lezione 1: Polinomi

Polinomi

Corso di accompagnamento in matematica

Lezione 1

Sommario

1 Insiemi numerici

2 Definizione di polinomio

3 Operazioni tra polinomi

4 Fattorizzazione

Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 2 / 14

Insiemi numerici

R, N, Z, QLavoreremo generalmente con i numeri reali , il cui insieme vieneindicato con R.

Nell’insieme dei numeri reali ci sono importanti sottoinsiemi:

i numeri naturali , indicati N = {1,2,3, ...};

i numeri interi relativi , indicati conZ = {. . .,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . };

i numeri razionali , indicati con Q:un razionale può essere scritto come quoziente m/n tra due interirelativi, con n 6= 0.


Cos’è un polinomio

DefinizioneUn polinomio nella variabile x a coefficienti reali èun’espressione algebrica della forma

An (x) = a0 + a1x + ...+ anxn,

dove a0,a1, ...,an sono numeri reali (detti coefficienti delpolinomio) e an 6= 0.

I singoli addendi si dicono monomi .

Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi non nullipresenti

ProprietàDue polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hannoordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado.


Somma

Somma di polinomiIl polinomio somma di due polinomi si ottiene sommandoordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei duepolinomi

An (x) + Bm (x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (am + bm)xm

Esempio

(x2 + 2x − 5) + (x3 − x + 2) =

(0x3 + x2 + 2x − 5) + (x3 + 0x2 − x + 2) =

(0 + 1)x3 + (1 + 0)x2 + (2− 1)x + (−5 + 2) =

x3 + x2 + x − 3


Somma

Somma di polinomiIl polinomio somma di due polinomi si ottiene sommandoordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei duepolinomi

An (x) + Bm (x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (am + bm)xm

Esempio

(x2 + 2x − 5) + (x3 − x + 2) =

(0x3 + x2 + 2x − 5) + (x3 + 0x2 − x + 2) =

(0 + 1)x3 + (1 + 0)x2 + (2− 1)x + (−5 + 2) =

x3 + x2 + x − 3


Prodotto

Prodotto di polinomiIl polinomio prodotto è della forma

An (x) ∗ Bm (x) = Cn+m (x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxn+m,

dove i coefficienti sono dati da:

c0 = a0b0, c1 = a1b0 + a0b1,ck = a0bk + a1bk−1 + a2bk−2 + ....ak−1b1 + akb0.

Esempio

(x − 1)(x2 + x + 1) =

x2(x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =

x3 − x2 + x2 − x + x − 1 =

x3 − 1Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 6 / 14

Prodotto

Prodotto di polinomiIl polinomio prodotto è della forma

An (x) ∗ Bm (x) = Cn+m (x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxn+m,

dove i coefficienti sono dati da:

c0 = a0b0, c1 = a1b0 + a0b1,ck = a0bk + a1bk−1 + a2bk−2 + ....ak−1b1 + akb0.

Esempio

(x − 1)(x2 + x + 1) =

x2(x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =

x3 − x2 + x2 − x + x − 1 =

x3 − 1Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 6 / 14

Divisione (I)

Divisione tra polinomiDati due polinomi An (x) ,Bm (x), di grado n e m rispettivamente, con n ≥ m,esistono due polinomi Q (x) e R (x) detti quoziente e resto tali che:

il grado di R (x) è minore di m;

vale la relazione An (x) = Bm (x)Q (x) + R (x) .

DefinizioneSe R (x) = 0, allora si dice che An (x) è divisibile per Bm (x).

OsservazioneIl rapporto tra An (x) e Bm (x) può sempre essere scritto come

An (x)Bm (x)

= Q (x) +R (x)Bm (x)

dove deg R < deg Bm


Divisione (I)

Divisione tra polinomiDati due polinomi An (x) ,Bm (x), di grado n e m rispettivamente, con n ≥ m,esistono due polinomi Q (x) e R (x) detti quoziente e resto tali che:

il grado di R (x) è minore di m;

vale la relazione An (x) = Bm (x)Q (x) + R (x) .

DefinizioneSe R (x) = 0, allora si dice che An (x) è divisibile per Bm (x).

OsservazioneIl rapporto tra An (x) e Bm (x) può sempre essere scritto come

An (x)Bm (x)

= Q (x) +R (x)Bm (x)

dove deg R < deg Bm


Divisione (II)

Il metodo di calcolo del quoziente di due polinomi consiste nelladivisione secondo le potenze decrescenti

Divisione secondo le potenze decrescentiVogliamo calcolare il quoziente tra

A(x) = 2x4 + x3 − x + 2

e

B(x) = x2 + 3


Esempio

2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3

Q (x)

R (x)


Esempio

2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3

2x4 +6x2 2x2

+x3 −6x2 −x +2 ↑

Q (x)

← R (x)


Example

2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3

2x4 +6x2 2x2 +x

+x3 −6x2 −x +2 ↑

+x3 +3x Q (x)

−6x2 −4x +2

← R (x)


Example

2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3

2x4 +6x2 2x2 +x −6

+x3 −6x2 −x +2 ↑

+x3 +3x Q (x)

−6x2 −4x +2

−6x2 −18

−4x +20 ← R (x)

A (x)B (x)

= Q (x) +R (x)B (x)

= 2x2 + x − 6 +−4x + 20

x2 + 3


Example

2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3

2x4 +6x2 2x2 +x −6

+x3 −6x2 −x +2 ↑

+x3 +3x Q (x)

−6x2 −4x +2

−6x2 −18

−4x +20 ← R (x)

A (x)B (x)

= Q (x) +R (x)B (x)

= 2x2 + x − 6 +−4x + 20

x2 + 3


Fattorizzazione

Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto .

Esempio

x2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)

Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile ;

Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado equelli di secondo grado a discriminante negativo.

Metodi utiliRaccoglimento a fattor comune

x4 − 3x3 + 5x2 = x2 (x2 − 3x + 5)

Raccoglimento a fattor parzialex4 + a2x2 + b2x2 + a2b2 = x2(x2 + a2) + b2(x2 + a2) =

(x2 + a2)(x2 + b2)


Fattorizzazione


Esempio

x2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)




x4 − 3x3 + 5x2 = x2 (x2 − 3x + 5)


(x2 + a2)(x2 + b2)


Fattorizzazione


Esempio

x2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)




x4 − 3x3 + 5x2 = x2 (x2 − 3x + 5)


(x2 + a2)(x2 + b2)


Proprietà utili

Teorema(x − c) divide An(x) se e solo se An(c) = 0.

Proposizioni

Il binomio xn − an è sempre divisibile per x − a;

se n è pari è divisibile anche per x + a.

Il binomio xn + an è divisibile per x + a se n dispari;

se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x − a.

OsservazionePer polinomi a coefficienti interi :

le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresal’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;

le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è unsottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine digrado massimo, compresa l’unità.


Proprietà utili


Proposizioni









Proprietà utili


Proposizioni









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