L’HISTOIRE DES NOMBRES - cdn. reddot/fsa/documents/Les...  Des petits cailloux aux calculi. Figure

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    La premire preuve de lexistence dun systme de numration nous ramne en 35000 av. J.-C. A cette poque, la numration telle que nous la connaissons nexistait pas encore, celle-ci napparaitra en Europe quau Xe sicle. Nanmoins, un os dcouvert en Afrique sur lequel 29 encoches sont tailles nous prouve bien que les hommes possdaient dj un systme pour compter. Celui-ci va alors voluer, comme le montre un autre os retrouv en Moravie (Rpublique Tchque) succdant le premier de 5000 ans o les 55 encoches ont t regroupes par 5.

    Deux thories se disputent lapparition de la numration.

    La premire, et celle qui compte le plus dadeptes, est quil tait devenu indispensable de pouvoir compter les objets qui nous entouraient. Par exemple, il tait ncessaire pour un berger de chiffrer ses moutons. La deuxime concerne les crmonies religieuses. Lordre des participants tait trs important, et donc lutilisation des nombres ordinaux tait ncessaire pour le bon droulement de ces crmonies.

    LHISTOIRE DES NOMBRES DE LA PREHISTOIRE A AUJOURDHUI

    La naissance de la numration est un vnement lointain, trs

    lointain, tant au niveau temporel que spatial. Nous devrions donc

    remonter le temps de quelques milliers dannes pour pouvoir

    lobserver mais galement acqurir la capacit de nous ddoubler

    car oui, la numration est ne plusieurs endroits diffrents.

    Tout commena avec un os...

    Figure I.1 : Los de Lebombo, dat denviron 35000 ans et marqu de 29 entailles : la plus ancienne trace numrique trouve dans une grotte en Afrique du sud.

  • [5]

    Avec le dveloppement des socits, de la communication, de lartisanat et du commerce, lhomme fut confront de nouveaux besoins. Il ne sagissait plus seulement de reprsenter visuellement les quantits, il fallait galement garder durablement le souvenir des dnombrements : lapparition de lconomie obligea la mmorisation des comptes.

    Cest en Msopotamie, une rgion du Croissant fertile (lIrak actuel et une partie de la Turquie, de la Syrie, du Soudan ) quapparat une forme plus volue de numration.

    Le berger, pour compter les ttes de son troupeau navait pas besoin de connatre les nombres : il se contentait de mettre un caillou dans un sac au passage de chaque bte. Cette mthode rudimentaire, dite juste titre du berger , fut utilise par des paysans illettrs jusqu la fin du XIXe. Le caillou serait donc lorigine du calcul Ce nest pas surprenant quand on connat ltymologie du mot calcul (cailloux se disant calculus en latin).

    Lutilisation dentailles dans un os prsentait nanmoins un avantage par rapport la mthode du berger : nul besoin de transporter quantit de cailloux.

    Cette numration figure base sur la correspondance un un une entaille ou un caillou = 1 bte - porte le nom de numration unaire.

    Lhomme, avec tous ses outils (cailloux, btonnets, doigts, etc.) se mit alors compter et concevoir des ensembles de plus en plus grands. Mais il rencontra vite un problme : comment reprsenter des nombres levs de manire efficace ?

    Il parait vident quon ne peut pas additionner ou multiplier indfiniment des pierres et que, sil fallait inventer un nom pour chaque nombre, notre mmoire serait mise rude preuve. Cest l que lesprit pragmatique de lhomme intervient : il eut lide de regrouper les cailloux et les encoches par paquets. La notion de base fit graduellement son apparition. Et bien que la base 10, que nous employons aujourdhui fut depuis laube de la numration la plus rpandue, certains peuples utilisrent dautres bases pour compter.

    Figure I.2 : Bois de renne entaill datant du Palolithique (15 000 ans av. J.-C.)

    Et quen est-il de lorigine des mathmatiques ?

    Certains pensent que les dbuts des mathmatiques sont apparus en Egypte. En effet, les gyptiens auraient invent la gomtrie pour faciliter la redistribution des parcelles aprs la crue annuelle du Nil. Une autre thorie dit quelles nous viennent des prtres qui les pratiquaient et les dveloppaient de manire totalement dsintresse pour occuper leurs journes peu productives.

  • [6]

    En 8000 av. J.-C., pour laisser une trace de leurs diffrentes transactions, les Sumriens attriburent diffrentes valeurs de petits jetons en argile, appels calculi, dont la valeur dpendait de leur taille

    et de leur forme : le petit cne pour

    lunit, la bille pour la dizaine, le

    grand cne pour la soixantaine,

    le grand cne perfor pour dix soixantaines

    Ces jetons dargiles que lon pourrait apparenter nos actuelles pices de monnaie, taient glisss dans une

    sphre creuse en argile marque par des sceaux qui en garantissaient lorigine et lintgralit. Ainsi, par exemple, si la bulle de terre contenait le dnombrement dun troupeau confi un berger, lorsque celui-ci le ramenait, il leur suffisait de briser la bulle-enveloppe pour vrifier quaucune bte ne manquait.

    Des petits cailloux aux calculi.

    Figure I.4 : Calculi de Msopotamie

    Figure I.3 : Carte du proche Orient, le Croissant fertile (noms actuels en italique)

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    Le fait de briser lenveloppe prsentait nanmoins un inconvnient: ce systme tait incapable de garder traces doprations effectues sur ces quantits. Petit petit, lhomme commena noter le contenu de la bulle dargile sur le dessus de celle-ci, afin de raliser des contrles intermdiaires sans avoir la casser : les petits calculi devinrent inutiles et les bulles-enveloppes se transformrent en tablettes. Ainsi, cest une invention majeure qui permit une nouvelle avance dans lhistoire de la numration :

    lapparition de lcriture. Aprs tout, lcriture ne fut-elle pas invente pour satisfaire des besoins comptables ? Sur ces tablettes comptables, lcriture des chiffres tait encore trs rudimentaire : laide dun calame, tige de roseau biseaute, on marquait une empreinte dans largile en forme de coin (du latin cuneus, do lappellation criture cuniforme), dont la profondeur et lorientation dterminaient la valeur reprsente. Petit petit, cette criture cuniforme volua pour donner naissance au systme de numration babylonien que nous dcrivons en page 29.

    De la numration prhistorique la numration arabe, il ny a pas quun pas !

    Des milliers dannes sparent les os prhistoriques de nos nombres arabes. Et durant tout ce temps, le monde a vu naitre et voluer de nombreux systmes de numration, visant toujours lefficacit et donc la simplicit. Ces systmes peuvent tre classs en trois groupes : les systmes additifs, hybrides et positionnels que nous vous prsentons ci-aprs.

    Des calculi aux premiers chiffres

    Figure I.5 : Tablette de comptes criture pictographique

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    I. LE SYSTME DE NUMERATION ADDITIONNEL

    Le systme de numration additionnel est le tout premier type de systme utilis. Il fonctionnait selon une addition dun mme symbole reprsentant une unit, une dizaine, une centaine, etc. Pour illustrer cette faon additive de dnombrer dans ce dossier, nous allons traiter les systmes historiques gyptien, grec, romain, tchouvache et armnien. Nous prsenterons galement le systme navi, qui na jamais vu le jour sur cette terre puisquil est sorti de limagination du ralisateur James Cameron.

    Figure I.6 : Carte du monde

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    LE SYSTME DE NUMERATION ADDITIONNEL

    Le systme de numration gyptien

    Dans lEgypte ancienne, la notation des chiffres tait base, comme lcriture, sur les hiroglyphes. Les hiroglyphes reprsentaient en gnral des objets, comme des plantes, des animaux ou des dieux. Les Egyptiens utilisaient un systme de numration additif de base 10. Celui-ci est apparu en 3000 avant Jsus Christ. Chaque puissance successive de 10 tait reprsente par un signe particulier (cfr. tableau 1).

    Ce systme ne possdait pas de symbole pour reprsenter le zro car celui-ci ntait pas utile. Les symboles pouvaient tre rpts jusqu 9 fois, puisque les Egyptiens travaillaient en base 10, et taient regroups par grandeur.

    Figure I.7 : Carte de l'Egypte antique, le delta du Nil, De La Porte 1786

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    LE SYSTME DE NUMERATION ADDITIONNEL

    Tableau 1 : Conversion des hiroglyphes

    Valeur Signe hiroglyphique

    1 # Le bton

    10 $ Lanse de panier

    100 % Le rouleau de

    papyrus

    1000 4 La fleur de lotus

    10 000 5 Le doigt lev vers

    le ciel

    100 000 7

    Le ttard, sans doute du fait du nombre lev de

    ceux-ci au bord du Nil

    1000 000 ) Dieu agenouill

    soutenant le monde entier

    On remarque que les Egyptiens crivaient de droite gauche. Voici un nombre beaucoup plus grand :

    ####################

    ################ $$$$$$$$

    %%%%%%%%%%%%

    %%%%%%%%

    444444444444

    444444444444 5555555555555555

    77777777

    7777

    Les chiffres ci-dessus doivent tre lus la fois verticalement et horizontalement.

    Nous obtenons donc le nombre 346 529.

    Le systme tait additionnel : on rptait chaque signe autant de fois que ncessaire. Pour reprsenter les nombres, on crivait le symbole dsignant 1 autant de fois que le nombre comportait dunits et le symbole mis pour 10 autant de fois que le nombre comportait de dizaines, etc. Par exemple, voici la

    reprsentation du nombre 2014 :

    #### $ 44#### $ 44#### $ 44#### $ 44 Lavantage de cette notation est la facilit de lecture. Mais linconvnient majeur apparat lorsquil sagit de reprsenter des nombres ncessitant une rptition leve des symboles comme 999 par exemple. Il faut 27 symboles dans le systme gyptien alors quil nen faut que 3 dans notre systme de numration de position dcimal.

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    LE SYSTME DE NUMERATION ADDITIONNEL

    Les gyptiens connaissaient et utilisaient galement des symboles pour reprsenter les fractions.