20

LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

  • Upload
    lemien

  • View
    232

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

�������������� ���������������������������������! "�!�������$#%����������&#%�'�(�)�*� +�����!,���-����� .��!�'�! $���/ �0�����

132�46587:9<;�=?>�7@>BADC+EFAD>4!>�GH5IAKJDC�>�LMJ�EONQPR5IJDST>�C"5IJD9<U�V

W LT9X7@>�ADVK9XJY2�EON?Z[AD9<\�EOL]5

^O_` >�GTJD>�Ca1b>�A�c8dOdOd

e ST>�NfEOghg<E8ij9hLTk09<Vl5�AD>B7m9<>BinEON�;T9hob>�AD>�L@JD9<5IJD9<EOLqp%rsJlVKtmGTG]gh>�C+>�L@JDV�JDST>C"5IJD>�AK9u5FgQiv>U�E87@>�AD>�;1wEFJKSx9hL-yvS]5IGTJD>�ADVz{5FLT;x|REON�JDST>"1wE:EF}~5FLT;x9hL�JDST>$U�g<5FVKVag<>�UBJDtmAD>�V�p�rsJa9hVaLTEFJC�2~9hLMJK>�LMJK9<EOLJDS]5IJ%2@EOt�C+>�C+EFAD9<\�>$5Fg<g�EON�JDST>�;T>�AD9X7F5IJD9X7@>$NfEFADCatTgu5FV%U�EOLMJD5F9<LT>�;-ST>BAD>�9<Lq��1]tmJ�A�5IJDST>BAJDS]5IJ%2@EOtN�5FC+9hg<9u5IAK9<\�>[2@EOtmADV�>�g<N�ij9XJDS�JDST>�C'p��!N�U�EOtmADVK>F�TJDST>6EOLT>�Vj9h;T>�L@JD9h�]>�;'5FV�7@>BAK2�9<C�GbEFAKJ�5FL@J�VKSTEOtTg<;01b>C+>�C�EFAD9<\�>�;qp e ST>"EFJDST>�AKV�U�5FL�JDST>�L~1w>">�5FVK9<gX2�AD>�U�E)7@>BAD>�;�132�JDST>"V�JD>�G]V�9hLT;T9<U�5IJK>�;~9<L�JDST>+JK>B�mJ�prsN�2@EOt�5IAD>�LTEFJ$5FghAK>�5F;m2@��2@EOt�VKSTEOtTg<;�1w>�U�EOC+>'N�5FC+9hg<9<5IAi�9hJDS�JDST>�VK>�V�JD>�G]V+JKE�JDST>'GwEO9hLMJ+i�>�AD>JDST>�2�VK>�>�C EF137:9<EOtTVaJDE�2@EOtqp���ST>�L�2@EOtxS]587@>$AD>�5FU�ST>�;-JDS]5IJ%V�JD5FkO>�2@EOt�ij9hg<g�S]5�7@>0C"5FV�JD>�AD>�;q�A�5IJDST>BA�JDS]5FL�S]587@>�C+>�C+EFAK9<\�>�;q�OJDST>�NfEFADCatTgu5FV�p�r�LEFAD;T>�A�JDElN�5FU�9<g<9XJ�5IJD>vJDS]5IJ�GTADE:U�>�VKV��MJDST>�NfEFAKC%tTg<5FV5IAD>�GTAD>�VK>�L@JD>�;�9<L�U�EOLTU�>�GTJDt]5Fghgh2�AD>�g<5IJD>�;�kFADEOtmG]V�p e ST>0C"5FL@2xV�JKAD9X}m9<LTkRGH5IA�5Fg<gh>�g<V%1w>�JYiv>�>�L�JDST>NfEFADCatTgu5FVjNfEFA[JKAD9hkOEOLTEOC+>�JKAD9hU�5FLT;�S@2:Gb>�AK1wEOgh9<U�NftTLTU�JK9<EOLTV�VKSTEOtTgh;�5FghVKE+GTADE87@>�ST>�ghG]NftTg�p[PR5FV�JD>�AK9<LTkJDST>�V�>�NfEFADCatTgu5FV�i�9<ghg?V�>�AK7@>�2@EOt�9hL0JYivE+i�5�2mV�p���9hAKV�J��b9XJji�9<ghg�C�9<LT9<C�9<\�>!JDST>�LMtTC�1w>�A�EON�NfEFAKC%tTg<5FVJDS]5IJa2@EOt�S]587@>"JDERC+>�C+EFAK9<\�>+LTE8ilp ` >�U�EOLT;q��9hJ�i�9<g<g�1w>�EON�>�LTEFAKC+EOtTV�7F5FghtT>$i�ST>�L�2@EOtxV�JKtT;m29<L@JD>�kFAD5IJD9<EOL�gu5IJD>�A�p

Page 2: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

���� �¡�¢/¡�£¤-¥�¦�§ ¨�©�¦�£�¡�¦�ª�¡�£�«�H���H¬+ �­¯®~­f°)±F��²�³F´<µ�¶T´h¶T·[¸<·[¹H³F·Kº�»R¼O½�¾D¿Tº�½T¼F¾K¸<¼O½�¼OÀ�´<¸hÁ+¸h¾�Â�Ã~º�¿]³8Ä@ºa³F´XÅDº�³F»mÆ'·�º�º�½{¾D¿T¸<·[½T¼F¾K¸<¼O½³IÅD¸h·Kº�¸h½x»T¸XÇwº�ÅKº�½M¾Àf¼FÅDÁ+·�È�¿Tº�½-»Tº�É]½T¸h½TÊ�¾D¿Tº�½M¶TÁa¹bº�Å�Ë'³F½T»xÈ�¿Tº�½�·�¾D¶T»mÆm¸h½TÊ�¾D¿Tº�³F·�ÆmÁÌT¾D¼F¾D¸<µ¹wº�¿]³8Ä:¸<¼FÅ�¼OÀ�Àf¶T½TµB¾D¸<¼O½T·�Àf¼FÅ�´u³IÅDÊOº�Í?Â�ÃοTº�½�»Tº�É]½T¸h½TÊ�µ�¼O½@¾D¸<½M¶T¸h¾YÆ%³F½T»%»T¸hÇbº�ÅDº�½@¾D¸u³I¹]¸h´<¸X¾sÆ@ÏF¾K¿Tº�½T¼F¾K¸<¼O½¾�³IÐ@º�·�¾D¿TºlÀf¼O´<´<¼8È�¸<½TÊ%Àf¼FÅDÁ'Â

Ñ ½Tº�ÉTÅK·�¾�¸<½@¾KÅD¼3»T¶Tµ�º�·�¾D¿Tº�½T¼F¾D¸<¼O½a¼OÀH³!Ò�­¯®~­�°!Ó�Ô�­�Õw°�ÔHÖ�×�±�ØM°�¼OÀHÅKº�³F´m½M¶TÁa¹bº�ÅD·�Â�Ù3Ìbº�µ�¸hÉ]µ�³F´<´hÆ@ϳ�Ìw¼O¸h½M¾�Ú¸h·�·D³F¸<»+¾K¼�¹wº�³�´h¸<Á+¸X¾�Ìb¼O¸<½@¾�¼OÀ(³�·KºB¾�Û�¸hÀw¾D¿Tº�ÅDº[³IÅDºjÌw¼O¸h½M¾K·�¸<½�Û~¼F¾D¿Tº�Å�¾K¿]³F½$Úa¾D¿]³I¾v³IÅDº³IÅK¹]¸X¾KÅ�³IÅD¸h´hÆ"µ�´h¼O·Kºl¾K¼�ÚHÂ�ÜH¼FÅ�ºBÝ]³FÁ�Ì]´hºFÏT¸<À�Þ[ß à�á[à�â�à�ß ¾D¿Tº�½�¾D¿Tºl·�º�¾j¼OÀ?´<¸hÁ+¸h¾vÌb¼O¸<½@¾D·�¼OÀ?¾D¿Tº¸<½@¾Dº�Å�ÄF³F´h·�ã�áåä�â�æçÏ(èéá)ä�â�æBÏ(ã�áåä�âçêëÏT³F½T»ìèéáåä�â�êq¸<·v¾D¿Tº6µ�´h¼O·Kº�»0¸h½M¾Kº�ÅKÄI³F´�èéáåä�â�êíÏ:È�¿T¸<´hº!·Kº�¾�¼OÀ?´h¸<Á+¸X¾�Ìw¼O¸h½M¾D·�¼OÀ¾D¿Tº�¸h½M¾DºBÅKÄF³F´h·!ã�ÞjßÎä�á�æ�³F½T»ìãsÞ[ßÎä�á�êb¸h·!ã�ÞjßÎä�áçêíÏ3³F½T»"¾D¿]³I¾v¼OÀ�ãëâ)äçß�æ�³F½T»�èéâ)äçß�æ�¸h·!èéâ)äçß�æBÂ�î{¼O·�¾·Kº�¾K·�Û~È�ºjÈj¸h´<´Hµ�¼O½T·K¸h»Tº�ÅvÈj¸h´<´]¹wº�³�É]½T¸X¾Dº[¶T½T¸h¼O½�¼OÀq·�¶Tµç¿$¸h½M¾DºBÅKÄF³F´h·�ïm¸h½"·K¶Tµ�¿�³�µ�³F·KºjÆ@¼O¶"·K¿T¼O¶T´h»$¹bº³I¹]´<º!¾D¼¸<»Tº�½@¾D¸<ÀuÆ�¸X¾D·�´h¸<Á+¸X¾vÌw¼O¸h½M¾D·�Â�ð�¿Tº�½T¼F¾D¸h¼O½�¼OÀ�³´<¸hÁ+¸h¾�Ìw¼O¸<½@¾�µ�³F½0¹wº6¶T½T»Tº�ÅD·�¾D¼:¼3»�³F·�Àf¼O´h´<¼8Èj·�Âñ Ìw¼O¸h½M¾�Ú�¸<·!³+´h¸<Á+¸X¾�Ìb¼O¸<½@¾�¼OÀ�³+·Kº�¾6Û�¸<À�¾D¿TºBÅDº�ºBÝT¸h·�¾D·�³+·�º�ò:¶Tº�½Tµ�º%¼OÀ�Ìb¼O¸<½@¾D·�ó�Í?ô�äKÍqõåä�ö�ö�ö�÷a¸<½RÛ¾D¿]³I¾6½Tº�Ä@º�Å6¹wº�µ�¼OÁ+º�·!º�ò3¶]³F´Q¾D¼�Ú0¹]¶m¾6¾K¿]³I¾�³IÌTÌTÅK¼@³Fµç¿Tº�·�Ú�ÂlÜ�¼FÅ!ºçÝ]³FÁ�Ì]´hºFÏ�ø¸h·6³�´h¸<Á+¸X¾[Ìw¼O¸h½M¾6¼OÀ¾D¿Tº�¸<½@¾Dº�ÅKÄI³F´<·jèéùmä�ø�êH³F½T»{èúùmäçûåêT¹wº�µ�³F¶T·Kº�ó@üþýmä�üÿýOýmä�üþýOýOýmä�ö�ö�ös÷[¸<·�³l·Kº�ò:¶Tº�½Tµ�ºj¼OÀbÌw¼O¸h½M¾D·�¸<½%¹w¼F¾D¿�¾K¿T¼O·Kº¸<½@¾Dº�Å�ÄF³F´h·�¾D¿]³I¾�½Tº�Ä@º�Å�¹wº�µ�¼OÁ+º�·�º�ò:¶]³F´q¾D¼�øl¹]¶m¾j¾K¿]³I¾[³IÌTÌTÅD¼@³Fµ�¿Tº�·løOÂ� ºBÝ:¾�ÏmÈvºlµ�¼O½T·K¸<»TºBÅj¾D¿Tºl½T¼F¾D¸<¼O½�¼OÀ?¾D¿Tº�Ò�­¯®~­�°�Ô�Ö�×�Ö���Õ��F°)­�ÔbÕ�×T°×�Ó�Ô�­¯Õq°@Â��!¸hÄ@º�½

� ³Àf¶T½Tµ�¾D¸h¼O½��È�¸h¾K¿0»T¼OÁ"³F¸h½�!¼OÁ�ã��qæBÏ� ³´<¸hÁ+¸h¾vÌb¼O¸<½@¾[Ú"¼OÀ !¼OÁ�ã��qæBÏ� ³%ÅDº�³F´(½M¶TÁ�¹wº�Å[áåÏ

Æ@¼O¶0Áa¶T·�¾�¶T½T»Tº�ÅD·�¾�³F½T»qÏw³I¾�´<º�³F·�¾j¸h½M¾D¶T¸X¾D¸hÄ@º�´hÆ@Ï:È�¿]³I¾j¸h·�Á�º�³F½M¾�¹MÆ

´<¸hÁ����� ��ã¯Íwæ�� á�ü ã�øOÂhø)æ

ð�¿T¸<·v¸<·�ÅDº�³F»���¾D¿Tº[´<¸hÁ+¸h¾�¼OÀ���ã¯Íqæ�³F·�Í'³IÌTÌTÅK¼@³Fµç¿Tº�·jÚ%¸<·vá��TÂ���¼O¶TÊO¿T´hÆ"·�Ìwº�³IÐ:¸<½TÊTÏ3¾K¿T¸<·vÁ+º�³F½T·�¾D¿]³I¾��ã¯Íwæ�µ�³F½�¹bº�Á"³F»Tº6³F·jµ�´<¼O·Kºl³F·�Æ@¼O¶�µ�¿T¼:¼O·Kº6¾D¼+áj¹MÆ0Á+³IÐm¸<½TÊ�Í{·K¶���µ�¸<º�½M¾D´XÆ�µ�´<¼O·Kº6¹]¶m¾j½T¼F¾�º�ò3¶]³F´¾D¼$ÚH ��À�·K¶Tµ�¿ì³+½3¶TÁ�¹wºBÅ�á6ºBÝT¸h·�¾D·�Àf¼FÅ�¾D¿TºaÊO¸XÄ@º�½�Àf¶T½Tµ�¾D¸h¼O½!�~³F½T»{´<¸hÁ+¸h¾�Ìw¼O¸<½@¾!ÚHÏb¾D¿Tº�½{¾D¿Tº�´<¸hÁ+¸h¾¼OÀ"�R³I¾[Ú"¸h·�·D³F¸h»�¾D¼ºBÝT¸h·�¾�ï]¸<À?½T¼F¾�ÏT¾D¿Tº�½0¾K¿Tºl´h¸<Á+¸X¾�¸<·�·D³F¸<»0¾K¼½T¼F¾jºBÝT¸h·�¾�Â

�Y¾�¸h·j¸<ÁÌw¼FÅK¾�³F½@¾�¾D¼�ÅDº�³F´h¸$#�ºl¾D¿]³I¾jÍRÌ]´u³�Æm·�¾D¿Tº�ÅD¼O´hº�¼OÀ�³%��»T¶TÁ+Á�Æ$ÄF³IÅK¸u³I¹]´<º&�+¸<½�ãsøOÂ<ø)æBÂ�ð�¿]³I¾¸<·�¾D¼%·D³�Æ@Ï]È�ºlÁ"³�Æ"ÅDº�Ì]´<³Fµ�º!Í{¸<½~ãsøOÂ<ø)æ�¹3Æ�³F½@Æ�½Tº�È ÄF³IÅK¸u³I¹]´<º�ã�½T¼F¾�Ú�Ï]á)Ï]¼FÅ'�qæ�È�¸h¾D¿T¼O¶m¾�µ�¿]³F½TÊO¸<½TʾD¿TºlÁ+º�³F½T¸<½TÊ%¼OÀ�ã�øOÂhø)æBÂ�ÜH¼FÅjºBÝT³FÁ�Ì]´<ºIÏ�ã�øOÂ<ø)æ�¸<·�º�ò3¶T¸hÄI³F´<º�½@¾�¾K¼¾D¿TºlºBÝmÌTÅDº�·K·K¸<¼O½T·

´h¸<Á()�*� ��ã,+Oæ�� á�ä ´h¸<Á- ��� ��ã/.�æ�� á�ä ´<¸<Á0���� ��ã�1@æ�� á�ü

Ùm³F¸<»0³F½T¼F¾D¿Tº�Å�È�³8Æ@Ï�ãsøOÂ<ø)æ�¸<·j³·�¾�³I¾Kº�Á+º�½@¾�³I¹w¼O¶m¾jÚ�ÏHáåÏ]³F½T»2�{¼O½T´hÆ@Âð�¿Tº0½T¼F¾D¸h¼O½-¼OÀ[´h¸<Á+¸X¾aµ�³F½�¹wº�¶T½T»Tº�ÅD·�¾K¼:¼:»�½M¶TÁ+º�ÅK¸<µ�³F´h´hÆ�³F·�Àf¼O´h´<¼8Èj·�Â3�sÀjÆ@¼O¶�Ì]¸hµ�Ð547698�·�º;:

ò:¶Tº�½Tµ�º+¼OÀ�Ìb¼O¸<½@¾D·ó�Í?ô�äKÍwõåä�ö�ö�öç÷+¸<½<!¼OÁ�ã��qæ[¾D¿]³I¾�³IÌTÌTÅD¼@³Fµ�¿Tº�·�Ú'Èj¿T¸h´<º½Tº�Ä@º�Å�º�ò3¶]³F´<¸h½TÊ'Ú'¾D¿Tº�½¾D¿Tº�µ�¼FÅKÅDº�·�Ìb¼O½T»T¸<½TÊ!·Kº�ò3¶Tº�½Tµ�º�¼OÀmÄI³F´<¶Tº�·�ó=��ã¯Í?ôDæçä���ã¯ÍqõBæBä�ö�ö�ö�÷�³IÌTÌTÅD¼@³Fµ�¿Tº�·�áåÂ�>�¼O¶�µ�³F½�º�ÁÌ]´<¼8Æl¾D¿T¸h·¶T½T»Tº�ÅD·�¾�³F½T»T¸<½TÊ�¾D¼"ºBÝmÌ]´h¼FÅDº�¾D¿Tº�ºBÝm¸<·�¾Dº�½Tµ�ºa¼OÀ�³"´h¸<Á+¸X¾jÈ�¸h¾D¿�Æ@¼O¶mÅ!µ�³F´hµ�¶T´u³I¾D¼FÅ�Â�Ü�¼FÅ!ºBÝT³FÁ�Ì]´<ºIÏ�Æ@¼O¶µ�³F½�¶T·�¶]³F´<´hÆR·Kº�´<º�µ�¾�¼O½Tº�·K¶Tµ�¿~·Kº�ò3¶Tº�½Tµ�º0ó�Í?ô�äKÍwõåä�ö�ö�öç÷¾KÅD¶T½Tµ�³I¾Kº�»�³I¾�³�É]½T¸h¾Dº½3¶TÁ�¹wºBÅ�¼OÀ�Ìb¼O¸<½@¾D·

Page 3: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

?@BADCEGFHFJI$K"LNMDFJOHPBQGQGFHESRTPUADCDIVADWYX7@BZ$[DF&EJ\=]"^`_ba)c�d�]"^/_fe;c;dhghghgNijEGFHFHklLNPnmoFp@7RDRDQGPq@BO�MDIVADWr@nX7@BZ$[DFjs=tu MDF&QNFJI$E'MDPwvxF&XqF&Q*@nm9I$WyRoPBLNFHAqLNIz@BZbv{Fh@7|�ADFHESEGFHE}PUK�LGMDI$E~ESLGQ)@7LGFHWB�Y� A9@BknFHZ��q�oESLSQNI$O&LGZV��E�RTFh@7|�I$ADW�qPU[rESMDPU[DZ$CrO)MDFHON|��;�U�;�����`�h�����`���{EGFH��[DFHADOHF*PUK�RTPUIVA�LGE�LNM9@7L�@7RDRDQNPq@BO)MDFHE���v�MDIVZ$F}ADF&XqF&Q�FH��[9@BZVI$ADW��tx��PU[�Q'A�[Dk�F&QNI$OH@BZbF&X�I$CDFHADOHF OH@BA�LNMDF&QNFHK�PBQGFJmoF�knIVEGZ$Fh@BCDIVADW2^�@BE ESPUknF�PUK��qPU[�ky@h�rCDIVEGOHPwXqF&Q~PUALNMDF*MDPUknF&vxPBQG|Dc;tu MDF~ADPBLNI$PUA�PUK�Z$IVknIVL�Oh@BAYmoF'[DADCDF&QNESLGP�P�C� 7�N¡)¢�£���¤)¡7¥�¥¦��IVAyLNF&QNknExPUKfv�I$ADCDPwv�E§PUAy�qPU[�Q§Oh@BZVOH[�¨Zz@7LGPBQ�@BE�K�PUZ$ZVP�v�EHt�©}I�XqFHA�@BAq�Yª�¨�I$AqLNF&QGX7@BZ�@7mTPU[�L�s'PUK�LNMDF}K�PBQNk¬«­s�®°¯Hd)s�±3¯S²�K�PBQ�EGPUknF'RoPUEGIVLNI�XqF}¯H��qPU[�Oh@BA�³9ADC2@BA´_�¨�I$AqLNF&QGX7@BZ�@7moPU[�L'�yPUK�LNMDF�K�PBQGkµ«­��®%¶wd)�}±·¶�²�K�PBQ EGPUk�F*RTPUESIVLNI�XqF�¶jEG[DO)M�LNM9@7LLNMDFpWBQ)@7R9M!PUK§]%Z$I$F&E*mTF&Z$Pwv¸LGMDFpLNPBR!@BADC°@7mTPwXqFpLNMDFjmTPBLGLGPUk¹PUK�LNMDFpv�I$ADCDPwvºv�I�LNM»_9¨�X7@BZ$[DFHE*I$A«­�x®�¶wd)��±�¶�²9@BADCnªq¨�X7@BZ$[DFHE�I$A�«­sf®�¯Hd)s�±�¯S²�t¼��PU[�OH@BAnFHk�R9ZVP��JLNMDIVE�[DADCDF&QGESL)@BADCDI$ADW�LGP�F;½�R9Z$PBQNF�LNMDFF;½�I$ESLNF&ADOHF�PUK�@´Z$IVknIVL�v�I�LNM¾�qPU[�Q*Oh@BZ$O&[DZz@7LNPBQhtJ¿�PBQ}F;½9@Bk�R9ZVFB�f�qPU[»Oh@BA¾EGFHZVFHO&L @YEGI$ADWUZVFpªq¨ÀIVA�LNF;QGXB@BZ«­sx®%¯Hd)s�±·¯S²�K�PBQ EGPUknF�ESky@BZ$ZfRTPUESIVLNI�XqF�¯H�T@BADC�LNMDF&A�R9Zz@h�´v�IVLNM�LGMDF�_�¨�I$AqLNF&QGX7@BZ�LNPyEGFHF�IVK��qPU[�Oh@BA³9ADCÁ@¾¶2ESky@BZ$Z{F&ADPU[DWUM�LNM9@7LJLNMDFrWBQN@7R9M�PUK']ÁZ$IVFHEJmTFHZVP�vÂLNMDF�LNPBR·@BADC·@7mTPwXqF�LNMDF´moPBLGLNPUkµPUKLNMDF~v�IVADCDP�v5v�IVLGM´_9¨�X7@BZ$[DFHE�I$A°«Ã�*®°¶wd)�'±�¶w²�t u MDF;QNF�IVE�MDPwvxF&XqF&Q�@jm9IVWpRoPBLNFHAqLNIz@BZTvxFH@7|�ADFHEGESFHE PUKLNMDIVE{ESLGQ)@7LGFHWB�J� A9@Bk�FHZV�q�qESLGQGI$O&LNZ���E�RTFh@7|�I$ADW��qPU[yEGMDPU[DZVCYO)MDFHON|nLGM9@7L{LNMDI$E�Oh@BAnmTF CDPUADF'K�PBQ��&�B�;���ª�¨�I$AqLNF&QGX7@BZ�«­s�®%¯Hd)s�±·¯S²�t�Ä�[DO�M�WBQN@7R9MDI$Oh@BZ�F&X�I$CDFHADOHF*Oh@BArLNMDF;QNFHK�PBQNF*EGPUknF&LNIVknFHExmTF*knI$ESZ$Fh@BCDIVADWDtÅ IVÆ�OH[DZVLGI$FHExEG[DO)MY@BE{LNMDPUEGF�CDFHEGO&QNI�mTFHC´@7mTPwXqF'@7QNF~@hXqPUI$CDF&Cnm��ykn@7|�I$ADW}RDQNFHOHIVEGF~CDF&³9ADIVLGI$PUADExPUKmTPBLGMrZ$IVknIVLxRoPUI$AqLNE�PUKbEGF&LGE @BADCrZVI$knI�LNExPUKbK�[DADO;LNI$PUADE�^�ÇUt$Ç�c;t�¿�PBQ�F;½9@Bk�R9ZVFB�9�yI$E�EN@BI$CYLNPJmTF*@pZ$IVknIVLRTPUIVA�L{PUK�@�ESF&L�È�IVKfWUIVXqFHAY@BAq�nCDI$E�L)@BADOHF~¶*�qPU[yOh@BAy³9ADC´@�RTPUIVA�Lx_´I$AYÈ°LNM9@7LxI$E�ADPBL��j�qF&L{v�IVLGMDI$A¶ PUK"�p� I,tÉFBt��qPU[rOH@BAr³9ADC�@jRoPUI$AqL�_2IVA2È�EG[DO)MrLNM9@7L

ÊJËÍÌ _n®%� ÌqË ¶{Î ^�ÇUtÐÏUcu MDFHAÁ^�ÇUtVÇ�c knFh@BADE'LNM9@7L}WUIVXqFHA»@BA��2CDIVESL)@BADOHF�¯}�qPU[Oh@BA¾³9ADC!@YCDIVESL)@BADOHFp¶yK�PBQ*v�MDI$O)M¾�qPU[¾Oh@BAEGMDPwv5LNM9@7L�]"^/_TcxIVE�v�IVLGMDI$A´¯�PUK�s�v�MDFHADF&XqF;Q�_�IVE�IVA Å PUk�^�]fcx@BADC´v�IVLGMDI$A´¶JPUK¼m9[�L�ADPBL�FH��[9@BZTLNP�p� I,tÉFBt"�qPU[rOH@BA�EGMDPwvÑLGM9@7L

Ì ]"^/_fc¼®%s ÌqË ¯ v�MDFHADF&XqF&Q _�Ò Å PUk�^�]fc§@BADC ÊjËÍÌ _y®%� ÌqË ¶{Î ^�ÇUtÉÓqcÔ L*LNMDIVE*E�L)@BWUFpIVA¾�qPU[�Q*ESLN[DC��PUK�OH@BZ$OH[DZV[DE�IVL}IVE*ADPBL*ADFHOHFHESEN@7QG�¾K�PBQ*�qPU[LNPr[DADCDF&QGESL)@BADC!PBQ*F&XqFHAknFHk�PBQNI$ÕHF LGMDFHEGF}knPBQNF'RDQNFHOHIVEGF}CDF&³9ADIVLNIVPUADEHt Ô KzLGF&Q @BZVZ���OH@BZ$OH[DZV[DE�F;½�I$ESLGFHCrK�PBQ�PwXqF&Q @JOHFHAqLN[�QG�´@BADC@ M9@BZ$KfmTF&K�PBQNF'LNMDF'ADFHFHCYK�PBQ�EG[DO)MYRDQNF&OHI$EGF~CDF&³9ADI�LNI$PUADExv§@BExF;X�I$CDF&A�Lht Ô A�I$AqLN[DIVLGIVXqF [DADCDF&QGESL)@BADCDI$ADWPUK�LNMDF�ADPBLGI$PUA�PUK"ZVI$knI�L�v§@BE�MDP�vxF;XqF&Q'OHFHAqLGQ)@BZ¼QNI$WUMqL'KzQNPUkÖLNMDF�ESLN@7QGLht�Ä�I$knIVZz@7QNZ��q���qPU[�kJ[DESL m9[DIVZ$CEG[DO)M´@BAY[DADCDF;QNESL)@BADCDIVADWpLNP WUF&L§E�L)@7QGLNFHC�IVA��qPU[�Q{ESLN[DC���PUK�Oh@BZ$O&[DZ$[DEHt"×ØK¼�qPU[n|qF&F&Rr[�RY�qPU[�QxESLG[DC��q��qPU[´LGP�Ppv�I$ZVZfF&XqFHAqLN[9@BZ$Z��YEGFHF*LGMDF*ADFHF&C�K�PBQ�knPBQGF}RDQNF&OHI$EGF*CDF&³9ADIVLGI$PUADEHtÙ�Ú`ÛoÜ�ÝnÞ�ß�à&á�â,ãbß�ã3ä�â,å°â�æ�çBÚ Ô ADPBLNMDF&Q§ADPBLGI$PUAyI$E�LNM9@7L{PUK¼@�è Þbß�àNçhâ,ã�ß�ã�é,â/å°â`æ è�ê{ë2ê�ì Þ�íBæ�â è Þ ë æë!î�è â/ÞTæ t�©}IVXqF&A

ï @pK�[DADO&LNIVPUA]�v�IVLGMrCDPUky@BIVA Å PUk�^�]fc;�ï @jRTPUIVA�L��nLNM9@7L�I$E�@pZ$IVknIVLxRoPUI$AqL�PUK Å PUk�^�]fcfð»^���d�ñÁc òÀPBQ Å PUk�^�]fcfð»^Ø® ñód)��cSôB�ï @pA�[DkJmoF&Q's��

�qPU[rkJ[DESL�[DADCDF&QNE�L)@BADCf�T@7L�Z$Fh@BE�L�IVA�LN[DI�LNIVXqF&ZV�q��v�M9@7L�IVE�k�Fh@BA�L�QNFHE�RTFHO&LGIVXqFHZ��Ym��Z$IVkõ�ö�÷&ø ]"^`_fc�ù�s�d ú&PBQ Z$IVkõ�ö�÷=û ]"^/_Tc�ù�s&ü Î ^�ÇUt­ý�c

Page 4: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

þÿ��������������� ������������������������ �����! "�#�������� %$&����'��(�&)� +*,�.-/$����&-0�21�1��)3��45��6�879����:<;�=?>@)�A������(B�#1C��2DE������F%������@'�6�����+����2�G*,�.-H$I4����KJCL'M�� �����N46��)��OL���PB3)�AQ45��)R)��O&�O)M:SJ�B?'M�2DE�����T-VUW7��)��X-ZY[7E$\�OAE]^46��!����(B^4!��)��O��)�7_=,`G�XJ/6 a)��2Fb�� C�OA�45�c�S�bA�'�J/<�I:d<eE���#��f a)��f���+���(g36�^ aA���4<���)��*,�.-/$h���� �����'��(�i1/)����3�,7%Fj���!�L���d����'����h)� �*T�2�,7S���k�O���� &�)@<e����#��l��� ���)���Fj���!�L���d����'����h���k����� &�)��)��I<eE���#�6=�ÿ���G��)����)��M)� m�&�O�����3�#�������� 9����6 "�#�������� %$n����'��(�n46���?�����O)LJ/GA��� �<��#�)b)R c�bA�'^!���46������B���o a)�����)qp+�6=&rs tB3)�AZ1���4Dvu2w%xL�#6yRA�6��4!^)� t1C)����3��{z�-k|6}O-/~j}������5�T�O)����{��������^����6 "��$N)� d7����� 9���� )�'Q��*H$n����2�@�21�1��)3��45��6�G7_F����!�K���&4!)��O�6�#1C)��� ��������#6yRA�6��4!L)� kg2����A�6�ozj*,�.-k|O$<}�*,�.-/~!$<}������5��21�1��)3��45��6�o:j=G�S X46)�AE��#�Fi�^1��646���O{ �!�������O��)��Z)� ,����)���<���#�� �6 V����'�����L����=���$�4�����J/�'M�� �&��������#1�����(�@)� d����=��3$�FEJ�AE�+pIop@�����H��)��+ �)��O)T��!��=

>+)�A�������B��#1C��2DE������Ft����'��(��)� G*,�.-/$L����-[�21�1��)3��45��6�^7�<e����#���p@��!�����M��������#�������� ����� ��! "�#�������� Q����'��(��d)� \*,�.-H$d���I-V�21�1��)3��45��6�@7^J/)����<eE���#�+���� Q�2�Oo!yRA�����=X�Z)��S1��646���O6�(B3F%�� k7�����T����'��(�I1/)������+)� kJ/)��O� � )�'���*H$i����7_}��v$d���� � )�'���*H$H�9���N��}57R$n���6�

����'���&� *,�.-/$X��:\}

�� k���� Q)�����B��� ����'�����!�

*,��-H$X��:\} ���� ����'���&�� 

*,��-H$X��:\¡

rs P�O���������3�#�������� ����� ¢��6 "�#�������� 0����'��(��&)� +*,�.-/$L���L-v�21�1��)3��45��6�T79JC)����<e����#��J�AE�T�2�M��)��6ybA����i�O��6�K���o���5�21��Q)� \*Zp+�����H�e�����J��(�N�N£�A�'^1Z��4!�O)��O�@7%=¤%¥"¦H§L¨d©.ª«©a¬�­8®%¯o°L®CªZ±,©.²k³�¬�©.®_²\­{®_¯@´mµ\²k¶�¬�©�®_²\­�¥ �S���'M��Bc46)�'�J�����G�·pI)^ aA���4!�O��)����G*V���� �¸������<J��5����4�������B3=,¹%)��@�e���'^1����F���!�@7_F�:S���� �ºNJC&��A�'{JC!��+�OA�45�Q����2�

����'[*,�.-/$X��:\} ���� ����'�¸H�.-H$,��º\} ����=�»�$

p+��!�&��<���#����'�;{�#�5���� ��+ a)��N)����)�

����'���&� } ����'�����!�

} ����'���&�j 

¡ ����=�¼3$

ÿ���6�KpI����qg3o��� ­�µkª�½,¾\¿j®iÀkµ\¶�¬3½,³_²kÀWÁHµm®%¬�©�ÂE²/¬TÃ�©.ª«©a¬�¿jµ\Ã.ÂR­�§����'ÅÄ·*,�.-/$HÆ�¸i��-H$#Ç+��:XÆ�º\}����'ÅÄ·*,�.-/$R¸H�.-/$#Ç���:Hº\}

����' *,�.-H$¸i��-H$ �

:º 1��)�gR�� �6 Qº�È��ÉP¡

����=��$

Ë ��'��(���)� k'�)��o46)�'^1�����4��2�O6 K������!J��5����4�46)�'�J������2���)����P4����?JC�J�A������+AE1� "�)�'Ì���6�O2=�G��?'��qB������O)Z46)�'�J�������·pI)V aA���4!���)����T*[���� «¸�J�B«46)�'T1/)��O�(���)��H=�Í«M�O�������I �6��)��MJ�B

¸H��*H$t���o aA���4!���)��?p@��)��OSg2����A�o���P����g36��JbBM¸H��*,�.-/$O$t a)��+!g3!�OBc1/)������P-����?���o �)�'M������ �!����6

Page 5: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

ÎÏ�ÐÒÑSÓ�Ô�ÕaÖiÕ�×HØ#Ø�ÙÛÚ�ÜÞÝßÑSÓ�ÔQÕ�×HØ[à�×,Õ.Ü/ØMÝáÑSÓ�Ô�ÕaÖ�Ø�â3ãVä«åcæ�Ó�çéè�å!êTë�Ï/å?ìVè�í�Ô�í(êLî/Ó�í�æ�êTÓ�ïÑoÓ�ÔQÕ�ÖHÕ�×HØOØnì�æ�ðQñ!Ó�æ�òOí�ð�å!ó+ê·çIÓ^òOí(êô�ì2êí�Ó�æ�ò6ãtõ,í(óò#ê�ö�í�ï\÷Gí�ò+ìTæ�ô�Ô�Ï/å!ó@òOô�ñ5øQêø�ì2ê

è�í�Ôù�ú�û ×,Õ.ÜHØXü�÷\ý ì�æ�ð è�í�Ôþ6ú&ÿ

ÖiÕ��EØ,üWÖiÕ�÷6Ø/ý Õ���ã��3Øêø�å6æ?çIå&ø�ì��3åoêOø�å�� ������������� ������������� �!��" #

è�í�Ôù�ú�û

ÖHÕ�×,Õ.Ü/ØOØ\üWÖ%$Gè�í�Ôù�ú&û

×,Õ.Ü/Ø'&�üWÖiÕ�÷6Ø)( Õ���ã�*3Ø+ å6ñ6Ó�æ�ðHö%í�ï

è�í�Ôù�ú&û

×,Õ.ÜHØ,üÞ×,Õ�ëRØ/ý Õ���ã,�.-3Øì�æ�ð9×�í�òGå6í(êø�å!óSí�æ�ñ<óå�ì�òOí�æ0/�Ó�óSð�å!ñ!óå�ì�òOí�æ0/?Ó.�3å!óoì�æZÓ�î/å!æVí�æ�êOå!ó1�2ì�è\ñ6Ó�æ3ê5ì�í�æ�í�æ0/?ë%öCêø�å6æ�çIå{ø�ì��3åêø�å2�43657�687"97:<;=5>�4��5>?@��"A����������� �!��"�#

è�í�Ôþ�úCB4D(ûFE ÖHÕ��EØ,ü è�í�Ô

ù�ú&ûÖiÕ�×,Õ.ÜHØ#ØG( Õ���ã,����Ø

+ ô�ñ5øZìTòOí�Ô^î�è�åGóô�è�å6ò@ð�ÓTæ�Ó�ê</�å6æ�å<ó5ì�è�è(Ðcø�Ó�è�ðQïaÓ�ó+Ó�æ�åIH�ò#í�ð�å6ð�è�í�Ô�í(êò6ãJ7K,L #MN��G�����O�!���IP KRQ ïaô�æ�ñ!êí�Ó�æ�×�í�òdòì�í�ð�êÓ&ÏCåS�� �)�����T�U �!�+ì2êIì&îCÓ�í�æ3ê�ë8í�æ[ÑoÓ�ÔQÕ�×HØfí�ïHå6í�êOø�å!óëMí�òPæ�Ó�êNì8è�í�Ô�í�êIîCÓ�í�æ3ê@Ó�ï�ÑSÓ�Ô�Õ�×HØ�Ó�ó

è�í�Ôù�ú&û

×,Õ.ÜHØ,üÞ×,Õ�ëRØ)( Õ���ã,��V�ØW å!óå�Õ���ãX��V�Øní�ò@ì�ò#òOå!óOêí�æ0/^ê·çIÓTêOø�í�æ0/�ò6à

Y êø�å&è�í�Ô�í(ê�Ó�æ?êø�å�è�å6ï"ê+òOí�ð�å�Ó�ïIÕ���ã,��V�ØdåIZ�í�ò#êòF[Y êø�å&è�í�Ô�í(ê�åF\Rô�ì�è�òN×,Õ�ëRØ<ã] Ó�ô�ò#ø�Ó�ô�è�ð_^Eæ�Óqç�åIZ�ì�Ô^î�è�å!òIÓ�ïhïaô�æ�ñ<êí�Ó�æ�òIêø�ì2ê�ï�ì�í�è_êÓ�Ï/åGñ!Ó�æ�êí�æbô�Ó�ô�ò+ì2ê�ìLî/Ó�í�æ�ê�í�æcí�êòIð�Ó�ÔMì�í�æ

Ï/Ó�êOø�ç+ø�å!óåSêø�åSè�í�Ô�í�ênÓ�æ�êø�åoè�å!ï"ê+Ó�ïnÕ���ã,��V�Øtï�ì�í�è�ò�êOÓ8å`Z�í�ò�ê@ì�æ�ðcç+ø�å!óåSêø�åSè�í�Ô^í�êIåIZEí�ò#êOòdÏ�ôEê+ð�Óbå6òæ�Ó�êGåF\bô�ì�è\×,Õ�ëEØ<ã ] Ó�ô�òOø�Ó�ô�è�ðQÏCå{ì2Ï�è�å&êÓTêå6è�èiÏ�Ð�è�ÓbÓa^Eí�æ0/^ì2ê@êø�åN/�óì2î�ø�Ó�ïXì�ïaô�æ�ñ!êí�Ó�æ�ç+ø�å!óå�í(êí�òPñ6Ó�æ3êí�æ�ô�Ó�ô�ò6ã

b ê{ïaÓ�è�è�Ó�ç+ò{ï"óÓ�Ô êø�åcòOô�ÔKöXî�óOÓRð�ô�ñ!êTì�æ�ðc\Rô�Ó�êí�å6æ�ê{è�í�Ô�í(êLóô�è�å6ò?Õ���ãed�ØoêOø�ì2ê{í�ï+×vì�æ�ð�Ö«ì2óåïaô�æ�ñ!êí�Ó�æ�òLêø�ì2ê{ì2óåTÏ/Ó�êø«ñ6Ó�æ3êí�æbô�Ó�ô�ò8ì2êLêø�åTî/Ó�í�æ3ê{ëZêø�å6æ«êø�å�ïaô�æ�ñ!êOí�Ó�æ�òT×gf[Ö�ì�æ�ð0×+ÖVç+í�è�èÏ/å8ñ6Ó�æ3êí�æ�ô�Ó�ô�òLì2êSêø�å�îCÓ�í�æ3êLë%ömì�òGç+í�è�èkêø�å8ïaô�æ�ñ!êí�Ó�æ«×Gh�ÖKî�óÓ.�Eí�ð�å6ðVÖHÕ�ëRØjiük-EãlZÓ�óå6Ó.�3å!ó�öiêø�åñ6Ó�Ô^îCÓ�òOí�êOí�Ó�æ^è�í�Ô�í(ê,óô�è�å�Õ���ãm*3Ø,òOø�Óqç@ònêOø�ì2êní�ïh×�ñ6Ó�æ3êí�æ�ô�Ó�ô�ò�ì2êfêø�å@î/Ó�í�æ�êdëLç@ø�í�è�åPÖ8í�òdñ6Ó�æ3êí�æ�ô�Ó�ô�òì2êPêø�åoîCÓ�í�æ3êG×,Õ�ëEØnêø�å6æKêOø�å&ñ6Ó�Ô^îCÓ�òOí�êOí�Ó�æMÖiÕ�×HØní�ò+ñ!Ó�æ�êí�æbô�Ó�ô�òNì2ê+êø�åSî/Ó�í�æ�ê@ë_ã

Q ïaô�æ�ñ!êOí�Ó�æ«êø�ì2êLí�òLñ6Ó�æ3êí�æ�ô�Ó�ô�ò{ì2ê�ån�3å<óOÐ�îCÓ�í�æ3êLí�æ�ì�æ«í�æ�êOå!ó1�2ì�èní�ò&òì�í�ð�êÓ?Ï/åMñ6Ó�æ3êí�æ�ô�Ó�ô�òÓ.�3å!óSêø�ì2êSí�æ3êå!ó1�2ì�è�ãpo@Ó�ô0/�ø�è(ÐZò#î/å�ì4^Rí�æ0/�ö/ç+ø�å6æ�ðEóìqç+í�æ0/cêø�åC/�ó5ì2î�ø�Ó�ïfòOô�ñ5ø�ìcïaô�æ�ñ!êí�Ó�æ�׫Ó.�3å!óòOô�ñ5ø�ì�æcí�æ3êå!ó1�2ì�è�öbÓ�æ�åNæ�å6å6ðcæ�Ó�êIè�í�ï"êdêø�å+î/å6æcÓ�ónîCå6æ�ñ6í�è/ï"óÓ�Ô êOø�å@î%ì2î/å!ó6ã%q�ø�í�òdí�ònÏ/å!ñ�ì�ô�òOå8Õ���ã,��V�Øò#ê5ì2êOå6òIêø�ì2ê+ì�ò�êOø�åSîCå6æKÔ^Ó��3å6ò�ì�è�Ó�æ0/�êø�åp/�óì2î�ø�Õ.Ümý�×,Õ.Ü/ØOØtí(êIç@í�è�èHì2î�î�óÓ3ì�ñ5ø�êø�åGî/Ó�í�æ3ê&Õ�ë_ý�×,Õ�ëEØOØì�ònÜ�êå6æ�ð�òdêÓ{ë%ãrqPø�åS/�óì2î�øMÓ�ïk×cç@í�è�è%ñ6Ó�æ�òOåF\bô�å6æ�êOè�ÐMø�ì��3åNæ�Ó�Ï�óå�ì4^Rò6ö.s�ô�Ô^î�ò!öEÓ�óIø�Ó�è�å!òdÓ��3å<óIêø�åí�æ3êå!ó'��ì�è�ã

Q ïaô�æ�ñ!êí�Ó�æ�êOø�ì2ê&í�ò�ñ6Ó�æ3êí�æbô�Ó�ô�ò�ì2ê�ån�3å!ó#ÐVîCÓ�í�æ3ê&í�æ�í�êOò�ð�Ó�ÔMì�í�æ9í�ò&òì�í�ð9êÓ�Ï/åTñ6Ó�æ�êOí�æ�ô�Ó�ô�ò6ãt �3å<óOÐ�å6è�å6Ô^å6æ�êì2óOÐcïaô�æ�ñ!êí�Ó�æQí�ò+ñ6Ó�æ�êOí�æ�ô�Ó�ô�ò6ã

Page 6: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

uv)wpxzy9{O|.}~{��~�k��|F�������_���A�|nyp�|.���

v w��7�������%��� ���G�����>�@�������I�>w����,���F�� a�¢¡¤£�¥0�0¦n§¨�,©��cª6«T§¨¬0�~­1®X©a¯ �~©�£%§¨¬0�z­1�F¦� a��§N®,�X�0�z§1¬=°¨©�¥0±�¬� a��¡§³²´©z¯ ©��X��§¨­Nµ�¶�·`ª@µ¸¶�¹1¹% a�0º»µ¸¼�·`ª@µ¸¼F¹'¹R©����½§¨­¾±a°¨ 4¯>¬9�X­�±��,���F��¿�¡ª@µ¸¼F¹6Àcª@µ¸¶�¹¼ÁÀ»¶  µÄÃ�Å,Æ�¹

Ç ¬0�X­CÈ�¥> a��§¨�,§³¡»�,­j¦F a®X®X�nºÉ �Ê!���%��� ���!Ë��ÍÌGÎ6Ï>�������G��ÅAг§j�X­Cº0�nÑ>�0�FºÉ©����n°z a®,®Á¯)©��X��§¨­j¶� a�0ºÒ¼��X�Ó ©�Ô9µÄªG¹Á£�©a°¾²¾¬0�X¦Õ¬A¼CÖ× ¶7Årг§¾�X­¾¥0�0º0�nÑ>�0�Fº9²¾¬0�F�ؼ × ¶�ÅÙ £�¥0�0¦n§¨�X©��Aª��X­�­¨ a�,º�§¨©C¿)�Ê6���R�����=�)�����7�!���z 4§< C¯)©��,�¢§Ú¶_�X� Ó ©�ÔAµÄªG¹%²¾¬0�F�0�n���n°

®X�XÔÛ³Ü2ݪ@µ¸¼n¹6À»ª@µ¸¶�¹¼ÁÀ�¶ �IÞ0�,­'§¨­O· µÄÃ�ÅmÃ�¹

Ç ¬0�X­<²¾�X®X®T¿)�§¨¬0�N¦F a­1�²Ú¬0�n�0�n���n°2 �¥0�0�XÈ�¥0�§¨ a�0±��F�¢§�®,�X�0�§¨©_§¨¬0�N±a°¨ 4¯>¬¤ 4§Cµ¸¶�·`ª@µ¸¶�¹1¹´�IÞ0�,­'§¨­S a�0º�X­��0©a§����n°1§¨�,¦� a®¸«0�,��²Ú¬0�,¦Õ¬9¦� a­1�ߧ¨¬0�2à���Ï7áR�ØÏ7âÚ��ã6���.�7�6ä7�=�)�z�����6�_�,­Ú±��,���n�å¿¢¡ª 渵¸¶�¹ × ®,�XÔÛ³ÜpÝ

ª@µ¸¼n¹6À»ª@µ¸¶=¹¼ÁÀ�¶ · µÄÃ�Å�ç�¹²¾¬0�n°¨�n¿¢¡å§1¬0�2�FÈ�¥> 4§¨�X©��å©�£U§¨¬0�ߧՠa�0±��F��§Ú®,�X�0�ß�X­Ú±��½���F�å¿¢¡

è × ª@µ¸¶=¹)éͪ æ µ¸¶�¹Fµ�ê�À»¶�¹  µÄÃ�Åìë¢¹í ¡_°¨�n¯>®X a¦F�X�0±_¼<¿¢¡å¶�é�î��X��µ¸Ã�Åmç�¹I«=§¨¬0�p­1®X©a¯ �p©�£U§¨¬0�X­ï§Õ a�0±��F��§Ú®,�X�0�pÔ_ .¡~¿)�2�`Þ=¯0°¨�F­'­1�FºØ a­

ª æĵ¸¶=¹ × ®,�XÔð Ü2ñª@µ¸¶<é�î>¹!Àcª@µ¸¶�¹î  µÄÃ�Åmò�¹

г§N­1¬0©�¥0®,º»¿ ���n���Xº0�F��§N§¨©�¡�©�¥�§¨¬> 4§gµÄÃ�Åeò�¹��X­¦F©�Ôz¯>®X�n§¨�n®,¡¤�FÈ�¥0�½�a a®,�F�¢§2§¨©»µÄÃ�Å�ç�¹IÅ�ó��,­1¥> a®X®½¡�«U�,£´§¨¬0�±a°Õ 4¯>¬C©�£� �£�¥0�0¦I§¨�X©��~ª� 4§¾µ¸¶�·`ª@µ�¶=¹1¹G�F�,§1¬0�n°�¬> a­@�0©p¥0�0�,È�¥0�Á§Õ a�0±��F��§�®X�,�0�´©a°r¬> a­r S���I°1§¨�X¦F a®�§Õ a�0±��F��§®X�,�0�N§¨¬0�F��ª��X­ß�0©a§ßº0�,ô �n°¨�F��§¨�õ 4¿>®,�~ 4§�§¨¬0�C¯)©��,�¢§p¶7Å Ù £�¥0�0¦I§¨�X©��ö§1¬> 4§p�,­�º0�,ô)�I°¨�F��§¨�õ 4¿>®,�~ 4§ß�n���n°'¡¯)©��,�¢§p�X�¤ a�ö�,�¢§1�n°1�4 a®��,­�­¨ a�Xº�§¨©å¿ �zº0�½ô)�n°¨�n�¢§¨�X 4¿>®X�j©����I°p§¨¬> 4§ß�,�¢§¨�I°1�a a®�Å÷Á©�¥�­1¬0©�¥0®Xº¤¿)�z 4¿>®X�N§¨©§¨�F®,®U¿¢¡9®,©�©aø=�,�0±_ 4§<§¨¬0�N±a°¨ 4¯>¬A©�£R �£�¥0�0¦I§¨�X©��A²¾¬0�n°¨�C�,§Ú�X­Sº0�,ô �n°¨�F��§¨�X 4¿>®X�aÅ�ùï a�9¡�©�¥A­1�F�N§¨¬> 4§Ú§¨¬0�£�¥0�0¦n§¨�,©��0­~ú ê�ú¢ a�0º�êUûýü¨þp 4°¨�ß�0©a§<º0�½ô)�n°1�F�¢§1�õ 4¿>®X�2 4§¾ÿz£�©a°<º0�½ô)�n°1�F�¢§¾°¨�� a­1©��0­��г§N�,­�� a­'¡�§¨©A­1�F�z§¨¬> 4§N�X£�ªc�X­º0�½ô)�n°¨�n�¢§¨�X 4¿>®X�g 4§p§¨¬0�~¯)©��,�¢§N¶Ø§¨¬0�n�c�½§�,­¦F©���§¨�X�¢¥0©�¥0­C 4§C¶�ÅÐý�0º0�F�FºG«7£�©a°<�n���I°1¡å¼��,� Ó ©�ÔAµÄªG¹Á­1¥0¦Õ¬9§¨¬> 4§Ú¼NÖ× ¶_©��0�2¬> a­ï§¨¬0�2�,º0�F�¢§1�,§³¡

ª@µ�¼F¹ × ª@µ¸¶�¹Gé ª@µ¸¼n¹6À»ª@µ¸¶�¹¼ÁÀ�¶ µ�¼ÁÀ»¶=¹  µÄÃ�Å���¹Ðý£6²´�ß®X�n§Ú¼� 4¯0¯0°¨©� a¦Õ¬A¶_�X��µÄÃ�Å���¹%§¨¬0�F�å¿)�F¦� a¥0­'�Cª��,­¾º0�½ô)�n°¨�n�¢§¨�X 4¿>®X�2 4§<¶_©��0�ß­1�F�F­Ú§1¬> 4§

®X�,Ô� Ü2Ý ª@µ�ê)¹ × ®,�XÔÛ³ÜpÝ ª@µ¸¼F¹ × ª@µ¸¶�¹Gé ®X�,ÔÛ³Ü2ݪ@µ¸¼F¹6Àcª@µ¸¶�¹¼ÁÀ»¶ � ®X�XÔÛ³Ü2Ý µ¸¼ÁÀ�¶�¹

× ª@µ¸¶�¹Gé ª æ µ¸¶�¹ � ÿ × ª@µ�¶=¹)·

Page 7: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

����� ������������������������ �������"!#�%$'&%()��*������+,�� -�-�.�������/�0�- -���/&213��4��5�5476,����� ��.!# -�*89���������������0��:!#�0!# ���5���,�������������;��+,�� <�=���� ��>�,���;4��@?A�� -�5���-�B!#�:C������D���� ��/&E()��F�������<�- ������-�����G��8.�-���HI�KJ:!/L�M:C��5�N����A�K�,����4>����O�-�5�/MP�O��8A������Q�5���R ��-�#&%ST���>�-�����C�4F��D�*�K+,�� Q�A�O!#�:C��U���NV���+,�U�WJ:!/L�M:C��5�T��8789�������-���������:!#�U!# ��N����������� ��������:�R�O���/�4���?A�K ��5�,���B!#�:C��;!#�U�<��L>�XMP�����,�Y&QZ*�/��[�KJ:!/L�M:C��5�)V���+,�5�E!#��-��N�5��4��8\�-��NCB!/�]�M'!# H!/V/ �!#M:^!# ��_�5�����-�����������O!#�U`R&(2�a���5�<���82�,���R ����4��� ��<��!/��4�����V�6'�5�����-��4��K O����X89���������������b�c!/��4edeV��@+,�5�[����0fhgAi%jlk ` 89�/ g[jm`gb�<���nf]oDpqgAi �/�-��� -����-�%r dsftg7i0jlk ` 89�/ )g[jm`g7uA�5���Df]oDpqgAi �/�-��� -����-�%vw !/�[�,���^�-���_��:!#�oDiE�x!/��4[de!# ��X��+,�5�'yz iE�{���-�5��C�CB!#�����)�P���|�*�5�5�E�-��NC������5�)}�j~gx!/��4E}aj��)g{���Y!# U�5�� ���y� iFde���-����C�C�!#���5�*�A�K�3�Q�5�5�^����XM'!# H!#�A��C�!/�)}�j~gAu_!/��4[}aj��.gAuX���Y!# U�5�� ���y� iE�{:!/�O!/�E��/ -���5���,�H!/Cn!/�<�RL�M����/������82}aj�oDy� iFd��P�5:!�+,���UC��@�,�Xg u 89�/ OCB!# -V��X+#!/C����5�)��8U� g���y� iE�x!/��4[de!# ��X�5���,�������������b!#�)gej�`,y� iE�{���)���/�U4��@?A�� ���������!#�:C��N!#�g[jm`,y� iFde���4��@?A�� ���������!#�:C��N!#�gejm`��U�@��ed=��f�`,i%jm`,y�x�b�U� 1 �X�a� ST���R e�Y!/C�����CB!#���/ eLF!Y�����/�e4���!IV��=� 4G�]�/����8_�-��������V��-��x�P�5:!�+=���/ e��8_�-��5�-�89���������������O���Y!# �5�� ���& P¡t P¢X£[¤=¥q¦t§R¨�©D¦h§'¤Rª/¡ ()��O4��K ���+#!#����+,���8s!N89�������������e�26 �����HF����4���«:���54e!#�Q�K+,�� -��MP�����,�Tg����� ���¬���U4���?A�K ��5�,���B!#�:C��/6A�������;89�������������{�����-�­+#!/C����;!#�Ug¬���U����;�-C��/MA�­��80����N��!/��V��5����C������N�-�>����V/ H!#M:^��8��c!#�.g\&�®b�5�����/6'���¯f z & � iT����X4��� ��@+/!#���@+,�_��8��c!#�)g{���)V���+,�5�e� �� � fhgAi"j °° g �0fhgAi0±²C���L³#´Nµ �0fhg�¶¸·�i��¹�0fhg7i· v f z & � i(.��N�-�5������4^4��� ��@+/!#���@+,�_��80�{�������X4��� ��@+/!#���@+,�_��82�����.4��� ��@+/!#�-��+,�/&%1|�U���4���«:����4^� �� �º� fhgAi%j ° u° g u �0fhgAi%± °° g[» °° g �0fhgAi<¼cv f z & � i13�½!��<��L>��CB!# *�.!Y������N¾7¿ ³ 4��K ���+#!#����+,�X��8%�½���4���«:���54^����2ÀÂÁ,ÃHfhgAi%j ° Á° g Á �0ftg7i%± °° gE» ° Á=Ä\Å° g Á=Ä2Å �0fhgAi ¼ v f z &�Æ,i138%�½:!/�O!/C�C7�@���)4��� ���+#!#���@+,�5�U!#�U!aMP�����,�O$'6:������)��!/��4e�����P�_���R«:�������5C@�e4���?A�K ��5�,���B!#�:C��­!#�U$Ç&138P����.+#!# ��B!#�:C��};���T!X89����������������8P����.+/!# -�B!#�:C��.g>��������*����C�CR�-��L>�K����L>���"4������/�������.«� ��<�56�-�5������476P!/��4^¾7¿ ³ 4��K ���+#!#����+,�����8n������89�������������[� �° }° g r ° u }° g u r !/��4 ° Á }° g Á v f z &�o�`,i

Page 8: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

È É.Ê�Ë�Ì�Ë_Í#Ì�Ë�ÎFÍ/Ï�Ð>Ñ/Ò�Ê�Ë�Ì)Ó5Ñ�Î>Î>Ñ�Ï�Ô@Ð�Õ�Ö<Ë5×EÏ�Ñ/ÒHÍ#Ò-Ø�Ñ�Ï�Ö.Ù9Ñ/Ì)×�Ë�Ì�Ø�Ú#Í#Ò�Ø@Ú,Ë5Ö5ÛÜtÝTÑ�ÕeÎ>Í�ÐFËKÚ,Ë5Ï[Ê:ÍYÚ,ËXÖ-Ë5Ë5ÏÍNÙ9Ë�Þ~Ñ/Ò�Ê�Ë�Ì-Ö*Í/Ô�Ì�Ë5Í/×RÐ,Ûàß�á=Õ�ÓHÊ[ÍXÚ/Í#Ì�Ø�Ë�Ò|Ð�Ø�ÖQÏ�Ñ/ÒTÒ-Ñ=Ñ­Ö-ÕRÌ<â�Ì�Ø�Ö-Ø�Ï�ã;Ñ�Ï�Ó5ËUÐ,Ñ�Õ�Ì-ËYÍ/Ô�Ø�ä5ËUÒ�Ê:Í#ÒT×�Ë�Ì�Ø�Ú#Í#Ò�Ø@Ú,Ë5ÖÍ#Ì�Ë_Í/Î>Ñ�Ï�ã�Ò�Ê�ËNÎ>Ñ�Ö]ÒÕ�Ö<Ë5Ù9Õ�Ô2Ñ/åRæ]Ë5Ó�Ò-ÖUØ�ÏEÍ/Ô�Ô7Ñ�Ù�Î>Í#Ò�Ê�Ë5ÎFÍ#Ò�Ø�Ó5Ö5ÛÝTÑ�Õ{Ö-Ê�Ñ�Õ�Ô�×{åAË�Í#å:Ô�Ë­Ò�Ñ�×�Ë�Ò�Ë�Ì�Î�Ø�Ï�Ë;Ø�Ï�Ù9Ñ/Ì-ÎFÍ#Ò�Ø�Ñ�Ï{Í#åPÑ�ÕRÒbÒ�Ê�Ë;ã/ÌHÍ#â:ÊxÑ�Ù"Í�Ù9Õ�Ï�ÓKÒ�Ø�Ñ�ÏxÙBÌ�Ñ�ÎçØ@Ò�Ö×�Ë�Ì�Ø@Ú/Í#Ò-Ø�Ú,Ë5Ö5ÛNèÇÑ/ÌXËKé�Í/Î�â:Ô�Ë/ê7Ô�Ë�ÒNëGåPË�Ó�Ñ�Ï�Ò�Ø�Ï Õ�Ñ�Õ�Ö_ÑDÚ,ËKÌNÍ/ÏcØ�Ï,Ò�Ë�Ì-Ú#Í/Ô0ì'êsÞÊ�Ë�Ì�Ëaì^Ø�ÖXË�Ø�Ò�Ê�Ë�Ì>Ü�í'îHï5ßKêð í'îHï5ßKê7Ü�íÇîHïHñsÑ/Ì ð íÇîHïWñsÙ9Ñ/ÌUÖ-Ñ�Î>Ë_í>ò¸ïqÛQÉ.Ê�Ë5Ï^Ø�Ù%ëxØ�Ö×�Ø@óAË�Ì-Ë5Ï�Ò-ØBÍ#å:Ô�ËNÑDÚ,Ë�Ì­Ü�í'îHï5ßKêRÐ,Ñ�Õ[ÓYÍ/ÏEÌ�ËYÍ/×EÑ/óÒ�Ê�Ë_Ù9Ñ�Ô�Ô�Ñ�ÞØ�Ï�ãaØ�Ï�Ù9Ñ/Ì�ÎFÍ#Ò-Ø�Ñ�Ï[Í#åAÑ�ÕRÒ)Ò�Ê�ËNã/ÌHÍ#â:Ê[Ñ�Ù%ë½ÙBÌ�Ñ�βØ@Ò�Ö.ô�Ì�Ö<ÒO×�ËKÌ�Ø�Ú#Í#Ò�Ø�Ú,Ë#õö Ø�Ù%ëP÷7øúùaÑDÚ,Ë�Ì­Ü�í'îHï5ßTÒ�Ê�Ë5Ï{ë½Ø�Ö)Ø�Ï�ÓKÌ�ËYÍ/Ö-Ø�Ï�ã>ÑDÚ,ËKÌOì'ûö Ø�Ù%ë ÷ òúùaÑDÚ,Ë�Ì­Ü�í'îHï5ßTÒ�Ê�Ë5Ï{ë½Ø�Ö)×�Ë5Ó�Ì-ËYÍ/Ö-Ø�Ï�ãFÑ�Ú,Ë�ÌìÇûö Ø�Ù%ë ÷'ü ùaÑDÚ,Ë�Ì­Ü�í'îHï5ßTÒ�Ê�Ë5Ï{ë½Ø�Ö)Ó5Ñ�Ï�Ö<Ò�Í/Ï�ÒUÑDÚ,Ë�ÌUìÇÛ

ý Ñ/Ì�Ë5Ñ�Ú,Ë�ÌYê�Ø�Ù2ë^Ø�ÖQÒ3ÞØ�Ó�Ëb×�Ø�óAËKÌ�Ë5Ï,Ò�ØBÍ#å:Ô�ËXÑ�Ú,Ë�Ì_Ü�í'îHï5ßKê,Ð,Ñ�Õ�ÓYÍ/Ï�Ì�ËYÍ/×�Ñ/ó^Ò�Ê�Ë�Ù9Ñ�Ô�Ô�ÑDÞØ�Ï�ã;Ø�Ï�Ù9Ñ/Ì�ÎFÍ#Ò�Ø�Ñ�ÏÍ#åAÑ�ÕRÒ)Ò�Ê�Ë_ã/ÌHÍ#â:ÊEÑ�Ù%ë½ÙBÌ�Ñ�ÎþØ�Ò�Ö)Ö-Ë5Ó�Ñ�Ï�×^×�Ë�Ì�Ø@Ú/Í#Ò�Ø@Ú,Ë/õö Ø�Ù%ëP÷º÷søúù�Ñ�Ú,Ë�Ì;ÜÿíÇîHï5ßTÒ�Ê�Ë�Ï{ë{Ø�ÖÓ�Ñ�Ï�ÓYÍ�Ú,ËNÕRâ^Ñ�Ú,Ë�ÌOì'ûö Ø�Ù%ë ÷º÷ òúù�Ñ�Ú,Ë�Ì;ÜÿíÇîHï5ßTÒ�Ê�Ë�Ï{ë{Ø�ÖÓ�Ñ�Ï�ÓYÍ�Ú,ËN×�ÑDÞÏEÑ�Ú,Ë�ÌOì'ûö Ø�Ù%ë ÷º÷Çü ù�Ñ�Ú,Ë�Ì;ÜÿíÇîHï5ßTÒ�Ê�Ë�Ï{ë{Ø�ÖÔ�Ø�Ï�ËYÍ#ÌÑ�Ú,Ë�ÌOì'Û

�Ø@Ú,Ë5Ï{Ò�Ê�Ë�ã/ÌHÍ#â:ÊcÑ�Ù�Í�Ù9Õ�Ï�Ó�Ò�Ø�Ñ�ÏxÐ,Ñ�Õ{Ö-Ê�Ñ�Õ�Ô�׬Í/Ô�Ö-ÑFåAË�Í#å:Ô�Ë;Ò�ÑFÌ�Ñ�Õ�ã�Ê�Ô@нÖ

�Ë�Ò-ÓWÊxÒ�Ê�Ë�ã/ÌHÍ#â:ÊxÑ�Ù�Ø@Ò�Öô�Ì�Ö<ÒÒ|Þ*Ñ�×�Ë�Ì-Ø�Ú#Í#Ò�Ø�Ú,Ë5Ö.å'Í/Ö-Ë5×EÑ�ÏEÒ�Ê�Ë5Ö-Ë_ÙtÍ/Ó�Ò�Ö5Û

���������� ����������� ��� ���������� �"!#���$��%&�� ���%'�(�)�+*Ê�Ë5ÏaÍbÙ9Õ�Ï�Ó�Ò�Ø�Ñ�Ï�ë�Ø�Ö�×�Ë�ô:Ï�Ë5×�ÑDÚ,Ë�Ì0Í/ÏaØ�Ï�Ò-Ë�Ì-Ú#Í/Ô ð í'îHïWñÞØ�Ò�ÊEíeò¸ïqê�Ò�Ê�Ë�ÏEÒ�Ê�ËN×�Ø@óAË�Ì-Ë5Ï�Ó5Ë

,Õ�Ñ/Ò-Ø�Ë5Ï,Ò;Ü

-Û.ßQÓYÍ/Ï^åAË_Õ�Ï�×�Ë�Ì�Ö<Ò-Ñ=Ñ=×^Í/ÖÒ�Ê�ËNÍ�Ú,Ë�Ì�Í/ã�ËNÓHÊ:Í/Ï�ã�Ë­Ñ�Ùë0Ü

/ß"ÞØ�Ò�Ê>Ì�Ë�Ö<âAË5ÓKÒ)Ò-Ñ

/Ñ�Ú,Ë�Ì ð í'îHïWñ�Û0É)Ê�Ë�ÏeÞÊ�Ë5Ï�Ë�Ú,Ë�Ì)Ø@Ò*ËKé�Ø�Ö<Ò�Ö5ê�ë ÷ Ü�í=ß�ÓYÍ/ÏFåAËbÕ�Ï�×�ËKÌ�Ö<Ò�Ñ Ñ=×[Í/ÖQÒ�Ê�ËÌHÍ#Ò�ËÑ�Ù7ÓHÊ:Í/Ï�ã�ËOÑ�Ùsë0Ü

/ß%ÞØ�Ò�Ê�Ì�Ë5Ö<âPË5Ó�ÒQÒ�Ñ

/Í#ÒQíÇÛ

0Ë5ÓYÍ/Õ�Ö<ËUÒ�Ê�ËO×�Ø@óAË�Ì�Ë�Ï�Ó5Ë

,Õ�Ñ/Ò�Ø�Ë5Ï,Ò�ÖTÓ5Ô�ËYÍ#Ì�Ô@Ð�Ê:ÍYÚ,ËÕ�Ï�Ø�Ò-Ö)Ë

,Õ:Í/ÔAÒ�Ñ;Ò�Ê�ËXÕ�Ï�Ø�Ò�Ö.Ñ�Ù2ë0Ü

/ßT×�Ø�ÚRØ�×�Ë5×�å ÐFÒ�Ê�Ë�Õ�Ï�Ø@Ò�Ö.Ñ�Ù

/ê=Ò�Ê�ËXÖ�Í/Î>ËbØ�Ö*Ò-Ì-Õ�ËXÑ�Ù2ëP÷�Ü

/ß*Í/Ö.Ø�Ò.Ø�ÖÒ�Ê�Ë_Ô�Ø�Î�Ø�Ò.Ñ�Ù2Ö<Õ�ÓWʽ×�Ø@óAË�Ì-Ë5Ï�Ó5Ë

,Õ�Ñ/Ò�Ø�Ë5Ï,Ò�Ö5Ûè'Ñ/Ì"ËKé:Í/Î�â:Ô�Ë/ê�Ø�Ù

1Ü2ß2ã�Ø@Ú,Ë5Ö0Ò�Ê�Ë)Ê�Ë5Ø�ã�Ê,Ò"Ø�Ï�Î�Ë�Ò�Ë�Ì�Ö"Í#Ò0Ò�Ø�Î>Ë

2Ø�Ï�Ö-Ë�Ó5Ñ�Ï�×�ÖTÑ�ÙÇÍ/Ï�Ñ/åRæ]Ë5Ó�Ò�Î>Ñ�ÚRØ�Ï�ãÚ,Ë�Ì-Ò-Ø�ÓYÍ/Ô�Ô�Ð,ê7Ò�Ê�Ë5Ï

1÷ Ü2ßbã�Ø�Ú,Ë�ÖXÒ�Ê�ËaÌHÍ#Ò�ËaÊ�Ë5Ø�ã�Ê,Ò­ÓHÊ:Í/Ï�ã�Ë5Ö_ÞUØ@Ò�ʬÌ�Ë5Ö]âAË5Ó�Ò_Ò�Ñ[Ò-Ø�Î>Ë[ÜÿØÿÛ�Ë/ÛaÒ�Ê�Ë�Ú,Ë�Ì<Ò�Ø�ÓYÍ/ÔÚ,Ë5Ô�Ñ=Ó5Ø@Ò3Ð�ß_Ø�ϹÎ>Ë�Ò-Ë�Ì�Ö;âAË�ÌaÖ-Ë�Ó5Ñ�Ï�×�Í#Ò;Ò�Ø�Î>Ë

2ÛGá=Ø�Î>Ø�Ô�Í#Ì�Ô�Ð,ê\Ø�Ù

3Ü2ßNã�Ø@Ú,Ë5Ö;Ò�Ê�ËFÚ,Ë�Ì-Ò�Ø�ÓYÍ/ÔTÚ,Ë5Ô�Ñ=Ó5Ø@Ò3ЯØ�ÏÎ>Ë�Ò-Ë�Ì�ÖOâAËKÌ_Ö<Ë5Ó5Ñ�Ï�×cÍ/Ö_ÍFÙ9Õ�Ï�Ó�Ò-Ø�Ñ�ÏxÑ�Ù%Ò-Ø�Î>Ë

2Ø�Ï{Ö-Ë5Ó�Ñ�Ï�×�Ö_Ñ�Ù"Í/ÏxÑ/å�æ]Ë�Ó�ÒXÎ>ÑDÚ=Ø�Ï�ã�Ú,ËKÌ-Ò�Ø�Ó5Í/Ô�Ô�Ð,ê'Ò�Ê�Ë5Ï

3÷ Ü2ß)ã�Ø@Ú,Ë5ÖUÒ�Ê�Ë_ÌHÍ#Ò�ËNÚ,Ë5Ô�Ñ=Ó5Ø@Ò|Ð[ÓHÊ:Í/Ï�ã�Ë5ÖOÞØ�Ò-Ê^Ì�Ë5Ö<âPË5Ó�ÒbÒ�Ñ�Ò-Ø�Î>Ë>ÜÿØ�Û Ë/Û*Ò�Ê�Ë;Í/Ó5Ó5Ë�Ô�Ë�ÌHÍ#Ò-Ø�Ñ�Ï'ßØ�Ï^Î>Ë�Ò�ËKÌ�ÖâAËKÌOÖ-Ë5Ó�Ñ�Ï�×EâAË�ÌUÖ-Ë5Ó5Ñ�Ï�×^Í#ÒÒ�Ø�Î>Ë

2Ûè0Ø�Ï:Í/Ô�Ô�Ð,êsØ�Ù.ë0Ü

4ßOã�Ø�Ú,Ë5Ö�Ò�Ê�Ë�Ï Õ�Î;åAËKÌ­Ñ�ÙTÞØ�×�ã�Ë�Ò-Ö_Ö-Ñ�Ô�׬å�ЬÍeÓ5Ñ�Î�â'Í/Ï,ÐcÍ/ÖNÍEÙ9Õ�Ï�ÓKÒ�Ø�Ñ�ϯÑ�Ù�Ò�Ê�Ëâ�Ì�Ø�Ó5Ë_Ñ�Ù\Í;ÞUØ�×�ã�Ë�Ò

4Ø�Ïe×�Ñ�Ô�Ô�Í#Ì�Ö*Ò�Ê�Ë5Ï^ë ÷ Ü

4ßQã�Ø�Ú,Ë�Ö.Ò-Ê�Ë�Ì�Í#Ò�Ë�Ø�Ï[ÞØ�×�ã�ËKÒ�Ö*âAË�Ì×�Ñ�Ô�Ô�Í#Ì*Ò�Ê:Í#Ò)Ö�Í/Ô�Ë5Ö.ÞØ�Ô�ÔÓHÊ:Í/Ï�ã�Ë�ÞØ�Ò�ÊxÌ�Ë5Ö<âPË5Ó�ÒNÒ-ÑEÓHÊ:Í/Ï�ã�Ë5Ö­Ø�ϬÒ�Ê�Ë�â�Ì-Ø�Ó5Ë�Ñ�Ù*ÍeÞØ�×�ã�Ë�Ò5Û>á=ÑEÒ-Ê:Í#Ò;ë0Ü

5ß ü

5ù�ùRîHù�ù�ù�Î�ËYÍ/Ï�ÖÐ,Ñ�ÕxÖ-Ë5Ô�Ô

5ù�ùRîHù�ù�ù�ÞØ�×�ã�ËKÒ�ÖXÍ#ÒNÍFâ�Ì�Ø�Ó5Ë�Ñ�Ù

5×�Ñ�Ô�Ô�Í#Ì�Ö�ËYÍ/ÓHÊ7ênÞÊ�Ø�Ô�Ë�ëP÷�Ü

5ß ü

687ùRîHù�ù�ùFÎ>ËYÍ/Ï�Ö�Ö�Í/Ô�Ë5ÖÞ*Ñ�Õ�Ô�×[×�Ë5ÓKÌ�ËYÍ/Ö-Ë_Í#Ò)Í­ÌHÍ#Ò�ËbÑ�Ù

7ùRîHù�ù�ùNÞUØ�×�ã�Ë�Ò�Ö*âAËKÌ.×�Ñ�Ô�ÔBÍ#Ì)Í/Ö*Ð,Ñ�ÕFÌHÍ/Ø�Ö-ËOÒ�Ê�Ëbâ�Ì�Ø�Ó�Ë/Û

9Ï�â'Í#Ì-Ò�Ø�Ó5Õ�ÔBÍ#ÌYêØ�ÙAÐ,Ñ�Õ�ÌHÍ/Ø�Ö-ËÒ�Ê�ËUâ�Ì�Ø�Ó5Ë

5ùNÓ5Ë�Ï�Ò�ÖQÒ-Ê�Ë5ÏFÖ�Í/Ô�Ë�ÖTÞ*Ñ�Õ�Ô�×F×�Ë�Ó�Ì�ËYÍ/Ö-ËOå�ÐFÍ#åPÑ�ÕRÒ

:ùRîHù�ù�ù�Ò�Ñ;Í#åAÑ�ÕRÒ

:<;ùRîHù�ù�ùÞØ�×�ã�Ë�Ò�Ö�Û

=Ñ�Ð,Ñ�Õ[Ö-Ë5ËXÞUÊ,Ð[Ò-Ê�Ø�Ö)ÎFÍ�ÐFåPËNÍ�ã�Ñ=Ñ=×�Ò�Ê�Ø�Ï�ã�Ù9Ñ/ÌUÒ-Ê�Ë_Ó5Ñ�Î�â'Í/Ï�Ð�Ò�Ñ�×�Ñ

>

Page 9: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

?@�ACBEDGFIH JLKNMPO#Q(R�K�S&H�T�KUS Q&JWVXR�Y�Z T�[\Q]O#Q�^`_�K�T�K�Y'_aAcb�d�egfheji$fheki#lmeonqp i)rtsvuklmw�x�ugyhsCz{x�r|n8d�z{rte} egfhs�~)i$ytsC~<e�lmz)fh�Iw��vi)r��<z{w�rtd�z{w�� } p�eIi$p��ve�ytz } egfhsC~<e } sCfhe�uoyh�C�Gl�fhz{��yhd�e } eo��x�sCyhsCz{x����(���{�o�8b�d�e�rtesvx�ug�vw } e �

�<�����������<���L�����������<��� ��� �CxE� � � � �¡���<� r¢svxE� � � � u�z{r�� � � ���<� r¢svx�d\� � � � ugz{rtd\� � � �

��{� �'£ �¥¤ �'£(¦\§ ���{� �vxE� � � � �� ���{� �vz{¨ ©(� � � � �

�vxE� � ��� �

��{� u�z{r�� � � �«ª rtsCxE� � � ���{� u�z{rtd\� � � � rtsvx�d\� � � �

���(� �{� �

i)x } i)x<�¬r¢sv�c­��Ce�~$i$fhs�i)x<yhrkyhd�egfhe�z{lX�®b�d�e�yhz)­®y¯n¡z°i$fteGr¢ytfhi)sv¨{d<yhlmz)ftn�i$f } �®b�d�e���fhr¢y±sCrjytftsC~&svi)�³²i)x } n�d�egx ¤ svr�i)x�sCx yte�¨{egfIyhd�eWrte�ugz{x } z{x����Pfhe�´�w�sCfhegrkr¢sv�c­��CeWi)�v¨{egp�fhi)svu±�Wi)x�s�­�w���i$yhsCz{xµz{l¡yhd�e} sC¶�egfhe�x�ugej´�w�z)yhsve�x<yp�e�lmz)fhe·­ i)rtrtsCx�¨�yhz±ytd�e·�vsv�csCyL�8¸'z)f¹eoº�i)�c­��ve$²'n8d�e�x ¤ sCr¹ic­�z{rts�yhsC~<e·sCx yheg¨{egf�<z{w°d�iL~<ejyhzGeoº&­ i)x } � �±»½¼ � £ p �¾yhd�ejp�sCx�z{�±s�i)�"lmz)fh�Iw���i&�I¿Àz{wPrtd�z{w�� } p�ecu�z{�±lmz)f¢yÁi$p��veIn�s�yhduLi)rtegr�svx�n�d�sCuÁd ¤ sCrik­�z{rtsCytsC~<e¹z)f�x�eg¨<i$yhsC~<e|svx<yhe�¨{egf8n�d�z{r¢e�i$p�rtz{�Cw&yhe|~$i)�vw�eÂsvr�x�z)y8ytz(zk��i$fh¨{e)�b�d�e±lmz)fh�Iw���i)rÂlmz)f�yhd�ejeoº&­�z{x yhegx yhsvi)�ai)x } �Cz{¨<i$fhsCytd��±svu } egfhs�~)i$ytsC~<e�r�i$fhe } egfhs�~<e } w�rtsCx�¨Ãyhd�el�i)ugyL²�n8d�svuÁdG�<z{w#rtd�z{w�� }GÄ x�z�n²�yhd�i$y�yhd�e�x w��·p�egf � svr�¨{sC~<e�x�p���yhd�e|�vsC�±sCy

�Å� �Csv�Æ¢ÇÂÈ � �»ÊÉ � §ÌË ÆÎÍ ���(� � �{�

Ï s�~<e�xÐyhd�svr��vsC�±sCy�² �<z{w�rtd�z{w�� } p�e|i$p��Ce¹ytzjz)p�yÁi)sCxWyhd�e } egfhsC~$i$yhs�~<eÅlmz)fh�Iw���i)r�lmz)f��vz{¨<i$fhs�yhd��±r��\¿az{wrtd�z{w�� } i)�Crtz|p�e�i$p��ve¡yhz¹w�rte����(� � �{�\i)x } yhd�e�uÁd�i)x�¨{e�z{l�~$i$fhsvi$p��ve��vsC�±sCy\fhw��veÂ� � � ��� �En�s�yhd É ���(Ñ�ªÐ�yhz } egfhsC~<e¹yhd�eÂ�vsv�csCy

�vsv�Ñ Ç�È� Ñ ª®�¼ � �CxE� � � Í ���(� ��Ò �

¸�fhz{�Óyhd�sCr��<z{wÃr¢d�z{w�� } p�e�i$p��CeÂyhzkz)p�yÁi)svx } egfhs�~)i$yhs�~<eÂlmz)ft�kw��vi)r8lmz)f�yhd�eÂeoº&­�z{x�e�x yts�i)�vrg�b�d�elmz)fh�Iw���i)rÔlmz)fÀyhd�er¢svx�eÅi)x } u�z{r¢svx�e } egftsC~$i$yhsC~<e�rÀi$fhe�z)p�yÁi)sCx�e } yhd&fhz{w�¨{d±ytd�eÅi$­�­�fhz)­�fhsvi$yheytfhsC¨{z{x�z{�±egytftsvu¹i }�} sCytsvz{xGlmz)ft�kw��vi)r�i)x } yhd�e��Csv�±s�yhr

�Csv�Ñ ÇÂÈrtsCxE� ¼ �¼ �«�Ô� �vsC�Ñ ÇÂÈ

�8ª u�z{r�� ¼ �¼ ��� Í ���(� �LÕ �b�d�ec��fhr¢y·�Csv�±s�y¹n�i)r·i$fh¨{w�e } sCx°u��vi)rtr�p �Pu�z{�j­ i$fhsvx�¨Gytd�eWi$fheLiGz{lÀiG­�svÖ�ÖLi�­�sve±rt�Csvu�ecz{l¡i)x�¨{�ve ¼n8sCyhd�yhd�i$y�z{l�ij�vi$fh¨{egf�i)x } ijrt�±i)�v�veof�y¢fhs�i)x�¨{�Ce)�+b�d�sCr��ve } w�r8ytzjyhd�e|svx�e�´�w�i)�vs�yhsve�r

u�z{rL� ¼ �¡× rtsvxE� ¼ �¼ × � lmz)f8eg~<egf¢��Ø ¼ Ø ÙÛÚ Ü Í ���(� ��Ý �Ï s�~<e�xÃyhd�sCrsvx�e�´�w�i)�vs�yÌ�<²�s�yÅsvr8eLi)r¢�Gytz±z)p�yÁi)svxÃytd�e���fhr¢yÅ�Csv�±s�yL� Ï sC~<e�x�yhd�e���ftr¢yÅ�vsC�±sCy�²&�<z{w�rtd�z{w�� }p�e±i$p��vecyhzGz)p�yÁi)svx°yhd�ecrte�u�z{x } �vsC�±sCy�� Ï sC~<egx°p�z)yhdµ�Csv�±s�yhr�²Î�<z{w°rtd�z{w�� } p�eWi$p��vecytz } egfhs�~<e±yhd�ertsCx�e�i)x } u�z{r¢svx�e } egfhsC~$i$yhs�~<eÂlmz)fh�Iw��vi)r��

Page 10: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

Þàßá`âCã�ä)åvåCæ<çÎèhé�êjëmì)íhîIï�å�ä)ð�ëmì)íÂèhé�êcð¢âvã�é]ä)ã�ñ°ò�ì{ð¢éµñ�êgíhâCó$ä$èhâ�ó<ê�ð�òLä)ã°ô�êcì)ô�èÁä)âCã�ê�ñPèhé&ítì{ï�õ{é°èhé�êä$ö�ö�íhì)ö�íhâvä$èhê|é æ�ö�êgítô�ì{åvâCò�ä)ñ�ñ�âCètâvì{ãGëmì)ítîkï�åvä)ð�ä)ã�ñ�èhé�ê�åCâvî±â�èhð

åCâvî÷�ø�ùðtâCã�éEú¯û�ü

û ý«þÔÿ åvâCî÷$øÂùò�ì{ðtéEú¯û�ü�� þû ý � ÿ ú���� þ�� ü

â�ó<ê�ã�èhé�êIåvâCî±âCè·ú���� þ� üoç æ<ì{ï�ðté�ì{ï�åvñ�ô�êIä$ô�åCê�èhìÐì)ô�èÁä)âvã�èhé�ê���íhðàèÂåCâvî±â�è � âCó<ê�ã�èhé�ê���íhðàèÂåCâvî±â�èLçæ<ì{ïÊðté�ì{ï�åCñ ô�ê�ä$ô�åvê#èhìµì)ô�èÁä)âvã èhé�ê�ðtê�ò�ì{ã�ñ åCâvî±â�è � â�ó<ê�ã®ô�ì)èhéÊåCâvî±â�èhð�çaæ<ì{ïÊð¢é�ì{ï�åvñÊô�ê�ä$ô�åCêèhìµñ�êgítâCó<êÃèhé�ê�ðtâCã�é ä)ã�ñ ògì{ðté ñ�êgíhâCó$ä$èhâ�ó<êÃëmì)íhîIï�å�ä)ð����ÅåCèhêgítã�ä$èhâCó<ê�å�æ<çaèhé�ê�ñ�êgítâCó$ä$èhâCó<êÃëmì)ítîkï�åvä)ðò�ì{ï�åCñ¬ô�ê#ñ�êgíhâCó<êgñ¬ô�æ���íhð¢ècï�ðtâvã�õ èhé�ê�âCícñ�ê���ã�âCètâvì{ã�ðjètì°ê��&ö�ítê�ðtðcð¢âvã�é\ú���ü ý ú������������(ü�� �¾ä)ã�ñò�ì{ðté\ú���ü ý ú!� ��"#����� ü$� �Ãä)ã�ñ]èhé�ê�ãµö�íhì(ògê�ê�ñ�âvã�õ ä)ð�ëmì)í·èhé�êWê%�&ö�ì{ã<èhê�ã<èhâvä)åÀñ�êgíhâ�ó)ä$èhâ�ó<ê±ëmì)íhîIï�å�ä&�' é�ê)(<êgæ�ì{ã�ò�ê�ä)õ<ä)âvã+*�âCåvå�ô�ê|èhé�ê�åCâvî±â�èÂú���� þ� ü%��,¡ðtï�õ{õ{ê�ð¢è8èhé�ä$è�æ<ì{ï-(&ã�ì�*�ô�ì)èté�ä$ö�ö�íhì<ä)òÁé�ê�ð��.0/21436587�9;:�<>=�?@5A<�BDCE<>FG7HC�=�?JILK�9;MJ=�?N54O8PQPRCS<�BD9�C�=�?UT0V�WYX-CSBG9;Z&T[<>9�Z0C&=�/ â�ó<ê�ã�äcñ�â]\�êgíhê�ã<èhâvä$ô�åvêëmï�ã�ògèhâCì{ã_^�ç�âCè�òLä)ãGô�êÂð¢ê�ê�ã�êLä)ðtâCåCæÐë�íhì{î èhé�ê|ñ�ê���ã�âCètâvì{ãÃì{ë�èté�êÂñ�êgítâCó$ä$èhâCó<êcú����a`{üaèhé�ä$è

bb �dc ^`ú���ü4"fe�g ý ^ih�ú���ü ÿb

b �jclk ^`ú���ülg ý k ^ h ú;��ü ÿbb �dc ��^`ú���ü g ý �m^ h ú���üAn

ú���� þ `{ü

oaì{ïÊðté�ì{ï�åvñ ô�ê�ä$ô�åCêÃèhìµó&âvð¢ï�ä)åvâqpgêGèhé�ê�ðtê�íhêgå�ä$èhâCì{ã�ð±âvãÊèhêgítî±ð±ì{ë|õ)íÁä$ö�é�ð�� ' é�êgæÊð¢èÁä$ètêÃèhé�ä$èÐäó<êgítètâvòLä)å�ð¢é�âvë�èÂñ�ì(ê�ð¹ã�ì)è|òÁé�ä)ã�õ{êjèhé�êIñ�êgíhâ�ó)ä$ètâCó<êIì{ëaäÐëmï�ã�ògèhâCì{ã�ç8*8é�âvåCêkäWó<êoítèhâvò�ä)å`ð¢ètíhêgètò é ì)ísr�âCöòÁé�ä)ã�õ{ê�ð�èhé�ê|ñ�êgíhâ�ó)ä$ètâCó<ê|âvã#èté�ê�ðhä)î±ês*�äLæt�J,Ìè8òLä)ã�ä)åCðtìIô�ê�ð¢ê�ê�ãÃë�íhì{î ñ�ê���ã�â�èhâvì{ã]ú!���a`{üaèhé�ä$èbb � ^`ú;�u�Qv&ü ý ^ih³ú��u�Qv(ü ÿbb � ^`ú��A�GwÃü ý þw ^ih³ú��A�GwÃü ÿbb � ^`úl�x��ü ý �m^ih�úl�x��ü4n

ú���� þ�y ü

' é�ê�ðtêÂítê�å�ä$èhâCì{ã�ð8ògì{ï�åvñ�ä)åCðtìjé�äLó<êÂô�ê�ê�ãÃñ�êoíhâCó<ê�ñGï�ðtâvã�õcèté�êÂòÁé�ä)âvã#íhï�åvê�� íhä$ö�é�âvòLä)åCåCæ<ç&èhé�êgæ�ð¢èhä$èhêèhé�ä$è|äWé�ì)íhâ]p�ì{ã èhä)å�ðté�âvë�è|òÁé�ä)ã�õ{ê�ðÅèhé�êIñ�êgíhâ�ó)ä$ètâCó<ê·âvã�èhé�ê·ðtä)î±ê�*�äLæ<ç�äWé�ì)íhâqp�ì{ã<èÁä)å�ðàètíhêgèhòÁé�ô�æ_wòÁé�ä)ã�õ{ê�ð�èhé�êkñ�êgíhâ�ó)ä$ètâCó<êIô�æ�ô�ì)ètéµä#é�ì)íhâ]p�ì{ã<èÁä)å`ð¢ètíhêoèhòÁé°ô�æzw ä)ã�ñ°äÐó<êgítèhâCòLä)å"ð¢ètíhêgètò é ô�æ þ �Gw¾ç*8é�âvåvêÂäjé�ì)ítâqp�ì{ã<èÁä)å4r�âCö�òÁé�ä)ã�õ{ê�ð�èhé�ê�ñ�êoíhâCó$ä$èhâCó<ê¹ô æ�ô�ì)èhéÃäké�ì)íhâqpgì{ã èÁä)åEä)ã�ñ�äIó<êgítèhâCòLä)å4r�âCö{� âCó<ê�ã]ú!��� þ `{ü¡ä)ã�ñµú���� þ�y üoç&æ<ì{ïGð¢é�ì{ï�åvñGô�ê�ä$ô�åvê¹èhìjðté�ì>*½èhé�ê|ð¢æ(î±î±êgètí¢æ±íhê�åvä$èhâvì{ã�ð�|} âvë~^�âvð�êgó<ê�ãGèté�ê�ã_^ h âvð�ì(ñ�ñ4�} âvë~^�âvð�ì(ñ�ñGèté�ê�ã_^ h âvð�êgó<ê�ã4�} âvë~^�âvð�ö�êgítâvì(ñ�âCò)*8âCèhé�ö�êgítâvì(ñd�Ãèhé�êgãÃðtìcâCð�^ h �} âvë~^�âvð8ä)ã ètâCö�êoíhâvì�ñ�âvòs*�â�èhéÃä)ã<èhâCö�êgíhâCì(ñj�Ãèhé�ê�ãÃðtìjâvðm^ h �

� ã�ò�ê·ä)õ<ä)âvã�ç&æ<ì{ï#ðté�ì{ï�åvñ#ô�ê�ä$ô�åCê|ètìjó&âCðtï�ä)åvâ]p�ê¹èhé�ê�ðtê|íhê�å�ä$ètâvì{ã�ð�âvã#ètêgíhî±ð�ì{ë�õ)íÁä$ö�é�ð��

Page 11: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

�%��{�d���s���s�����������U�������������������s�u�s�������)�����6�

�4���0�����H�� �¡£¢¥¤0¦§�N¨�©H �ª«¦§¬­¤�®z¯J¨�©Hª[°>¨;¤i©�¡Q¤0¢��8��©�±�°>¨;¤i©H¡��³²s´]µt¶�·¹¸�·tº¼»¾½@¿QÀ[´]Ái¶�Âö�·t»Ã´q¸GÄ«Åq¶ÆÈÇ ·[É�»Ã´]¿ ·[ÊsË̸�·[À�Í0Î4¸�·[À�É�¿ ·[Ê�»Ã¸�·E»�Ï0Îi»$Ð[¶ ÆÈÇ ·[É�»Ã´]¿ ·[Ê­ÏEËѸ�·[À_ËjÒfÍ�¸GÂöd¸�Å]Ê$¿6À[´ÓÁA¶�Âö�·E»Ã´q¸GÄ«Åq¶d¸�·[À»ÃÐ[¶�´ÓÂmÀ[¶�Âô]µG¸G»Ã´]µt¶�Êm¸GÂö)Ô ´]µt¶�·�ÄSº+»ÃÐ[¶)Ê$¿GÕ¥É�¸�ÅqÅq¶�À�®z���;°>¨;ÖJ��¨�± ª[°>¨;¤i©f¦D���; +¸�·[À�¡ ��® ¦D���; i�×× ØÚÙ ÏEËiÛÝÜ�Ï × Ë

×tØ_Þ×× ØÚÙ Ë�Ò¼Í&Û~Ü × Ë

×tØ Ò × Í×tØ_ß Ù!à&á]â Û

ã Ð[¶�Ê$¶­¸GÂö)¶�ä&å[Â$¶�Ê$Ê$¶�À�´]·�½@¿�ÂÃÀ[Êæ¸�Êuçl»ÃÐ[¶)À[¶�Âô]µG¸G»Ã´Óµt¶)¿ Æ ¸éè Ç Åӻô]å«Å]¶)´]ÊL»ÃÐ[¶)è Ç Å]»Ã´Óå«Åq¶Ú¿ Æ »ÃÐ[¶�À[¶�Âô]µEÕ¸G»Ã´Óµt¶�êj¸�·[À�çl»ÃÐ[¶sÀ[¶�Âôӵ�¸G»$´]µt¶s¿ Æ ¸dÊ Ç èë´qÊx»ÃÐ[¶sÊ Ç èì¿ Æ »ÃÐ[¶)À[¶�Âô]µG¸G»Ã´]µt¶�êjÂö�Ê�åA¶�É�»Ã´]µt¶�ÅÓº á ã Ð[¶�Ê�¶ÚÂ Ç Å]¶�ÊÆ ¿ ÅqÅ]¿>½ Æ Â$¿ èì»$Ð[¶�À[¶�í«·[´Ó»Ã´q¿ ·�¿ Æ »ÃÐ[¶�À[¶�Âô]µG¸G»Ã´]µt¶ Ù�î�áðï Ûx¸�·[À�»ÃÐ[¶�¸�Å]Ô ¶�Ä[Âñ¸�´]É)´]À[¶�·E»$´]»Ã´]¶�ÊÏEË Ù Ø Ò§ò«ÛJóôÏEË Ù Ø Ûò ÜõÏ Ë Ù Ø Ò¹ò[Û�óQË Ù Ø Ûò ÞË Ù Ø Ò§ò«Û{Ò¼Í Ù Ø Ò§ò[ÛJóRË Ù Ø Û�óQÍ Ù Ø Ûò Ü Ë Ù Ø Ò¹ò«Û�óQË Ù Ø Ûò Ò Í Ù Ø Ò§ò«ÛJóRÍ Ù Ø Ûò ß

ã Ð[¶�è Ç Å]»Ã´Óå«Åq´]É ¸G»Ã´q¿ ·�¸�·[À�Ê Ç èöÂ Ç Å]¶�Ê Ù!à&áqâ Û@¸GÂö Ç Ê$¶�À�¸�Å]Å{»$Ð[¶Ú»Ã´]è6¶ á ã Ð[¶�º-¸GÂö�¶ ¸�Êlº�»$¿�èu¸�Ê�»$¶� áã Ð[¶­Åq´]·[¶ ¸GÂsÉ�¿ è­Ä«´q·«¸G»Ã´]¿ ·[Êm¿ Æ~÷ Ô ´]µt¶�· ÆÈÇ ·[É�»Ã´q¿ ·[Ê­ø�Ë8ù Þ ËAú Þ û û ûAÞ Ë�ü0ýé¸GÂö­¸�ÅqÅ8»ÃÐ[¿ Ê$¶ ÆÈÇ ·[É�»$´q¿ ·[Ê¿ Æ »ÃÐ[¶ Æ ¿�ÂÃèþÏ&ùÃË8ù~Ò�Ïtú�ËiúNÒ û û û Ò#ÏGü&Ë0ü Æ ¿�ÂÚÊ$¿ è�¶­É%Ð[¿ ´]É�¶j¿ ÆU÷ É�¿ ·[Ê�»Ã¸�·E»ÃÊdø�Ï�ù Þ Ïtú Þ û û ûAÞ Ï�ü0ý á)ÿ ·¿�»ÃÐ[¶�Âm½@¿�ÂÃÀ[Ê�Îi»$Ð[¶�Åq´]·[¶ ¸GÂ�É�¿ è­Ä«´q·«¸G»$´q¿ ·[Êæ¸GÂ$¶­¸�ÅqÅ{»ÃÐ[¿ Ê$¶ ÆÈÇ ·[É�»Ã´q¿ ·�»ÃЫ¸G»�É�¸�·�ÄA¶�Ä Ç ´]Å]» Ç å Æ Âÿ è »ÃÐ[¶Ô ´]µt¶�· ÆÈÇ ·[É�»Ã´q¿ ·[Ê­ø�Ë8ù Þ Ëiú Þ û û ûAÞ Ë0üiý­ÄSº-Âö�åi¶ ¸G»Ã¶�À_è Ç Å]»Ã´Óå«Åq´]É ¸G»Ã´q¿ ·�ÄSº�É�¿ ·[Ê�»ñ¸�·t»ÃÊs¸�·[Àz¸�À[À[´]»Ã´]¿ · áLÿ ƶ ¸�ÉñЧ¿ Æ »ÃÐ[¶�Ô ´]µt¶�· ÆÈÇ ·[É�»Ã´q¿ ·[Ê�ø�Ë8ù Þ Ëiú Þ û û ûiÞ Ë0üiý_´qÊ�À[´]ÁA¶�Âö�·t»Ã´2¸GÄ«Å]¶�»ÃÐ[¶�·�Âö�åi¶ ¸G»Ã¶�À¹¸Gå[å«Å]´qÉ ¸G»Ã´]¿ ·[Ê¿ Æ »ÃÐ[¶jè Ç Å]»Ã´Óå«Åq´]É ¸G»Ã´q¿ ·Ñ¸�·[ÀÌÊ Ç è Â Ç Å]¶�Ê Ù�à&áqâ Û�Ê$Ð[¿>½ »$Ы¸G»�¶ ¸�ÉñÐQÊ Ç ÉñÐQÅ]´q·[¶ ¸GÂ)É�¿ è­Ä«´q·«¸G»Ã´]¿ ·Ñ´]Ê�¸�Å]Ê$¿À[´]Ái¶�Âö�·t»Ã´q¸GÄ«Åq¶�¸�·[À�´]»ÃÊ�À[¶�Âôӵ�¸G»Ã´Óµt¶)´]ÊLÔ ´Óµt¶�·-ÄEº+»ÃÐ[¶���¨�©H �ª«¦u± ¤�®z¯J¨�©Hª[°>¨;¤i©�¦D���� ��××tØ � Ï�ù$Ë8ù�Ò¹Ï ú�ËiúUÒ û û û Ò¹Ï�ü&Ë0ü��mÜ Ï�ù × Ë8ù× Ø Ò§Ï ú × Ëiú× Ø Ò û û û Ò�Ï�ü × Ë�ü×tØ ß Ù!à&áðî Û

ã Ð[´qÊd´qÊ­¶�ä�å[Âö�Ê$Ê�¶�À¼´]·�½@¿�Â$À[Êé¸�Êzçl»$Ð[¶�À[¶�Âô]µG¸G»Ã´]µt¶u¿ Æ ¸_Åq´]·[¶ ¸GÂdÉ�¿ è­Ä«´q·«¸G»Ã´]¿ ·Q´qÊ­»ÃÐ[¶uÅ]´q·[¶ ¸GÂjÉ�¿ èéÕÄ«´q·«¸G»$´q¿ ·�¿ Æ »ÃÐ[¶�À[¶�Â$´]µG¸G»Ã´]µt¶�Ê�ê áYÿ »+´qÊ6´]è�åA¿�Â�»ñ¸�·E»é»Ã¿ Ç ·[À[¶�ÂÃÊl»ñ¸�·[À¹»$Ы¸G»6»ÃÐ[´qÊéÂ Ç Åq¶�·[¶�¶�À¹·[¿�»uÄi¶è6¶�è�¿�Âô���¶�À-ÄA¶�É ¸ Ç Ê$¶­¸�Å]Å ´Ó»mÀ[¿S¶�Êæ´qÊL¶�è­ÄA¿SÀ&º�Â$¶�åA¶ ¸G»$¶�À_¸Gå[å«Åq´]É ¸G»Ã´q¿ ·[ÊL¿ Æ Ù!à&áqâ Û á ã Ы¸G»æ´qÊ�»Ã¿6Êø ºtÎ0´ ƺt¿ Ç Ð«¸�µt¶s»$Â Ç ÅÓº+èu¸�Ê�»Ã¶�Â$¶�À Ù!à&á]â ÛU»ÃÐ[¶�· Ù!à&áaî ÛU½L´qÅ]Å4Ê$¶�¶�èì¿�ÄEµ&´q¿ Ç Êx»Ã¿dºt¿ Ç ¸�·[À�½m´]ÅqÅA·[¿�»L·[¶�¶�À-»Ã¿jÄi¶è6¶�è�¿�Âô���¶�À á²s´]µt¶�·§¸�·tº¼»¾½@¿RÀ[´ÓÁA¶�Â$¶�·E»$´2¸GÄ«Åq¶ ÆÈÇ ·[É�»Ã´q¿ ·[ÊuËY¸�·[À�Í�Îx¸zå0¸GÂ$»Ã´qÉ Ç Å2¸GÂu´]·[Ê�»ñ¸�·[É�¶�¿ Æ »$Ð[¶�Åq´]·[¶ ¸GÂÉ�¿ è­Ä«´q·«¸G»$´q¿ ·+Â Ç Åq¶ Ù!à&áaî ÛN´qÊx»ÃÐ[¶���¨�U �¦> &©H±t -¦G�H�� ��×× Ø Ù Ë6óQÍ�Û~Ü × Ë

× Ø ó × Í× Ø ß Ù!à&á à Û

ã Ð[´qÊÝÉ ¸�·�ÄA¶�¶�ä�å[Âö�Ê$Ê$¶�À+¸�Ê�çl»ÃÐ[¶�À[¶�Âôӵ�¸G»$´]µt¶�¿ Æ ¸)À[´ÓÁA¶�Â$¶�·[É�¶m´]ÊÝ»$Ð[¶LÀ[´ÓÁA¶�Âö�·[É�¶æ¿ Æ »$Ð[¶mÀ[¶�Âôӵ�¸G»$´]µt¶�Ê$ê á ÊL¸�·�´q·[Ê�»Ã¸�·[É�¶�¿ Æ Ù!à&áaî Û�Î&»$Ð[´qÊxÂ Ç Åq¶�¸�ÅqÊ$¿jÊ$Ð[¿ Ç ÅqÀ�Ê$¶�¶�èö¿�ÄSµ�´q¿ Ç Ê�Ä0¸�Ê$¶�À�¿ ·�¸éèu¸�Ê�»$¶�Â$º+¿ Æ Ù!à&á]â Û á

Page 12: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

� �������������������! #"%$&�'(�*)�",+#-�.0/1 (23)4-657+98:- (5��; #�=<>��5�.?8:-� (5��?�A@ABDCFEHGJI?GLK&MONQPSR�BDT�EVUWEHGFMWB�IYX9Z�E[]\ G�^VMWBDP_G�`AabI?G�R0c(d�Mfe�E []\ G�^VMWB�P_G0a#cgB�`AI?ZD`fP�R�BDT�EVUWEHGFMWBhIYX9ZDEiI?G�R0BjMW`=R�EVUWBjC?IYMfBDCFE1B�`=k_BjCFEHGJXLKlMWe�E`fPYmn^oI?Z�ZDEHRJp�": rq���.?83st ("�uv��-�)�5�-8xwzy{",�����(�||F}A~ a(c���� | a|_} cA��a | c|F}0� ~��z��� �� e�B�`�BD`vG�P?M�I?`�` B����9ZDE�MWP�E��z��UWEH` `�B�GSNQP?UfR�`QI?`�`WIoK�MWe�E�` \ ��U \ ZDE?d*X \ M���IxKiX�E�UWEHG�R�EVUWEVR%I?`1��MWe�ER�EVUWBjC?IYMfBDCFE�P [ I=��UWP�R \ ^�MvBD`�Mfe�E�R�EVUfBDCYIYMWBDCFE�P [ Mfe�E���UW`�M�MWBD�SEH`�MWe�E�`fEH^VP_G�R��9Z \ `�MWe�EQ��UW` M�MWB���EH`4MWe�ER�EVUWBjC?IYMfBDCFE�P [ MWe�E1` EH^HP_G�R�� � � e�B�`�U \ Z�E [ P_ZDZ�PxN�`�R�BjUWEH^VMfZDK [ UfP_� MWe�E1R�EV�9G�BjMWB�P_G3I?G�RlMWe�E�I?Z�k_EVX�U¡I?BD^B�R�EVGLMWBjMOKa ~ } �£¢���c ~ } �£¢��4¤¥a ~ } ��c ~ } �¢ � a ~ } �£¢9��¤¥a ~ } �¢ c ~ } �¦¢��r�§a ~ } � c ~ } �¦¢9�4¤bc ~ } �¢ �� e�E{��UWP*R \ ^VM�U \ ZDE{BD`�I�CFEVUfK&B��;��P?UfM¡I?GFM�k_EHG�EVU¡I?Z�U \ ZDE [ P?U�R�BDT�EVUWEHGFMWBhIYMfB�P_G �4¨ P \ � \ `�M���I?`�MWEVU�BDM �© G [ I?^VMod#I?ZDZ�MWe�E�P?MWe�E�U�U \ ZDEH`�BDG%MWe�BD`�` EH^VMWBDP_GgN�BDZ�Z�EH` `fEHGFMWBhI?ZDZDK [ P_Z�ZDP:N [ UWP_�ªMWe�EA��UWP�R \ ^�M�U \ ZDE �© [ P_G�E&^HP_G�`fBDR�EVUW`iMWe�E&��UfP�R \ ^VM;P [ MWezUfEHEgR�BjT�EVUWEVGLMWB�IYX9Z�E []\ G�^VMWBDP_G�`�a>dvc#dvI?G�R¬«­MWe�EVG¬MONQPIY���9Z�BD^oIYMWBDP_G�`�P [ ~��z�®� ��`fe�PxN¯MWe9IYM||_} ~ a#c*«=��� | a|_} c*«¬�§a | c|_} «¬�¬a#c | «|_} �° P?UWEAk_EHG�EVU¡I?ZDZDKFdzk_BjCFEHG�±3R�BDT�E�UWEHGFMWBhIYX9ZDE []\ G�^�MWB�P_G�`A²xa7³o´Wa�µ,´o¶o¶o¶(´Wa(·�¸Fd*MWe�EHBDU���UWP*R \ ^VM�a7³Wa�µ�¶o¶o¶ a#·B�`�R�BDT�EVUWEHGFMWB�IYX9Z�E�I?G�RgBDMW`�R�EVUWBjC?IYMWBjCFE{BD`�k_BjCFEHG%XLK�MWe�E�'#�z57��":+(�vuv�z-)45�-]8xw%",������||F} ~ a>³Wa�µ�¶o¶o¶ a#·9��� | a>³|_} a�µ4¶o¶o¶�a#·���a7³ | a�µ|_} ¶o¶o¶�a(·��¹¶o¶o¶x��a7³Wa�µ�¶o¶o¶ | a#·|_} � ~��z�»º �© M�BD`�B�����P?UfM¡I?GFM�MfP \ G�R�EVUW` MWI?G�R3Mfe9IYM�MWe�B�`�U \ Z�E�G�EHEHR3G�P?M�X�E��SEH�SP?UfB�¼HEHR&X�EH^HI \ `fE�I?Z�Z>BDM�R�P�EH`�BD`EH�1X�P*RzK½UWE���EoIYMWEVR¬IY���9ZDB�^oIYMfB�P_G�`1P [ ~��z�®� � � � e9IYM�B�`�MWPl`WIoKFd4B [ KFP \ e9IoCFE�MfU \ ZDK½��I?` MWE�UWEHR ~��z��� �MWe�EHG ~��z�¾º �vN�B�Z�Z�` EHEH�­P?X*C�B�P \ `�MfPiKFP \ I?G�RgN�BDZ�Z�G�P?M�G�EHEHRJMWPiX�E¿�SEH�SP?UfB�¼HEHR �À ^HP_G�`fEHÁ \ EHG�^HE1P [ ` EVMfMWBDG�k�ci�ÃÂ:ÄYalB�G&MWe�EA��UWP�R \ ^VM�U \ Z�E ~��z�®� ��BD`�MWe�E{",��.F-�p�": r._+#�v"Y�Å���(�||_}gÆ ÂaQÇ �ä Âa µ | a|F} N�e�EVUfEVCFEVU�abÈ�¯É � ~��z�®Ê �© [ MWe�E&UWEH^HBj��UWP�^oI?ZQU \ ZDEgBD`;^HP_�1X9BDG�EHR§N�BDMWe�MWe�E%��UWP*R \ ^VM�U \ Z�E�MWe�EHG§KFP \ P?X�MWI?B�G¬Mfe�EJË��Å 98:-���5�8",�����(� ||F}&Æ a c�Ç �

| a|F} c�¤ba | c|_}c µ N�e�E�UWEVCFEVU�c3È�ÌÉ � ~��z�»Í �� e�B�`SU \ ZDElB�`��SP?UWEg^HP_���9Z�BD^oIYMWEHRÎMfP�E��z��UWEH` `&BDGÎNQP?UWR�`�MWe9I?GÏMWe�EJ��UWP*R \ ^VM�U \ Z�EYd�X \ M���IoK§X�EUWEHG�R�E�UWEHR¦I?`¥��Mfe�E%R�EVUfBDCYIYMWBDCFE%P [ IÐÁ \ P?MWB�EVGLM�B�`�MWe�EgR�EVUfBDCYIYMWBDCFE&P [ MWe�E&MWP?�ÎMWBD�SEH`1MWe�E&X�P?MfMWP_�

Page 13: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

Ñ�ÒÓSÔDÕ*Ö�×�ØWÙ�Ú�ØfÛ?Ü0ØfÔ�ÓSÚH×�ØWÙ�Ú1Ý�ÚVÞWÔjß?àYØWÔjßFÚ1Û_á4ØWÙ�Ú�â�Û?ØfØfÛ_ÓJã�à?äDäÅÛxßFÚVÞ=ØWÙ�Ú�â�Û?Ø ØWÛ_Óå×fæ*Ö9àYÞWÚHÝ�ç�ã�Û?ÞAÓSÛ?ÞfÚÜ�Û*ÚVØWÔDèoà?ä�äjéFã�ê�â�Û?ØfØWÛ_Ó;ënÝ�ÚHÚ�ënØfÛ?Ü�ÓSÔ�ÕLÖ�×vØWÛ?ÜzënÝ�ÚHÚ�ë�â�Û?ØfØWÛ_ÓìÛ:ßFÚVÞQâ�Û?ØfØWÛ_Óí×fæ�Ö9àYÞfÚHÝ�ç�î�ï¹Ù�Ô�äDÚ�ÔDØ�Ô�×vßFÚVÞ éÙ�ÚHäjÜ9á]Ö�äÅØWÛSÙ9àoßFÚ�ØWÙ�ÔD×�ÞWÖ�äDÚ�ÓSÚHÓSÛ?ÞfÔ�ðHÚHÝ�ã9ÔjØ�Ô�×�Õ�Û?Ø�èVÞWÔjØWÔ�èHà?ä�î�ñtÕlÚVßFÚVÞfégÔ�Õ�× ØWà?Õ�èHÚ�ØWÙ9àYØ�ØWÙ�Ú�æ�Ö�Û?ØfÔ�ÚHÕFØÞWÖ�äDÚ&èHà?Õ�â�Ú%àYÜ�Ü9äDÔ�ÚHÝ�ã�ØWÙ�Ú�æ�Ö�Û?ØfÔ�ÚHÕFØ�èoà?Õòâ�Ú�ÞWÚHèoà?×�Ø�à?×iàlÜ�ÞWÛ�Ý�Ö�è�ØiØfÛ3ó�Ù�Ô�è¡ÙòØWÙ�Ú�Ü�ÞWÛ�Ý�Ö�è�Ø;ÞWÖ�äDÚô�õ î�öL÷QèHà?Õgâ�Ú{àYÜ�Ü9ä�ÔDÚHÝ�î�ø�Ù9àYØ�ÔD×�à?áhØfÚVÞ�à?äDärÙ�Û:óùØWÙ�Ú{æ�Ö�Û?ØWÔDÚHÕFØ�ÞWÖ�äDÚ¿óQà?×�Ý�ÚVÞWÔjßFÚHÝlàYâ�Û:ßFÚ?îñtá4ØWÙ�Ú�ú_ÚHÕ�Ú�Þ¡à?äÅû>ÚHÔDâ9Õ�ÔjØWð�ÞWÖ�äDÚ ô�õ î¾ü_÷�Ô�×�× Ü�ÚHèVÔhà?ä�ÔDðHÚHÝlØWÛSØWÙ�Ú�èoà?×fÚ�ó�Ù�ÚVÞWÚ1à?äDä>ØWÙ�Ú1á]Ö�Õ�è�ØWÔ�Û_Õ�×=ý(þàYÞWÚAØWÙ�Ú�×fà?ÓSÚ{á]Ö�Õ�è�ØWÔ�Û_ÕJýJØfÙ�ÚHÕJÔDØ�ÞWÚHÝ�Ö�èVÚH×�ØWÛ�ØWÙ�Ú�ÿ������(ÿ������ ����������������

���� ý���! �ý��"$# � ý���&% ô�õ î('F÷ø�Ù�Ú�ÓSÛ_Õ�Û_ÓSÔ�à?ä(Ü�Û:óQÚ�Þ�ÞWÖ�äDÚ¿ó�à?×�Ý�ÚVÞWÔjßFÚHÝlàYâ�Û:ßFÚ¿á]Û?Þ�Ü�Û_×fÔDØWÔjßFÚAÔ�ÕFØWÚHú_ÚVÞW×) 4î�ï¹Ù�ÚHÕJÔjØ�ÔD×�èVÛ_Ó�â9ÔDÕ�ÚHÝó�ÔDØWÙiØWÙ�Ú�ÞWÚVèHÔDÜ�ÞWÛ*èoà?ä�ÞWÖ�ä�Ú ô�õ î+*F÷�ã_Û_Õ�Ú�×fÚHÚV×vØWÙ9àYØ�ÔDØ�Ú-,zØfÚHÕ�Ý�×�ØWÛ{Õ�ÚHúFàYØWÔjßFÚ�ÔDÕLØWÚVú_ÚVÞW×. 4î�ø�Ù�Ô�×�ÞWÖ�ä�Ú�èoà?Õâ�Ú=Ú/,zØWÚHÕ�Ý�ÚVÝ%á]ÖzÞfØfÙ�ÚVÞoî 0Aà?ÓSÚHäDéFãLú_ÔDßFÚVÕ%à?ÕFé�Ý�Ô21�ÚVÞWÚVÕLØWÔ�àYâ9ä�Ú=á]Ö�Õ�èVØfÔ�Û_Õ&ýJà?Õ�Ý&à?ÕLé�Þ¡àYØWÔ�Û_Õ9à?ä#ÕLÖ�Ó�â�ÚVÞ3gá]Û?ÞQó�Ù�ÔDè�Ù%ý�4�Ô�×�Ý�Ú659Õ�ÚVÝ�ã9ØfÙ�Ú¿á]Ö�Õ�è�ØWÔ�Û_Õ%ý�4�Ô�×�Ý�Ô71�ÚVÞWÚHÕFØWÔ�àYâ9ä�Ú=ó�Ù�Ú�ÞWÚVßFÚVÞ�ý�4 "$# Ô�×�Ý�Ú659Õ�ÚHÝgà?Õ�Ý%ÔjØW×Ý�ÚVÞWÔjß?àYØfÔDßFÚ¿Ô�×�ú_ÔDßFÚHÕ&â*é&ØWÙ�Ú8���:9;�������.� �����<���=������

��>� ý 4 �?3#ý 4 "�# � ý��� % ô�õ î(@F÷ï¹Ù�ÚVÞWÚVßFÚVÞ�ýBA�DC�ØWÙ�Ô�×>ÞWÖ�ä�Úvèoà?Õ�â�Ú�Ý�ÚVÞWÔjßFÚHÝ�à?×Åá]Û_äDä�Ûxó�×Hî�E�ÚVèoà?Ö�×fÚ$3�ÔD×7Þ¡àYØfÔ�Û_Õ9à?äFÔDØ7èoà?Õ�â�Ú�Ú-,zÜ�ÞfÚH×f×fÚHÝà?×F3G�IHKJ= òó�Ù�ÚVÞfÚLH à?Õ�ÝM §àYÞWÚ�ÔDÕLØWÚVú_ÚVÞW×{à?Õ�ÝG ONPCzî�ñtá�ØfÙ�Ú;ÓSÛ_Õ�Û_Ó�Ôhà?ä7Ü�Û:ó�ÚVÞAÞWÖ�ä�Ú ô�õ î+'F÷�ÔD×ØWÙ�ÚHÕJàYÜ�Ü9ä�Ô�ÚVÝgØWÛiÚoà?è¡Ùl×fÔ�Ý�Ú¿Û_áÅØWÙ�Ú¿Ô�Ý�ÚHÕFØWÔjØté ô ý<4L÷ � � ý�Q�ã9Û_Õ�Ú859Õ�Ý�×�ØWÙ9àYØ

ô ý 4 ÷R�<"�# ��>� ý 4 �!H&ý Q "$# � ý�>�&Só�Ù�Ô�è¡Ù¥Ô�×{ÚHæ�Ö�Ôjß?à?äDÚHÕLØ{ØWÛ%ØfÙ�Ú�Þ¡àYØWÔDÛ_Õ9à?ä�Ü�Û:ó�ÚVÞ�ÞWÖ�äDÚ�ó�Ù�ÚVÞWÚVßFÚVÞ�ýTA�UCzî�V4Û_Ô�ÕFØW׿ó�Ù�ÚVÞfÚSý?�UCgà?Õ�Ý3XWTY{èoà?Õgâ�Ú¿ØfÞfÚoàYØWÚHÝJÝ�ÔjÞWÚHèVØfäDé�áhÞWÛ_ÓªØWÙ�Ú�Ý�Ú-59Õ�ÔDØWÔDÛ_ÕgÛ_áÅØWÙ�Ú¿Ý�ÚVÞWÔjß?àYØfÔDßFÚ?îZ\[]Z �_^`�����acbd���Xe��(ÿ�� ��af�g9;������a��bih$����jk9;������a [il ÔDßFÚHÕJØOóQÛSÝ�Ô21�ÚVÞfÚHÕLØfÔhàYâ9ä�Ú�á]Ö�Õ�èVØWÔ�Û_Õ�×nm&à?Õ�Ýý>ã9ØfÙ�Ú{Ý�ÚVÞfÔDßYàYØWÔDßFÚ¿Û_áÅØWÙ�ÚHÔjÞ�èVÛ_Ó�Ü�Û_×fÔjØWÔ�Û_Õ`m ô ý�÷QÔ�×�ú_ÔDßFÚVÕ%âLé&ØfÙ�Úoj=p$�����q�=������

��>� m ô ý�÷r�!m<s ô ý�÷ � ý��� % ô�õ î7YtCF÷ø�Ù�Ô�×=Ô�×�à?ä�×fÛSØfÞfÔ�èvu�é&ØWÛ�Ú-,�Ü�ÞWÚH×f×AÔ�ÕJó�Û?ÞWÝ�×Hã�â9ÖzØAÓ�àoé&â�Ú�ÞWÚHÕ�Ý�Ú�ÞWÚHÝÐà?×�ê�ØWÙ�Ú1Ý�ÚVÞWÔjß?àYØfÔDßFÚ�Û_á�àSèHÛ_Ó;ëÜ�Û_× ÔDØWÔDÛ_Õ Ô�×&ØWÙ�Ú0Ý�ÚVÞWÔDßYàYØWÔjßFÚ½Û_á{ØfÙ�Ú½Û_ÖzØWÚVÞHã¿Ú�ß?à?äDÖ9àYØWÚHÝÌàYØ&ØWÙ�ÚÐÔ�Õ�Õ�ÚVÞoã=ØWÔDÓSÚH×�ØWÙ�Ú½Ý�Ú�ÞWÔDßYàYØWÔDßFÚ0Û_áØWÙ�ÚlÔDÕ�Õ�ÚVÞWç�î!wvÛ_Ö£èVÛ_Ö�ä�Ý£à?ä�×fÛ¥×fàxéíê�ØfÙ�ÚlÝ�ÚVÞWÔDßYàYØWÔjßFÚJÛ_á¿àòèVÛ_Ó�Ü�Û_×fÔjØWÔ�Û_Õ§Ô�×SØWÙ�ÚJÜ�ÞWÛ*Ý�Ö�èVØ&Û_á=ØWÙ�ÚÝ�ÚVÞWÔjß?àYØfÔDßFÚH×fç�ãzÜ�ÞfÛ:ß�Ô�Ý�ÚHÝ�éFÛ_Ö&ÞfÚoà?ä�ÔDðHÚ=ØWÙ9àYØQØWÙ�Ô�×�äDÚoàxßFÚV×�à�ä�Û?Ø�Ö�Õ�×fà?Ô�Ý%àYâ�Û_ÖzØ�ØWÙ�Ú¿àYÞWú_Ö�ÓSÚHÕFØW×�Û_árØWÙ�ÚÝ�ÚVÞWÔjß?àYØfÔDßFÚH×�ÔDÕLßFÛ_äjßFÚHÝ�îQñtá�ØWÙ�Ú�á]Ö�Õ�èVØWÔDÛ_Õ�×=ý0à?Õ�Ý&m�ÞWÚVähàYØWÚ¿ØWÙ�Ú�ßYàYÞWÔhàYâ9äDÚH× � ã�x�ã(à?Õ�Ýzy�âLéXy_�{m ô xz÷à?Õ�Ý|x_� ý ô � ÷�ãzØWÙ�ÚHÕ ô6õ î}YtCF÷�Ó�àoé�â�Ú�Ú/,zÜ�ÞWÚH× ×fÚHÝlà?×

� y�>� � � y� x � x���M% ô�õ î7Y�Y:÷

Page 14: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

~�����:�������k�}�`�v�:�}�8�}���v�:���c�������}�c���k�����k�>�������:�6���k�\�v�:�7���g�k���:�7���-�v���>�v�]�=�v�7���\�r .���`�_�:�R���¡�k�R�v�6���7�f�¢ ���}�����=�v�����k�����£���:�}��¤¡�v���=���v�:�i�����k�}�`�v�:�}�i�f�k�`¥��i�:�6�v�2¦>���§¥©¨ª�}�6���v�}�:��«`���£�v�£¬��6�v�L�}�ª�v�:��k�}���-¥:���k�}�8�}�:���>�v�2��¨

­�®°¯�®�±£² «:³�³�´ ­�®�¯�®�± ³�³« µ ­�®°¯�®�±_² «:³�³�´ ­�®�¯�®�± ³�³¯�®�±_² «:³�´ ¯�®�± ³ ¯�®�±£² «�³�´ ¯�®�± ³« ¶· �t¸��6¦>�6�f¹��v�:�7���=�v���:�c���©���:�������:�k�L¸��k��¤º¥����f�k�:���|�v�:�|�}�:�6�©�v�2�»¨¼¥:�v�f�=¤����:�t¸��O¸)�:�6�v�6¦>�-�¡�v�:�¯�®�±n² «:³�´ ¯�®�± ³.�v���=���=�:�����=�v�F�}�����:�½�:���:�����7���=�v�k�.¥������������.¬��6�v�:�¾���:�7�F�:�7¿c���:�7�»¨c�}�.�t¦>�6�v�6�����¥©¨o�k¥����6��¦��}�:�)�v���=���7� ­ �7���:�2���6�v�6�©�v�}�=¥��}���=���)�����7�©��Àr�v�:�6�£�nÁ>Â�Ã�Ä;Å°ÃÇÆ�Â�Æ�È�É�ÅgÊ.Ë<Ì�Ë�Ã�Á�Ë�Í\Æ�Â�Ä;Å�Ë�Ã�Ä�¡�f¨¡¥��8�:�6Î��:���z�g�k�)�6¦>�6��¨`Ϫ�}�TÐi��� ®�­ ³.¥©¨

ÑÓÒ ­�® Ï:³ÓÔ ÕÖØ× ­�® Ï:³�´ ­�® À6³Ï�´�À �g�k�½ÏzÙµ À�Ú­<ÛÜ® À�³ �g�k�½Ï µ À ¶���:�}���}�½�_�����>�v�}�©�:���:���g�:�:�6���}���X����Ï`�=�)Ài�k�:�|�v�=�v�7��Î����

­�® Ï�³�´ ­�® À�³ µ ÑÓÒ ­�® Ï:³ ® Ï8´BÀ�³ ¶Ý �t¸{���6��À µ ¯�®�± ³��k�:�§Ï µ ¯�®�±£² «�³��}�`�v�:�}���v���}�=�v�}���K�k�:�K�:�7¦��}�:�i¥<¨z«ª�v�L�k¥:���k�}�­�®°¯�®�±_² «:³�³�´ ­�®�¯�®�± ³�³« µ ÑrÞfß+à�á ­�âd¯�®�±_² «�³�ã ¯�®�±_² «�³Ó´ ¯�®�± ³« ¶

���:�L�����k�}�z�v�:�7� ®åä �(æ>³)�v�:���&�g���}�7�;¸)�i�]�v���ç�v�:�£�����c�����R�v�}���z�}�7���7���v�:�}� ®Rè �+æ>³)�k�:�M�v�:�£�:�6Î��:�2�v�}������$���:���:�6�v�2¦k�=���7¦>� ®Üé �ëê�³.¥©¨§�7�6���v�7�:�`«`���_�v�c¬��-�v�:�¢ �����:�������:���}�:�6�v�o���:�c�����c�������7���}���G���F�����v�����:�2���6�v�6�©�v�}�=¥��}���g�:�:�-�v�}���:��¹Óì�¹ ­ ¹Ó�k�:� ¯ ¹í�v�:����»¸����=�:���7�}�f�=���}���:����� ®åä � ètî ³.���:�;¸{�v���=�ïï ± ì ®°­�®°¯ ³�³ µ ì Û ®�­�®°¯ ³�³ ­ Û ®°¯ ³ ï ¯ï ± ¶ð �k�v�z�����:�6���k�7�7¨>¹��}�8���:�M�6���:���}�:�6���§ñò�:�7���6�v���>�v�]�=¥��7�z�g�:�:�6�v�}���:�zó ¯íô Ú ¯�õ Úföföfö�Ú ¯�÷ø ¹)�v�:���ùñB´ è�=�:���}�7�f�=�v�7���:����� ®åä �(æ>³i���:�;¸I�v�:���2�o�����L�������2�v�}��� ¯$ô;®°¯�õk®°¯�ú>® öföfö ®°¯÷ ³�öföföv³�³�³n�}���:�7���6�v���>�v�]�=¥��7���k�:��7���)�:�6���7¦=�=�v�7¦>�8�}�����7¦>���`¥<¨`�v�:��û°Å�Ã�üË�ÉýÁ=þ$ÿ�Å�ÃqÌ=Æ�û�Ë��

ïï ± ¯$ôf®°¯�õ�®�¯�ú�® öföfö ®°¯÷ ³�öföfö�³�³�³ µ ¯ Û ô ®°¯�õk®°¯�ú>® öföfö ®°¯÷ ³�öföfö�³�³�³ ¯ Û õ ®°¯�ú>® öföfö ®°¯÷ ³�öföfö�³�³�öföfö ï ¯÷ï ± ¶ ®åä � è;é ³¢ ����:���g�:�:�6�v�}���:��ó ¯íô Ú ¯�õ Úföföfö�Ú ¯�÷�ø ¹k�v���]�=���F�v�:��¦k�=�v�}�=¥��}���FótÏ ô ÚvÏ õ Úföföfö�ÚvÏ ÷�ø �k�:� ± ¥<¨�Ï ô µ ¯íôt® Ï õ ³-¹Ï õ µ ¯�õ�® Ï ú ³-¹Çöföfö6¹�k�:�§Ï ÷ µ ¯÷í®�± ³-¹��v�:��� ®åä � è�è ³F�¡�f¨¡¥��8�����:�����������z�k�

ï Ï ôï ± µ ï Ï ôï Ï õ ï Ï õï Ï ú öföfö ï Ï ÷ï ± ¶ ®åä � ètä ³

Page 15: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

������ ����������������������������� !�"���"�����#��$%�&���"$���'�"��(� )�� * *�#�����,+� -�� *�������.* *�/+0 *1*������ 2��(�(3 �,���4 *�� � *�5+0�6�879�� !�0 :�&�� *�#�&���%(� 1:�&�"��;���,�;<'=?>8@�ACB�D�@FE'$%�&�G ���"���"�C7�H��<I7��;�J$%�:K� )������( 79�L�����" !�� *�M=?>8@ ACB�D�"$� *�N=?>8@�APO;DRQ��(�(S�� * *�T��+6K4��;���U�"�V7��;�W�����WQ, (�(S�������� * *�X�"�Y+0 Z�� *�������.* *�S@[S\ ]3^`_badcfe8gihkj�lnmoj�pqesrFlPt�uIg:v�e4udwIe4uSxCtycYz-j�p#{}|~uIt�xP|~j�udg�jyhb�3adudv�xP|~j�udg�\ ��<,�"$� 9 ��8���&��� *���"���(3�"��(� 5�;<'=?O4@�A;APD' ��1*�;�5+%��� !�#Q� ��$X�"$� -1�$%����J�"��( /=?>8@�ACB�D�7��;�J��+�������X�"$� e6�o��j�uIe4u0xP|~tycl�adc~e4g�^ ��;���:�V�s�:� �������� ��;�U���Y� (��3= � D ��� ����;��� =?>8@ A:��DEU$� i���"���X�;<)�"$� *�� ���9��$� ����;���9��V�0�����������9��������$��;��(���+0 ��4���PQ��S@�EU$� q�� *1*�;���� �W :�����( 7�" *1!�PK� !�� *�-<��"�;���"$� }���"���3+�7� !���%(��C78 ���U��$� �<f��1!�3�"$%�&� � � �s�C� �;¡£¢*¤ � @d¥4��� (��&�"(£7�H:�<��"$� �(��;���&�"£�"$����1�"��( 5�;<,=?O4@�A;APD' �G1*�;�5+%��� *�JQ� �"$X��$� 51¦$%�� �J�"��(� /=?>8@ ACB�DU�"$� !�i<§���Z����7W���;�� �"£K� -<§����1!�" �;� � �;�� ��+����� ���'�"$� c~jy¨ytyl�|§xP©dpN|ªv9l&adcfe8g�^���� ( �3= � D � A� ����;� � ���� ( �;� ¢ = � D � A( �3= � D A� ������ � =?>8@ AP«;D¬ ��1* ������� �X�"$� 5���"���Z�;<}�"$� *�� 2 ���"$� 2���;���G ���0�����"�����­��������$��;��( ��+� -�8���CQ,�S@�E'$� 5�� *1*�;���� � :���� ( 7b�" *1!�PK� !�� *�X<��"�;�®�"$� ­���"���,+�7/ *���%( �P74����2�"$� )<f��1!�'�"$%�&��(��;� ¢ = � D � (��3= � D�¯}(��S= � D�@° K� *�#����7W���;�� �"£K� )<§����1!����;� � �����#����79�" :��(31*�;�����������R±3H��;�� )���PQ²$%���,�"$� lPe4tyc���j8³5e4ll�adc~e�^ ��;� �6´ � ± �4´�µ·¶ ����;� � =?>8@ AC¸�DEU$���-�"��( ���5�J���� *1*���(R1:���� L�;<��"$� V�"��(� L<§���5�; !�� !����(R���PQ� ��2<§����1!�"��;���!@W��51:���N+0 L�� !�� K� *�N+�7�� ¹� !�" *���"��&�"����5�"$� ­��� !���"£�7L(��;��= � ´ D � ±,(��3= � D���������2�"$� G���"���U(��;���&�� �"$��� 1��"��( V=?>8@�AP«;D��;�b :��1�$�� �� �@RºG(£�" !�"�%�&�"£K� *( 7�H4 �'1:���W+� )�� !�"£K� *�W+�7/�� ¹0 ��" *���"��&�" �����"$� Z��� *���"£��7 � ´ ��� ´ �»��¡ � ¤ ��������V�"$� ���"���U ¦�8�0�;�� !���"���(��"��( Y=?>8@�A:��D¼<§�;(�(��CQ� *�L+�7��"$� ����"�½�U(��;���&�"£�"$����1'�"��(� Y=ª>8@�AP«;D�@¼E·��7�+0����$bQ��C74�R�"��%���W�"$� ��;�� ZQ� ��$9Q�$��1�$W7��;�J�&�" Z���;���'1*�;��<§�������&+%(� &@EU$� R���"���·QU�:7��� *������;�� *�5�&+��PK� ��"�,�� ��" K� ��"$� ��" *��(����PQ� ��I�"��( R��I���5�&���%(� 1:�&�" �;�)�;<��,���� *<§��(�� !��$��4��1*��(�(� !��(��;���&�� �"$��� 15�� ¹� !�" *���"��&����;�S@2������Z���;�������� *<§��(��<�7��;��$%�:K� V�"�/�� ¹� !�" *���"��&�� �����"�6����1!���;<3�"$� )<§���"� � ´&¾¶ � ´C¿À�Á:Á:Á � ´PÂà @�Ä�7L�"�&�8����2�"$� �(��;���&�"£�"$����;<·�"$� �����"�6����1!�:H�7��;�W��+��"����( ��Å � ´&¾¶ � ´C¿À Á:Á:Á �6´�ÂÃMÆ � ± ¶ (��3= � ¶ DoÇ#± À ( �3= � À DoÇ Á:Á:Á ± à (��3= � à D �È, ��0 :�&�" !�W���� ��;<3�"$� ­���"����(��;���&�� �"$��� 1,�"��( �=ª>8@�AP«;D��"$� *�9�; K� *���"$� cfj�¨yt%l&|§xP©dpN|~vWwd|§ÉRe6l�e4u0xP|~t8ÊxP|fj�uËl&aIc~e�^��;� Å � ´&¾¶ � ´C¿À Á:Á:Á � ´�ÂÃ Æ � � ´&¾¶ � ´PÂÀ Á:Á:Á � ´PÂÃÍÌ ± ¶� ¶ ��� ¶�;� Ç ± À� À ��� À�;� Ç Á:Á:Á Ç ± Ã� à ��� Ã���ÏÎ � =?>8@ APÐ;DEU$���,��$��;��(��J�����,+� )�� !�����"�.! *�X���,�V�"��(� &Hy+%�8���"�&�"$� !���������" !�" !�X���G�Y�� !�"$��6�S@R����������V�%( 7/�QU�:7b�"��1*�;�V�y��1!�"( 7b�����������.* ­�"$� Fѽ��+J�;<I���&�4����2�"$� ��� ��" K&�&�" K� Z�;<}�Y1*�;���%(� 1:�&�" *�b���"�6����1!�:@

Page 16: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

Ò½Ó ÔGÕ�ÖJ×0Ø;Ù�Ú£Û"Ú Ü�Ý2Þ§ß�Õ�à!Û�Ú�Ø;Õ�á�âLãCÖWä0Ý2Ý�å8×�Ø;Õ�Ý*Õ�Û"Ú�ã&Û"Ý!æiÛ"ØLÛ"ç�Ý2×0ØCè�Ý!éZØ;ÞFã�Õ�Ö#Ø�Û"ç�Ý!éZÞ§ß�Õ�à!Û�Ú�Ø;Õ�êÛ"ØLØ�ä�Û�ã�Ú Õ#á�ë�ì�í�Þ�á�ã�Õ�æ�êWã&é"Ý5æ�Ú î�Ý!é"Ý*Õ�Û"Ú�ã&ä%ï�Ý5Û"ç�Ý*Õ#Ù�ØbÚ�ÙGáyë�ðoã�Õ�æ�Ú£ÛGæ�Ý!é"Ú£Ü�ã&Û�Ú Ü�Ý5Ú�ÙGñ;Ú£Ü�Ý*ÕJä6ÖWÛ"ç�Ýò;ó�ô#õ}ö~÷Iø8ùnø�úoû�ó�÷Iø8÷0üPöfýyþ§ÿ�û�ó��5ø������dþfø��

� �

á ë���

êRá ë���

��

ï Õ�á�á ëê��� ���

�� �

�ç�Ú�Ù·é�ß�ï�ÝRÕ�Ý!Ý*æ5Õ�Ø�Û·ä�ÝFâ�Ý*â�Ø�é"Ú

Ý!æ)ã�Ù·Ú Û·Ú�ÙoÜ�Ý!é�Ö�Ý:ã�Ù�Ú�ï£Ö­é"Ý*à*ØCÜ�Ý!é"Ý*æ-ä�Ö�ï�Ø;ñ�ã&é"Ú£Û"ç�â�Ú�à}æ�Ú£î0Ý!é�Ý*Õ�Û�Ú�ã&Û"Ú Ø;ÕSì

!Õ�ÝLæ�Ú î0Ý�é"Ý*Õ�Û"Ú�ã&Û"Ý!Ù-Û"ç�ÝLÚ�æ�Ý*Õ�Û"Ú£Û�Ö�ï�Õ

�á ë� �

ï�Õ�á�ê�ß�Ù�Ú�Õ�ñXÛ"ç�Ý

"é�Ù�Û5ï�Ø;ñ�ã&é�Ú Û"ç�â�Ú àVé"ß�ï Ý

���ì�$# �

Ø;Õï�Õ�á�ë�Þ§Ø;ï�ï ØPèFÝ*æ ä�Ö�Û�ç�Ý�×�é"Ø4æ�ß�à!Û2é"ß�ï Ý

���ì% �Ø;ÕMï�Õ

�á�êiã�Õ�æMÛ�ç�Ý

"é"Ù�Û2ï�Ø;ñ�ã&é�Ú Û"ç�â�Ú àYé�ß�ï�Ý

���ì�$# �Ø;Õ ï Õ

�á�ìMÔGï Û"Ý!é�Õ%ã&Û"Ú Ü�Ý*ï£Ö�ð¼Ø;Õ�ÝWà*Ø;ß�ï æ æ�Ú î�Ý!é"Ý*Õ�Û"Ú�ã&Û"Ý9Û"ç�Ý/Ú�æ�Ý!Õ�Û"Ú£ÛÖÏá ë

�'&)(+*�,.-0/ë ß�Ù�Ú�Õ�ñ�Û"ç�Ý

"é�Ù�ÛÝ�å4×0Ø;Õ�Ý*Õ�Û"Ú�ã�ï�é"ß�ï Ý

���ì� % �

Þ§Ø;ï ï�ØCè�Ý*æ)ä�ÖZÛ"ç�Ý�×�é"Ø6æ�ß�à!Ûdé"ß�ï Ý���ì% �Ø;Õ-ï�Õ

�á�êZã�Õ�æ)Û"ç�Ý

"é"Ù�ÛIï�Ø;ñ�ã&é"Ú£Û"ç�â�Ú�àé"ß�ï Ý

���ì�$# �

Ø;Õsï�Õ�á�ì ÔGñ�ã�Ú�ÕSð�Û�é�ÖËä0Ø�Û"ç èUã:Ö8ÙbÛ"Ø

"Õ�æ`Û�ç�Ý�Ø;Õ�Ýiè�Ú Û�ç�è�ç�Ú�à�ç`Ö�Ø;ßsã&é�Ýiâ�Ø;Ù½Ûà*Ø;â�Þ§Ø�é�Û�ã&ä%ï�Ý�ì

13254 �768�dþfø�98:kó;��<=�&ö5>�ó�÷Ió�ôqø6ü���öªòiý�÷Iù@?7Aoû�øB�Põ�ó�þ~öªòDCE�I÷dò�üPö~ó�÷F9 2 í½Þ�Û"ç�ÝYÙ�Ú�Õiã�Õ�æ�à*Ø;ÙGé"ß�ï Ý*ÙØ;Þ��Gì��� �

ã&é"Ý)à!Ø;â2ä%Ú Õ�Ý*æ9è�Ú Û�ç9Û"ç�Ý�à¦ç%ã�Ú ÕWé"ß�ï Ý���ì��H �

Ö�Ø;ßWØ�ä�Û�ã�Ú Õ9Û"ç�Ý9:öª÷nýy÷dù ò�óI9����dþfø�90�

Ù�Ú�Õ�á� �

à*Ø;Ù�á� áJ�K

J

à*Ø;Ù�á� �ML

Ù�Ú Õ�á� á��� ���

�N �

OØ;ßJÙ�ç�Ø;ß�ï�æ

PÕ�ØCè Û�ç�Ý*Ù�Ý5Þ§Ø�é"â2ß�ï�ã�Ù!ì�í�Þ}Û"ç�Ý

Qß�Ø�Û"Ú Ý*Õ�Û­ã�Õ�æJé"Ý*à*Ú£×�é"Ø4à:ã�ï·é"ß�ï�Ý*Ù­ã&é�Ý)Û"ç�Ý*Õiã&×�×%ï�Ú Ý*æXÛ"ØÛ"ç�Ý�æ�Ý

"Õ�Ú Û"Ú Ø;Õ�ÙRØ;Þ�Û�ç�Ý,Ø�Û"ç�Ý!é�Û�é"Ú ñ;Ø;Õ�Ø;â�Ý!Û�é�Ú�àUÞ§ß�Õ�à!Û"Ú Ø;Õ�ÙFÚ�ÕYÛ"Ý!é"â�Ù�Ø;Þ0Ù�Ú ÕLã�Õ�æ�à*Ø;Ù!ð6Ø;Õ�Ý�Ø�ä�Û�ã�Ú�Õ�Ù�Û"ç�ÝØ�Û"ç�Ý!é ü���öR>yó�÷·ó�ôqø�ü��&ö~ò7���dþ~øB90��

Û�ã�Õ�á� �

Ù�Ý*àS �á� á� K

�Ù�Ý*à

�á� �

Ù�Ý*à�á�Û�ã�Õ

�á� áJ K

à*Ø�Û�á� �ML

à*Ù�àS �á� á� K

�à*Ù�à

�á� �ML

à*Ù�à�á�à*Ø�Û

�á� á� �

���ìG H �íÛ­Ú�ÙGä0Ý!Ù�Û­Ú�Þ¼Ö�Ø;ß

PÕ�ØCè Û"ç�Ý*Ù�Ý2Þ§Ø�é"â2ß�ï�ã�Ù�Û"Ø4Ø�ìGí�Þ�Ö�Ø;ß#Ù�ç�Ø;ß�ï æiÞ§Ø�é�ñ;Ý!Û�ã�Õ�ÖJØ;Õ�Ý2Ø;Þ¼Û"ç�Ý*â ç�ØCè�Ý!Ü�Ý�é:ðÖ�Ø;ßWÙ�ç�Ø;ß�ï�æWä�Ý-ã&ä%ï�Ý­Û"ØYé"Ý*à*ØCÜ�Ý!é�Ú£Û�ã�Ù,Ø;ß8Û"ï Ú�Õ�Ý*æWã&ä0ØCÜ�Ý�ìí�Þ0Û"ç�Ý�Ù�Ú�Õ�çbã�Õ�æ�à*Ø;Ù�ç�é"ß�ï�Ý*ÙRØ;Þ

�TG�� �

ã&é"Ý,à!Ø;â2ä%Ú Õ�Ý*æ�è�Ú Û"ç�Û�ç�Ý,à�ç%ã�Ú�Õ�é"ß�ï Ý���ì��H �

Ö�Ø;ß�Ø�ä�Û"ã�Ú�ÕÛ"ç�Ý9:öª÷FUnýy÷dùËò;ó�9)UV�W�Iþ~øB90�

Ù�Ú�Õ�ç�á� �

à*Ø;Ù�ç�á� á��K

à*Ø;Ù�ç�á� �

Ù�Ú�Õ�ç�á� áJ�� ���

ìG � �íÛ�Ú�Ù�ä0Ý*Ù�ÛUÚ Þ0Ö�Ø;ß

PÕ�ØCè�Û"ç�Ý!Ù�ÝGÞ§Ø�é"â2ß�ï�ã�Ù*ì}í�Þ0Ö�Ø;ßbÙ�ç�Ø;ß�ï�æbÞ§Ø�é"ñ;Ý�Û�Ý*Ú Û�ç�Ý!éUØ;Õ�Ý�Ø;ÞSÛ"ç�Ý*â ç�ØCè�Ý!Ü�Ý�é:ð4Ö�Ø;ßÙ�ç�Ø;ß�ï æiä0ÝVã&ä%ï�Ý2Û"Øbé"Ý*à*ØCÜ�Ý!é)Ú ÛZÞ�é"Ø;â Û"ç�Ý

"é"Ù�Û�Ý�å8×�Ø;Õ�Ý*Õ�Û"Ú�ã�ï¼Þ§Ø�é"â2ß�ï�ã

���ì� % �

ã�Õ�æiÛ"ç�ÝYæ�Ý"Õ�Ú Û�Ú�Ø;Õ�ÙØ;ÞIÙ�Ú�Õ�çJã�Õ�æXà!Ø;Ù�çXÚ�Õ/Û"Ý!é"â�Ù�Ø;Þ·Ý�å8×�Ø;Õ�Ý*Õ�Û�Ú�ã�ï

XÙ�Ú�Õ�ç�á� � & - LY& � -G K

à*Ø;Ù�ç�á� � & - � & � -G �

Page 17: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

Z\[]_^�`badcfeBgdh0`bijclkm`on0kdp7qbcsrlijtdqbh�r)n0u3qbgduvcsw�nWqbcx`badclkynWtdtzujivclp7`\h�`badcfpdcs{zkdij`bijh�kdwoh�^�`\adc|h0`badcsq}aJ~Bt�c�q��� h�ujivrx^�gdkdrs`bijh�kdwoivk�`bcsqb��w}h�^Fw�ivkda�n0kdp7rlh�w\a��zh�kdcfh � `�n0ijkdw}`badcxh0`badcsq����������������R�R�����F�R�B�0�

��J� `�n0kda��¡ �¢¤£'w�clr�a�¥��R �¢ �  ����¦��J� w\clr�aE�¡ �¢¤£M§�w\clr�a��¡ �¢B`�n0kda3�¡ �¢ �  ��� ¦

��J� rlh0`\a��¡ �¢¤£M§�rsw\r�a�¥0�R �¢ �  ����¦��J� rlw�r¨aE�¡ �¢¤£M§�rlw\r�a��¡ �¢drsh0`ba��¡ �¢ �  �J��©

��ª�«­¬�¬�¢

]®`¯ivw � csw�`¯iv^¤~Jh�gy°�kdh�±²`badclw\c³^�h0qb�³gduvn0w�`bhBhd«´]_^�~Jh�g�w\adh�gdujpD^�h0q\µ�cs`fn0km~yh�kdc³h�^¤`badcl�¶adh�±·cs¸Jc�q)�~Jh�g�w\adh�gdujp � c¹n � ujc�`bh7q\clrlh�¸Jcsqºij`|n0w»h�g�`bujivkdclp�n � h�¸Jc0«8¼Ih0qb�³gduvn0w½��ª�«­¬B¾$¢xn0kdpV�¡ª�«¿¬�¬�¢¯nWqbc�¸Jcsq�~w\ij�½ivuvnWq�`bh¹`badh�w\c ^�h0q¯`badc³pdcsqbij¸WnW`biÀ¸Jclw¯h�^�`badc³rlh0q�qbclw�t�h�kdpdivkdµ7`\q\ivµ�h�kdh��½cs`�qbivr»^�gdkdr�`bivh�kdwlÁEn0uvuE`baznW`r�azn0kdµ�clw�ijwÂ`®±·h�w\ivµ�kdwl«Ã3ÄÆÅ � Ç��B���5È�ÉdÊ$�RÈ;��� �IË´ÌsÍ�È;�B���l�DÎE�FÍ���Ê$�5�IÍF� Ä´Ï clr)n0gdw\c³n�^�gdkdrs`bivh�kÑÐÑivw8Ò�gdkdpdh�kdclÓ½±}adclk�rlh����t�h�w�clp�±}ij`\a�iÀ`bw=ijkm¸Jcsq\w\c¯^�gdkdrs`bivh�k7ÐEÔEÕÂijk¹`badc´w\clkdw\c´`baznW`Ö �£×ÐØ��ÐEÔ�Õ��R �¢\¢¨��`badc´r�azn0ivk8qbgdujc´r)n0k � cgdw\clp�`bh�pdcsq\ij¸Jcf`\adc|�RÍ3ÈI���W�l��Ë®�FÍF�0Ê$�5��ÍÙ���F�5���

���� Ð Ô�Õ �¡ �¢¤£

¾Ð�Ú\ۮРÔEÕ �¡ �¢�Ü

�  �J� © ��ª�«­¬0ªJ¢

Ý kdc½rlh�gduvpÞwß`�nW`bc�`\adivw»n0w�Òß`badc�pdc�qbij¸WnW`bij¸Jc�h�^·n0kÞivkJ¸Jcsqbw�c½ivwx`badc�qbcsrlijtdqbh�r)n0u�h�^à`badc½pdcsq\ij¸WnW`bij¸JclÓd�tdqbh�¸�ijpdclp�~Jh�g�qbc)n0ujiválcx`baznW`o`badijw�uvcln�¸Jclw�n�uvh0`ogdkdwbn0ivpÑn � h�g�`}`badcºnWqbµ�gd��clkm`oh�^F`badc»pdcsq\ij¸WnW`bij¸Jcfivk`badcfpdclkdh��½ivkznW`\h0q)«Ý kdc½pdhBcsw»kdh0`»kdclcsp�`bh��½cl��h0qbiválc���ª�«­¬0ªJ¢xn0wf�³gdr¨a�n0w|`bh7�½n0w�`bcsqfij`bwfpdcsqbiÀ¸0nW`bijh�k3«�]®`»µ�h�clwuviÀ°Jc�`badijwl«yâ�h�{zkdpY`badc½pdcsq\ij¸WnW`bij¸Jc¹^�h0qb�³gduvn�^�h0qºã�£äÐEÔ�Õ)�¡ �¢¨�F{dqbw�`º`�nW°Jc�`\adc¹pdcsqbij¸WnW`biÀ¸Jc½h�^·`badcivpdcskm`biÀ`®~�ÐØ�Rã�¢¤£å �`bh�h � `�n0ivk

Ð Ú �¡ãB¢ � ã�J� £ �  ��� ©

âÖadclk³w\h�uj¸Jc=^�h0q � ãBæ �J� n0kdpºgdw\c·ã £×ÐEÔEÕ��¡ �¢�`bhocluvij�½ivkznW`bc�`badc=ãxivk Ð Ú �¡ãB¢�«ØâÖadivwFµ�iÀ¸JclwÖ��ª�«­¬0ªJ¢�«�âÖadcaznWqbpdclwß`ft;nWq\`fh�^�`\adc�pdcsq\ij¸WnW`bivh�k�qbcl�¹n0ijkdw � clr)n0gdw�c�~Jh�gçrln0kçgdw\gzn0ujuj~�gdw\c ivpdclkJ`biÀ`bivclw¯`bh�w\iv��tzuviv^Æ~Ð Ú �TÐ Ô�Õ �R �¢\¢¨«èéadclkÞ`badc½n � h$¸Jc tdqbhBrsclclpdg�qbc½ijw»nWtdtzujivclp�`bh�`badc�`\q\ivµ�h�kdh��½cs`�qbivr³^�gdkdrs`bijh�kdwl�Fh�kdc {zkdpdw»`badc�RÍ�È;�B���l��Ê����Rê;��ÍE��ë��mÊ��W�R�7���F�R�B�0�

���� w\ijk ÔEÕ �¡ �¢¤£

¾ì ¾}§Þ  ¥�  ���

���� `�n0k ÔEÕ �¡ �¢�£

¾¾�íî  ¥

�  ����

��� w\clr ÔEÕ �¡ �¢¤£¾

ï   ï ì   ¥ §Ù¾�  �J�

���� rlh�w ÔEÕ �¡ �¢�£²§ ¾ì ¾}§Þ  ¥

�  ���

���� rlh0` ÔEÕ �¡ �¢�£M§ ¾

¾=íî  ¥�  ����

��� rlw\r ÔEÕ �¡ �¢�£M§ ¾ï   ï ì   ¥ §Ù¾

�  ���

��ª�«­¬Wðm¢

ñàh�g�w\adh�gduvp�°Bkdh$±òadh�±ò`bh7gdw\c�`badc�`\h�pdcsqbiÀ¸Jc�`badclw\c�^�h0qb�³gduÆn0wl«¹]´±·h�gdujpÞwbn�~D`baznW`|~Jh�gçw\adh�gduvp°�kdh�±V`badh�w\c´ivk½`\adc�uvcl^Æ`Örsh�uvgd�½k3«¤âÖadh�w\c´ivk½`\adc�qbivµ�aJ`·rlh�ujgd�½k½azn)¸Jc´pdcsqbij¸WnW`biÀ¸Jclwà`baznW`·pdiÀó�csqÖ^Æq\h��

Page 18: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

ôßõöb÷dø�ù\úºûjüyöb÷dúºývúlþÆö¯ÿsø�ý����½ü����yø�üdý���¹ù\û��ü���ö\÷dûvù´ûvù ½ÿsø�üdù\ú����dúsüdÿlú�ø�þØöb÷dúºÿsø�� þ��düdÿsöbûjø�ü��\úlý�Wöbûjø�üdùþ�ø��Âöb÷dú|ûjü��Jú��\ù\úfö��\û��ø�üdø��½úsö��bûvÿ¯þ��düdÿsöbûjø�üdù��

� ÷dúlü×öb÷dú����ø �Jú"!��\øBÿlúlú�#��$�búYûvù%�!�!zýjûvú�# öbø öb÷dú�÷&��!�ú'����ø�ýjûvÿ�þ��düdÿsö\ûvø�üdù�(fø�üdú*)zü�#dùyöb÷dú+-,/.10�243�06587/9:0;24<>=@?A+-BC24DE?-0�3�F

GG&H ù�ûvüd÷�IKJML-N8OQP RS RUT N8V

G NG&H

GG&H öW0üd÷/IXJ LANYO>P R

R[Z N VG NG&H

GG&H ù�úlÿ�÷ IXJ LANYO>P Z RN S R\Z N V

G NG�H

GG�H ÿlø�ù\÷ IXJ LANYO>P RS NYV Z]R

G NG&H

GG�H ÿlø0öb÷ IXJ LANYO>P Z RN V Z]R

G NG�H

GG�H ÿlù\ÿ�÷ IKJ L-N8OQP Z R^ N ^ S RUT N8V

G NG&H

L`_$�ba�c�O

d ÷dúlù\ú|üdúsú�#yüdø0öe��úf�½ú��½ø��bû�gsú�#��Kh=ø���ù\÷dø��dý�#7÷døMi·ú'�Jú��kjBüdøMi ÷dø i öbøl#dú��\û��Jú¯öb÷dúlù\úfþ�ø��W�m�dý�0ù��n�oqp F*rs0�24+-.�tvuM+q.10$3w=1xmyzDE,EB�uM+-=@,E3�rs0;{Q,X0$|~}���9�?-+AB&+�uM?q7 oC� þ��düdÿsöbûjø�ü�NYö\÷vWö»ûvù�#dú�)züdú�#����öb÷dú��bú����dû��bú��½úsümöÂöb÷vWö[��P�NEL H O��û��Júlùe�ù�ø�ý���öbûjø�ü7ø�þ�0ü�ú����vWöbûjø�ü

� L HX� ��O�P�� � L`_$�ba��&OûvùfùW0û�#Döbøw��úl#dú�)züdú�#Yû��l!zývûjÿlûjöbý������]L`_$�ba��&O'���Bø�ý���ûjü�7ù��dÿ�÷�0ü�ú��;�vWöbûvø�üDþ�ø�����öbø7ø��döW0ûvü�NKL H Oú'��!zývûvÿsûjöbý���ûjù��úlüdú��W0ývý��w�Jú����w#dû���ÿ��dýjö�(Iø����½ø�ù�ö}ývû�jJúlý��&(;û���!�ø�ù\ù\û��zývú�� d ÷dú ��0;uM5X=/|�=@x +-��9�?-+AB&+�u|E+��U0;240�,8uM+-t�uM+q=Y, 0ývývø i}ù��Jø���öbø³ÿlø��l!v��ö\ú ��0ý��dúsù}ø�þ G �$� G&H ioûÀöb÷dø���öÂø��dö�0ûvüdûjü��NKL H O=ú'�$!zýjûvÿlûÀöbý��&�d ÷dú û�#dú��ûjù�öbø�û�����ûjüdú|öb÷vWö���ûvù �û��Júlü������j�üdø ioüÑþ��düdÿsöbûjø�üçø�þ H 0ü�#Ñö\ø����dù�ö�#dû���ú��búsümöbû�WöbúL`_$�ba��&O �dù�ûvü��ö\÷dú�����bûvø��dù\�W�dývúsùoþ�ø��e#dû���úsümöbû�Wöbûvü��ÿlø����zûvüvWöbûjø�üdùe�û��Júlü7ûjü�öb÷dûjù}ù�úlÿsöbûjø�ü�L-!��bø;#��dÿsö�W�dýjú�(zÿ¨÷v0ûjüC�W�dýjú�(zúsöbÿ��bO'� d ÷dú��\úlù��dýjö}ø�þ�öb÷dûjù}ÿ�0ývÿ��dý�Wöbûvø�üsioûjývý8��úfù\ø��½úsö\÷dûvü� ø�þ�öb÷dúxþ�ø��W�

�fP GG�H � L HX� ��OQP�¡�L HX� ��O G �G&H T£¢ L HK� �$O8¤ L`_$�ba�¥�O

d ÷dûvùÂÿ�0üC��ú���ûjú�i·ú�#C0ù��ýjûvüdú���}ú��;�vWöbûvø�ü�þ�ø�� G ��� G�H ($i}÷dûvÿ�÷C�Bûvúlý�#dùG �G&H P Z ¢ L HX� ��O

¡�L HK� �$O io÷dú��\ú��Jú���¡�L HK� �$O�¦P��\¤ L`_$�ba�§&O

¨ úlüdÿlú�( G ��� G�H ÿ�0üC��úfú'��0ý��vWöbú�#%Wöe0ü&��L HX� ��O�ö\÷vWöoùWWö\ûvù�)zúlù�L`_$�©a��&O=þ�ø��[io÷dûjÿ�÷�¡�L HX� ��O�¦P��$�

Page 19: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

ª�«¬z­�®s¯ °²±'³�´�µ�±�³s¯f¶¸·l¹º¯ »U¯ ¼½¯ ¾%µ ´s°�¿ ¹eÀw¾"Ámµ�± ·Â¾"¶

àÄ�Å�ÆMÇ~È�ÉkÊ�Å�È�É�ËkÆ�ÌXÍ�Ä�ÎWÈ�Ï�Ê�ËWÈ�Ï&Ä�Ì�Æ�ÎWÐmÑ�Å�Ê�ÉeÌ�Æ�ÎeÄ�Å�Ä�ÐÂÄ�Ò&Ë�Ê�Î�ÓsÌ�Ñ�Ò�Ô�ËWÈ�Æ�Ò�ÉkÈ�ÒCÔÖÕvÊ�È�ÒCÎWÑ�Å�Ä�Ì�Æ�ÎWÐC׬z­AØ1Ù�ÚsÛ�ÜKÛ�ÝMÞ1ß�à�á$â�Û�ݹXãEÜKä�åMæqá@ÜEç�­

èè�é ê�ë�ìîí�ê;ë�ïKð

è êè&éñ Õ�È�É[È�ÉQò�Ñ�É�Ë�Ê�Ô�Æ�ÐmóvÈ�ÒvÊ�ËWÈ�Æ�ÒsÆ�Ì\ô`õ$×÷ö&ø Ê�Ò�Í�ô`õ$×�ù ú&ø'׬z­qûYÙf¯�ü/ý>áYÜXÛ$Ü8åMæ-Þ1ß�¹zãEÜEä�åMæqáYÜKç�­

èè&é\þ�ÿ ì þ�ÿ

è êè�éèè�é��;ÿ ì Å�Òzô � ø ��ÿ

è êè�éñ Õ�Ä�É�Ä�Ê�Î�Ä\ò�Ñ�É�Ë�Ê�ÎWÄ�É�Ë�Ê�ËWÄ�ÐÂÄ�Ò�ËeÆ�Ì ô`õ$×�ù���ø'׬z­���Ù�»Uá��1Þ1Ý4æ�å���æAäC¹XãEÜKä�åMæqá@ÜEç�­

èè�é Å�Òzô ê ø ì

ùê

è êè&éèè&é Å�Æ ���$ô ê ø ì

ùÅ�Òzô � ø

ùê

è êè&éñ Õ�Ä�É�Ä�Ê�Î�Ä\ò�Ñ�É�Ë�Ê�ÎWÄ�É�Ë�Ê�ËWÄ�ÐÂÄ�Ò�ËeÆ�Ì ô`õ$×�ù��ø'׬z­�¬zÙ�µ�Ý4æ��1á@ÜKá��Û�å Ý�æ-ä�¹zãEÜEä�åMæqáYÜEç�­

èè&é É�È�ÒXô ê ø ì Ô�Æ�É�ô ê ø

è êè�éèè&é Ë�Ê�Òzô ê ø ì É�Ä�Ô���ô ê ø

è êè�éèè&é É�Ä�Ô�ô ê ø ì É�Ä�Ô�ô ê ø�Ë�Ê�Ò�ô ê ø

è êè�é

èè&é Ô�Æ�É�ô ê ø ì�� É�È�Òzô ê ø

è êè�éèè&é Ô�Æ�Ë ô ê ø ì�� Ô�É�Ô��ô ê ø

è êè�éèè&é Ô�É�Ô�ô ê ø ì�� Ô�É�Ô�ô ê ø�Ô�Æ�Ë ô ê ø

è êè&éñ Õ�È�É[È�ÉQò�Ñ�É�Ë�Ê�Ô�Æ�ÐmóvÈ�ÒvÊ�ËWÈ�Æ�ÒsÆ�Ì\ô`õ$×�ù ö&ø�Ê�Ò�Í�ô`õ$×����&ø'׬z­��YÙ��! /ý>Û�Ý":á@ß-æAä�¹zãEÜEä�åMæqáYÜKç�­

èè�é É�È�Ò�ÕXô ê ø ì Ô�Æ�É�ÕXô ê ø

è êè&éèè�é Ë�Ê�Ò�Õzô ê ø ì É�Ä�ÔÖÕ � ô ê ø

è êè&éèè�é É�Ä�Ô�ÕXô ê ø ì�� É�Ä�Ô�ÕKô ê ø�Ë�Ê�Ò�Õzô ê ø

è êè&é

èè�é Ô�Æ�É�ÕXô ê ø ì É�È�Ò�ÕXô ê ø

è êè&éèè�é Ô�Æ�ËWÕzô ê ø ì�� Ô�É�Ô�Õ � ô ê ø

è êè�éèè�é Ô�É�Ô�ÕKô ê ø ì�� Ô�É�Ô�ÕKô ê ø$Ô�Æ�ËWÕzô ê ø

è êè�éñ Õ�È�É�È�É:ò�Ñ�É�ËfÊ�Ô�Æ�Ð�óvÈ�ÒvÊ�ËWÈ�Æ�Ò%Æ�Ìkô`õ$×#��ùMø[Ê�Ò�Í£ôAõ$×#� ��ø'× ñ Õ�Ä�É�ÄmÌ�Æ�ÎWÐmÑ�Å�Ê�É Ê�ÎWÄ�Ï&Ä�Î�Ó%É�È�ÐÂÈ�Å�Ê�ÎkË�ƲË�Õ�Æ�É�ÄÌ�Æ�Î[ËWÕ�ÄfÍ�Ä�Î�È�Ï�Ê�ËWÈ�Ï&Ä�É[Æ�ÌKËWÕ�Ä Ë�ÎWÈ$��Æ�Ò�Æ�ÐÂÄ�Ë�Î�È�Ô Ì�Ñ�Ò�Ô�ËWÈ�Æ�Ò�É&%YÊ�Å�Å8ËWÕvÊ�ËeÔÖÕvÊ�Ò'��Ä�É�È�É\Ë Ç ÆlÉ�È$��Ò�É�×

Page 20: LIMITS, CONTINUITY, AND DIFFERENTIABILITY: BASIC

(*)+-,�.0/214365�798;:&7=<>8@?�A�B�3CBEDF7HG�8;?�IKJMLC3�I�G?�BE3�:�,

NN OQPSRUTWVMXY[ZW\^]

_` _ba ZWc

N ZN�ONN Oedgf TWVCX�Y�ZW\h]

__ji Z�c

N ZN ONN O PSk&l VMX Y[ZW\h]

_m Z m ` ZWc an_

N ZN O

NN�Ool4p P VCX Y[Z�\^] a _

` _ba Z�cN ZN�O

NN�O l4p d VCXY�ZW\^] a _

_>i ZWcN ZN�ON

N�O l4Pql VCX Y�ZW\^] a _m Z m ` Z�c an_

N ZN�Or�s k&Pqk f@t kvuxw'P dyfzt k&P d*f@d k4{|k&T d p }vY�~��#�@��\����jp w�P s p w'�U����T'p�� s p� d p��'k t R���k d s k&Pqk�}�p t {�w'� f P&�v���p w'�$�QP f���d s f@d�� p weP s p w'�U�e��T'p�� d s p Pqk�R$T d s k��$k&} d l&p �Uw'{|T0� r�s p Pqk�RUT d s k t RU� s d l&p �Uw'{zT s f ��k�'k t R�� f@d R$��k&P d s f@d �'R$�Wk t } t p { d s p Pqk�R$T d s k��Uk&} d l&p �$w'{|T�� � p T'� ��f PSRU� T0� d s R$P�RUP f l&p T'Pqk&�Hw'k&T'l&kp } d s k2l&p@��}�w'T'l d RUp T t k&� f@d R$p T'P�}�p t�d s kyRUT���k t Pqk dqt RU� p T'p {zk dqt R$l�}�w'T'l d RUp T'P4�+-,���/214365�798;:&7= !¡6¢£7H8;¤hBE¥[?�I!J-L�3�I�G?�B�3�:�,

NN O PqRUT s VMX Y[Z�\^]

_` _£i Z c

N ZN ONN O d*f T s VMX Y[ZW\^]

__va Z c

N ZN ONN O Pqk&l s VCX Y�ZW\^] a _

Z ` _ba Z cN ZN�O

NN OQl4p P s VCX Y�ZW\h]

_` ZWc a¦_

N ZN ONN O l4p d s VCX Y�ZW\^] a _

Z�c an_N ZN�ON

N O l4Pql s VMX Y[Z�\^] a _m Z m ` _>i Z�c

N ZN Or�s k&Pqk f@t k§uxw'P d>fyt k4P d*f@d k&{zk&T d p }^Y[~��#� ¨ \�� rbs k&PSk�T'k&k&��T'p d ��k�{|k&{zp t RU©&k4�0�M�>p wªP s p w'�$� s p�>k4��k t��T'p�� s p�� d p«�'k t R$��k d s k&Pqk2}�p t {ªw'� f P&�