Libro Fluidodinamica delle macchine - DidatticaWEBdidattica.uniroma2.it/.../Libro_Fluidodinamica_delle_macchine.pdf · Il valore di δm/δv è quindi indeterminato. Un fluido in una

Prof. Vittorio Rocco

FLUIDODINAMICA DELLE

MACCHINE

Università degli Studi di Roma Tor Vergata Ingegneria Meccanica

s

POSTULATO DEL CONTINUO

Il più piccolo volume elementare δv che comprende una quantità elementare di massa contenente un numero sufficientemente

ρ=δm/δv

δm/δv

grande di molecole per soddisfare il postulato del continuo è definita particella di fluido.

Si consideri un’elevata quantità di massa racchiusa in un volume V ed un punto P (x,y,z) arbitrario all’interno di tale volume. Si assuma che il punto P sia circondato da un volume elementare δv che contiene una massa elementare δm. Sia ρ il valor medio delle densità della massa racchiusa in δv.

Restringendo δv intorno al punto P e riportando in grafico il rapporto δm/δv in funzione di δv si osserva che δm/δv tende ad un valore asintotico in relazione alla omogeneità della materia. Quando δv diventa molto piccolo ovvero contiene un

Numero piccolo di molecole, il valore di δm/δv fluttua ampiamente

in relazione al numero di molecole che penetrano nel volume δv e

che lo abbandonano.

P (x,y,z)

δv

Il valore di δm/δv è quindi indeterminato.

Un fluido in una regione di spazio che contiene unicamente punti

nei quali la densità è sempre definita (ovvero nell’intorno di tali punti

esiste sempre un volume molto piccolo nel quale non vi è

fluttuazione delle proprietà) è definito continuo rispetto alla densità.

Un fluido che sia continuo rispetto a tutte le altre proprietà di

maggior rilievo è inoltre definito continuo senza ulteriori

specificazioni.

Per quanto concerne i gas in accordo con la teoria cinetica, si deve

far riferimento ad un numero elevatissimo di molecole (si ricordi ad

esempio il numero di Avogadro = 6,02252*1023 molecole/mole).

All’interno di un gas le molecole si muovono molto rapidamente ed

in modo casuale.

Come risultato si hanno continue collisioni che, considerate

elastiche, possono portare ad un trasferimento totale o parziale di

energia cinetica tra una molecola ed un’altra.

Di conseguenza, come casi estremi, alcune possono aver velocità

pressoché nulle ed altre velocità molto elevate e tutte le altre,

evidentemente, valori della velocità (energia cinetica) compresi tra

questi estremi.

Dai metodi della meccanica statistica si sono derivate funzioni in

grado di rappresentare la distribuzione di velocità (Maxwell).

Per collisioni delle molecole di tipo elastico che hanno distribuzione

Maxwelliana della velocità, il libero cammino medio delle molecole

è:

λ =

2(πNd2)

Essendo:

N:il numero delle molecole per metro cubo

d: Il diametro delle molecole

Si calcola, ad esempio, che per l’azoto λ= 7,46*10-8 [m] Per un gas che soddisfi il postulato del continuo, il libero cammino medio λ può essere confrontato con una dimensione fisica caratteristica L relativa ad un campo di moto. Si definisce come numero di Knudsen :

Kn= λ / L

Molte proprietà, si ricordi, quali la viscosità, la conduttività termica, il

coefficiente di diffusione (proprietà di trasporto) sono connesse a λ.

Il postulato del continuo è applicabile a quei fluidi per i quali

Kn<<0,01

In caso contrario il gas deve essere trattato come un insieme

discreto di particelle.

DEFINIZIONE DI FLUIDO

Un fluido è definito come “continuo” che non può resistere ovvero

reagire, se in quiete, equilibrando uno sforzo di taglio.

In un solido perfetto, le forze che su di esso agiscono sono

bilanciate da quelle interne prodotte da deformazioni elastiche.

Pertanto vale la legge di Hook: lo sforzo è proporzionale alla

deformazione. In questo caso sia il modulo di rigidezza:

N= τ

ΔL/L

che il modulo di elasticità sono ≠ 0.

Il modulo di elasticità è:

lim = - Δp = - v dp

Δp 0 Δv/v dv

Il suo reciproco è il modulo di compressibilità

K-1=1/K= - 1 dv

v dp

Un fluido perfetto ha N=0 e K≠0. Su un fluido perfetto si trasmettono

solo sforzi normali.

Si definisce un fluido perfetto un fluido perfettamente incomprimibile

da cui:

K=∞

In un gas perfetto non esistono forze intermolecolari; le interazioni

tra molecole derivano unicamente da collisioni elastiche ed

istantanee.

Un gas perfetto è un “mezzo” omogeneo comprimibile per il quale è

N=0. Si definiscono:

Modulo volumetrico di elasticità isotermo Kt

Modulo volumetrico di elasticità isoentropico Ks

da cui:

Kt = -v ∂p = p

∂v t

e per una trasformazione isoentropica pvk=cost

Ks= -v ∂p = Kp

∂v s

Essendo K=cp/cv

Inoltre Ks/Kt= K è il rapporto delle pendenze delle trasformazioni

isoentropiche ed isoterme nel piano p,v.

FLUIDI REALI

Nei fluidi reali, quando vi sia moto relativo tra le particelle,

insorgono sforzi di taglio che persistono fin quando esiste tale

condizione di moto.

Le forze viscose si manifestano, quindi, come forze di taglio tra

linee di corrente adiacenti.

Un fluido è definito Newtoniano se:

Ft = τ = μ dv

dy

ovvero quando lo sforzo di taglio τ dipende dalla viscosità μ e dal

gradiente normale di velocità.

CLASSIFICAZIONE DELLE MACCHINE A FLUIDO

DIFFERENTI POSSIBILI CRITERI

Secondo lo scambio di energia motrici operatrici Secondo le caratt. del fluido idrauliche termiche Secondo il moto degli organi alternative rotative che scambiano energia Secondo l’andamento del flusso volumetriche dinamiche del fluido Secondo il percorso del fluido Assiali Radiali MACCHINA = ELEMENTO NEL QUALE SI REALIZZA UNO SCAMBIO ENERGETICO TRA UN FLUIDO E GLI ORGANI MOBILI. IMPIANTI MOTORI (FISSI E MOBILI) Motrici: Il fluido che le attraversa trasmette parte della sua energia agli organi

mobili della macchina Operatrici: La macchina mossa da adatto motore “opera” sul fluido che la

attraversa trasmettendogli parte del lavoro meccanico di cui dispone

Idrauliche: Macchine in cui le energie connesse a modifiche termodinamiche

dei liquidi che le attraversano sono trascurabili rispetto agli scambi energetici di tipo meccanico. In genere sono caratterizzate da elevate sollecitazioni meccaniche.

Assiali: Il fluido percorre un canale fondamentalmente parallelo all’asse di rotazione della macchina

Radiali: A flusso prevalentemente radiale motrici centripeta operatrici centrifughe

MACCHINE MOTRICI

FLUIDO

MOTORE

MOVIMENTO ORGANO MOTORE

TIPO DI FUNZIONAMENTO

MACCHINE VOLUMETRICHE

MACCHINE DINAMICHE

LIQUIDO

ALTERNATIVO

ALTERNATIVE IDRAULICHE

ROTATIVO

ROTATIVE IDRAULICHE

(A INGRANAGGI A PALETTE A ECCENTRICI)

TURBINE IDRAULICHE

(ASSIALI RADIALI MISTE)

VAPORE

ALTERNATIVO

ALTERNATIVE A VAPORE (A STANTUFFI)

ROTATIVO

TURBINE A VAPORE (ASSIALI E RADIALI)

GAS

ALTERNATIVO

MOTORI ALTERNATIVI

(A COMBUSTIONE INTERNA/ESTERNA)

ROTATIVO

MOTORI ROTATIVI

(COMBUSTIONE INTERNA TIPO WANKEL)

TURBINE A GAS (ASSIALI, RADIALI)

MACCHINE OPERATRICI

FLUIDO

MOTORE

MOVIMENTO ORGANO MOTORE

TIPO DI FUNZIONAMENTO

MACCHINE VOLUMETRICHE

MACCHINE DINAMICHE

LIQUIDO

ALTERNATIVO

POMPE

ALTERNATIVE

ROTATIVO

POMPE

ROTATIVE VOLUMETRICHE(A INGRANAGGI A PALETTE

ECC)

TURBOPOMPE

(ASSIALI RADIALI MISTE)

GAS

ALTERNATIVO

COMPRESSORI ALTERNATIVI

(A STANTUFFO)

ROTATIVO

COMPRESSORI ROTATIVI

VOLUMETRICI (ROOT A PALETTE A

ECCENTRICO)

TURBOCOMPRESSORI (ASSIALI RADIALI)

Termiche: Operano su aeriformi, devono essere considerate le leggi che termodinamicamente condizionano il comportamento del fluido che le attraversa. L’aspetto

“termico” prevale nettamente nel comportamento funzionale delle macchine motrici. Nelle operatrici le variazioni termodinamiche sono una conseguenza dello scambio energetico macchina-fluido.

Alternative: Macchine che hanno organi che interagiscono con il

fluido con un moto alternato tra due posizioni estreme. Rotative: Macchine i cui organi scambiano energia con il fluido

durante un moto rotatorio attorno ad un asse (asse della macchina).

Volumetriche: Macchine che operano su volumi successivi di fluido:

il fluido è introdotto ciclicamente in un certo spazio messo a disposizione dalla macchina per scambiare, poi, con essa lavoro.

Dinamiche: Non vi è discontinuità nell’introduzione del fluido nella

macchina: esso, infatti, fluisce continuamente attraverso la macchina e durante questo passaggio scambia con continuità lavoro con gli organi della macchina.

Gli ultimi due modi di operare hanno una diretta conseguenza sulla

potenzialità della macchina essendo il lavoro scambiato in un

determinato tempo direttamente legato alla portata di fluido che

attraversa la macchina DIFFERENZA DI POTENZIALITA’

TRA TURBOMACCHINE E MACCHINE VOLUMETRICHE.

TEORIA DEL CONTINUO

Numero di Knudsen

Kn= λ/L λ= Libero cammino medio di una molecola

L= Dimensione caratteristica IPOTESI DI CONTINUO: Kn< 0.01

SISTEMA VOLUME DI CONTROLLO, SUPERFICIE DI CONTROLLO

Si definisce “sistema” un prefissato ed identificabile agglomerato di

materia che non scambia massa con l’esterno.

Si definisce “volume di controllo” una porzione di spazio (volume)

attraverso il quale può passare un fluido, mentre la superficie che lo

racchiude è detta superficie di controllo. Si farà, in generale,

riferimento a volumi di controllo fissi o inerziali.

Avendo definito con N una generica proprietà estensiva di un

sistema di massa m, per una sostanza materiale che soddisfi

l’ipotesi di continuo

la corrispondente generica proprietà specifica è data da:

n= lim ∆N = dN ∆m 0 ∆m dm

dalla quale si ricava che:

N = n dm ovvero

sistema

N = nρdV Essendo V il volume occupato dal sistema

V

L’APPROCCIO LAGRANGIANO O DEL SISTEMA

Nella dinamica dei corpi rigidi le proprietà di ciascun corpo sono specificate come una funzione del tempo. A causa dell’elevatissimo numero di particelle individuali che costituiscono un flusso di massa quest approccio è impraticabile. Per questo motivo le proprietà del flusso vengono studiate e descritte in termini di posizione nello spazio formando, così, un “campo delle proprietà”. Si assume, in tal modo, che un punto nello spazio, pur costituendo una mera posizione geometrica, attraverso il concetto di “campo delle proprietà” diventa rappresentativo della proprietà del flusso in quel punto. Di conseguenza, ad esempio per la velocità, invece di impiegare

equazioni del tipo Vi = Vi(t) per una particella arbitraria di fluido, il

concetto di campo di proprietà consente di assegnare un valore di

V= V(x,y,z,t) a ciascun punto del regime di spazio considerato.

L’approccio Lagrangiano consiste, dunque, nel seguire ciascuna

particella lungo la sua traiettoria. Poiché le leggi basilari che

governano un flusso sono valide per un sistema di massa prefissata

, il criterio lagrangiano deve essere impiegato per ottenere le

espressioni delle equazioni di governo di un flusso applicabili a

determinate posizioni dello spazio (volume di controllo).

APPROCCIO EULERIANO O DEL VOLUME DI CONTROLLO

“L’attenzione” è concentrata su una determinata porzione di spazio.

Si determinano le proprietà del fluido che istantaneamente occupa

tale volume.

Poiché non seguiamo le particelle individualmente in funzione del

tempo le loro proprietà non vengono ottenute esplicitamente. Se

però si conosce il campo di velocità V(x,y,z,t) le traiettorie

attraverso tale

campo possono essere tracciate rendendo determinabili le

proprietà di ciascuna particella.

Nella maggior parte dei casi informazioni così dettagliate non sono,

tuttavia, richieste per cui l’approccio euleriano è perfettamente

soddisfacente.

Poiché le leggi basilari sono espresse con riferimento ad un

“sistema” occorre ricavare una relazione tra l’approccio euleriano e

quello lagrangiano che consenta di esprimere le leggi in termini di

variabili applicabili ad un volume di controllo.

DERIVATA SOSTANZIALE

Per quanto detto la derivata nel tempo della proprietà N di una

particella di fluido deve essere espressa in termini di descrizione

del campo delle proprietà del flusso.

La derivata nel tempo di una proprietà del flusso calcolata lungo la

traiettoria di una particella è detta derivata sostanziale.

In uno spazio lagrangiano le coordinate x,y,z di una particella sono

x= x(t); y=y(t); z=z(t)

z t0+Δt

(x,y,z)

Δx t0 Δz

Δy

y

x

Se N è una generica proprietà estensiva in una rappresentazione di

campo N=N(x,y,z,t).

La variazione di tale proprietà del sistema (particella) durante

l’incremento di tempo ∆t può essere approssimata da una serie di

Taylor troncata al I ordine come segue:

ΔNsistema= N(t0+Δt)-N(t0)=

∂N Δx + ∂N Δy + ∂N Δz + ∂N Δt ∂x t0 ∂y t0 ∂z t0 ∂t t0

Dividendo per ∆t e per ∆t 0 si ha

dN = lim N(t0+Δt)-N(t0) (a) dt sistema a t0 Δt 0 Δt

In uno spazio lagrangiano per il sistema è x=x(t) da cui:

lim ∆x = dx = u(t0) ∆t 0 ∆t sistema dt

Essendo u(t0) la velocità della particella in direzione x al tempo t0. Similmente si ottengono v(t0) e w(t0) rispettivamente per le direzioni y e z. Da cioè discende che (equazione (a)):

dN = ∂N + ∂N u + ∂N v + ∂N w dt sistema a t0 ∂t ∂x ∂y ∂z

che è la derivata sostanziale della arbitraria proprietà N che per questo motivo è simbolicamente indicata come

DN Dt

∂N Variazione locale ∂N ; ∂N ; ∂N ∂t per effetti di non ∂x ∂y ∂z stazionarietà

Il termine DN che segue la variazione della proprietà N in riferimen- Dt to al sistema in movimento è stato così espresso in termini di descrizione del campo di proprietà tramite la sua derivata. Poiché il campo di proprietà è direttamente connesso ad una descrizione euleriana del flusso, la derivata sostanziale mette in relazione l’approccio lagrangiano di descrizione del flusso con quello euleriano.

Variazione di N per variazione di

posizione: variazione convettiva associata

a: u,v,w

ESEMPIO DESCRITTIVO DELLA DERIVATA SOSTANZIALE DELLA VELOCITA’

Cpt

Dc = dc + ∂c dt = ∂c dx + ∂c dy + ∂c dz + ∂c dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t Dc = ax i + ay j + azk ax = dcx = ∂cx + cx ∂cx + cy ∂cx + cz ∂cz dt ∂t ∂x ∂y ∂z ay = dcy = ∂cy + cx ∂cy + cy ∂cy + cz ∂cy dt ∂t ∂x ∂y ∂z az = dcz = ∂cz + cx ∂cz + cy ∂cz + cz ∂cz dt ∂t ∂x ∂y ∂z

Q

P

P

CQt

CPt

dCt

∂C dt ∂z

CQt+At

DC

DERIVATA TOTALE E SOSTANZIALE

Derivata totale rispetto al tempo dc/dt dc = ∂c + ∂c dx + ∂c dy + ∂c dz dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt Significato di ∂c/∂t è la derivata nel tempo in una posizione fissa ovvero una derivata locale. Se ci muoviamo lungo la corrente del flusso si può scrivere la “derivata seguendo il movimento” ovvero la derivata sostanziale. Dc = ∂c + vx ∂c + vy ∂c + vz ∂c Dt ∂t ∂x ∂y ∂z In questo caso si ha che rispettivamente:

dx dy dz dt dt dt Sono vx, vY e vZ in quanto corrispondono alle componenti delle velocità v della particella nello spazio x,y,z, anzi, in un certo punto dello spazio, sono infatti le componenti delle velocità locale del fluido. Nei corpi rigidi la proprietà di ciascuna particella o del corpo sono specificate come funzione del tempo. Nella meccanica dei fluidi è evidente che tale approccio è impensabile o, quanto meno, poco pratico. Le proprietà del flusso sono quindi descritte in termini di una posizione nello spazio, stabilendo così un campo di proprietà. Le proprietà dello spazio sono quindi quelle del fluido che attraversa tale spazio. Il concetto di campo di proprietà consente quindi di assegnare un valore della proprietà v=v(x,y,z,t) ad ogni posizione nella porzione di spazio considerata. In questo modo V è una funzione di (x,y,z,t) invece che delle particelle di fluido.

Velocità di variazione della proprietà estensiva N del

sistema al tempo t.

RELAZIONE GENERALE TRA APPROCCIO LAGRANGIANO (SISTEMA) ED EULERIANO (VOLUME DI CONTROLLO)

OBIETTIVO:Come esprimere la velocità di variazione di una

arbitraria proprietà estensiva di un sistema in termini di variazione di quella proprietà in un volume di controllo.

V

n

v v(x,y,z,t)

Stato del sistema al tempo t I II III Superficie di contorno del volume di controllo V In figura è rappresentato un campo di velocità v(x,y,z,t) misurato rispetto al sistema di coordinate x,y,z. A e V sono rispettivamente la superficie di contorno ed il volume di controllo. All’istante t il sistema costituito dalle sezioni I e II occupa esattamente lo spazio definito dal volume di controllo V. All’istante t+∆t il sistema occupa lo spazio definito dalle regioni II e III. Pertanto al limite la variazione della proprietà arbitraria del sistema si ha: lim ∆N = dN = = ∆t 0 ∆tsist dt sist

y

z

x

Velocità di variazione di N per la massa

contenuta nel volume di controllo

La variazione di N è calcolata lungo la traiettoria del sistema e dunque si ha: derivata totale dN = DN = derivata sostanziale dt sistema Dt da cui: DN = lim Nt+∆t + Nt ; essendo dN= nρdV si ha: Dt ∆t 0 ∆t (Nt+∆t)sistema = (NII + NIII)t+∆t = nρdV + nρdV II III t+∆t

(Nt)sistema = (NI + NII)t = nρdV + nρdV I II t

Notando che il limite della somma equivale alla somma dei limiti si ottiene: DN = lim nρdV - nρdV lim nρdV - lim nρdV Dt ∆t 0 II t+∆t II t + ∆t 0 III t+∆t 0 I t

Nel limite per ∆t 0 la regione II diventa coincidente con il volume di controllo V e quindi il primo termine a 2° membro ∆ρ∂ ∂ nρdV ∂t v

∆t

∆t

∆t ∆t

(1)

Il valore del secondo termine si può determinare notando che

l’integrale esprime la valutazione dell’entità della proprietà N che

nell’intervallo ∆t interessa la regione III. Questa corrisponde

all’entità della proprietà N che nello stesso intervallo di tempo ha

abbandonato il volume di controllo.

Si ha quindi nρdV t+ ∆t = dNIII t+ ∆t

III Dividendo per ∆t e portando al limite si ottiene la velocità istantanea

con la quale N abbandona il volume di controllo.

lim nρdV t+∆t = dN = velocità di efflusso di N III dt ∆t Poiché dN= ndm la velocità di efflusso di N è espressa dal prodotto

del flusso di massa dmu per il valore specifico di N

dN = ndmu dt u

Il flusso di massa uscente dal volume di controllo V può essere espresso in termini di ρ e V, nonché dell’area di passaggio di A. Ai fini della valutazione della portata occorre però valutare la componente della velocità ortogonale, localmente, alla superficie di efflusso; si adotta quindi il concetto di superficie orientata di versore n ortogonale e positivo se uscente da detta superficie:

dA= ndA, da cui

dm= ρVdA = ρV cos α dA

si ha quindi:

dN = nρV dAu

e di conseguenza: lim nρdV = dN = nρV dA

∆t 0 III t+∆t dt u

∆t Au Au Questa espressione trasforma l’originale integrale di volume in un integrale di superficie esteso alla superficie di efflusso. In modo analogo può essere espresso il 3° termine della relazione (1) che esprime il flusso entrante in V della proprietà N. Poiché il verso della velocità forma con il versore normale alla superficie di ingresso un angolo 90° si ha: dmi= - ρV cosα dA; - dN = nρVdA dt in Ain Ain - lim nρdV t Δt 0 I ∆t

Dalle due ultime relazioni si ha in definitiva che:

dN - dN = nρVdA dt u dt i Au Ai A=Au+Ai

esprimendo, in tal modo, con il solo ultimo integrale il contributo a

DN/Dt dovuto ai flussi di massa uscenti ed entranti. Ad una

“accelerazione del sistema” corrisponde, quindi, un incremento di

DN/Dt dovuto ad un flusso in uscita maggiore del flusso in

ingresso.

y

x

Flusso di massa in uscita dal volume di controllo

y

x

Flusso di massa in ingresso al volume di controllo

Superficie di controllo A

n

vα

α

n

v

α<90°

α>90°

Superficie di controllo A

Raggruppando i vari termini si ha:

DN = ∂ nρdV + nρVdA Dt ∂t V A La velocità istantanea di variazione di una qualsiasi proprietà estensiva di un sistema al tempo t può essere espressa mediante due effetti: il primo relativo al volume di controllo e l’altro relativo alla superficie di controllo. Il primo termine esprime la velocità di variazione di N all’interno del volume di controllo al tempo t; il secondo termine esprime la velocità netta di efflusso della proprietà N attraverso la superficie di controllo allo stesso istante di tempo. Questa equazione mette, quindi, in relazione, in modo del tutto generale, la variazione della proprietà arbitraria estensiva N di un sistema (caratterizzato da un flusso) con un volume di controllo che, nel caso più frequente di forma invariante nel tempo ed in condizioni inerziali, consente di non tener conto della derivata parziale fuori del segno d’integrale. Si ha cioè (le coordinate del volume di integrazione non variano nel tempo rispetto ad una terna inerziale di riferimento).

DN = ∂(nρ)dV + nρVdA Dt ∂t V A

Esempio: continuità. Seguendo un sistema che si sposta lungo una

traiettoria, la massa non cambia e quindi DN/Dt= D(massa)/Dt =0

(conservazione della massa).

PRINCIPALI EQUAZIONI DI BILANCIO

MASSA QUANTITA’ DI MOTO ENERGIA MOMENTO DELLA QUANTITA’ DI MOTO

I BILANCIO DI MASSA (CONTINUITA’)

n n

A1 A2

Assegnato il volume di controllo, la proprietà estensiva considerata M è definita, in un certo istante, tramite la sua grandezza specifica da

M= ρdV

V

In assenza di fenomeni relativistici e termonucleari, per un certo fluido, riferendosi al volume di controllo (costante nel tempo) d ρdV + ρVdA = 0 ∂ ρdV = d ρdV dt ∂t dt V A V V

Come si ricava dall’equazione generale prima trovata sostituendo M a N ed essendo n=1.

Dalla forma integrale dell’equazione di bilancio della massa ricaviamo ora l’espressione in forma differenziale nel caso di moto unidimensionale. Ricordiamo il lemma di Gauss “Un campo vettoriale integrato su una superficie può essere integrato nel volume racchiuso se ad esso si sostituisce la sua divergenza”. Se V è il nostro campo vettoriale (velocità) si avrà che: vdA = _ (V) dV essendo l’operatore A V

ρVdA = ( ρV )dV A V

Nel caso di moto unidimensionale si ha l’equazione: ∂ ρdV + ( ρV )dV = 0 diventa: ∂t V V

∂ ρdV + ∂( ρVx )dV = 0

∂t ∂x V V

=i ∂ + j ∂ + k ∂ ∂x ∂y ∂z

che come è noto applicato ad uno scalare ne fornisce il

gradiente (vettore) e applicato a un vettore ne fornisce la

divergenza (scalare) Il termine di flusso presente nella continuità diventa allora:

∂ρ + ∂( ρVx ) dV = 0 ∂t ∂x

V “Se l’integrale è = 0 è =0 il suo integrando” ∂ρ + ∂( ρVx ) = 0 FORMA DIFFERENZIALE ∂t ∂x (moto unidimensionale non stazionario) ∂ρ + ρ ∂Vx + Vx ∂ρ = 0 ∂t ∂x ∂x

IMPORTANZA DELLA FORMA DIFFERENZIALE CASO DI SEZIONE VARIABILE

∂( ρA ) + ∂( ρVxA ) = 0

x ∂t ∂x

EQUAZIONE DI CONTINUITA’

Si consideri un elemento di volume stazionario = - Portata entrante = (ρVx)/x ∆y ∆z Portata uscente = (ρVx)/x+∆x ∆y ∆z Velocità di accumulo della materia nell’elemento di volume considerato è:

(∆x ∆y ∆z) ( ∂ρ/∂t) il bilancio di materia è (∆x ∆y ∆z) ( ∂ρ/∂t)= ∆y ∆z[(ρVx)/x - (ρVx)/x+∆x]+∆x ∆z[(ρVy)/y - (ρVy)/y+∆y]+∆x ∆y[(ρVz)/z - (ρVz)/z+∆z] dividendo per ∆x ∆y ∆z e portando al limite ∆x ∆y e ∆z si ha ( ∂ρ/∂t)= - ∂ ( ρVx ) + ∂ ( ρVy )+ ∂ ( ρVz ) ( ∂ρ/∂t)= - ρV ∂x ∂y ∂z

ρVx/x+Δx ρVx/x

Δy

Δx

Δz

z

y

x

x+Δx, y+Δy, z+Δz

velocità di accumulo della materia

velocità di ingresso della materia

velocità di uscita della materia

D(dm) = 0 = D(ρdV) Dt Dt

BILANCIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO (volume di controllo costante e fisso o inerziale)

N= ρvdV ρv = “densità della proprietà” V

Per un sistema e Festerne = DM (M = quantità di moto) Dt VARIAZIONE DELLA GRANDEZZA d ρvdV dt V FLUSSO CONVETTIVO v(ρv dA) A FLUSSO DIFFUSIVO (azione delle forze esterne) τ dA A FLUSSO CONVETTIVO =”convezione della proprietà”= velocità per densità della proprietà FLUSSO DIFFUSIVO= Interazione con le forze esterne escluse quelle di campo (ad. es. interazioni con le pareti di un condotto) τ = tensore degli sforzi= sforzi normali + tangenziali sforzi tangenziali legati dalla viscosità (fluidi newtoniani) al moto del fluido

τ = μdv nell’unidimensionale dy è da evidenziare la natura molecolare del processo di trasporto della quantità di moto.

superficie in movimento

y

v

Per fluidi non viscosi τij = 0 δ11 0 0 τ = 0 δ22 0 0 0 δ33

δ11 = δ22 = δ33 = p Lo sforzo di pressione è orientato in verso opposto alla normale uscente (n) perché bilanciando il fluido si devono considerare come forze esterne quelle che agiscono sul fluido (pareti o fluido esterno).

Fesp = - pdA

A

FORZE ESTERNE DI CAMPO Fes c = g ρdV V FORZE ESTERNE DI ATTRITO Fesp+ Fesc + Fesa = Fes = DM/Dt Fes = d (ρv)dV + v(ρVdA) = DM dt Dt V A

La derivata sostanziale della proprietà indica che un osservatore solidale ad una particella vede cambiare la proprietà per effetti sia locali sia convettivi.

Interessano l’intera massa di fluido. Nel caso considerato si riferiscono alla sola accelerazione di

gravità.

Il principio di Newton applicato ad un fluido che attraversa un volume di

controllo.

)()( dAvudVut

dApnnF iiiies

dVvudAvuV

i

A

i )()(

dVx

pdApn

V iA

i

dVx

pdApn

x

VdVVu

iA

ix

V

i

;

)()(

2

t

VdVu

tx

p xi

)()(;

x

p

x

V

t

V xx

)()( 2

x

p

x

VV

xV

tV

t

V xxxx

x

22

x

p

t

V

x

VV

x

V

xV

tV xx

xx

xx

)(

ØDt

dVD

)(

x

p

t

VV

x

VV x

xx

x

1

Øx

p

Dt

DVx

Se si considera una direzione xi di versore ui si ha, se si trascurano Fesc ed Fesa che lungo xi: Per il teorema di Gauss Nel caso di moto 1-D (ui=Vx=Vx)

Riscrivendo l’equazione di bilancio si ha in definitiva:

esplicitando i termini:

da cui: Nel caso 1-D cioè u sono gradienti lungo y e z ed allora il termine in parentesi rappresenta l’equazione di continuità scritta in 1-D che è Per cui l’equazione finale è: ,ovvero, essendo la derivata sostanziale della velocità operata lungo x

t

VV

x

V xx

x

ØdsnvvndAsSA

)(

dsnvv)(

SA

ndA

SA

ndA

S S Trascurando gli effetti di campo ed in condizioni di moto stazionario si ha essendo Fes= τ (si ricordi che Fesp= -∫A pdA) La spinta esercitata dal fluido sulle pareti (A+S)è

E quindi vale l’uguaglianza =

Principio di funzionamento dei turbogetti e degli endoreattori.

Sarebbe a rigore da considerare anche il tensore di sforzo normale

agente sulla superficie S che, nel caso degli endoreattori può

essere considerato se Ps>>Pa

Se Ps=Pa il propulsore è detto “adattato”.

A

A

dtfdQ jj

dtfI jj

IQ

EQUAZIONE DELL’IMPULSO

“La variazione della quantità di motodi un sistema materiale

nell’intervallo di tempo τ eguaglia la sommatoria degli impulsi di

tutte le forse ad esso applicate”

Ω2

i

Si consideri il sistema materiale costituito dal fluido che attraversa lo spazio controllato di un condotto limitato tra le due sezioni di area Ω1 e Ω2 Ipotesi: moto unidimensionale stazionario Indicata con dm la massa entrante nel condotto nel tempo dt la variazione di quantità di moto associata allo spostamento dell’elemento dm rispetto alla direzione orientata di riferimento i è:

jj fdt

dQ

C2

C1

α1

α2

p1

p1

Ω1

dm

dmc2i-dmc1i=dm(c2i-c1i)=dm(c2cosα2i-c1cosα1i) (Σjfj)dt=dm(c2i-c1i) Σjfj=m(c2i-c1i) (II Legge di Newton del moto)

FORZE APPLICATE AL SISTEMA

-dovute alle pressioni agenti sulle superfici dele sezioni Ω1 e Ω2 e date da: (P1 Ω1)i – (P2 Ω2)i = P1 Ω1cos α1i – P2 Ω2cos α2i -la risultante F di tutte le forse applicate al fluido mediante la superficie laterale del volume di controllo; -la risultante ci di tutte le forze applicate all’interno del volume di controllo (in quanto dovute al campo gravitazionale) Con riferimento alla direzione orientata i l’equazione dell’impulso è : [(P1 Ω1)i – (P2 Ω2)i +Fi + Gi]dt = dm(c2i-c1i)

(P1 Ω1)i – (P2 Ω2)i +Fi + Gi = m(c2cosα2i – c1cosα1i)

SPINTA IN UN CONDOTTO CURVO

Si consideri un condotto curvo rispetto al quale si vogliono calcolare gli sforzi che il fluido che lo attraversa esercita sulle pareti: Ipotesi: Moto unidimensionale stazionario c2

a2x=π/2 F

a2y=0 a1x=0 c1 a1y=π/2 F= forza che i vincoli devono esercitare per mantenere il condotto in equilibrio

Essendo la vena libera nelle due sezioni si ha: p1=p2=0

Le due componenti nel piano della risultante delle forze applicate al

fluido dall’interno sono, in generale:

Fx= P2 Ω2cos α2x - P1 Ω1cos α1x + m(c2cosα2x – c1cosα1x) – Gx

Fx= P2 Ω2cos α2y - P1 Ω1cos α1y + m(c2cosα2y – c1cosα1y) – Gy

Nel caso in esame essendo

Gx= 0 cosα2x=0 cosα1x=1

Gy= -G cosα1y =0 cosα2y=1

Si ha:

Fx= -mc1

Fy= mc2+G

F è l’azione che i vincoli del condotto devono esercitare per

mantenerlo in equilibrio. La spinta che il fluido esercita sulle pareti è

pari a –F.

ESEMPIO APPLICATIVO

Spinta assiale in una turbomacchina motrice assiale

)cos1(2 c) cos+(1 mc=Fx-

y C2 p2 C1 p1 X In questo caso non possono essere trascurati i termini relativi all’azione esercitata dalla pressione del fluido. Definita con Ω1y e Ω2y le aree delle superfici anulari, giacenti in piani normali all’asse della macchina, attraverso le quali il fluido entra nella palettatura e ne esce si ha: -Fy = m (c1y – c2y) + p1 Ω1y – p2 Ω2y Spinta su una pala di turbina idraulica tipo Pelton

β 2 c1 c2 Spinta nella pala “ferma” -Fx= m (c1-c2cos α2) = m (c1+c2cos β2) β ≈10° Per c1=c2=c

= Se la pala si muove di velocità u=c/2 nel moto relativo la pala vede dimezzata la velocità del getto e quindi la spinta si riduce di circa ¼.

Sezione al raggio medio y// asse della macchina

α 2

)( vr

BILANCIO DEL MOMENTO DELLA QUANTITA’ DI MOTO

In questo caso = momento della quantità di moto rispetto ad un punto per unità di volume

V=volume di controllo A=Superficie di contorno A=A1+A2+AL A1+A2=superfici permeabili alla materia AL=superficie laterale del condotto

n versore orientato positivo se uscente dalla superficie Notare che DMQ è ricavabile dalla formulazione generale Dt Sostituendo a nρ la densità della proprietà “momento della quantità di moto”).

Q

v

MdVvrN )(

AV

Q dAvvrdVvrdt

d

Dt

DM))(()(

A V

QFest dVgrdAr

Dt

DMM )()(

AV

dAvndVndt

d

Dt

DN

n AL

A2

A1 r

O

Sia la velocità assoluta v FORMULAZIONE DEL PROBLEMA NEL CASO GENERALE VARIAZIONE DELLA GRANDEZZA NEL VOLUME DI CONTROLLO (TERMINE NON STAZIONARIO) FLUSSO CONVETTIVO FLUSSO DIFFUSIVO (MOMENTO DELLE FORSE ESTERNE ESCLUSE QUELLE CAMPO) MOMENTO DOVUTO ALLE FORZE DI CAMPO In assenza di viscosità In assenza di instazionarietà e supponendo trascurabili le forze di campo

V

dVvrdt

d)(

A

dAvvr ))((

A

dAr )(

V

dVgr )(

A

pdArdAr )(

AA

FestQ dAvvrpdArM

Dt

DM))((

EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLE TURBOMACCHINE

C=W+U (V=C) Girante di macchina W2 c2 operatrice radiale (Ipotesi di moto piano) u2

AL

W1 C1 u1

Traiettoria di una particella nel

moto assoluto

Si suppone di considerare le superfici di ingresso e di uscita del

flusso leggermente distanti rispetto a quelle reali della macchina in

modo da poter ipotizzare che le velocità assolute siano uniformi.

Si noti anche che per ω=cost, nel moto assoluto le condizioni del

flusso non sono stazionarie

Bilancio del momento della quantità di moto rispetto al volume di

controllo (Condotto interpalare)

In quanto i soli sforzi normali, rispetto alle superfici di contorno A1

ed A2, non producono momento poiché hanno direzione passante

per l’asse di rotazione.

FLUSSO CONVETTIVO

Ma ρcdA = m , essendo ρdA la portata volumetrica entrante ed uscente. Nella regione di superficie A1 si ha, essendo dA = ndA Nella regione di superficie A2 si ha invece:

ALA

Fest pdArpdArM

)()())((21

dAccrdAccrAA

1

1)())((A

crmdAncr

2

2)())((A

crmndAccr

90- φ C2

φ 2

90- φ1

r1 φ1

Si ricorda che le uniche Fes agenti sono gli sforzi normali relativi alle

superfici laterali dei condotti intercalari.

Ovviamente nel considerare i segni bisogna tener conto della

risultante degli sforzi normali così applicati.

Nel caso di macchine operatrici è la macchina a fornire energia al

fluido e, pertanto, in tal caso la potenza scambiata risulta essere

negativa. In definitiva, secondo lo schema rappresentato in figura si

ha:

Mpcrcrm 12

MpcrcrmMpndAr Fse 12

r2

C1

Potenza trasmessa

P = Mp ω =

EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLE TURBOMACCHINE

(Operatrici radiali)

P/m = Lavoro specifico trasmesso dalle pale = Lp Lp è indipendente dalla natura del fluido anche per distribuzione non uniforme delle velocità assolute se considero il valore medio delle sezioni di ingresso e di uscita.

)(

cos

cos

)coscos(

cos)90(

cos)90(

1122

111

222

111222

1111111

2222222

2

rcrcmMp

cc

cc

rcrcmMpMp

rcsenrccr

rcsenrccr

cr

uu

u

u

1122 rcrcm uu

1122

11

22

ucucmP

ur

ur

uu

ALTRA FORMULAZIONE DELL’EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLE TURBOMACCHINE

C=U+W W C

α

U

Si considerino i due triangoli di velocità in ingresso ed in uscita (pedici 1 e 2)

ESPRESSIONE DELL’EQUAZIONE FONDAMENTALE IN TERMINI DI VARIAZIONE DI ENERGIE CINETICHE SPECIFICHE

cos2

cos2cos

cos2cos

cos

22

2222

222222

2222

uccu

ucsencu

sencuccuw

senccuw

222

22

21

21

22

21

22 wwuucc

111222

22

22

22222

21

21

21111

coscos

cos2

cos2

cucuL

wuccu

wuccu

p

SPIEGAZIONE ELEMENTARE DELLA AZIONE DINAMICA TRA LA CORRENTE E LE PALE E’ noto dalla meccanica dei fluidi che la forza applicata alle pale si esplica tramite la composizione di una corrente traslatoria e di una corrente circolatoria. Se si escludono le forze derivate dall’attrito le uniche che agiscono sono le forze di massa. Un osservatore solidale ad una girante può individuare le seguenti cause di forze che agiscono sulle pale: 1) La deviazione imposta dalla schiera al fluido. A causa della curvatura delle pale, la velocità relativa del fluido cambia direzione e per effetto della curvatura della traiettoria, si manifestano forze di inerzia le cui componenti nella direzione del moto della schiera danno luogo ad una spinta. 2) La variazione del valore della velocità relativa. Se il condotto si restringe oppure si allarga, per effetto della variazione della quantità di moto, dovuta alla variazione di velocità relativa, nasce una reazione sulle pareti del condotto come in un razzo. Questa reazione si manifesta sia se le pale sono curve, sia se sono rettilinee. 3)La variazione della distanza delle particelle di fluido dall’asse di rotazione.

SIGNIFICATO FISICO DEI DIVERSI TERMINI

Trasformazione, nel moto relativo, dell’energia cinetica in energia potenziale causata dal rallentamento del fluido Aliquota di energia trasferita dalla macchina al fluido che nel passare da una sezione a raggio minore a quella di uscita a raggio più grande deve vincere la variazione di velocità periferica. Tale termine mostra come sia logico che le macchine radiali operatrici siano di tipo centrifugo. Incremento di energia cinetica nel moto assoluto. Tale energia viene poi convertita in energia potenziale (incremento di pressione) nel diffusore

NELLE TURBOMACCHINE OPERATRICI ASSIALI LP = u(C2U-C1U) Essendo per ipotesi (in una sezione cilindrica relativa ad un determinato valore del raggio, ad es. raggio medio) r1=r2 e quindi u1=u2=u si ha anche

2

22

21 WW

2

21

22 UU

2

21

22 CC

22

21

22

22

21 ccww

Lp

WQde

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA APPLICATO

ALLE MACCHINE

La macchina raffigurata può scambiare con l’esterno la potenza termica Q e la potenza meccanica W

Ipotesi: -Assenza di reazioni chimiche o nucleari -Sistema di riferimento assoluto -Moto 1.D nelle sezioni 1 e 2 Per un volume di controllo (compreso tra le sezioni 1 e 2): “La somma delle potenze entranti nel sistema eguaglia la somma delle potenze uscenti, a meno di eventuali accumuli di energia nel volume di controllo” Seguendo l’impostazione generale del problema di bilancio di una grandezza, si può scrivere, in base al I principio della termodinamica riferito ad un valore unitario della massa che:

V1

Q W

macchina

V2

Condotto di immissione

Condotto di scarico

WQDt

DE

Ovvero essendo Per e=energia per unità di massa = Il lavoro fatto dal volume di controllo sulla superficie di controllo (pareti che delimitano il volume di controllo) è definito positivo. Tale lavoro è di due tipi: -Lavoro fatto su organo mobile all’interno del volume di controllo Ws -Lavoro effettuato dalla forza di superficie nelle sezioni in cui il fluido attraversa il contorno della superficie. Tale lavoro è detto lavoro di pulsione Wn

n

v

(forza esercitata dal fluido sulle pareti di contorno) da cui Il lavoro totale è quindi Il seno del prodotto scalare da il segno al termine Wn

ApdFd

AdvpvAdvpwn

WQdAVgz

vudVgz

vu

dt

d

Dt

DE

AV

22

22

V

tot dVeEnN )(

gzv

u 2

2

A A

nn Advpvww

L’equazione dell’energia prima scritta si può quindi, riscrivere: Questa formulazione che lega il lavoro solo a grandezze di tipo meccanico è di particolare utilità per i fluidi incomprimibili, per i quali, considerando v=cost. il termine Questo termine non è infatti influenzato se non in piccolissima misura, dalle variazioni di temperatura e, quindi, dall’introduzione di calore nel sistema. Per fluidi comprimibili tale termine è invece notevolmente influenzato dalle variazioni di temperatura dovuta al calore introdotto, o, in trasformazioni adiabatiche al calore sviluppato a causa della viscosità e quindi dell’attrito interno al fluido. In assenza di scambio di lavoro (con riferimento ad un condotto fisso) e di fenomeni di attrito l’equazione dell’energia si può scrivere Che è la ben nota equazione di Bernoulli, anche attenibile dall’equazione del moto (stazionario) di un fluido attraverso un volume di controllo elementare.

2

1

1

21

2

22

22 WLvdpgzv

gzv

L

12

2

1

ppvvdp

02

112

2

1

21

22 zzgcc

dp

Per uno spostamento elementare in condizioni di moto unidimensionale si ha, infatti, in condizioni stazionarie in assenza di attriti

Ω Ω+dΩ L’equazione del moto prima scritta (detta equazione di Eulero) derivata dalla II legge di Newton, può facilmente essere integrate per un fluido incomprimibile, fornendo Nella quale

è detta pressione di ristagno

L’equazione di Eulero è ottenibile anche nel modo seguente: si considerino le forze di pressione agenti sia sulle superfici aperte che su quelle laterali lungo la direzione i tg ad s 1)superfici aperte 2)superfici laterali La risultante è

c

c+dcp+dp

p

p+dp

z z+dz

01

gdzcdcdp

12010

1zzgpp s

20 2

1cpp

pddpdppdp

pdd

dpp

dp

s

i

Considerando l’ascissa curvilinea s, la forze di massa agiscono per una variazione di quota con s pari a dz/ds, da cui Risultante forze di massa Essendo Si può allora scrivere (Valida per condotti fissi ed in assenza di sforzi superficiali tangenziali dovuti all’attrito) Per moto stazionario il modulo di tale accelerazione è Ma nel punto per cui Con l’ipotesi di moto stazionario si ha E quindi Da cui

ds

dzdmg

dsdm

ds

dzdmgdp

dt

dcdm

adt

ds

s

c

t

c

dt

cd

dt

ds

ds

dc

dt

dc c

dt

ds

cds

dc

dt

dc

ds

dzdmgdp

ds

dcdmc

ds

dzg

ds

dp

ds

dzg

dm

dp

ds

dcc

1

gdzdp

cdc

DEDUZIONE DELL’EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLE TURBOMACCHINE DALL’EQUAZIONE DELL’ENERGIA

SCRITTA NEL MOTO RELATIVO

Ipotesi: flusso adiabatico, stazionario trascurabilità degli effetti gravitazionali Equazione dell’energia nel riferimento assoluto lungo una linea di corrente (scritta per macchine operatrici) Nel moto relativo l’osservatore solidale con la girante, vede il fluido

muoversi con velocità w dal raggio r1 al raggio r2

Una particella di fluido è in tal caso soggetta a:

accelerazione centripeta ac accelerazione di Coriolis aco

Essendo r il raggio orientato nel sistema (girante) sottoposto a moto

rotatorio.

L’accelerazione di Coriolis, agendo ortogonalmente al verso del

moto w non produce lavoro sul fluido lungo una linea di corrente

2

21

22

12

vvhhL

wa

wa

c

co

2

Nel moto relativo l’equazione dell’energia è nelle ipotesi prima specificate: In essa LR è il lavoro compiuto sul fluido dovuto alla presenza delle

forze centrifughe nel suo spostamento dalla sezione 1 alla sezione

2 nell’intervallo di tempo t2-t1

r1

Essendo wdt=dr E ω2=cost Si ottiene allora: Dall’equazione dell’energia scritta rispetto ad un riferimento

assoluto è anche come scritto in precedenza:

2

21

22

12

wwhhL R

dtwrLt

t

R 2

1

2

1

2t

t

R rwdtL

22

21

22

21

222

22

uurrLR

rdrrdrLR

22

22

21

21

22

12

wwuuhh

2

1

r2

dalla quale, sostituendo h2-h1, si ottiene in definitiva

Espressione dello scambio di lavoro (operatrice) già ritrovato in

precedenza per altra strada.

2

21

22

12

vvhhL

222

21

22

21

22

22

21 vvuuww

L

Q=σV=cost è un caso particolare dell’equazione di conservazione della massa che in queste condizioni di definisce equazione di continuità

MOTO UNIFORME IN REGIME LAMINARE (MOTO ALLA POISEUILLE, 1846)

Lo studioso Navier (1823) attribuì gli sforzi dissipativi al solo effetto della viscosità, per cui

Essendo τ lo sforzo tangenziale in un punto all’interno della massa fluida Il coefficiente dovuto alla viscosità del fluido, in definitiva, caratterizza il maggiore o minore lavoro che occorre disperdere per ottenere un movimento relativo tra due strati di fluido contigui. Se ci riferiamo ad un condotto cilindrico a sezione circolare di raggio r0 e di lunghezza l, si ha un

h r0

Vmax

L

dislivello psicrometrico h e, quindi, una pendenza psicrometrica I=h/l. La simmetria del condotto consente di affermare che tutti i punti situati al generico raggio r<r0 abbiano la stessa velocità v. Gli strati posizionati a raggi >r esplicano sul fluido sottostante e per l’intera circonferenza un’azione di contrasto o ritardatrice che per unità di lunghezza è:

dy

dv

τ

La forza agente sul fluido in movimento è, per unità di lunghezza: Essendovi equilibrio in condizioni di moto uniforme si ha: Se si integra si ottiene: La costante di integrazione (integrale particolare) si determina per r=r0, cioè alla parete, ove è per definizione (è fisicamente vero!) v=0 Il valore ottenuto di tale costante è per cui che fornisce l’andamento della velocità con il

raggio all’interno di un condotto che, stante il grado dell’equazione,

mostra che lungo il diametro la legge di distribuzione della velocità

è parabolica. Al centro della condotta si ha

dr

dvr2

IrL

r 22 4

rdrI

dv

dr

dVrIr

2

022

trI

v cos4

2

204

rI

)(4

220 rr

Iv

max2

04vr

Iv

la portata è

da cui:

La velocità media è

essendo ricordando che

si ha che:

introducendo ancora il raggio idraulico

si ha: che, assumendo come valore costante il

termine, si può scrivere:

che coincide con quanto sperimentalmente trovato da Pouseuille. Conferma cioè che nelle condizioni in cui vennero fatte le esperienze sugli sforzi tangenziali, effettivamente questi ultimi erano determinati da un flusso ben ordinato per il quale le lamine liquide sono ritenute scorrere l’una nell’altra con l’effetto che essendo in reciproco contrasto svolgono una mutua azione di rallentamento ed accelerazione

0

0

220

0

0 22

rr

rdrrrL

hrvdrQ

40

40 88

IrrL

hQ

208

IrQ

V

20r 2

0max 4r

Iv

max2

1vV

00

20

2

1

2r

r

rR

IRV 2

2

2IRtV 2cos

Per un fluido che si muove in moto laminare in cui le traiettorie delle

particelle sono rettilinee e parallele esiste la legge di Newton che

stabilisce che i fluidi (detti appunto newtoniani) in queste condizioni

lo sforzo di taglio su una superficie tangente alla direzione della

corrente è proporzionale alla derivata della velocità in una direzione

n normale alla superficie su cui si ha lo sforzo.

Riguardo alla dipendenza di μ dalla temperatura si verifica che:

-Lo sforzo necessario ad allontanare le molecole tra loro vincendo

le attrazioni molecolari è predominante nei liquidi e decresce al

crescere della temperatura;

-Lo scambio di molecole tra gli strati di fluido per effetto dei moti di

agitazione predomina nei gas ed aumenta al crescere di T.

Da ciò si deduce come la viscosità all’aumentare della temperatura

diminuisce nei liquidi ed aumenta nei gas.

Nei liquidi, dei due fattori che causano la viscosità predomina quello

definito “attrito interno”.

essendo la forza che si esercita sull’areola .Pertanto τ caratterizza uno sforzo di taglio puntuale

V v+Δv

v

00

limv

F

F

ESPERIENZA DI REYNOLDS (1883) d a b Si hanno due recipienti A e B collegati da un tubo trasparente attraverso il quale passa acqua con un flusso continuo dovuto al dislivello d che viene mantenuto atra A e B. Vi è un altro recipiente contenente un liquido colorato di uguale densità dell’acqua. Il flusso da C ha la stessa velocità di quello tra a e B. Il diametro di d è molto piccolo ed il diametro del tubo che collega A e B è anch’esso non troppo grande, si vede che al suo interno si forma un filetto colorato rettilineo parallelo all’asse. Se si aumenta d si osserva che oltre un certo limite, aumentando la velocità, il filetto non è più rettilineo ma appare fluttuante. Il moto ordinato laminare diventa instabile (moto di transizione). Ad un’ulteriore crescita di d si osserva che l’ondeggiamento del filetto colorato si accentua e il filetto stesso si disperde lungo il suo percorso nel tubo, diffondendosi rapidamente al suo interno. Il regime di moto diventa turbolento e la velocità delle particelle (di ciascuna) cambia in modulo e direzione. Istante per istante per cui le loro traiettorie non sono più rettilinee.

In queste condizioni di moto non è possibile identificare le traiettorie mentre può ancora essere definita una velocità media locale Vm data dal fatto che essendovi una componente fluttuante della velocità istantanea, quest’ultima è ad ogni istante fornita dalla somma delle velocità medie e della velocità fluttuante v Il valor medio delle velocità fluttuante nel tempo ha evidentemente modulo nullo. Identificato un periodo di tempo T si ha, quindi, Dato il carattere assolutamente casuale dei moti di agitazione, la

velocità fluttuante può essere scomposta nelle tre componenti u,v,w

i cui valori medi nel tempo sono ancora nulli:

L’azione di mescolamento che la turbolenza induce ha per effetto di

ridurre le differenze di velocità da punto a punto nella sezione. Ciò

significa che vi è tra i diversi punti di una sezione esiste un intenso

moto migratorio di massa di fluida e, quindi, un più elevato scambio

di quantità di moto rispetto alle condizioni di moto laminare per le

quali è la sola viscosità a determinare lo scambio di q.di m.

vVV mist

01

T

dtvT

01 '

T

dtuT

T

dTvT

01 '

T

dtwT

01 '

In questo caso alla resistenza viscosa vanno aggiunte anche quelle

dovute all’intenso scambio di quantità di moto

Nel moto laminare il rapporto tra la velocità massima e velocità media è,in genere. per una tubazione circolare uguale a 2 mentre nel caso di moto turbolento vale 1.15-1.25.

Si desume da ciò che la turbolenza genera sforzi tangenziali molto più elevati di quelli dovuti alla sola viscosità. Quindi, se si confrontano gli sforzi di natura viscosa Fv e quelli di natura turbolenta FT può verificarsi che gli uni possano prevalere rispetto agli altri.

Sia U la componente nella direzione

del moto della velocità di una

particella che si trova direzione del

moto su una areola dδ. Gli sforzi

turbolenti giacciono sulla direzione

del moto ma sono dovuti alla

variazione della quantità di moto

trasportata ortogonalmente alla

direzione del moto. Si ha

da cui

VmT=VmL

dδ

nKs

direzione del moto

mutFt t

muFt

dVumut

mun

da cui Poiché è molto difficile misurare e calcolare ognuno dei termini che appaiono in quest ultima relazione, si possono fare considerazioni, per riconoscere quando prevalgono gli uni o gli altri sforzi (Tt o Fv), di carattere medio. Si considerano, quindi, le dimensioni dei singoli termini della relazione trovata per formulare il numero di Reynolds Il numero di Re è, quindi, il parametro che individua il tipo di moto che si ha nella corrente: dato un certo fluido (viscosità cinematica v= μ/ρ) che scorre con una certa velocità media (v) in un condotto di una certa forma e dimensione (L), il moto sarà turbolento o viscoso a seconda che il numero di Re della corrente è maggiore o minore di un valore determinato dalla sperimentazione. Ad esempio, per condotti cilindrici, ad L va sostituito il diametro D e quindi , si passa alle condizioni di moto turbolento quando R>2300

dn

VFv

n

vuV

dn

vudV

F

F nn

v

t

VL

L

VV

2

Re

VD

Re

Per poter generalizzare tale valutazione si può ricorrere al raggio idraulico R=area/perimetro e scrivere In questo caso (per una sezione circolare è )

il valore critico di Re per il passaggio al moto turbolento è pari a

~500.

E’ da sottolineare che per condizioni sperimentali particolarmente

curate (tubo molto liscio) si può giungere a valori di Re~40.000 pur

rimanendo in moto laminare, anche se una leggerissima

perturbazione (condizione di moto instabile) determina un

immediato passaggio a condizione di moto turbolento.

Sarebbe un controsenso parlare di moto uniforme in regime

turbolento in quanto, per definizione, è un regime nel quale la

velocità varia da punto a punto e da istante a istante. Facendo però

riferimento a valori medi locali della velocità della pressione e delle

altre grandezze si può lecitamente parlare di moto uniforme in

regime turbolento in quanto i valori medi non mutano nel tempo e

nello spazio. Si possono quindi estendere al regime turbolento gli

stessi concetti e le medesime formule del moto uniforme in regime

laminare.

4//4

2

DDD

R

VDRe

In quest ultimo caso, tuttavia, si deve tener presente che la

viscosità (che macroscopicamente consente di valutare gli sforzi di

taglio e, puramente, definibile in condizioni di moto laminare) deve

essere corretta nelle equazioni del moto per tener conto del

fenomeno della turbolenza.

CONDIZIONI DI MOTO SVILUPPATO

In precedenza ci si è riferiti ad un moto, viscoso o turbolento, completamente sviluppato che si estende, quindi, lungo tutto il condotto. In realtà si deve tener conto delle condizioni di imbocco:

Inizialmente, per un condotto ben raccordato, la corrente è quasi uniforme. Successivamente la forma uniforme del profilo di velocità si restringe man mano che gli effetti viscosi si estendono più verso l’asse della corrente. Si stabilisce, infine, una corrente laminare che cresce di spessore fino ad occupare tutta la sezione ad una distanza L dall’imbocco. Ciò si spiega notando che all’imbocco si forma un sottile strato laminare che, appunto, si ispessisce via via.Tale lunghezza stabilisce, quindi, il punto dal quale la corrente è in moto sviluppato.

In figura è rappresentato il profilo di velocità che in condizioni di

moto sviluppato (che si raggiungono a piccole distanze

dall’imbocco, per cui in genere si trascura il tratto di lunghezza L) si

realizza per moto laminare e turbolento

In prossimità delle pareti il liquido si muove in caso sotto l’azione

della sola presenza degli sforzi viscosi in una zona detta Substrato

laminare che è quello in cui il fluido si sposta senza essere

disturbato dalla turbolenza. Tale forza è comunque, sempre più

sottile al crescere della velocità e, quindi, del numero di Reynolds

SCABREZZA INTERNA DI PARETE

Se le scabrezze della parete restano all’interno di tale zona (sono

ricoperte dal suo spessore), esse non hanno influenza sul

movimento ed i caratteri macroscopici della turbolenza

laminare

turbolento

Sia in regime di moto laminare che turbolento si verificano perdite di energia. Per lo studio, tuttavia, di un flusso all’interno di una tubazione le perdite di energia che interessano tutto il flusso vengono schematizzate come concentrata alla parete. In pratica si considera che tali perdite siano operanti solo il contorno e non in tutto il fluido fra le particelle a contatto. Tale visione globale delle perdite risiede nella necessità, come si vedrà nel seguito, di valutare le perdite proprio in relazione alla “qualità” della superficie delle pareti interne delle tubazioni. Se si parla di perdita di energia, ricordando il legame tra τ0 e pendenza piezometrica

Si può scrivere in forma differenziale non più, quindi, per un valore

medio τ0 ma per il generico termine τ, in riferimento all’asse s del

condotto

Se ai due valori di energia potenziale (di posizione e di pressione, si

aggiunge il termine di energia cinetica V2/2g si ha

che rappresenta la caduta di energia che si ha nel condotto per unità di peso del fluido, equivalente ad una perdita di quantità di moto.

Evidentemente, se il moto è uniforme (v=cost) la caduta piezometrica, è uguale alla perdita di energia per unità di peso. La linea dell’energia è, in questo caso, parallela alla linea piezometrica.

RII

pz

pz

22

11

0

R

pz

ds

d

ds

dE

g

vpz

ds

d )

2(

2

E’ da notare che, seppure le perdite di carico vengono considerate come concentrate sulla superficie interna, quando vengono divise per γρ ovvero considerate per unità di peso è come se, da un punto di vista statistico, assegnassimo ad ogni particella una eguale aliquota di “responsabilità” nelle perdite del flusso. Avendo ottenuto che: Si può constatare che le perdite di carico sono inversamente proporzionali ad R il che vuol dire che a parità di lunghezza conviene avere valori di R quanto più grandi sia possibile. Ciò significa anche affermare che, per un certo valore della portata è importante minimizzare il rapporto ovvero il valore superficie/perimetro, che è infatti la più usata, di tipo circolare REGIME DI MOTO IN UN CONDOTTO Nelle applicazioni tecniche relative a flussi in tubazioni il numero di

reynolds è dell’ordine di varie migliaia o decine di centinaia di

migliaia per cui si suole definire il regime turbolento nelle

applicazioni idrauliche proprio come regime idraulico. In sostanza si

ha che nella quasi totalità dei casi lo studio delle correnti fluide

viene fatto in condizioni di regime turbolento.

RI

0

mVm

R

Sempre in condizioni di moto uniforme della corrente, ma in regime

turbolento, a causa delle velocità fluttuanti che, su una superficie

piana, sono n’ e v’ si ha che, con riferimento ad un’area unitaria Au

normale al piano se l’elemento y

è trasportato con velocità v’ u

si ha una stretta correlazione di

quest’ultima con il gradiente x

della velocità. Per effetto della componente v’ perverrà nell’elemento

di area unitaria normale al piano, un volume di liquido v’Au degli

strati vicini che possiede una velocità (dovuta al valore di u’) diverse

rispetto allo strato in cui si porta. Se nel successivo intervallo dt tale

volume assume la velocità di trasporto delle particelle nello strato in

cui è pervenuto, la sua massa subisce una variazione di

quantità di moto pari a , se si ammette che sia proprio

u’ la differenza di velocità tra i due strati.

Se τ’ è lo sforzo tangenziale dovuto alla turbolenza si ha

Omettendo di scrivere Au (essendo il suo valore unitario), si ha

(sforzo di Reynolds). Non potendo effettuare valutazioni istantanee

si ha

dy

Ud

uAv '

'' uAv u

''' uAv u ''' uv

T

dtvuT

''' 1

Tale espressione afferma che, pur essendo la media nel tempo di u’

e v’ nulla in quanto singolarmente considerati, vi è uno sforzo

tangenziale che può aversi se, statisticamente, avviene che u’ e v’

abbiano lo stesso segno e, comunque, non si elidano tra loro. In

definitiva nell’interno della massa fluida agisce oltre allo sforzo

laminare

lo sforzo dal che si ha

Ovviamente l’uno o l’altro dei due termini a secondo membro

prevalgono in funzione del regime di moto, viscoso o turbolento e, in

definitiva quindi, del numero di Re. Le difficoltà di stabilire la

relazione esistente tra e le condizioni di moto medio U

possono essere superate sia da osservazioni sperimentali che da

altre ipotesi (ordine di grandezza delle velocità fluttuanti rispetto al

valore della velocità media) per le quali, sempre per condizioni di

moto uniforme della corrente e per un campo di moto piano si ha

una dipendenza della velocità u, variabile da punto a punto sul

grafico del tipo

Tale funzione può essere meglio espressa da un’analisi

dimensionale

dy

dU

T

dtvuT

''1 T

dtvuTdy

dU ''1

T

dtvu ''

)(log0

yfu

TURBOMACCHINE OPERATRICI

RADIALI

Elevati valori di energia trasferiti al fluido: (u2

2-u12)/2

consente di non raggiungere alti valori delle velocità c e w. Parità di lavoro trasmesso

Robustezza strutturale (lo

spessore dei dischi non interagisce con la fluidodinamica).

Compattezza costruttiva

Ampio campo di variazione

funzionale rispetto al valore nominale

Progetto semplificato per

applicazioni che non richiedono alte efficienze

Vastissima gamma: da

pompe per elettrodomestici a pompe per grossi impianti (ad es. pompe di alimento). Da turboraggianti centrifughe a compressori per elevati rapporti di compressione

Portata ed efficienza non

elevate.

ASSIALI

adatte per alte portate

elevata efficienza: perfezione con la quale la palettatura opera sul fluido

necessarie quando siano

richieste: alta efficienza (gruppi turbogas, turbogetti etc.) elevate portate da smaltire (pompe di circolazione, soffianti di altoforno).

Per ottenere levate

efficienze occorre un progetto accurato della forma della palettatura

Non potendosi avere alti

valori dell’energia trasferita al fluido sono richiesti più stadi

Il campo di funzionamento è

limitata dai fenomeni di instabilità che insorgono per eccessive variazioni della portata.

PARAMETRI FONDAMENTALI DI UNA TURBOMACCHINA

-Portata (volumetrica o massica)

-Prevalenza (energia meccanica acquisita dal fluido

nell’attraversare la macchina operatrice)

POMPE

Con riferimento a due sezioni 1 e 2 immediatamente a monte e a

valle della macchina ( ad es. flange di collegamento alle tubazioni di

aspirazione e di mandata)

L’energia meccanica trasferita al fluido è la prevalenza

Essendo Lp1,2 il lavoro perduto;

Se la flange di collegamento hanno uguale diametro

se z1=z2

PREVALENZA MANONOMETRICA

2,112

2

1

21

22

12 2 pc Lzzgvdpcc

L

12

2

1

21

22

2zzgvdp

ccY

1212

21

22

22zzg

ppccY

1212

2zzg

ppY

mYpp

Y

12

In generale

S’’ z’’

S’ z’

Nel tratto di tubazione s’-1

Nel tratto di tubazione 2-s’’ si ha:

Essendo gH’p e gH’’

p la perdita di carico espressa in unità coerenti.

Sommando membro a membro e dalla relazione che esprime la

prevalenza si ha che:

2

21

22

12

cczzgYY m

z2

z1

pgHpp

zzgcc

'12'01

2'21

2

pgHpp

zzgcc ''2

''

2''

22

2''

2

pHpHgpp

zzgcc

Y '''''

'''2'2'

2

La prevalenza γ generata dalla pompa è spesa:

Per accelerare il fluido alla velocità c’’

Per innalzamento del dislivello z’’-z’ sotto la differenza di

pressioni p’’-p’

per vincere la resistenza passiva delle tubazioni g(H’’p-H

’p).

In generale la prevalenza di una pompa è anche espressa in metri

di colonna del liquido su cui opera

Y=gH

COEFFICIENTI DIMENSIONALI (Teoria della similitudine per

studio su modelli)

numero di giri specifico (formulato da CAMERER per la pompa)

portata (proporzionale alla sezione attraversata)

velocità (proporzionale all’energia potenziale)

Per motivi di similitudine cinematica

da cui

Per una famiglia di macchine simili

4/1

2/1

H

QD

c

QD

tnH

HQA cos

/

/2/1

4/12/1

n

H

n

uD

nDuc

Hc

2cDQ

PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO LE PRESTAZIONI DI UNA TURBOMACCHINA (COMPRESSORI DINAMICI)

rendimento η salto entalpico totale ∆Htot potenza di compressione P

Variabili funzionali ( ) μ=viscosità N=regime di rotazione D=Diametro esterno della girante m=portata massica ρ1=densità in aspirazione a1=velocità del suono in aspirazione k=esponente della isoentropica Dato l’elevato numero di parametri funzionali è difficile prevedere le

prestazioni della macchina in condizioni diverse da quelle del

progetto. Per verificare le prestazioni dei componenti al di fuori di

tali condizioni si deve tenere una metodologia di confronto dei

risultati in gran quantità.

La metodologia più seguita è basata sulla teoria della similitudine

dinamiche di flusso tra due condizioni tra due condizioni di

funzionamento di progetto e di prove. In tal modo si può stabilire in

quali condizioni due fluidi, in condizioni diverse, possono

considerarsi dinamicamente simili.

Note le caratteristiche di progetto si possono ricavare le

corrispondenti caratteristiche del flusso similare (prova).

kamDN ,,,,,, 11

Lo studio in similitudine è di fondamentale importanza per l’utilizzo

di minime sperimentali ottenute su modelli della macchina. Si

verifica la similitudine dinamica del flusso tra due campi di moto

quando:

Si verifica un rapporto costante tra due velocità in punti corrispondenti delle correnti e tra le velocità in punti corrispondenti e la velocità di uno stesso organo della macchina (ad es. velocità periferica della girante)

Le velocità in punti corrispondenti hanno stessa direzione rispetto ad una qualsiasi direzione di riferimento

Stessa trasformazione subita dal gas nelle due condizioni di flusso (stesso esponente della trasformazione)

Sono uguali nei due sistemi i rapporti di due tipi di forze agenti su masse elementari di fluidi in punti corrispondenti ( forze di inerzia, viscose, gravitazionali, elastiche).

Similitudine geometrica delle superfici di contatto del fluido nei due sistemi (cioè rapporto costante tra lunghezze omologhe e angoli omologhi uguali)

perché si verifichino queste condizioni, occorre imporre

l’uguaglianza di alcune grandezze dimensionali, derivate dalle

stesse relazioni funzionali, valide per le due condizioni di flusso.

In tal modo è possibile prevedere le prestazioni per una famiglia

di macchine simili e funzionanti in similitudine.

I parametri prestazionali più ricorrenti possono quindi, in funzione

delle variabili più citate, essere espressi dalle relazioni:

f1(Δh+0y, )=0 f2

f3 Mediante il teorema di Buckingam, le tre relazioni tra otto

grandezze possono essere trasformate in altrettante tra gruppi

dimensionali in numero inferiore ad otto.

Trattandosi di fenomeni meccanici, descrivibili con le tre grandezze

fondamentali L,M,T possiamo ridurre le otto grandezza derivate a

cinque gruppi dimensionali e quindi scrivere (in funzione delle tre

grandezze fondamentali o altre tre indipendenti e da esse deriva

f1

’(π1 π2 π3 π4 π5)=0

f2’(----------------)=0

f3

’(-----------------------)=0

In cui π1 π2 π3 π4 π5 sono i gruppi dimensionali Esempio per ∆htot in funzione di D,N, ρ

π1=DxNy ρ1z(Δhtot) [L,T,M]

kamDN ,,,,,,

0,,,,,,,

kamDN

0,,,,,,,

kamDNP

Dimensionalmente D=[L’ T°

M°]; N=[L° T-1M°]

Sostituendo si ha Si ha un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite x-3z+2=0 x=-2 -y-2=0 da cui y=-2 z=0 z=0 Per cui Analogamente ; ;

1031 MTL 022 MTLhtot

000022103010001 MTLMTLMTLMTLMTLZYX

2201

221 )(

ND

HHND TOT

TOT

122 ND

1

33

ND

m

DN

a14 K5

Si ha quindi ovvero generalizzando le tre espressioni si ha che esprimono tre relazioni funzionali tra gruppi dimensionali che caratterizzano le prestazioni di una famiglia di macchine funzionanti in similitudine di flusso. Perché si verifichi ciò devono essere uguali e quindi gruppi adimensionali entro le parentesi

0,,,, 13222

KDN

a

ND

m

NDND

hf tot

K

a

DN

m

NDNDf

ND

htot ,,,1

132

22

K

a

DN

m

NDNDf

DN

P

ND

htot ,,,,,1

13

12

5222

531

22,,

DN

P

ND

htot

u

w

ND

wA

ND

m

V

uDND

m3

1

1

13

2

Re

Numero di Mach periferico coefficiente di pressione Le relazioni funzionali tra grandezze dimensionali si possono scrivere sinteticamente e quindi: a parità di ηpol , si ha similitudine di flusso si hanno: -stessi coefficienti di pressione e di portata -stessi esponenti isoentropici e politropici -stessi numeri di Mach periferico -stessi numeri di Re di macchina verificandosi tali condizioni risultano uguali anche i numeri di mach e di Reynolds locali ricordando che (condizione di uguaglianza della trasformazione)

Maa

u

a

ND

11

2222

uL

DN

htot

),,(Re,,,53

1

KMafDN

P

1

11

0

1

0

polk

k

k

k

s

p

p

e quindi che in forma dimensionale diventa: essendo ns rappresenta fisicamente il numero di giri al minuto di una macchina operatrice che eroga una portata unitaria trasmettendo al fluido una prevalenza unitaria. E’ un numero che riunendo i principali parametri funzionali e geometrici individua le caratteristiche basilari delle macchine, permettendone n tal modo una classificazione in sua funzione Si individuano, di conseguenza, dei campi di variazione di ns in corrispondenza delle diverse soluzioni costruttive ns è un numero crescente per configurazione di palettatura che varino del tipo radiale al tipo assiale. COEFFICIENTE DI PORTATA φ E’ il rapporto tra una velocità media del fluido in una determinata sezione (in genere la velocità assoluta nella sezione di uscita) ed una velocità di riferimento (in genere la velocità periferica nella sezione di uscita RADIALI ASSIALI

4/3

2/1'

H

QnnA s

tgH

nQns cos

)2( 4/3

2/1

004/32/34/32/12/31 TLLTLTLT

2

22

u

c

m

a

u

c2

essendo ed COEFFICIENTE DI PRESSIONE energia potenziale ceduta all’unità di massa del fluido energia cinetica essendo

velocità periferica massima per macchine radiali velocità periferica media per macchine assiali

CURVE CARATTERISTICHE DELLE POMPE CENTRIFUGHE Grandezze di esercizio numero di giri n portata volumetrica G prevalenza H rendimento η potenza assorbita p I valori di tali grandezze sono in genere ottenuti per via sperimentale. variabili indipendenti n e Q

22

4 ra

a

DD

Qc

22r

m

DDcDmu

2

2

u

gH

pdp

gH

2

2

1u

P

u

Fissato il valore di n, si fa variare la portata Q agendo sulla valvola di strozzamento e si misurano: -la portata volumetrica Q -La prevalenza monometrica tra i manometri Ma e Mb posti sulle due flange -la potenza P assorbita dal motore si trascurano in tal caso i termini relativi alla variazione di energia cinetica e posizionale (zB-zA) Si fa, così, coincidere la prevalenza erogata con quella monometrica. La potenza effettivamente trasferita al fluido è:

z1

Q

a

b

valvola di strozzamento

Q

][1000

KWgQH

Put

g

cc AB

2

22

In generale si fa uso dell’equazione essendo 1000/g La potenza al giunto è invece Pel=Potenza del motore elettrico al Wattmetro ηel=rendimento del motore elettrico essendo Principali tipi di perdite: -perdite per trafilamento -perdite del rotore: -perdite idrauliche -perdite per attrito dei dischi ηi -perdite per attriti meccanici ηm In generale si può anche definire

102

QHPut

10

elelg FF

g

estpompa P

P 77,075,0 mvipompa

pompag

gQHP

1000

asp

mv m

m

ipompa

perditeP

Ppompa

ut

ut

Per Q/Qn prevalgono le perdite di ricircolo anche se in 0/0 sono più elevate anche quelle meccaniche e di tra filamento. per Q/Qn>1 prevalgono le perdite idrauliche per le elevate velocità non più adeguata alla conformazione geometrica della palettatura.

H [m] 24 20 Hm P 10 12 PKW

5

perdite meccaniche

trafilamento

ricircolo

idrauliche

potenza effettivamente trasferita al fluido

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Q/Qn

1 P/Pass

0.5

CURVA CARATTERISTICA INTERNA

0.8 η 0.78 0.7

12 24 36 Q[l/]

Ricordiamo l’equazione fondamentale delle turbomacchine (operatrici) TRACCIAMENTO DELLA CURVA CARATTERISTICA INTERNA NEL CASO IDEALE (numero infinito di pale) ipotesi: c1 gira nel piano perpendicolare meridiano (piano frontale) girante con infinite pale di spessore infinitesimo completa assenza di perdite moto unidimensionale stazionario.

222

21

22

21

22

22

21 vvuuww

L

gH

)coscos(1

111222 cucug

H

901 222 cos1 cug

H

β2

α2

u2

w2

c2

α1

u1

c1 w1

180-β2

ponendo:

w2

u2

c2 β2

α2

ucc 222 cos )180cos(cos 2222 ww

222

22

2222

2222

60

)cos(1

cos

bDrwQ

nDu

wuug

H

wuc u

2222

222

bDsenwQ

senww r

22

2

2

2222

22

cot60

1

60

1

cos6060

1

gb

Qn

g

nD

gH

bDsen

QnDnD

gH

22

2

21

60

11

60

1

bgK

D

gK

La prevalenza teorica di una operatrice centrifuga varia con il quadrato dei numeri di giri linearmente con la portata ed è funzione delle caratteristiche geometriche della girante. Per un assegnato valore del numero di giri n H∞ decresce con Q se β2>90° (cotg β2<0) H Q

β2<90° β2=90° β2>90°

H

H=K,n2

Q

H∞

H

g

ccHHm

2

21

22

Prevalenza teorica H∞>>Hreale

GIRANTE CON NUMERO FINITO DI PALE ED ASSENZA DI PERDITE

Fluido privo di attrito moto instazionale Il fluido pur trascinato dalla girante nel suo moto di rotazione rispetto all’asse mantiene costante il suo orientamento rispetto allo spazio fisso (condotto chiuso) Si crea un vortice che avrà rispetto al centro di rotazione una

velocità angolare uguale ed opposta a quella della girante (effetto inerziale dovuto alle azioni normali di pressione esercitata dalle particelle circostanti)

Con il condotto aperto al moto di rotazione si sovrappone quello unidimensionale (corrispondente al condotto aperto e girante ferma) di attraversamento del condotto.

Nel caso di girante con condotti chiusi l’accelerazione di coriolis,

pur presente non ha efficacia in quanto si bilancia par la simmetria

del vortice. Nel caso ideale si produce quindi un vortice che mostra,

quindi, come anche in assenza di viscosità del fluido si produca una

distribuzione non uniforme della velocità e quindi della pressione

all’interno del vano interpalare.

Anche nel supporre il fluido ideale, la presenza di un numero finito

di pale altera sostanzialmente i triangoli di velocità a causa della

formazione del vortice.

u1

w1

c1

c2z c2∞ u2

w2∞

w2z

w2z

w2z c2z

c2∞

∆c2u

)(1

)(1

)(1

22222

22

uuuz

u

ccug

cug

Hz

cug

H

Si definisce fattore di scorrimento (SLIP FACTOR) e si indica in

genere con δ il rapporto

da cui

Per il calcolo di sono proposte molte formule tra le quali è da ricordare quella dovuta al PFLEIDERER

con:

z=numero di pale Beta=angolo di uscita (estrattivo) espresso in gradi valori di teta molto discordi

si definiscono Beta costruttivo Beta cinematico

ANDAMENTO TEORICO DELLA PREVALENZA IN FUNZIONE DELLA PORTATA CON NUMERO FINITO DI PALE Il lavoro trasmesso al fluido è ancora differente da quello relativo al caso di fluido viscoso con assenza di perdite.

12

2 u

uz

c

c

HHz

222

1 cot gnQknkHz

6046,1 2

z

z

Hz=δH∞

Hreale

Hmreale

CURVA CARATTERISTICA REALE Si ricordi che nel caso reale si hanno: perdite di tipo meccanico perdite di tipo idraulico perdite di tipo volumetrico Solo le perdite di tipo idraulico influenzano direttamente il valore della prevalenza totale Le altre perdite sono responsabili soltanto di una riduzione del rendimento complessivo della pompa ma non alterano la caratteristica interna H/Q Le perdite di natura idraulica sono connesse con il moto del liquido della pompa. Sono: -perdite per attrito -perdite localizzate perdite per attrito hp=KaQ

2 Perdite localizzate dovute a brusche variazioni dell’angolo beta1 rispetto al valore di progetto detta Q* la portata di progetto hp

*=Kb(Q-Q*)2 La variazione di portata Q si traduce infatti in un diverso valore di beta2 e di conseguenza in una brusca variazione che il fluido deve subire all’ingresso

β1

’

u1 β1 w1

’

c1’ u1 β1’

c1 u1 w1 β1 Una variazione della portata Q (diminuzione da C1 a c1

1) determina una variazione dell’angolo di ingresso cinematica di w da beta1 a beta1primo. Il fluido quindi non entra nel condotto nelle stesse condizioni cinematiche calcolati nel punto di progetto e rispetto alle quali sono profilate le pale, generando in tal modo le perdite determinate H H Hm Q* Q

c1’

c1

H∞

Hz

perdite per attrito andamento perdite totali

perdite per urto

Le perdite localizzate dovute all’ingresso nel rotore di hanno anche in corrispondenza dell’ingresso di un eventuale distributore palettato presente all’uscita della girante per guidare il fluido nel diffusore (elemento statico per la conversione dell’energia cinetica in energia potenziale) Hz hp*=hp1+hp2 ht=hp1+hp2+hp hp Q* Q Nel punto di progetto corrispondente alla portata Q*, per quanto detto in precedenza, si considerano nulle le perdite per “urto” L’andamento delle curve H,q dipende quindi da: Valore della portata di progetto valore dell’angolo β2 ed è influenzato da: -Numero di pale z (da cui dipende β) -Dal tipo e dal disegno del diffusore -forma e dimensione del condotto tra flangia di aspirazione e girante Se la curva presenta un punto di max. la sua posizione è essenzialmente influenzata da β2 e da z.

E’ evidente che al diminuire di 180-β2 il punto di max si sposta

verso valori più piccoli della portata. In generale la curva presenta

un max di H per un valore di Q diverso da Q* per il quale sono

considerate nulle le perdite per urto.

Considerando diverse coppie di valori β2 e z si possono osservare

gli andamenti della curva H,G per i quali può non essere presente

un punto di max.

180-β2 Hmax α=HQ=0 90 Hmax 0.86 60 0.94 30 α HQ=0 1.0 0 5 10 15 Q coppie di valori per β2 per curve sempre crescenti Appare chiaro come per valori crescenti di β2 sia sempre più accentuato il valore di alfa e, quindi, la possibilità di avere curve che non presentano un massimo

GRADO DI REAZIONE ED INFLUENZA DEL VALORE DELL’ANGOLO β2 SUL RENDIMENTO DELLA MACCHINA

Ricordando che e Si vede che per un determinato valore di Q risulta fissato il valore di c2r. Per H∞ invece esiste un grado di libertà in quanto si possono scegliere differenti soluzioni tali da realizzare il valore derivando H∞

*.

Tali differenti soluzioni dipendono essenzialmente da β2 c2r w2 c2 w2 c2 w2 c2

β2 β2 β2 u2 u2 c2u c2u c2u u2 β2 β2 β2 a) b) c) Supponendo (u2c2u)a,b,c=cost e c2r=cost risulta evidente l’influenza di β2 Si osserva che: A parità di u2 con la soluzione costruttiva c) (β2<90°) la girante è in grado di trasmettere maggiore lavoro al fluido.

ucug

H 22

1 rcbDQ 222

Il maggior lavoro trasmesso si traduce in un maggior valore dell’energia cinetica da trasformare in energia potenziale nella parte statorica (diffusore) tale trasformazione (rallentamento) nel diffusore può diventare di importanza preponderante rispetto all’incremento di energia potenziale della girante.

La tecnologia della girante dipende da u2

Si definisce grado di reazione R il rapporto

che, definito, in assenza di perdite e rispetto al moto supposto unidimensionale, esprime il rapporto tra il valore dell’incremento di pressione ottenuto nella girante rispetto al totale

1.0

R R Hp0t

0.5

Hcin=

0

R=Hp0t 1 c2u 2

Hinf u2

Andamento di R in funzione di c2u/u2 (per u2=1) e di Hp0t Hcin nel caso di funzionamento ideale con infinite pale.

(β2=90°) pale radiali (β2>90°) pale rivolte all’indietro (β2<90°) pale rivolte in avanti

H

g

ww

g

uu

R22

22

21

21

22

g

cc

2

21

22

22

22

22

5.0

5.0

5.0

ucR

ucR

ucR

u

u

u

( R=0.5 β2=90°) se e solo se c1=c2r=w2

infatti: w1

2 – w22= w1

2 - c12= u1

2

Da cui è dimostrato che se il condotto è disegnato in modo da ottenere c2r=c1 la condizione di grado di reazione R=0.5 coincide con il valore unitario del rapporto c2u/u2

2222

22

21

21

22

2

2

11

22

15.0

ug

cug

H

gH

wwuu

R

u

cperR

u

u

5.02

2222

22

22

21

21

22

u

u

u

uuu

R

Per β2>90° -Angolo di deviazione tra c2 e c1 basso (favorevole ai fini delle perdite nella palettatura rotorica) -Angolo di divergenza del flusso basso (maggior sviluppo in lunghezza del condotto) a parità di rapporto tra le sezioni di uscita e di ingresso -minore importanza dell’incremento di pressione dovuta alla variazione di energia cinetica assoluta nel diffusore e quindi minima importanza delle perdite connessa a questo organo della macchina. Queste considerazioni fanno preferire soluzioni costruttive con angoli (β2>90° e R>0.5) E’ però da rilevare che all’aumentare di R: -Aumenta la differenza di pressione tra valle e monte della girante con conseguente aumento delle perdite per fughe e per ricircolo -Aumenta u2 rispetto a c2 e di conseguenza le perdite per attrito del disco Complessivamente l’aumento di β2 e quindi di R (entro certi limiti) comporta un incremento del rendimento della macchina in quanto il fluido è meglio guidato e si riduce la possibilità di scollamento della vena dalle pareti del condotto mobile.

IL DIFFUSORE diffusori:

1. lisci 2. palettati

Nei diffusori lisci è demandata alla conformazione naturale che il flusso viene ad assumere alla forte componente tangenziale di velocità che possiede all’uscita della girante. La funzione di rallentamento in un condotto che consiste in uno spazio cilindrico. La non stazionarietà del flusso nel moto assoluto ha un effetto negativo sulla fluidodinamica del diffusore nel quale sono possibili distacchi delle vene. Nei diffusori palettati, il fluido è, invece guidato da adatte canalizzazioni create con palettature fisse che permettono un più efficace e regolabile rallentamento del fluido.

LA POMPA INSERITA NEL CIRCUITO DETERMINAZIONE DEL PUNTO EFFETTIVO DI FUNZIONAMENTO

Nota la “caratteristica interna della pompa” H,Q è necessario conoscere la curva che rappresenta le perdite di carico del circuito esterno (alla macchina) in funzione della portata detta “caratteristica esterna”. caratteristica interna H punto di funzionamento Hpe

HU caratteristica esterna (andamento delle

perdite con Q nel circuito esterno) Q siano e Hpe= perdite di carico del circuito La prevalenza fornita dalla pompa deve essere H=Hm+Hpe. Il rapporto tra la prevalenza utile Hu e la prevalenza complessiva fornita dalla pompa definisce il “rendimento della condotta”

peu

uc HH

H

12 pp

zHu

CASO DI CIRCUITI COMPLESSI SERBATOIO ALIMENTATO DA CONDOTTE IN PARALLELO H C D Re RD Rt Hu=

B Qc QD A Qt=Qc+QD

Rc= caratteristica esterna condotta C RD= caratteristica esterna condotta D Rt= caratteristica esterna condotta D+C

Xt= punto di effettivo funzionamento della pompa Qt

*= Portata totale Qc= portata condotta C QD= portata condotta D

Qc QD Qt

* Q

Hm

Hu

Xt

H

Possibili variazioni di funzionamento agendo nelle valvole di strozzamento.

DUE SERBATOI ALIMENTATI DALLA STESSA POMPA SB

VR CB SA CA HuB

B A HuA

VR= valvola di strozzamento RB RA Rt XB XA Xt RA RB

1 n HuA

QB QA Qtot Se la pompa alimentasse separatamente SA ed SB i punti di funzionamento sarebbero rispettivamente xA ed xB. se la pompa alimenta contemporaneamente i due serbatoi il suo punto di funzionamento diventa xt ottenibile considerando la caratteristica Rt applicata al punto 1 corrispondente ad una portata nella condotta cA per la quale la pompa eroga una prevalenza pari ad HuB, minima indispensabile perché si apra la valvola di ritorno VR.

HuB

Htot

CASO DI DUE SERBATOI A QUOTE DIVERSE E CON UN TRATTO DI TUBAZIONE IN COMUNE H P O n M REB

Qt Qxt Q QXt=Portata relativa al caso di due serbatoi alimentati da una stessa pompa e senza tubazione in comune

Qt=portata del caso in esame

RBC=caratteristica esterna della tubazione di mandata al serbatoio a quota più elevata

RBD= caratteristica esterna della tubazione di mandata al serbatoio a quota inferiore

T

YT

XT = caso precedente se REB=0 si somma a MOP

∆REB ∆’REB

∆REB ∆’REB

caratteristica esterna del tratto di tubazione in comune

LA REGOLAZIONE DELLE POMPE

1) Variazione della caratteristica esterna 2) Variazione della caratteristica interna 3) By-pass

Variazione della caratteristica esterna (strozzamento) (si agisce, in genere, sulla mandata per problemi di cavitazione) H

D HD HC C B Hu Hmin QD Qt η 1.0 ηi 0.5 ηcmin ηgmin 0

Agendo su V la portata si riduce da Q0c0 a QD mentre la prevalenza richiesta varia da HC ad HD

Ricordando che il rendimento della condotta e che il rendimento della pompa si assimila in genere al rendimento idraulico (ηi) Il rendimento complessivo diventa OTTENIMENTO DI ηG IN FUNZIONE DELLA PORTATA Q ( a n=cost) Il rendimento ηi varia al variare del punto di funzionamento in misura non considerevole. Il rendimento ηc varia, invece in misura più ampia Se la prevalenza utile fosse Hmin (punto B corrispondente al minimo valore di Hutile) e la prevalenza erogata fosse Hc (punto C) Hc-HB sarebbero le perdite di carico ed il rendimento della condotta sarebbe (riferita alla presenza del punto B) che è il rendimento della condotta riferito al minimo valore di H.

richiestaprevalenza

utileprevalenza

Hc

Huc

acchinaassedellamlavoroall

richiestaprevalenzaipompa '

acchinaassedellamlavoroall

utileprevalenzacig '

c

Bc

C

Bc H

H

H

H min

Si traccia quindi la curva ηc1min per tutti i punti di funzionamento. Si possono allora ricavare i valori del rendimento complessivo ηg per tutte le condizioni di funzionamento e, con riferimento ad Hmin si definisce Se ci si riferisce ad un punto generico D di funzionamento il rendimento complessivo è

Ricavato dunque η gmin rispetto ad un punto di riferimento Hmin per

tutto il campo di funzionamento e noto ηi, si può facilmente

giungere, per le diverse condizioni di utilizzazione definite da Hu, al

rendimento complessivo η g dell’impianto che, come si vede, nella

regolazione per strozzamento dipende da η gmin che è sensibilmente

variabile con il punto di funzionamento così ottenibile.

minmin cig

)( uDu

ui

Dig HHH

H

H

Hu

minminmin

minmin

min)(min

min

H

Hg

H

H

H

H

HHDH

Hi uu

ciu

VARIAZIONE DEL NUMERO DI GIRI In questo caso non si altera la caratteristica esterna ma sui agisce modificando la caratteristica interna della macchina.

In questo caso a parità di prevalenza utile richiesta (ad es. il salto geodetico tra due serbatoi) si può ottenere una variazione della portata erogata della macchina variando il suo regime di rotazione.

Q1 Q2 Q3 Q

La caratteristica esterna resta inalterata e la prevalenza totale

richiesta aumenterà solo in funzione delle perdite che si

incrementano alfa Q2.

La variazione del numero di giri è però legata all’uso di un motore a

c.c. o si un sistema con inverter.

Il rendimento della condotta dato da Hu/H risulterà sempre

decrescente con la portata.

La variazione della velocità di rotazione può consentire di

mantenere il punto di funzionamento all’interno della curva di

massimo rendimento della pompa e quindi di avere in definitiva un

rendimento complessivo dell’impianto ηg=ηi*ηc migliore di quello

ottenibile nel caso di regolazione con valvola di strozzamento,

come è facilmente osservabile sovrapponendo i punti di

funzionamento che si ottengono con i due metodi.

n1 n2

n3 ηI=cost

H

Hu

REGOLAZIONE MEDIANTE BY-PASS H A 1a 1 Hu ηi Q2 Q3 Q1 Q La portata elaborata dalla pompa è Q1

“ ricircolata è Q3

“ mandata è Q2

Con esclusione del by-pass la pompa funzionerà con la portata QA

e la prevalenza utile Hu con una prevalenza spesa per vincere le

perdite nella condotta HA-HU=Hp.a

Aprendo le valvole di by-pass, a causa della riduzione della portata

nel circuito esterno le perdite complessive saranno pari a

H2-Hu=Hp,2

Di conseguenza, non essendo variato il numero di giri della pompa,

la portata da essa elaborata sarà Q1 corrispondente alla prevalenza

richiesta H1=H1=Hu+Hp,2. La portata da by-passare per ottenere la

portata desiderata in mandata Q2 non sarà dunque data dalla

differenza QA-Q2 ma sarà

Q3=(Q1-Q2)<(QA-Q2)

POMPAGGIO Il tratto AC è di funzionamento instabile. Si supponga trascurabile la prevalenza di manica (condotta corta ed ampia) H A 2 T C 1 Hu Va V2 V1 V Confronto tra portata erogata e portata richiesta. Dal punto 1 al punto 2 la portata diminuisce da v1 a v2. Se la pompa eroga una portata maggiore di quella richiesta il livello aumenta ed il punto si sposta verso A, ma se la richiesta è minore di Va il livello dovrebbe salire cosa non possibile perché la prevalenza massima è HA. In queste condizioni la pompa esce dallo stato di equilibrio E A B D e si verifica una brusca inversione del verso della corrente ed il serbatoio tende a svuotarsi e la prevalenza tende ad aumentare (B-E) e quindi a riportarsi verso B; da questo punto in poi la prevalenza aumenta da B a C e il flusso si inverte bruscamente, il serbatoio si riempie di nuovo ed il fenomeno si ripete. La durata di un’oscillazione dipende dalla grandezza del serbatoio di accumulo (accumula energia sotto forma di prevalenza statica)

Allo scopo di evitare l’insorgere di tale fenomeno molto rischioso per le sollecitazioni che induce nella macchina è di interessere cercare:

a) in fase di progetto cercare di ottenere il punto Hmax il più a sinistra possibile;

b) In sede di esercizio prevedere il punto di funzionamento il più distante possibile la valore di Hmax per essere sicuri di avere una ampia zona (trattiB-C) di autoregolazione della pompa

CAVITAZIONE ALTEZZA DI ASPIRAZIONE ricordando che appare evidente come il deltap ottenibile dalla macchina sia funzione della densità del fluido. Nei casi in sui risulti necessario che la bocca di aspirazione sia collocata ad una quota superiore a quella del pelo libero del serbatoio si ha che se la condotta di aspirazione è, all’avviamento, vuota del liquido da pompare, quest ultima potrà innalzarsi di un’altezza fornita da se ρa= densità dell’aria ρl= densità del liquido che nel caso di aria ed acqua indica che tale altezza si riduce ad 1/800 di quella ottenibile con la condotta di aspirazione ripiena d’acqua. Ne segue di conseguenza, la pratica impossibilità di avviamento o, come si dice, di adescamento autonomo della macchina.

Puuwwcc

gH

222

21

22

22

21

21

22

l

aHH

'

Ad evitare tale inconveniente appare indispensabile l’adozione di una valvola di non ritorno inserita nel circuito alla estremità inferiore della tubazione di aspirazione che ne impedisce lo svuotamento all’atto dell’arresto. E’ naturale che tale difficoltà è del tutto superabile quando , ove sia possibile, la pompa viene installata “sotto battente”, e cioè, con il livello del serbatoio più alto di quello di aspirazione della pompa. Quando sia indispensabile sistemare la pompa ad un livello superiore a quello del serbatoio, nasce l’esigenza, oltre al problema di adescamento connesso all’avviamento, di conoscere quale altezza massima di aspirazione può essere adottata.

La pressione pA nella sezione di aspirazione della pompa, calcolata in condizioni di moto permanente è data da

Essendo Ha= dislivello tra pelo libero serbatoio e bocca di aspirazione. Ca= velocità del liquido sulla flangia di aspirazione Hp= altezza perduta per perdite di carico nella tubazione ρ densità del liquido

Pa

A

Ha

All’aumentare della somme dei tre termini

HA, ca2/2, Hp

la pressione del liquido può raggiungere il valore corrispondente alla pressione di equilibrio del liquido con il suo vapore alla temperatura esistente all’aspirazione.

pB

AaA Hgc

Hgpp 2

2

Quando si giunge ad un valore di pressione del liquido inferiore a quella di saturazione a quella temperatura, si sviluppano in seno ad esso bolle di vapore che, modificando le condizioni del flusso e degli scambi energetici con la palettatura (a causa delle densità molto diverse del fluido) può compromettere il funzionamento della macchina. In tali condizioni si dice che la macchina entra in “cavitazione” a)Un primo effetto dovuto all’insorgere della cavitazione è la forte riduzione della portata a causa della formazione di sacche di vapore che ostacolano il passaggio del fluido.

b) Un secondo effetto di tipo meccanico molto più grave, è che le bolle di vapore, passando attraverso la girante in zona a più alta pressione collassano (implodendo) causando sollecitazioni estremamente elevate. Se il fenomeno si sviluppa nei pressi di una parete solida, ne consegue un effetto di erosione che può “butterare” la superficie in questione.

In genere nelle pompe centrifughe la parte iniziale dell’estradosso della pala dove le velocità sono più elevate e le pressioni più basse. Allo scopo di evitare l’insorgere di tale fenomeno si deve essere sicuri che in qualsiasi punto del circuito (ed in particolare all’ingresso della girante) la pressione assoluta sia maggiore della pressione di saturazione del liquido a quella temperatura. L’analisi deve dunque essere condotta considerando separatamente gli abbassamenti di pressione nel circuito a monte e quelli che si verificano all’ingresso della pompa stessa.

Tale analisi porta alla definizione di due parametri : NPSH, richiesto (caratteristica della pompa) NPSH, disponibile (caratteristica del circuito) NPSH,R Nella sezione della flangia di aspirazione il fluido possiede un’energia pari a : in cui za indica la quota del baricentro della sezione di aspirazione. In una sezione immediatamente prima dell’imbocco nella girante il fluido ha una velocità c1 ed una pressione p1 per cui l’energia che gli compete è: Nel passaggio da A ad 1 si hanno delle perdite di carico pari a ζA,1 per cui

L’ingresso del fluido nel condotto mobile, a causa delle deviazione

della vena fluida, comporterà un abbassamento di pressione

proporzionale a w12/2g per cui

AAA zg

cP

2

2

1

211

2z

g

cp

1,

21

1

2

1,

211

2

22

1

122

AAA

AAAA

g

cZZ

cpAp

zg

cpz

g

cp

la minima pressione statica del fluido px è nella quale λ 2 è un coefficiente di proporzionalità. L’abbassamento di pressione tra quella totale rilevata nella flangia e quella statica minima nel corpo della pompa definito NPSH,R ed è un dato caratteristico della pompa. In generale la perdita associata alle velocità c1 vengono anche espresse come ,per cui, essendo si ha ed è una grandezza fornita dal costruttore della pompa. VALUTAZIONE DELL’ NPSH,D perché il fluido trattato dalla pompa non evapori nella sezione X

nella quale si ha il valore minimo della pressione statica del fluido è

necessario che risulti

px>ps

essendo ps la pressione di saturazione del liquido a quella

temperatura.

g

wppx

22

1 21

1

21

21,

21

2

222zz

g

w

g

cp

g

cpAA

xAA

g

c

21

21 1,

21

31

1 22 Ag

c

g

c

Azzg

w

g

cRNPSH 1

21

2

21

1 22,

Perché ciò avvenga è necessario che il fluido abbia nella sezione A

una sovrappressione rispetto alla pressione di saturazione Ps

maggiore dell’abbassamento massimo che si ha nel corpo della

pompa.

Perché non si abbia evaporazione essendo

si deve avere

essendo

che rappresenta, nota la pressione di saturazione del liquido alla

temperatura di esercizio, l’altezza di aspirazione disponibile che,

RNPSHp

g

cp sAA ,2

2

DNPSHp

g

cp sAA ,2

2

xAA p

g

cpRNPSH

2,

2

POMPA AD ASSE ORIZZONTALE

A

NPSH,D NPSH,R ANDAMENTO DELLA PRESSIONE NEL CORPO POMPA TRA FLANGIA DI INGRESSO E GIRANTE (PRESSIONE DI RISTAGNO) essendo zA=z1

Perché non ci sia cavitazione deve essere NPSH,D NPSH,R Se la pompa avesse avuta una disposizione diversa rispetto alla condotto a (ad es. ad asse verticale) si sarebbe dovuto tenere conto anche della variazione di quota nel calcolare NPSH,R. In tal caso il valore di NPSH,R sarebbe stato più grande.

g

cp AA

2

2

g

c

2

21

xP

g2

22

1,AcP

Ps

g

w

g

cp

g

cp AAx

222

21

2

21

1

2

xAAsAA

sx

p

g

cp

g

w

g

cpp

g

c

pp

2222

221

2

21

1

2

.Tra z=0 e A si ha:

Dovendo essere NPSH,D>NPSH,R si ha da cui si ottiene che con patm, ∆pc e ps deve risultare e,quindi, noto il dato fornito dal costruttore per un certo punto di funzionamento il valore di NPSH,R si ricava la massima possibile altezza di aspirazione ESEMPIO: per l’acqua a 20° ps/ γ=0,24m essendo patm/ γ=10,33m si ha che

hA<10,33-0,24- ∆pe-NPSH,R

in relazione alle caratteristiche dell’impianto e della pompa in genere 2<hA<6-7 [m]

Pa

A

Ha

essendo ∆pc la perdita di carico nella tubazione di ammissione alla pompa si ha di conseguenza che

cAAAatm phg

cpp

2

2

s

cAatmsAA P

Phpp

g

cpDNPSH

2,

3

RNPSHp

php s

cAatm ,

RHPSHppp

h csatm

A ,

COMPRESSORI CENTRIFUGHI

DEL TUTTO ANALOGHI NEL COMPORTAMENTO ALLE POMPE CENTRIFUGHE (A MENO DEGLI EFFETTI DELLA COMPRIMIBILITA’ DEL FLUIDO) GRANDEZZE CARATTERISTICHE:

a) velocità di rotazione (più elevata rispetto alle pompe

centrifughe)

b) rapporto monometrico di compressione

c) portata di fluido che attraversa la macchina (portata

volumetrica o massica)

d) tipo di fluido aeriforme caratterizzato da

-peso molecolare

-rapporto cp/cv

-condizioni di pressione e temperatura all’ingresso della

macchina

La curva caratteristica interna si ricava allo stesso che per le pompe

centrifughe

Il campo di pratica applicazione del compressore è però delimitato

da due linee:

a) una linea detta di “pompaggio” che limita, per ogni numero

di giri, la minima portata ottenibile da un compressore

dinamico in funzionamento stabile

b) Una linea detta di “bloccaggio” o di “choking” che limita per

un determinato numero di n la massima portata ottenibile

senza penalizzare troppo il rendimento.

β snaging β=p2/p1=(rapporto di compressione per stadio)

4000giri/min choking 3600 3240 2650 n 2520 2160 2000 6000 10000 14000 18000 22000 Q[m3/h] MAPPA DI FUNZIONAMENTO DI UN COMPRESSORE CENTRIFUGO Le curve caratteristiche hanno un andamento che dipende dalle

condizioni di ingresso (p e T) del fluido nonché dalla sua natura

(peso molecolare, cp/cv=k).

La mappa deve essere quindi corredata da:

pressione all’aspirazione temperatura all’aspirazione peso molecolare del gas il valore di n il valore del fattore di comprimibilità z

Infatti trascurando i termini cinetico ( ) e gravitazionale

( g[z2-z1]) la prevalenza effettiva , pari al lavoro scambiato tra fluido

e girante è dato da:

2

21

22 CC

1.9 1.7 1.5 1.3 1.1

o, più convenientemente da

che supponendo con buona approssimazione una trasformazione adiabatica, diventa

solo una parte del lavoro fornito ritrova però sotto forma di

incremento di energia potenziale termodinamica del fluido ma una

aliquota viene spesa per vincere le resistenze passive.

PREVALENZA POLITROPICA E RENDIMENTO POLITROPICO

confronta i due lavori spesi per portare il fluido

nelle stesse condizioni finali diversamente da

atis.

La prevalenza politropica (o carico politropico) è l’energia che si ritrova accumulata nel fluido sotto forma di incremento di energia termodinamica potenziale tra i punti 1 e 2 di inizio e fine del processo di compressione reale. Se n è l’esponente medio della politropica costante tra i punti 1 e 2 si ha (per un gas perfetto) pvn=cost e quindi

CARICO POLITROPICO

essendo z1= fattore di comprimibilità alle condizioni iniziali. Il

rendimento politropico è allora:

e

p

p

eff LvdpLH 2

1

2,1

eeff QhhLH 1212

2

1

1212

T

T

eff cpdThhLH

eff

polpol H

H

11

1

1

211

2

1

n

np

p

pol p

pRTz

n

nvdpH

12

1

11 11

hh

RTzn

n

H

Hn

n

eff

polpol

che con semplici passaggi diventa che mostra come il rendimento politropico non dipende dal rapporto di compressione p2/p1 ma solo da n e, cioè, dalla “qualità della trasformazione”, attingendo valori via via più elevati quanto più n si avvicina all’esponente k dell’adiabatica reversibile PREVALENZA ISOENTROPICA E RENDIMENTO ISOENTROPICO Prevalenza isoentropica = energia che si immagazzina nel fluido per effetto di un processo di compressione adiabatico reversibile e quindi isoentropico compiuto tra le stesse pressioni p1 e p2 relative alla trasformazione reale che per pvk=cost è che dipende oltre che della macchina e dalla natura del fluido anche dal rapporto di compressione p2/p1

k

k

n

npol

1

1

12

1

1

211

1

1

211

2

1

11

11

hh

p

pRTz

k

k

H

H

p

pRTz

k

kH

vdpH

k

k

eff

isis

k

k

is

p

p

is

1

1

1

1

2

1

1

2

p

p

p

p

n

n

k

k

scrivendo si ha anche da cui si dimostra che

ηpol (“small stage efficiency”) acquista dunque il significato di limite del rendimento isoentropica per β che tende a 1 e quindi si potrà visualizzare in diagramma l’andamento di ηis al variare di β partendo da punti che per β=1 corrispondono al valore di ηpol

ηis 0.9 ηpol=0.9 n=1.465

0.8 ηpol=0.8 n=1.555

ηpol=0.7 n=1.689 0.7 0.6 1 2 3 4 β 5

k

k

n

npol

1

1

polk

k

n

n

11

ANDAMENTO DEL RENDIMENTO ISOENTROPICO IN FUNZIONE DEL RAPPORTO DI COMPRESSIONE β E DEL VALORE DEL RENDIMENTO POLITROPICO

polis k

k

n

n

1

1lim

1

∆Htot=Hc-Ha pB B 2 M C A h2-ha h2-h1 Pest

A 0 p0 p1 Pest=pressione esterna= pA (di ristagno) p0= pressione ingresso bocca di aspirazione (statica) p1= pressione ingresso girante (statica) p2= pressione uscita girante (statica) pB= pressione uscita diffusore (statica) Hc= entalpia di ristagno Energia del fluido in 2 in B Tra uscita e ingresso girante (2-1) si ha

g

cc B

2

222

g

c

2

22

g

c

2

21g

c

2

20

g

chHc 2

22

2

g

chHB B

B 2

2

g

cchh

g

ch

g

chh

222

21

22

12

21

1

22

2

COMPRESSIONE REALE ADIABATICA REALE

Nel piano p,V l’area 1-2-p2-p1 rappresenta il solo lavoro politropico -La trasformazione reale 1-2 da p1 a p2, essendo irreversibile, non può a rigore essere rappresentata con una linea su un piano termodinamico. Una politropica di indice n costituisce una accettabile approssimazione

lavoro adiabatica reale per una politropica di indice n essendo c il calore specifico lungo la politropica

;

2

1

12 hhLvdpL We

wn

n

LRTn

n

11

1

1

vcn

nkC

1

v

p

cc

ccn

1212 1TTc

n

nkTTcL vw

11

11

11

1n

n

vn

n

e cn

nkRT

n

nL

1

2 p2

p1

ds=0 isoentropica

isoterma

PRINCIPALI APPLICAZIONI DEI COMPRESSORI CENTRIFUGHI ACCIAIERIE Nella produzione dell’acciaio sono richiesti circa 50Nm3 di ossigeno compressi a circa 40 bar per ogni tonnellata di acciaio prodotto. DISTRIBUZIONE GAS NATURALE In taluni casi oltre al trasporto vengono impiegati per la reimmissione del gas in pozzi esauriti (quando la domanda dell’utenza è inferiore alla disponibilità) come in un campo petroliero algerino nel quale si iniettano circa 3-4 milioni di Nm3 al giorno RAFFINERIE IMPIANTO DI SINTESI Le prime applicazioni dei compressori centrifughi si ebbero grazie agli studi di BUCHI e RATEAU (1912-18) effettuati nella sovralimentazione di motori alternativi di aviazione. Gli scarsi valori della velocità periferica u2 non consentivano (al massimo 100-150 m/s) il raggiungimento di elevate prestazioni (al massimo valori di 1,2-1,25 di beta). Lo sviluppo successivo ha consentito il raggiungimento di 4-4.5 come valori di beta con velocità periferiche che raggiungono i 460-500 m/s consentendo una notevole riduzione degli stadi richiesti.

Documents

Libro Fluidodinamica delle macchine - DidatticaWEBdidattica.uniroma2.it/.../Libro_Fluidodinamica_delle_macchine.pdf · Il valore di δm/δv è quindi indeterminato. Un fluido in una