linearno programiranje

Kvantitativne metode za poslovno odluivanje IV. Linearno programiranjeRudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Bri7. sijenja 2012.Sadraj1 Uvod 22 Problem linearnog programiranja (LP) 22.1 Maksimizacija prota primarni LP problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Minimizacija trokova dualni LP problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Povijesni pregled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Metode za rjeavanje 173.1 Geometrijska metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Simpleks metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Tablini prikaz Simpleks metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Problem cjelobrojnog programiranja 224.1 Neki specijalni problemi cjelobrojnog programiranja . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.1 Problem ranca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Problem asignacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.3 Transportni problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.4 Problem najkraeg puta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.5 Problem maksimalnog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.6 Metoda kritinog puta za planiranje realizacije projekta . . . . . . . . . . 284.1.7 Problem minimalnih trokova toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.8 Problem trgovakog putnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.9 Investicijsko odluivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.10 Problem rasporeivanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.11 Oglaavanje u marketingu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.12 Problem krojenja/rezanja materijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Obvezni predmet u 5. semestru sveuilinog preddiplomskog studijskog programa Poduzetnitvo Eko-nomskog fakulteta u Osijeku (45 sati predavanja i 15 sati vjebi, 5 ECTS bodova)Kvantitativne metode 21 Uvod2 Problem linearnog programiranja (LP)Informacijska osnova proizvodnje:Strojevi (to mogu proizvoditi, koliko vremena im je potrebno za proizvodnju jedne jediniceproizvoda, koliki su im vremenskim kapaciteti);Ludski rad (to mogu proizvoditi, koliko vremena im je potrebno za proizvodnju jednejedinice proizvoda, koliki su im vremenskim kapaciteti);Trite (kakva su trina okranienja za pojedini proizvod koji se namjerava proizvoditi);Trine cijene proizvoda i trine cijene resursa.2.1 Maksimizacija prota primarni LP problemPrimjer 1. (Barkovi, 2010) Dva proizvodaP1, P2 proizvode se na jednom stroju s kapacitetom16uzkoritenjeljudskogradauobimu10i trinimogranienjem3naproizvodP2. Trebaodrediti koliinu proizvodnje (x

1, x

2) proizvoda (P1, P2), uz koju se postie maksimalni protz

kao razliku prodajne cijene i trokova proizvodnje.Inputi Proizvodi Kapaciteti Trine cijeneP1P2resursa (bi) resursa (i)Stroj 2 4 16 10Ljudski rad 2 1 10 5Trite (P2) 0 1 3 5Cijene (j) 50 80Trokovi 30 50Prot (cj) 20 30Tablica 1: Podaci o proizvodnjiTablicu iz koje su vidljive veze izmeu inputa (strojevi, ljudski rad, trite) i outputa (koliineproizvoda) zvat emo matrica tehnologije.Kod matematike formulacije problema koristi se temeljna pretpostavka o linearnostiveza, koja se moe razloiti na dvije pretpostavke:Proporcionalnost. Ako je za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P1 potrebno 2 jedinicevremena, onda je za proizvodnju x1 jedinica proizvoda P1 potrebno 2x1 jedinica vremena;Aditivnost. Ako je za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P1 potrebno utroiti 2 jedinicevremena, a za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P2 potrebno utroiti 4 jedinice vremenaKvantitativne metode 3strojnog rada, onda je za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P1 i jedne jedinice proizvodaP2 potrebno utroiti 6 sati strojnog rada;x1 koliina proizvodnje proizvodaP1x2 koliina proizvodnje proizvodaP22x1 + 4x2 162x1 + x2 10x2 3x1, x2 01 jedinina trina cijena prvog resursa (strojnog rada)2 jedinina trina cijena drugog resursa (ljudskog rada)3 jedinina trina cijena treeg resursa (obrada trita)Jedinini prot zaP1 = 50 (21 + 22) = 50 30 = 20Jedinini prot zaP2 = 80 (41 + 2 + 3) = 80 50 = 30f(x1, x2) = 20x1 + 30x2 max (funkcija cilja)Na Slici 1 prikazan je skup moguih (dopustivih) rjeenja (dopustivo podruje)S = {(x1, x2) R2+: 2x1 + 4x2 16, 2x1 + x2 10,x2 3}Ovako deniran skup S je konveksan i nazivamo ga poliedar. Ako je poliedar ogranien, kao uovom primjeru, nazivamo ga politop.(xi, yi) (0, 0) (5, 0) (4, 2) (2, 3) (0, 3) (3, 2)f(xi, yi) 0 100 140 130 90 120U vrhu (x

1, x

2) = (4, 2) skupaS postie se optimalno dopustivo rjeenje na kome funkcijacilja postie optimalnu vrijednostz

= 140.Openito, pretpostavimo da treba proizvoditi n proizvoda P1, . . . , Pn u koliinama x1, . . . , xnkoritenjemm resursa u koliinamab1, . . . , bm. Pri tome za izradu jedne jedinice proizvodaPjkoristi sei-ti resurs u koliini aij. Dakle, ako su1, . . . , m postojee trine cijene resursa, a1, . . . , n postojee trine cijene proizvoda, treba maksimizirati funkciju ciljaz = f(x1, . . . , xn) =n

j=1cjxj, (2.1)gdje sucj = j m

i=1iaij, j = 1, . . . , n, (2.2)Kvantitativne metode 41 1 2 3 4 5 61123456Slika 1: Grako rjeavanje LP problema iz Primjera 1veliine prota, koji se ostvaruju naj-tom proizvodu, potujui ogranienjan

j=1aijxi bj, j = 1, . . . , m, (2.3)x1, . . . , xn 0. (2.4)Matrini zapis:Za zadani vektor kapaciteta resursab Rm, vektor protac Rni matricu teh-nologijeA Rmn, treba odrediti vektor proizvodnjex

Rn+, tako da na njemufunkcija ciljaz = c, x = cTx postie svoj maksimum uz uvjetAx b, tj.maxxRn+cTx = cTx

, uz uvjet (2.5)Ax b. (2.6)Teorem 1.SkupS = {x Rn+:Ax b} svih dopustivih rjeenja problema linearnog programi-ranja je konveksan.Konveksni skupS = {x Rn+:Ax b} nazivamo skup dopustivih rjeenja (dopustivopodruje), vektor x

Rnoptimalno dopustivo rjeenje, a z

= f(x

) optimalna vrijed-nost funkcije cilja. Konveksni skup S nazivamo poliedar. Ako je poliedar ogranien, zovemoga politop.2.2 Minimizacija trokova dualni LP problemPrimjer 2. Za podatke iz Primjera 1 treba odrediti jedinine cijene resursa (w

1, w

2, w

3), uz kojee se postii minimalni trokovi proizvodnje.Uz poznate trine cijene resursaii trine cijene proizvodai, treba odrediti jedininecijene resursaw1, w2, w3 (dualna varijabla, cijena u sjeni), tako da ukupni trokove prizvodnjeKvantitativne metode 5budu minimalni, tj. treba minimiziratimin(16w1 + 10w2 + 3w3) uz uvjete (2.7)2w1 + 2w2 50 (2.8)4w1 + w2 + w3 80wi i, i = 1, 2, 3. (2.9)Uvoenjem supstitucijeyi := wi i, i = 1, 2, 3. (2.10)problem (2.7) (2.9) svodi se na optimizacijski problemmin(16y1 + 10y2 + 3y3) uz uvjete2y1 +2y2 204y1 + y2 + y3 30y1, y2, y3 0.Naime, vrijedi16y1 + 10y2 + 3y3 = 16w1 + 10w2 + 3w3 (161 + 102 + 33) = 16w1 + 10w2 + 3w3 225,pa je problem optimizacije funkcije zadane sa (2.7) ekvivalentan problemu optimizacije funkcije(y1, y2, y3) 16y1 + 10y2 + 3y3. Takoer sustav ogranienja (2.8)(2.9) ekvivalenta je sustavuograni;enja u varijablama (y1, y2, y3) jer je2y1 + 2y2 = 2w1 + 2w2 (21 + 22) 50 30 = 20,4y1 + y2 + y3 = 4w1 + w2 + w3 (41 + 2 + 3) 80 40 = 30.Optimalno rjeenje je y

= (203 , 103 , 0)T, pri emu je optimalna vrijednost funkcije cilja z

= 140.Openito, neka su1, . . . , m postojee trine cijene resursa, a1, . . . , n postojee trinecijene proizvoda. Ako su w1, . . . , wm jedinine cijene resursa, treba minimizirati ukupne trokoveproizvodnjeminw1,...,wmm

i=1biwiuz uvjete (2.11)m

i=1wiaij j, j = 1, . . . , n, (2.12)wi i, i = 1, . . . , m. (2.13)Uvoenjem supstitucijeyi := wi i, i = 1, . . . , m, (2.14)Kvantitativne metode 6problem (2.11) (2.13) svodi se na optimizacijski problemminy1,...,ymm

i=1biyiuz uvjete (2.15)m

i=1yiaij cj, j = 1, . . . , n, (2.16)y1, . . . , ym 0, (2.17)gdje jecj = j

mi=1 iaij prot koji se ostvaruje naj-tom proizvodu. Naime, kako jem

i=1yiaij =m

i=1wiaij m

i=1iaij,a mi=1 iaijje konstanta, optimizacijski problemi (2.11) i (2.15) su ekvivalentni. Osim togavrijedim

i=1yiaij =m

i=1wiaij m

i=1iaij j m

i=1iaij = cj.Matrini zapis:Za zadani vektor kapaciteta resursab Rm, vektor protac Rni matricu tehno-logijeA Rmn, treba odrediti vektory

Rm+, takav da jeminyRm+bTy = bTy

, uz uvjet (2.18)ATy c. (2.19)Svojstva:(Marti, 1966, 1971; Vanderbei, 2001)Ako je x dopustivo rjeenje primarnog LPproblema (2.5)(2.6), y dopustivo rjeenje du-alnog LPproblema (2.18)(2.19), onda vrijedicT x bT y;Ako je x dopustivo rjeenje primarnog LPproblema (2.5)(2.6), y dopustivo rjeenje dual-nog LPproblema (2.18)(2.19) i ako vrijedi cT x = bT y, onda su x i y optimalno dopustivarjeenja;Akoprimarni i dualni LPproblemimajudopustivarjeenja, tadapostojei optimalnodopustiva rjeenja x

, y

i vrijedi cTx

= bTy

; Ako primarni LPproblem (2.5)(2.6) nemadopustivo rjeenje, onda odgovarajui dualni LPproblem (2.18)(2.19) nema optimalnodopustivo rjeenje i ako dualni LPproblem (2.18)(2.19) nema dopustivo rjeenje, ondaodgovarajui primarni LPproblem (2.5)(2.6) nema optimalno dopustivo rjeenje;Optimalno dopustivo rjeenjex

primarnog LPproblema (2.5)(2.6) postoji onda i samoonda ako postoji optimalno dopustivo rjeenjey

dualnog LPproblema (2.18)(2.19);U tom sluaju vrijedicTx

= bTy

;Kvantitativne metode 7Dualni problem dualnog problema ponovo je primarni problem LP.Zadatak 1.1(Marti, 1971) Graki odredite rjeenje LP-problemamax(2x1 + 5x2) uz uvjetex1 + 4x2 243x1 + x2 21x1 + x2 9x1, x2 0Napiite matrini zapis ovog LPproblema i odgovarajui dualni problem. to je rjeenje dualnogproblema ?Rjeenje primarnog LPproblema: x

= (4, 5)T,z

= 33;Rjeenje dualnog LPproblema: y

= (1, 0, 1)T,z

= 33;2.3 PrimjeriPrimjer 3. (Marti, 1971) Za zadanu matricu tehnologije (Tablica 2) treba odrediti optimalniproizvodni program koji e maksimizirati koritenje kapaciteta strojeva.Inputi Proizvodi KapacitetiP1P2strojevaStrojS110 10 8000StrojS210 30 18000StrojS320 10 14000Ukupno 40 50 40000Tablica 2: Podaci o proizvodnjiPrimarni LPproblem:max (40x1 + 50x2) uz uvjete10x1 + 10x2 800010x1 + 30x2 1800020x1 + 10x2 14000x1, x2 0(xi, yi) (0, 0) (0, 600) (300, 500) (600, 200) (700, 0) (400, 400)f(xi, yi) 0 30000 37000 34000 28000 360001Na web stranici http://www.zweigmedia.com/RealWorld/LPGrapher/lpg.html nalazi se program koji iscr-tava podruje odreeno nejednakostima i rjeava problem linearnog programiranja.Kvantitativne metode 8200 400 600 800200400600800Slika 2: Grako rjeavanje LP problema iz Primjera 3Rjeenje: x

= (300, 500)T,z

= 37000.Dualni LPproblem:min (8000y1 + 18000y2 + 14000y3) uz uvjete10y1 + 10y2 + 20y3 4010y1 + 30y2 + 10y3 50y1, y2, y3 0.Rjeenje: y

= (3.5, 0.5, 0)T,z

= 37000.Znaenje: pogledajmo kakav bi efekt proizvelo poveanje kapaciteta strojaS1 za 1:(8000 + 1)y

1 + 18000y

2 + 14000y

3 = 37000 + y

1 = 37000 + 3.5,Dakle, dualna varijabla y

1 pokazuje za koliko bi se poveala vrijednost funkcije cilja ako bi prvurestrikciju (kapacitet strojaS1) poveali za 1.Za koliko bi se poveala vrijednost funkcije cilja (ukupno koritenje strojeva) ako bi raspoloivikapacitet strojevaS1i S2uveali za 10 %? (Ukupni kapacitet poveao bi se za 800 3.5 +1800 0.5 = 3700)to bi se dogodilo ako bi kapacitet strojaS3 poveali, a kapacitete strojevaS1 i S2 zadrali ?(Nita se ne bi promijenilo jer je trea dualna varijablay

3 = 0)Primjer 4. (Marti, 1971) Promatramo problem maksimalnog koritenja raspoloivog materijalauproizvodnji (primjerice, umesnoj industriji)uzmaksimiranjeutrokamaterijalasukladnomatrici tehnologije prikazanoj u Tablici 3Kvantitativne metode 9Inputi Utroak materijala RaspoloivostP1P2P3materijalaMaterijalM14 8 5 200MaterijalM22 9 7 180Trina ogranienja 80 22 60 380Tablica 3: Podaci o proizvodnjiPrimarni LPproblem:max (4x1 + 8x2 + 5x3 + 2x4 + 9x5 + 7x6) uz uvjete4x1 + 8x2 + 5x3 2002x4 + 9x5 + 7x6 180x1 + x4 80x2 + x5 22x3 + x6 60x1, x2, x3, x4, x5, x6 0Rjeenje primarnog problema: x

= (0, 22, 245 , 0, 0, 1807)T,z

= 380.Formulirajte odgovarajui dualni LP-problem.Rjeenje dualnog problema: y

= (1, 1, 0, 0, 0)T,z

= 380.Primjer 5. (Marti, 1971) Promatramo prethodni problem maksimalnog koritenja raspoloivogmaterijala u proizvodnji (primjerice, u mesnoj industriji) uz maksimiranje prota navedenog uTablici 4.Inputi ProtP1P2P3MaterijalM120 50 30MaterijalM218 70 40Tablica 4: Porot po vrstama materijala i jedinici proizvodaUz ogranienja kao u Primjeru 4 treba maksimizirati sljedeu funkciju ciljamax (20x1 + 50x2 + 30x3 + 18x4 + 70x5 + 40x6)Rjeenje primarnog problema: x

= (0, 1789, 37645 , 80, 209 , 0)T,z

=255169= 2835.11.Formulirajte odgovarajui dualni LP-problem.Kvantitativne metode 10Rjeenje dualnog problema: y

= (6, 689 , 269 , 2, 0)T,z

=255169= 2835.11.Primjer 6. (Marti, 1971) Promatramo problem optimizacije proizvodnog programa jedne tvor-nice cigareta. Proizvodnja se obavlja na 4 stroja s kapacitetima i matricom tehnologije prikazanoju Tablici 5. Trina ogranienja po vrstama cigareta su sledea: P1(2.2),P1(64),P1(98.4),P1(298),P1(34.2)Inputi Vrste cigareta KapacitetiP1P2P3P4P5StrojS19.8 9.6 9.4 9.2 9.1 7368StrojS218.6 18.6 18.6 18.6 18.6 14736StrojS3116.9 53.3 67.8 27.1 29.0 19648StrojS458.5 15.2 15.2 15.2 15.2 6912Prot 240 195 185 180 150Tablica 5: Proizvodnja cigaretaPrimarni LPproblem:max (240x1 + 195x2 + 185x3 + 180x4 + 150x5) uz uvjete9.8x1 + 9.6x2 + 9.4x3 + 9.2x4 + 9.1x5 736818.6x1 + 18.6x2 + 18.6x3 + 18.6x4 + 18.6x5 14736116.9x1 + 53.3x2 + 67.8x3 + 27.1x4 + 29.0x5 1964858.5x1 + 15.2x2 + 15.2x3 + 15.2x4 + 15.2x5 6912x1 2.2x2 64x3 98.4x4 298x5 34.2x1, x2, x3, x4, x5, x6 0Rjeenje primarnog problema: x

= (0, 64, 98.4, 292.337, 0)T,z

= 83304.6.Formulirajte odgovarajui dualni LP-problem.Rjeenje dualnog problema: y

= (0, 0, 0, 11.8421, 0, 15, 5, 0, 0)T,z

= 83304.6.Zbog ega cigareteP5 ne ulaze u optimalni proizvodni program ?Uputa: Matricu tehnologije svedite na 100 jedinica prota za svaku vrstu cigareta (prvi stupacpomnoite sa 100 i podijelite s 240 itd.)ili razmotrite dualni problem.Primjer 7. (Marti, 1971) Promatramo proizvodnju jednog proizvoda koji je sastavljen od dvijekomponente K1, K2 u omjeru 1: 1. Treba odrediti optimalni proizvodni program ovih komponentiKvantitativne metode 11tako da je svakog dana mogue proizvest maksimalni broj gotovih proizvoda. KomponenteK1,K2 proizvode se na tri strojaS1, S2, S3 prema matrici tehnologije navedene u Tablici 6.Inputi Vrste cigareta KapacitetiP1P2P3P4P5StrojS19.8 9.6 9.4 9.2 9.1 7368StrojS218.6 18.6 18.6 18.6 18.6 14736StrojS3116.9 53.3 67.8 27.1 29.0 19648StrojS458.5 15.2 15.2 15.2 15.2 6912Prot 240 195 185 180 150Tablica 6: Proizvodnja komponentiOptimizacija proizvodnje ovisi o produktivnosti svakog stroja. Neka jexi dnevna koliina proizvodnje komponenteKi na strojuS1,i = 1, 2x2+i dnevna koliina proizvodnje komponenteKi na strojuS2,i = 1, 2x4+i dnevna koliina proizvodnje komponenteKi na strojuS3,i = 1, 2Produktivnost strojaS1 prilikom proizvodnje komponentaK1 zadana je s248 , a prilikom pro-izvodnje komponentaK2 s244 . Slino se moe izraunati i produktivnost strojevaS2 iS3. Zatofunkciju cilja deniramo na sljedei nain:248 x1 +244 x2 +244 x3 +246 x4 +81x5 +82x6Primarni LPproblem:max (3x1 + 6x2 + 6x3 + 4x4 + 8x5 + 4x6) uz uvjete8x1 + 4x2 244x3 + 6x4 24x5 + 2x6 8x1 + x3 + x5 x2 x4 x6 = 0x1, x2, x3, x4, x5, x6 0Rjeenje primarnog problema: x

= (0, 6, 65, 165 , 0)T,z

= 120.Rjeenja nisu cjelobrojna, kao to zahtijeva problem. Kako se u ovom sluaju moe deniraticjelobrojni optimalni proizvodnbi program ?Formulirajte odgovarajui dualni LP-problem.Rjeenje dualnog problema: y

= (2, 1, 6, 2)T,z

= 120.Kakva su znaenja dualnih varijabli u ovom sluaju ?Kvantitativne metode 12Zadatak 2. (Marti, 1971) Treba odrediti optimalni proizvodni program u jednoj tvornici mli-jenihproizvoda, gdjeseproizvodi 5vrstamlijenihproizvodana4strojasukladnomatricitehnologije navedene u Tablici 7. Optimizacija se treba provesti prema dva kriterija:(a)Maksimalno koritenje kapaciteta;(b)Maksimizacija prota ako se zna da je prot po jedinici proizvoda redom:100, 10, 60, 80,60, uz trina ogranienja na proizvode redom:120, 60,.5, 5, 2.Inputi Vrste cigareta KapacitetiP1P2P3P4P5StrojS114 18 9 49 9 32000StrojS22 10 1 26 1 35000StrojS315 21 10 40 10 35000StrojS46 0 9 0 18 30000Tablica 7: Proizvodnja mlijenih proizvodaRjeenje primarnog problema:(a) x

= (0, 706.58, 0, 87.3786, 1666.67)T,z


= (1.47249, 0., 1.0712, 0.779755)T,z

= 108004.Kakva su znaenja dualnih varijabli u ovom sluaju ?(b) x

= (120, 60, 0.5, 5, 2)T,z


= (0, 0, 0, 0, 100, 10, 60, 80, 60)T,z

= 13150.Kakva su znaenja dualnih varijabli u ovom sluaju ?Zadatak 3. (Marti, 1971) Na jednom stroju radei 45 sati tjedno, mogu se proizvesti 3 razliitaproizvoda. Prot poproizvodimaP1, P2, P3jeredom: 40, 120, 30. Zajedansat radastrojizradi 50 jedinica proizvodaP1 ili 25 jedinica proizvodaP2 ili 75 jedinica proizvodaP3.Trinaogranienja proizvoda su redom:1000, 500, 1500.Odredite tjedni optimalni proizvodni programkoji e maksimizirati prot.Rjeenje primarnog problema:x

= (250, 500, 1500)T,z


= (2000, 0, 40, 3.333)T,z

= 115000.Kakva su znaenja dualnih varijabli u ovom sluaju ?Kvantitativne metode 13Zadatak4. (Marti, 1971)Unekompoduzeuproizvodesetri proizvodaP1, P2, P3nabazisirovinaS1, S2premanienavedenojmatricitehnologije. Poduzeemjesenotrebaproizvestibarem 3 komada proizvodaP1, barem 5 komada proizvodaP2i barem 4 komada proizvodaP3.Odredite optimalni proizvodni program koji e minimizirati trokove proizvodnje.S1S2KoliinaP11 1 3P21 5 5P32 1 4Cijene 25 20z = min(10x1 + 20x2) uz uvjetex1 + x2 3x1 + 5x2 52x1 + x2 4x1, x2 0Rjeenje primarnog problema:x

= (1, 2)T,z


= (15, 0, 5)T,z

= 65.Kakva su znaenja dualnih varijabli u ovom sluaju ?Primjer 8.(Sierksma, 2002) Neko poduzee proizvodi kutije kratkih i dugih ibica; Prot po kutiji dugih ibica je 3 $100, a po kutiji kratkih ibica 2 $100; Stroj koji se koristi u proizvodnji moe proizvesti 9 100 000 kutija kratkih ili dugih ibica; Po kutiji dugih ibica potrebno je 3m3, a po kutiji kratkih 1m3drva; Poduzee godinje raspolae s 18 100 000m3drva; Trina ogranienja za broj kutija dugih 7 100 000 i kutija kratkih ibice 6 100 000x1 broj kutija dugih ibica u 100 000x2 broj kutija kratkih ibica u 100 000max(3x1 + 2x2) uz uvjetex1 + x2 93x1 + x2 18x1 7x2 6x1, x2 0Rjeenje: z

= 22.5 uzx

1 = x

2 = 4.5.1. Mijenja li se rjeenje ako se uvede dodatno ogranienje da poduzee u sljedeoj godini pougovoru mora proizvesti barem 5 100 000 kutija bilo dugih bilo kratkih ibica ?2. Kako se mijenja rjeenje ako se promijeni funkcija ciljaz = x1 + x2 ?Primjer 9.(Nerali, 2003) Problem proizvodnjeKvantitativne metode 14Inputi Proizvodi KapacitetiP1P2resursa (bi)StrojS12 1 160StrojS24 5 500StrojS30 1 80Prot (cj) 10 25Tablica 8: Podaci o proizvodnjimax(10x1 + 25x2) uz uvjete2x1 + x2 1604x1 + 5x2 500x2 80x1, x2 0Rjeenje: x

1 = 25,x

2 = 80,z

= 2250.Primjedba: Strojevi S2, S3 su u potpunosti iskoristeni, a strojS1 ima slobodni kapacitet od 30sati.Dualni problem:max(160w1 + 500w2 + 80w3) uz uvjete2w1 + 4w2 10w1 + 5w2 + w3 25w1, w2, w3 0Rjeenje: w

1 = 0, w

2 = 2.5, w

3 = 12.5, z

= 2250. (objasniti dualne cijene, cijene u sjeni,oportunitetni troskovi)Zadatak 5.Postavite LP za sljedei problem proizvodnjeInputi Proizvodi KapacitetiP1P2resursa (bi)StrojS13 2 12StrojS25 2 10Prot (cj) 1 0.5Tablica 9: Podaci o proizvodnjiKvantitativne metode 15(a)Geometrijski rijeite ovaj LP.(b)Ako je kapacitet prvog strojab1 = 10 ksan, a kapacitet drugog stroja poraste nab

2 = 20,kako e se promijeniti optimalno rjeenje ?to e se dogoditi ako jeb2> 20 ?(c)Postavite, rijeite i diskutirajte odgovarajui dualni problem.Primjer 10. (Problem prehrane)(Marti, 1966; Nerali, 2003) Treba denirati program prehranegrupeljudi(primjericevojske), takodajelovnikbuderaznolik, dasadrzavadovoljnukolicinupotrebnih hranjivih sastojaka (bjelancevina, masti, vitamina, ugljikohidrata,. . . ), a da izdaci zasirovine budu minimalni;H1, . . . , Hn prehrambeni artikli na tritubj trina cijena prehrambenog artiklaHj;E1, . . . , En hranjivi sastojci;ci minimalni zahtjev za hranjivim sastojkomEi;aij koliina hranjivog sastojkaEi u jednoj jedinici prehrambenog artiklaHj;yj koliina prehrambenog artiklaHj;Hranjivi H1H2. . . HnMinimalnisastojci zahtjeviE1a11a12. . . a1nc1E2a21a22. . . a2nc2. . . . . . . . . . . . . . . . . .Emam1am2. . . amncmCijene: b1b2. . . bnTablica 10: Podaci o prehraniminy1,...,ynn

j=1bjyjuz uvjeten

j=1yjaij ci, i = 1, . . . , m,y1, . . . , yn 0Zadatak 6. Raspolaemo s dva prehrambena artikla: kruh i sir i kontroliramo samo dva hranjivasastojka:kalorije i proteini.Poznato je da 1 lb2kruha sadri oko 1 000 kalorija i 25 g proteina,a 1 lb sira 2 000 kalorija i 100 g proteina. Standardna hrana za 1 dan treba sadravati barem3 000 kalorija i 100 g proteina.(a)Ako je cijena kruha 6 kn, a sira 21 kn po lb, kako bi izgledala optimalna prehrana ?Je lito jedino optimalno rjeenje ?Koliki su minimalni trokovi ishrane ?2lb: funta pola kilogramaKvantitativne metode 16(b)Ako se cijena kruha povea na 10.5 kn, a cijena sira ostane nepromijenjena, koliko se utom sluaju moe sastaviti optimalnih programa prehrane i koji su to programi ?Koliki sutrokovi svakog od tih programa ?(c)Pokaite da problem prehrane ima beskonano mnogo rjeenja ako je cijena kruha 6 kn, asira 24 kn po lb.Koji od tih optimalnih programa sadri najmanje kruha ?(d)Neka jep1 cijena kruha, ap2 cijena sira. Pokaite da optimalni program prehrane sadrisamo kruh ako jep112p2. U kojem intervalu mora biticijena kruhap1, da bi i kruh i sir bili u optimalnom programu ?U kojem odnosu su cijenekruha i sira u sluaju postojanja vie optimalnih rjeenja ?(d)Formulirajte dualni problem i diskutirajte ga. to su u ovom sluaju cijene u sjeni ?Primjer 11. (Problem transporta)(Marti, 1966; Nerali, 2003) Izm ishodita (skladita) nekurobu treba transportirati un odredita (trgovina), tako da ukupni transportni trokovi budu mi-nimalni;a1, . . . , am 0 koliina robu u ishoditimab1, . . . , bn 0 potranja robe po odreditima;cij 0 cijena prevoza jedne jedinice robe iz ishoditaai u odreditebj;xij koliina robe koju se namjerava prevesti iz ishoditaai u odreditebj;I/O b1b2. . . bna1c11c12. . . c1na2c21c22. . . c2n. . . . . . . . . . . . . . .amcm1cm2. . . cmnTablica 11: Podaci o transportuminxijn

j=1m

i=1cijxijuz uvjeten

j=1xij ai, i = 1, . . . , m,m

i=1xij bj, j = 1, . . . , n,xij 0Pokaite da vrijedin

j=1bj m

i=1aiKvantitativne metode 17Zadatak 7.Konstruirajte jedno moguce rjesenje za problem transporta ako je(a)a1 = 10,a2 = 14,b1 = 3,b2 = 8,b3 = 9.(b)a1 = 10,a2 = 14,b1 = 5,b2 = 9,b3 = 10.2.4 Povijesni pregledSmatra se da je potrebne osnove za rjeavanje problema linearnog programiranja dao francu-ski matematiar J. B. J. Fourier 1827. godine u radu o rjeavanju sustava linearnih nejednadbi.Problem linearnog programiranja formulirao je 1939. godine ruski matematiar L. V. Kantorovi,ali je to na Zapadu dugo ostalo nepoznato. Tijekom II. svjetskog rata problem linearnog pro-gramiranja na razne naine koristio se u svrhu ratnih napora.1947. godine G. B. Dantzig je predloio najvaniju metodu za rjeavanje problema linearnogprogramiranja: Symplex Method za potrebe amerikog ratnog zrakoplovstva, a 1951. objavio jetu metodu.1975. godine ruski matematiar L. V. Kantorovi i nizozemski ekonomistom T. C. Koopmandobili suNobelovunagraduzamodel linearnogprogramiranjauteoriji optimalnealokacijeresursa. Dantzigov rad smatrao se previe matematikim, a Nobelova nagrade se ne dodjeljujeza podruje matematike.3 Metode za rjeavanjePrimjer 12.Razmotrimo ponovo Primjer 1. Treba maksimizirati funkciju ciljaf(x1, x2) = 20x1 + 30x2uz uvjete2x1 + 4x2 162x1 + x2 10x2 3x1, x2 0SkupmoguihrjeenjaSuovomsluajujekonveksni poliedar(konveksni politopjerjeogranien) prikazan na Slici 1. On ima 5 vrhova koji se nalaze na presjecima parova 5 pravaca kojigeometrijski predstavljaju rubove poluravnina. Budui da se maksimum funkcije cilja postiena barem jednom vrhu ovog konveksog poliedra, jedna mogunost je provjeriti njenu vrijednostu svim vrhovima. U ovom sluaju to je lako jer je broj vrhova malenVrhovi (0, 0) (0, 3) (2, 3) (4, 2) (5, 0)Funkcija cilja 0 90 130 140 100Dakle najprije bi trebalo rijeiti _52_ = 10 sustava dvije jednadbe s dvije nepoznanice. Nataj nain dobivamo 9 toaka (jedan sustav nema rjeenja). Za svaku toku treba provjeriti svih5 restrikcija, a za one toke koje zadovoljavaju svih 5 restrikcija izraunati vrijednost funkcijecilja.Kvantitativne metode 18Openito LP problem moe imati n varijabli i m restrikcija, Ako je m n, trebalo bi rijeiti_mn_ =m!n!(mn)!,sustava od n jednadbi s n nepoznanica, ime dobivamo toliko ili manje toaka iz Rn. Odmah jejasno da bi to mogao biti vrlo veliki broj. Primjerice za m = 50 i n = 10 taj broj je 10 272 278 170.Zato se ova metoda ozbiljno ne razmatra.3.1 Geometrijska metodaU sluajun = 2 ili eventualnon = 3 konveksni poliedar mogue je nacrtati i uoiti sve nje-gove vrhove. Toku optimalnog rjeenja mogli bi potraiti sljedeim iterativnim postupkom algoritmom.Algoritam 1. (Geometrijska metoda)Korak 1: Odaberemo jedan vrh (poetnu aproksimaciju) A0 i u njemu izraunamo vrijednost funkcije ciljaz0;Korak 2: Za svaki susjedni vrh izraunamo vrijednost funkcije cilja i zadrimo se na onom vrhu u komesmo postigli najveu vrijednost (za n = 2 broj susjednih vrhova je 2, a za n = 3 to ve moe bitipuno vei broj);Korak 3: Ponavljamo Korak 2dok god se vrijednost funkcije cilja poveava.Za podatke iz Primjera 1 tijek iterativnog postupka opisanog u Algoritmu 1 jeIteracija Vrh Funkcija cilja Susjedni vrhovi0 (0, 0) 0 (0, 3), (5, 0)1 (5, 0) 100 (0, 0), (4, 2)2 (4, 2) 140 (5, 0), (2, 3)Na taj nain odreeno je optimalno dopustivo rjeenje (x

1, x

2) = (4, 2), na kome funkcija ciljapostie optimalnu vrijednostz

= 140.Primjedba 1.Neka jez R++. Jednadbomz + 20x1 + 30x2 odreen je pravac, koji zapisan ueksplicitnom obliku glasix2 =z30 23x1.Njegov graf prikazan je na Slici 1b. Zaz = 0 taj pravac prolazi ishoditem, a uzimanjem svevee pozitivne vrijednosti za broj z, graf pravca pomie se prema rubu skupa dopustivih rjeenjaS. Na taj nain takoer moemo odrediti optimalno dopustivo rjeenje.Kroz primjere navesti primjere s odgovarajucim slikama: za sluaj neogranienog dopustivog podruja za sluaj kada je dopustivo podruje prazan skup za sluaj kada se rjesenje postize na strnici poliedraTakodjer nacrtati jedan primjer u trodimenzionalnom podrucjuKvantitativne metode 193.2 Simpleks metodaPrimjer 13.Razmotrimo ponovo Primjer 1, odnosno Primjer 12.Maksimizirati z = 20x1 + 30x2uz uvjete 2x1 + 4x2 162x1 + x2 10x2 3x1, x2 0Ako uvedemo novu varijabus1 = 16 2x1 4x2,onda je prva restrikcija ekvivalentna zapisus1 0. Drugim rijeima varijablas1 lijevu stranunejednakosti dopunjava do jednakosti. Zato varijablus1 nazivamo dopunska varijabla. U ovomprimjeru dopunska varijablas1 ima znaenje neiskoritenog kapaciteta strojnog rada.Ako za svaku restrikciju iz navedenog primjera uvedemo dopunsku varijablu, onda LP pro-blem moemo formulirati na sljedei nain.Maksimizirati z = 20x1 + 30x2(3.1)uz uvjete s1 = 16 2x1 4x2(3.2)s2 = 10 2x1 x2(3.3)s3 = 3 x2(3.4)x1, x2, s1, s2, s3 0Kao kod geometrijske metode dane u Algoritmu 1 krenimo od pocetne aproksimacije: x(0)1= 0,x(0)2= 0 (vrh (0, 0) na Slici 1). Vrijednosti dopunskih varijabli sus(0)1= 16,s(0)2= 10,s(0)3= 3,a vrijednost funkcije ciljaz(0)= 0.Primjedba 2. Zavisne varijable sustava (3.2)(3.4) zovu se bazine varijable, a nezavisne varijabletog sustava zovu se nebazine varijable.Proizvodnju ima smisla pokrenuti s maksimalno dopustivom koliinom proizvoda P2 jer, kaoto se vidi iz funkcije cilja (3.1), on donosi vei prot. Kako zax1 = 0 mora bitis1 = 16 4x2 0 x2 4,s2 = 10 x2 0 x2 10,s3 = 3 x2 0 x2 3,najvea dopustiva koliina proizvodaP2 jex2 = 3 jerx2 3 x2 4 & x2 10.Kvantitativne metode 20Primijetite da je 3 = min{164 , 101 , 31}. Tako dobivamo prvu aproksimacijux(1)1= 0,x(1)2= 3 (vrh(0, 3) na Slici 1). Vrijednosti dopunskih varijabli sada su s(1)1= 4, s(1)2= 7, s(1)3= 0, a vrijednostfunkcije ciljaz(1)= 90.Iz jednakostis3 = 3 x2izrazimox2 = 3 s3 pa sada LP problem (3.1)(3.4) mozemo zapisatiMaksimizirati z = 20x1 + 30(3 s3) = 90 + 20x1 30s3(3.5)uz uvjete s1 = 16 2x1 4(3 s3) = 4 2x1 + 4s3(3.6)s2 = 10 2x1 (3 s3) = 7 2x1 + s3(3.7)x2 = 3 s3(3.8)x1, x2, s1, s2, s3 0Bazine varijable sada sus1, s2, x2, a nebazinex1, s3. Dakle, varijablex2i s3zamijenile sumjesta: x2 je postala bazina, as3 nebazina varijabla.Budui da je u funkciji cilja (3.5) koecijent uz varijablu x1 pozitivan (20), moe se oekivatida e se funkcija cilja (vrijednost proizvodnje) poveati uvoenjem u proizvodnju proizvoda P1.Kako zas3 = 0 mora bitis1 = 4 2x1 0 x1 2,s2 = 7 2x1 0 x1 3.5,x2 = 3 0,najvea dopustiva koliina proizvodaP1 jex1 = 2 jerx1 2 x1 3.5.Primijetite da je 2 = min{42, 72}.Iz jednakostis1 = 4 2x1 + 4s3izrazimox1 = 2 12s1 + 2s3 pa sada LP problem (3.5)(3.8) mozemo zapisatiMaksimizirati z = 90 + 20(2 12s1 + 2s3) 30s3 = 130 10s1 + 10s3(3.9)uz uvjete x1 = 2 12s1 + 2s3(3.10)s2 = 7 2(2 12s1 + 2s3) + s3 = 3 + s1 3s3(3.11)x2 = 3 s3(3.12)x1, x2, s1, s2, s3 0s1jepostalanebazina, ax1bazinavarijabla. (Trebali uopceuovakvompristupupojambazicne i nebazicne varijable ?) Tako dobivamo druguaproksimacijux(2)1= 2, x(2)2= 3 (vrhKvantitativne metode 21(2, 3) na Slici 1). Vrijednosti dopunskih varijabli sada su s(2)1= 0, s(2)2= 3, s(2)3= 0, a vrijednostfunkcije cilja jez(1)= 130.Budui da je u funkciji cilja (3.9) koecijent uz varijablu s3 pozitivan (10), moe se oekivatida e se funkcija cilja (vrijednost proizvodnje) poveati veim angairanjem trinih mogunosti(to veim ispunjenjem tree restrikcije). Kako zas1 = 0 mora bitix1 = 2 + 2s3 0 s3 1,s2 = 3 3s3 0 s3 1,x2 = 3 s3 0 s3 3,najvea dopustiva koliina neangairanja trita jes3 = 1 jers3 1 s3 1 & s3 3.Primijetite da je 1 = min{31, 33}.Iz jednakostis2 = 3 + s1 3s3,izrazimos3 = 1 +13s1 13s2 pa sada LP problem (3.9)(3.12) mozemo zapisatiMaksimizirati z = 130 10s1 + 10(1 +13s1 13s2) = 140 203 s1 103 s2uz uvjete x1 = 2 12s1 + 2(1 +13s1 13s2) = 4 +16s1 23s2s3 = 1 +13s1 13s2x2 = 3 (1 +13s1 13s2) = 2 13s1 +13s2x1, x2, s1, s2, s3 0Takodobivamotreuaproksimaciju x(3)1=4, x(3)2=2(vrh(4, 2)naSlici 1). Vrijednostidopunskih varijabli sada sus(3)1= 0,s(3)2= 1,s(3)3= 0, a vrijednost funkcije cilja jez(1)= 140.3.2.1 Tablini prikaz Simpleks metodex1x2s1s2s3bi2 4 1 0 0 162 1 0 1 0 100 1 0 0 1 320 30 0 0 0 0x(0)=_00_, s(0)=__16103__, z(0)= 0x1x2s1s2s3bi2 0 1 0 4 42 0 0 1 1 70 1 0 0 1 320 0 0 0 30 90x(1)=_03_, s(1)=__470__, z(1)= 90Kvantitativne metode 22x1x2s1s2s3bi1 0 1/2 0 2 20 0 1 1 3 30 1 0 0 1 30 0 10 0 10 130x(2)=_23_, s(2)=__030__, z(2)= 130x1x2s1s2s3bi1 0 1/6 2/3 0 40 0 1/3 1/3 1 10 1 1/3 1/3 0 20 0 20/3 10/3 0 140x(3)=_42_, s(3)=__010__, z(3)= 140Primjedba 3. Primijetite da iz posljednje simpleks tablice mogu oitati i optimalne vrijednostidualnih varijabli (cijene u sjeni): w

1 =203 ,w

2 =103 ,w

3 = 0.4 Problem cjelobrojnog programiranjaPrimjer 14.Razmotrimo sljedei LP problem (Slika 3a:Maksimizirati z = 35x1 + 100x2uz uvjete25x1 + 100x2 343.751375x1 + 100x2 4056.25100x2 325x1, x2 0Njegovo rjeenje postie se zax

= (2.75, 2.75)T, a vrijednost funkcije cilja jez

= 371.25(vidi Sliku 3a).Meutim, ako bi zahtijev bio pronai maksimum iste funkcije cilja, ali uz uvjet da varijablesmiju primiti samo nenegativne cjelobrojne vrijednostix1, x2 Z+, onda se dopustivo podrujesastoji samo od 11 toaka (Slika 3b, a maksimalna vrijednost funkcije cilja postie se u tokix

I = (1, 3)T, pri emu jez

I = 335. Problem pronalaenja optimalne toke s cjelobrojnim koor-dinatama u dopustivom podruju naziva se problem cjelobrojnog programiranja(Barkovi,2010; Vanderbei, 2001; Sierksma, 2002).Odmah bi nam moglo pasti na pamet da potraimo optimalnu toku, kao rjeenje klasinog(realnog) LP problema i onda zaokruivanjem njenih koordinata prema dolje dobijemo cjelo-brojno rjeenje.Zato zaokruivanje prema gore ne bi imalo smisla?Unaembi primjeruzaokruivanjemdobili toku x=(2, 2)Ti vrijednostfunkcijecilja z = 270.Primijetite da je relativna pogreka funkcije cilja kod cjelobrojnog programiranja (|z

z

I|z

),10%, dok je relativna pogreka funkcije cilja kod metode zaokruivanja (|z

z|z

) znatno vea iiznosi oko 30%.Kvantitativne metode 231 2 3 41234a) LP-problem1 2 3 41234b) IP-problemSlika 3: LP i odgovarajui IP problemZbog toga su u literaturi razraene brojne metode za rjeavanje problema cjelobrojnog pro-gramiranja. Najpoznatija takva metoda je metoda grananja i ograivanja (Branch-and-boundMethod) (vidi primjerice (Sierksma, 2002)).4.1 Neki specijalni problemi cjelobrojnog programiranja4.1.1 Problem rancaPrimjer15. (Sierksma, 2002) U kontejner poznatog volumena 15 m3treba smjestiti to vieprimjeraka od 5 objekata poznatog volumena i poznatog prihoda po komadu .Objekt Prihod Volumen1 5 52 3 43 6 74 6 65 2 2Tablica 12: Podaci za problem rancaS xi,i = 1, . . . , 5 oznaimo broj komada pojedinog objekta koji treba staviti u kontejner takoda ukupni prihod bude maksimalan. Odgovarajui ILP (ineger linear programming) problemmoemo zapisatiMaksimizirati z = 5x1 + 3x2 + 6x3 + 6x4 + 2x5uz uvjete5x1 + 4x2 + 7x3 + 6x4 + 2x5 15xi Z+Specijalno, moesepromatrati problemrancakodkojegajexi {0, 1}. Toznai daukontejnerelimostaviti pojedanprimjerakodsamonekihobjekata, takodaukupni prihodKvantitativne metode 24bude maksimalan. U tom sluaju govorimo o 0-1 programiranju.Zadatak 8. Rijeite problem iz prethodnog primjera kao problem cjelobrojnog programiranja ikao problem 0-1 programiranja koritenjem programa dostupnog nahttp: // www. zweigmedia. com/ RealWorld/ LPGrapher/ lpg. html .Zadatak 9.Razmotrite primjer naveden kod (Barkovi, 2010), str.78.4.1.2 Problem asignacijePrimjedba 4.Vrijedi:(a, b R) a b = 0 (a = 0) (b = 0) (a = 0 b = 0) a, b {0, 1},a + b = 1 (a = 1 b = 0) (a = 0 b = 1)a + b 1 (a = 0 b = 0) (a = 0 b = 1) (a = 1 b = 0)n izvoaa radova;m poslova;cij cijena po kojoji-ti izvoa nudi izvoenje poslaj;xij =_1, i-ti posao izvodij-ti ponua,0, i-ti posao ne izvodij-ti ponua21321564523Slika 4: Problem asignacije(a)Trebaodrediti najpovoljnijuponudutakodaobaposla(vidi Sliku4)budupridruenabarem jednom ponuditelju.Minimizirati z = 5x11 + 4x12 + 2x13 + 6x21 + 5x22 + 3x23uz uvjete x11 + x21 = 1x12 + x22 = 1x13 + x23 = 1xij {0, 1}Kvantitativne metode 25Matrini zapis:A =__1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1__ b =__111__z = cT minAx = bc=(5 4 2 6 5 3)Tx = (x11, x12, x13, x21, x22, x23)TRjeenje: x

= (1, 1, 1, 0, 0, 0)T, z

= 11.(b)Trebaodrediti najpovoljnijuponudutakodaobaposla(vidi Sliku4)budupridruenabarem jednom ponuditelju i da svaki ponuditelj dobije barem jedan posao.Prethodnom sustavu restrikcija treba dodatix11 + x12 + x13 1x21 + x22 + x23 1Matrini zapis:A =__1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 11 1 1 0 0 00 0 0 1 1 1__b =__11111__z = cT minAx bc=(5 4 2 6 5 3)Tx = (x11, x12, x13, x21, x22, x23)TRjeenje: x

= (0, 1, 1, 1, 0, 0)T, z

= 12.Zadatak10. Zasluaj (a)i sluaj (b)napiiteodgovarajuedualneprobleme. Primjenomgotovog programa pronaite rjeenja i protumaite njihovo znaenje.Rjeenje: (a)y

= (5, 4, 2)T, z

= 11, (b)y

= (5, 4, 2, 0, 1)T, z

= 124.1.3 Transportni problemn skladita (ishodita);m trgovina (odredita);Ishoditei raspolae saSi robeOdreditej potrauje baremDj robecij trokovi transporta jedne jedinice robe iz ishoditai u odreditej;xij koliina robe koja iz ishoditai odlazi u odreitejKvantitativne metode 2621321(1200)(1000)(1000)(400)(750)Slika 5: Transportni problemMatrini zapis:A =__1 1 1 0 0 00 0 0 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1__b =__120010001000400750__z = cT minAx bc=(35 30 40 37 40 42)Tx = (x11, x12, x13, x21, x22, x23)TRjeenje: x

= (50, 400, 750, 950, 0, 0)T, z

= 78900.Zadatak11. Napiiteodgovarajuidualniproblem. Primjenomgotovogprogramapronaiterjeenje i protumaite znaenja dualnih varijabli.Rjeenje: y

= (2, 0, 37, 32, 42)T, z

= 789004.1.4 Problem najkraeg putam broj vorova;n broj lukova (bridova);cij troak prolaza odi-tog doj-tog vora;xij =_1, ako je luk od vorai do voraj na putu,0, inae123654IshoditeOdredite6564171010 81510Slika 6: Problem najkraeg putaKvantitativne metode 27Za ishodini vor mogu postojati samo izlazi;Za odredini vor mogu postojati samo ulazi;Za svaki unutranji vor vrijedi: ako uemo u njega, moramo ga i napustiti.Minimizirati z = 15x12 + 10x13 + 6x24 + 17x26 + 8x32 + 5x34 + 10x35 + 4x45 + 5x46 + 2x56uz uvjete x12 + x13 = 1 (ishodini vor 1 mora se napustiti)x12 + x32 x24 x26 = 0 (unutranji vor 2 )x13 x32 x34 x35 = 0 (unutranji vor 3 )x24 + x34 x45 x46 = 0 (unutranji vor 4 )x35 + x45 x56 = 0 (unutranji vor 5 )x26 + x46 + x56 = 1 (mora se doi u odrdini vor 6 )xij {0, 1}x : x12x13x24x26x32x34x35x45x46x56x

: 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 z

= 21.123654IshoditeOdredite6564171010 81510Slika 7: Najkrai putZadatak12. Napiiteodgovarajuidualniproblem. Primjenomgotovogprogramapronaiterjeenje i protumaite znaenja dualnih varijabli.4.1.5 Problem maksimalnog tokam broj vorova;n broj lukova (bridova);cij prihod odi-tog doj-tog vora; ako jeci0,j0 = 0, nemo ii od vorai0 prema voruj0;xij =_1, ako je luk od vorai do voraj na putu,0, inaeKvantitativne metode 28123654FF10106481211000205000432Slika 8: Problem maksimalnog tokaMaksimizirati z = F (maksimalni protok)uz uvjete x12 + x13 F = 0 (ishodini vor 1 mora se napustiti)x12 + x32 x23 x24 x26 = 0 (unutranji vor 2 )x13 + x23 + x43 x32 x34 x35 = 0 (unutranji vor 3 )x24 + x34 + x54 x43 x45 x46 = 0 (unutranji vor 4 )x35 + x45 x54 x56 = 0 (unutranji vor 5 )x26 + x46 + x56 F = 0 (mora se doi u vor 6 )x12 10, x13 10, x23 1, x26 8, x24 6, x32 1, x34 4,x35 12, x43 4, x45 2, x46 3, x54 2, x56 5xij {0, 1}123654F

= 16F

= 161063085010 5030Slika 9: Maksimalni tokx : x12x13x23x24x26x32x34x35x43x45x46x53x56x

: 10 6 0 3 8 1 0 5 0 0 3 0 5 F

= 16.4.1.6 Metoda kritinog puta za planiranje realizacije projektaKontrola i evaluacija projektaKako identicirati uska grlaKoliko je neophodno vrijeme za realizaciju projektaKvantitativne metode 29m broj vorova;n broj lukova (aktivnosti u projektu);cij procijenjeno vrijeme trajanja projekta od vorai do vorj;xij =_1, ako je projektna aktivnosti j na kritinom putu,0, inaeNajkrae vrijeme potrebno za realizaciju projekta uzima se kao trajanje najdueg puta.Za podatke iz t.4.1.4 dobivamox : x12x13x24x26x32x34x35x45x46x56x

: 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 z

= 35.123654IshoditeOdredite6564171010 81510Slika 10: Najdui put4.1.7 Problem minimalnih trokova toka12345(20)(5)(15)4, 84, 152, 6, 101, 152, 43, 51, 42, Slika 11: Problem minimalnih trokova toka ovisni o trokovima i kapacitetima lukovaKvantitativne metode 30Minimizirati z = 4x12 + 4x13 + 2x23 + 2x24 + 6x25 + 1x34 + 3x35 + 2x45 + x53uz uvjete x12 + x13 20 (ishodini vor 1 dozvoljava 20)x12 x23 x24 x25 = 0 (unutranji vor 2 )x13 + x23 + x53 x34 x35 = 0 (unutranji vor 3 )x24 + x34 x45 = 5 (vor 4 potrauje 5)x25 + x35 + x45 x53 = 15 (vor 5 potrauje 15)x12 15, x13 8, x24 4, x25 10, x34 15, x35 5, x53 4xij 0Rjeenje:x : x12x13x23x24x25x34x35x45x53x

: 12 8 8 4 0 11 5 10 0 z

= 35.Ovaj problem ukljuuje sve prethodno razmatrane probleme, tj. svaki od prethodno razma-tranih problema moe se promatrati kao specijalan sluaj problema minimalnih trokova toka:problem maksimalnog toka razmatran u t.4.1.5 moe se gledati kao tok koji maksimizirakapacitete u mrei;problem najkraeg puta razmatran u t.4.1.4 moe se gledati kao tok koji minimizira tro-kove u mrei;transportni problem razmatran u t.4.1.3 moe se gledati kao tok koji dozvoljava viestrukaishodita i odredita.4.1.8 Problem trgovakog putnikaTrgovaki putnik polazi iz ishodita (vor0na Slici 12) i mora obii n vorova (gradova), tako dani u jedan ne dolazi vie od jedanput, a da trokovi puta budu minimalni. Na Slici 12 naznaenisu trokovi pojedinih dionica puta. Primijetite da je broj svih moguih ruta jednak broju svihpermutacija redosljeda obilaska gradova. Primjerice, ve za relativno mali broj n = 20, brojsvih moguih obilazaka je ogroman: n! = 2432008176640000 2.4 1018. Slino kao i ranije,oznaimo:cij procijenjeni trokovi putai j;xij =_1, ako je putnik preao putod vorai do voraj,0, inaeKvantitativne metode 310123440403025505045653580Slika 12: Problem trgovakog putnika (0 je poetak i kraj puta)Polazni model:Minimizirati z =n

i=0

j=icijxij(4.1)uz uvjete

j=ixij = 1, za svakii = 0, 1, . . . , n(izi-tog vora putnik moe otii samo u jedan novi vor)

i=jxij = 1, za svakij = 0, 1, . . . , n(uj-ti vor putnik moe doi samo iz jednog vora)xij {0, 1}Prvo prolazno rjeenje pokazuje da se pojavilo kruenje u subputu 0 2 1 0:xij0 1 2 3 40 0 1 0 01 1 0 0 02 0 1 0 03 0 0 0 14 0 0 0 1 z

= 170Zatododajemonovurestrikcijuimedobivamonovorjeenjesmalopoveanomvrijednostifunkcije cilja:x01 + x10 + x12 + x21 + x02 + x20 2,xij0 1 2 3 40 1 0 0 01 1 0 0 02 0 0 1 03 0 0 0 14 0 0 1 0 z

= 175I drugo prolazno rjeenje pokazuje da se opet pojavilo kruenje u novom subputu 010. Zatododajemo novu restrikcijux01 + x10 1,Kvantitativne metode 32i na taj nain dobivamo novo zavrno rjeenje s konanom vrijednosti funkcije cilja:xij0 1 2 3 40 0 0 1 01 1 0 0 02 0 1 0 03 0 0 0 14 0 0 1 0 z

= 195Dakle optimalna ruta je: 0 3 4 2 1 0, pri emu su trokovi putaz

= 195.Primjedba 5. Problem se moe denirati tako da se automatski ispituju i eliminiraju subputovi.Modelu (4.1) treba dodati sljedee restrikcije (vidi (Vanderbei, 2001)):tj ti + 1 (n + 1)(1 xij), i 0, j 1, i = j,t0 = 0,ti {0, 1, . . . , n}.Na taj nain u modelu se pojavljujen2+ n + 1 varijabla.4.1.9 Investicijsko odluivanjeD kapital raspoloiv za investiranje;n broj projekata;dj veliina inesticije u projektj;pj prot od projektaj;xj =_1, poduzee je odluilo investirati u projektj,0, inae

nj=1 djxj ukupna investicija;

nj=1 pjxj ukupni prot;

nj=1 dj> D kapital raspoloiv za investiranje nije dovoljan za pokretanje svih projekata.Primjer16. Unienavedenojtablicividljivesupotrebneinesticijauprojektedj, protipoprojektimapj,a u Tablici 13 rjeenja problema zaD = 200, 300, 400. Pri tome kompariranasu rjeenja koja se dobivaju realnim i cjelobrojnim linearnim programiranjem uz koritenje pro-gramskog sustava Mathematica:Projekt I II III IVdj100 80 120 152pj25 20 30 40Kvantitativne metode 33Primarni ILP:Maksimizirati z =n

j=1pjxjuz uvjeten

j=1djxj D, (veliina ukupne inesticije raspoloivi kapital)xij {0, 1}In[1]:=c={25.,20.,30.,40.};A={{100.,80.,120.,150.},{1.,0,0,0},{0,1.,0,0},{0,0,1.,0},{0,0,0,1.}};b={400.,1.,1.,1.,1.};lp=LinearProgramming[(-c),(-A),(-b),Automatic,Integers];Print["Integer:x*=",lp,", z*=",c.lp]D x1x2x3x4Real 200 0 0 .4167 1 52.5Integer 200 0 1 1 0 50.0Real 300 .3 0 1 1 77.5Integer 300 1 1 1 0 75.0Real 400 1 .375 1 1 102.5Integer 400 1 0 1 1 95.0Tablica 13: Projekti u koje treba investirati4.1.10 Problem rasporeivanjaProblem se moe razmatrati za medicinske sestre, vozae autobusa, kontrolore leta itd. Razmo-trimo problem rasporeda broja medicinskih sestara u bolnici.Zahtjevi RjeenjeRed.br. Perod dana Potrebno sestara Poinje smjenu Pridrueno sestara1 8:00 - 10:00 10 10 102 10:00 - 12:00 8 0 10 (10+0)3 12:00 - 14:00 9 8 18 (10+8)4 14:00 - 16:00 11 2 20 (18+2)5 16:00 - 18:00 13 3 13 (20+3-10)6 18:00 - 20:00 8 0 13 (13-0)7 20:00 - 22:00 5 0 5 (13-8)8 22:00 - 24:00 3 0 3 (5-2)Tablica 14: Potreban broj medicinskih sestara u bolniciSestre imaju 8 satno radno vrijeme organizirano po smjenama koje mogu poeti od 8:00,10:00, 12:00, 14:00, 16:00sati. Nataj nainpokrivasevrijemeod8:00do24:00. UtomKvantitativne metode 34vremenu mogu postojati manji ili vei zahtjevi za brojem sestara koji se oituju potrebom zabrojem sestara u dvosatnim periodima (vidi primjerice Tablicu 14). Treba pokriti radno vrijemetako da budu ispunjeni zahtjevi po periodima, a da pri tome ukupni broj sestara bude minimalan.xi - broj sestara koje poinju rad ui-toj smjeni,i = 1, 2, 3, 4, 5. Primjerice,x1 je broj sestara uprvoj smjeni (8:00-16:00),x2 je broj sestara u drugoj smjeni (10:00-18:00) itd.Primarni ILP:Minimizirati z =8

i=1xiuz uvjete x1 10, (1. period)x1 + x2 8, (2. period)x1 + x2 + x3 9, (3. period)x1 + x2 + x3 + x4 11, (4. period)x2 + x3 + x4 + x5 13, (5. period)x3 + x4 + x5 8, (6. period)x4 + x5 5, (7. period)x5 3, (8. period)xij Z+Rjeenje:x : x1x2x3x4x5x

: 10 5 3 2 3 z

= 23.Na Slici 13 prikazan je broj potrebnih (tamnije) i zaposlenih-pridruenih (svjetlije) sestara poperiodima.10 12 14 16 18 20 22 245101520Slika 13: Broj potrebnih (tamnije) i zaposlenih-pridruenih (svjetlije) sestara po periodima4.1.11 Oglaavanje u marketinguU nekoj zemlji izlazi 5 dnevnih listova (novina): A,B,C,D,E, a svaki pokriva barem jednu od 9dravnih regija (vidi Tablicu 15)Kvantitativne metode 35Dnevni listovi Regije koje pokriva Cijena oglasaA 1, 2, 3 3B 2, 3, 6 4C 4, 5, 6 3D 5, 7, 8 7E 6, 8, 9 5Tablica 15: Pojednostavljeni problem oglaavanjax1 =_1, ako je oglas objavljen u dnevnom listu A,0, ako oglas nije objavljen u dnevnom listu Aitd.Primarni ILP:Minimizirati z = 3x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 + 5x5uz uvjetex1 1, (pokrivenost 1. regije) x2 + x3 + x5 1, (pokrivenost 6. regije)x1 + x2 1, (pokrivenost 2. i 3. regije) x4 1, (pokrivenost 7. regije)x3 1, (pokrivenost 4. regije) x4 + x5 1, (pokrivenost 8. regije)x3 + x4 1, (pokrivenost 5. regije) x5 1, (pokrivenost 9. regije)xi {0, 1}Rjeenje:x : x1x2x3x4x5x

: 1 0 1 1 1 z

= 18.4.1.12 Problem krojenja/rezanja materijalaPromatrat emo jednostavni jednodimenzionalni problem. Skladite dasaka, koje raspolae da-skama duljine 10-ft, primilo je narudbu za 50 dasaka duljine 3-ft, 65 dasaka duljine 4-ft i 40dasaka duljine 5-ft. Problem je odrediti minimalni broj dasaka duljine 10-ft kojima e se pokrititraena narudba.Nain rezanja 3-ft daske 4-ft daske 5-ft daske otpad#1 3 0 0 1#2 2 1 0 0#3 1 0 1 2#4 0 1 1 1#5 0 2 0 2#6 0 0 2 0Tablica 16: Naini rezanja dasaka duljine 10-ftKvantitativne metode 36Najprije primijetimo da se dasaka duljine 10-ft moe rezati na vie naina da bi se dobiletraene duljine dasaka: 3-ft, 4-ft, 5-ft (vidi Tablicu 16).xi = broj dasaka duljine 10-ft rezanih na nain #i,i = 1, 2, 3, 4, 5, 6;Primarni ILP:Minimizirati z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6, uz uvjete3x1 + 2x2 + x3 50, (zahtjev za 3-ft daskama)x2 + x4 + 2x5 65, (zahtjev za 4-ft daskama)x3 + x4 + 2x6 40, (zahtjev za 5-ft daskama)xi Z+Rjeenje:x : x1x2x3x4x5x6x

: 0 25 0 0 20 20 z

= 65.Koliki je ukupni otpad?Primjedba6. Radi lakeg koritenja strune literature, koja je najvie dostupna na engleskomjeziku navedimo neke osnovne termine.slack variable dopunska varijablafeasible region dopustivo podrujeinitial approximation poetna aproksimacijashadow prices cijene u sjeniobjective function funkcija ciljainteger programming cjelobrojno programiranjeknapsack problem problem rancaasignment problem problem asignacije (pridruivanja)transportation problem transportni problemshorthest path problem problem najkraeg putamaximum ow problem problem maksimalnog tokakritical path method metoda kritinog putaminimal cost ow problem problem minimalnih trokova tokatraveling salesman problem problem trgovakog putnikainvesticijsko odluivanje capital budgeting applications (???)scheduling problem problem rasporeivanjaLiteraturaH. Bader, S. Frhlich, Matematika za ekonomiste, original: Einfhrung in die Mathematik frVolks- und Betriebswirte, s njemakog preveo prof. Bogumir Schn, Rad, Beograd, 1980.D. Barkovi, Operacijska istraivanja, drugo izdanje, Sveuilite u Osijeku, Osijek, 2010.M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming. Theory and Algorithms, 3rdEdition, Wiley, New Jersey, 2006.Lj. Marti, Matematike metode za ekonomske analize II, Narodne novine, Zagreb, 1966.Lj. Marti, Primjena matematikih metoda u ekonomskoj analizi, Informator, Zagreb, 1971.Kvantitativne metode 37L. Nerali, Uvod u matematiko programiranje, Element, Zagreb, 2003.K. Sabo, Linearno programiranje (Radni materijal za predavanja), Odjel za matematiku, Sve-uilite u Osijeku, 2011.http://www.mathos.hr/lp/Materijali/predavanje16_lp.pdfR. J. Vanderbei, Linear Programming. Fundations and Extensions, 2rdEdition, Kluwer, 2001.G. Sierksma, Linear and Integer Programming. Theory and Practice, 2rdEdition, Marcel Dekker,New York, 2002.

Documents

linearno programiranje