l e z i o n i d i g i ta l i5 8

a r i t m e t i c a 2 - u n i tà 4

Funzioni e ProPorzionalità

• Saper usare PC e videoproiettore, eventualmente LIM e programmi di didattica interat-tiva (SMART Notebook, Mimio Studio, ActivInspire, Workspace, ecc.)• Saper usare programmi di geometria dinamica (GeoGebra, Cabri, Déclic, Dr. Geo, ecc.)• Saper usare programmi di videoscrittura e foglio di calcolo (Word, Writer, Excel, Calc..)• Saper usare Internet• Saper usare l’applicazione MEbook

comPetenze digitali del docente

Vedi UNESCO ICT Competency Framework for Teachers

In aula: circa 10 oretemPi

Aula con lavagna LIM o PC con videoproiettoreAula multimedialePer alcune attività è necessaria la connessione Internet

luoghi

Videotutorial

Tassi di interesse pag. 209

Apprendiscienza

Che cos’è una funzione?

Il grafico di una funzione

Correzione

Soluzioni delle Prime competenze pag.150

Tutor

Esercizio n° 418 pag. 122

Verifiche

Prova di verifica A-B in formato Word modificabile a seconda delle esigenze della classe pag. 206

contenuti digitali

Audio

Text to Speech (per l’intero MEbook)Percorsi Facilitati 2 pag. 48,50,52,54

Tutor

Esercizio n° 394 pag. 121

Mappa concettuale

Percorsi facilitati 2 pagg. 116-117

Esercizi guida

Esercizio n° 435 pag. 123

Esercizio n° 442 pag. 124

Esercizio n° 485 pag. 126

Strumenti incluSivi

l e z i o n i d i g i ta l i 5 9

• Usare il libro di testo digitale, con i suoi contenuti, video, audio, esercizi e strumenti

integrativi

• Usare software di geometria dinamica

comPetenze digitali dello Studente

Vedi European e-Competence Framework 3.0

• Le relazioni tra grandezze

• Grandezze costanti e grandezze variabili

• Le funzioni empiriche e le funzioni matematiche

• Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

• Rappresentazione grafica della proporzionalità

conoScenze

• Saper riconoscere grandezze costanti e grandezze variabili

• Saper riconoscere una funzione e saperne disegnare il grafico

• In una funzione di proporzionalità diretta o inversa, saper ricavare i valori della va-

riabile dipendente noti i valori della variabile indipendente e il valore della costante di

proporzionalità

abilità

• Produrre argomentazioni che consentono di passare da un problema specifico a una

classe di problemi

• Interpretare la realtà confrontando grandezze, dati e procedimenti di soluzione

• Individuare le criticità selezionando gli algoritmi più strategici allo scopo di pervenire

ai possibili risultati; verificare l’intero percorso

comPetenzediSciPlinari Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine del primo ciclo

• Comunicazione in italiano

• Comunicazione nelle lingue straniere

• Competenze nella matematica, nelle scienze e nella tecnologia

• Competenza digitale

• Imparare a imparare

• Competenze sociali e civiche

• Senso di iniziativa

• Consapevolezza ed espressione culturale

comPetenzechiaveRaccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio (2006/962/CE)

Quesiti

Percorsi Facilitati 2 es. 1,2,3 pag. 49

Percorsi Facilitati 2 es. 2 pag. 51

Percorsi Facilitati 2 es. 2,3 pag. 53

Percorsi Facilitati 2 es. 2,3 pag. 55

Percorsi di recupero

Esercizi n°1, 2, 3, 4, 5 e 6 pagg. 204-205

Verifiche

Prova di verifica C in formato Word modificabile a seconda delle esigenze pag. 206

l e z i o n i d i g i ta l i6 0 Funzioni e ProPorzionalità

l e z i o n e 1

introduzione al concetto di Funzione e Prime comPetenze

3 h 30’ in claSSe

lezione ParteciPata e lavoro di gruPPo in claSSe

Introdurre il concetto di funzione proponendo alla classe lo svolgimento della lezione multi-mediale interattiva Che cos’è una funzione? pre-sente nel Campus matematica e Scienze di Ap-

prendiscienza (FIG. 1). Questa attività com-prende più schede con brevi filmati, immagini ed esercizi interattivi legati al contesto reale.

Aprire la scheda 2 e chiamare alla lavagna interattiva un alun-no alla volta per completare i campi, trascinando le misure del peso negli spazi corretti (in alternativa non disponendo di LIM saranno gli studenti a guidare il docente alle corrette attribu-zioni). Se lo si reputa necessario è possibile avviare i file audio (FIG. 2).

Proseguire con la scheda 3, avviare l’animazione che illustra il diagramma di mappatura e il file audio che enuncia la defini-zione di funzione: risolvere i quesiti presenti nella scheda.

Procedere con le stesse modalità affrontando le schede successive che illustrano diversi esempi di funzioni. Quan-do necessario, avviare le animazioni prima di procedere con l’esecuzione dei quesiti. La scheda 11 può anche essere saltata: è dedicata al gioco Memory riadattato al tema funzioni.

L’attività può anche essere predisposta per uno svolgimento individuale in aula multimediale: comunicare ai ra-gazzi l’indirizzo URL della risorsa; far inserire l’indirizzo nella barra del Browser e avviare la ricerca. Se si dispone di alcuni tablet è possibile rendere più coinvolgente l’attività proponendo di lavorare a gruppi.

Alla conclusione dell’attività guidare gli studenti a riformulare il concetto di funzione con domande del tipo: “Dopo l’attività svolta, riuscite a formulare il concetto di funzione? Che cos’è una funzione?”. Portare gli studenti a realizzare come il concetto di funzione sia più vicino a loro di quanto possano pensare, con altre domande: “Quali funzioni abbiamo incontrato durante l’attività? “Quando incontriamo le funzioni?” e ancora “Il concetto di funzio-ne è così lontano dalla vita di tutti i giorni?”. Video proiettare pag. 148 della versione multimediale del libro di testo. Leggere insieme agli studenti il paragrafo 1 Le funzioni. Leggere la tabella e formulare le domande: “Come possiamo associare i dati presenti nella colon-

FIG. 1 Accedere alla propria Home Page di LibropiuWeb;

cliccare sulla voce Risorse, poi sulla voce Campus di

Matematica e Scienze e quindi su Apprendiscienza.

Infne aprire l’attività Che cos’è una funzione?

FIG. 2 Per avviare i fle audio cliccare

sull’icona indicata.

l e z i o n i d i g i ta l i 6 1

na dello Spazio con i dati presenti nella colonna del Tempo? Come possiamo descrivere questo tipo di relazione?”.

Continuare la lettura del testo insieme agli studenti e soffermarsi sulla definizione di funzione “A parole” e “In simboli”. Chiedere agli studenti di interpreta-re tutti i simboli presenti nella scrittura “In simboli” e di scriverne il significato sul libro. Se lo si reputa utile può essere inserita una nota a riguardo e, se è stata creata una classe virtuale in LibropiuWeb ed è stata associata al libro di testo, può essere condivisa con gli studenti attraverso lo strumento “Social Le-arning” del MEbook (FIG. 3).

Video proiettare la lezione multimediale Che cos’è una funzione? di Apprendiscienza: ripercorrere i diversi esem-pi di funzioni presenti nelle varie schede e chiedere di volta in volta agli studenti di individuare la variabile dipen-dente e la variabile indipendente.

Continuare la lettura del testo e in partico-lare la definizione di funzioni empiriche e funzioni matematiche. Facendo sempre ri-ferimento agli esempi presenti nelle schede dell’attività di Apprendiscienza, chiedere ai ragazzi di individuare le funzioni empi-riche e quelle matematiche.

Proporre alla classe l’attività Il grafico di una

funzione presente in Apprendiscienza. Aprire la scheda n°2 e avviare l’animazione che illustra il procedimento per costruire il grafico cartesiano di una funzione: fermare l’animazione quando viene visualizzata la tabella compilata fino al costo di 6 quader-ni (FIG. 4) e formulare le domande: “Riu-scireste a calcolare anche il costo di due e

cinque quaderni? Che formula avete utilizza-to? Qual è la variabile dipendente e con quale lettera possiamo indicarla? E quella indipendente?”. Ed ancora: “Siamo in presenza di una funzione empirica o matematica? Perché?”. Riavviare l’animazione e mettere in pausa quando vengono visualizzati i punti nel piano cartesiano. For-mulare la domanda: “Secondo voi unendo i punti cosa ottengo?”. Chiamare alla lavagna interattiva un alunno alla volta per completare i campi dei quesiti 2 e 3. Affrontare la scheda 3 con le stesse modalità.

Scaricare la risorsa Soluzioni delle Prime competen-

ze cliccando sull’apposita icona a pag. 150 e creare un file dedicato: importare le soluzioni dalla risorsa Soluzioni delle Prime competenze in un file di vide-oscrittura, utilizzando lo strumento macchina foto-grafica del programma Adobe Reader (FIG. 5) oppu-re del software di didattica multimediale della LIM (in quest’ultimo caso è possibile utilizzare lo stru-mento “tendina” per nascondere le soluzioni fino al momento desiderato).

FIG. 4 Lezione multimediale Il grafco di una funzione tratta

Apprendiscienza.

FIG. 5 Utilizzare lo strumento “istantanea rapida” per copiare

le soluzioni e creare un fle dedicato (per es. in Word).

FIG. 3 Con lo strumento “Social Learning” del MEbook è

possibile condividere una nota con gli studenti.

l e z i o n i d i g i ta l i6 2 Funzioni e ProPorzionalità

Suddividere la classe in gruppi e chiedere agli studenti di risolvere l’esercizio n°2 pag. 150. Stimolare gli alunni a

collaborare tra loro per raggiungere l’obiettivo. Procedere per passi: quando è stata completata la prima parte del

quesito si apre una discussione, interpellando i gruppi uno alla volta. Si video proiettano solo le soluzioni della

prima parte dell’esercizio; si passa quindi alla seconda parte e così via fino al grafico della funzione. Dovrebbe

emergere che è necessario considerare due diverse unità di misura per l’asse x e per l’asse y.

Chiedere ai ragazzi di risolvere gli esercizi 3 e 4 a pag. 150-151: discutere le risposte e infine video proiettare le

soluzioni. Chiedere ai ragazzi di risolvere il quesito 6 a pag. 151: dopo aver discusso le risposte dei gruppi si video

proietta la soluzione corretta. Guidare gli studenti al concetto di funzione costante con domande del tipo: “Quali

valori assume la variabile dipendente al variare di x? Come potremmo chiamare questo tipo di funzione?” e ancora

“Dal grafico cosa si ottiene?”.

Per motivare gli alunni è possibile attribuire un punteggio a ogni risposta esatta.

Strumenti incluSivi Il lavoro di gruppo è uno strumento di didattica inclusiva Se necessario, gli studenti con Bisogni Educativi Speciali e con Disturbi Sociali dell’Apprendimento possono

ascoltare i file audio Ascolta l’audio della lezione a pagg. 48 e 50 del tomo Percorsi facilitati 2. Questa risorsa

può essere utilizzata anche per finalità riferite all’intera classe. Chiedere di svolgere gli esercizi 1, 2 e 3 a pag.

49 e l’esercizio 2 a pag. 51.

Se necessario far eseguire gli esercizi 1 e 2 a pag. 204 della scheda Percorsi di recupero.

l e z i o n e 2

grandezze direttamente ProPorzionali 2 h 30’ in claSSe

lavoro di gruPPo in claSSe

Suddividere la classe in gruppi e video proiettare la scheda 2 della lezione multimediale Il grafico di una funzione

di Apprendiscienza: chiedere agli studenti di predisporre una tabella a due colonne, dove compaiano il numero

di quaderni e il costo complessivo; completare la tabella per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 quaderni.

Guidare gli studenti al concetto di proporzionalità diretta tra le due grandezze con domande del tipo: “Osservan-

do i dati in tabella, cosa accade al costo se raddoppio il numero di quaderni acquistati? E se triplico, quadruplico

il numero di quaderni, come varia il costo totale?”. E ancora: “E se i quaderni acquistati vengono dimezzati, per

esempio da 6 a 3, come varia il relativo costo totale? E se il numero di quaderni viene ridotto a un terzo, passando

da 6 a 2, come varia il costo totale?”.

Chiedere agli studenti di tacciare il relativo grafico cartesiano della funzione. Portare gli studenti a riflettere su

quale sia la variabile dipendente e quella indipendente, per rispondere autonomamente a domande quali: “Dob-

biamo riportare i dati relativi al numero di quaderni sull’asse x oppure sull’asse y?”.

Una volta tracciato il grafico porre la domanda: “Unendo i punti riportati sul piano cartesiano cosa otteniamo?”.

Portare gli studenti a comprendere che unendo i punti si ottiene una semiretta con origine nell’origine degli assi

cartesiani: “Se non viene acquistato alcun quaderno qual è il costo? Possiamo quindi aggiungere al grafico anche

questo punto? E se acquistassi 100 quaderni quale sarebbe il costo? Potrei ancora continuare? Quanto? Quanti

l e z i o n i d i g i ta l i 6 3

punti otterrei? Come posso indicare questa situazione nel grafico cartesiano?”.

A questo punto chiedere agli studenti di lavorare ancora con i dati della tabella, facendo aggiungere una terza colonna dal titolo y/x e di calcolare i relativi rapporti (FIG. 6). Formulare le domande: “I valori ottenuti variano? Potreste spiegare per-ché?”. Portare gli studenti ad identificare il rapporto con il costo unitario (costante di proporzionalità diretta): “Cosa si ottie-ne dividendo le due variabili (costo totale e n° di quaderni)?”. Chiedere di formulare la legge che lega il numero di quaderni (x) ed il costo totale (y).

Guidare i ragazzi a osservare come varia la pendenza della semiretta al variare della costante di proporzionalità k: chiedere di compilare una nuova tabella considerando un prezzo unitario di € 1 e di disegnare la funzione, nello stesso riferimento cartesiano della precedente, utilizzando un colore diverso: “Cosa si ottiene se si uniscono i pun-ti della nuova funzione? Quale differenza notiamo tra i due grafici? A cosa è dovuta questa differenza?”.

Si conclude l’attività affrontando le schede 4, 5, 6, 7, 8 e 9, chiamando alla lavagna un alunno alla volta per com-pletare gli esercizi interattivi.

Avviare il contenuto multimediale in forma di video Tassi di interesse, rela-tivo al quesito 23 della scheda Educa-

zione finanziaria, cliccando sull’appo-sita icona a pag. 209 (FIG. 7). In assen-za di collegamento internet in classe, scaricare e salvare precedentemente il file Tassi di interesse dal portale Libro-

piuweb e quindi riprodurlo durante la lezione.

Porre agli studenti la domanda: “Secondo voi la funzione che lega il tempo trascorso e la somma di denaro in banca è di proporzionalità diretta?” Si apre una discussione (brainstorming) senza rivelare la risposta corretta né

correggere le eventuali risposte errate. Se necessario si visualizza una seconda volta il file video. Chiedere ai ragazzi di confermare le risposte date, dopo aver trac-ciato sul quaderno una tabella con i dati relativi a dieci anni di deposito, senza versamenti né prelievi da parte di Elisa.

Chiedere di disegnare il grafico cartesiano della funzione (FIG. 8). Ogni gruppo esporrà i propri risultati discutendone con la classe. Dovrebbe emergere che le due grandezze non sono direttamente proporzionali e le motivazioni riportate dai gruppi potranno esse-re diverse: al raddoppiare triplicare dell’una, l’altra non raddoppia, triplica ecc; non è sufficiente che all’aumentare di una grandezza anche l’altra aumenti perché siano legate da proporzionalità diret-ta; il grafico cartesiano è una semiretta ma la sua origine non coin-

FIG. 6 Portare gli studenti a osservare che il rapporto y/x è

costante e pari alla costante di proporzionalità diretta.

FIG. 7 Nel MEbook cliccare sull’apposita icona per avviare il fle video.

FIG. 8 Per verifcare la correttezza delle risposte

è possibile costruire con il foglio di

calcolo (Excel, Calc, ecc.) il grafco

cartesiano relativo alla funzione.

l e z i o n i d i g i ta l i6 4 Funzioni e ProPorzionalità

cide con l’origine degli assi cartesiani; non è sufficiente che il grafico sia una semiretta perché la funzione sia di proporzionalità diretta, in questo caso si parlerà di funzione lineare generica. Guidare eventualmente gli studenti al confronto delle “equazioni” della funzione oggetto di studio e quella di una generica relazione di proporzionalità diretta: y=q+k∙x e y=k∙x.

Strumenti incluSivi Il lavoro di gruppo è uno strumento di didattica inclusiva.Se necessario, gli studenti con Bisogni Educativi Speciali e con Disturbi Specifici dell’Apprendimento pos-sono ascoltare i file audio Ascolta l’audio della lezione a pagg. 52 e 53 del tomo Percorsi facilitati 2. Questa risorsa può essere utilizzata anche per finalità riferite all’intera classe.

l e z i o n e 3

grandezze inverSamente ProPorzionali 2 h in claSSe

lezione ParteciPata e lavoro di gruPPo in claSSe

Aprire il libro di testo in formato digitale a pagg. 152-153 e con lo strumento “evi-denziatore” alla massima intensità di colo-re, come fosse una tendina, coprire il testo di pag. 153; lasciare visibile solo la tabella dove sono riportati i dati relativi al numero di persone che partecipano alla gita e alla quota individuale, come indicato in FIG. 9 (da effettuarsi in precedenza a cura del docente, ricordando di operare la sincro-nizzazione se l’operazione viene effettuata su PC diverso da quello destinato alla vide-oproiezione in classe).

Video proiettare pag. 152 della versione digitale del libro di testo e leggere insieme agli studenti il paragrafo Grandezze inversamente proporzionali fino alla tabella di pag. 153.

Portare gli studenti a formulare alcune considerazioni sulla funzione che mette in relazione il numero di parteci-panti alla gita e la quota individuale: “Secondo voi le due grandezze sono direttamente proporzionali? Perché? Se raddoppia il numero dei partecipanti cosa accade alla quota individuale? E se i partecipanti triplicano, come varia la quota? Se i partecipanti da quattro passano a due, come varia la quota individuale?”.

Chiedere agli studenti di riportare sul quaderno la tabella aggiungendo due righe vuote e intitolandole con y/x e x∙y. Far calcolare il rapporto tra y e x e riportare i risultati nelle celle corrispondenti. Porre la domanda: “I rapporti ottenuti sono costanti o variano?”.

Far calcolare anche il prodotto delle due variabili e riportare i risultati nelle celle corrispondenti. Formulare la domanda: “Il prodotto delle due grandezze varia o rimane costante? Potreste spiegare perché?” Portare gli studenti

FIG. 9 Usare lo strumento del MEbook “evidenziatore”, aumentando

l’intensità del colore, per nascondere parti del testo.

l e z i o n i d i g i ta l i 6 5

a identificare il prodotto con la spesa to-tale della gita (costante di proporzionalità inversa): “Cosa si ottiene moltiplicando le due variabili (n° partecipanti e quota indi-viduale)?” Chiedere di formulare la legge che lega il numero di partecipanti (x) e la quota individuale (y).

Formulare la domanda: “Disegnando la funzione vi aspettereste di ottenere una semiretta uscente dall’origine degli assi? Perché?”. Togliere la tendina che copre il grafico (FIG. 10) e stimolarne l’osservazio-ne con domande del tipo: “Come potrem-mo chiamare il grafico ottenuto? Perché alle estremità la curva risulta tratteggiata?”

Guidare i ragazzi a osservare che il ramo di iperbole equilatera si avvicina progressivamente agli assi cartesiani: “Ipotizzando 30 partecipanti alla gita, quale sarebbe la quota di partecipazione? E se fossero 50?”. Far notare come la curva non passi per l’origine: “In questo caso il grafico ottenuto passa per l’origine degli assi? Potreste spiegare il perché?” Far ragionare gli studenti sul fatto che per essere x∙y=90 deve essere x,y≠0 (richiamare la legge di an-nullamento del prodotto).Scoprire le parti di testo precedentemente nascoste e leggere insieme agli studenti

Scaricare la risorsa Soluzioni delle prime competenze cliccando sull’apposita icona a pag. 154; creare un file dedica-to utilizzando lo strumento “macchina fotografica” del programma Adobe Reader oppure del software di didattica multimediale della LIM.

Suddividere la classe in gruppi e chiedere agli studenti di risolvere l’esercizio 2 a pag. 154. Procedere per passi: quando tutti i gruppi sono giunti a completare la prima parte del quesito, si apre una discussione chiedendo le strategie impiegate. Si video proiettano solo le soluzioni della prima parte dell’esercizio; si passa quindi alla seconda parte e si formu-la la domanda: “Nel primo caso quanti punti sarebbero sufficienti per disegnare il grafico della funzione? E nel secondo caso?” È sempre necessario disegnare il grafico di una funzione per comprendere se le grandezze siano legate da proporzionalità diretta oppure inversa? Perché?”. Chiedere ai ragazzi di risolvere gli esercizi 4 e 5 a pag. 155: discutere le soluzioni e infine video proiettarle.

Strumenti incluSivi

Il lavoro di gruppo è uno strumento di didattica inclusiva.Se necessario, gli studenti con Bisogni Educativi Speciali e con Disturbi Specifici dell’Apprendimento pos-sono ascoltare i file audio Ascolta l’audio della lezione a pagg. 54 e 55 del tomo Percorsi facilitati 2. Questa risorsa può essere utilizzata anche per finalità riferite all’intera classe. Chiedere di svolgere gli esercizi 2 e 3 a pag. 53 e gli esercizi 2 e 3 a pag. 55. Se necessario far eseguire gli esercizi 3 e 4 a pag. 204 e gli esercizi 5 e 6 a pag. 205 della scheda Percorsi di

recupero. Inoltre, sono molto utili le mappe concettuali di pagg. 116-117 del tomo Percorsi facilitati 2 per guidare al riconoscimento di grandezze direttamente o inversamente proporzionali.

FIG. 10 Togliere la tendina che nasconde il grafco cartesiano della

funzione con lo strumento “evidenziatore” del MEbook.

l e z i o n i d i g i ta l i6 6 Funzioni e ProPorzionalità

l e z i o n e 4

le Funzioni con geogebralezione ParteciPata 1 h laboratorio multimediale

Chiedere agli studenti di aprire GeoGebra; con la video proiezione aiutare gli studenti a eseguire le semplici operazioni indicate dal testo a pag. 203 nella scheda Competenze digitali, per la creazione di un modello di-namico di proporzionalità diretta (FIG. 11). Chiedere quindi agli studenti di eseguire gli esercizi 4 e 5 a pag. 203.

l e z i o n e 5

veriFica Sommativa 1 h in claSSe

Somministrare i quesiti dal n°1 al n°8 della verifica intermedia Funzioni e proporzionalità presente nella guida per l’insegnante; oppure modificare opportunamente il file scaricabile cliccando l’icona a pag. 206 (prova A-B).

Strumenti incluSivi Se necessario, gli studenti con Bisogni Educativi Speciali e con Disturbi Sociali dell’Apprendimento pos-sono effettuare la prova di verifica a loro dedicata: il file è scaricabile cliccando l’opportuna icona a pag. 206 (prova C) e può essere opportunamente riorganizzato.In entrambi i casi il file editabile della prova.

In alternativa alla prova di verifica intermedia è possibile somministrare agli studenti, anche in aula mul-timediale, il test interattivo: sarà sufficiente comunicare ai ragazzi l’opportuno l’indirizzo URL da inserire nella barra URL del Browser ed avviare la ricerca. È altresì possibile proporre lo svolgimento dell’attività a casa (autovalutazione). In alternativa alla prova di verifica intermedia è possibile somministrare agli studenti la prova sommativa Secondo periodo.Infine, il docente dispone dello strumento “Test generator” per creare ex novo prove di verifica personaliz-zate (FIG. 12).

FIG.11 Utilizzando gli sliders (indicati dalla freccia) è possibile

costruire un modello dinamico di proporzionalità diretta

con il software di geometria dinamica GeoGebra.

l e z i o n i d i g i ta l i 6 7

FIG. 12 Accedere alla propria

Home Page di

LibropiuWeb; cliccare

sulla voce Risorse

e quindi sulla voce

del libro Ubi Math

Matematica per il tuo

futuro - Aritmetica 1 +

Geometria 1 e infne

su Test Generator.