Linia Mijlocie in Triunghi Si in Trapez321

LINIA MIJLOCIE IN TRIUNGHI SI IN TRAPEZ

Definitie. Prin linie mijlocie ntr-un triunghi ntelegem segmentul care uneste mijloacele

a doua laturi ale triunghiului.

In figura 1, este desenata linia mijlocie rMN s a triunghiului ABC.Observatie. Orice triunghi are trei linii mijlocii. (Vezi figura 2.)

Figura 1 Figura 2

Teorema liniei mijlocii n triunghi. Fiecare linie mijlocie a triunghiului este paralela

cu a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.

Demonstratie. Fie triunghiul ABC si punctele M si N mijloacele laturilor rABs si res-pectiv rACs. Prelungim segmentul rMN s cu rNQs rMN s, ca n figura 3.

Trebuie sa aratam ca MN BC si MN BC2.

Figura 3

Mai intai, 4CNQ 4ANM (L.U.L.), de unde rezulta

QC AM (1)

si

?NCQ ?NAM. (2)Din (1), tinand cont ca AM MB, rezulta

QC MB, (3)

Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie n triunghi si n trapez

1 Profesor Marius Damian, Braila

iar din (2) obtinem QC MB, care conduce la

?QCM ?BMC. (4)

Acum, relatiile (3) si (4) asigura congruenta triunghiurilor QCM si BMC (L.U.L.), ceea ce

implica

?QMC ?BCM (5)si

MQ BC. (6)In final, din (5) rezulta MN BC, iar din (6) avem MQ BC, care, mpreuna cu MN

NQ, conduce la MN BC2

si teorema este demonstrata.

Reciproca I a teoremei liniei mijlocii n triunghi. Daca o dreapta trece prin mijlocul

unei laturi a unui triunghi si este paralela cu o alta latura a triunghiului, atunci acea dreapta

trece si prin mijlocul celei de-a treia laturi.

Demonstratie. Consideram 4ABC si fie M mijlocul laturii rABs. Construim MN BC,N P rACs, ca n figura 4.

Trebuie sa aratam ca N este mijlocul laturii rACs.

Figura 4

Presupunem, prin reducere la absurd, ca N nu este mijlocul laturii rACs. Fie atunci N 1mijlocul laturii rACs.

Deoarece AM MB si AN 1 N 1C, deducem ca rMN 1s este linie mijlocie, de unde, folosindteorema 1, rezulta ca MN 1 BC.

Dar din ipoteza avem si MN BC. Am obtinut astfel o contradictie, deoarece, conformaxiomei paralelelor, prin punctul M se poate construi o singura paralela la dreapta BC.

Presupunerea facuta este falsa. Prin urmare, N este mijlocul laturii rACs.

Reciproca a II-a a teoremei liniei mijlocii n triunghi. Daca n triunghiul ABC

consideram punctele M P rABs si N P rACs astfel ncat MN BC si MN BC2, atunci

rMN s este linie mijlocie a triunghiului ABC.Demonstratie. Prelungim rMN s cu rNQs rMN s, ca n figura 5.Din MN BC

2si MN NQ rezulta

MQ BC (7)

Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie n triunghi si n trapez

2 Profesor Marius Damian, Braila

Figura 5

iar din MN BC deducem?QMC ?BCM. (8)

Relatiile (7) si (8) conduc la 4CMQ 4MCB (L.U.L.), de unde rezulta

QC MB (9)

si

?QCM ?BMC. (10)Din (10) deducem QC AB, deci ?CQN ?AMN.Prin urmare, 4CQN 4AMN (U.L.U.), ceea ce implica

QC AM (11)

si

CN AN. (12)In final, din (9) si (11) rezulta ca AM MB de unde, folosind (12), rezulta ca rMN s este

linie mijlocie a triunghiului ABC.

Definitie. Numim linie mijlocie n trapez segmentul care uneste mijloacele laturilor opuse

neparalele ale trapezului.

In figura 6 este desenat trapezul ABCD cu AB CD si linia mijlocie rMN s.

Figura 6

Observatie. Trapezul are o singura linie mijlocie.

Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie n triunghi si n trapez

3 Profesor Marius Damian, Braila

Teorema liniei mijlocii n trapez. Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele

acestuia si are lungimea egala cu semisuma lungimilor bazelor.

Demonstratie. Fie trapezul ABCD cu AB CD, M si N sunt mijloacele laturilor rADssi respectiv rBCs si fie tEu AN XDC. (Vezi figura 7.)

Figura 7

Din AB CD rezulta ca ?ABN ?ECN (alterne interne). Tinand cont ca BN CN(din ipoteza) si ?ANB ?ENC (opuse la varf), rezulta ca 4ABN 4ECN (U.L.U.).

De aici rezula ca

AB CE (13)si

AN NE. (14)Din (14) si AM MD rezulta ca rMN s este linie mijlocie n 4ADE, deci MN DE si

MN DE2.

In final, MN DC si, folosind (13), MN AB ` CD2

.

Reciproca teoremei liniei mijlocii n trapez. Daca o dreapa trece prin mijlocul uneia

dintre cele doua laturi opuse neparalele ale unui trapez si este paralela cu bazele, atunci acea

dreapta include linia mijlocie a trapezului.

Demonstratie. Fie trapezul ABCD cu AB CD, M mijlocul laturii rADs si MN DC,N P pBCq. E suficient sa aratam ca N este mijlocul laturii rBCs. Presupunem, prin reducerela absurd, ca N nu este mijlocul lui rBCs. Exista atunci N 1 P pBCq astfel ncat BN 1 N 1C.(Vezi figura 8.)

Figura 8

Deducem ca rMN 1s este linia mijlocie a trapezului ABCD deci, conform teoremei linieimijlocii n trapez, MN 1 CD, fals, deoarece prin punctul M nu se poate construi decat osingura paralela la CD. Presupunerea facuta fiind falsa, rezulta ca N este mijlocul lui rBCs,adica rMN s este linie mijlocie n trapezul ABCD.

Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie n triunghi si n trapez

4 Profesor Marius Damian, Braila