Click here to load reader

Liczby pierwsze · PDF fileWiele liczb naturalnych daje się ... Wacław Marzantowicz, Piotr ... Elementy Teorii Liczb, Wydawnictwo Naukowe UAM Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb,

  • View
    216

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Liczby pierwsze · PDF fileWiele liczb naturalnych daje się ... Wacław Marzantowicz, Piotr...

Liczby pierwsze Jacek Nowicki

Wersja 1.0

[email protected]

Wprowadzenie do liczb pierwszych

www.liczbypierwsze.com

Wiele liczb naturalnych daje si rozoy na czynniki mniejsze np. 10=5*2

lub 111=3*37. Jednak istniej liczby, ktre nie mog by rozoone w taki

sposb. Takie liczby nazywamy liczbami pierwszymi.

Liczba pierwsza to taka liczba cakowita p wiksza od jednoci, ktrej

jedynymi dziennikami s 1 oraz p. Kad liczb naturaln wiksz od

jednoci, ktra nie jest liczb pierwsz, nazywamy liczb zoon.

Liczba 0 z definicji nie jest ani liczb pierwsz, ani liczb zoon.

Liczba 1 z definicji nie jest ani liczb pierwsz, ani liczb zoon.

Pierwsze 34 liczby pierwsze to : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,

113, 127, 131, 137, 139

Liczb pierwszych jest nieskoczenie wiele. Niech (n) bdzie okrelao

ilo liczb pierwszych nie wikszych od n. Dla duych wartoci liczby n

mamy wzr:

Oto kilka przykadw : liczb pierwszych mniejszych od 1000 jest 168.

Wrd wszystkich liczb 100-cyfrowych w przyblieniu jedna na kade 300

jest liczb pierwsz.

[email protected]

Problem liczb pierwszych polega na ich rozmieszczeniu wrd liczb

naturalnych. Nikt nie opracowa dotd adnego wzoru pozwalajcego na

wyszukiwanie kolejnych liczb pierwszych. Istniej wzory wyszukiwania

liczb pierwszych o okrelonych waciwociach, nie ma jednak wzoru,

ktry by dla kadego argumentu generowa by liczb pierwsz.

[email protected]

Sito Eratostenesa

http://www.liczbypierwsze.com

Najpopulariejszym algorytmem wyznaczania liczb pierwszych jest Sito

Eratostenesa. Oto algorytm :

Ze zbioru liczb naturalnych z przedziau [2,n] wybieramy

najmniejsz liczb 2 i wykrelamy wszystkie jej wielokrotnoci

wiksze od niej samej.

Z pozostaych liczb wybieramy najmniejsz niewykrelon liczb (

jest to liczba 3 ) i usuwamy wszystkie jej wielokrotnoci wiksze od

niej samej.

Wykrelanie powtarzamy do momentu gdy liczba i, ktrej

wielokrotno wykrelamy bdzie wiksza ni pierwiastek z liczby n.

Wszystkie niewykrelone liczby z przedziau [2,n] s liczbami

pierwszymi.

[email protected]

Gsto liczb pierwszych

http://www.liczbypierwsze.com

Teraz wprowadzamy nowe pojcie gstoci liczb pierwszych. Niech An oznacza

ilo liczb pierwszych wrd liczb naturalnych 1,2,3,...,n. Zatem :

A1 = 0

A2 = 1

A3 = 2

A4 = 2

A5 = 3

...

Gsto liczb pierwszych wrd n pierwszych liczb cakowitych jest dana przez

stosunek : An / n.

Poniej przedstawiam tabel zawierajc procent liczb pierwszych w danym

przedziale [a,b] :

Niech (n) bdzie okrelao ilo liczb pierwszych nie wikszych od n. Jak ju

wspomniaem - dla duych wartoci liczby n mamy wzr:

Twierdzenie o liczbach pierwszych mwi nam, e :

dy do 1 przy wzrocie liczby n.

[email protected]

Oto przybliony wykres funkcji (n) :

wykresy zapoyczone z serwisu The Primes Pages.

wykresy zapoyczone z serwisu The Primes Pages

https://primes.utm.edu/https://primes.utm.edu/

[email protected]

Rodzaje liczb pierwszych

http://www.liczbypierwsze.com

Liczby Mersenne'a

Niech liczba Mq = 2q - 1

Niech q bdzie liczb naturaln.

Wtedy Mq jest liczb Mersenne'a. Spord wszystkich wygenerowanych do tej

pory liczb tego typu zaledwie 48 to liczby pierwsze.

Liczby pierwsze bliniacze

Liczby bliniacze to dwie liczby pierwsze rnice si o 2.

Na przykad:

(3, 5)

(5, 7)

(59, 61)

(1619, 1621)

Liczby pierwsze czworacze

Liczby czworacze to takie liczby: p , p+2, p+6, p+8, e kada z nich jest liczb

pierwsz. Na przykad:

5, 7, 11, 13

821, 823, 827, 829

Liczby pierwsze izolowane

Liczba pierwsza p jest izolowana, jeli najblisza liczba pierwsza rni si od niej

co najmniej o 4. Na przykad 89, 157, 173.

Liczby Sophie Germain

Liczba pierwsza p jest liczb Sophie Germain, jeli liczba 2p+1 take jest liczb

pierwsz.

[email protected]

Liczby pierwsze lustrzane

To pary liczb pierwszych, z ktrych jedna powstaje przez zapisanie cyfr

dziesitnych drugiej w odwrotnej kolejnoci. Przykady:

13 i 31

17 i 71

Liczby pierwsze palindromiczne

To liczby pierwsze, ktre nie zmieniaj si, gdy ich cyfry dziesitne zapiszemy w

odwrotnej kolejnoci. Przykady: 11, 101, 131, 191, 929.

[email protected]

Wzory na liczby pierwsze

http://www.liczbypierwsze.com

Prbowano znale proste wzory arytmetyczne, ktre dawayby tylko

liczby pierwsze, chocia niekoniecznie wszystkie liczby pierwsze. Fermat

wysun synne przypuszczenie, e wszystkie liczby postaci :

F(n) = 22^n + 1

s liczbami pierwszymi. Rzeczywici dla n=1,2,3,4 otrzymujemy :

F(1)=5

F(2)=17

F(3)=257

F(4)=65537

Wszystkie powysze liczby s pierwsze. Ale w roku 1723 Euler odkry, e

F(5)=641*6700417 nie jest liczb pierwsz.

Innym ciekawym wyraeniem, ktre daje wiele liczb pierwszych jest

F(n) = n2 - n + 41

Dla n=1,2,3,...,40 wyraenie f(n) jest liczb pierwsz. Natomiast dla n=41

mamy f(n)=412 i jest to liczba zoona.

Wyraenie

F(n) = n2 - 79n + 1601

daje liczby pierwsze przy wszelkich wartociach n a do 79. Zawodzi

jednak dla n=80

http://www.liczbypierwsze.com/

[email protected]

Testy pierwszoci

http://www.liczbypierwsze.com

Aby sprawdzi, czy liczba naturalna n jest liczb pierwsz, naley dzieli j

kolejno przez wszystkie liczby wiksze od 1 i mniejsze rwne od floor(n/2).

Jeli przy kadym dzieleniu reszta z dzielenia jest rna od zera, to liczba jest

liczb pierwsz. Natomiast jeeli cho jedno dzielenie daje reszt rwn zero, to

sprawdzana liczba naturalna jest liczb zoon.

Oto przykad funkcji sprawdzajcej czy dana liczba n jest liczb pierwsz.

Funkcja zostaa napisana w jzyku PHP

function is_prime($n)

{

$wynik=0;

$i=2;

$g=floor($n/2);

while (($wynik==0) & ($i

[email protected]

Spirala Ulama

http://www.liczbypierwsze.com

W matematyce spirala Ulama lub spirala liczb pierwszych to graficzna metoda

pokazywania pewnych niewyjanionych do dzi rnic w rozkadzie liczb

pierwszych, zaproponowana przez polskiego matematyka Stanisawa Ulama w

1963 roku. Na kwadratowej tablicy zaczynajc od 1 w rodku spiralnie wypisuje

si kolejne liczby naturalne. Na niektrych przektnych liczby pierwsze czciej

grupuj si ni na innych. Fakt ten nie zosta do tej pory wyjaniony.

Liczby od 1 do 50 w ukadzie spirali Ulama

Liczby pierwsze w tym samym ukadzie

http://www.liczbypierwsze.com/

[email protected]

Liczby pierwsze w spirali Ulama w ukadzie 200x200

Ciekawy program do generowania spirali Ulama dostpny jest tutaj

http://www.ulamspiral.com/generatePage.asp?ID=5

[email protected]

Hipotezy

http://www.liczbypierwsze.com

Czego nie wiadomo o liczbach pierwszych:

Hipoteza 1

Czy istnieje liczba pierwsza midzy n2 a (n+1)2 dla kadego n>0?

Hipoteza 2

Czy istnieje nieskoczenie wiele liczb pierwszych postaci n2+1 gdzie n jest

liczb cakowit?

Hipoteza 3

Czy kada liczba parzysta jest sum dwch nieparzystych liczb

pierwszych?

Hipoteza 4

Czy istnieje nieskoczenie wiele par liczb pierwszych, takich jak 11,13

albo 17,19 rnicych si o 2. Jest to problem bliniaczych liczb

pierwszych.

http://www.liczbypierwsze.com/

[email protected]

Ciekawostki

http://www.liczbypierwsze.com

Ciekawostka 1

W 1914 roku amerykaski matematyk Derrick Norman Lehmer opublikowa po

raz pierwszy list wszystkich 664579 liczb pierwszych mniejszych od 10

milionw. Stworzy on t list za pomoc sita Eratostenesa.

Ciekawostka 2

Liczba 11111111111111111111111 zoona z 23 jedynek jest liczb pierwsz.

Ciekawostka 3

Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z

pocztkowych 38 cyfr rozwinicia dziesitnego liczby , jest liczb pierwsz.

Ciekawostka 4

Liczba 73939133 nie tylko jest liczb pierwsz, ale liczby otrzymane z niej przez

kolejne obcinanie cyfr od prawej strony te s liczbami pierwszymi:

7393913 jest liczb pierwsz

739391 jest liczb pierwsz

73939 jest liczb pierwsz

7393 jest liczb pierwsz

739 jest liczb pierwsz

73 jest liczb pierwsz

7 jest liczb pierwsz

http://www.liczbypierwsze.com/

[email protected]

Najwiksze liczby pierwsze

http://www.liczbypierwsze.com

Najwiksza odkryta dotd liczba pierwsza to 2742072811, ktra liczy sobie

22338618 cyfr w zapisie dziesitnym. Zostaa ona odkryta przez Curtisa

Coopera 7 stycznia 2016 roku.

Oto lista innych wielkich liczb pierwszych :

Liczba pierwsza Liczba cyfr Rok odkrycia

274207281-1 22338618 2016

Search related