libro varela

16 11 Evoluocion econ6micomiddotde proyeclos de inversion

en este texto se ha decidido usar una trayectoria que facilite el que lIeve al estudiante de 10 mas sencillo a 10 mas

Por elio en 105 primeros cinco capitulos se supone que los datos existen yque el proyecto esta do en el tiempo y se dedica todo el esfuerzo a aprender a procesar esa informacion y a tomar Jprrmplt

sobre ella

PROCESO REAL

Informocion Informocion Nodo Etapa 1 Bruto

bull Etapa 2 Procesodo bull Etapa 3 Decision-shy

PROCESO DIOAcTICO Informocion Procesodo Decision 12345Etapa 1bull

~ 1Informocion Informocion BrutCl Procesodo Copitulo 67 89

Etapa 2 bull

~ Informocion Bruto Otros TextosNodo Etapa 3 bull

14

En los como se pueden obtener los datos y como se haee la informacion general que los distintos anal isis (mercado tknico

financiero economico legal intangible) han previsto Iualmente se anali7an y los efectos de la financiacion del proyecto

de pasar de la nada a la informacion general de este texto pero sf de textos que tratan los temas de de plan de empres3 que abundan en la literatura

Equivalencia ~-~

I-~

~lmiddot CONCEPTO DE INTERES

EI dinero es un bien 0 recurso eeonomico circulable y su uso a posesi6n ocasiona un costo 0 beneficia cuya magnitud depende tanto de la valoracion que se Ie de como del tiempo de usufrudo de dicho bien Par 10 anterior se pllede decir que el dinero tiene valor en el tiempo concepto es el origen del terminG inteifs el cual no es mas que la manifestacion permanente valor del dinero en tiempo

Observemos sin que existen otros fenomenos anexos ~on el concepto de valor del dinero en el originados pOr

a) EI fenomeno de la inflaci6n que tiene que ver con el poder de compra de ese dinero que normalmiddot mente se reduce en las economias latinoamericanas 0 sea que 1000 unidades monetarias compran cierta cantidad de bienes denominada X pero esas 1000 unidades monetarias en tiempo posterior compraran una cantidad de bienes inferior aX

b) EI fenomeno de la devaluacion 0 la reyaluaci6n que cambia el poder de compra externo de nuestra unidad monetaria Si estamos en devaluaci6n (revaluacion) 1000 unidades monetarias hoy permi tiran comprar 1OOfunidades monetarias de otro pars yen cambia 1000 unidades monetarias dentro de dos arios solo permitiran comprar 90909 unidades monetarias del otro pais si estamos suietos a un 10 de devaluacion 0 permitiran comprar 111111 unidades monetaria del otro mos sujetos a un 10 de revaluacion

de este texto involucramos a no ser que se especifique 10 contrario los efectos de inflashycion devaluacion rendimiento neto del capital en un solo efeeto que denominaremos inreres corriente para indicar que aplica sobre vaJores corrientes de dinero

Podemos definir el intens como la compensaCion o recibida pOl el usa U olorgamiento del dinero las razones para esla compensati6n son ya que el dueiio del dinero al otorgarlo como

o al invertirlo tiene que recordar los hechos

a) Pierde la oportunidad de hacer otras transacciones atractivas desde el punto de vista econ6mico b) Esta sujeto al riesgo de perder sus recursos c) Disminuyen los bienes que tiene a mano a sea su liquidez y su posibilidad de acometer nuevas l

actividades economicas d) Esta sujeto a procesos de devaluacion inflacion que pueden su dinero este perdiendo

valor 0 capacidad de e) Su recurso es un bien economico yel usuario de este bien (prestatario 0 de inversion) va a

beneficios par el usa yes justo que el dueno del recurso participe beneficios

Es posibleseguir buscando razones pero el hecho claro y real es que el interes existe Por tanto debeshymos canocer sus efectos su modo de operar y la forma de incluirlo en los calculos que permiten determishynar las ventajas y las desventaias de las alternativas en cansideracion

19 18 Evaluoci6n ecooomica de proyectos de inversion

Para analizar los efectos del valor del dinero en el en cada uno de los cuales el intenis adquiere una denominacion

bull Cuando hablamos a nlvel rio-prestamista el intenis se denomina costo de bull Cuando hablamos a nivel inversionista-oroyecto el interes se denomina tasa de retorno

o rentabilidad

por razones didacticas analizaremos situaeiones desde el punto de vista prestatario-pres es esta la situacion con la cualse tiene mayor familiaridad pero luego trabajaremos desde

vista inversionista-proyecto de inversion

En el esquema prestatario-prestamista el prestatario en general esta dispuesto a recibir el dinero si el costa de este es inferior a un cierto tope (casto maximo de capitan y el prestamista esta dispuesto a dar el dinero si el valor a recibir es superior a un ciertotope (costo mfnimo del capitan S610 en la medida en que existe una intersecci6n entre estos dos rangos existira transacci6n

ista-oroyecto de inversion el primero involucra sus recursos si el retorno que minimo (tasa mInima de retorno) que puede en promeshy

esten a su alcance 5i el proyecto genera mas la tasa mfnima de retorno (i) el inversionista estara (no estara) dispuesto a coloear su dinero

razon por la cual la as3 minima de retorno es fundamentalmente el punto de quiebre de aceotacion 0 de rechazo de una inversion

Observese que la tasa mfnima de retorno U) esta estrechamente relacionada con el concepto excedenshyte adecuado planteado en las ecuaciones 11 Y12

de referencia basico en la decision de inversion en el oromedio de sus actividades (en el

la tasa minima de retorno deshycomo situaci6n macroeconomica tribularia y financiera etc) estado

inversionista posicion frente al riesgo

Estos factores deterrninan que en cadainstante y para cada organizaci6n pueda existir un i diferente o sea que eurolIe indieador de decision no es un valor universal sino un valor organizacional e instantaneo

Conviene anotar que la tasa minima de retorno yel costa del capital no necesariamente son Iguales y que la primera es una medida directa de la rentabilidad de las oportunidades promedias a el inversionista En otro~ terminos es personal yesla en funcion de la capacidad del inverslonsta que el costo de capitaVilo fija el sector financiero)

I

La tasa fJ1fnima de retorno () entonces no es en los proyectos es el retorno que en promedio he

a las Que he tenido acceso Es mi rentabilidad hacer y

EI dinero tiene valor en el tiempo por ende es necesario analizar tanto la modalidad del inlereS aplishycable como la ubicacion en d tiernpo de los ingresos 0 egresos del proyecto (vease cuadro 21)

Respecto a la ubicaci6n se han desarrollado multiples convenciones pero las mas usadas son

bull La ubicaci6n puntual consiste como se infiere de su nombre en considerar el dinero ubicado en posiciones de tiempo espedficas y tiene dos modaHdades

a) Convendon de fin de estima todos los ingresos y egresos como ocurridos al final del y el periodo de anaHsis es enero

estos gastos se considerarfan pagados eJ 31 de diciembre de 2009 Esta es la modalidad de convencion que usaremos a 10 largo del texto a no ser que se indique 10 contrario

b) Convendon de principio de perfodo considera todos los ingresos 0 egresos como ocurridos al comienzo del perfodo En el ejemplo anterior los $100000 de gastos se considerarian pagados ell de enero de 2009

bull La ubicacion distribuida 0 convenci6il durante uniformemente distribuidos durante el de analisis Los distribuidos uniformemente durante 365 dias del ano

Es facil apreciar que ninguna de estas convendones 0 de las propuestas en la literatura tecnica y no mencionadas en este texto refleja exactamente 10 sucedido En oeasiones para tratar de ser mas fieles a la situaci6n se mezclan estas convenciones pero veremos que hay algunas limitaciones

Estas convenciones sobre la ubicacion del dinero tienen gran importancia en la elaboraci6n del diagrashyma de tiernpo el cual representa el momento en el cual se considera que ocurren los ingresos y los egresos Una vez hecho el diagrama de tiempo las convenciones de comienzo y final de perlodo practicamente vigencia pues el proceso de soluci6n como veremos mas adelante no se ve la convenci6n pero los resultados sf

La unidad de de la frecuencia con la cual ocurran los flujos Este conshya de DallO) es vital en los procesos de solucion que veremos

al interes la situaci6n es mucho mas compleja plies 105 marcos legales y las tradiciones coshyyeducativas han manejado por mucho ticmpo la idea de que existen dos tipos de interes el simshy

yel compuesto Como se indica en el cuadro 21 el autor plantea que 5610 existe un tipo de interes el compuesto ya que el simple fuera de tener muy poco usa es un caso particular del interes compuesto

EI interes compuesto presupone que al final de cada perfodo se deben o se deben recibir inteshyreses calculados sobre el saldo a capital no amortizado al comienzo del pero se recibir una cantidad mayor 0 menor a los intereses ocasionados durante y la deuCla 0 no amortizado puede crecer disminuir 0 permanecer constante durante de usa del dinero

EI esquema es 10 suficientemente flexible para que la deuda al comienzo de cada perfodo este constimiddot tuida por la deuda al comienzo del perfodo anterior mas losintereses causados menos los pagos realizashydos mas los prestamos adicionales recibidos Los intereses del periodo en curso estaran basados sobre el saldo 0 el capital no amortizado al comienzo del perfodo

Observese que si al final de cada perlodo se pagan los intereses causados y no se hacen abonos a cashypital ni se reciben nuevos prestamos el saldo 0 sea el capital no amortizado no cambiara los intereses seran los mismos cada perrodo yse dirfa que estamos en interes simple pero como vemos no es mas un caso particular del interes compuesto DJbe quedar claro que cuando ahwien Ie a12 mensual bajo el esquema de interes simple el contrato efectivamente pagar $2000 Sin embargo esto no decir en 10 mas minimo 10 las plantean que al final del ano yo me aparezco y Ie $24000 como intereses y los $100000 de capital Esto no es realmente asi formulas en libros que 10 plantean pues

del mes no oalo los $2000 de el prestamista inmediatamente me inicia mora pues el tiene muy claro el concepto del valor del dinero

2d Evaluaci6n econ6rnica de proyedo$ de inversion

Es importante aclarar tambien la idea lalsa de que en el interes compuesto se reses sobre intereses en las ciencias juridicas lIamadas anatocismo La explicaclOn es muy podemos pensar que el interes es un alquiler por el uso del dinero que 31 cabo de un tiempo se causa y hasta ese momenta era interes 0 era alquiler pero apenas se causa para el dueflo se convierte en cuentas por cobrar a en ingreso que va a reforlar sus activos y por 10 ta1to para el mas intereses Esta posicion serfa utilidades sabre utilidades

Esta realidad econ6mica no es de tener orecaucion

que valora y par ese motivo es

financieras y comerciales ysera el que usaremos a 10

el dinero realmente com-

Es facil que debida a la concepcion del interes compuesto como interes sabre saldos 0 sobre no amortizado 13 ubicaci6n de los ingresos 0 egresos en el tiempo afectara dichos saldos y por

los intereses del perforlo el nuevo saldo y asi sucesivamente

De 10 anterior se deduce la importancia que tiene en los resultados la ubicacion correcta del dinero en el tiempo a sea la elaboraci6n correcta del diagrama de tiempo y 10 preponderante que es en el analisis la definicion de la convenci6n a usar en 10 referente a ubicacion del dinero

EI interes compuesto se puede subdividir dependiendo de la frecuencia de su aplicacion 5i se aplica en intervalos de tiempo finitos se denomina inte~5 compuesto discreto (10 usaremos 310 largo del texto a no ser que se indique 10 contrario) ysi se aplica en una forma continua 0 sea que los intervalos ~e infinitesimales se denomina in teres compuesto continuo (en el apendice 2-A 10 analizaremos en

Para una definicion exacta del interes compuesto ademas de indicar si es discreto 0 continuo deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos

bull Tasa es el valor del interes y se expresa como un porcentaje bull Periodo de aplicacion 0 de composicion es la frecuencia con la cual se aplka la tasa y se indica

normalmente con una unidad de tiempo mensual mente anualmente trimestralmente continuashymente diariamente etc Este perfodo se denomina Ie ysera importante en los procesos de soludon

bull Base de aplicacion es la cantidad de dinero sobre la cual se aplica la tasa en cada periodo de cacion por eiemDlo saldo al comienzo del perfodo saldo perfodo

bull Momento de aplicacion se relaciona con el instante de de comoosicion en que erectivamente se ocasiona el inleres Por decir el interes se ocasiona al comienzo del perfoclo y vencido final En ambos casas sobre el saldo al comienzo del

bull Unidad monetaria hace referenda a la unidad monelaria en la cual se expresa yse apl ica el interes pesos dolares reales lempiras bolivares UVR (Unidades de valor real sistema uado en Colombia para creuroclitos hinntpr~riolt)

Inleres compuesto

Volor de dinero en el tiempo

Ubieaci6n

Cuadro 21

Sin embargo analizaremos otras situadones y miraremos como se transforman 0 se hacen cias entre estas variantes del interes EI cuadro 21 resume los diversos elementos a considerar cuando se

el concepto del valor del dinero en el tiempo

~ 22 FORMULAS DE INTERE5 COMPUESTO

221 Concepto de equivalencia

EI problema fundamental al que nos enfrentamos en esta obra es el tener que camparar cantidades de dinero ubicadas en distintos periodDS Para poder realilar comparaciones significativas y valederas entre varias alternativas con recurSDS economicos diferentemente distribuidos es necesario reducirlas a una base comun 0 mejor a una misma ubicacion en el tiempo 10 cual solo se puede realizar correctamente Con el buen usa de los conceptos de equivalencia provenientes del valor del dinero en el tiempo

Este proceso de reduccion a una base comun era 10 que en la tabla 11 denominabamas mecanismo de movilizaci6n 0 transformacion de dineros en el tiempo

2 Equivolencia 21

Tasa Disereto 2 Perfodo de apieadon

3 Base de opieadon 4 Momento de apieocion

Continuo 5 Unidod monetorio

Puntuol Fin de periodo

Comienzo del periodo

Distribuida 0 duronte el

se formulara matematicamenle en el 3 Ysera el clemento basico para nuestras

22 Evaluod6n econ6mica de proyecros de inversion

Antes de desarrollar las formulas basicas conocidas como las formulas de interes compuesto vamos a definir los principales terminos y a simbolizarlos con la nomenclatura moderna de la Ingenierfa Econoshymica En este texlo usaremos en general las normas ANSI Z 945 aprobadas como nomenclatura Dor la Engineering Economy Division de la American SOCiety for Engineering yel Institute Engineering

Esla nomenclatura nos facilitara enormemente el desplazamienlo de dineros en el

222 Nomenclatura estructuras de flujos de dinero en el tiempo las cuales se basan en la con-

a) Situacion en la cual una sola cantidad de dinero ubicada en cualquier periodo considerado preshyen la cual nos encontramos Conocida tambien como suma

Pypara indicar que es una suma presente ubicada en

La figura 21 muestra IiI1 Po de $20000 ya que eS3 cantidad individual se encuentra en la 6 del diagrama y coincide con la posicion del observador que es la O

i6

I ~ l--- - I-- ---1 - I---l ---1 3---1 -- I-- j I---l )---1 i

o 5 7 9 10J P6 = 20000

21

b) Circunstancia en la cual hay una sola cantidad de dinero ubicada en cualquier perfodo considerado futuro con respecto auna posicion en la cual nos encontramos Conocida tambien como suma futushyfa la denotaremos con la simbologia Fj para indicar que es una suma futura ubicada en el periodo j En la figura 22 los $30000 son la cantidad individual posicionada en el periodo 7 que esta en el futuro con respecto a la posicion del observador que es la 4

t F-3Oooo

- _ _ _ _ 1 ~ __ ( l-l ]1-- 2---1 l-----j 1---1 2I---l ] I---l ]---1 J) o 3 5 6 7 8 9 10

22

c) Situacion caracterizada porque al final de todos ycada uno de los posibles periodos ubicados entre las oosiciones nl y n2 hay una misma cantidad de dinero Conocida en terminos genericas como

pero pueden ser semestralidades anualidades La denotaremos can la simbologfa Anl- nl Observese que en la n1 no hay flujo 0 sea que el primer fluio esta en

Capitulo 2 Equivolenda 23

la posicion (n1 + 1) y el ultimo est] en la posicion n2bull Igualmente observese que los fluios son consecutivos e

789101112loscualessedenominanA _ 12

middot 6

los $5000 que aparecen en laver con el hecho de por la de final de perfodo se ubicaron

entre n2 ynjl 0 sea (n2 - nt nos da el numero

o 1 6 7 8 9 10 11 12 19 20

1]-2+2gt--T-lt1rT- j j 5000 5000 5000 5000 5000 5000

-v- J A6 12~5000

Figura 23

d) Situacion caracterizada por tener en la posicion (n l +1) una suma base (8) la cual se modifica al final de todas y cada una de las posiciones hasta la posicion n1 en una cantidad unishyforme G Esta situacion se denomina Serle ari(metica 0 gradiente arilmetico y se denota indicando los valores de B y G y las posiciones de n1 Y n2 Notese en la nl no hay fluio y que el orimer gradiente se presenta en la posicion (n1 +2) que entre nl y n hay2

fluios ocurriendo consecutivamente al final de todos y cada uno de los oeriodos Los vashyBy de C pueden ser

La figura 24 indica un gradiente aritmetico entre ias POSIClones y G 200 (diferencia entre dos flujos consecutivos) Dado que como un B G de 4 a 100 sea con 0 flujos ycubriendo 6 periodos

o 4 5 6 7 8 10 11 19 20

(J~ =1---( 51-- Jl------I] I-- - I I 2~1--]1Ii 1 I J

1400 1600 1800

2000

B1000 4 10 G= 200

Figura 24

e)

constante denominada tasa de escalamiento (s) En general se Ie denota indicando los valores de T s nl n2 Notese que en la posicion n1 no

Situacion caracterizada porque en la posicion (n + 1) hay una suma base m la cual se modifica al final de todas y cada una de las posiciones

14 Evoluoci6n economica de proyectos de inversiOn

flujo Testa en (n1 + 1) que 13 primera variaci6n se da en la posicion (n +2) Asimismo entre n y1 1

n2 hay (n)- n1) perfodos y (n)- n1) flujos ocurriendo consecutivamente al final de todos ycada uno de los oerfodos La tasa de escalamiento (s) puede ser negativa

La Figura 25 nos presenta una serie geometrica entre I~s posiciones 7 y 13 don de T=1000 en 8) y5 =10 (tasa de crecimiento entre dos flujos consecutivos) Dado que el ultimo fluio esta en 13 se define como un T s de 7 a 130 sea con 6 perfodos ycubriendo 6 flujos

o 7 B 9 10 11 12 13 14 19 20

I )ltf(~1gt-41gt--Y-~1-)I--r-I-- -1 I--=~~ r-r= I 1100 1210

1331 1464

1611

T=1000 7-13= 10Figura 25

tambien los sfmbolos

i Tasa de intenls peri6dico dado en perfodo de composicion N = Numero de perfodos del diagrama n = Numero de Dcrfodos usados en una equivalencia 0 desplazamiento especifico

Es conveniente aclarar que los perfodos de que hablamos no tienen que ser aiios aunque en la mayorfa de los casos 10 son Lo importante es que la tasa de interes este referida al tipo de perfodo en usa 0 sea que haya correspondencia entre las unidades de Pi ylas unidades de lin (tc = tpl Por ejemplo si el interes es el 3 trimestral los perfodos deben ser trimestres y si el interes es del 00005 diario los periodos deben ser dias Igualmente la unidad monetaria del interes yde 105 flujos debe ser la misma pesos y pesos dolares ydolares UVR y UVR pesos constantes ypesos constantes bolivares ybolivares etc

AI elaborar el diagrama de tiempo es fundamental tener cuidado en seleccionar una unidad de medida de tiempo concordante con las unidades de definicion del interes aplicable al problema en analisis Si no es posible lograr esta correspondencia de unidades desde el eomienzo deben haeerse las transfarmacioshynes en intereses yen unidades de tiempo hasta que dicha correspondencia se de y5610 una vez se debe entrar a solucionar el

Hasta este momenta deben quedar claros tres aspectos esenciales en la solucion de

al Usar visualizar felcil yclaramenshyque definen la base de la tasa

b) de dinero dentro de nuestros cinco conceptos basicos (P F A

cl La tasa de interes m y los perfodos de composici6n

Ya veremos c6mo si estos procesos se realizan correctamente la formulacion es muy facil bastante mecanizada y la probabilidad de equivocarse disminuye en forma significativa Estos cuidados son mucho mas importantes cuando se pretenden usar programas de computadores 0 calculadores con al2oritmos especial mente diseiiados para calculos de

Ejemplo 21 shybull

Soluci6n

Capirulo 2 Equivolencia 25

aparecen en el siguienfe diagrama (figura 26) en tershyclara mente el periodo ~ri el cual ocurren 0 los peshy

5000 logresltraquo

Periodo

Egresas Booo

Figura 26

a) Es un con 1degperiodos

b) $8000 es una eantidad uniea ubicada en el presente par tanto es un Pen cero Ademas es un egreso de acuerdo con la conveneion propuesta

c) Hay unos egresos unifofmes de $1500 31 final de los periodos 123 Y4 por tanto son un Aen el rango 0-4 Observemos que se define 0-4 aunque el prishymer egreso ocurre en uno Esto sedebe ala convenci6n de fin de perlodo que estamos utilizando

d) Hay unos egresos uniformes de $300 al final de los periodos 6 7 Y 8 por tanto son un Aen el fango 5-8

e) Hay unos ingresos uniformes de $2000 al final de los periodos 5 6 789 Y 10 par tanto son un Aen el rango 4-10

nAI final del perfodo 6 el ingrcso total era $3000 pero como incluimos $2000 para el caso anterior nos quedarfa par considerar un ingreso unico de $1000 en el perlodo 6 Por ser una cifra unica en el futuro es un Fal final del perfodo 6

g) AI final del perfodo 10 el ingreso total era de $5000 pero como incluimos $2000 para elliteral e nos queda un ingreso unico de $3000 al final del

10 el cual es un valor futuro Fal final del periodo 10

3000 2000

2000 +~

7 9 10

----y---I 300

10 menos otros cinco esquemas para identificar las de la Figura 26 B- GyT- s

~P~~_~

aparecen en el diagrama 27) en terminos de P FA B--G Tmiddotmiddots clara mente eiperiodo en eual ocurre 0 105 perfodas que cubren

Identifique las

26 EvoluadOn econ6mico de proyectos de inversi6n Copilulo 2 Equivolencio 27

15000082944 lngresos48000 5760069120

40000 bullf lpound 3~ 41 515 616 717 8al 9 ~ PeI i ~

I15000 16000 17000 IEgresos18000 19000 t

60000

20000

Figura 27

Soludon fa) Es un blPo c) Fo = $60000 d) B $15000 G $1000 desde 0 hasta 5 (egresos) e) T $40000 s=20 desde 3 hasta 8 (ingresos) t) Fo $150000 (egresas)

Ejercido Desarrolle un esquema de identificacion que ineluya un B - G de egreso entre 0 y 6 Yunl - s de ingresos entre 3 y 10

223 Relaciones de equivalencia entre una suma presente (P) y una suma futura (FJ

EI objetivo es determinar la cantidad de dinero debemos recibir (pagar) al cabo de n damos irecibimosj P a una tasa de del i por periOOo vencido y no ninguna cantidad en transcurso de los n

Obviamente la ultima condicion origina que la deuda aumente perfodo a y 13 compensacion sera mucho mas alta pues se han ido capitalizando los intereses

La figura 28 presenta 13 situacion a periodo En la tanto al final del perfodo 1 (posicion 1) pagarse interes periodo 0 sea Pi

Esto da origen a que el saldo capitalizado al final del perfodo sea P t Pi 0 sea P(T t i) AI final del seQundo perfodo (posicion 2) deben pagarse intereses i sobre el saldo al comienlO de dicho pe-

PO +

Asi el saldo al final del segundo sera 1(1 + i) t P(T + iji 0 sea P(l + i)

sean P(l + yel saldo total al final del tercer sera 13 suma mas los intercses del tercero P(l + i) + P(l + o sea PO til

51 continuaramos el proceso Ileariamos al final del n (posicion n) con un saldo de P(1 t i)

F

o 2 nmiddot1 n1 (1 (-) ( I (j) I 1-1---1

Infere5e5 J P i P(1+i)1 PI1+a P(1+imiddotmiddotl PII+i)1

Soldo P(1+i)1 p(1+i)2 PI1+iI3 PI1+i) PII+i)

Figura 28

Esto nos indica que Ppesos invertidos hoy y dejados durante n perfOOos cn un fondo al i por perfodo son equivalentes a una suma futura (F) al final de 105 n oeriodos de

F=Pmiddot(I+i)n

DespeJando la 21 calcular la cantidad de dinero actual designada con el simbolo pouivalente a una cantidad ubicada noerfodos en el futuro (designada con elsfmbolo Fl si la

intefl~s es iYo por perfOOo

p=

(22)

224 Relacion y equivalencia entre una anualidad (AJ y una suma futura fFJ

Ante una situaci6n como la indicada en 13 ligura 29 en la cual una serie uniforme de ingresos ocurre al final de todos ycada uno de los perfodos (observemos cuidadosamente que el primer ingreso ocurre al nal del perfodo 1 yel nmiddotesimo ingreso al final del perfodo n que hay n ingresos que cubren n perfodos por la c9D~e~cion definal de periodo y que en la posicion 0 no hay ningun ingreso) se puede determinar el equivalente de dichos al final de los n perfodos si la tasa de interes es del i por perfodo 5e trata scncillamente de hallar la suma futura IF) equivalente a lasn anualidades (A)

Facilmente observamos en la figura 29 que cada Aindividual es con respecto a F un valor presente P y hacer sera desplazar cada uno de ellos con la formula (21) el numero de

el Aubicado en el punto 1debe ser desplazado n 1 punto n 1 1 perfOOo yel del punto n 0 periOOos 0 sea

F= 2) j0 1

F=A It)-1

+ + t (23)

La 23 multiplicada por (1 + i) genera

F(1 + i) A(l +ii t A(l +ijO-l + A(l +i)-2 + + A(1 +il2 t A(1 t i)l (VI)

--

28 Evoluocion econ6nnico de proyectos de inversiOn

A

--------------~~----------------

1~~LJ~1~~~=~LJ~]o 1 2 3 5 0middot2 n-1

Figura 29

- 1perfodos

n 2 periodos

n- 3perfodos

n - 4 perfodos

2perfodos

periodos

operfodos

Si restamos la ecuadon 23 de la ecuaeion 24 obtendremos

Fi AI1+it A(1 +i)o +il l osea que una anualidad Ade 0 an es equivalente can un interes del i por perfoda a una suma

futura en n (F) de

F= AO r(1+f -1) (25)

En esla formula si par ejempla se tiene un Ade 5 a 12 10 eual significa 7 eantidades iguales ubicadas en las posiciones 6 7 6 9 10 11 Y12 se debe usar como valor de n el numero de cantidades 0 de dos en este caso 7 yel valor de F resultante estara ubieado en la posicion del ultimo

Despejando de la eeuaeion 25 podemos obtener la rei aden que nos permite ealcular las sumas un ishyformes (A) al final de cada uno de los n periodos equivalentes a una suma al final de n periodos (F) si la tasa de interes es el f por

A =F (2G)

5i al utilizar esta f6rmula can un Fubicado en 16 se usa un valor de n 8 se obtendra un Ade 8 a 16 donde el primero de los 8 flujos monetarios esta ubicado en 9 yel ultimo en 16

225 RelaciOn de equivalencia entre una anualidad (A) y una suma presente (P)

Si nuestro objetivo fuera calcular la cantidad unica de dinero ubicada al comienzo de los n perfodos valente a las cantidades uniformes (A) ubicadas en cada uno de los n perfodos ysujetas a un interes por periodo podrfamos realizar los siguientes pasos teniendo como referenda la Figura 29

2 Equivolencia 29

Mediante la relacion 25 transformar las anualidades (A) en una suma unica al final de los n perioshydos (Fl

F= A

2 Mediante la ecuacion 22 transforrnar dicha suma uniea (F) en una suma unfea inicial (P) teniendo claro que Fes el valor obtenido en el paso 1y que usamos el factor caculado en la ecuaci6n 22

P=A((1+rt-J(1J

o sea que una anualidad A de 0 a n es equivalente a una suma presente en la posicion cero (P) de

P=A ((1+il -1J 1(1 +it

(27)L En esta formula si por ejemplo se1uviese un A de 4 a 13 10 cual ubishy

cadas en las posiciones 5 6 12 13 se debe usar como valor de n el monetarios 0 de en este caSD 9 y el valor de Presultante estara ubicada en la de A 0 sea en 4 can esta

Par un simple despeje podemos determinar las anualidades ai final de cada uno de los n a una cantidad unica en la posicion 0 si la tasa de iou~res es del i por

A=P (28)

En esta formula si por ejemplo se tiene un Pubieado en la posicion 6 y se quierc distribuir csa suma presente en una anualidad con 10 flu jos se usaran n = lOy el A estara ubicado entre 6y16 donde el primer flujo estara en 7 yel ultimo en 16

226 Factores de equivalencia

AI desarrollar las seis relaciones de hemos observado una estructura matematica muy senshycilia que podemos expresar como

y = Xdegf (in) (29)

Donde

Y Suma valor 0 cantidad desconocida (incognita) X Suma valor 0 cantidad conocida (data) f(in) = Representa una serie de expresiones mas 0 menos complejas pero imposibles 0 al menos

de recordar en esa forma ylargas y tedios~s de cacular

Par 10 anterior los f (i n) lIamados faetores de equivalencia estan tabulados para distintos valores de i y de n ydichas tablas se denominan lablas de inreres compueslo tablas financieras tablas de equivamiddot

30 Evoluoci6n economico de inversion

aparecen al final del texto para varias situaciones Estos factores estan tambien como finnrirgt en las calculadoras financieras y en las hoias electronicas

permita reoresentacion usaremos un simbolismo que nos facilite su que sea nos

el proceso de calculo que estamos realizando

los factores consiste en expresar el factor de equivalencia en funcion de la y la variable conocida 0 sea que

f(inj = (y IXin) (210)

indica el factor que nos permite calcular la cantidad Y a la cantidad X si el interes es del i por perlodo yestamos considerando n

Sustituyendo 210 en 29 tendremos nuestra ecuacion generalizada

y Xmiddot (y IXin) (211)

que es la ecuacion basica para establecer todas las relaciones de equivalencia

En el Apendice I del texto aparecen los valores de los facto res de equivalencia para varias tasas de inshyteres discreto v varios perfodos

En la gran mayorla de los problemas dependeremos de estas tablas y usaremos muy poco las formulas algebraicas desarrolladas las cuales son muy utiles cuando no se dispone de tablas 0 se van a realizar 105

calculos en el computador 0 la tasa de interes 0 el numero de perfodos no aparece en las tab las bles 0 se desea gran exactitud En muchas ocasiones la interpolacion lineal da resultados suficientemente buenos y no hay necesidad de recurrir a las formulas

Actualmente casi todas las calculadoras y las hojas electronicas traen ya algoritmos ineorporados para el calculo de estos factores 10 cual haee mas frecuentc eI uso de la ecuaeion 211 Y menos freeuente d uso de las expresiones algebraicas para los factores

Es de notar que en ocasiones las tablas de interes no son completas razan la eual se representan en la tabla 22 las relaciones entre los factores para permitir a partir de uno ellos el ealculo de 105 demas -

Copilulo 2 Equivolencio 31

Como la unica forma de familiarizarse con las expresiones anteriores es realizando ejercicios vamos a resolver una serie de ejemplos muy sencillos analizandolos euidadosamente y tratando de identifiear los datos su 4bicacion en el tiempo la incognita que se debe resolver e interpretando los resultados logrados

Diagrama de tiempo

F

o 2 0middot2 0-]

F

o 0middot2

A r~_-tAt

n-]

t F

tl ----1 I-l _ l-tH I---l _~

o bull 0middot2 0-1

A F

~t-tAt 1 tl 11-l1-ll-tH ~I---l_ ~l

o 2 0-2 n-1

p A

tttA~t-ti 1_1-l~1-l_~AII---l~

o 0-2 n-]

p A

it 1A~i-1t _I-l_I-lt-AI---l~ -

o 1 - 2 0-2 0-1

Tabla 21

-

liM1ny F P(F I

p F P F ( ~) P=F(p I Fin)1+

f=F=AF A

A= IFin)A = FA

p P A(P IA P= A

i(l10_) A=A P pA +il 1

Resumen de relaciones y facio res de equivalencia

Si usted deposita hoy $100000 en una de las instituciones de ahorro de su pais que paga el 26 anual de interes zque eantidad de dinero habra aeumulado al cabo de 5 anos si no haee ninun retiro durante dicho

Solucion de una suma presente ($100000) 0 sea de un Py se ljulvdente en terminos futuros 0 sea F sabiendo que i =26

los perfodos se midieron en anos yel interes

EI diagrama de tiempo nos presenta un egreso de $100000 en la posici6n cero y un ingreso (F) en la posicion 5 Obscrvemos IJ corresoondencia en unidades entre el diagrama yel interes (te) anos

f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000

De acuerdo con la ecuacion Y (211)0 con la tabla 21 tenemos

F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)

EI factor (FIr 26 5) aparece en la tabla de interes como 317580 sea

F=100000 ~31758) =$317580

Es importante resaltar el efecto de composicion pues vemos como nuestra capitalizacion es mayor 130 resultante de 5 veces 26

32 Evaluacion econ6mica de proyeclos de inversiOn

Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1

(A I Fin) (F I Ain) 1

(p I Ain) i(p I Fij) i=1

(A I Pin) (A I n-1

(F I Ain) 1+ I(F i=1

1)(FI Ain)=

Tabla 22 Relaciones entre factor4lS de equivalencia

Ejemplo 23

Capitulo 2 Equivalencio 33

Esto se debe al proeeso de capitalizacion de los intereses que hace que en cada el saldo sobre el cual el interes apliea sea mas alto y por tanto los inteshy

reses tambien 10 sean

Fs = $317580 significa que esa es la suma equivalente a un Po de $100000 cuando el intens es el 26 anual y hay 5 anos de comoosicion 0 en otros termishynos que $317580 dentro de 5 anos son capaces de

allos $100000 iniciales y b) Los intereses del 26 anual sobre los saldos capitalizados cada alio durante los 5anos

Este ejemplo nos permite de una vez par todas la tentacion de sumar tasas de interes en aplicaclones en las cuales se esta considerando el valor del dinero cn el tiempo con el esquema de interes compuesto

Ejemplo 24 _ bullt

En la compra de su casa usted se comprometio mediante una letra a pagar $400mO de hoy en 8 meses Si usted tiene la posibilidad de invertir en algunos papeles comerciales que rinden el 2 mensual leual sera el valor tope que usled podrfa pagar poria letra hoy dfa si dispusiese del dinero para

Solucion Conocemos una suma futura F de $400000 en la 8 meses y se desea determinar la suma equivalente hoy rSe sabe que la tasa minima de retorno (i) es del 2 mensual

o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000

Usando la ecuacion 211 se tiene P F(PF i n) p 400000 (P~ 2 81 P 400000 (085349) = $341396

esto

que si Ie cobran pOI 13 letra $341396 0 menos hoy pero si Ie mas es mejor que invierta los $341396 en los que producen 2

mensual y pague la letra dentro de 8 meses

Surge aquf unapregunta dice ted

hecho un mal negocio el dueno de la letra No necesariamente de la tasa minima de retorno (i) 0 sea 1a tasa a la cual el

tir los $300000 Es posible que cl tambien logre utilidad prnnnmb

$300000

34 EvallJOciOn econ6mico de proyeclos de inversiOn

Podemos interpretar el resultado de este ejemplo de las maneras

a) $341396 hoy son equivalentes a $400000 en 8 meses a12 mensual b) 5i coloco $341396 hoy en una entidad que paga e12 mensual al final de los 8 meses tendra $400000 ~ c) $400000 al final de 8 meses cubren $341396 y los intereses asociados can el usa de dicho dinero al 2 mensual durante 8 meses

Ejemplo 25 ~~~___i

Un primipara colombiano al analizar los costas de sus estudios ysus posibles inshygresos encuentra que necesitara un prestamo de $6000000 semestrales al final de cada uno de los 10 semestres de su carrera de Ingenieria

Cierta entidad crediticia colombiana hace prestamos a estudiantes a14 semes tral EI primfparo acude a usted para que Ie informe a cuanto ascendera la deuda cuando el fin alice sus estudios 0 sea transcurridos los 10 semestres

Soluci6n Conocemos una serie de uniformes al ~nal de cada semestre (A) ydeseashymas conocer la suma futura equivalente (F) Adicionalmente hay correspondencia entre el perfodo de los intereses (semestre) y las unidades de tiempo usadas (seshymestres)

Usando la ecuadon (211) se tiene

F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660

Lo cual significa que al momento de graduarse su deuda acumulada asciende a $72036660 la cual es equivalente a los 10 flujos de $6000000 que recibio durante su carrera

=4 Sernestral

Ejemplo 26 En el problema anterior serra 1a deuda al final de decimo semestre si recishybiera 101 $6000000 al comienzo de cada uno de los diez semestres

Soludon

Observando detenidamente el siguiente diagrama de tiempo yel tercer diagrama de la tabla 21 notamas dos diferencias basicas la primera que el factor IFIA i n) hace la equivalencia entre AyFsolo si no hay dinero en la 0 y hay dishynero en la posicion n y la segunda que necesitamos Fen lOy no en 9 como nos 10 darla cI factor IFA i n) al olvidarnos del dinero en la posicion cero Tenemos

-~~--

Capitulo 2 35

como el siguienteun mecanismo dinero en la

formarl~ en un Fen 10 cero aisladamente 0 sea como un P y trans-

A09 = 6000000 [ ~il

P= 6000 1 1 1 1~f-jf-j~t~~110 Serneslres o 1 2 9

i = 4 Sernestrcl F=l

b) Desplazar los pagos semestrales Aocurridos en 1 2 8 9 hasta convertirlo en una sola cifra Fen la posicion 9 c) EI Fen 9 calculado en b) desplazarl0 un semestre hasta lOy el resultado sushymario con el valor obtenido en a)

148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f

104 J Etapa c) Fe 10 =p (FP i nJ = 63496800 (FP 41) = $66036670 V

yahora se deben sumar los resultados de las etapas a yc

Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O

oosibilidad es considerar la existencia de una anualidad desde -1 hasta 9 en ella calcular el valor futuro en 9 equivalente a esas anualidades y

esa suma hasta el oerfodo 10

Las anualidades (exactamente semestralidades) desde -1 hasta 9son F9 6000000(FA410) $72036660

y el valor futuro en 10 sera 104

=72036660(FP 411 = $74918130

la diferencia basica entre el ejemplo 25 26 es la convencion utilizada para En e125 se supone el fin de perfodo en el 26 se supone comienzo de

a

resolverse con la misma metodologla las mismas formulas son diferentes y es apenas obvio ya que el patron de

En resumen no necesitamos formulas tab las 0 conceptos nuevos para resolver problemas de convencion comienzo de

~fl

bull 36 Evoluaci60 econ6mko de proyectos de inversion Capitulo 2 Equivolencio 37

La tabla 23 presenta el efeeto de la tasa de interes en un proceso como el comO a mayores tasas de interes la cuota anual necesaria para lograr los U5$lS0000 se reduce cativamente pues el efeeto del interes compuesto es mucho mas fuerte Observese como el valor contable de las cuotas con respecto a los US$150000 es muchfsimo en el caso del interes del 30 a ser casi insignificante (48) y todo el resto 10 generara la capitalizac de intereses

Sofud6n

Ante laperspectiva del alto costa de la educacion universitaria una familia resuelshyve establecer un fonda para cubrir esos costos AI cabo de 18 anos (supongamos que sea esta la edad promedio ~ un primiparo) el fondo debe alcanzar un monto de US$lS0000 Si el depOsito par ser a largo plaza paga 10 anual ique cuotas anuales uniformes debe depositar la familia para garantizar la educacion de su

a partir del fin de este ana

-

Conocemos una deseamos calcular los pagos anuales uniformes

i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l

Usando la ecuacion (26) se tiene

A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO

o sea que si la familia deposita U5$3289S al final de cada uno de los 18 anos el hiio dispondra de un fonda de U5$150000 al cumplir 105 18 anos

5e observa aquf el gran electo del valor del dinero en eI tiempo ya que 105deshypOsitos contables realizados solo ascienden a $59211 (18 x 32895) es decir a menos del 40 del capital disponible al final de 105 18 anos EI 60 restante corresponde a 10 generado por los intereses y a su capitalizacion

Usted se preguntara sobre el poder adquisitivo que tendran dentro de 18 anos dichos US$lS0000 y considerara si su poder de compra es igual 0 superior 31 de los 18 depositos de $32895 Este amilisis toca el problema de inflaeion el cual se tratara en el ejemplo 212

Existen muehos dlculos interesantes que pueden hacerse en este problema Par ejemplo 5i la familia no ha hecho depOsitos durante los primerosl0 anos de vida del hijo y desea hacer depositos durante los proximos 8 anos can el fin de lograr U5$150000 tendril que

a) Depositar hoy U5$524268 Y seguir haciendo depositos anuales de US$32895 bl Hacer depositos anuales de US$131166

Todol estas resultados muestran el efecto tan significativa del interes cuando creee el perfodo de aplicacion

Estoy segurQ de que al ver estas cifras y al hacer euentas al estilo television U5$32895 anuales son US$9 diarios todos coincidiran en afirmar que ecoshynomicamente es faci crear un fonda educacional para los hijos Sin embargo

10 hacen Tal vez muy pocos

5i una persona recibe un seguro de $20000000 y ante el riesgo de perder esa fuente uniea de ingresos en inversiones que ella no conoce resuelve colocarla en una Caja de Ahorros que Ie garantiza e126 anual IQue cantidad de dinero

bullanual podria retirar al final de cada uno de los proximos 20 anos de manera tal que al hacer el retiro numero 20 su cuenta quede en cero

Solu~i6n p= 20000000 i bull 26 onuol

to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1

Conocemos la suma presente Py deseamos calcular la cantidad uniforme anual equivalente (Al

Usando la ecuaci6n (211) se tiene

A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600

podra retirar $5251600 al final de cada uno de los 20 el saldo fuese cero despues del ultimo retira

Aquf tambien muchos se preguntaran que condiciones de vida Ie da tal ingreso en los ultimos anos debido al problema inflacionario En los ejemplos 212 y 213 abordaremos dicho problema

2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48

38 Evaluad6n econ6mica de proyedos de inversion

Ej~rpl() 29 ~ I

En el ejemplo anterior icual serfa A si se desease hacer retiros durante un numero infinito de anos

Solucion A 20000000 (N 26 ool

en este caso radica en queen las tablas no apareceel factor (M 26 razon por la cual hay dos alternativas calcular ellfmite de (M i nJ cuando

n=) 0 extrapolar Observando la tabla vemos que la funcian tiende a 026 10

eual nos permite generalizar que

Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000

la diferencia entre 20 e 00 es mucha la diferencia entre $5251600 y5200000 no es muy importante Mas adelante se analiza con mamiddot yor detalle el hecho de que el dinero gastado 0 recibido dentro de muchos alios no tiene mayor efecto en el presente Observemos como los 20 pagos de $5251600 y un numero infinito de pagos de $5200000 no son iguales contablemente pero sf son eauivalentes econOmicamente

- j

monetarios con duraclOnes valores extremos que alcanzan

Es oportuno este para tratar el tema de perpetuidades que hace relacion a proceso de extensas que pudieran interpretarse como n=)La tabla 24 presenta ItS

distintos factores cuando esla ci rcunstancia se da

(FJP i co) 00 (PIF i 00) 0 (N i )= (PIA i (0) = 11i (NF i ooJ 0 (FA i ool = 00

Tabla 24

Ei~rnPo 210 Una empresa recibe de una organizacion de mantenimiento la oferta de encarmiddot

garse del mantenimiento de una maquina durante los proximos 5 alios con un costa mensual uniforme de $100000 5i la tasa de retorno minima de la empresa es de 25 mensual serfa hoy el costo presente equivalente de clicho manshytenimientoSoludon

Para buscar concorclancia en las unidades y clebido a que el interes esta en base mensual entonces realizamos el diagrama en base mensual

i = 25 mensual o 2 3 59 60mem

-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39

Conocemos loscostos mensuales uniformes Al ydeseamos conocer el costa preshysente (P)

Usando la ecuaci6n (2 J 1) se tiene

P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866

hacer un pago hoy de $3090866 es a hacer 60 pagos realizados al final de cada uno de los 60 meses

227 Relacion de equivalencia entre una serie aritmetica (8 - G) Y una anualidad (A)

Debido a diferentes efectos entre ellos los inflacionarios es muy diffcil mantener una serie de pagos exactamente uniformes yes conveniente desarrollar relaciones de equivalencia para casas proceso ordenado de variaci6n Una de las variaciones progresivas mas frecuentes es la de representada en la figura 210 Vamos a desarrollar una relaci6n que nos permite calcular las anualidades

a dicha situaci6n

5i observamos cuidadosamente la figura 21 0 notaremos las caracterfsticas que son fundamiddot mentales en el maneio de este concepto

a) Hay una cantidad uniforme denominada base (8) qulocurre al final de cada uno de los perlodos que no requiere modificaciones puesto q~e es un A

b) Las variaciones aritmeticas denotadas por G ocurren a final del perfodo 2 0 sea que s610 hay n - 1 variaciones

c) La magnitud de la cantidad ubicada en el perfodo j esta dada por

B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210

Observemos ademas que cada cantidad de la serie aritmetica es una cantidad presente con respecto al perfodo n 0 sea que para calcular el valor futuro equivalente (F) solo tenemos que desplazar cada una de las cantidades al final de los n oerfodos ysumarlas

40 EVOlu~~i6n econ6mica de prayecios de inversiOn

Una vez calculada esa cantidad futura Fen la posicion n todo 10 que se requiere anualidad comprendida entre los perfodos cera y n es utilizar la formula 26 Como un Aequivalente al diagrama anterior ycomo Bes en nuestra nomenclatura un A solo tenemos que preshyocuparnos par la parte variable 10 cual nos da

F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)

la ecuacion (214) por (FP i 1) 11 + i) obtenemos

F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)

Recordando que (fP i nJ (fP i 1) = (FP i n + 1) por cuanto

(F I Pin) = Obtenemos

Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)

Restando de la ecuaci6n (214) la ecuacion (216) se obtiene

0-1

-Fi -G1(FPin-j)+(n-l)G(FI i1 (217)

y recordando que (FP i 0) 1 tenemos

0-1

Fi 1(F I Pin nG =1

La cual porlas reladones presentadas en la tabla 22 ydespejando F se transforma en

I Ain) (218)

Para convertir este Fen un A10 multiplicamos por un (NF i n)

2 Equivalencia 41

A l(F I Ainj- n)] middot(A I

o sea

(219)

Manteniendo nuestra estructura ysimbolismo delinido por la ecuacion (211) logramos

AG IGin) (220)

Donde (AG i oj es ellaetor de de una serie aritmetica de magnitud G en una serie unimiddot forme IAl

Observemos en la 210 que aunque solo existe (n 1) variaciones el factor de conversion es fundon de n perfodos tanto la anualidad ala situaeion de la 210 esta dada par el termino base (B) mas la (220)

A=B+Gmiddot(AI (221)

En la eual G puede ser positiv~ 0 negativo segun el signo de la variacion y B valor inclusive eero EI factor (NG i n) esta tambien tabulado en el apendiee I aparece su esquema yen la tabla 26 SU relaeion con otros fadores

228 Relacion de equivolencia entre una serie geometrico (T- s) y una sumo presente (PJ

Como se indico en la seceion 227 es en general muy difkil mantener una serie de pagos exactamente por eso es necesario desarrollar relaciones de equivaleneias para

casos que sigan un proeesci ordenado de variacion En adicion al gradiente aritmetico estudiado en la secmiddot cion 227 hay una variacion muy impartante especialmente en ambientes inflacionarios que es la serie opnmptrir 0 gradiente geometrico que aparece representado en la fi~ura 211

o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)

- 1middot1 T TTl Tlts[2 T(lts)3 TlltS)middot1

Figura 211

5i examinamos cuidadosamente esta figura apreciamos que hay una cantidad base denotada por T ubishyeada en la pOSicion 1 (final deller perfodo) la eual presenta un crecimiento geometrico peri6dico del so La suma ubicada en el oeriodo i esta dada por

Ci =T(1+s) -1 (222)

42 Evaluaci6n econ6mica de proyelttos de inlersi6n

5i deseamos traer al valor se tendra

esa suma Ci ubicada en la posicion It usando una tasa de interes del i por

VPC j Fii) (223)

Ahora para calcular el valor presente total todo 10 que tenemos que hacer es sumar los VPC(de todos los periodos 0 sea

1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)

Lo eual se transformar algebraieamente haciendo X (1 + s)1 + i) en

Tn

(l+S)1 Xl J 1

(22S) Multiplicando ambos miembros por X se abtiene

px-T-ixl+l (1+5) 1=1

(226) Restanda de la ecuacion (226)la ecuaeion (225) se tiene

-1) _T_(XI (1 +s)

(227) Lo eual reorganizado y sustituido es

1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i

Que es eI factor que permite hallar Peonocidos T 5 i n 10 denotaremos por mantener nuestro esquema mnemotlknico como (PIT 5 i n) En la parte final del IA aparece una pequena tabla para esta situacion

2 Equivalencio 43

La formula de equivalencia estara dada por

~il~~J (229)

La tasa s representa en este esquema la tasa de inflacion 0 la tasa de escalamiento de los flujos de dinero en consideracion

Una vez hecha la equivalencia a P es muy facil con las otras relaciones hacer la equivalencia a A a F o a B - G

Existe una dificultad con la ecuacion (228) cuando s = i pues se una indeterminacion 5e demostrar que en este caso la ecuacion (228) se eonvierte en

nTP

+ (230)

En la tabla 25 aparece el esquema del geometrico y en la tabla Vi su relacion con olros factores

llhh

F= -o 1 2 3 n A B-Gtrll+~

A= tA=ltA=lt A=l B 8+ Bt2G 8+(nmiddot1)G

( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s

Tabla 25 Resumen de relaciones de equivalencias

(A

Tabla 26 Relaciones entre fadores de equivalencia

44 Evaluacion econ6mka de proyectos de inversion

Ejemplo 211

desea comprar una casa euyo valor es de US$100000 pero al cesantias y prestamos de familiares solo tiene US$20000 Esto

10 obliga a recurrir a un prestamo deL$80000 a 20 anos y con un interes de un 16 anual Usted esta interesado en evaluar diversos esquemas de pago paraver cual se aju5ta mas a su situaci6n ydecide estudiar 3 sistemas

a) Cuota anual uniforme los 20 anos b) Cuota creciente anualmente en US$I000 c) Cuota creciente anualmente en un 20

iCuales serian sus esquemas de pago y cual el mejor sistema desde el punto de vista eeon6mieo ydesde el punta de vista financiero

Solucion Caso a i = 16 onuol80000

A= Se trata de calcular un A de 0 a 20 eonoeiendo un Pde US$80000 Usando la ecuaci6n 28 tendremos

Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934

Por 10 tanto 5i 5e desea cuota fija cada ano debe pagar US$134934

Caso b

Conocido el valor de A del caso anterior y la ecuaci6n 221 relaciona una anualidad con un B - G es posible eseribir la siguiente

A B+GWG i n)

que al partieularizarse se eonvierte en

13 4934 B+1000(NG 16 20)

Recordemos que en el enuneiado se indicaba que cadaeuota anual iba a subir en 1000 y por eso G 1000 AI despejar encontramos que B=83268 0 sea que si desea cuota con gradiente aritmetico el primer ano debe pagar US$83268 y cada ano ir aumentando su cuota en US$I000

Caso e

Conocido los valores de P s e podemos usar la ecuacion 229 para calcularT P T(PfT s i nJ

que para el caso particu lar sera

CapihJlo 2 Equivolencia 45

80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)

luego si desea cuota con gradiente geometrico el primer ano se deben pagar $3299 y aumentarlos cada ano en un20 sobre el valor del aiio anterior

--~-~ ~

EI 2J presenta los 3 esquemas de pago a 10 de los 20 anos

1200000

--cent- Coota Uniforme

--cent- Gradiente AritmeticQ 100000otl------------1

-ts- Gradiente Geometrico

800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21

Claramente se observa que si no exisle inflacion el caso e (gradiente geometricol serra mucho mas fadl de eumplir al comienzo pero mas dificil al final mientras que el sistema de cuota flja requerirfa el mismo esfuerzo durante toda

rasa si hay inflad6n Es de esperarse que sus anuales crezcan a 10 largo de los 20 anos 10 tanto eI sistema de cuota que fue el mas al comienzo cada ano se ira haciendo mas

pues requerira una proporci6n menor de su ingreso

iQue rasa con el geometrico Observese que si sU ingreso erece al 20 como la cuota crece al 20 el pago de la deuda requerira el mismo esfuerzo durante todos los 20 anos pues cada anD tendra que dedicar la misma proporci6n de su ingreso Sf su ingreso crece a mas del 20 anual el pago de la deuda se hara mas faci con el paso de los anas pero nunca tan fikil como el de cuota fiia Si III inQreso crece

Q

2 Equivolendo 4746 Evoluacion econ6mico de proyedos de inversion

Una seria una cuota igual cada ano 0 seaa menos del 20 usted estara en problemas ya que cada dia sera mas dificil cubrir la obligacion pues 0D21930obviamente tendril que dedicar una mayorproporcion de su ingreso

A= 115599 (NF 10 18) = US$2S35 1 IPor tanto desde el punto de vista financiero la mejor alternativa dependera de su situacion de Otra seria una cuota crecient~ 0 sea un B - G con un G= US$150actual ysus perspectivas de Ingreso futuro Si su ingreso actuaJ es bajo es una lacura seleccionar el sistema

de cuota uniforme puesto que posiblemente no podra pagarla y por ende seria mas conveniente escoger 6052560el sistema variable con gradiente geometrico Si SUS perspectivas de mejora de ingresos son iguales 0 mashy

B+150 (NG 10 18) -= 25351yores al 20 no 10 dude escoja el gradiente geometrico como su mejor opdon financiera pues 10 lIevara B US$16272suave al comienzo ymas adelante se Ie mantendra 0 reducira la proporcion de ingresas que usted debe

dedicar al pago Note que el gradiente geometrico durante los 8 primeros anas sera mas suave que el de IOtra seria una cuota creciente al 8 anuaL cuota fiia ypodra salir de otras obligaciones ~

0179859 ~ Economicamente las tres alternativas son iguales dado que es el mismo al mismo interes y

al mismo Diazo como vimos al hacer las equivalencias entre elias Po 115599 (PIF 10 18) = 207915 i

y fObserve que el gradiente aritmetico es una posicion intermedia a los dos casas antes indicados ~

ser una alternativa interesante para no excederse en facil al comienzo y diflcil al final

T= (Pff8P1018) 20791 5 = U5$14783Ej~~pl~2_l2 iQue tan utlles serran los U5$150000 que usted capitalizo ejemplo 27) si cuando ei nacio (a no cero) la matrfcula anual en la universidad Es dedr que si alcanzarfa aun para una matrfcula actual (ano 18) de U5$239761ano era US$6000 yella crece cada ano al 8 anual Suponga que el Observese que el esquema de ahorro aquf previsto es viable y note5e que sf coloca sigue ganando ell 0 anual que las matrkulas son anuales que sirve pagarlas al comienzo del alio yque se necesitan 5 matrfculas

Solud6n Observese aquf el problema inflacionario al nacer el hijo la matricula vale i

US$6000 lano yva a creeer al 8 anual por tanto en la posicion 18 esta matrishycu la sera igual a

6000 (FIr 8 18) US$23976

yseguira creciendo cada ano en un 8 eomo 10 indica la figura

18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619

Veamos cual es el valor de estos pagas en 18 Para ello observemos que tenemas un = $23976 un T $25894 yun s= 8 donde el T- 5 cubre 4anas (18-22)PIB

23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8

el fondo de $150000 sf nos alcanzara para cubrir el pago de las 5

iCuales serran entonces nuestras nuevas alternativas de ahorro si solo necesitamos tener US$l1 5599 en la oosicion 18

Ejemplo 213 5i el costo de vida va a crecer durante los proximo5 20 anos a una tasa del 20 anual ique pasa con el poder adquisitivo del amigo del ejemplo 28 iComo han debido ser sus retiros para que su poder adquisitivo se mantuviese constante

Soludan En el ejcmplo 28 vimos que al depositar el seguro de $20000000 en una entishydad que pagaba el 26 de interes anual nuestro amigo podia retirar cada ano durante 20 arios la suma de $5251600 que para el primer ano seria muy buen ingreso pero con un aumento del 20 anual en el costa de vida ese perdiendo capacidad de compra Una forma de visualizar capacidad es calcular 10 que se denominan pesos constantes 0 sea ver que bienes pueden comprar con la plata recibida en un ano dado y luego determinar para un ano de referencia QUe tanto valdrfan esos bienes en dicho ano

Por eJcmplo en el ano 15 este amigo va a recibir un total de $5251600 La idea seria ver que tantos bienes puede comprar en ese ana con esta plata y lueshygo valorar esa cantidad de bienes a casto de hoy Esto se puedc hacer de la sishy

forma un bien que en el ana cero vale $1 en el ano 15 valdria $1(FIp 20 15) = $15407022 por taniO el ingreso del ano 15 Ie permitiria comprar 1

_ _ _~ bullbull__bullbullbullA~______-J

Ei~mp~-~l~

Solucion

48 Evaluoden econ6mica de proyedos de inversien

(52516001$15407022) unidades de ese bien es decir 340857 unid~des las t cuales hoy valen $340857 par ende ellngreso de $5251600 en el ana 15da un poder de compra equivalente al de $340857 hoy Aqui se ve claro c6mo en el ~ ano 15 este amigo ya estara en una situacion muy critica iQue hacer entonces para evitar esio Realizar retiros que crezcan aI20aiio de tal forma que el poder de compra del primer ano se mantenga 0 sea usar un T_ f s y no un A La solucion serra

P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822

(PIT 20 26 20) I Esto nos indica que para mantener un poder de compra constante se requiere que en el primer ano solo saque $1925822 y que luego crezcan sus retiros ana a ano en 1120

Durante los ultimogt 10 aiios un inversionista ha venido colocando todos sus aho rros en una organizaci6n que Ie garantiz6 e120 anual Su esquema de dep6sitos esta indicado en el diagrama de tiempo Deseamos conocer

a) iCual es 11 valor actual de sus depOsitos b) ICual habrfa sido el deposito anual uniforme equivalente a sus depositos

irregulares c) iCual serla la cantidad depositada en el ano cero equivalente a todas sus

dep6sitos

Primero que todo identifiquemos las posibles agrupaciones de pagos de acuerdo con nuestros terminos basicos (P F A B G)

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

]~tli~I~~II-~1l--(l---l---lI----lI-1 Ano

bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60

En general hay multiples opciones pero veamos al menos tres de elias

OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8

Perlodo 7 Perfodo 8middot10 Periodo 10


Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10

Opci6n C todos los dineros son sumas futuras con respecto al perfodo cero

Vamos a resolver el problema mediante la opdon A Ellector debe encargarse de elaborar otras opciones y resolverlas

a) Tratemos primero de transformar la serie aritmetica en una cantidad uniforme Como la serie aritmetica cubre el periodo 3middot8 la cantidad unjforme cubrira el mismo periodo 3middot8 (vease tabla 21)

3 A 5 6 7 s - -

i~r-~middotrmiddot1----411--( I) I 500Il 10000

15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM

Yahora reunamosla completamente en el anoB 0 es movamosla al futuro

74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM

c EI diagrama actual es

o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0

IL-Jl~~l--(il--(iI--(iI--(i~i~-(l1-1~1-1Mil d 10 10 ]0 10 10 10 10 10 10 10 10 udod~

monetonos 20 20

98244 30

Hay una serie uniforme (10000) durante los 10 anos que podemos moverla al futuro

259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM

una serie uniforme (20000) en los an os 9 y 10 que podemos moverla al ano es decir al ano 10

22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000

Capfltllo 2 Equivo~ncia 51

231 Efecto del periodo de aplicacion Las modificaciones que se presenten con relaci6n al perfodo de composicion 0 aplicaci6n de los intereses

diferencias Estas se presentan basicamente par el concepto de interes compuesto eI hace que cuanlo mas frecuentemente se cobre el interes mayor sera el saldo total al final del perfodo

de analisis Muchas veces oimos hablar del I mensual 0 del 3 trimestral 0 del 6 semestral 0 del 12 anual y la prirnera tendencia es creer que son la misma cosa Esto no es c1erlo por cuanto $1 all mensual durante un ano seconvierte en $11268 a13 ttimestral durante un ano se convierte en $11255 al 6 semestral durante un ano se convierte en $11235 y al 12 anual durante un ano se convierte en $112

Este ejemplo tan sencillo nos indica la importancia que tienen los periodos de aplicacion en el valor del dinero y la necesidad de disponer de mecanismos de transformaci6n como tambien de estar informashydo del problemat para poder establecer comparaciones validas Empecemos por definir algunos terminos usuales

EI interes en general se el prop6sito que se

interes peri6dico

expresar en dos grandes formas interes peri6dico e interes nominal Para los prop6sitos de dlculo es absolutamente necesario el uso del

Interes peri6dico denotado con el simbolo i es aquel en el eual se especifica la tasa de interes que realmente se aplica por perfodo yel perfodo de aplicacion Generalmente se expresa a no ser que se indishyque 10 contrario como interes pagadero en forma vencida Por ejemplo 2 mensual 4 trimestral 23 anlla que solo se habla en su especificaci6n de un tiempo es el perfodo real de composicion (tc) y nunca ni en forma taeila 0 explicita se habla de perodos de (tte~

Interes nominal denotado con el sfmbolo r es aquel en el cual busca plantearse basicamente un punto ele referenda y por ese motivo se acostumbra expresarlo como una tasa referida a una base anual (exshyplicita 0 taeita) pero inmediatamente del periodo real de aplicaci6n 0 composiCion En general se usan dos perfodos el de referenda Ie[ y el de composici6n (te) Por ejemplo 18 anual compuesto trimestralmente indica que el interes nominal es 18 sobre un periodo de referenda anual pero en realishydad el perfodo de es trimestral 30 TA indica un interes nominal del 30 anual (tacito) con un perfodo de aplicacion trimestral yen forma anticipada EI interes continuo siempre se expresa en base nominal

EI interes nominal (r) como tal no puede usarse en ninguna de las ecuaciones de que coshynocemos y por ello hay necesidad de transformarlo en un interes peri6dico (i) 10 mediante la siswiente relacion

i= In de referencia (231)

trabajar con mueho cuidado las unidades de cada termino La unidad composici6n del interes nominal r (Ie) especial que es el interes efectivo denotado con el sfmbolo E el cual

nos indica la tasa de interes anllal (0 en el perfodo mas extenso) que es realmente equivalente a cierta tasa periodica sobre un perfodo menor Mi~ el valor real no el nominal del dinero en un periodo de referencia

50 Eval~ociOn econ6mica de proyedos de inversiOn

Hay un pago unico de 10000 en el ano 7 que se puede al ano 10 17279

F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM

un pago Crnico de 98244 en el anb 8 que se puede desplazar al alia 10 144

FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM

Hay un pago de 30000 en el ano 10 que no necesita desplazamiento

EI valor futuro total sera obviamente la suma de los componentes

F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I

b) Se trata sencillamente de ealcular Aconoddo F i)

A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM

c) Se trata sencillamente de calcular Pconoddo F

P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM

Como vernos toda la dificultad esta en la identificacion de los terminos pues las ecuaciones son fkiles de escribir una vez identificada la situacion

Hemos visto algunos tfpicos de Tratemos de escribir el significado del ultirno

79512 UM en el ana cero colocados a un interes del 20 anual son equivalentes a 492336 UM en el ailo 100 a 18965 UM durante cada uno de los 10 anos

En otras palabras 492336 UM en el ailo 10 cubren los 79512 UM invertidos en el ano cero mas los intereses ocasionados por el capital no amortizado a 10 largo de los 10 alios

~2r EQUIVALENCiAS ENTRE INTERESES COMPUESTOS

En la seccion 21 dijimos definir exactamente el interes compuesto debemos indicar la ta5a el de apicacion fa el momento de apicadon y la unidad monetaria ya que el

no hacerlo origina una serie de yenganos en ciertas operaciones J

Para evitar los problemas que esto ocasiona las Bancarias de muchos gen a todas las entidades financieras colocar en sus anuncios el interes en una base comun luego Adicionalmente indicamo~ que es necesario con miras a trabajar con las formulas disponer de un interes vencido sobre saldos yaplicable sobre tiempos concordantes en unidades con los periodos utilizados en el diagrama de tiernpo (Ip tel En muchos casos eslas condiciones no se dan y por ello es necesario analizar 105 posibles efectos de estas variantes del interest y a transformarlos de

esquema 0 forma de enunciado a la base central de trabajo de nuestras formulas y tablas

52 Evoluoci6n econ6mica de proyeclos de inversiOn

Por defin icion Ees la tasa de interes de referenda duce el mismo valor futuro Ii) un lotal de m veces durante el perfodo de

La figura 212 nos indica las dos siluaciones que deben

In teres periodico FjJ= o 1 2 3

2 J--j2l----l ]l----l ~]) mperiodo d compoicion

+ F2= 1

IntenlS efectivo t ~I--------------------~ I 1Poriodo d referll1daT EPeriodo de referendo

) 212

nuestra formula en los dos casos se tiene

F1 P(FIr i m) F2 P(FP E 1)

Para ser equivalentes tiene que cumplirse que Fl F2 por tanto

P (FP i m) P(FiP E 1)

Pero como (FP Ell) 1+ E entonces

Eperrooo (F I P i m) Referenda

(232)

Donde m de veces que el cabe en el periodo de referencia

asi de interes especi-

La f6rmula 232 escribirse tambien como

ipl = ipet 1 pipem)- (233)

Donde m de veces que el perodo carta cabe en el periodo largo

Entre los intereses nominales hay uno muy especial que sera tratado en detalle en el Apendice 2-A lIamado interes continuo Tiene como dificultad el hecho de que para usar la formula 231 requeririamos un mexcesivamente grande yel valor de i tenderia a cero for ende hay necesidad de convertirlo en un

Capitulo 2 Equivalencia 53

de largo can el uso de la ecuaci6n 232

E= lim (F IPr -1 mshy

1

Lo cual se demostrar par el Teorema de a

r Eperfodo e shy

referenda (234)

Donde res la tasa nominal en el periodo de referencia compuesta continuamente La unidad de tiempo de Ees fa misma unidad de tiempo que se us6 como perfodo de referencia al definir r La formula 234 nos permite entonces hacer equivalencias entre interes continuo e interes discreto con gran facilidad

232 Efecto de la forma 0 momento de aplicacion

o se ~p~ca (cobra 0

de transformar un interes las formulas desarrolladas y las

$Pi como interes $P Por 10 tanto

p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213

Para que las cantidacles indicadas en la figura 213 sean equivalentes bajo un i vencido tiene que cumplirse

P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)

La ecuacion anterior nos permite transformar intereses por adelantado en intereses vencidos y vice-versa La ecuacion 235 exige intereses periodicos asi sean par consiguiente no se introducir en ella intereses nominales En caso de disooner de interes nominal anticioado es necesario primero transformarlo en interis periodico

54 Evoluod6n ecooomico de proyedos de inversion

r~ Ja~~

que es una ecuacion que sigue la misma logica de la ecuacion 231

233 Efectos de la base de aplicacion

En toda situacion hay dos unidade5 de tiempo vitales el perfodo de pago (tp) que hace relacion a la frecuencia con la cual se reciben y se pagan dineros y que es la base de construccion dei diagrama de

y el periodo de composieian (te) que es la frecuencia con la cual 5e pagan intereses

relaciones entre tp y Ie son

aj EI periodo de composicion (tc) es igual que el periodo de pago (tp)

Ie estamos en la 5ituacion ideal pues ello es 10 que exige nuestra ecuacion aplicar con toda tranquilidad la mecanica ya conocida sin tener que

nltfnrmrifm ni en tp ni en Ie ni en el diagrama ni en los intereses

b) EI periodo de (omposicion es menor que el periodo de pagos

En este caso el interes se compone con mayor frecuencia a aquella a la cual se efectuan los desembolsos 0105 recibos Por ejemplo el interes es mensual y los pagos san trimestrales En este casa para poder concordancia entre Ip y Ie existen dos opciones

1) Aiustar te a tp para ello calculamos el interes periodico que aplieado sobre tp produce el mismo periodico aplieado mveces sobre Ie usando por ello la ecuacion (233) De esta

forma te = tp y podemos usar nuestras (ormulas

2) Aiustar Ip a tc para ello ajuslamos el diagrama de tiempo redefiniendo sus unidades Entonces el trimestral que apareda en la posicion denominada I trimestre aparece ahora en la

pero esta se denominara 3 meses Igual se hace en todos los flujos por 10 tanto la sera meses y el interes sera tambien mensual De esta forma Ie tp Y

c) EI periodo de composicion es mayor que el periodo de pago

del interes es men os frecuente que el perfodo de pago como por son mensuales y la composicion es trimestral hay necesidad de considerar cual

que se pueden dar en el mercado financiero es aplicable antes de hacer los

EI proceso basico en estos casas es ajustar el diagramade tiempo y mover mediante reglas que veremos a continuacion los diversos flujos que estan entre el perfodo de composicion a uno de los perfodos de composicion generalmente usando el concepto final de periodo De esla manera se logra que tp =te yque nuestras formulas sean aplicables En el caso indicado anteriormente todos los depositos realizados en las posiciones 12 Y 3 se trasladan al mes 3 y esta posicion se redefine como trimestre uno ylos flujos de los meses 4 5 Y 6 se trasladan a la posicion trimestre 2 como 10 ilustra la figura 214

o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z

i lrimelre j trimeslres Figura 214

CapillJlo 2 Equivolencio 55

Las oociones que frecuentemente se dan en el ambito financiero son

a) No hay intereses pagados sobre el dinero depositado 0 sacado entre los perfOOos de composici6n 10 cual implica que los depositos realizados durante el se consideren como depositados al final del perfodo en curso y los retiros realizados durante el se consideren como retiros al comienzo del perfodo en eurso Por 10 tanto se hace una suma contable yse posiciona el total en los perfodos de composicion

b) EI dinero depositado 0 retirado entre periodos de rnmnoltirinn

10 cual los pagos entre periOOo se transfieren al retiros realizados durante el perfodo se

c) EI dinero depositado 0 retirado entre perfodos de composicion gana 0 paga un interes compuesto menor que el establecido por 10 cuallos pagos entre perfodos se transfieren al periodo siguiente ganando interes compuesto y los retiros durante el periodo se penalizan con ese interes

d) EI dinero depositado 0 retirado entre perfodos de composicion gana 0 paga intereses a una tasa equishyvalente a la tasa periOdica 0 sea que se considera que hay casi una tasa continua equivalente a la tasa periodica y los din eros se desplazaran con la tasa calculada

Ej~plo]~ Ajuste el siguiente esquema de flujos bajo la idea de un interes del 8 trimestraL Para los casos a b c y d de la seccion 2333 utilicel mensual simple 1 mensual compuesto yel mensual equivalente a18 trimestral respectivamente

Solucion

deg j I I lshy3000 10000

4000 5000

10000

i 8 rimslral

Caso lIa Los flujos de 1 2 Y 3 se trasladan a 3 sin ningun interes simplemente se suma Los flujos de 45 Y 6 se trasladan a 6 sin ningun interes simplemente se suma EI flujo de 8 y9 se traslada a 9 sin ningun interes EI flujo de lOy 12 se traslada a 12 sin ningun interes srmplemente se suma

Lo eual genera el siguiente diagrama ajustado a trimestres

o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral

Caso b Los flujos de 1 2 Y 3 se trasladan bajo interes simple del 1 mensual a 3 los flujos de 45 Y 6 se trasladan bajo interes simple dell mensual a 6 los flujos de 8 y 9 se trasladan bajo interes simple dell mensual a 9 los flujos de lOy 12 se

bajo interes simple dell mensual a 12 ai F3 =1000 [1 +2(001)J +2000 [1 + 1(001)1 +4000 7040 Famp= 5000 [1 +2(001)1 +2000 [1 + 1(001)1 + 10000 = 17070 F9= 3000 [1 +1(001)] +4000 7030 FI2 = 5000 [1 +2(0OJ)] +10000 15100

56 Evaluacion ec0n6mica de prarectas de irwersi6n

Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral

Caso lie Los flujos de 1 2 Y 3 se trasladan bajointensects eompuesto del 1 mensual a 3 los fluiDs de 45 Y 6 se trasladan bajo interes eompuesto dell mensual a 6 los

8 y 9e trasladan bajo interes compuesto dell mensual a 9 los 2 se trasladan bajo interes eompuesto del 1 mensual asi shy

1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005

Lo eual eI siguiente diagrama

o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro

Caso d Convertimosel 8 trimestral a mensual 0 sea

)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol

En eualquiera de los casas se logro que te tp por 10 tanto se puede iniciar el uso de nuestras ecuaciones y tablas para hacer los calculos que fuesen necesarios

234 Intereses multiples-Otra situaci6n bastante comun en nuestro media es la aplicacion simultanea de varios electos tes al intenes compuesto Tal es el ltaso de los prestamos de valor constante en los cuales hay una tala de interes sabre unidades de valor constante (UVC) y una tasa de variaclon de respecto a la unidad monetaria corriente la cual opera en forma equivalente al intenls compuesto Gtro caso similar es el de prestamos en moneda extranjera en los que hay una tasa basada en la moneda ex-

y una tasa de variacion de la relaci6n de moneda extraniera con la moneda corriente

Capitulo 2 Equivolencia 57

Resulta faeil calcular el interes electivo en la unidad monetaria por periodo La figura 215 indica la situaeion donde P y Festan expresados en UVC 0 en moneda extranjera y RVI YRVF indican relaciones entre UVC 0 moneda extranjera can la unidad monetaria corriente

Efecto interes Efectorelacion de valores

F=l RVF=

Irimeslral 1Periodo i2 trimestral Periodo

P RVI

Figura 215

Haciendo equivalencias con nuestras formulas se tlene que

F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)

Por otro lado las cantidadel iniciales y finales de unidad monetaria corriente estan dadas por los valoshyres representados en la Figura

UMC= fRVf

-----~~ Eperfodo 1Perfodo

UMCo=PRVI Figura 216

Usando la relacion de en la 2 6 Ie tiene

(1 + E)

Yal sustituir UMCO por PRVI se

UMC j =PRVI (1 + E) (237)

Ahora sustltuyendo FyRVF definidos en la ecuaci6n 236 en la anterior se tiene

F- RVF po(FPi11)-RVlo (238)

La cual 5i se iguala can la ultima 5ecci6n de la ecuacion 237

P(FP I 1 )RVI (FIP ) PRVI (1 + E)

Esta desoues de IlmoilllCarse genera

(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)

58 Evaluaci6n econ6mica de proyedos de inversiOn

o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)

Esta formula nos permite calcularel interes efectivo en unidades monetarias corrientes de una situacion en la cual paralelamente estan dandose dos fenomenos can comportamiento similar al de los intereses

La formula puede expandirse en el caso de que haya t fenomenos con comportamiento similar al de los intereses asf

t E 1t(1 shyj=1

(240)

Tanto en la formula 239 como en la 240 hay que tener mucho cuidado can las unidades de los irshytereses Ii pues se requiere que haya concordancia 0 sea si ii es la tasa de variacion del oro il debe ser la tas~ de lariacion del precio del oro en dolares es decir d6laresloro i debe ser tasa de variacion

J del precio del peso respecto al dolar 0 sea pesosldolares Igualmente todos los i deben estar referidos al mismo oeriodo de I

235 Comision - Intereses Una de las practicas mas comunes en los sistemas financieros es la de ) como comision par el prestamo y un interes adelantado (ia) a vencido (i) por la utilizacion del Este proshyceso hace que el intenis efectivo sea bastante diferente a la simple suma i +i a ie + i

Veamos eI caso en el cualla comision yel interes se pagan par adelantado Se reciben $P de loscuales $Pi se pagan como comision e intereses yal final delperfodo hay que pagar el saldo de capital $P

La figura 217 presenta la forma como se mueven los dineros

P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217

La relaci6n de equivalencia es

P(1 - ic - i)(FP E 1) P

Ydado que (FIP E 1) = (1 +E) se logra

(241)

Esta formula solo es valida para 1 perfoao tal como 10 indica la 217 Si la situacion es por mas periodos 13 formula es mas complicada

adelantado yel interes vencido el diagrama sera el indicado en la figura 218 Y equlv31encia sera

1 Varela V Rodrigo as comsiones ysu efecto en el cos to del capital Publicaciones ICESI Cali 1983

2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +

Ydado que (FP E 1) =(1 + 1) se

+i E~c

1- ic

(242)

Esta formula solo es valida para 1 periodo como 10 indica la figura 218 Si la situacion en anal isis es por mas periodos 0 can otros esquemas de pago por favor revisar la referencia 1

Ejemplo 216 Calcule el interes efectivo anual en los siguientes casas

a) 18 anual compuesto mensual mente b) 8 trimestral c) 24 anual por adelantado d) 24 anual compuesto continuamente e) 30 anual compuesto trimestralmente y por adelantado 030 anual por adelantado yuna comisi6n adelantada del 5 g) Una tasa de interes sobre UVR del 8 anual can una tasa de inflacion del 24 anlJaL

Solud6n I a) 18 anuaI compuesto mensual mente es un intens nominal Can la ecuacion (231) se calcula el intenlsmensuaL

i= 15 mensual

ycon la ecuaclon (232) calculamos Eanual

E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual

b) Con la ecuaci6n (232) calculamos Eanual (m 4 pues hay cuatro trimestres en un

E (FP 8 4) 1 3604 anua

c) Con la ecuacion (235) calculamos i vencido

=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076

d) 24 anLlal compuesto continuamente es un interes nominal continuo ycon la ecuacion (234) calculamos Eanual bull

E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----

60 ampoluod6n emn6mica de prayedo de inversiOn

e) Con la ecuaci6n (231) pasamos a anticipado

i = ~ = 75 Trimestralntirnrl a 4

~

Con la ecuaci6n (235) pasamos a peri6dico vencido

ia ill1ZL = 75 Trimestral vencido 1 - 0075

Con la ecuacion (232) pasamos a efectivo --

E= - 1 3659 anual

fj Can la ecuaci6n (2 AI) calculamos el efectivo anual teniendo en cuenta que i c 5 e i a 30 anual

005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)

g) Can la ecuacion (239) calculamos eJ efectivo anuaJ teniendo en cuenta que ii = 8 anual en UVR e i2 24 anual en $UVR

E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)

las diferencias mencionadas a 10 largo de la secci6n 23 expresando anual que es 10 exigido por la Superintendencia Financiera

Description del interes

24 anual compuestos renstlafmente 24 anual compuesto trimestralmente 24 anual compuesto diariamente 24 anual compuesto continuamente 24 anual semestralmente por adelantado 24 anual por adelantado 24 anual

Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000

la diferencia en el interes efectivo entre la composicion diaria y determinar una tasa diaria equivalente a una cierta tasa

en forma practica (diarial el concepto del intencs continuo

los certificadosCCC anuncian en su propaganda un 24 de interes anual comshypuesto mensualmente Usted decide invertir cada tres meses $2500 ydesea coshynocer el monto de su inversion al cabo de 2 112 alios

Caprtulo 2 61

Ante todo observemos que los perfodos de composicion son mensuales mientras que los depositos uniformes son trimestrales falon oor la cual dichos no corresponden a una serie de pagos uniformes periodos Esta situacion queda clara en el siguiente

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas

Q~~r~Q~Q~gt-4Qgt-41~4~Q~1i

2500 2500 2500 2500 2500

EI interes nominal (r) es 24 anual compuesto mensualmente a sea que el intenes par perfodo (i) es 2 mensual Vamos a resolver este problema por 3 metodos

Metoda 1 Considerar cada independientemente y lIevarlo hasta el peshyrfodo 30 Esto un Pen un Fy obviamente usaremos un factor

FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138

2 Considerar el hecho de 31 final de cada trimestre tenemos un pago el eual se puede durante cadd uno de los meses del trimestre

con pagos uniforme mdiante A= F(Mi n) A= 2500 (M 2 3) A= 2500 (0 32675) $8169

EI diagrama de tiempo sera

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses

16gt-lt6~6gt---lt6gt--lt6gt---lt6gt---laquo)--lt6gt--lt6gt-46gt--lt6~6gt--lt6gt--lt61-llttttttt ~tt

AaJo =8169

i = 2 mensual

Ahora si tenemos un pago uniforme que ocurre en cada uno de los 30 perfodos 10 podemos considerar un Ade 0 a 30 y se tendra

F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n

62 Evaluation eltan6mica de proyedo$ de inversiOn

Metodo 3 Encontrar una tasa trimestral equivalente al 2 mensual es deeir deshyterminar el interes efeetivo trimestral

Etrimestral (FP 2 3) - 1 Etrimestral 10612 - 1 00612 Etrimestral 612

shy

EI diagrama ahora se hace con base en trimestres

o 4 5 6 7 9 10

Ol-l6J-)--(j~o--(j~J-)~O~OJ-lOI f-l~~~~~~~l~ ~

V~--------

AolO = 8169 i bull 2 meooool

Obviamente tenemos una serie uniforme trimestral por tanto

F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)

vemos de nuevo que el de perfodo usado en el en este easo tri mestres coine ide con el de la composici6n real en este caso trimestre

Sin embargo no tenemos tablas para 612 Yenemos dos alternativas usar las formulas 0 interpolar

Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138

Usar 13 intprnnlrirm

y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I

Usaremos varias veces este proceso interpolatorio por 10 eual anotemos una forshymula de interpolacion lineal

2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)

Como puede apreciarse la diferencia obtenida en los factores no justifica el esshyfuerzo ya no ser que se este interpolando entre valores muy separados usaremos la interpolaci6n

F= 2500 (13257) $33142

Como vemOI los tres metodos eoinciden dentro del error de truncacion presente en los lactores ydel error en la interpolacion

Hasta ahora en todos los hemos supuesto que conocemos el perlOOo economico ny la tasa de interes i Sin situaciones como las de los ejemplos siguientes en las cuales se

trata de calcular estos valores

Eje~poundI~~~~

el interes electivo anual pagado por una institueion financiera es el 26 anual ieuantos anos debo dejar un deposito de $100000 con el fin de obtener $450000 al cerrar mi cuenta Suponga que entre periodos se paga interes compuesto equivalente al 26 anua

F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000

En este caso conoeemos una cantidad presente r una cantidad lutura F y un interes i pero no eonocemos el tiempo n Nliestra de eqllivalencia sera

F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000

Observando la tabla del 26 y la columna de (FIr 26 n) vemos que

(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418

Usando la formula de interpolacion lineal (243) obtenemos

n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)

64 Evaluaci6n econ6n1ico de proyedos de inversion

04985 = 648 alios n =6 + 10403

Otra solucion hubiese sido la del grafiC[gt 22 que nos de anos al cabo de los cuales (FP 26 nj alcanza el

50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22

Otra alternativa hubiese sido recurrir a la formula

(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos

Si los intereses 5010 se pagaran al final del perfodo la hubiese sido a los 7 alios y habrfa excedido 10 $450000 pesos que se propuesto como meta

Ejemplo 219 Una firma construetora Ie ofreee un plan en el cualle financian US$l 00000 de la euota inicial de una casa a 18 meses can letras trimestrales de U5$20450iCual es el intensects efectivo anual que Ie cobran

So1U90n Denominando los como trimestre tenemos el diagrama de

100000

trimestrest~~~ ==~ 1~~lt~l~r~ll~ll~llll - ~----------_

20450

Conocemos P A n ydebemos calcular i trimestral La relaeion de sera

Capitulo 2 EquivoJencio 65

P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450

lograr i se requiere o despeje de formula Usando mterpolaci6n tenemos que i esta entre yel 7 trimestral por cuanto (PIA 6 6) = 4917 (PIA 7 6) =4767

Usando interpolacion su valor es

i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)

Usando la conversion a intenis electivo se logra E=(FP i m) - 1 E= (FfP 6184) 1 12711-1 02711 E 27IIanual

Es decir el interes anual efectivo que me cobran es e 2711

EI objetivo del siguiente ejemplo es demostrar numerieamente e concepto de equivalencia usado a 10 largo del capitulo

Ejemplo 220 Un eleetrodomestico se eompra a plazas can un interes del 2 mensual sobre saldos 51 la eantldad financiada es de $200000 pagaderos en euatro meses deshyterminelos pagos mensuales uniformes Analice tambhin la situacion mes ames

P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I

o III ~ A(4 1Soillcion

Conoeemos PYqueremos hallar A Entonces A= PiN i n) A 200000 (NP 2 4) A 200000 (0 26262) $52524

Veamos en la tabla siguiente la deeimales

Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0

66 Evaluadon economico de proyeclos de inversion

Como vemos los 4 pagos de $52524 cubren exactamente la amortizadan del dishynero inicial ($200000) y los intereses sabre saldas ($10097) 10 cual camprueba una vez mas el cancepto de equivalencia ya enunciada

RESUMEN

Hemal desarrollado las relacianes de equivalencia fundamentales en cualquier anal isis de Ingenierfa Eeashynamica yhemas vista a traves de una serie de ejemplol tanto la manera de formular los problemas como la forma de usar las tablas e interpretar los resultados EI proceso de salucian podemos ordenarlo en las siguientes etapas

Construya el diagrama de tiempo con la informaci6n dada sobre los flujos y los intereses 2 Ajuste los intereses de forma tal que sean coneordantes can los supuestos dcnuestras f6rmulas

interes discreta vencida sobre saldas al camienzo del periodo Asegurese de que tp = Ie yque la unidad monetaria sea concordante

3 Idehtifiaue los terminas como sumas presentes futuras series aritmeticas geometricas 0 uniformes en cuenta la convenci6n de fin de periodo

4 Escriba la ecuaci6n generalizada de loluci6n y luega la particular buscando en las tablas de intens el valor de los faetores

5 Realice los ealeulas carrespondientes 6 Inierprete los resultados 7 Tome la decisi6n

21

22

5uponga que una firma financiadora Ie ofreshyce un prestamo de $1000000 a 60 meses can un interes mensual del 3 Determine elvalor de los pagos mensuales iA cuanto ascenderian los pagas mensuales si el in teres fuese del 15 mensual

par su tecnologia y tiene que mejor oferta amando como cia su posibilidad de

valorar la mina hoy dia si la tasa minima de retorno es e116 anual (en d6Iares)

27 lCuill seria la utilidad ($USllon)ael problemiddot ma anterior en caso de ser uniforme para

a ser equivalente a las utifidades

28 La herencia del senor Rico asciende a 100000 UM depalitados en un fando que produce e118 anual EI seilor Rico en su testamento que el primer ana se entreshy

a sus herederos 20000 UM el segundo 000 UM eltercero nooo UM lDuranshy

te cuantas ailos se pueden haeer los (La respuesta puede ser decimal) anos habria durado Ii el esquema hubiese sido 25000 UM 24000 UM 23000 UM lCuanto si hubiesen sida pagas unifarmes de nooo UM lCWlnta si hubiesen sida pagos unifarmes de 180001 Analice los resultados

29 lCuanta se acumulara al final de 10 anas si invierto $200000 y dentro de 5 anas

$150000 con un interes del 18 anual lCulti1 seria el resultado si el interes fueshy

se e118 anual campuesto mensual mente

21 0 5i Jorge campra un bien por $4500000 y da $2000000 como cuata inicial lQue cuatas mensuales debe pagar al final de los 30 meses siguientes para cubrir la cantidad financiada si el interc5 CI pi 24 anual comshypuesto mensual mente lCuiil seria su cuala si el interes fuese e124 anual

211 lOUe pagas crecientes aritmeticamente seshyequivalente~ a la situaci6n del problema

210 5i el gradiente aritmetico es la mitad de la base

- 212 Haee 5 anas al camprar de eontada su

casa Enriquepag6 2500000 UM 5i los esshytimados de los arriendas anuales ahorradas son 480000 UM 600000 UM 720000 UM 840000 UM 960000 UM y el valor al vender hoy la casa es 20000000 UM

es la rentabilidad lagrada (Ayuda

saye varias valores de i qUe los das lados de la men Use tenga acatada)

Oferta 1 U5$150000 y US$200000 dentro de 10 anas Oferta 2 US$30000 al final de cada uno de los pr6ximas 10 anas

23 5uponga que la arganizaci6n para la cual Ulted trabaja tiene un fonda de prestamos de emershygencia cuyo reglamenta establece que los creshyditos seran a 12 meses y que las cuatas 3 6 9 Y12 seran el doble de interes es dell 5 mensual van a prestar depende de la cuota 5j $500000 lcultlles senln sus cuotas normales 5i sus cuotas narmales son de $10000 seria el valor del

24 Una organizaci6n desea camprar un vehicushycuesta $78000 pagar $15000

de cantada y el resto a 2 meses La finanshyciera XW acepta 12 cuatas de $5500 y la financiera XY afrece financiar al 075 menshysuaL lCual financiacion debe aceptar interes mensual cobra la XW lCuales las cuatas en la XY

25 Un senor compra un auto de su valor como cuala

la diferenciltl firma l4 letras con venshymensual El interes es del 15

mensual Despues de efectuar 14 pagas Ie informan que las 10 letras restantes valen $3500000 si las paga inmediatamente lCulti1 era el valor nominal del vehicula

26 Sc estima que una mina de azufre producira 20000 toneladas este ana y que la producshycion disminuira en 500 tonana hasta el final del prayecto el cual ocurrira en 20 arios 5i la utilidad neta sera de $U560tan durante los primeros 9 arias yde $US8011on durante los 11 anas reslantes ien cuanto

068 Evelvad6n econ6mic de proyedos de inversiOn

213 Con miras a realizar un orofesional recien

final de cada uno de los proximos 12 meses en una entidad que paga el 24 hizo anual compuesto trimestralmente ICual sera lCUal

mo del 2 mensual sobre saldos sido su cuota en este caso fue buena 0 mala decision pconomi-

fue el error cometido la suma de dinero disponible en el momento

de realizar el viaje 217 Una acdon de la Compania ABC cuesta hoY Resuelvalo con los cuatro supuestos de la 100 UM Esta acd6n pagara 12 UM anuales secdon 2333 En caso de considerar interes de dividendos y al cabo de 5 arios se podra

suoongalo igual all 5 mensual En vender en 200 UM ICual sera el interes efecshy considere un interes compuesto tivo generado por la acci6n

del 15 mensual Para el caso dR considemiddot re un interes oeri6dico del 20 anual 218 Un municipio emite tltulos para financiar su

alcantarillado EI costo actual de cada unimiddot 214 Un equipo deperforacion petrofera cuesta dad es de US$800 ella generara dividendos

de los cuales US$2000000 de US$25 semestrales yal cabo de 10 arios el Ylos US$5000000 restantes municipalla recibira por US$1000 en 24 cuotas mensuales con sera la rentabilidad semestral de la unimiddot

una tinanciacion dell 5 mensual los cosshy la rentabilidad anual cfectiva tos de mantenimientosenin de U5$7000ooel primer ano yse incrementaran en U5$70000 219 Una compania constructora de casas ofrece a por ano EI equipo tiene una duraci6n de 5 sus comprodoresfinandar los $100000000 anos al cabo de los cuales carece de valor de la cuota inicial Los constructores especishy

fican que cobra ran e118 anual efectivo duo a) iCuilles deben ser los pagos mensuales unishy rante el primer ano y el 24 anual efectivo

para cubrir la deuda y los intereses durante el segundo ano Usted debe firmar b) iCuales serian los costos uniformes de 6 letros iguales de vencimiento trimestral

mantenimiento equivalente al esquema Si la constructoril dice que las letras son de real si la tasa minima es del 24 anual $20450000 idebe aceptarlas iQue interes

c) iCulnto podria hoy dia esta or- mensual Ie estan cobrando En caso de que ganizaci6n a otra que se encargara de $20450000 no sea la cifra correcta (a favor comprar (usando el mismo esquema de o en contra) lcual debe ser el valor correcto finandacion) y mantener la maqllina en operacion por 5 afios la tasa minima de 220 Un profesional recien egresado con 24 alios de la otra orQanizacion es el 24 anual edad recibe un salario de US $44P mes y deshy

cide depositar al final de cada ano una cantimiddot 215 ICual es la tasa trimestral efectiva equivalenshy dad equivalente a140 de un salario mensual

te a una tasa diad a del (115) 1 iCual serra en un entidad que paga el 30 anual 5i los la tasa trimestral nominal ICual serla la tasa salarios del profesional crecen al 20 anual anual efeetiva ICual serra la tasa anual noshy dinero habra acumulado al jubilarse a minal ICual serla el interes continuo (Q anos Comente los resultados Icnte

221 Una corporaci6n garantiza un interes del 24 216 anual compuesto continuamente Si usted inshy

macen XYI de vierte $100000 ique cantidades bimestralcs tes

Un credito para dULUIgtIUUI

condiciones retirar para que aJ cabo de 4 semestres dinero remanente en 13 cuenta sea 01

Valor de la ropa $3000000 (uota mensual $435000 interes trimestral paga la (uota inicial $750000 No de cuotas Igt

la cuenla desDues de dos reti ros to ha recibido de intereses y cuanto

IQue (asa de interes mensual s~ ha IQue tasa anual nominal yque tasa anual efecshy 222 Una de las tarietas de credito existentes en el tiva Como por ley usted debe pagarun maxi- ofrece financiar una de las muchas rifas

Problemas 69

extraordinarias que se efectuan durante el ano g) EI interes es el 21 mensual por EI plan consiste en financiar los $100000 del adelantado valor del billete mediante el pago de 14 cuoshylas mensuales de $8500 Determine Presente c1aramente sus dlculos y las rawmiddot a) Interes efectivo anual nes para sus decisiones bl Intensects nominal anual c) Interescs totales pagados ydeuda existenshy 225

te despues de 3 pagos vale mera consiste en $200000

223 Una firma constructora adquiere un tas iguales cada 3 meses la segunda consiste mo de 40000 Unidades Monetarias Intermiddot en $300000 hoy ydos cuotas semestrales Si nacionales con un interes del 14 anual su rentabilidad es del 24 anual compuesto Inmnlttn semestralmente y pagadero por mensualmente deben ser los pagos

En el momento de adquirir el trimestrales y cuales los semestrales para el factor de cambio es de $10 por que las dos ofenas sean

cada Unidad Monetaria In ternacionaI Si el prestamo es __ 226 Un Banco Ie ofrece a Isabel un prestamo de durante 5 anos determine los pagos uniforshy $400000 en las siguientes mes trimestralesen Unidades Monetarias Inshy a) Interes del 30 anual compuesto menshyternacionales Si el factor de cambio crece al sualmente por adelantado 2 trimestral lcual es el interes efectivo anual b) Comision por una vez del 4 descontada referido con base en pesos y pagado al final en el momento de la entrega del dinero del ano ICulti1 seria la tasa de interes mensual c) Pagos mensuales uniformes a con base en pesos ICual seria la tasa de inshy d) Doce meses de plazo para pagar teres mensual (fin de mes) equivalente a114 Determine el interes mensual que realmenshycompuesto semestralmente y pagadero te esta pagando Isabel y el interes efectivo adelantado ICual seria el interes que anual analice los resultados (Ayuda represhydo continuamente nos el mismo sente en un diagrama todos los flujos y luego interes anual efectivo en pesos una igualdad del valor presente de los

con el valor presente de los egresos 224 Un industrial requiere 1000000 UM para en tunClon de i Inicie despues un proceso

mantener en actividad su fabrica Despues de error yensayo con i hasta que la de recorrer varias entidades crediticias ha se satisfaga) identificado algunas alternativas de credito y debe ordenarlas en funcion del costa del ca- 227 En su actividad como Gerente Flnancierb

y decidi r cual de elias es la mejor para de la empresa Inversiones Seguras John su organizaci6n esta necesitando $5000000 para resolver Las alternativas detectadas fueron de iliquidez temporal John a) Pagar dos cuotas semestrales de 607312 UM contacto con varias instituciones b) EI prestamo se hara a una tasa del 2776 y recibe las ofertas que a continuaci6n se

anual compuesto continuamente describen Indique presentando sus caicushyc) EI pn5stamo se hara a una tasa del 224 cual de elias es la mas Ie conviene

mensual el punto de vista costo de capital industrial pagara doce cuotas menSU3- Todas las ofertas se refieren a un pnsectstamo de

les la primera de 80000 UM Y las sishy $5000000 A continuaci6n se indican las con un gradiente aritmetico de diversas formas de pago

UM a) Pagos mensuales durante un aiio de e)

suma de 1 al final del mes 12 la que la primera cuota es de UM $250000 y crece cada mes en $50000

~ EI prestamo sera en Pledropesos cuyo con un pago extra al final de ano de costo anual es 482 a una tasa $600000 de revaluaci6n de anual del pie- b) Pagos trimestrales con un interes del 36

con respecto a la UM anual compuesto semanalmente

70 Evaluacion economico de proyedos de inversion

c) Pagos mensuales can un interes del 28 anual compuesto mensualmente

d) Pagos bimestrales uniformes a capital can un interes del 30 anual compuesto menshysualmente ypagadero por adelantado

e) Pagos trimestrales de $1500000 con un esquema de interes continuo

o Interes del 11 167715 trimestral g) Prestamo con dos cuotas semestrales

iguales a con un interes del 30 anual compuesto mensual mente y por adelantado y una comision adelantada por una sola vez del 5Yo

h) Prestamo en canastas familiares al 8 anual Se sabe que el valor hoy de la cashynasta es $53000 y que dentro de un ano sera $67840

228 Afin de ampliar sus instalaciones CRECOL SA adquiere 4 prestamos de otras tantas enshytidades financieras aSI Presamo I $200000 pagaderos en 16 cuotas trimestrales iguales a un interes del 244 mensual Presarno 2 Un prestamo al 24 anual commiddot puesto diariamente (ano 360 dias) en el cual hay que dar 6 cuotas semestrales de $35000 Prestamo 3 Un prestamo de 200000 reales (10 reales 1 peso hoy) el cual paga 15 anual en reales y se cancelara en 4 anos En ese momento 5 reales 1 peso Se puede sushy

poner que el ritmo de desvalorizacion es a una tasa geometrica constante Presamo 4 $500000 de prestamo los cuales se pagaran aSl $80000 (6) $120000 (18) $160000 (24) $200000 (42) y $240000 (48) Las cilras en parentesis son los meses Determine a) Cuotas trimestrales del prestamo 1 b) Valor del prestamo 2 c) Valor de las cuotas del prestamo 3 en

reales d) Valor de las cuotas del prestamo 3 en

(Para ello convierta los reales del e en pesos cada ano)

e) Interes anual efectivo del prestamo 4 fl Cuotas anuales del prestamo 4 g) Valor total del h) Costo efectivo

anual

229 Gracias a su constancia y a su creatividad Ruth ha logrado acumular en su gran emprv sa un total de $20000000 de liquidez yesta interesada en invertirlos Basando sus decishysiones en el valor futuro ella desea determimiddot nar cual de las siguientes usando como horizonte de a) Depositaries en la corporacion SUPER

que Ie olreee un 32 anual pagadero par trimestres adelantado

b) Prestar su capital para que se 10 pashyguen en 2 cuotas semestrales la prj mera de $17000000 y la selunda de $10000000

cJ Prestar su dinero para que se 10 paguen en 12 cuotas de manera tal que la primemiddot ra sea de $100000 y con un gradiente aritmetico la ultima sea de $2100000

d) Prestarlos en lt~rminos de m2 de constlUcshycion a16 semestral compuesto por bimesmiddot tres EI valor del m2 de construccion hoy es de $400000 y se espera que crezca a una tasa anualeuroquivalente al O2S01Jsemana (reshycuerde que el alio tiene 52 semanas)

230 William es el Gerente financiero de la emshypresa Match Point la cual pasa por un estado de lalta de fondos que alcanza $4000090 William en su amplia gama de relaciones

los siguientes prestamos a12 mensual pagaderos en

2 cuotas semestrales b) 13043478 UVM (el valor hoy es de

$2300UVM) con un interes continuo del 6 anual La tasa de variac ion de la relacion $UVM es de 15 mensual Este prestamo sera pagadero al final del pri merano

e) $400000 al 36 anual compuesto trio mestralmente y pagadero en 4 cuotas trishymestrales iguales a

d) $800000 pagadero en un ana al final del cual se debe cancelar $1056000

e) $500000 pagadero en 12 cuotas menmiddot suales de

fl $300000 prestado al 24 anual anticishyEf capital y los intereses se

final del ano g) $200000 al 30 anual efectivo pagadeshy

ros en 12 cuotas mensuales Determine el interes que electivamente y en base anual William ha pagado por los $4000000

231 Juan Gonzalez Ie debe a un comerciante una Ie presto a un modico jnteres menshy

sual Para el pago del dinero el comerciante Ie propuso dos esquemas equ ivalentes desde su punto de vista asi a) Seis pagos mensuales de $10000 b) Seis pagos trimestrales de $15234 Determine la tasa de interes anual a la cual el comerciante Ie el dinero a Juan yel valor de la deuda

232 Marcelo busca un prestamo luego de indishycarle la cifra requerida al primer prestamista este Ie dice que debera pagarJe el prestamo en 6 cuotas bimensuales de $286145 ya que el interes es de 2653 anual Con esta informacion Marcelo va donde otros prestashymistas los cuales Ie plantean las siguientes

12 pagos mensuales de $140000 b) 22 anual compuesto quincenalmente

(ano 26 quincenas) c) 23 anual compuesto continuamente d) 23 anual compuesto semestralmente y

por adelantado el 4 pagos trimestrales de $432885

6 pagos bimestrales adelantados de $275138

gl 12 pagos mensuales el primero de $400000 y los siguientes con un gradienshyte negativo de $49564

hJ EI prestamo sera en onzas troy de oro a un interes del 4 anual La onza troY vale hoy US$540 y los pronosticos para de un ano momento en el cual hay que

son de US$630 por onza troy La devaluacion del peso con el dolar euro I el 11 anual

Marcelo debe decidir cUiil pnistamo es el milS barato presentando clara yordenadamente sus calculos y las razones para sus decisiones

233 Fruto de su trabajo y ahor[o Juan Carlos disshypone de $3000000 y Ie son planteados los

que a eontinuaci6n se describen Demiddot termine el mejor indicando claramente para cada uno de ellos los caleulas realizados a) Comprar acciones de la Compania XYZ

valor es hoy de $300lacei6n al final ano paga dividendos de $601aeci6n y

se pueden vender a $400acci6n b) Colocar el dinero a134 anual compuesshy

to trimestralmente y por adelantado

Problemas 71middot

c) Comprar euros los cuales se cotizan hoy a $lOOeuro para haeer un deposito en Fr~ncia al 15 anual AI final del ano el valor de los euros sera de $130euro

d) Invertir en un negocio productivo que ingresos de $400000 el primer

mes creciendo en $50000mes hasta el mes 6 y luego bajando en $10000mes hasta el mes 12

e) Ubicar ~I dinero al 30 anual compuesto diariamente

fl Colocar el dinero al 30 anual Los intemiddot reses se liquidariin por bimestres En los meses 4 8 Y 12 habra una prima especial del 5 sabre la inversion

g) Colocar el dinero para que al final de cada uno de los dos semestres del ano Ie den $2000000

oro EI valor actual es de US$43010nza troy y la tasa de cambio acmiddot tual es de $5701US$ AI final del ano el oro se eotizarii a US$5120nza y la tasa de cambio sera $650$US EI almacenamiddot miento del oro implica un costo del 2 en oro oa2adero al final del alio

clara mente sus calculos y las ralOmiddot nes para su decision

234

y esta analizando diversas formas de invershysion Ella debe decidir cual eseoger basando sus dlculos en rentabilidad efectiva De su investigacion resultaron las siguientes lidades al aiio a) Prestar el dinero al 1045617 trimestral

b) Colocar el dinero con la condie ion de que cada mes Ie devuelvan $1000000

c) Ubicar el dinero al 32 anual compuesto bimestralmente ypar adelantado

d) Invertir en un negocio que da utilidades netas de $500000 el primer mes cremiddot ciendo $100000 cada mes ycon un valor de mercado de $2000000

e) Colocar el dinero en un negocio que dara $6000000 en cada uno de los meses 5 y 9 Y $4000000 en el mes 12

fl Invertir en unnegocio en la India que proshyQucira cada mes 52649 rupias La se cotiza hoy a 7 rupiasldolar y el d61ar a $150 Se estima que al final del ano seran

72 Evalooci6n econOmica de proyedos de inversi6n

8 rupiasd6lar y que el dolar valdra $200 EI valor del mereado sera nulo

gJ Coloear el dinero en una Institudon que comisiones adelantadas del 5 trimestre e inleres del 24 anual

compueslo mensualmente Los pagos de intereses son en forma tal se paga al final del ano

h) Invertir en una entidad que cada trimestre Ie devuelve $2500000 que cada trimesshytre Ie reconoce una comision del 5 sobre la inversi6n original yIe teres Irimestral por adelantado do a comienzo de trimestre al 30 anual vencido

235 Durante los ultimos anos Andres ha venido realizando una serie de actividades tivas que Ie han generado un lente a 10 que el tendrfa si desde hace 5 anos hubiese eslado depositando $30664801mes en una entidad financiera que paga una tasa equivalente al 295588 mensual rnmnllPlttn continuamente Asimismo viene sobre oportunidades de inversi6n yen la actuashylidad se Ie presentan las siguientes a) Colocar ese dinero en una entload que

paga el 20 anual compuesto trimestralshymente por adelantado y reconoce una ma del 5 de la inversi6n cada semestre

b) Prestar el dinero a un amigo de toda conftanza que plantea hacer pagos de $1600000 cada 4 meses

c) Prestar el dinero a una empresa que se compromete a eancelarlo en 12 cuotas mensuales crecientes donde el ritmo de crecimiento aritmetico es el 20 de la primera cuota la primera cuota es la que se necesitarii para pagar en 12 cuotas uniformes un pffistamo de $4000000 al 24 anllal compuesto mensualmente

d) Invertir en el Jap6n donde el rendimiento es dell 0 sobre yenes EI valor actual del yen es de 03USyen y dentro de un ano sera de 033USlyen EI dolar vale hoy 180 pesos ydentro de un ano valdra 216 pesos

e) Invertir en un papel que paga e13 menshysual compuesta diariamente (1 mes 30 dfas) y por adelantado

la rentabilidad de cada una usanshydo tasa de retorno yseleccione la que mas Ie conviene a Andres

rshy

236 Una vez graduado de Ingeniero Industrial uno de las estudiantes de la primera promoshycion inicio un negocio de distribuci6n de productos alimenticios En el puente palado se me acereo a lolicitar mi eolaboraci6n en una decisi6n financiera que tenia Yo decidf que deb ran ser mis alumnos sus comnoiiprnlt de universidad quienes hicieran el me dieran la recomendacion EI capital cial era de $4000000 La informaci6n de CM (el nombre se mantiene en reserva por razones de seguridadJ es a) Comprar una propiedad que pago totalshy

mente con mi dinero la eual me dejara neto cada mes $50000 yal final del ano la vendere en $5652371

b) Colocar eI dinero en una entidad finanshyciera que ofrece el 282 anual pagadero

mes adelantado c) Prestar el dinero a un familiar que se comshy

prometa a devolvermelo en cuatro cuotas trimestrales La primera de $1500000 la segunda de $1600000 la tereera de $1400000 y la cuarta de $2000000

d) Comprar acciones de Fabricato las wales estan a $401accion Se estiman dosmiddotpagos de dividendos el primero al final del mer semestre de $6faccion final del ano de $100laccion AI final del alio la ace ion se vende en $50accion La comisi6n de venta de la acci6n es del 2

e) Inverti r en la bo Isa de commodities de Hamburgo comprando futuros 5e estima que la libra que hoy compro en 5 UMr se vendera en un ano en 6 UMI Hoy el UMI vale US$lO y se espera que en un ano

lJ5$125 EI dolar vale hoy $230 y que en un ano valga $276 Tanshyompra como en la venta debe

pagar un 1 de comisi6n n Invertir en una entidad que

mision del 10 al eomienzo intereses trimestrales vencidos tes al efecto conjugado de una correcci6n monetaria del 195 anual e intereses del 6 el capital

237 Construya un modelo matematico la siguiente situacion

profesional que lIeva Nanos y que tiene un salario

comprar una casa y da la

cuota inicial con las cesantfas acumuladas Recuerde que la cuota inidal es el 30 del valor global de la casa que denotaremos P yque la cesantfa se calcula multiplicando la antiguedad en anos por el salario mensual y por el factor h que involucra el efecto de los facto res variables del salario Aeste nalle aumentan el salario escalonadamente cada ano con una tasa equivalente al i Imes y dado el esquema de prestaciones de la emshypresa al final de cada semestre y antes del aumento del salario Ie dan mes y medio de prima de los cuales el dedica el 50 a aboshynos extraordinarios Determine el de salario k que debe cancelar mensualmenshyte como pago pm la casa si el prestamo es al i21 mes y til desea pagar el prestamo en Manos AI final de cada ano el profesional

su cesantfa sin el aumento de salashyrio Halle la soluci6n para el caso especifico N 6 So =$400000 i=25lmes i2 = 2deg01 mes M 5 arios h=125

236 Un banco Ie ofrece un prestamo de Ppesos a nanos en las siguientes condiciones

(omisi6n adelantada por una sola vel del ic sobre la cantidad prestada Intereses trimestrales por adelantado a la tasa ia

iii Cuotas uniformes semestrales a capital a) Halle la expresion generica que permita

caleular el interes eleetiva eobrado por el Banco

b) Si el interes es equivalente al de la negoshyciad6n identificada como 1 yla comisi6n es equivalente al interes de la negociaci6n identificada como 2 determine el costa de un prestamo de $1000000 a 2 anos

Negociaci6n 1 Interes mensual equivalente a la apllcacion simultanea de un 20 anual compuesto continuamente y un interes trishymestral por adelantado del 249786 Negociaci6n 2 Interes sernestral al125 trimestral vencido

239 orofesional egresado a los 23 alios de edad un empleo con un salario mensual

eqUlv3lcnte (incluye salario y tadas las presshytaciones sociales) a 5 el cual tendra reajustes anuales a una tasa anual del k (ada mes el nrnfpsional inverti ra en una cuenta de ahorros

de su salario mensual Apartir del quinto de trabaio cada mitad de ano el profesio-

Problemo$ 73

nal toma vacaciones que Ie cuestan el N de los dineros que contablemente ha depositado en los primeros 6 meses del ano EI interes que paga la cuenta de ahmros es el i anual ADartir del ano 7 epoca en la cual este

contrae nupdas el dep6sitos se reduce a j14 pero vacaciones crecen a 2N Determine cuill sera el capital aeumulado en el momento de jubilaci6n (60 anos) ydurante cuanto tiempo podra retirar una suma equivalente al salario que tendrfa si hubiese seguido trabajando

240 Construya un modelo matematico para la sishysituaci6n un estudiante pobre pero

muy brillante requiere financiar sus COltos anuales de matrfcula (los cuales representan el primer ario eM pesos ycreceran a una tasa de i1 ano) y los costas mensuales de mashynutenci6n durante el primer mes valen AM y escalonadamente (cada ario) a una tasa de i degolario (fndice de variaci6nz costo de vida) Una instituci6n financiera Ie hara prestamos haciendo los desembolsos para manutenci6n al comienzo de cada mes

para matrfcula al comienzo de cada alio EI que Ie cobraran sera del i~ anual

durante el perfodo de estudio e durante el perfodo de pago de la iniciar estudios el salario efectivo mensual de un graduado en su profesi6n es P el cual crecera cada ano a una tasa del is anual Si el estudiante se prepara durante 5 alios y quiere pagar la deuda en otros 5 ique porshy

mensual de su salario debe dedicar

241 un modelo matematico que pershymita tomar la decision en el problema que a continuaci6n se indica AI entrar a trabajar a la firma ASEVAPRO Peshydro recibe la oferta de ahorrar mensualmente kl de su salario en un fonda en el que la empresa Ie colocara mensual mente kl de su salario como contrapartida Este fondo no reconocera intereses yal retirarse a Pedro Ie devolveran sus depositos mas una fraccion de la parte de la empresa la cual denotareshymos como (fl f2 f3fn) segun como Pedro se retire al final de 1 2 3 an arios (no se

retirar a mitad del ano) 5u salario creshycera al k3 Su pareja que tlene una vision de los negocios Ie dice que dicha proshypuesta no es provechosa ya que si el invierle

74 Evaluoci6n econ6mica de proyedos de inversi6n

sus ahorros en la Corporaci6n Invertir SA la cual paga el i tmes siempre tendra mas dinero al retirarse Compruebe la validez de este enunciado para los siguientes valores K1 25 kl 25 f1 = 05 f2 = 06 f3 09 f4 09 f5 10 i = 3oomes

242 Desarrolle un modelo matematico para la siguiente situaci6n y responda las preguntas que luego se formulan Un padre de fal1)ilia ha previsto tener N hi-

AI cumplir 5 anos cada nino ingresa a una entidad educativa EI padre debe por los servicios educativos de su primer la suma de M $tmes durante los 12 meses del ana Cada ano dicho valor sufre un increshymento del R y el gobierno Ie reconoce al final del ano un descuento en impuesto del K de 10 contablemente pagado Este beneshyficia tributario es depositado en un Fondo que reconocera una tasa minima de retorno

del i tmes (poundIaoo) Cada nino permaneshyce durante f anos en el sistema educativo no universitario Determine a) ICual sera el valor futuro del Fondo cuanshy

do el ultimo Ilijo se gradue de bacniller Suponga que el espaciamiento de edades entre los hijos es e(1) e(2) e(n - 1) donshydemiddot e(j) es el espaciamiento entre el hijo que ocupa la posici6n (jl y el que ocupa la posici6n j + 1

b) Si hoy el semestre de Universidad cuesshyta $U y crece un i oosemestre lcuantos semestres de universidad se habrfan acushymulado en el Fondo al terminar su bach ishylIerato el hijo que ocupa la posici6n T

el supuesto de que ya sus hermanos mayores han pagado todas sus matrkulas universitarias

c) lCuanto Ie quedarfa al padre de familia en el Fondo al terrninar todos los hijos los estudios universitarios (10 semestres)

Interes continuo

Hemos rnencionado en el Capitulo 2que ademas del intensects discreto ampliamente analizado existe el interes continuo que implica que un ingreso 0 egreso a partir del instante en que se reciba 0 se pague empieza a sufrir el efecto del valor del dinero en el tiempo en una forma continua 10 cual hace que no haya problemas como los indishycados en la seccion 2333 yque el efecto de composicion sea mas intenso como 10 virnos al calcular intereses

La seleccion entre interes discreto e interes continuo indicadas sabre ubicacion de los pagos (puntual

la arganizacion la situacion en estudio el analista y los recursos (tablas calculadaras software)

En el capitulo anterior vimos que las convenciones de comienzo de perfodo y final de periodo originan modificaciones en el diagrama de tiempo pero que despues de realizar la identificacion de terminos de acuerdo con nuestras convenciones (tabla 21) podemos hacer los calculos en los dos casas con las formulas vistas La conshyvencion durante el periodo en el caso del interes discreto podrfa originar problemas como los indicados en la seccion 2333 pero generalmente para fines del diculo se cansiclera el caso fla fl de la seccion ant~citada es decir que los depositos realizados durante el perfodo se supone que ocurrenal final del periodo y por tanto esta convenshycion no tiene mayor importancia en el caso del intenS discreto

En el caso del intere continuo la situacion cambia por cuanto los mgresos 0 egreshy50S logrados 0 realizados durante el periodo van a generar intereses durante el perfodo

obviarnente se establece una diferencia notable con respecto a la convencion de fin

Por esta razon en el caso del interes continuo es necesario desarrollar formulas para las dos convenciones

a) Fi nde perfodo (recordemos con esta se pueden manejar oroblemas con la convencion de comienzo de

b) Durante el perioclo

Es obvio que el interes continuo tiene formulas diferentes a las del intefl2s discreto y las tablas tambit~n son diferentes Vamos a desarrollar las f6rmulas para los casas de fin de perfodo ydurante el

211 INTER~5 CONTINUO CONVENCION FIN D~ PIERiODO

Usaremos la misma nomenclatura para los pagos 0 sea

P= cantidad presente

middotd1

jl

__

7amp Evaluoci6n economico de proyecoi de inverii6n

p ~ (w)icj (I((]J(

F =cantidad futura A= cantidad uniforme par periodo n = numero de periodos r =tasa nominal sobre el periodo compuesta continuamente

Para distinguir 105 factores utilizaremos la nomenclatura [YX r nL es decir con parentesis cuadrado y

el interes en base nominal

2All Relacion de equivalencia entre una suma presente (P) y una suma futura (F)

Si una suma P recibe continuamente intereses a una tasa nominal del r par periodo en cada intervalo de tiempo fit el capital va a crecer en una cantidad igual a 105 intereses recibidos (r bull fit) multiplicados por el capital no amortizado en el tiempo t (X)

Escribiendo un balance en la figura 2Al tendriamos

ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al

Capital en t +fit = Capital en t + intereses durante fit

XI+61 =XI +r lit XI

Reorganizando se tiene XI+61 -X -X or=- - I

lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)

yen ellimite 0 sea cuando fit -I 0 la ecuaci6n (2A2) se transfarma en

~=rXdt

(2A3)la cual al integra ria y recardando las condiciones iniciales

a) en t =0 X =P b) en t = n X= F

Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto

Ln(F I P) = n bull r ~ F = Pen

I 1 middotIlmiddoti

2A Interes continuo 77

Es decir

F=Peil p[EPrn] ---~~

(2A5) que esla ecuaci6n de equivalencia entre una suma presente (P) y una suma futura F con la convenci6n

de fin de periodo y un interes continuo de r por periodo

Despejando la ecuaci6n (2AS) se obtiene la ecuaci6n de equivalencia entre una suma futura (F) y una suma presente (P) bajo la convenci6n de fin de perfodo y un interes continuo del r por perfodo

P= Fe-f = F[P I Frn] --~--~ ~ - - bullbullbull

(2AG)

2Al2 Relacion de equivalencia entre una suma uniforme (AI y una suma futura (F)

Cada uno de 105 componentes de la serie unifarme representada en la figura 29 es un P individual que puede transformarse en un Fcon la ayuda de la ecuaci6n (2AS) como sigue

rn-1) rn-2) r

F = Ae t Ae t +Ae +A (2A7)

Multiplicando (2A7) por e tenemos

r rn rA-I) 2r r Fe = Ae +Ae t +Amiddot e +Ae (2AS)

Restando de (2AB) la ecuaci6n (2A) tenemos

F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje

e 1J A=F en-_1 =F[AFrn](

(2All)

Las ecuaciones (2A10) Y(2All) hacen equivalencias entre sumas anuales uniformes (A) y sumas futuras (F) con la convenci6n de fin de perfodo y un interes continuo del r por perfodo

2Al3 Relacion de equivalencia entre sumas uniformes (A) y una suma presente (P)

Dada una serie de pagos uniformes (A) con la ecuaci6n (2A1 0) 105 transformamos en un valor futuro (F) el cual mediante la ecuaci6n (2A6) se transforma en un valor presente P

--2A Inlertls con~~uo 79

La tabla 2Al recoge el dlculo de las cuotas en pesos

78 Evaluaci6n econ6mica de proyectos de inversi6n

r~( [ e n_l ]r~_I) A e -rmiddotn A P= ~ e = ern (er _ 1)

(2A12) osea

ern -1 ] I P=A -- =A[P IArn][ rn ( ) e er -1 f

-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y

erbulln(r )] A = P e _~ 1 = P [ A I P r n][ r

(2A14)

Las ecuaciones (2A5) (2A6) (2A1 0) (2All) (2A13) (2A14) nos permiten manejar dinero en el tiempo (hacer equivalencias) usando interes continuo y la convenci6n de fin de perfodo La forma de escribir las ecuaciones es la misma pero es necesario usar tablas diferentes las cuales aparecen en el Apendice 2 y estan basadas en intereses nominales

Si el interes es efectivo se debe usar primero la ecuaci6n (233) para hacer las equivalencias Estas misshymas f6rmulas pueden aplicarse identificando bien los terminos a un diagrama logrado con la convenci6n comienzo de perfodo Lo indicado en el ejemplo 26 sigue teniendo plena vigencia con este esquemq de intereses

r Ejel11plo2~1

Si se sabe que una entidad financiera cobra e18 anual compuesto continuamenshyte y usted adquiere un prestamo de 4000 UM con un plazo de 10 anos icuales seran sus cuotas anuales uniformes en UM Si el UM vale hoy $2000 yse revalua cada ano en un 24 anual icuales seran las cuotas en pesos que se pagarfan al final de cada ano

Soluci6n 4000 UM

r= 8 anual compuestos continuamente

t 4 5 7 10 Ana

IOI--lOI--Or---Ogt--lOr---Or---Of---(Ogt--lOgt--lOr---OI ~~JJJJlllll - ~

i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~

Buscando en el Apendice 2 se tiene [NP 810] = 015124

A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567

2Al4 Relacion de equivalencia entre el gradiente aritmetico (S-G) y una suma presente (P)

Usando como referencia la figura 2A2 que identifica a un gradiente aritmetico con Base B y variaci6n aritmetica G cubriendo las posiciones 0 - n podemos calcular el valor presente del conjunto calculando dos partes

023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G

B+ (imiddotl)G B+ (nmiddotl)G

Figura 2A2

a) EI valor presente de la base que es una suma uniforme A es

VP = B [PArn] (2A15)base

b) EI valor presente de los gradientes que tendra una expresi6n compuesta por la suma de las conmiddot tribuciones de las variaciones en cada posici6n Si observamos el diagrama podemos definir

Ci =(j-l)G (2A16)

y desarrollar el valor presente de cada Ccomo

VPC = C [PFrj] (2A17)i j

BO Evoluaci6n econ6mica de proyectos de inversiOn

yel valor presente de lodos 105 Ci sera la suma de 105 VP de cada Cj teniendo en cuenta que el Cj aparece en 2

n n

P= LVPC j = LC j [p IFri] = LG(jshy1=2 1=2 jjl (2A1S)

En forma expandida eslo serra

P=G[e-2r t2e-3r t3e-4r t t(n-l)e~J

(2A19) Multiplicando ambos miembros por e r se

Pe =Gle-r t2e-2r t3e-3r t t(n_l)e-rln-1)

(2A20) 5i de (2A20) restamos (2A19) tenemos

Pie _l)=G(e-r te-21 te-J bullbull te-nnmiddotI)-G(n_1)en

(2A21) La sumatoria de la ecuadon (2A21) es una progresi6n geometrica cUya base y cuya razon es e-r y

cuyo resultado es

nL e-Jr 1- e-rn-l r-

j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=

(2A23) o en forma de factor

P=G[PGrn]

(2A24)

EI factor [PIG r nl tambien en el 2A Obviamente el valor presente total se logra sumando las ecuaciones y (2A24)

tG[p IGrn]P=

(2A2S)

2AlS Relation de equivalencia entre el gradiente geometrico (T-s) y una suma presente (P)

Usando como referenda la figura 25 que identificaba a un gradiente geometrico can base T y tasa de vashyriaci6n s cubriendo las posiciones 0 n podemos calcular el valor presente mediante la sumatoria de los val ores presentes de cada uno de los terminos Usando la nomenclatura las ecuaciones 2A22 y 2A23 Y

2A Inleres cootinuo 81

el concepto antes enunciado se tiene

Es decir

n n n

P= LVPC j = LCj[p IFri] = LT(l + 1=1 j=1 )=1

(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=

AI realizar la sumatoria de la progresi6n geometrica con base y raz6n (1 +sle se logra

(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar

es el factor que permite con el esquema de interes continuo hallar Pconocido 5 r y n y 10 denotareshymos como IPff s r n] Una pequena tabla para este factor aparece en la parte final del Apendice 2A Par tanto

P=T[P ITSrn]

(2A30)

Ej~~plo 2A2 Para el 211 establezca los de pago (uniforme gradiente aritshy

geometricol en los casos

continuamente b) Intenis del 2623643 compuesto continuamente a) Interes del 30 anual

bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull

82 EvaluociOn econ6mico de proyectos de inversiOn

Examine los resultados

Solution P= 20000 G = 1000 s 20

a) r 30 anual compuesto continuamente 036818

A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636

Para calcular el aritmctico usamos I ecuaci6n (2A25)

P B [PIA r nJ +G PIG r n]

Como se conocen P G r y 0 despejamos el termino B

B P - G PG r nJ [PIA r n]

o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159

Para calcular el geomctrico usamos la ecuaci6n (2A30)

P T PIT s r oj Como se conocen P 5 r y n despeiamos T

T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158

b) Procedimiento identico pero con otro r A 20000 [NP 26236431 OJ 20000[032346]

$64692

B LQOOO- 1000 PIG 2623MllQl [PIA 2623643 10J

B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863

AI compararlos resultados del ejemplo 211 con el a) de este ejemplo se ve clarashymente que si se usa el 30 continuo las cuotas seran mas altas en los tres casos 10 cual es explicable por la incidencia de la forma de composici6n que eleva los cargos por i~teres

Sin embargo h~ngase en cuenta que 31 comparar los resultados del 211 con el b) de este ejemplo se ve igualdad total la cual se un interes discreto del 30 anual es equivalente a

imiddotmiddotmiddotmiddoti~middot bull

2A Ineres conlinuo 83

~ INTERES CONTINUO CONVENCION DURANTE EL PERioDO I

Esta convenci6n denominada tambien convenci6n distribuida se utiliza cuando se dan situaciones en las cuales el dinero se recibe 0 se paga en una forma uniforme y continua durante los perfodos En es el caso de las ventas en una actividad productiva las cuales ocmren durante todo el ano y no es exacto suponerlas acumuladas en un punto del horizonte tiempo Con esta suposici6n es forzoso el uso del inteshyres continuo La nomenclatura que usaremos sera

P cantidad presente 0 pasada ubicada en un punto

p cantidad presente 0 distribuida uniformemente en un perfodo presente 0

F = cantidad futura ubicada en un punto

Fcantidad futura distribuida uniformemente en un futuro

A= cantidad peri6dica unilorme distribuida uniformemente durante varios

Para distinguir los lactores emplearemos la nomenclatura YX r n 0 sea en corchete yusando intensects continuo (r) Observemos que aqUf no cabe el termino Atradicional de lin de perfodo En ca50 de apareshycer una A esta se manejara con las ecuaciones de lin de perfodo anotadas en la secci6n anterior (2A 10 2Alt 2A13 2A14J

2A21 Relacion de equivalencia entre P F Y A

En la figura 2A3 ss describe el proceso de interes continuo con un flujo continuo de dinero (A) durante un tiempo ~t 5i Aindica la cantidad uniforme por perfodo que se recibe continua mente el capital se incrementara continua mente no 5610 por el interes sino tambicn por el dinero recibido

A

t + 11 t

11t

Figura 2A3

Los intereses son lund6n del capital al comienzo del tiempot de la tasa nominal r y es funcion este intervalo y de ladel intervalo de tiempo Lot EI dinero recibJ90 durante el

cantidad total recibida durante el periodo (A)

b4 EvaluaciOn econ6mica de proyecto$ de inversiOn

Escribiendo un balance alrededor de la figura 2AJ tendrfamos

en t t llt = Capital en t t intereses dlrante llt t depositos durante llt

Xt+M tXt r lltt~ llt

(2A31) o sea

x -x tplusmnMJ X Ort A

llt t

(2A32) y tomando ellfmite cuando ilt 0 logramos

~ XortA dt

(2A33)

AI con la condicion inicial (en t=0 X P) Ycon la candidon final (en t n X=F) se tierre

rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A

(2A35) Que al reorganizarla algebraicamente produce

-FortA er

PortA

(2A36)

Que e~-a ecuacion generica con la candicion de que comienzo can una cantidad P haga depositos a un ritma A para lagrar al final una cantidad f

Veamas los casos particulares

2A211 Rela(ion entre P y F

Si A 0 tenemas nF poer

bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)

(2A38) Observese que estas ecuaciones son identicas a las ecuaciones (2As) y(2A6) pues son cantidades

puntuales a fin de perfoda par 10 tanto

(PIF r nJ = (pIF r nJ y FP r nJ [FP r nJ

Por esta razon en el Apendice 3 no apareceran los facto res pIF r nJ ni FP r nJ

2A212 Relacion entre PyA

Si F 0 tenemas que farzosamente los signos de Pyde Atienen que ser distintas pues de atra forma ~xistirfa un valor de F Si suponemos que habia un saldo inicial Py que 10 que hicimos fue retiros al ritmo f( la ecuacion (2A36) se escribirfa

F0 r-A erbulln

Por A

Hacienda F=0 ydespejando se tendra

rmiddotn 1]PA ~ A (PArn)

[ ronree

(2A39) y reorganizando

roe rbulln ] _A=P -- P (APrn)

[ e rbulln -1

(2A40)

2A213 Relacion entre F y A

Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)

86 Evoluoci6n econ6mico de proyedo$ de inversi6n

2A22 RelaciOn entre F y P

En ocasiones hay sumas de dinero distribuidas durante un e~ el futuro If) y se requ iere transforshymarlas a un valor presente (Pl Esquematicamente es 10

shyPI F

t ~ d t)r----1 middot1 il6 - 1

Figura 2A4

En realidad el Fes un cantidad distribuida durante un periodo (desde j - 1 hasta jl razon por la cual podemos traJarla como un en dicho periodo Con la ecuacion (2 A39) usando un

1 podemos transformarla en un Pen

=F (PArl)

(2A43) f

Esta cantidad P_1 es mirada desde cero como una suma futura en (j - 1) por tantoj

Po [PFrj 1]

-F (2A44)

Sustituyendo en (2A44) Yreemplazando los facto res se tlene

-ler -1]P F - or er

(2A4S) La cual al organizarse ysimpliflcarse resulta

P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)

que el numero de se calcula con base en el indicador j es decir el extremo final

I I I

I I

I

~~jL

2A Interes confinuo 87

2A23 RelaciOn entre Py F SI existe una suma de dinero distribuida durante un perfodo (iigt ydeseamos convertirla en una suma fUlu ubicada al final del periodo n podemos representarla elquematicamente como sigue yobservar que el P que esta durante el periodo k -1 k no es mas que un A en ese periodo que con la ecuacion 12A411 se puede transformar en un Fk

F=1 p

_~ffiill1llllt d t- - f shy

k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)

fsle Fk es en realidad un Pk respecto a la posicion n por 10 tanto

(2A49)

Sustiluyendo (2A48) en (2A49) y remplazando los factores se tiene

Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)

Observemos que el numero de perfodos se calcula con base en el indicador k 0 sea el extremo del-M~rI~

Las ecuaciones (2A37) (2 A38) (2A39) (2A40) (2 A42) (2A46) (2A47) (2A5D) Y(2A51) nos

~8 Evaluaci6n econ6mica de proyeclos de inversiOn

permiten manejar dinero en el tiempo (hacer equivalenciasl usando interes continuo y la convenci6n en la cuallos dineros fluyen (se reciben 0 se pagan) durante el perfodo La forma de escribir las ecuaciones es la misma pero es necesario usar tablas diferentes basadas en ~ste tipo de convenci6n In teres continuo convenci6n durante el perfodo

shyEI apendice III tiene tabulados algunos de estos factores

Ejemplo 2A3 -F~ bull-- bull- --P~--

Resolver el ejemplo 219 si

a) Interes discreto convenci6n fin de perfodo b) Interes continuo convenci6n fin de perfodo c) lnteres continuo con los pagos trimestrales de $20450 que ocurren durante el

perfodo y $100000 que ocurre en el punto O d) Igual que el caso c) pero $100000 se recibe en el perfodo -10 r

Solucion p= 100000a)

_ _ _ ~ ~ ~ Trimeslres

O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450

100000 (NP i 6) = 20450 (NP i 6) = 020450 i = 617 trimestral

b) Igual diagrama

100000 [NP r 6J = 20450 [NP r 6J = 020450 r =59995 trimestral compuesto continuamente

c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres

Ir-lI-I-[~[-( i J~ y

A = 20450

100000 NP r 6l = 20450 Alp r 6l = 020450 r =7068 trimestral compuesto continuamente

I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~

2A Intenls con~nua 89

d) P1oooo0

J V

A20450

1OOOOOFP r OJ AlP r 6J =20450

FP r Ol Alp r 6J =020450

r = 59995 trimestral compuesto continuamente

De los resultados del ejemplo anterior se deduce la existencia de diferencias noshytables entre las distintas convenciones y tipos de interes

Los casas b) y d) dan igual resultado en este caso particular por cuanto todo 10 que se ha realizado en el caso d) es desplazar todos los ingresos y egresos del final del perfodQ a durante el perfodo 10 cual implica 5610 multiplicar ambos miembros por PF r 1J

Tal vez 10 mas interesante de este ejemplo es la interpretaci6n de los resultados

a) Los pagos de $20450 hechos al final de cada uno de los 6 trimestres permiten pagar una deuda de $100000 al 6 17l trimestral b) Los 6 pagos de $20450 realizados a fin de cada uno de 165 6 trimestres pershymiten pagar una deuda de $100000 al 59995 trimestral compuesto continuashymente La tasa de interes que cubren los pagos es menor por cuanto los intereses sobre capital no amortizado se causan mas frecuentemente y son mas dinero EI 5995 trimestral compuesto continuamente es equivalente a 6177 trimestral de acuerdo con la relaci6n

E= e-1

Esto nos indica que podemos resolver el problema con un tipo de interes y luego transformar el resultado con otro interes c) Aquf los pagos son suficientes para cubrir un interes del 7068 trimestral compuesto continuamente por cuanto como los pagos se empiezan a hacer tan pronto se recibe el pnsectstamo alcanzan acubrir un intensects mayor d) Este caso es identico al caso b)

00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j

Hemos visto como las distintas convenciones relativas al flujo de dinero y los distintos tipos de interes no causan dificultad adicional en nuestro proceso de soluci6n y al disponer en este texto de tablas para interes discreto fin de perfodo (Apendice I) para interes continuo fin tie perfodo (Apendice II) interes continuo durante el perfodo (Apendice III) no existe diferencia alguna en el proceso de solucion por ello podemos resolver cualquier problema con cualquier convencion e interes

2AAl Se tiene un proyecto en el cual se realiza una inversion de $50000 al ano siguiente se efectua otra de $100000 Yluego durante cuatro anos se reciben $80000ano La cishyfra entre parentesis indica la ubicacion del dinero Determine la rentabilidad bajo los siguientes esquemas a) Inversiones 50000 (-1) 100000 (0)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)

interes discreto b) Igual que el anterior pero interes comshy

puesto continuamente c) Inversiones 50000(-1) 100000 (0)

Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)

Interes compuesto continuamente d) Inversiones 50000 (-2 -1) 100000

HO) Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3)80000 (34) Interes compuesto continua mente

e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

Interes discreto f) Inversiones 50000(-15) 100000(-05)

Ingresos 80000(0 1) 80000(1 2) 80000(2 3) 80000(3 4) Interes continuo

Analice 105 resultados

2A42 Rodolfo ha sido lIamado para asesorar a un grupo economico muy poderoso en la formulacion de las politicas ele inversion La

a cargo de estudios economicos Ie las siguientes alternativas para que indique con argumentos s61idos cual

a) Coloear el dinero al 27 anual compuesshyto trimestralmente con una comision adeshylantada por una sola vez del 5 anual

b) Coloear el dinero en el Japon que paga el 145 anuai en yenes EI yen ha venido revaluandose respecto al dolar a una tasa del 10 anual y el peso ha venielo devashy

inversion de $2000000 y valor de mershycado de cero da al 25 anual un valor presente neto de $8231)00 (EI valor preshysente neto es la difereneia entre el valor pesente de los ingresos y el valor presenshyte de los egresosl

e) Coloear el dinero a124 anual eompuesshyto semestral y por adelantado con una comision vencida del 5 anual

f) Inverti r en un negocio produclivo dura 12 meses y cuyos ingresos el mes son el 10 de la inversion inicial creciendo mes tras mes en una suma aritshymetica igual al 2 del valor de la ~ta del primer mes

g) Invertir en un negocio a un ano que enshydurante cada una de las 720 horas

ultimo mes el 02 de 13 inversion inidal

h) Invertir en un papel que paga interes conshytinuo que al final de cada mes entrega el 3 de la inversion inkial nal del ana entrega ademas mendonado el capital yuna

i) Coloear el di nero en una organizaci6n que 10 devuelve en cuatro pagos trales todos ellos iguales al 30 del inidal invertido

2A4l Calcule los valores presentes anuales y futuras equ ivalentes de las siguientes situashyciones bajo el supuesto de 5 arios para todas elias a) Un flujo de dinero que se inicia el

ana con $100000 Ycrece ano tras ano a una tasa geometriea del 20 Interes eompuesto discreto del 30 anual

bllgual que el caso anterior pero el interes es compuesto continuamente al 30 anual

c) Un flujo de dinero que se inicia el ana can $100000 y cada ano crece en $35000 Interes compuesto disereto del 30 anua

eI) Igual que el easo cl pero el interes es compuesto continuamente al 30 anual

luandose respecto al dolar a128 anual 2A44 Para el ybajo la convenmiddot c) Colocar el dinero al 7 trimestral comshy cion durante el y con interes contimiddot

puesto continuamente nuo calcule d) Invertir en una actividael que garantice la a) Valor presente de los egresos en

misma rentabilidad anual que el invertir (-1) r 25 en un negocio productivo con ingresos b) Valor presente de los egresos en uniformes durante 5 anos que para una (ll r 25

c) Valor presente de los en (0) r25

d) Valor futuro de los ingresos en (6) r25

e) Tasa de retorno de esta inversion

2A4S Una organizacion tiene un rro que permite a cada el 5 de su ingreso mensual y coloca una cantidad igual Dicho dinero se invierte en UQ fondo que da el 24 anual eompuesto ehntinuamente ysolo esta nible al retirarse el empleado de la organishyzacion Si el salario crece continuamente al 15 mensual determine el total mulara al cabo de 6 aiios un al iniciar su vinculacion can el un salario mensual de $300000 Especifique clara mente sus supuestos

2A46 lCambiaria la decision en el problema 227 si existiese una posibilidad de pago que

pagos durante cada uno de los meses de $554000 lCwll es el interes

mensual compuesto continuamente de esta opcion lCual es el interes anual compuesto continuamente de esta opeion iCual es el interes anual efectivo de esta opcion

229 leual serfa el valor opeion prestar su cashy

en cada trimestre Ie pero la forma

cada milesima de seshycantidad iCambiaria

decision

Josefishy

l

Problemas 91

que paga el 2 mensual eontinuamente Se el valor de la UM crezca all9

cantidad tendra wando se los 60 anos 5i el indice

inflacionario fuese 22aiio la euantas UM de hoy serfa equivalente en poder adquisitivo esa cantidad de dinero Use como valor de la UM hov $2000

2A49 Desarrolle una formula que lar el valor presente de un anual que crece continuamente a una tasa exponencial del goolano iniciando en el pe rfodo cero con un valor EI flujo de fondos en eualquier perfodo t dado por R Ro es Lb tasa de intercs es el r anual eompuesto continuamente y los flujos de fondos estan ubicados al final del ana

2A410 Desarrolle una formula que cular el valor presente de un anual que decrece linealmente desde un vamiddot lor Ro hasta un valor eero al cabo de n anos La tasa de inten~s es el r anual compuesto continua mente

2A411 En el problema 234 icambiarfa la deshycision si existiese una opcion de invertir en

que durante cada uno de los trimestres produce un flujo de

e durante el cLiarto trimestre total de $2500000

2A412 En el problema 235 icambiarfa cision si existiese la siguiente nnnrtlin nn

de invertir en un negocio que rante cada trimestre la suma y que al final del ano entregara un total de $3000000

19 18 Evaluoci6n ecooomica de proyectos de inversion

Para analizar los efectos del valor del dinero en el en cada uno de los cuales el intenis adquiere una denominacion

bull Cuando hablamos a nlvel rio-prestamista el intenis se denomina costo de bull Cuando hablamos a nivel inversionista-oroyecto el interes se denomina tasa de retorno

o rentabilidad

por razones didacticas analizaremos situaeiones desde el punto de vista prestatario-pres es esta la situacion con la cualse tiene mayor familiaridad pero luego trabajaremos desde

vista inversionista-proyecto de inversion

En el esquema prestatario-prestamista el prestatario en general esta dispuesto a recibir el dinero si el costa de este es inferior a un cierto tope (casto maximo de capitan y el prestamista esta dispuesto a dar el dinero si el valor a recibir es superior a un ciertotope (costo mfnimo del capitan S610 en la medida en que existe una intersecci6n entre estos dos rangos existira transacci6n

ista-oroyecto de inversion el primero involucra sus recursos si el retorno que minimo (tasa mInima de retorno) que puede en promeshy

esten a su alcance 5i el proyecto genera mas la tasa mfnima de retorno (i) el inversionista estara (no estara) dispuesto a coloear su dinero

razon por la cual la as3 minima de retorno es fundamentalmente el punto de quiebre de aceotacion 0 de rechazo de una inversion

Observese que la tasa mfnima de retorno U) esta estrechamente relacionada con el concepto excedenshyte adecuado planteado en las ecuaciones 11 Y12

de referencia basico en la decision de inversion en el oromedio de sus actividades (en el

la tasa minima de retorno deshycomo situaci6n macroeconomica tribularia y financiera etc) estado

inversionista posicion frente al riesgo

Estos factores deterrninan que en cadainstante y para cada organizaci6n pueda existir un i diferente o sea que eurolIe indieador de decision no es un valor universal sino un valor organizacional e instantaneo

Conviene anotar que la tasa minima de retorno yel costa del capital no necesariamente son Iguales y que la primera es una medida directa de la rentabilidad de las oportunidades promedias a el inversionista En otro~ terminos es personal yesla en funcion de la capacidad del inverslonsta que el costo de capitaVilo fija el sector financiero)

I

La tasa fJ1fnima de retorno () entonces no es en los proyectos es el retorno que en promedio he

a las Que he tenido acceso Es mi rentabilidad hacer y

EI dinero tiene valor en el tiempo por ende es necesario analizar tanto la modalidad del inlereS aplishycable como la ubicacion en d tiernpo de los ingresos 0 egresos del proyecto (vease cuadro 21)

Respecto a la ubicaci6n se han desarrollado multiples convenciones pero las mas usadas son

bull La ubicaci6n puntual consiste como se infiere de su nombre en considerar el dinero ubicado en posiciones de tiempo espedficas y tiene dos modaHdades

a) Convendon de fin de estima todos los ingresos y egresos como ocurridos al final del y el periodo de anaHsis es enero

estos gastos se considerarfan pagados eJ 31 de diciembre de 2009 Esta es la modalidad de convencion que usaremos a 10 largo del texto a no ser que se indique 10 contrario

b) Convendon de principio de perfodo considera todos los ingresos 0 egresos como ocurridos al comienzo del perfodo En el ejemplo anterior los $100000 de gastos se considerarian pagados ell de enero de 2009

bull La ubicacion distribuida 0 convenci6il durante uniformemente distribuidos durante el de analisis Los distribuidos uniformemente durante 365 dias del ano

Es facil apreciar que ninguna de estas convendones 0 de las propuestas en la literatura tecnica y no mencionadas en este texto refleja exactamente 10 sucedido En oeasiones para tratar de ser mas fieles a la situaci6n se mezclan estas convenciones pero veremos que hay algunas limitaciones

Estas convenciones sobre la ubicacion del dinero tienen gran importancia en la elaboraci6n del diagrashyma de tiernpo el cual representa el momento en el cual se considera que ocurren los ingresos y los egresos Una vez hecho el diagrama de tiempo las convenciones de comienzo y final de perlodo practicamente vigencia pues el proceso de soluci6n como veremos mas adelante no se ve la convenci6n pero los resultados sf

La unidad de de la frecuencia con la cual ocurran los flujos Este conshya de DallO) es vital en los procesos de solucion que veremos

al interes la situaci6n es mucho mas compleja plies 105 marcos legales y las tradiciones coshyyeducativas han manejado por mucho ticmpo la idea de que existen dos tipos de interes el simshy

yel compuesto Como se indica en el cuadro 21 el autor plantea que 5610 existe un tipo de interes el compuesto ya que el simple fuera de tener muy poco usa es un caso particular del interes compuesto

EI interes compuesto presupone que al final de cada perfodo se deben o se deben recibir inteshyreses calculados sobre el saldo a capital no amortizado al comienzo del pero se recibir una cantidad mayor 0 menor a los intereses ocasionados durante y la deuCla 0 no amortizado puede crecer disminuir 0 permanecer constante durante de usa del dinero

EI esquema es 10 suficientemente flexible para que la deuda al comienzo de cada perfodo este constimiddot tuida por la deuda al comienzo del perfodo anterior mas losintereses causados menos los pagos realizashydos mas los prestamos adicionales recibidos Los intereses del periodo en curso estaran basados sobre el saldo 0 el capital no amortizado al comienzo del perfodo

Observese que si al final de cada perlodo se pagan los intereses causados y no se hacen abonos a cashypital ni se reciben nuevos prestamos el saldo 0 sea el capital no amortizado no cambiara los intereses seran los mismos cada perrodo yse dirfa que estamos en interes simple pero como vemos no es mas un caso particular del interes compuesto DJbe quedar claro que cuando ahwien Ie a12 mensual bajo el esquema de interes simple el contrato efectivamente pagar $2000 Sin embargo esto no decir en 10 mas minimo 10 las plantean que al final del ano yo me aparezco y Ie $24000 como intereses y los $100000 de capital Esto no es realmente asi formulas en libros que 10 plantean pues

del mes no oalo los $2000 de el prestamista inmediatamente me inicia mora pues el tiene muy claro el concepto del valor del dinero

















Inleres compuesto


Ubieaci6n

Cuadro 21







2 Equivolencia 21















i6

I ~ l--- - I-- ---1 - I---l ---1 3---1 -- I-- j I---l )---1 i

o 5 7 9 10J P6 = 20000

21


t F-3Oooo

- _ _ _ _ 1 ~ __ ( l-l ]1-- 2---1 l-----j 1---1 2I---l ] I---l ]---1 J) o 3 5 6 7 8 9 10

22






middot 6



o 1 6 7 8 9 10 11 12 19 20

1]-2+2gt--T-lt1rT- j j 5000 5000 5000 5000 5000 5000

-v- J A6 12~5000

Figura 23




o 4 5 6 7 8 10 11 19 20

(J~ =1---( 51-- Jl------I] I-- - I I 2~1--]1Ii 1 I J

1400 1600 1800

2000

B1000 4 10 G= 200

Figura 24

e)







o 7 B 9 10 11 12 13 14 19 20


1331 1464

1611

T=1000 7-13= 10Figura 25










Ejemplo 21 shybull

Soluci6n



5000 logresltraquo

Periodo

Egresas Booo

Figura 26









3000 2000

2000 +~

7 9 10

----y---I 300


~P~~_~


Identifique las


15000082944 lngresos48000 5760069120


I15000 16000 17000 IEgresos18000 19000 t

60000

20000

Figura 27








PO +




F

o 2 nmiddot1 n1 (1 (-) ( I (j) I 1-1---1



Figura 28


F=Pmiddot(I+i)n



p=

(22)





F= 2) j0 1

F=A It)-1

+ + t (23)



--


A

--------------~~----------------

1~~LJ~1~~~=~LJ~]o 1 2 3 5 0middot2 n-1

Figura 29

- 1perfodos

n 2 periodos

n- 3perfodos

n - 4 perfodos

2perfodos

periodos

operfodos



futura en n (F) de

F= AO r(1+f -1) (25)



A =F (2G)




2 Equivolencia 29


F= A


P=A((1+rt-J(1J


P=A ((1+il -1J 1(1 +it




A=P (28)




y = Xdegf (in) (29)

Donde





















Diagrama de tiempo

F

o 2 0middot2 0-]

F

o 0middot2

A r~_-tAt

n-]

t F

tl ----1 I-l _ l-tH I---l _~

o bull 0middot2 0-1

A F


o 2 0-2 n-1

p A


o 0-2 n-]

p A


o 1 - 2 0-2 0-1

Tabla 21

-

liM1ny F P(F I


f=F=AF A

A= IFin)A = FA

p P A(P IA P= A







f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000


F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)


F=100000 ~31758) =$317580



Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1



(A I Pin) (A I n-1


1)(FI Ain)=


Ejemplo 23







Ejemplo 24 _ bullt



o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000


esto






$300000




Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91



























Inleres compuesto


Ubieaci6n

Cuadro 21







2 Equivolencia 21















i6

I ~ l--- - I-- ---1 - I---l ---1 3---1 -- I-- j I---l )---1 i

o 5 7 9 10J P6 = 20000

21


t F-3Oooo

- _ _ _ _ 1 ~ __ ( l-l ]1-- 2---1 l-----j 1---1 2I---l ] I---l ]---1 J) o 3 5 6 7 8 9 10

22






middot 6



o 1 6 7 8 9 10 11 12 19 20

1]-2+2gt--T-lt1rT- j j 5000 5000 5000 5000 5000 5000

-v- J A6 12~5000

Figura 23




o 4 5 6 7 8 10 11 19 20

(J~ =1---( 51-- Jl------I] I-- - I I 2~1--]1Ii 1 I J

1400 1600 1800

2000

B1000 4 10 G= 200

Figura 24

e)







o 7 B 9 10 11 12 13 14 19 20


1331 1464

1611

T=1000 7-13= 10Figura 25










Ejemplo 21 shybull

Soluci6n



5000 logresltraquo

Periodo

Egresas Booo

Figura 26









3000 2000

2000 +~

7 9 10

----y---I 300


~P~~_~


Identifique las


15000082944 lngresos48000 5760069120


I15000 16000 17000 IEgresos18000 19000 t

60000

20000

Figura 27








PO +




F

o 2 nmiddot1 n1 (1 (-) ( I (j) I 1-1---1



Figura 28


F=Pmiddot(I+i)n



p=

(22)





F= 2) j0 1

F=A It)-1

+ + t (23)



--


A

--------------~~----------------

1~~LJ~1~~~=~LJ~]o 1 2 3 5 0middot2 n-1

Figura 29

- 1perfodos

n 2 periodos

n- 3perfodos

n - 4 perfodos

2perfodos

periodos

operfodos



futura en n (F) de

F= AO r(1+f -1) (25)



A =F (2G)




2 Equivolencia 29


F= A


P=A((1+rt-J(1J


P=A ((1+il -1J 1(1 +it




A=P (28)




y = Xdegf (in) (29)

Donde





















Diagrama de tiempo

F

o 2 0middot2 0-]

F

o 0middot2

A r~_-tAt

n-]

t F

tl ----1 I-l _ l-tH I---l _~

o bull 0middot2 0-1

A F


o 2 0-2 n-1

p A


o 0-2 n-]

p A


o 1 - 2 0-2 0-1

Tabla 21

-

liM1ny F P(F I


f=F=AF A

A= IFin)A = FA

p P A(P IA P= A







f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000


F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)


F=100000 ~31758) =$317580



Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1



(A I Pin) (A I n-1


1)(FI Ain)=


Ejemplo 23







Ejemplo 24 _ bullt



o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000


esto






$300000




Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91


















i6

I ~ l--- - I-- ---1 - I---l ---1 3---1 -- I-- j I---l )---1 i

o 5 7 9 10J P6 = 20000

21


t F-3Oooo

- _ _ _ _ 1 ~ __ ( l-l ]1-- 2---1 l-----j 1---1 2I---l ] I---l ]---1 J) o 3 5 6 7 8 9 10

22






middot 6



o 1 6 7 8 9 10 11 12 19 20

1]-2+2gt--T-lt1rT- j j 5000 5000 5000 5000 5000 5000

-v- J A6 12~5000

Figura 23




o 4 5 6 7 8 10 11 19 20

(J~ =1---( 51-- Jl------I] I-- - I I 2~1--]1Ii 1 I J

1400 1600 1800

2000

B1000 4 10 G= 200

Figura 24

e)







o 7 B 9 10 11 12 13 14 19 20


1331 1464

1611

T=1000 7-13= 10Figura 25










Ejemplo 21 shybull

Soluci6n



5000 logresltraquo

Periodo

Egresas Booo

Figura 26









3000 2000

2000 +~

7 9 10

----y---I 300


~P~~_~


Identifique las


15000082944 lngresos48000 5760069120


I15000 16000 17000 IEgresos18000 19000 t

60000

20000

Figura 27








PO +




F

o 2 nmiddot1 n1 (1 (-) ( I (j) I 1-1---1



Figura 28


F=Pmiddot(I+i)n



p=

(22)





F= 2) j0 1

F=A It)-1

+ + t (23)



--


A

--------------~~----------------

1~~LJ~1~~~=~LJ~]o 1 2 3 5 0middot2 n-1

Figura 29

- 1perfodos

n 2 periodos

n- 3perfodos

n - 4 perfodos

2perfodos

periodos

operfodos



futura en n (F) de

F= AO r(1+f -1) (25)



A =F (2G)




2 Equivolencia 29


F= A


P=A((1+rt-J(1J


P=A ((1+il -1J 1(1 +it




A=P (28)




y = Xdegf (in) (29)

Donde





















Diagrama de tiempo

F

o 2 0middot2 0-]

F

o 0middot2

A r~_-tAt

n-]

t F

tl ----1 I-l _ l-tH I---l _~

o bull 0middot2 0-1

A F


o 2 0-2 n-1

p A


o 0-2 n-]

p A


o 1 - 2 0-2 0-1

Tabla 21

-

liM1ny F P(F I


f=F=AF A

A= IFin)A = FA

p P A(P IA P= A







f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000


F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)


F=100000 ~31758) =$317580



Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1



(A I Pin) (A I n-1


1)(FI Ain)=


Ejemplo 23







Ejemplo 24 _ bullt



o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000


esto






$300000




Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91















o 7 B 9 10 11 12 13 14 19 20


1331 1464

1611

T=1000 7-13= 10Figura 25










Ejemplo 21 shybull

Soluci6n



5000 logresltraquo

Periodo

Egresas Booo

Figura 26









3000 2000

2000 +~

7 9 10

----y---I 300


~P~~_~


Identifique las


15000082944 lngresos48000 5760069120


I15000 16000 17000 IEgresos18000 19000 t

60000

20000

Figura 27








PO +




F

o 2 nmiddot1 n1 (1 (-) ( I (j) I 1-1---1



Figura 28


F=Pmiddot(I+i)n



p=

(22)





F= 2) j0 1

F=A It)-1

+ + t (23)



--


A

--------------~~----------------

1~~LJ~1~~~=~LJ~]o 1 2 3 5 0middot2 n-1

Figura 29

- 1perfodos

n 2 periodos

n- 3perfodos

n - 4 perfodos

2perfodos

periodos

operfodos



futura en n (F) de

F= AO r(1+f -1) (25)



A =F (2G)




2 Equivolencia 29


F= A


P=A((1+rt-J(1J


P=A ((1+il -1J 1(1 +it




A=P (28)




y = Xdegf (in) (29)

Donde





















Diagrama de tiempo

F

o 2 0middot2 0-]

F

o 0middot2

A r~_-tAt

n-]

t F

tl ----1 I-l _ l-tH I---l _~

o bull 0middot2 0-1

A F


o 2 0-2 n-1

p A


o 0-2 n-]

p A


o 1 - 2 0-2 0-1

Tabla 21

-

liM1ny F P(F I


f=F=AF A

A= IFin)A = FA

p P A(P IA P= A







f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000


F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)


F=100000 ~31758) =$317580



Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1



(A I Pin) (A I n-1


1)(FI Ain)=


Ejemplo 23







Ejemplo 24 _ bullt



o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000


esto






$300000




Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91












15000082944 lngresos48000 5760069120


I15000 16000 17000 IEgresos18000 19000 t

60000

20000

Figura 27








PO +




F

o 2 nmiddot1 n1 (1 (-) ( I (j) I 1-1---1



Figura 28


F=Pmiddot(I+i)n



p=

(22)





F= 2) j0 1

F=A It)-1

+ + t (23)



--


A

--------------~~----------------

1~~LJ~1~~~=~LJ~]o 1 2 3 5 0middot2 n-1

Figura 29

- 1perfodos

n 2 periodos

n- 3perfodos

n - 4 perfodos

2perfodos

periodos

operfodos



futura en n (F) de

F= AO r(1+f -1) (25)



A =F (2G)




2 Equivolencia 29


F= A


P=A((1+rt-J(1J


P=A ((1+il -1J 1(1 +it




A=P (28)




y = Xdegf (in) (29)

Donde





















Diagrama de tiempo

F

o 2 0middot2 0-]

F

o 0middot2

A r~_-tAt

n-]

t F

tl ----1 I-l _ l-tH I---l _~

o bull 0middot2 0-1

A F


o 2 0-2 n-1

p A


o 0-2 n-]

p A


o 1 - 2 0-2 0-1

Tabla 21

-

liM1ny F P(F I


f=F=AF A

A= IFin)A = FA

p P A(P IA P= A







f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000


F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)


F=100000 ~31758) =$317580



Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1



(A I Pin) (A I n-1


1)(FI Ain)=


Ejemplo 23







Ejemplo 24 _ bullt



o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000


esto






$300000




Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91











--


A

--------------~~----------------

1~~LJ~1~~~=~LJ~]o 1 2 3 5 0middot2 n-1

Figura 29

- 1perfodos

n 2 periodos

n- 3perfodos

n - 4 perfodos

2perfodos

periodos

operfodos



futura en n (F) de

F= AO r(1+f -1) (25)



A =F (2G)




2 Equivolencia 29


F= A


P=A((1+rt-J(1J


P=A ((1+il -1J 1(1 +it




A=P (28)




y = Xdegf (in) (29)

Donde





















Diagrama de tiempo

F

o 2 0middot2 0-]

F

o 0middot2

A r~_-tAt

n-]

t F

tl ----1 I-l _ l-tH I---l _~

o bull 0middot2 0-1

A F


o 2 0-2 n-1

p A


o 0-2 n-]

p A


o 1 - 2 0-2 0-1

Tabla 21

-

liM1ny F P(F I


f=F=AF A

A= IFin)A = FA

p P A(P IA P= A







f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000


F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)


F=100000 ~31758) =$317580



Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1



(A I Pin) (A I n-1


1)(FI Ain)=


Ejemplo 23







Ejemplo 24 _ bullt



o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000


esto






$300000




Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91




























Diagrama de tiempo

F

o 2 0middot2 0-]

F

o 0middot2

A r~_-tAt

n-]

t F

tl ----1 I-l _ l-tH I---l _~

o bull 0middot2 0-1

A F


o 2 0-2 n-1

p A


o 0-2 n-]

p A


o 1 - 2 0-2 0-1

Tabla 21

-

liM1ny F P(F I


f=F=AF A

A= IFin)A = FA

p P A(P IA P= A







f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000


F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)


F=100000 ~31758) =$317580



Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1



(A I Pin) (A I n-1


1)(FI Ain)=


Ejemplo 23







Ejemplo 24 _ bullt



o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000


esto






$300000




Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91















f=

tr i = 26 anual 5 0001

p= 100000


F P(FP i n) F 100000 (FP 26 5)


F=100000 ~31758) =$317580



Pin) = 1

(PI Aln)(APin) 1



(A I Pin) (A I n-1


1)(FI Ain)=


Ejemplo 23







Ejemplo 24 _ bullt



o 2 mensual 8 mes

~ p= f= 400000


esto






$300000




Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91














Ejemplo 25 ~~~___i





F A(FA i n) F 6000000 IFIA 410) 6000000(1 = $ 72036660


=4 Sernestral


Soludon


-~~--

Capitulo 2 35



A09 = 6000000 [ ~il




148024 a) Fa 10 PFP i oJ 6000000 (FP 410) $8881440

105828 b) Fb 9 = A(FA i n) = 6000000 (FA 4 9) $63496800 f



Fa 10 + F~ 10

8881440 +66036670 $74~1811O





=72036660(FP 411 = $74918130


a



~fl



Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91













Sofud6n



-


i ~ 10 onvol f = 150000

~ ~ ~ 1 1 l--I gtI---4l--I ir-p4-i f---j 1

- J r J J J-I

V

A=l


A F(NF i n) A lS0000(M 10 18) A= 150000 (002193) U5$3289SO












to 1 2 3 19 20000 (l--I ~ l--I-l--I - r-p4-i ~ l------j -

~ i t i f L v

A =1



A PWPin) A=20000000 (NP 26 20) A 20000000 (026258) $5251600



2

5

10

15

20

25

Tabla 23 30

Ejemplo 28

70053

53319

32895

19779

11708

6879

- 4097

84

64

39

23n

14

83

48


Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91












Ej~rpl() 29 ~ I






Um(N i n) n=)

y por tanto

A = 20000000 (026) $5200000


- j





Tabla 24





-)-- - )-- - )-- - rpd-i- f-1-

l J r r l p= v

A= 100000

CapItulo 2 39



P A (PIA i n) P 100000 (PIA 2h 60) P =100000 (3090866) $3090866




a dicha situaci6n





B+(j-l)middot G

(212)

o

Figura 210




F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91













F= LUshyi=1 (213)

osea

F= GL(j I Pin j) =1 (214)


F(1 +i) = -l)(F I Pin j)(FI (215)



Fll +i) = Gfi -11(F I Pin - j +1) (21 G)


0-1



0-1

Fi 1(F I Pin nG =1


I Ain) (218)


2 Equivalencia 41


o sea

(219)


AG IGin) (220)








o 1 2 3 i opdodos

1i)-----1 -~ - )_______ - ~c~ -~ -)


Figura 211


Ci =T(1+s) -1 (222)




VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91














VPC j Fii) (223)


1 P= ivpc iT(1+st

J=l 1=1 (1+ iY (224)


Tn

(l+S)1 Xl J 1


px-T-ixl+l (1+5) 1=1


-1) _T_(XI (1 +s)


1+s)n(

P TI~ s - i

EI factor (228)

-1 + s - i


2 Equivalencio 43


~il~~J (229)




nTP

+ (230)


llhh



( 1 _n)

A + G i - (1 + i)n -1

p s-i

T-s


(A



Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91












Ejemplo 211







Aa P(Ni~ 16 20)

A 80000 (0168667) US$134934


Caso b


A B+GWG i n)


13 4934 B+1000(NG 16 20)


Caso e




80000 =T(PfT 20 10 20)

osea

T _ 80000 80000 24249876 =US$3299(P IT 20 16 20)


--~-~ ~


1200000




800000

~ 600000 I jA

400000middot--shy

12345676910 Alio

Grafico 21





Q














6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91
























6000 (FIr 8 18) US$23976


18 19 20 21 22

l----- ~) r------l ~

23L 1 1 r 125694 27966 30203

32619


23976 +25894 (Pff 8 10 4)PIB = US$115599PI8








Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91











Ei~mp~-~l~

Solucion



P T(PIT s i nJ f T 20000000 = $1925822





dep6sitos


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


bull IUMI 20 25 30

35 amp0 i~ -i

60


OpcionA A =10000

B =5000 G 5000 F 10008 A =20000 F 30000

Periodo 0middot10

Periodo 3-8



Perfodo 0middot3

Perfodo 3middot6

Perlodo

Perfodo 10




3 A 5 6 7 s - -


15000 20000 25000

= B+GWG i n) 5000 +5000(NG 20 5) 13202 UM


74416 Fa =A (FA i n) = 13202 (FA 20 5) 98244 UM


o 1 2 3 5 6 7 S 9 ]0


monetonos 20 20

98244 30


259586 Fa 10= A(FA i n) 10000 (FA 20 10) = 259586 liM


22 rblO= A(FA i n) 20090 (FA 20 2) 44000 UM

Opcion B A 10000 8 = 15000 G 5000 B 40000 G =5000 F 35000







interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91

















interes peri6dico










F0 = P(FIr i n) 10000 (FP 20 3) = 17279 UM


FdlO =P(FIr i n) =98244 (FP 20 2) 141471 UM



F= ~~+ ~o+ ~ +30000

F 259586 + 44000 + 17279 + 141471 +30000 = 492336 UM

I


A= F(NF i n) - 492336 (NF 20 lO) A== 492336 (003852) 18965 UM


P F(PF i nJ == 492336 (PF 20 10) P== 492336 (01615) = 79512 UM















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91
















+ F2= 1


) 212







(232)










1


r Eperfodo e shy

referenda (234)



o se ~p~ca (cobra 0



p

Periodo

t P(1 - iel

Figura 213


P(1 i ) (FP i n) P

osea (1 i) (1 + i ) 1

ydespelando se a

i -i

(235)



r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91












r~ Ja~~



















o 3 4 5 6 meses 1

XI XFl3 F~6 Tl -Y~ ----~ M Z










Solucion


4000 5000

10000

i 8 rimslral



o 1 2 4 Trimsslr

+ + l l 7000 17000 7000 15000

= 8 rimeral




Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91












Lo eual el

o 2 3 4 Trimetre

I) + + l l 7040 17070 7030 15100

i 8 lrimeslral



1000 (FP I 2) +2000(FP I ) + 4000 7040 5000 (FP 2)+2000(FP 1)+10000=171205 3000 (FP ) +4000 7030 5000 (FP 12) +10000 =151005


o 2 4 Trim

+ + + l70401 171205 7030 151005

i 8 rimeslro


)3108 =11+ 1m =gt im 25986 mensual

YeI diagrama asi

o 7 9 10 12

~ I ~ ~ ~ I ~ I l I III 1000 2000 4000 5000 2000 10000 3000 4000 5000 10000

i =25986 uol







F=l RVF=


P RVI

Figura 215


F = P(F I Y RVF= RVI (F I 1) (236)


UMC= fRVf




(1 + E)


UMC j =PRVI (1 + E) (237)






(FP I 1) (FIr i2 l) (1 + E)


o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91












o sea

~UM=+il)~1+i2)1l (239)



t E 1t(1 shyj=1

(240)






P 1 perfodo

oI 00 Pic + Pio

Figura 217


P(1 - ic - i)(FP E 1) P


(241)




2 Equivalencio 59

Iperfodo

of pooo

Pit Pi

Figura 218

p (1 -ie) (FP E 1) = P(1 +


+i E~c

1- ic

(242)





i= 15 mensual


E= (FP 15 12) - 1 = 1956 anual


E (FP 8 4) 1 3604 anua


=~ =QlL = 3158 anual t 1- 024 076


E -1 27125 anua ~)~~~~~ -

~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91











~----------------------------~-----




~




E= - 1 3659 anual


005 +030 5385 anualia 1 - (005 +03)


E (108)(124) 1 = 3392 anual $ (UVR) ($UVR)




Tabla 27

continua E)

Ejemplo 217

Tasa efectiva anual

26824 26248 27115 27125 29132 31579 24000




Caprtulo 2 61


o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30 mesas


2500 2500 2500 2500 2500



FP i nl

30L p (FP 2 30 - j) j 3 6 1230 J =J J

F= 2500 )0

L FP 2 30 il = 2500 [(FP 2 27) + (FP 2 24) + j =J

+ (FP 26) + (FP 2 3) + (FP 2 0)]

F 2500 [17068 + 16084 + 15156 + 14282 + 13458 + 12682 + 11950 + 11261 +10612 +10001

F 2500 (132553) $33138




o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 29 30 meses


AaJo =8169

i = 2 mensual


F= A(FA i nl F= 8169 (FA 2 30) F= 8169 (405680) F~ $33139

Solu~6n




shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91














shy


o 4 5 6 7 9 10


V~--------



F=A(FA i F= 2500 (FA 612 10)



Usar la formula

(F I Ain)

o sea

(F I A 6 12 10) 1 13 2553

Por 10 tanto F=2500 (FA 612 10) =2500(132553)= $33138


y y + (Y - Yl ) (X _X ) I tv _ Xl) I


2 Equivalencia 63

(FA 6 10) = 13181 (FA 7 10) = 13816

(F A 612(10) 13181 + (13816 -13181) (612 6)= 13257 (7 -6)


F= 2500 (13257) $33142




Eje~poundI~~~~


F=45MOOSoluci6n o

nonos= 26onuol

p= 100000


F P(FIr i nl

450000 100000 (FIr 26 n)

(FP 26 nJ = 450000


(FIr 26(6) = 40015

(FP 26 7) 50418


n = 6 + (7 - 6L- (4 5 - 4 0015)(50418 - 4(0015)


04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91












04985 = 648 alios n =6 + 10403


50418 1 l~

45000

40015 --____--__-0-___

Crafieo 22


(FP26n) (126) 45 = (126) n Ln (45)l1n (126) n 1504102311 =651 anos




100000


20450



P=A(PIA i n)

100000 =20A50 (PIA i 6) (PAi6) ~

20450



i = 6 + (7 - 6) (489 4917) 618 (4767 - 4917)





P200ooo

Mee1 - - shyI1------1 I------- f---- I------- I




Mes

0 1 2 3 4

Tolal

Inlcrescs ($)

4000 3029 2039 1029

10097

Pagos ($)

52524 52524 52524 52524

210096

de estos pagos

Amorlizacion ($)

200000 48524 49495 50485 51496

200000

los

Saldo ($)

151476 101981 51496

0



RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91













RESUMEN







21

22



















































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

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__


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ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

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(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


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(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

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(2A26)

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J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

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r1~sJ1 _ 1

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(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


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(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

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(2A36)





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__--~~_~-~~- -- - J)







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Por A



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Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




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Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


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-F (2A44)


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(2A46)

Por despeje

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Figura 2A5

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(2A48)


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b) Igual diagrama


c)

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I I

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d) P1oooo0

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E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91



































Problemas 69




























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

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P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

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(2A27)

p=21+

(2A21)

y

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(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91























anual
































Problemas 71middot









234



















rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91























rshy

























Problemo$ 73



















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91




















Interes continuo














middotd1

jl

__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91











__


p ~ (w)icj (I((]J(







ff (~ -

_ ~t

Figura 2Al


XI+61 =XI +r lit XI


lit

1 t +~ (ft - J J

t +~t

(2Al)

middotr (2A2)


~=rXdt



Se tiene

rF~=rrdtJp x 0

o sea

IFLn X p =n r (2A4)

Ypor 10 tanto


I 1 middotIlmiddoti


Es decir






(2AG)



rn-1) rn-2) r





F(e - 1) =A (emiddot - 1) (2A9)

o sea

n 1)F=A ~ =A[FI Arn] ( e -1

(2A10) Ypar despeje


(2All)








(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91















(2A12) osea


-~---~~c~_ ~-~~____~

(2A13) y


(2A14)



r Ejel11plo2~1


Soluci6n 4000 UM


t 4 5 7 10 Ana


i ~ V A =

A = P[NP r n]

A= 4000 [NP 8 10] ~


A= 4000 (015124) = 60496 UM

Valor Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 2A1

248000 307520 381325 472843 586325 727043 901533

1117901 1386198 1718886

UM

60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496 60496

1500301 1860373 2306862 2860509 3547032 4398319 5453916 6762856 8385943

10398567



023 1~~j~j p4 1- pd I-I

B+G B+ 2G


Figura 2A2




Ci =(j-l)G (2A16)





n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91













n n









cuyo resultado es


j =1 e -1

(2A22) osea que

1) e-n

p=


P=G[PGrn]

(2A24)


tG[p IGrn]P=

(2A2S)





Es decir

n n n


(2A26)

p _ T n - (ltS)L

J=


(2A27)

p=21+

(2A21)

y

r1~sJ1 _ 1

P=T1ff 1t5-lt

(2A29)

EI fadar


P=T[P ITSrn]

(2A30)




bull 1 __ _~_________----______~_--_ - - ~T_ ~~ ~~

bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91











bull bull



Solution P= 20000 G = 1000 s 20


A P [NP r nJ = 20000 [NP 30 10J $73636





o sea

B _ 20000 - 1000 [PIG 30101 20000 - 1000 6 34001 $50296 r [PIA 30 10] 27159



T P 20000 = 20000 $433280 [PITsrnJ [PIT20301 OJ 46158


$64692


B 20000-1000 [7887194J _ $621410 309154]

T= 20000 20000 $363070 [Pff 2023643101 550863















A

t + 11 t

11t

Figura 2A3







(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91















(2A31) o sea


llt t


~ XortA dt

(2A33)


rf~-rdt JP x0 rtAO

(2A34) Es decir

n[Fort~j=npo rt A


-FortA er

PortA

(2A36)





bull P [FPrnJ

(2A37)


y

P F~e=F [PFrn t ~

__--~~_~-~~- -- - J)







F0 r-A erbulln

Por A



[ ronree



[ e rbulln -1

(2A40)


Si P 0 tenemos

-F =A (F I Afn)

(2A4l)

y reorganizando

A =F (AiFrn)

(2A42)




shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91














shyPI F


Figura 2A4



=F (PArl)

(2A43) f


Po [PFrj 1]

-F (2A44)


-ler -1]P F - or er


P=F[~J=F (PFrj)roe

(2A46)

Por despeje

F= =p (FPrj)

(2A47)


I I I

I I

I

~~jL



F=1 p


k- k n

Figura 2A5

Fk ~ (FArl) A

(2A48)


(2A49)


Fn =

osea que

(2A50)

y reorganizando

p

(2A51)












O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91




















O~J~I~I~I~I~r ------v-----------~

A= 20450


b) Igual diagrama


c)

p= 100000t ~ ~ - ~ 6_ Trimeslres


A = 20450


I I

1 I I

IJ 1~ ~

-

I

~~ ~~ 1 -

O~


d) P1oooo0

J V

A20450








E= e-1


00 _ tr 1 __4~i~ ~1 RESUMEN _--j



80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91












80000 (1) 80000 (2) 80000 80000 (4)



Ingresos 80000 (0 1) 80000 (1 2) 80000 (2 3) 80000(3 4)



e) Inversiones 50000(-2)100000 (-1)

80000 (1) 80000 (2) 80000 80000(4)

































decision

Josefishy

l

Problemas 91











Documents

libro varela