Click here to load reader
Upload
elizavoicu
View
257
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
LINIA MIJLOCIE IN TRIUNGHI SI IN TRAPEZ
Definitie. Prin linie mijlocie ıntr-un triunghi ıntelegem segmentul care uneste mijloacele
a doua laturi ale triunghiului.
In figura 1, este desenata linia mijlocie rMN s a triunghiului ABC.
Observatie. Orice triunghi are trei linii mijlocii. (Vezi figura 2.)
Figura 1 Figura 2
Teorema liniei mijlocii ın triunghi. Fiecare linie mijlocie a triunghiului este paralela
cu a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.
Demonstratie. Fie triunghiul ABC si punctele M si N mijloacele laturilor rABs si res-
pectiv rACs. Prelungim segmentul rMN s cu rNQs ” rMN s, ca ın figura 3.
Trebuie sa aratam ca MN ‖ BC si MN “BC
2.
Figura 3
Mai intai, 4CNQ ” 4ANM (L.U.L.), de unde rezulta
QC “ AM (1)
si
?NCQ ” ?NAM. (2)
Din (1), tinand cont ca AM “MB, rezulta
QC “MB, (3)
Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie ın triunghi si ın trapez
´1´ Profesor Marius Damian, Braila
iar din (2) obtinem QC ‖ MB, care conduce la
?QCM ” ?BMC. (4)
Acum, relatiile (3) si (4) asigura congruenta triunghiurilor QCM si BMC (L.U.L.), ceea ce
implica
?QMC ” ?BCM (5)
si
MQ “ BC. (6)
In final, din (5) rezulta MN ‖ BC, iar din (6) avem MQ “ BC, care, ımpreuna cu MN “
NQ, conduce la MN “BC
2si teorema este demonstrata. �
Reciproca I a teoremei liniei mijlocii ın triunghi. Daca o dreapta trece prin mijlocul
unei laturi a unui triunghi si este paralela cu o alta latura a triunghiului, atunci acea dreapta
trece si prin mijlocul celei de-a treia laturi.
Demonstratie. Consideram 4ABC si fie M mijlocul laturii rABs. Construim MN ‖ BC,
N P rACs, ca ın figura 4.
Trebuie sa aratam ca N este mijlocul laturii rACs.
Figura 4
Presupunem, prin reducere la absurd, ca N nu este mijlocul laturii rACs. Fie atunci N 1
mijlocul laturii rACs.
Deoarece AM “MB si AN 1 “ N 1C, deducem ca rMN 1s este linie mijlocie, de unde, folosind
teorema 1, rezulta ca MN 1 ‖ BC.
Dar din ipoteza avem si MN ‖ BC. Am obtinut astfel o contradictie, deoarece, conform
axiomei paralelelor, prin punctul M se poate construi o singura paralela la dreapta BC.
Presupunerea facuta este falsa. Prin urmare, N este mijlocul laturii rACs. �
Reciproca a II-a a teoremei liniei mijlocii ın triunghi. Daca ın triunghiul ABC
consideram punctele M P rABs si N P rACs astfel ıncat MN ‖ BC si MN “BC
2, atunci
rMN s este linie mijlocie a triunghiului ABC.
Demonstratie. Prelungim rMN s cu rNQs ” rMN s, ca ın figura 5.
Din MN “BC
2si MN “ NQ rezulta
MQ “ BC (7)
Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie ın triunghi si ın trapez
´2´ Profesor Marius Damian, Braila
Figura 5
iar din MN ‖ BC deducem
?QMC ” ?BCM. (8)
Relatiile (7) si (8) conduc la 4CMQ ” 4MCB (L.U.L.), de unde rezulta
QC “MB (9)
si
?QCM ” ?BMC. (10)
Din (10) deducem QC ‖ AB, deci ?CQN ” ?AMN.
Prin urmare, 4CQN ” 4AMN (U.L.U.), ceea ce implica
QC “ AM (11)
si
CN “ AN. (12)
In final, din (9) si (11) rezulta ca AM “MB de unde, folosind (12), rezulta ca rMN s este
linie mijlocie a triunghiului ABC. �
Definitie. Numim linie mijlocie ın trapez segmentul care uneste mijloacele laturilor opuse
neparalele ale trapezului.
In figura 6 este desenat trapezul ABCD cu AB ‖ CD si linia mijlocie rMN s.
Figura 6
Observatie. Trapezul are o singura linie mijlocie.
Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie ın triunghi si ın trapez
´3´ Profesor Marius Damian, Braila
Teorema liniei mijlocii ın trapez. Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele
acestuia si are lungimea egala cu semisuma lungimilor bazelor.
Demonstratie. Fie trapezul ABCD cu AB ‖ CD, M si N sunt mijloacele laturilor rADs
si respectiv rBCs si fie tEu “ AN XDC. (Vezi figura 7.)
Figura 7
Din AB ‖ CD rezulta ca ?ABN ” ?ECN (alterne interne). Tinand cont ca BN “ CN
(din ipoteza) si ?ANB ” ?ENC (opuse la varf), rezulta ca 4ABN ” 4ECN (U.L.U.).
De aici rezula ca
AB “ CE (13)
si
AN “ NE. (14)
Din (14) si AM “ MD rezulta ca rMN s este linie mijlocie ın 4ADE, deci MN ‖ DE si
MN “DE
2.
In final, MN ‖ DC si, folosind (13), MN “AB ` CD
2.
Reciproca teoremei liniei mijlocii ın trapez. Daca o dreapa trece prin mijlocul uneia
dintre cele doua laturi opuse neparalele ale unui trapez si este paralela cu bazele, atunci acea
dreapta include linia mijlocie a trapezului.
Demonstratie. Fie trapezul ABCD cu AB ‖ CD, M mijlocul laturii rADs si MN ‖ DC,
N P pBCq. E suficient sa aratam ca N este mijlocul laturii rBCs. Presupunem, prin reducere
la absurd, ca N nu este mijlocul lui rBCs. Exista atunci N 1 P pBCq astfel ıncat BN 1 “ N 1C.
(Vezi figura 8.)
Figura 8
Deducem ca rMN 1s este linia mijlocie a trapezului ABCD deci, conform teoremei liniei
mijlocii ın trapez, MN 1 ‖ CD, fals, deoarece prin punctul M nu se poate construi decat o
singura paralela la CD. Presupunerea facuta fiind falsa, rezulta ca N este mijlocul lui rBCs,
adica rMN s este linie mijlocie ın trapezul ABCD.
Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie ın triunghi si ın trapez
´4´ Profesor Marius Damian, Braila