visiva.

Evidenzia la profondità, la posizione degli oggetti e la forma della realtà.

Obiettivi

Saper leggere un’opera d’arte in rapporto alla concezione dello spazio della cultura che l’ha prodotta

Acquisire conoscenze sul patrimonio culturale relative all’aspetto tecnico-costruttivo e alle regole matematiche che le determinano

Saper individuare il legame tra forma e funzione

Saper individuare le regole della sezione aurea

Saper applicare le regole della sezione aurea

Saper individuare le regole della prospettiva

Saper applicare le regole della prospettiva per poter disegnare la figura umana nello spazio

Abbiamo presentato il nostro lavoro nella Chiesa di San Benedetto, in occasione della manifestazione Quartu Monumenti Aperti , 13 e 14 maggio 2006

ci siamo preparati a raccontare in pubblico le fasi del lavoro.

In questi pannelli è sintetizzata

l’attività laboratoriale relativa a :

Numero aureo e sezione aurea

Prospettiva

Rettangolo aureo

descriviamo le fasi del lavoro al pubblico presente

spieghiamo il significato dei disegni e delle immagini

Conoscendo l’altezza di una pelike, anfora dalla imboccatura larga,

abbiamo ricavato la misura della base applicando le regole del rettangolo aureo.

I genitori seguono con attenzione

l’intervento della professoressa Mariella Mereu

altri interventi

Dott.ssa Antonia Giulia Maxia, l’esperta che ci ha fatto capire quale notevole lavoro c’è dietro ad un’opera d’arte

Dott.ssa Marcella Serreli, responsabile Servizi Educativi, evidenzia la fattiva collaborazione tra Soprintendenza e Scuola

Dott.ssa Anna Paola Loi, assessore ai Beni Culturali del Comune di Quartu, esprime i suoi complimenti per l’attività svolta e augura un’efficace prosecuzione.

esperto docente alunnoProietta le immagini delle opere d’arteEspone il quadro storico, artistico e sociale dell’ opera d’arteInvita alla lettura dell’immaginePone domandeStimola all’osservazione e alla discussioneSpiega alcuni passaggi con l’utilizzo della lavagna e di materiale didattico Fornisce fotoFornisce materiale bibliografico

Promuove la discussioneCoordina gli interventiValorizza tutti gli interventiCrea collegamenti con il programma scolastico svolto Fa riferimento alle attività già realizzateAiuta nella comprensione dei termini scientifici con domande finalizzatePrende appuntiPone domande che creano aperture di discorso

Apprende la cultura del periodo studiatoIndividua problemi Formula ipotesi Utilizza i suoi prerequisiti per arrivare a nuove conoscenzeDisegna con l’uso della riga, compasso e matitaApprende e applica le regole prospettiche in elaborati personali Verifica sulle riproduzioni di alcuni dipinti, l’applicazione delle regole prospetticheSvolge calcoli matematiciCostruisce il rettangolo aureo

Come siamo arrivati al prodotto finale:attività svolta in classe alla presenza dell’esperta e dei docenti

Percorso di apprendimento

Lettura dell’opera d’arte sotto l’aspetto storico, artistico e sociale del periodo

Successione numerica di Fibonacci.

Origine del rapporto aureo e della sezione aurea

Rettangolo aureo: armonia ed equilibrio di linee

Prospettiva come riproduzione dello spazio visivo tridimensionale su un piano per conseguire l’immagine della realtà

Esercitazioni: riscontro pratico sull’applicazione dei canoni matematici nelle riproduzioni delle opere d’arte.

Lettura storica, artistica e sociale di opere d’arte alla ricerca del legame tra forma e funzione:

Pianta di Mileto Teatro di Epidauro Tempio greco Anfora greca

Città di Mileto, risalente al V secolo a.C., fu progettata da Ipodamo di Mileto:

costituita da un reticolo regolare di strade su cui si allineano gli edifici, evidenzia un aspetto elegante ed ordinato.

Gli edifici pubblici sono situati al centro.

Mileto era una città commerciale dotata di più porti.

Le torri in prossimità dei porti, servivano da faro per i naviganti.

L’impianto della città era funzionale anche alla difesa della città.

Progettazione dello spazio urbano

Situato presso un tempio ha una struttura concava che sfrutta l’ andamento del terreno in armonica integrazione con l’ambiente naturale

La forma concava permetteva un’acustica ottimale ed evitava il rimbombo.

Si componeva di tre parti con diverse funzioni:

Orchestra, area circolare destinata alla danza e al coro,

Càvea o koilon gradinata a semicerchio addossata al pendio naturale

Scena, il fondale architettonico del teatro

Anfiteatro di Epidauro, IV secolo a.C.

venivano rappresentate commedie e tragedie per educare l’uomo attraverso la visione e l’ascolto. In tali occasioni l’attività lavorativa si fermava per permettere a tutti di partecipare.

Tempio greco: costruito per contenere la statua della divinità nell’unica cella posta al centro. Ad esso si accedeva mediante dei gradini salendo i quali si svolgeva il rituale della preghiera.

Era circondato da colonne di forma rastremata, cioè rigonfie nella parte centrale per creare un effetto ottico che faceva sembrare più leggera e più alta l’intera struttura.

Le colonne laterali erano leggermente più piccole per compensare l’effetto della luce che le avrebbe rese più grandi

pelike h. cm 42,5 350 – 340 a. C. pittore di Marsia

La pelike è un vaso a due anse, rigonfio nella parte inferiore e con l’imboccatura larga adatto a contenere sostanze solide.

il rapporto altezza - larghezza corrispondono a precise regole matematiche.

Nella parte centrale con figure rosse su sfondo nero, è rappresentata la dea Teti che avendo rifiutato la corte di Zeus, fu costretta a sposare Peleo, un mortale che l’aveva rapita.

Le raffigurazioni sui vasi avevano la funzione di far conoscere i miti greci .

Rapporto tra forma e funzione

Successione numerica di Fibonacci

.

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55…………

ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti

alla successione di Fibonacci è legata la spirale

logaritmica

In natura è possibile verificare la presenza di questa successione: osserviamo per esempio il numero di spirali di una pigna e contiamole: sono 8 in senso orario, 13 in senso antiorario.

Fibonacci ( Leonardo Pisano) figlio di un mercante arabo, fu il matematico più originale ed abile del mondo medievale: visse tra il 1180 e il 1250; nel 1202 pubblicò il “Liber Abaci”

Il rapporto tra due numeri successivi di questa serie si avvicina rapidamente e poi si assesta sul numero 1,618.

1,618 viene chiamato numero d’oro, numero aureo, rapporto aureo

Prendiamo un segmento e lo dividiamo in due parti diverse, tale che il rapporto tra l’intero segmento e la parte maggiore sia uguale al rapporto tra la parte maggiore e la parte minore.

Per ottenere questo risultato occorre moltiplicare l’intero segmento per 0,618.

AB : AC = AC : CB

AC = 100 cm *0,618 = 61,8 cm

CB = 38,2 cm

CA B

AB = 100cm

La ricerca di una relazione armoniosa tra le dimensioni di un oggetto è innata nell’uomo

La relazione tra i numeri costituisce la proporzione aurea

.

AC è la sezione aurea

Costruzione del rettangolo aureo: nascita della spirale.

Il rettangolo che Leonardo da Vinci chiamò “aureo” ha le dimensioni in rapporto aureo l’uno con l’altro.

• Costruiamo un rettangolo, una dimensione è 1,618 volte più grande dell’altra, ovvero quest’ultima è 0,618 volte più piccola dell’altra;

• Tracciamo un quadrato all’interno: osserviamo, rimane un rettangolo, nel quale a sua volta possiamo tracciare un quadrato;• Osserviamo: rimane un

rettangolo nel quale possiamo tracciare un quadrato, ecc.

Ciò significa che se a un rettangolo aureo si sottrae un quadrato, la parte che rimane è ancora un rettangolo aureo.

Costruiamo, ora, con il compasso gli archi di circonferenza aventi come raggi i lati dei quadrati ad essi tangenti, otteniamo una curva

chiamata spirale.

L’armonia delle dimensioni e la regolarità delle forme che notiamo nelle opere del periodo classico sono già presenti in natura dove tutto cresce secondo un ritmo a spirale.

nautilus

Osserviamo il nautilus, un mollusco che popola i fondali degli oceani, la sua conchiglia cresce secondo la curva logaritmica cioè quella che incontra tutte le rette uscenti da un centro con un angolo costante e i cui raggi, dal centro ai vari giri successivi, sono in progressione geometrica. La curva logaritmica si costruisce con il rettangolo aureo. I greci la utilizzavano per ottenere le spirali dei capitelli ionici.

La conchiglia, per la forma perfetta, è stata utilizzata come amuleto.

L’uomo ha impiegato secoli per capire che c’è una ciclicità nel divenire delle cose, che il ritmo è alla base della vita e che è armonia. I filosofi greci Eraclito, Pitagora e Platone, già nel IV secolo a.C., hanno codificato questi concetti fondamentali.

La prospettiva è un metodo usato dai pittori del Rinascimento per

rappresentare lo spazio tridimensionale su un piano.

I pittori hanno introdotto le leggi matematiche per individuare le linee

d’orizzonte e i punti di fuga dove concorrono i prolungamenti di tutte le

linee orizzontali.

La prospettiva veniva usata anche per progettare nuove città – le città ideali – perché l’idea di città rispecchia gli ideali

di armonia e di geometria tipici del pensiero e dell’arte del Rinascimento.

Raffaello - Lo sposalizio della Vergine 1504

Raffaello costruisce lo spazio pittorico secondo le regole del rapporto aureo e della prospettiva centrale per

richiamare l’attenzione sul tempio e sui protagonisti

della scena.

La pelike è stata ricostruita partendo dalla misura dell’altezza, cm 42,5

Osserviamo il rettangolo aureo, il quadrato, il rettangolo aureo rimasto; l’attaccatura delle anse, le fasce decorate, la parte dipinta, rientrano nella costruzione del rettangolo aureo.

Esercitazioni

Dal IV secolo a. C. l’uomo costruisce in proporzione. L’architetto romano Vitruvio codificò le leggi sulla

proporzione e sul rettangolo aureo e L.B.Alberti nel De re aedificatoria del 1452 fissò le regole della progettazione e costruzione dello spazio con la prospettiva. Queste regole

matematiche erano conosciute da tutti gli artisti.

Masaccio, nella famosa Trinità di Santa Maria Novella a Firenze ha

utilizzato le regole del rettangolo aureo e della

prospettiva.

L’ardito scorcio della cappella corrisponde alla visione che ne

avrebbe uno spettatore il cui occhio fosse posto

in basso.

Nella cappella del SS. Crocefisso della Parrocchia di Sant’Elena a Quartu, si può notare un Crocefisso attribuito alla scuola di G.A.Lonis. Il suo inserimento in una nicchia che sembra costruita per contenerlo, ricorda la Trinità di Masaccio nella ricerca di un elemento architettonico in proporzione al Crocefisso.

Raffaello nel famoso dipinto

lo sposalizio della Vergine,

utilizza il rapporto aureo

e la prospettiva centrale per costruire il tempio e lo spazio nel

quale agiscono i personaggi sulla scena.

Esempi di prospettiva

Approfondimenti

L’uomo misura di tutte le cose

la statura di un corpo ben proporzionato si ottiene moltiplicando la misura della distanza tra l’ombelico e il terreno per il numero aureo 1,618

Leonardo da Vinci: 1500

Le Corbusier: 1900

Modulor (modulo e numero aureo) è un sistema proporzionale di dimensioni armoniche basata sulla figura umana e sui rapporti aurei che essa esprime.

SCUOLA PITAGORICA

Il poligono regolare ( lati ed angoli uguali) ha ispirato fin dai tempi antichi costruzioni architettoniche e decorazioni geometriche.

La costruzione del pentagono regolare con riga e compasso risale alla Scuola Pitagorica: il simbolo di questa scuola è proprio il pentagono regolare stellato che già da allora fu avvolto da mistero e venerazione.

È proprio il pentagono regolare fa nascere un numero d’oro.

Come?

Per costruire un pentagono regolare è più semplice partire dalla costruzione del decagono regolare

Risulta da misurazioni che il lato del decagono regolare è maggiore della metà del raggio; ma di quanto è maggiore?

Quale è il rapporto tra il lato del decagono regolare e il raggio?

Si è trovato che, misurando i lati del triangolo isoscele avente gli angoli alla base doppi dell’angolo al vertice, il rapporto tra la base e il lato obliquo è circa 0,62, ovvero che il lato del decagono è la sezione aurea del raggio, così come il rapporto tra il lato del pentagono regolare e il lato del pentagono stellato.

Nel Rinascimento quel rapporto viene ad assumere un’importanza predominante: il matematico LUCA PACIOLI, nel 1503, nel suo De Divina Proportione, illustrato da Leonardo da Vinci, conferma che la “divina proporzione” è la lunghezza del segmento che si ottiene prendendo circa i 100

62 di un segmento dato.

Il rapporto aureo ha avuto un’importanza notevole anche fuori dal campo strettamente matematico.

Si osservò subito che un rettangolo le cui dimensioni sono l’una lo 0,618 dell’altra è più gradevole alla vista, crea una sensazione piacevole e procura armonia.

Nel Rinascimento questo rapporto assume un’importanza predominante sia in pittura che in scultura e architettura.

Lo studio viene approfondito. Qualcosa di così bello, di così armonico, si è pensato, non può essere solo opera dell’uomo, si trova anche in natura, nella disposizione delle foglie e dei petali dei fiori, nella stella di mare; nell’uomo stesso. Sappiamo infatti che in una persona adulta di statura media, l’ombelico divide il corpo in due parti in rapporto aureo tra loro.

Conclusioni

Gli autori: classe 3^ E