FACULTAD DE INGENIERIA

Departamento de Construcciones

PUENTES Y VIADUCTOS

Vigas Continuas

Cálculo de Líneas de Influencia de Solicitacionesen Vigas Continuas de Tres Tramos

Ing. Víctor Hugo SeminaraIng. Aldo Carlos Zaragoza

Ing. Marcelo CodónAño 2002

Cálculo de líneas de influencia de solicitaciones en vigas continuas de tres tramos por medio del cálculo manual o el empleo de computadoras El objetivo del presente estudio es el de determinar las líneas de influencia de las solicitaciones M y T en cualquier sección de una viga continua de tres tramos de sección constante e igual módulo de elasticidad. La metodología seguida para la consecución de tal fin se ha tratado de desarrollar persiguiendo dos objetivos. El primero de ellos es el de efectuar un desarrollo lo suficientemente extenso para permitir al estudioso seguir el proceso completo que lleva a la determinación de las fórmulas finales e incluso para que pueda extraer conocimientos que le permitan ampliar los resultados acá logrados. El segundo objetivo es el de expresar en forma práctica las fórmulas finales que permitan a quien necesite de su empleo, la determinación en forma rápida de los valores necesarios sin la obligación de haber estudiado el método en profundidad. El desarrollo que veremos en primer lugar persigue el primero de los objetivos. 1. Determinación de la deformada en una viga simplemente apoyada sometida a Momentos Flectores en sus extremos. Encontraremos la deformada en una viga simplemente apoyada de luz l y sometida a un momento flector MI en su apoyo izquierdo y a un momento flector MD en su apoyo derecho.

( )

( )

:obtenemos veces dos Integrando

x l

M - l -x

l

M JE

:elástica línea la de ldiferencia ecuación lay

x l

M x- l

l

M M

:será cualquiera x"" absisa una en momento Ell

M - M R

:a igual es que R reacción la obtenemos 0, M la Planteando

DI''

DIx

IDA

AA

⋅⋅=η⋅⋅

⋅+⋅=

=

=Σ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) M 2 M J E 6

l- ; M M 2

J E 6

l

M M 2 6

l x M

2

x - M - M

l 6

x

J E

1

M M 2 6

l M x - M - M

l 2

x

J E

1

:forma otra en resadasexp

x 6

l

l 6

x-

J E

M x

3

l

2

x -

l 6

x

J E

M

6

l

l 2

x-

J E

M

3

l x -

l 2

x

J E

M

:obtenemos doreemplazan y

6

l M

3

l M C 0 l x para

0 C 0 0 x para

borde de scondicione Aplicando

C x C 6

x

l

M -

2

x M -

6

x

l

M JE

C 2

x

l

M - x M -

2

x

l

M JE

DI'BDI

'A

DII

2

DI

3

DIIDI

2'

3D

23I

2D

2I'

DI1

2

21

3D

2

I

3I

1

2D

I

2I'

⋅+⋅⋅⋅

=η+⋅⋅⋅⋅

=η

+⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅⋅

⋅=η

+⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅

⋅=η

⋅+

⋅⋅

⋅+

⋅+

⋅⋅

⋅=η

+

⋅⋅

⋅+

+

⋅⋅

⋅=η

⋅+

⋅=⇒=η⇒=

=⇒=η⇒=

+⋅+⋅⋅⋅=η⋅⋅

+⋅⋅⋅=η⋅⋅

Habiendo hecho este análisis que luego nos servirá como herramienta de trabajo, trataremos a continuación el tema específico. 2. Cálculo de la línea de influencia del momento flector en un apoyo de una viga continua de tres tramos de sección constante. De acuerdo con la teoría general de las líneas de influencia sabemos que para encontrar la línea de influencia del momento flector en un apoyo de una viga continua debemos efectuar un corte en el apoyo en estudio, aplicarle allí una distorsión rotacional unitaria positiva y encontrar la deformada producida por ella; dicha deformada cambiada de signo, es la línea de influencia buscada.

Otra forma sería, después de efectuado el corte en el apoyo (o lo que es equivalente, colocar una articulación en la viga en coincidencia con ese apoyo), aplicar momentos unitarios en cada cara del corte y encontrar la deformada producida por ese estado de solicitaciones. Como el giro relativo ∆ϕ entre ambas secciones normalmente será distinto de 1 (uno), la deformada encontrada dividida por el ∆ϕ producido y cambiada de signo será la línea de influencia buscada y obviamente coincidirá con la hallada según el primer procedimiento descripto. Por razones de simplicidad seguiremos este último método. Supongamos la siguiente viga continua:

Y nos proponemos encontrar la línea de influencia de MB. De acuerdo a lo descripto hacemos:

y separando

Si analizamos esta segunda viga, en C aparecerá un momento MC cuyo valor lo podemos determinar aplicando la ecuación de los tres momentos.

( ) ( )32

2C32C2 l l 2

l 1 - M 0 l l M 2 l 1

+⋅⋅

=∴=+⋅⋅+⋅

Resumiendo tendremos:

Aplicando lo visto en 1. tendremos para el tramo AB.

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

- :será B apoyo el en El

3

l - x

l 2

x

l l 2

l

J E

1

l l 2

l 2

6

l -

l l 2

l x -

l l 2

l

l 2

x

J E

1

0 M ; l l 2

l 1- M

:tendremos CD tramo el arap y

l l 2

l - 2

6

l x

2

x -

l l 2

l 1

l 6

x

J E

1

l l 4

l - 1

J E 3

l B en giro el y

l l 2

l - 2

6

l x-

l l 2

l 1

l 2

x

J E

1

l l 2

l 1- M ; 1 M

:tendremos BC tramo el Para

l x l

x

J E 6

1

6

l x

l 6

x

J E

1

J E 3

l- B en giro ely

6

l

l 2

x

J E

1

1 M ; 0M

'B

'BB

3

3

2

32

2CD

32

23

32

2

32

2

3

2'CD

D32

2 I

32

222

32

2

2

3

BC

32

22'B

32

22

32

2

2

2'BC

32

2D I

11

31

1

3

AB

1'B

1

1

2'AB

D I

ABBC

AB

AB

ηη=ϕ∆ϕ∆

+

⋅−⋅

+⋅⋅

⋅=η

+⋅⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅⋅

−⋅⋅

=η

=+⋅

⋅=

+⋅

⋅⋅

+

+⋅

+⋅⋅

⋅⋅

=η

+⋅

⋅⋅⋅

=η

+⋅

⋅+

+⋅

+⋅⋅

−⋅⋅

=η

+⋅⋅

==

⋅+−⋅

⋅⋅=

⋅+

⋅−⋅

⋅=η

⋅⋅=η

+

⋅−⋅

⋅=η

==

( )

[ ]

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]4

3

2

1

3

l

l l 4

l - 1

3

l G

:donde

l x2 x3 - l

x

l l 2

l

G6

1 L.I.M

CD tramo el para

l l 2

l - 2 l x x3

l l 2

l 1

l

x

G6

1 L.I.M

BC tramo el para

l x- l

x

G6

1 L.I.M

ABtramo el para que decir podemos iaconsecuenc En

JE3

l

l l 4

l - 1

J E 3

l

1

32

22B

32

3

3

32

2

B

CDB

32

22

2

32

2

2

3

B

BCB

11

3

B

ABB

1

32

22B

⋅

+⋅

⋅=

⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

+⋅

⋅⋅+⋅+

+⋅

+⋅−⋅⋅

=

⋅⋅

⋅=

⋅⋅+

+⋅

⋅⋅⋅

=ϕ∆

con x medido a partir del apoyo izquierdo de cada tramo. Siguiendo el mismo procedimiento encontraremos ahora la línea de influencia de MC. Hacemos:

y separando

en B aparecerá un momento MB que será:

( ) ( )21

2B21B2 l l 2

l 1 - M 0 l l M 2 l 1

+⋅⋅

=∴=+⋅⋅+⋅

por lo tanto podemos hacer:

Para el tramo AB, aplicando lo visto en 1. tendremos:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 2 l l 2

l

J E 6

l- C en giro el y

1 l l 2

l

6

lx

l l 2

l

2

x 1 -

l l 2

l

l 6

x

J E

1

1 - l l

l

6

l

l l 2

lx 1 -

l l 2

l

l 2

x

J E

1

1 M ; l l 2

l 1- M

BC tramo el Para

l x - l

x

l l 2

l

J E6

1

l l 2

l

6

l x -

l l 2

l

l 6

x

J E

1

6

l -

l 2

x

l l 2

l

J E

1

l l 2

l

6

l -

l l 2

l

l 2

x

J E

1

l l 2

l 1- M ; 1 M

21

22'C

21

22

21

22

21

2

2

3

BC

21

22

21

2

21

2

2

2'BC

D21

2 I

11

3

21

2

21

21

21

2

1

3

AB

1

1

2

21

2

21

21

21

2

1

2'AB

21

2D I

BC

+

+⋅⋅

⋅⋅=η

+

+⋅−⋅

⋅+

+⋅⋅+

+⋅

−⋅⋅

⋅⋅

=η

+

−⋅++⋅

⋅+

+⋅

−⋅⋅

⋅⋅

=η

=+⋅

⋅=

⋅⋅

+⋅⋅

⋅⋅=

+⋅⋅

⋅+⋅

⋅⋅

⋅⋅

=η

⋅

⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

+⋅⋅

+⋅⋅

⋅⋅

⋅=η

+⋅⋅

==

( )

( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

[ ]

( ) [ ]8

7

6

5

l l 4

l - 1

3

l

3

l G

:donde

l x2 x3 - l

x

G6

1 L.I.M

CD tramo el para

l l

l - 1 l x

l l 2

l x3

l l 2

l 1

l

x

G6

1- L.I.M

BC tramo el para

l x- l

x

l l 2

l

G6

1 - L.I.M

ABtramo el para que decir podemos iaconsecuenc En

l l 4

l - 1

J E 3

l

JE3

l

- :será C apoyo el en El

J E 3

l C en giro el y

3

lx

2

x -

l 6

x

J E

1

3

l x -

l 2

x

J E

1

0 M ; 1 M

CD tramo el Para

21

223C

32

3

3

C

CDC

21

22

21

22

21

2

2

3

C

BCC

11

3

21

2

C

ABC

21

223C

'C

'CC

3'C

32

3

3

AB

3

3

2'CD

D I

BCCD

BC

+⋅

⋅+=

⋅⋅+⋅⋅

⋅=

+

⋅⋅++⋅

⋅⋅+

+⋅

+⋅−⋅⋅

=

⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

+⋅

⋅⋅⋅

+⋅⋅

=ϕ∆

ηη=ϕ∆ϕ∆

⋅⋅=η

⋅+

⋅⋅

⋅=η

+

⋅⋅

⋅=η

==

3. Cálculo de la línea de influencia del Momento Flector y del Esfuerzo de Corte en una sección cualquiera de una viga continua de tres tramos de sección constante. Para determinar la línea de influencia de estas solicitaciones en una sección cualquiera, podríamos seguir el método de la Teoría General de las líneas de Influencia. Otra forma de obtenerlas es partiendo del conocimiento de las líneas de influencia de los momentos de apoyos, procedimiento que resulta más práctico y que nosotros emplearemos. Debemos distinguir tres casos, según que la sección en estudio se encuentre en el primer, segundo o tercer tramo de la viga. Primer Caso: Sección en el primer tramo. Supongamos querer encontrar la L.I.MS1 y L.I.TS1, en una sección ubicada en el primer tramo de la viga.

Cuando la carga recorre el primer tramo tendremos:

( )

1

B

11

1o

l

M A

l

x - 1

l

x- l 1 A

=∆

=⋅=

( ) [ ]

[ ]10

9

x x para válida ; xl

x - 1 x

l

M M

x x para válida ; x- x 1 - xl

x - 1 x

l

M M

ss1

s1

BABS1

sss1

s1

BABS1

≥⋅

+⋅=

≤⋅⋅

+⋅=

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]14

13

12

11

l

M T

xl

M M

:tendremos tramo tercer ó segundo el recorre carga la Cuando

x x para válida ; l

x - 1

l

M T

x x para válida ; 1 - l

x - 1

l

M T

1

BCD-BCS1

s1

BCD-BCS1

s11

BABS1

s11

BABS1

=

⋅=

>

+=

<

+=

Segundo Caso: Sección en el segundo tramo.

Cuando la carga recorre el segundo tramo tendremos:

( )

2

BC

22

2o

l

M - M A

l

x - 1

l

x- l 1 A

=∆

=⋅=

( ) [ ]

[ ]16

15

x x para válida ; xl

x - 1 x

l

M - M M M

x x para válida ; x- x 1 - xl

x - 1 x

l

M - M M M

ss2

s2

BCB

BCS2

sss2

s2

BCB

BCS2

≤⋅

+⋅+=

≤⋅⋅

+⋅+=

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]20

19

18

17

l

M - M T

M xl

M - M M

:tendremos tramo tercer ó primero el recorre carga la Cuando

x x para válida ; l

x - 1

l

M - M T

x x para válida ; 1 - l

x - 1

l

M - M T

2

BCCD-ABS2

Bs2

BCCD-ABS2

s22

BCBCS2

s22

BCBCS2

=

+⋅=

>

+=

<

+=

Tercer Caso: Sección en el tercer tramo.

Cuando la carga recorre el tercer tramo tendremos:

( )

3

C

33

3o

l

M- A

l

x - 1

l

x- l 1 A

=∆

=⋅=

( ) [ ]

[ ]22

21

x x para válida ; xl

x - 1 x

l

M - M M

x x para válida ; x- x 1 - xl

x - 1 x

l

M - M M

ss3

s3

CC

CDS3

sss3

s3

CC

CDS3

≥⋅

+⋅=

≤⋅⋅

+⋅=

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]26

25

24

23

l

M- T

xl

M - M M

:tendremos tramo segundo ó primero el recorre carga la Cuando

x x para válida ; l

x - 1

l

M- T

x x para válida ; 1 - l

x - 1

l

M- T

3

CBC-ABS3

s3

CC

BC-ABS3

s33

CCDS3

s33

CCDS3

=

⋅=

>

+=

<

+=

4. Adaptación práctica de las fórmulas para el cálculo. Supongamos dividir cada uno de los tramos de la viga continua en “m” partes iguales.

Definimos las sucesivas posiciones de la carga sobre la viga con l m

nx ⋅= i , siendo “li “ la luz

del tramo considerado y “n” variable de 0 (cero) a m. La [1] quedará:

[ ]

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) [ ]2'

2

1'

l l 2

l - 2 -

m

n3

l l 2

l 1

m

n - l

m

n

G 6

1

l l 2

l - 2 l l

m

n - l

m

n3

l l 2

l 1

l

l

m

n -

G 6

1 L.I.M

: La

1 - m

n

m

n

G 6

l l l

m

n -

l

l

m

n

G 6

1 L.I.M

32

2

32

22

222

B

32

222

222

2

32

2

2

32

3

3

B

BCB

2

2

B

21

111

31

3

3

B

ABB

+⋅

⋅+

+⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅

=

=

+⋅

⋅⋅⋅⋅⋅+

+⋅

+⋅

⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅=

[ ]

( )

( ) [ ]3'

3

2 m

n3 -

m

n l

m

n

l l 2

l

G 6

1

l l 3 l m

n3 -

l

l

m

n

l l 2

l

G 6

1 L.I.M

: La

2

223

32

2

B

33232

2

3

33

3

3

32

2

B

CDB

+⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

=

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

[ ]

( ) ( ) [ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ]

[ ]

[ ]7'

7

6'

6

5'

5

2 m

n3 -

m

n l

m

n

G 6

1 - l l

m

n2 l

m

n3 -

l

l

m

n

G 6

1- L.I.M

: La

l l

l - 1

l l 2

l

m

n3

l l 2

l 1

m

n - l

m

n

G 6

1-

l l

l - 1 l l

m

n

l l 2

l l

m

n3

l l 2

l 1

l

l

m

n -

G 6

1- L.I.M

: La

1 - m

n l

m

n

l l 2

l

G 6

1- l l

m

n -

l

l

m

n

l l 2

l

G 6

1- L.I.M

: La

2

223

C33

232

2

3

33

3

3

C

CDC

21

2

21

2

21

22

222

C

21

222

21

2222

2

21

2

2

32

3

3

C

BCC

2

221

21

2

C11

1

31

3

3

21

2

C

ABC

+⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅=

+

++⋅

⋅⋅+

+⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅

=

=

+

⋅⋅⋅++⋅

⋅⋅⋅+

+⋅

+⋅

⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

y operando sobre las [9] a [26] tendremos:

[ ]

[ ]

s

1

ABB

sssABB

1

sABS

s

11

ABB

s1sssABB

1

sABS

x x para válida

m

n - 1

l

L.I.M x

m

n x- x L.I.M

l

x M.I..L

x x para válida

l m

n

m

n -

l

L.I.M x l

m

n x-

m

n x- x L.I.M

l

x M.I..L

1

1

≥

+⋅=⋅+⋅=

≤

⋅+

⋅=⋅+⋅+⋅=

10'

9'

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]14'

13'

12'

11'

l

L.I.M T.I..L

xL.I.M M.I..L

x xpara válida ; m

n - 1

l

L.I.M T.I..L

x xpara válida ; m

n -

l

L.I.M T.I..L

1

CD-BCBCDBC

S

sCD-BC

BCDBC

S

s1

ABBAB

S

s1

ABBAB

S

1

1

1

1

=

⋅=

>+=

<=

−

−

[ ]

[ ]16'

15'

x x para válida ; L.I.M x m

n -1

l

L.I.M - L.I.M

xm

n- x x

l

L.I.M - L.I.M L.I.M M.I..L

x x para válida ; l m

n L.I.M x

m

n -

l

L.I.M - L.I.M

l m

n x- x

m

n- x x

l

L.I.M - L.I.M L.I.M M.I..L

sBCBs

2

BCB

BCC

sss2

BCB

BCCBC

BBCS

s2BCBs

2

BCB

BCC

2ssss2

BCB

BCCBC

BBCS

2

2

≥+⋅

+=

=⋅+⋅+=

≤⋅++⋅

=

=⋅+⋅+⋅+=

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]20'

19'

18'

17'

l

L.I.M - L.I.M T.I..L

L.I.M xl

L.I.M - L.I.M M.I..L

x xpara válida ; m

n - 1

l

L.I.M - L.I.M T.I..L

x xpara válida ; m

n -

l

L.I.M - L.I.M T.I..L

2

CD-ABB

CD-ABCCDAB

S

CD-ABBs

2

CD-ABB

CD-ABCCDAB

S

s2

BCB

BCCBC

S

s2

BCB

BCCBC

S

2

2

2

2

=

+⋅=

>+=

<=

−

−

[ ]21' x x para válida ; l m

n L.I.M x

m

n -

l

L.I.M

xm

n- x x

l

L.I.M - L.I.M M.I..L

s3CDCs

3

CDC

sss3

CDCCD

CCDS3

≤⋅++⋅

=

=⋅+⋅=

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]26'

25'

24'

23'

22'

x x para válida ; l

L.I.M- T.I..L

x x para válida ; l

x - 1L.I.M M.I..L

x x para válida ; m

n-1

l

L.I.M - T.I..L

x x para válida ; m

n-

l

L.I.M - T.I..L

x x para válida ; L.I.M x m

n -1

l

L.I.M

xm

n- x x

l

L.I.M - L.I.M M.I..L

s3

BC-ABCBCAB

S

s3

sBC-ABC

BCABS

s3

CDCCD

S

s3

CDCCD

S

sCDCs

3

CDC

sss3

CDCCD

CCDS

3

3

3

3

3

<=

<

⋅=

>+=

<=

≥+⋅

+−=

=⋅+⋅=

−

−

Hagamos ahora:

( ) ( )

[ ]

[ ]

m

3 L ;

m

A 1- K ;

m

B 1- J ;

m

1 I

mG6

l- H ;

mG6

Bl G ;

mG6

l F

mG6

l E ; l A

mG6

1- D ;

mG6

l C

3

l

2

A - 1

3

l G : de y

3

l

2

B - 1

3

l G :obtenemos de

l l2

l B ;

l l2

l A

222

C

23

B

23

C

22

B

222

1CB

21

32C

12B

32

2

21

2

=+

=+

==

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

=

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

+

⋅=

+

⋅=

+⋅=

+⋅=

8

4

m

A3 P ; 1 -A 2 N ; 2 - B M

⋅=⋅==

Tendremos reemplazando en las [1’] a [7’]

( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) [ ]3"

2"

1"

2 nL - nInG 2 m

n3 -

m

nnG M.I.L

M nL nJ nE B - 2 - m

n3 B 1

m

nnE M.I.L

1 - nInC 1 - m

nnC M.I.L

22

2CDB

22

2BCB

22

2ABB

+⋅⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅=

+⋅+⋅⋅⋅=

⋅++⋅−⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) [ ]7"

6"

5"

2 nL - nInH 2 m

n3 -

m

nnH M.I.L

N - nP nK nF A2 - 1 A m

n3 A 1

m

nnF M.I.L

1 - nInD 1 - m

nnD M.I.L

22

2CDC

22

2BCC

22

2ABC

+⋅⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅=

⋅+⋅⋅⋅=

⋅+⋅⋅++⋅−⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

5. Forma de proceder. Para encontrar la Línea de Influencia del Momento Flector y Esfuerzo de Corte en una sección de una viga continua dada, procederemos de la siguiente forma. Son conocidos l1, l2 y l3 y la absisa xs de la sección que vamos a estudiar. Fijamos un valor de m teniendo en cuenta la cantidad de valores que queremos obtener de la línea de influencia para cada tramo. Determinamos con esos datos los valores de A, B, C, ……., P. Luego con la [1”], [2”], [3”], [5”], [6”] y [7”] haciendo variar n entre 0 (cero) y m obtenemos las líneas de influencia de los momentos de los apoyos y con las [9’] a [26’] completamos el estudio. Como puede apreciarse estas fórmulas pueden ser resueltas directamente a través de programas para computadoras personales (por ejemplo Excel). 6. Ejemplo práctico. Sea la siguiente viga continua.

de la cual nos proponemos encontrar la línea de influencia del momento flector y del esfuerzo de corte en la sección indicada en la fugura. Adoptamos m = 10. Determinamos los valores de A, B, ……., P. A = 0,3214285 B = 0,3214285 C = 0,1991465 D = -0,0640113 E = 0,6452346 F = -0,6452346 G = 0,0640113 H = -0,1991465 I = 0,01 J = -0,0132142 K = -0,0132142 L = 0,3 M = -1,678571 N = -0,357143 P = 0,0964285 Encontraremos primero L.I.MB y L.I.MC, con los valores recién calculados y haciendo variar n de 0 (cero) a 10 en cada tramo y luego hallamos L.I.MS y L.I.TS. Los valores se encuentran en la tabla de la página siguiente y luego se presentan las gráficas de las líneas de influencia buscadas. El usuario podrá verificar estos datos y obtener gráfica y analíticamente las líneas de influencia de Ms y Ts para cualquier sección de una viga continua de hasta diez tramos

mediante la utilización de la planilla de cálculo que se adjunta.

Posición de la carga Fórmula Fórmula Fórmula Fórmula Tramo Sección

n utilizada

MB utilizada

MC utilizada

Ms utilizada

Ts

0 0 [1"] 0,0000 [5"] 0,0000 [19"] 0,0000 [20"] 0,0000 1 1 [1"] -0,1972 [5"] 0,0634 [19"] -0,1190 [20"] 0,0145 2 2 [1"] -0,3824 [5"] 0,1229 [19"] -0,2308 [20"] 0,0285 3 3 [1"] -0,5437 [5"] 0,1748 [19"] -0,3282 [20"] 0,0399 4 4 [1"] -0,6691 [5"] 0,2151 [19"] -0,4038 [20"] 0,0491 5 5 [1"] -0,7468 [5"] 0,2400 [19"] -0,4508 [20"] 0,0548 6 6 [1"] -0,7647 [5"] 0,2458 [19"] -0,4616 [20"] 0,0561 7 7 [1"] -0,7110 [5"] 0,2285 [19"] -0,4292 [20"] 0,0522 8 8 [1"] -0,5735 [5"] 0,1844 [19"] -0,3461 [20"] 0,0421 9 9 [1"] -0,3405 [5"] 0,1095 [19"] -0,2055 [20"] 0,0250

1

10 10 [1"] 0,0000 [5"] 0,0000 [19"] 0,0000 [20"] 0,0000 0 0 [2"] 0,0000 [6"] 0,0000 [15"] 0,0000 [17"] 0,0000 1 1 [2"] -0,8980 [6"] -0,2841 [15"] 0,5462 [17"] -0,0659 2 2 [2"] -1,4601 [6"] -0,6415 [15"] 1,3055 [17"] -0,1545 3 3 [2"] -1,7373 [6"] -1,0211 [15"] ó[16"] 2,2036 [17"] -0,2602 [18"] 0,7398 4 4 [2"] -1,7808 [6"] -1,3716 [16"] 1,5820 [18"] 0,6227 5 5 [2"] -1,6419 [6"] -1,6419 [16"] 1,0581 [18"] 0,5000 6 6 [2"] -1,3716 [6"] -1,7808 [16"] 0,6656 [18"] 0,3373 7 7 [2"] -1,0211 [6"] -1,7373 [16"] 0,3840 [18"] 0,2602 8 8 [2"] -0,6415 [6"] -1,4601 [16"] 0,1929 [18"] 0,1545 9 9 [2"] -0,2841 [6"] -0,8980 [16"] 0,0717 [18"] 0,0659

2

10 10 [2"] 0,0000 [6"] 0,0000 [16"] 0,0000 [18"] 0,0000 0 0 [3"] 0,0000 [7"] 0,0000 [19"] 0,0000 [20"] 0,0000 1 1 [3"] 0,1095 [7"] -0,3405 [19"] -0,0255 [20"] -0,0250 2 2 [3"] 0,1844 [7"] -0,5735 [19"] -0,0430 [20"] -0,0421 3 3 [3"] 0,2285 [7"] -0,7110 [19"] -0,0534 [20"] -0,0522 4 4 [3"] 0,2458 [7"] -0,7647 [19"] -0,0574 [20"] -0,0561 5 5 [3"] 0,2400 [7"] -0,7468 [19"] -0,0560 [20"] -0,0548 6 6 [3"] 0,2151 [7"] -0,6691 [19"] -0,0502 [20"] -0,0491 7 7 [3"] 0,1748 [7"] -0,5437 [19"] -0,0408 [20"] -0,0399 8 8 [3"] 0,1229 [7"] -0,3824 [19"] -0,0287 [20"] -0,0281 9 9 [3"] 0,0634 [7"] -0,1972 [19"] -0,0148 [20"] -0,0145

3

10 10 [3"] 0,0000 [7"] 0,0000 [19"] 0,0000 [20"] 0,0000

x [m]

MB

[tm

]

Línea de influencia de MB para una carga móvil P=1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38-2

-1,75-1,5

-1,25-1

-0,75-0,5

-0,250

0,250,5

x [m]

MC

[tm

]

Línea de influencia de MC para una carga móvil P=1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38-2

-1,75-1,5

-1,25-1

-0,75-0,5

-0,250

0,250,5

x [m]

Ms

[tm

]

Línea de influencia de Ms para una carga móvil P=1Sección "s" ubicada a x=15.4 m del apoyo extremo izquierdo

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

11,11,21,31,41,51,61,71,81,9

22,12,22,3

x [m]

Ts

[tm

]

Línea de influencia de Ts para una carga móvil P=1Sección "s" ubicada a x=15.4 m del apoyo extremo izquierdo

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38-0,32-0,28-0,24

-0,2-0,16-0,12-0,08-0,04

00,040,080,120,16

0,20,240,280,320,36

0,40,440,480,520,56

0,60,640,680,720,76

0,8