LÍMITES Y CONTINUIDAD 5.- Continuidad de una función en un punto y en un intervalo

Ejemplo: Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos:

𝑓(𝑥) = &𝑥' + 1,𝑠𝑖𝑥 ≤ 03𝑥 − 2,𝑠𝑖0 < 𝑥 < 4−𝑥' − 𝑥 + 30,𝑠𝑖𝑥 ≥ 4

Observando cada trozo de la función de manera independiente, vemos que son funciones continuas, al ser polinómicas. Por tanto, 𝑓 es continua en todos sus puntos excepto quizás en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 4. Vamos a estudiar por separado los dos puntos: 𝒙 = 𝟎

1. Calculamos 𝑓(0) = 0' + 1 = 1, sustituimos en el primer trozo, donde está incluido 𝑥 = 0.

2. Calculamos lim;→=

𝑓(𝑥), para ello hacemos los límites laterales y comprobamos su relación: lim;→=>

𝑓(𝑥) = lim;→=

𝑥' + 1 = 1, sustituimos en el primer trozo, donde se encuentran los valores 𝑥 menores que 0. lim;→=?

𝑓(𝑥) = lim;→=

3𝑥 − 2 = −2, sustituimos en el segundo trozo, donde se encuentran los valores 𝑥 mayores que 0. Por tanto, al tomar valores diferentes por la izquierda y la derecha, no existe lim

;→=𝑓(𝑥).

3. Los límites laterales no coinciden y ambos son finitos, por tanto, en 𝑥 = 0,

𝑓 presenta una discontinuidad de salto finito.

𝒙 = 𝟒

1. Calculamos 𝑓(4) = −4' − 4 + 30 = 10, sustituimos en el tercer trozo, donde está incluido 𝑥 = 4.

2. Calculamos lim

;→A𝑓(𝑥), para ello hacemos los límites laterales y

comprobamos su relación: lim;→A>

𝑓(𝑥) = lim;→A

3𝑥 − 2 = 10, sustituimos en el segundo trozo, donde se encuentran los valores 𝑥 menores que 4. lim;→A?

𝑓(𝑥) = lim;→A

−𝑥' − 𝑥 + 30 = 10, sustituimos en el tercer trozo, donde se encuentran los valores 𝑥 mayores que 4. Por tanto, al coincidir los límites por la izquierda y por la derecha, existe lim;→=

𝑓(𝑥) = 10.

3. Finalmente 𝑓(4) = lim;→A

𝑓(𝑥) = 10, por tanto 𝑓 es continua en 𝑥 = 4. Podemos afirmar entonces que, 𝑓 es continua en todos sus puntos, excepto en 𝑥 = 0, que presenta una discontinuidad no evitable de salto finito. Actividad 1.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) = B𝑥 + 1,𝑠𝑖𝑥 ≤ 0𝑥 − 1, 𝑠𝑖0 < 𝑥 ≤ 32𝑥 − 4,𝑠𝑖𝑥 > 3

; b) 𝑓(𝑥) = D 𝑥' − 1,𝑠𝑖𝑥 ≤ 0

(𝑥 − 1)',𝑠𝑖𝑥 > 0 ;

Sol: a) Continua en todos sus puntos, excepto 𝑥 = 0, que presenta una discontinuidad no evitable de salto finito. b) Continua en todos sus puntos, excepto 𝑥 = 0, que presenta una discontinuidad no evitable de salto finito.

Cálculo de parámetros sabiendo que una función es continua

Actividad 2.- Calcula el valor de 𝑘, para que las siguientes funciones sean continuas:

a) 𝑓(𝑥) = D𝑥' − 4, 𝑠𝑖𝑥 ≤ 3𝑥 + 𝑘, 𝑠𝑖𝑥 > 3 ; b) 𝑓(𝑥) = G

6 − ;',𝑠𝑖𝑥 < 2

𝑥' − 𝑘𝑥,𝑠𝑖𝑥 ≥ 2;

Sol: a) 𝑘 = 2; b) 𝑘 = −I

';

Actividad 3.- Calcula el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏, en cada caso, para que las siguientes funciones sean continuas:

a) 𝑓(𝑥) = G;LMI;MI

, 𝑠𝑖𝑥 ≠ 1𝑎,𝑠𝑖𝑥 = 1

; b) 𝑓(𝑥) = B𝑎𝑥 + 1,𝑠𝑖𝑥 ≤ 12𝑥 − 𝑎, 𝑠𝑖1 < 𝑥 ≤ 32𝑏𝑥,𝑠𝑖𝑥 > 3

;

c) 𝑓(𝑥) = B𝑎𝑥,𝑠𝑖𝑥 ≤ 2

𝑏𝑥 + 1, 𝑠𝑖2 < 𝑥 ≤ 4𝑥 − 𝑎,𝑠𝑖𝑥 > 4

; d)𝑓(𝑥) = B𝑎𝑥 + 𝑏,𝑠𝑖𝑥 ≤ 1𝑏𝑥' + 2, 𝑠𝑖1 < 𝑥 ≤ 33𝑥 − 16,𝑠𝑖𝑥 > 3

;

e) 𝑓(𝑥) = O 𝑎𝑥 − 2, 𝑠𝑖𝑥 ≤ 1

4𝑥 − 2𝑎, 𝑠𝑖𝑥 > 1; Sol: a) 𝑎 = 2; b) 𝑎 = I

', 𝑏 = II

I'; c) 𝑎 = 1, 𝑏 = I

';

d) 𝑎 = 2, 𝑏 = −1; e) 𝑎 = 2;

REFUERZO CONTINUIDAD

Sol: 1. a) 𝑥 = 0, discontinuidad de salto finito; b) 𝑥 = 0, continua;

c) 𝑥 = 0, discontinuidad evitable; d) 𝑥 = 0, discontinuidad de salto infinito; 2. a) 𝑎 = 1; b) 𝑎 = 2; 3. a) Es continua en 𝑥 = 5; b) Es continua en 𝑥 = 1;