Listopad 2008. - PMF - Matematički odsjekbruckler/pdf/kristali-simetrije3.pdf · svaki element ima inverz (inverz iz elementa pravi neutralni element). Takav par skupa i operacije

Grupe simetrija

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Listopad 2008.

Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Grupe simetrija Listopad 2008. 1 / 19

Sto su grupe?

Promotrimo sljedece primjere:

1 Zbrajanje (+) na skupu R: x + y ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z),x + 0 = 0 + x = x , x + (−x) = (−x) + x = 0 (∀x , y , z ∈ R) i 0 ∈ R;

2 Kompozicija (◦) na skupu Sn permutacija skupaNn = {0, 1, . . . , n − 1}: f ◦ g ∈ Sn, (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h),f ◦ I = I ◦ f = f , f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = I (∀x , y ∈ Sn) i identitetaI ∈ Sn;

3 Potezi na Rubikovoj kocki koji slijede jedan za drugim: dva uzastopnoizvedena poteza cine potez; vrijedi asocijativnost; nista ne raditi(potez I ) ne mijenja prethodni potez; svaki potez mozemo izvestiunatrag.

Sto im je zajednicko?


Sto su grupe?







Sto su grupe?







Sto su grupe?

Definicija grupe

U sva tri primjera imali smo neki skup i operaciju na njemu koja iz dvaelementa skupa cini element skupa, asocijativna je, ima neutralni element isvaki element ima inverz (inverz iz elementa pravi neutralni element).Takav par skupa i operacije zovemo grupom.

Formalnije: Grupa je uredeni par (S ,♥) nepraznog skupa S i funkcije ♥koja dvama elementima x , y ∈ S pridruzuje element x♥y ∈ S (zatvorenostoperacije), i to tako da vrijede sljedeca tri svojstva:

1 (x♥y)♥z = x♥(y♥z) za sve x , y , z ∈ S (asocijativnost)

2 postoji element e ∈ S takav da za sve x ∈ S vrijedi x♥e = e♥x = x(e zovemo neutralni element);

3 za svaki x ∈ S postoji y ∈ S takav da je x♥y = y♥x = I (taj yoznacavamo s x−1 i zovemo inverz od x)

U daljnjem cemo operaciju grupe, analogno obicnom mnozenju, oznacavatinadopisivanjem (umjesto x♥y pisat cemo xy).


Sto su grupe?

Definicija grupe

U sva tri primjera imali smo neki skup i operaciju na njemu koja iz dvaelementa skupa cini element skupa, asocijativna je, ima neutralni element isvaki element ima inverz (inverz iz elementa pravi neutralni element).Takav par skupa i operacije zovemo grupom.Formalnije: Grupa je uredeni par (S ,♥) nepraznog skupa S i funkcije ♥koja dvama elementima x , y ∈ S pridruzuje element x♥y ∈ S (zatvorenostoperacije), i to tako da vrijede sljedeca tri svojstva:

1 (x♥y)♥z = x♥(y♥z) za sve x , y , z ∈ S (asocijativnost)

2 postoji element e ∈ S takav da za sve x ∈ S vrijedi x♥e = e♥x = x(e zovemo neutralni element);

3 za svaki x ∈ S postoji y ∈ S takav da je x♥y = y♥x = I (taj yoznacavamo s x−1 i zovemo inverz od x)

U daljnjem cemo operaciju grupe, analogno obicnom mnozenju, oznacavatinadopisivanjem (umjesto x♥y pisat cemo xy).


Sto su grupe?

Red grupe je broj elemenata grupe. Trivijalna grupa je jednoclana grupakoja se sastoji samo od svog neutralnog elementa.

Za nas je bitna sljedeca cinjenica: simetrije danog objekta X uvijek cinegrupu obzirom na kompoziciju kao operaciju. To je grupa simetrija objektaX . Objekt X je simetrican ako mu je grupa simetrija netrivijalna.

Primjer

Promotrimo slucaj kad je X jednakostranicni trokut. Uz trivijalnu simetriju1, njegova simetrija je i rotacija 3 oko trigire kroz sjeciste visina okomitena trokut te zrcaljenje m obzirom na ravninu okomitu na trokut koja gasijece u jednoj visini. Ostale simetrije su jos dva zrcaljenja, koja dobivamokao 3m i 33m = 32m te rotacija 33 = 32 za 2π

3 . Stoga je grupa simetrijajednakostranicnog trokuta reda 6. Oznacavamo ju s D3.


Sto su grupe?

Red grupe je broj elemenata grupe. Trivijalna grupa je jednoclana grupakoja se sastoji samo od svog neutralnog elementa.Za nas je bitna sljedeca cinjenica: simetrije danog objekta X uvijek cinegrupu obzirom na kompoziciju kao operaciju. To je grupa simetrija objektaX . Objekt X je simetrican ako mu je grupa simetrija netrivijalna.

Primjer




Sto su grupe?

Red grupe je broj elemenata grupe. Trivijalna grupa je jednoclana grupakoja se sastoji samo od svog neutralnog elementa.Za nas je bitna sljedeca cinjenica: simetrije danog objekta X uvijek cinegrupu obzirom na kompoziciju kao operaciju. To je grupa simetrija objektaX . Objekt X je simetrican ako mu je grupa simetrija netrivijalna.

Primjer




Sto su grupe?

Izomorfnost grupa

Dvije grupe su izomorfne ako neovisno o tome kako smo oznacili njihoveelemente i operaciju imaju istu

”tablicu mnozenja” (Cayleyeva tablica).

Primjer

Cayleyeva tablica za D3 je dana s

◦ 1 3 32 m 3m 32m

1 1 3 32 m 3m 32m3 3 32 I 3m 32m m32 32 I 3 32m m 3m

Ako ignoriramo oznake elemenata i operacije govorimo o apstraktnimgrupama. U daljnjem cemo apstraktne grupe poistovjecivati s njimaizomorfnim grupama simetrija tj. grupama ciji elementi imaju konkretnuinterpretaciju simetrija nekog objekta.


Sto su grupe?

Izomorfnost grupa



Primjer


◦ 1 3 32 m 3m 32m

1 1 3 32 m 3m 32m3 3 32 I 3m 32m m32 32 I 3 32m m 3m



Sto su grupe?

Izomorfnost grupa



Primjer


◦ 1 3 32 m 3m 32m

1 1 3 32 m 3m 32m3 3 32 I 3m 32m m32 32 I 3 32m m 3m



Sto su grupe?

Ortogonalna grupa O(3)

Ortogonalni linearni operatori1 na R3 odnosno, uz fiksiranje baze,ortogonalne matrice2 iz M3 obzirom na mnozenje cine grupu koju zovemoortogonalna grupa i oznacavamo s O(3).

Determinante ortogonalnih matrica/operatora su +1 ili −1. (Prave)rotacije su ortogonalni linearni operatori kojima je determinanta jednaka 1,a rotoinverzije (neprave rotacije) su oni kojima je determinanta jednaka−1. Rotacije cine podgrupu od O(3) koja se zove specijalna linearna grupa(SL(3) = {A ∈ O3 : detA = 1}).

1Linearni operator A je ortogonalan ako za sve x vrijedi (Ax |Ax) = (x |x).2Matrica A je ortogonalna ako AAt = AtA = I .


Sto su grupe?

Ortogonalna grupa O(3)

Ortogonalni linearni operatori1 na R3 odnosno, uz fiksiranje baze,ortogonalne matrice2 iz M3 obzirom na mnozenje cine grupu koju zovemoortogonalna grupa i oznacavamo s O(3).Determinante ortogonalnih matrica/operatora su +1 ili −1. (Prave)rotacije su ortogonalni linearni operatori kojima je determinanta jednaka 1,a rotoinverzije (neprave rotacije) su oni kojima je determinanta jednaka−1. Rotacije cine podgrupu od O(3) koja se zove specijalna linearna grupa(SL(3) = {A ∈ O3 : detA = 1}).

1Linearni operator A je ortogonalan ako za sve x vrijedi (Ax |Ax) = (x |x).2Matrica A je ortogonalna ako AAt = AtA = I .


Prostorne grupe

Uzmemo li u obzir unutrasnju gradu kristala (dakle, i sadrzaj jedinicnecelije i periodicnost), grupu S svih simetrija danog kristala zovemonjegovom prostornom grupom. Ona kao podgrupu uvijek sadrzi grupu svihtranslacija kristala, koja se sastoji od svih translacija za cjelobrojnelinearne kombinacije vektora odabrane kristalografske baze. Ocigledno jeta podgrupa translacija T beskonacna pa je i svaka prostorna grupakristala beskonacna. Poistovjetimo li translacije s pripadnim vektorima,imamo prirodnu korespondenciju izmedu podgrupe T i kristalne(vektorske) resetke L.

Vec smo rekli da elemente prostorne grupe (simetrije kristala) mozemozapisati u obliku f (x) = Ax + b, gdje je A ∈ O(3), a b ∈ M3,1(R) ' R3

neki fiksan vektor. Pisat cemo f = (A|b). Inverz od f je dan formulomf −1(x) = A−1x − A−1b tj. f −1 = (A−1| − A−1b) (provjerite!).Postoji 230 prostornih grupa u R3. Osnovno svojstvo prostornih grupa kojeomogucuje daljnju klasifikaciju dano je teoremom:


Prostorne grupe

Uzmemo li u obzir unutrasnju gradu kristala (dakle, i sadrzaj jedinicnecelije i periodicnost), grupu S svih simetrija danog kristala zovemonjegovom prostornom grupom. Ona kao podgrupu uvijek sadrzi grupu svihtranslacija kristala, koja se sastoji od svih translacija za cjelobrojnelinearne kombinacije vektora odabrane kristalografske baze. Ocigledno jeta podgrupa translacija T beskonacna pa je i svaka prostorna grupakristala beskonacna. Poistovjetimo li translacije s pripadnim vektorima,imamo prirodnu korespondenciju izmedu podgrupe T i kristalne(vektorske) resetke L.Vec smo rekli da elemente prostorne grupe (simetrije kristala) mozemozapisati u obliku f (x) = Ax + b, gdje je A ∈ O(3), a b ∈ M3,1(R) ' R3

neki fiksan vektor. Pisat cemo f = (A|b). Inverz od f je dan formulomf −1(x) = A−1x − A−1b tj. f −1 = (A−1| − A−1b) (provjerite!).

Postoji 230 prostornih grupa u R3. Osnovno svojstvo prostornih grupa kojeomogucuje daljnju klasifikaciju dano je teoremom:


Prostorne grupe

Uzmemo li u obzir unutrasnju gradu kristala (dakle, i sadrzaj jedinicnecelije i periodicnost), grupu S svih simetrija danog kristala zovemonjegovom prostornom grupom. Ona kao podgrupu uvijek sadrzi grupu svihtranslacija kristala, koja se sastoji od svih translacija za cjelobrojnelinearne kombinacije vektora odabrane kristalografske baze. Ocigledno jeta podgrupa translacija T beskonacna pa je i svaka prostorna grupakristala beskonacna. Poistovjetimo li translacije s pripadnim vektorima,imamo prirodnu korespondenciju izmedu podgrupe T i kristalne(vektorske) resetke L.Vec smo rekli da elemente prostorne grupe (simetrije kristala) mozemozapisati u obliku f (x) = Ax + b, gdje je A ∈ O(3), a b ∈ M3,1(R) ' R3

neki fiksan vektor. Pisat cemo f = (A|b). Inverz od f je dan formulomf −1(x) = A−1x − A−1b tj. f −1 = (A−1| − A−1b) (provjerite!).Postoji 230 prostornih grupa u R3. Osnovno svojstvo prostornih grupa kojeomogucuje daljnju klasifikaciju dano je teoremom:


Prostorne grupe

Prostorne grupe klasificiramo prvo prema svojim podgrupama translacijaT. Njih ima 14 mogucih i zovu se Bravaisove resetke, a svaka je podgrupaholoedrije tocno jednog kristalnog sustava. Stoga svaka prostorna grupa

”pripada” tocno jednom kristalnom sustavu. Od njih 230, dvije su

triklinske, 13 ih je monoklinsko, 59 pripada rompskom, 25 trigonskom, 27heksagonskom, 68 tetragonskom i 36 kubicnom sustavu.


Tockine grupe

Tockine grupe su grupe simetrija ciji elementi (simetrije) imaju jednufiksnu tocku (bez smanjenja opcenitosti: ishodiste koordinatnog sustava).Kako translacije za nenul-vektor nemaju fiksnih tocaka, slijedi datranslacije ne mogu biti elementi tockinih grupa.

Tockina grupa kristala je definirana s

P = {A ∈ O(3) : ∃b ∈ R3 f (x) = Ax + b ∈ S}.

Formalnije, P je kvocijentna grupa S/T. Kad tockinim grupamapristupamo vise geometrijski, govorimo o kristalnim klasama.Posljedica kristalografske restrikcije je da postoje ukupno 32 tockine grupekristala.


Tockine grupe

Tockine grupe su grupe simetrija ciji elementi (simetrije) imaju jednufiksnu tocku (bez smanjenja opcenitosti: ishodiste koordinatnog sustava).Kako translacije za nenul-vektor nemaju fiksnih tocaka, slijedi datranslacije ne mogu biti elementi tockinih grupa.Tockina grupa kristala je definirana s

P = {A ∈ O(3) : ∃b ∈ R3 f (x) = Ax + b ∈ S}.

Formalnije, P je kvocijentna grupa S/T. Kad tockinim grupamapristupamo vise geometrijski, govorimo o kristalnim klasama.

Posljedica kristalografske restrikcije je da postoje ukupno 32 tockine grupekristala.


Tockine grupe

Tockine grupe su grupe simetrija ciji elementi (simetrije) imaju jednufiksnu tocku (bez smanjenja opcenitosti: ishodiste koordinatnog sustava).Kako translacije za nenul-vektor nemaju fiksnih tocaka, slijedi datranslacije ne mogu biti elementi tockinih grupa.Tockina grupa kristala je definirana s

P = {A ∈ O(3) : ∃b ∈ R3 f (x) = Ax + b ∈ S}.

Formalnije, P je kvocijentna grupa S/T. Kad tockinim grupamapristupamo vise geometrijski, govorimo o kristalnim klasama.Posljedica kristalografske restrikcije je da postoje ukupno 32 tockine grupekristala.


Tockine grupe

Teorem

Za danu prostornu grupu S neka su T podgrupa svih translacija u tojgrupi te P pripadna tockina grupa. Neka je nadalje L vektorska resetkaodredena grupom T. Ako je b ∈ L, onda za svaki A ∈ P vrijedi Ab ∈ L tj.elementi tockine grupe fiksiraju kristalnu resetku.

Dokaz nije tezak:

Prvo primijetimo da je T grupa svih translacija za vektoreb = ha+ kb+ l c, gdje su h, k, l ∈ N i {a, b, c} odabrana kristalografskabaza te je L tocno skup svih takvih vektora b.Neka je A ∈ P, dakle i A−1 ∈ P. Znaci da postoji a ∈ T takav da je(A−1|a) ∈ S. Vrijedi:

(A−1|a)−1(I |b)(A−1|a) = (I |Ab) ∈ T.

Stoga je i Ab ∈ L.


Tockine grupe

Teorem


Dokaz nije tezak:Prvo primijetimo da je T grupa svih translacija za vektoreb = ha+ kb+ l c, gdje su h, k, l ∈ N i {a, b, c} odabrana kristalografskabaza te je L tocno skup svih takvih vektora b.

Neka je A ∈ P, dakle i A−1 ∈ P. Znaci da postoji a ∈ T takav da je(A−1|a) ∈ S. Vrijedi:

(A−1|a)−1(I |b)(A−1|a) = (I |Ab) ∈ T.



Tockine grupe

Teorem


Dokaz nije tezak:Prvo primijetimo da je T grupa svih translacija za vektoreb = ha+ kb+ l c, gdje su h, k, l ∈ N i {a, b, c} odabrana kristalografskabaza te je L tocno skup svih takvih vektora b.Neka je A ∈ P, dakle i A−1 ∈ P. Znaci da postoji a ∈ T takav da je(A−1|a) ∈ S. Vrijedi:

(A−1|a)−1(I |b)(A−1|a) = (I |Ab) ∈ T.



Tockine grupe

Razlikujemo tockine grupe prve i druge vrste ovisno o tome jesu li u njimaiskljucivo prave rotacije (elementi s determinantom 1) ili sadrze i neprave(elemente s determinantom −1).Od ukupno 32 tockine grupe kristala, njih 11 je prve vrste, a 21 drugevrste. Dokaz da postoji 11 tockinih grupa prve vrste koristi teorijureprezentacija, kojom se dokazuje da takve grupe mogu imati red koji jedjeljitelj od 24, dakle da mogu biti reda 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ili 24. U teorijigrupa je pokazano koliko (do na izomorfizam) postoji grupa tih redova(ukupno 32), iz kojih se zatim eliminiraju one ciji elementi nezadovoljavaju kristalografsku restrikciju te ih preostane 11.


Tockine grupe prve vrste

Ciklicke grupe

Grupa je ciklicka ako mozemo naci njen element r (generator grupe) takoda sve ostale elemente (ukljucivsi neutralnog) dobijemo kao rn za nekin ∈ N. Ciklicku grupu reda n oznacavamo s Cn (Schonflies-ova notacija)ili jednostavno s n (Hermann-Mauguin-ova notacija). To je grupa simetrijaobjekta X tocno ako taj objekt kao jedini element simetrije ima os reda n;njen generator je tada operator rotacije za kut 2π

n oko te osi. Trivijalnagrupa je grupa C1 tj. 1. Prema kristalografskoj restrikciji, u kristalografijise kao tockine grupe mogu pojaviti samo ciklicke grupe 1, 2, 3, 4 i 6.

Slika: Objekt s grupom simetrija C2.



Dihedralne grupe

Grupa je dihedralna ako mozemo naci dva elementa r i s takva da se svakinjen element moze zapisati u obliku rnsm za neke n,m ∈ N0 i to tako daje rn = s2 = e i rs = srn−1. Njen red je 2n, a oznacava se s Dn

(Schonflies-ova notacija). Mozemo ju shvatiti kao grupu simetrijapravilnog n-terokuta (r je rotacija za 2π

n , a s zrcalna simetrija obzirom naravninu okomitu na n-terokut koja prolazi kroz neku od visina doticnog).Zbog kristalografske restrikcije, kao tockine grupe kristala od dihedralnihmoguce su samo D2, D3, D4 i D6. Njihove Hermann-Mauguinove oznakesu redom 222, 32, 422 i 62. Time smo upoznali 9 od 11 tockinih grupakristala koje su prvog reda.

Slika: Objekt s grupom simetrija D6.



Tetraedarska i oktaedarska grupa rotacija

Preostale dvije tockine grupe prvog reda su tetraedarska grupa rotacija T ioktaedarska grupa rotacija O. Ne radi se o grupama svih simetrijapravilnog tetraedra i oktaedra, jer one sadrze i rotoinverzije, vec o njihovimpodgrupama koje sadrze sve elemente determinante 1 tj. samo onesimetrije tetraedra/oktaedra koje su rotacije. Obje pripadaju kubicnomsustavu.

Grupa T (Hermann-Mauguin-ova oznaka 23) je reda 12. Geometrijski jekarakterizirana sljedecim elementima simetrije: tri medusobno okomitedigire, cetiri medusobno okomite trigire. Grupa T je podgrupa grupe O(Hermann-Mauguin-ova oznaka 432), koja ima 24 elementa i geometrijskije karakterizirana s tri medusobno okomite tetragire, tri medusobnookomite digire i sest digira.



Tetraedarska i oktaedarska grupa rotacija

Preostale dvije tockine grupe prvog reda su tetraedarska grupa rotacija T ioktaedarska grupa rotacija O. Ne radi se o grupama svih simetrijapravilnog tetraedra i oktaedra, jer one sadrze i rotoinverzije, vec o njihovimpodgrupama koje sadrze sve elemente determinante 1 tj. samo onesimetrije tetraedra/oktaedra koje su rotacije. Obje pripadaju kubicnomsustavu.Grupa T (Hermann-Mauguin-ova oznaka 23) je reda 12. Geometrijski jekarakterizirana sljedecim elementima simetrije: tri medusobno okomitedigire, cetiri medusobno okomite trigire. Grupa T je podgrupa grupe O(Hermann-Mauguin-ova oznaka 432), koja ima 24 elementa i geometrijskije karakterizirana s tri medusobno okomite tetragire, tri medusobnookomite digire i sest digira.


Hermann-Mauguin-ova i Schonflies-ova notacija za tockine grupe

Postoje dvije standardne kristalografske notacije za elemente simetrije igrupe simetrija koje smo vec susreli. To su Schonflies-ova notacija (unastavku: S) , nazvana po Arthuru Moritzu Schonflies-u (1853 - 1928), teHermann-Mauguin-ova notacija, poznata i kao internacionalna notacija,a nazvana po Charles Mauguin-u (1878 - 1958) i Carlu Hermann-u (1898 -1961). Zajednicko objema notacijama je da za dani kristal, odnosno grupusimetrija, navode minimalni skup elemenata simetrije iz kojeg je mogucedobiti sve ostale.

Objekti bez netrivijalnih simetrija spadaju u trivijalnu grupu 1 odnosno C1.Centar inverzije u HM se oznacava s 1, a u S s Ci ; iste su oznake za grupusimetrija objekta koja sadrzi samo identitetu i inverziju.Osi simetrije reda n se u HM notaciji oznacavaju se s n, a u S sa Cn.Prema kristalografskoj restrikciju u obzir dolaze osi 2, 3, 4, 6 odnosnoC2,C3,C4,C6. Iste su oznake za grupe u kojima su jedini netrivijalnielementi rotacije tih redova i njihove kompozicije sa samom sobom. Osirotoinverzije reda n se u HM oznacavaju se s n.



Postoje dvije standardne kristalografske notacije za elemente simetrije igrupe simetrija koje smo vec susreli. To su Schonflies-ova notacija (unastavku: S) , nazvana po Arthuru Moritzu Schonflies-u (1853 - 1928), teHermann-Mauguin-ova notacija, poznata i kao internacionalna notacija,a nazvana po Charles Mauguin-u (1878 - 1958) i Carlu Hermann-u (1898 -1961). Zajednicko objema notacijama je da za dani kristal, odnosno grupusimetrija, navode minimalni skup elemenata simetrije iz kojeg je mogucedobiti sve ostale.Objekti bez netrivijalnih simetrija spadaju u trivijalnu grupu 1 odnosno C1.Centar inverzije u HM se oznacava s 1, a u S s Ci ; iste su oznake za grupusimetrija objekta koja sadrzi samo identitetu i inverziju.

Osi simetrije reda n se u HM notaciji oznacavaju se s n, a u S sa Cn.Prema kristalografskoj restrikciju u obzir dolaze osi 2, 3, 4, 6 odnosnoC2,C3,C4,C6. Iste su oznake za grupe u kojima su jedini netrivijalnielementi rotacije tih redova i njihove kompozicije sa samom sobom. Osirotoinverzije reda n se u HM oznacavaju se s n.



Postoje dvije standardne kristalografske notacije za elemente simetrije igrupe simetrija koje smo vec susreli. To su Schonflies-ova notacija (unastavku: S) , nazvana po Arthuru Moritzu Schonflies-u (1853 - 1928), teHermann-Mauguin-ova notacija, poznata i kao internacionalna notacija,a nazvana po Charles Mauguin-u (1878 - 1958) i Carlu Hermann-u (1898 -1961). Zajednicko objema notacijama je da za dani kristal, odnosno grupusimetrija, navode minimalni skup elemenata simetrije iz kojeg je mogucedobiti sve ostale.Objekti bez netrivijalnih simetrija spadaju u trivijalnu grupu 1 odnosno C1.Centar inverzije u HM se oznacava s 1, a u S s Ci ; iste su oznake za grupusimetrija objekta koja sadrzi samo identitetu i inverziju.Osi simetrije reda n se u HM notaciji oznacavaju se s n, a u S sa Cn.Prema kristalografskoj restrikciju u obzir dolaze osi 2, 3, 4, 6 odnosnoC2,C3,C4,C6. Iste su oznake za grupe u kojima su jedini netrivijalnielementi rotacije tih redova i njihove kompozicije sa samom sobom. Osirotoinverzije reda n se u HM oznacavaju se s n.



U HM oznacavanju tockinih grupa se uvijek prvo navodi takozvana glavnaos rotacije ili rotoinverzije, tj. os rotacije ili rotoinverzije najveceg reda.Ukoliko objekt (npr. kristalna resetka) ima vise ekvivalentnih3 osi reda n,onda znak n (odnosno n) oznacava cijeli skup medusobno ekvivalentnih osi.

Primjer

Promotrimo li pravilnu uspravnu sesterostranu prizmu, uocavamo da imajednu heksagiru i sest na nju okomitih digira, stoga ce se prvo istaknutibroj 6 pri notaciji pripadne grupe simetrija.

HM oznaka za zrcalnu ravninu je m (od engl. mirror), a S oznaka je σ(eventualno s indeksom h ili v ako se zeli istaknuti je li okomita na ili paksadrzi glavnu os rotacije). Ukoliko grupa simetrija sadrzi samo identitetu izrcalnu ravninu, HM oznaka za tu grupu je m, a S oznaka je Cs .

3Geometrijski objekti vezani za kristalnu resetku su ekvivalentni ako se jedan izdrugog mogu dobiti translacijom iz T .




Primjer







Primjer






Znak m se nadopisuje ako zrcalna ravnina sadrzi glavnu os rotacije, a pisekao nazivnik ako je okomita na glavnu os.

Primjer

Oznaka 2m predstavlja digiru s na njom okomitom zrcalnom ravninom.

Dakle, HM oznaka za os n s na nju okomitom zrcalnom ravninom je nm , a

odgovarajuca S notacija je Cnh.Uocimo: rotoinverzija oko osi drugog reda je isto sto i zrcaljenje obziromna ravninu okomitu na tu os koja prolazi centrom inverzije; stoga seumjesto 2 u HM pise m. Nadalje, uocimo da je 3

m isto sto i 6: svejedno jeje zarotiramo li tocku oko osi za 120◦ pa zrcalimo obzirom na na tu osokomitu ravninu ili pak zarotiramo za 60◦ (u suprotnom smjeru) painvertiramo obzirom na sjeciste osi s tom ravninom.




Primjer








Primjer



odgovarajuca S notacija je Cnh.

Uocimo: rotoinverzija oko osi drugog reda je isto sto i zrcaljenje obziromna ravninu okomitu na tu os koja prolazi centrom inverzije; stoga seumjesto 2 u HM pise m. Nadalje, uocimo da je 3





Primjer







Tablica tockinih grupa prve vrste

HM S red grupe primjer

1 C1 1 SrH2(C4H4O6)24 H2O

2 C2 2 C12H22O11

3 C3 3 NaIO43 H2O

4 C4 4 Ba(SbO)2(C4H4O6)

222 D2 4 Ba(HCOO)2

6 C6 6 NaK3Al4Si4O16

Slike su s web-stranice http://ruby.chemie.uni-freiburg.de/Vorlesung/symmetrie 0.html.



HM S red grupe primjer

32 D3 6 SiO2

422 D4 8 Cl3CCO2K.Cl3CCO2H

622 D6 12 SiO2

23 T 12 NaClO3

432 O 24 Cu2O


Tockine grupe druge vrste


Documents

Listopad 2008. - PMF - Matematički odsjekbruckler/pdf/kristali-simetrije3.pdf · svaki element ima inverz (inverz iz elementa pravi neutralni element). Takav par skupa i operacije