LÍMITES DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

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Mathema LÍMITE DE FUNCIONES

2 Christiam Huertas www.xhuertas.blogspot.com

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y

más!

LÍMITE DE FUNCIONES Mathema

www.xhuertas.blogspot.com 3

Introducción a límites

En el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter estático y significa término, extremo o frontera.

En Matemáticas, el concepto de límite es un concepto dinámico y tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible a un valor (finito o infinito).

Consideremos el siguiente ejemplo. Para hallar el área de una figura poligonal simplemente se divide en triángulos y se suman sus áreas ( ).



Es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos como el círculo. Una manera debido a Arquímedes es aproximar el área inscribiendo polígonos en la región (Método de exhausción).

6 8 10 12

Si es el área del polígono regular inscrito con lados, entonces se puede observar que cuando aumenta, se aproxima cada vez más al área del círculo.



área í lim

En caso de hallar un patrón para las áreas

, entonces se podría determinar el límite de manera exacta.

Arquímedes tuvo esta idea hace más de dos mil años y es la base del concepto de límite de una función desarrollado en el siglo XVII por Newton.



El límite de una función.

Idea de límite de una función.

Consideremos la función .

Veamos cómo se comporta la función cuando esta próximo a 2 La función cuyo dominio es Dom 2 , la podemos expresar como

42

2 22

2 2; 2.



La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de para varias elecciones de próximo a 2.

… 1,8 1,95 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,05 2,1 …… 3,8 3,95 3,99 3,999 4 4,001 4,01 4,05 4,1 …





Se observa que, a medida que es un número cercano a 2, esta muy próximo al número 4. Decimos entonces que “el límite de

, cuando esta próximo a 2, es 4” y escribimos

lim 42 4

Definición informal de límite

Cuando escribimos “lim ”, queremos decir que esta arbitrariamente cerca de (tan cerca a como se quiera) conforme

esta arbitrariamente cerca (pero no igual) a .



Definición formal de límite

Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos. Sea : Dom una función definida en cada número de algún

intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente en el número mismo. Diremos que

lim 0, 0: D 0 | |

Esta definición se denomina frecuentemente épsilon-delta de límite1. 1 La notación moderna de límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta ( ), que inicialmente fue intuido por el matemático francés Louis Cauchy.



Hay tres posibilidades del resultado: lim

• Un número real: • Un valor infinito: ∞ • El límite no existe:



Unicidad del límite El límite de una función, si existe, es único. Es decir, si

lim y lim

Teorema. Sean y dos números reales. Entonces,

lim lim

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites.

. lim 5 5 . lim 2 2

. lim 2 . lim 1

Determinación algebraica de límites. Se usan métodos algebraicos para hallar límites de manera exacta. Leyes de límites Se usan las siguientes propiedades de límites para calcular los límites. Supongamos que es una constante y que los siguientes límites existen.

lim y lim

Entonces



1. lim lim lim

í 2. lim lim lim

í 3. lim . . lim .

í ú 4. lim . lim . lim .

í

5. limlim

lim si 0

í



6. lim lim

í

7. lim lim √ Si es par, 0

í í Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites.

. lim2

1

Solución. Utilizamos las propiedades de límites



lim2

1

lim 2

lim 1

lim lim lim 2

lim lim 1

0 0 20 1

21 2

. lim 3 1

Solución. Utilizamos las propiedades de límites

lim 3 1 lim 3 1

lim 3 lim lim 1



2 3 2 1 √9 3

Cálculo de límites Límites por sustitución directa Si es una función y esta en el dominio de , entonces

lim

Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en . Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites.

. lim 3 1



Solución. Como 2 esta en el dominio de la función √ 3 1, entonces,

lim 3 1 2 3 2 1 √9 3

. lim3 2

1

Solución. La función es una función racional y 2

esta en su dominio, entonces,

lim3 2

12 3. 2 2 22 2 2 1

41 4



. lim tan cos

Solución. Como 0 esta en el dominio de la función ,

entonces,

lim tan cos

tan 0cos 0

1 01 1

Problema 1. Calcule el valor del siguiente límite.

lim 1

2 sen



Resolución. Como está en el dominio de , entonces, por

sustitución directa se obtiene que

lim 1

2 sen1

2 sen 2

12 1

13

Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

00,

∞∞ , ∞ ∞, 0 ∞, 1 , 0 , ∞



A estas expresiones se les denomina indeterminaciones2, ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite. Por ejemplo es una indeterminación, pues puede terminar dando

cualquier cosa; como lo muestra los siguientes límites.

lim 0

0 Sımplıfıcado lim 0

lim 0

0 Sımplıfıcado lim 1 1

lim 0

0 Sımplıfıcado lim 1

∞

2 Una indeterminación es una operación matemática con resultado no conocido y cuya solución (finita o infinita) puede existir o no.



No son indeterminaciones 0 0 0 ∞∞ ∞∞ 0

Se demuestra a partir de .

Determinación de límites por medio de álgebra y leyes de límites.

1. Hallar un límite mediante cancelación de un factor común Para calcular el límite de una función racional que tiene una indeterminación del tipo , se factoriza numerador y

denominador, y se simplifica el factor común.



Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.

. lim 11

Solución. El límite lim tiene la forma indeterminada ,

factorizamos numerador y denominador para levantar la indeterminación.

lim 11 lim

11 1 lim

11

11 1

12

. lim 7 62




factorizamos numerador y denominador para levantar la indeterminación.

lim 7 62 lim

2 2 32 lim 2 3

2 2.2 3 5

2. Hallar un límite mediante cambio de variable Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.

. lim√ 2

8



Solución. El límite lim √ tiene la forma indeterminada .

Hacemos el cambio: , entonces √ . Además, si 8, entonces 2. Luego,

lim√ 2

8 lim28 lim

22 2 4

lim12 4

1

2 2.2 4112

. lim1 √1 √



Solución. El límite lim √√

tiene la forma indeterminada .

Hacemos el cambio: , entonces √ y √ . Además, si 1, entonces 1. Luego,

lim1 √1 √

lim11 lim

1 11 1

lim1

1

23



3. Hallar un límite mediante simplificación Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.

. lim3 9


entonces,

lim3 9

lim9 6 9

lim6

lim 6 6



. lim3 27


entonces,

lim3 27

lim3 27 9 27

lim27 9

lim 27 9 27



4. Hallar un límite mediante racionalización Consiste en multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión a racionalizar.

Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.

. lim √ 9 3

Solución. El límite lim √ tiene la forma indeterminada ,

entonces racionalizamos

lim√ 9 3

lim√ 9 3

·√ 9 3√ 9 3



lim 9 9

√ 9 3lim

√ 9 3

lim 1

√ 9 31

√0 9 316

. lim2 8√ 2

Solución. El límite lim√

tiene la forma indeterminada ,


lim2 8√ 2

lim2 8√ 2

.√ 2√ 2

lim2 4 √ 2

4



lim 2 √ 2 8

. lim3 6

1 √4 7

Solución. El límite lim√

tiene la forma indeterminada ,


lim3 6

1 √4 7lim

3 61 √4 7

1 √4 71 √4 7

lim3 2 1 √4 7

1 4 7



lim3 2 1 √4 7

4 2

lim3 1 √4 7

43 24

32

Límites laterales

Algunas veces el valor de la función puede aproximarse a diferentes valores cuando se aproxima a un número desde los lados opuestos. Cuando esto sucede, el límite de conforme se aproxima a por la izquierda es el límite por la izquierda de en , y el límite de conforme se aproxima a por la derecha es el límite por la derecha de en .



lim lim



Teorema. Una función tiene un límite conforme se aproxima a si, y solo si, los límites laterales derecho e izquierdo en existen y

son iguales. Esto es

lim si y sólo si lim lim

Ejemplo 1. (Comparar los límites laterales derecho e izquierdo) Muestre que lim | | 0

Solución. Recuerde que

| | si 0 si 0



• Como | | para 0, se tiene que

lim | | lim 0

• Como | | para 0, se tiene que

lim | | lim 0

Por lo tanto, lim | | 0

Ejemplo 2. (Comparación de los límites laterales)

Pruebe que lim | |

no existe.



Solución. Puesto que | | para 0 y | | para 0, se tiene que

lim | |

lim

lim 1 1

lim | |

lim lim 1 1

Como los límites laterales derecho e izquierdo son diferentes, se

deduce que lim | | no existe.

A continuación se muestra la gráfica de la función | | .



Ejemplo 3. (Límite de una función definida por partes)

Dada la función √ 4 si 4 8 2 si 4

determine lim si es que existe.



Solución. • Puesto que √ 4 para 4, entonces

lim lim √ 4 √4 4 0

• Puesto que 8 2 para 4, entonces

lim lim 8 2 8 2 4 0

Como los límites laterales son iguales, entonces el límite existe y

lim 0

La gráfica de se muestra a continuación.



Problema 2. Dada la función real 3 si 1 si 1

Si lim existe, calcule el valor de .

Resolución. Como lim existe, entonces, se debe cumplir que



lim lim

lim lim 3 3

lim lim 1

Luego, 3 1 4 2 2 Teorema del Sándwich Sean , , : funciones con dominio común de modo que

Si lim lim , entonces lim



Aplicación. Demuestre que lim 1.

Demostración. Consideremos el Círculo Trigonométrico

• Si 0 se tiene que 0 sen tan , luego



cossen

1

• Si 0 (es decir, 0 ) tenemos que,

cos sen

1

De todo esto concluimos que

cos sen

1 2 ; 0 0; 2

Como lim cos 1 y lim 1 1;

por el teorema del Sándwich obtenemos

lim sen

1



Límites de las funciones trigonométricas

Los siguientes teoremas son útiles para el cálculo de límites con funciones trigonométricas. Teoremas.

. limθ

sen θ 0 . limθ

sen θ θ

1 . limθ

cos θ 1

Ejemplos (Límites trigonométricos) Halle el valor de los siguientes límites.

. lim sen 4




entonces,

lim sen 4

lim 4. sen 4

4. 4. lim sen 4 4 4 1 4

. lim tan sen


entonces,

lim tan sen lim

sencos sen lim

sen sen . cos lim

1 cos

11 1



. lim 1 cos


entonces,

lim 1 cos

lim1 cos 1 cos

1 cos lim 1 cos

1 cos

lim sen

1 cos lim sen

·1

1 cos

1 ·1

1 112



Problema 7. Si ; calcule el valor de lim .

Resolución. Se piden calcular

lim cot

2lim

cos

2 sen

tiene la forma indeterminada , entonces, hacemos:

lim cos

2 senlim

cos 2

. sen 2 lim

– sen . cos

lim sen 1

cos

1 ·11 1



Los infinitos y el límite

Veremos situaciones como

i lim ii lim ∞ iii lim ∞

El símbolo ∞ llamado infinito3 no es un número real, es decir no es algebraico ni aritmético, pero si tiene un carácter posicional. Podemos formar un nuevo sistema de números al cual lo llamaríamos sistema ampliado de los números reales y se denota por ∞ ∞ , debiendo cumplir las siguientes propiedades (o reglas). 3 El matemático John Wallis fue el primero en usar el símbolo ∞ para representar al infinito en su tratado De sectionibus conicus en 1655.



1. : ∞ ∞, ∞ ∞, 0.

2. : ∞ ∞, ∞ ∞. 3. : ∞ ∞, ∞ ∞. 4. ∞ ∞ ∞ ∞ ∞, ∞ ∞ ∞ Para el caso de los límites que contienen infinitos trabajaremos en el sistema definido ( ). Observación. Carecen de significado las siguientes operaciones.

∞ ∞ , 0 ∞ ,∞∞



Límites infinitos

Consideremos la función 0 y observemos su

comportamiento alrededor de 0 mediante un cuadro de valores.

1 12

13

14

0,2 0,1 0,01 0,001 …

1 4 9 16 25 100 10000 1000000 … ∞

1 12

13

14

0,2 0,1 0,01 0,001 …

Este hecho lo podemos simbolizar de la siguiente manera.

∞ cuando 0



La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.

Podemos denotar este caso de no existencia de límite como

lim ∞



Teoremas

. Si , entonces, lim1 ∞

. Si , entonces, lim1

∞ si es par ∞ si es impar

Límites en el infinito

Estudiaremos una clase especial de límite conocida como límite en el infinito. Se examina el límite de una función cuando aumenta el valor de indefinidamente es decir, ∞ .

Consideremos la función : definida por .



La función lo podemos expresar como 2

1 221

Veamos algunos valores de la función en la siguiente tabla.

0 1 2 3 4 5 10 100 1000 … ∞

0 1 85 1810

3217

5026

200101

2000010001

20000001000001

…

La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.



Observamos que cuando crece a través de valores positivos, los valores de la función se acercan cada vez más a 2. Es decir, podemos acercar el valor de a 2 tanto como queramos, tomando suficientemente grande; y esto lo denotamos por

lim 2

1 2



Definición (Límite en el infinito). Sea una función definida en ; ∞ . Entonces

lim

indica que los valores de se pueden hacer arbitrariamente cercanos a si toma valores suficientemente grandes. Teoremas. Si es cualquier número entero positivo, entonces se cumplen

lim1

0 lim1

0



Límites de funciones racionales con indeterminación

Se factoriza la mayor potencia de en el numerador y denominador para luego hacer uso del teorema anterior. Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen).

. lim 5 3 1 2


luego

lim 5 3 1 2 lim

5 3 1 2

lim 5 3 1 2

5 0 0 2

52



. lim 3 2 1 2 4 1

Solución. El límite lim tiene la forma indeterminada

, entonces,

lim 3 2 1 2 4 1 lim

3 2 1

2 4 1

lim 3 2 1

2 4 1 0 0 0 2 0 0

02 0



. lim 3 1 2009 1

Solución. El límite lim tiene la forma indeterminada

, luego

lim 3 1 2009 1 lim

3 1 1 2009 1

lim 3 1 1 2009 1



3 0 0 0 0

30 ∞

Teorema

lim

0 si si

∞ si 0

Problema 5. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

: lim 1 2 3 4

2 112



: lim 2 1

1 2

: lim 4 3 1

2 ∞

Resolución. Aplicamos el teorema anterior y obtenemos

: lim 1 2 3 4

2 11 1 1 12 1

12 V

: lim 2 1

12∞ 0 F

: lim 4 3 1

2 ∞ V



Límite de expresiones exponenciales El número de Neper Uno de los números más importantes de las Matemáticas es el llamado número de Neper, este número es denotado con la letra y su valor aproximado es

2,71828182845904523536028747135266249775724709369…

El número de neper es un número irracional, es decir, no puede ser escrito como el cociente de dos números enteros. Este número es llamado transcendente porque no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.



Teorema. Dadas las funciones : y : , definidas por

1 y 1

Entonces

lim1

y lim 1

Teoremas. Supongamos que

lim 0 y lim

Entonces se cumple

. Si y , entonces lim



. Si 1 y ∞, entonces lim

. Si 1 y ∞, entonces lim lim 1 1

lim 1 1

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen).

. limsen 2

Solución. Vemos que



limsen 2

2 y lim 1 1, entonces

limsen 2

2 2

. lim2

2 1


lim 2 2 1

12 1 y lim ∞, entonces

lim2

2 112 0



. lim2 32 1


lim 2 3 2 1 1 y lim 1 ∞, entonces

lim2 32 1

· ·



Problema 6. Dados los números

lim 3 13 1 lim

calcule el valor de ln .

Resolución. Hallamos el valor de .

lim 3 13 1 1

lim 12

3 1 lim 12

3 1

·



Utilizando el teorema anterior obtenemos

·

.



Otras técnicas de resolución de indeterminaciones.

1. Indeterminación 0 ∞ En este tipo de indeterminación, se puede tomar la inversa de una de las funciones, obteniéndose indeterminaciones del tipo ó

, vistas anteriormente.

2. Indeterminación ∞ ∞

• En algunos casos sencillos basta con simplificar la función, desapareciendo así la indeterminación.

• Si la indeterminación se debe a diferencia de raíces, se procede a su racionalización, multiplicando y dividiendo por el conjugado de la raíz.



Continuación del problema 6. Hallamos el valor de .

lim ∞ ∞

Racionalizamos la función

lim lim√√

lim √

lim √

lim 1 1



lim | |. 1 1

lim . 1 1

lim1

1 . 1 1 1

11 . √1 1

11 1

12

3. Indeterminación 0 , ∞ Se resuelve expresando las potencias de la forma

lim lim lim

con lo que la indeterminación se convierte en una del tipo 0 ∞, que se resuelve con las técnicas descritas anteriormente.



El concepto de Límite es fundamental en Matemáticas y sobre él se construye todo el

Cálculo Infinitesimal.

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