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L.Gulli Page 1 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Les exercices corrigés ci-dessous ont été donnés en colle de Maths ECE première année, durant l’année 2013-2014 au Lycée Ozenne à Toulouse Thèmes Pages Récurrence …………………………………………………………………….. Nombres réels, équations et inéquations……………………………………… Logique et Ensembles………………………………………………………….. Sommes Produits Sommes doubles……………………………………........... Polynômes………………………………………………………………………. Injections surjections Bijections………………………………………………. Etude de fonctions dérivées et variations……………………………………... Dénombrements formule du binôme et autres formules…………………….. Matrices…………………………………………………………………………. Probabilités conditionnelles……………………………………………............ Limites et continuité théorème de la bijection et accroissements finis........... Espaces et sous espaces vectoriels applications linéaires…………………… Séries……………………………………………………………………………. Probabilités : Théorème de la limite monotone ……………………………… Intégrales, sommes de Riemann, Intégrales impropres……………………… Variables Aléatoires discrètes lois, espérances variances……………………. Variables aléatoires continues, et fonctions de variables aléatoires…………
2 3-4 5 6-7 8 à 11 12 à 15 16 17 à 20 21 à 25 26-27 28 à 34 35-36 37-38 39-40 41 à 44 45 à 53 53 à 56
L.Gulli Page 2 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Récurrence Exercice Pour Nn∈ on note )(nP la proposition 22 nn ≥ .Montrer que )(nP est vraie à partir d’un certain rang, lequel ? n n2 2n ?2 2nn ≥ 0 1 0 oui 1 2 1 oui 2 4 4 oui 3 8 9 non 4 16 16 oui 5 32 25 oui Par récurrence que 4≥∀n , P(n) : « ²2 nn ≥ » est vraie P(4) est vraie. Soit 4≥n tel que P(n) vraie, étudions P(n+1) : ²2 nn ≥ donc
²22 1 nn ≥+ .Montrons que )²1(²2 +≥ nn
40)21)(21(12²)²1(²2 ≥>−−+−=−−=+− npournnnnnn
Exercice Pour Nn∈ on note )(nP la proposition nn 2!> .Montrer que )(nP est vraie à partir d’un certain rang. Lequel ? CORRIGE n n2 !n ?2! nn > 0 1 0 non 1 2 1 non 2 4 2 non 3 8 6 non 4 16 24 oui 5 32 120 oui Par récurrence que 4≥∀n , P(n) : « nn 2!> » est vraie P(4) est vraie. Soit 4≥n tel que P(n) vraie, étudions P(n+1)
nn 2!> donc 12222)!1( +=×>×>+ nnnnn
Exercice Montrer que Nn∈∀ , 1≥n , il existe Nk ∈ et Nq∈ tel que ( )122 += qn k Corrigé : On note P(n) : il existe Nk ∈ et Nq∈ tel que ( )122 += qn k
( )10221 0 +×= donc P(1) vraie
Récurrence forte : Soit Nn∈ 1≥n tel que [ ][ ]ns ;1∈∀ )(sP est vraie. Etude de P(n+1) Deux cas : si n est pair alors n+1 est impair donc il existe Nk ∈= 0 et Nq∈ tel que
( )122 += qn k
si n est impair alors n+1 est pair sn 21=+ avec nn
s ≤+=2
1, et P(s) vraie donc
il existe Nk ∈ et Nq∈ tel que ( )122 += qs k donc ( )1222 1 +== + qsn k
L.Gulli Page 3 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Nombres réels, équations et inéquations. Exercice Résoudre dans R l’équation )2ln(3ln)1ln(2 −=++ xxx Corrigé : ensemble de définition de l’équation : 2>x Pour 2>x , 3)2ln()²)1(ln()2ln(3ln)1ln(2 −=+⇔−=++ xxxxxx
812²6²2)2()²1()2ln()²)1(ln( 3333 −+−=++⇔−=+⇔−=+ xxxxxxxxxxxx
0811²8812²6²2 33 =+−⇔−+−=++ xxxxxxxx , 0<∆ , ∅=S Exercice
résoudre dans R l’inéquation x
x
x
x
+−≥
−+−
3
7
2
32
Corrigé :
2
1379
2
13790
)3)(2(
))((0
)3)(2(
149²
0)3)(2(
)2)(7()3)(32(0
3
7
2
32
3
7
2
32
+=−=≥+−−−−⇔≥
+−++−⇔
≥+−
−−−++−⇔≥+−−
−+−⇔
+−≥
−+−
etbaavecxx
bxax
xx
xx
xx
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
] [ [ [ [ [+∞∪∪−∞−= ;2;3; baS
Exercice
résoudre dans R l’inéquation x
x
x
x
++≥
−+−
2
1
2
32
Corrigé : 20
)2(
)1(0
)2)(2(
)2)(1(0
)2)(2(
2²
0)2)(2(
)2)(1()2)(32(0
2
1
2
32
2
1
2
32
−≠≥−+−⇔≥
+−++−⇔≥
+−++−⇔
≥+−
−+−++−⇔≥++−
−+−⇔
++≥
−+−
xetx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
] ] ] [ 2;21; −−+∞∪−∞−=S
Exercice
1. [ ] xx ≤ et *Np∈ donc [ ] pxxp ≤ avec [ ] Zxp ∈ ( produit de 2 relatifs)
Or [ ] pxpx ≤ avec [ ]px est le plus grand élément de Z inférieur à px
Donc [ ] [ ]pxxp ≤
2. [ ] 1+<≤ xxx , donc [ ] [ ] pxppxxp +<≤ La fonction partie entière est croissante donc [ ][ ] [ ] [ ][ ]pxppxxp +<≤
La partie entière d’un entier est lui même donc [ ] [ ] [ ] pxppxxp +<≤
En divisant par p on obtient : [ ][ ]
[ ] 1+<≤∈
xp
pxx
aZ
Lorsque 1+<≤ nan alors [ ]an = , donc [ ] [ ]
=
p
pxx
Exercice
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Résoudre dans R l’équation 4118² =+− xx
Corrigé Signe de 118² +− xx , 204464 =−=∆ , 541 −=x , 542 +=x
Si 1xx ≤ ou 2xx ≥ 4118² =+− xx ⇔ 4118² =+− xx ⇔ 078² =+− xx
⇔ 1=x ou 7=x , 1=x Si 21 xxx << 4118² =+− xx ⇔ 4118² =−+− xx ⇔ 0158² =−+− xx
⇔ 0158² =+− xx , 46064 =−=∆ 33 =x , 54 =x
7;5;3;1=S Exercice Résoudre dansR l’inéquation 2ln >xx Corrigé : Remarque : l’inéquation n’a de sens que pour ] [+∞∈ ,0x ;
pour ] [+∞∈ ,0x ; ( ) 02ln²ln2ln²ln222²lnln >−⇔>⇔>⇔> xxex xx
] [+∞∪
∈⇔>+−⇔ ;22
1;00)2ln()(ln2ln(ln xxx
Exercice Résoudre dans R l’inéquation 11 +≤− xx Corrigé : Remarque : l’inéquation n’a de sens que pour [ [+∞−∈ ;1x ;
pour [ [+∞−∈ ;1x
Cas 1 : si 1≤x ; 01≤−x et 10 +≤ x donc 11 +≤− xx pour tout [ ]1;1−∈x
Cas 2 : si 1≥x 01≥−x ; et 10 +≤ x donc
[ ]3;10)3(1)²1(11 ∈⇔≤−⇔+≤−⇔+≤− xxxxxxx Donc [ ]3;1−=S Exercice soit mun paramètre réel.
Résoudre dans 2R le système
==1xy
mee yx
, d’inconnues yx; , en fonction du paramètre m
Remarque : si 0≤m ; ∅=S Etude pour 0>m ; remarque on a alors 00 ≠≠ etyx
)2)(ln2(ln4²ln −+=−=∆ mmm
Si 0)2)(ln2(ln <−+ mm ; c’est à dire si 2
²
1em
e<< alors ∅=S
Si 0)2)(ln2(ln =−+ mm ; c’est à dire si ²
1
em= alors
−−= )1;1(yx
S ou 2em= alors
= )11;1(yx
S
Si 0)2)(ln2(ln >−+ mm ; c’est à dire si ²
10
em<< ou 2em>
alors
−+−+
−−−−=
44 344 2144 344 2144 344 2144 344 212211
4²lnln
2;
2
4²lnln;
4²lnln
2;
2
4²lnln
yxyx
mm
mm
mm
mmS
==+−
⇔
==+
⇔
==
xy
xmx
xy
myx
xy
mee yx
/1
01)(ln²
/1
ln
1
L.Gulli Page 5 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Logique et Ensembles Exercice On considère les propositions suivantes : a) Rx∈∀ Ry∈∀ , 0>+ yx b) Rx∈∃ tel que Ry∈∀ , xy >² 1°) Donner la négation de chacune des propositions. 2°) Dire si chaque proposition est vraie ou fausse (justifier) Réponses négation de a) Rx∈∃ Ry∈∃ , 0≤+ yx négation de b) Rx∈∀ Ry∈∃ , xy ≤²
a)est fausse car sa négation est vraie x=y=0 b) est vraie prendre x=-1
Exercice Soit A ,B et C trois parties d'un ensemble E.
1.Montrer que CABA ∩=∪ AB ⊂⇔ et CA ⊂ Réponse :
Soit Ex∈ , Si Bx∈ , alors CABAx ∩=∪∈ donc CAx ∩∈ donc Ax∈ donc AB ⊂ De même CA ⊂ Réciproque : Si AB ⊂ et CA ⊂ alors ABA =∪ et ACA =∩ donc CABA ∩=∪ 2. En déduire que CABA ∩=∪ , ABCB ∩=∪ , BCAC ∩=∪ alors A = B = C.
Réponse : CABA ∩=∪ donc AB ⊂ et CA ⊂ ABCB ∩=∪ donc AC ⊂ et CB ⊂ BCAC ∩=∪ donc CA ⊂ et BC ⊂ Donc A=B=C
Exercice Montrer que BA = BABA ∩=∪⇔ Réponse : BA = BABA ∩=∪⇒ évident Réciproque : si Ax∈ alors BABAx ∩=∪∈ donc Bx∈ donc BA ⊂ On démontre de même que AB ⊂ Donc BA = Exercice Soit A ,B deux parties d'un ensemble E. Montrer que EBABA =∪⇔⊂ Corrigé :
?⇒ On a toujours EBA ⊂∪
?BAE ∪⊂ soit Ex∈ 2 cas : Cas 1 : Ax∈ donc BAx ∪∈
Cas 2 : Ax∉ donc BAx ⊂∈ donc BAx ∪∈ Donc BAE ∪⊂
?⇐ Soit Ax∈ , alors Ax∉ et BAEx ∪=∈ , donc Bx∈
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Sommes Produits Sommes doubles Exercice Pour Nn∈ on pose ∏
=
+=n
kn kp
0
)12(
Calculer 3p ; puis np (vérifier votre résultat) Corrigé : 10575313 =×××=p
Notons ∏+
=
+==12
1
)!12(n
kn nks et )!(22
1∏
=
×==n
k
nn nkt
Alors )!(2
)!12(
n
n
t
sp
nn
nn
+== ; 1058
4567
!38
!73 =×××=
×=p
Exercice
Pour *Nn∈ on pose ∑=
−+=n
kn knkS
1
)1(
Calculer 3s ; puis nS (vérifier votre résultat) Corrigé :
10132231)4()13(3
1
3
13 =×+×+×=−=−+= ∑∑
== kk
kkkkS
++=
−−++=
+−++=++−+++=−+=−+ ∑∑∑∑====
6
2)1(
6
1233)1(
6
12
2
1
2)1(
6
)12)(1(
2
)1(
2
)1(²)1(
1111
nnn
nnnn
nnnn
nnnnnnnnkkknknk
n
k
n
k
n
k
n
k
Vérif : 106
23)13(3 =
++
Exercice Pour *Nn∈ on note ∑≤≤≤
×=nji
n jiS1
Représenter et calculer 3S à l’aide d’un tableau, puis calculer nS Corrigé : 253 =S ;
( )24
27²3)1(
3
)12(
2
)1(
4
)1(
12
)12)(1(
8
)²1²(
2
1
2
)1(
1
2
1
3
1111 11
+++=
++++=++++=
+=
+=
=×=×= ∑∑∑∑∑∑∑∑
====== =≤<≤
nnnnnnnnnnnnnnS
jjjj
jijjijiS
n
n
j
n
j
n
j
j
i
n
j
n
j
j
injin
Exercice Pour *Nn∈ on pose ∑≤≤≤
=nji
n j
iS
1
, Calculer 3S à l’aide d’un tableau, puis
calculer nS ( vérifier le résultat obtenu)
Corrigé : [ ]2
936
2
11
2
1
2
)1(11 3
1
3
1
3
1
3
1 1213 =+=
+=
+=== ∑∑∑∑ ∑∑==== =≤≤≤ jjjj
j
iji
jjj
ji
jj
iS
L.Gulli Page 7 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
4
)3(
2
)1(
2
11
2
1
2
)1(11
1111 11
+=
++=
+=
+=== ∑∑∑∑ ∑∑==== =≤≤≤
nnn
nnj
jj
ji
jj
iS
n
j
n
j
n
j
n
j
j
injin
Exercice Déterminer deux réels aet b tels que 0;1−−∈∀ Rx1)1(
1
++=
+ x
b
x
a
xx
Calculer ∑= +
=²
1 )1(
1n
kn kk
S et ∑= +++
=n
kn k
T1 ...21
1
Corrigé : 1
11
)1(
1
+−=
+ xxxx
)²1(
11
11
1
11
)1(
1 )²1(
2
²
1
²
1
²
1
²
1 +−=−=
+−=
+= ∑∑∑∑∑
+
===== nkkkkkkS
n
k
n
k
n
k
n
k
n
kn
+−=
+−=
+=
+++= ∑ ∑∑∑
= === 1
112
)1(
112
)1(
2
...21
1
1 111 nkkkkkT
n
k
n
k
n
k
n
kn
Exercice Soit Nn∈ tel que 2≥n calculer les produits suivants :
∏=
−=n
kn k
P2 ²
11 , ∏
=
+−=
n
kn kk
Q2 )1(
21
Corrigé :
)1(11111
²
1²
²
11
22222
+×=
+
−=
+
−=
−=
−= ∏∏∏∏∏=====
nnk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kP
n
k
n
k
n
k
n
k
n
kn
)2(1
)1(
2)(1(
)1(
2²
)1(
2²
)1(
21
2222
+×=
++−=
+−+=
+−+=
+−= ∏∏∏∏
====
nnkk
kk
kk
kk
kk
kk
kkQ
n
k
n
k
n
k
n
kn
Exercice Pour *Nn∈ on pose ∑∑= =
=n
i
n
jn jiS
1 1
),min( , Calculer 3S à l’aide d’un
tableau, puis calculer nS ( vérifier le résultat obtenu) Corrigé : i\j 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 2 3
143 =S
[ ]6
)12)(1(63)12(
12
)1(
2
)1²(
4
)1(
12
)12)(1(
6
)12)(1(
2
)1²(
2
)1(
6
)12)(1(
2
1
)(²2
11
2
)1(),min(),min(
11 111 11 1 111 11 1
++=+++−+=++++++−=
++−++
++++=
−+
+=++=++=+= ∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑== === +== = +=== +== =
nnnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
iniiiiii
ijjijiSn
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
ij
n
i
n
i
n
ij
i
j
n
i
n
ij
n
i
i
jn
6
)12)(1( ++= nnnSn ; 14
6
)16)(13(33 =++=S
L.Gulli Page 8 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Polynômes Exercice
Soit ( )( )( ) ( )n
X...XXX)X(Pn222 1111
2
++++=
a) Calculer les coefficients de ,,, 10 PPP
b) Calculer les coefficients de )X(Pn
Corrigé :
( )X)X(P += 10
( )( ) 111 321 +++=++= X²XXXX)X(P
( )( )( ) ( ) ( )( )1
1111134567
43222
2
+++++++=
=++++=+++=
X²XXXXXX
XX²XXXXX)X(P
par récurrence : ∑−+
++
=
−− =+++++=112
11
0
2212 1²...)(
n
nn
k
kn XXXXXXP
en effet ( )X)X(P += 10
supposons que ∑−+
++
=
−− =+++++=112
11
0
2212 1²...)(
n
nn
k
kn XXXXXXP
alors
( )( )( ) ( )( )
( ) ∑∑∑∑∑∑−+−+
+
+−+−+
+−+−+
+
+
==
+
==
+
==
+
=+=+=+=
=+++++=
122112
12
1112112
12112112
1
12
0
2
0000
2
2
)(
2221
1
11...111)(
nn
n
n
nnn
nn
n
n
n
n
k
k
j
k
k
k
k
k
k
k
k
kHR
XP
n
XXXXXXX
XXXXXXP444444 3444444 21
Exercice
Pour *Nn∈ on note ( )!
)1)...(1(1...
!2
)1(1)(
n
nXXXXXXXP n
n
+−−−++−+−=
a) Factoriser 321 ,, PPP
b) factoriser le polynôme nP
Corrigé : X)X(P −=11 ;
( ) )X(X!
)X(XX)X(P 21
2
1
2
112 −−=−+−=
)X)(X)(X()X)...(X(X)X(X
X)X(P 3216
1
6
21
2
113 −−−−=−−−−+−=
par récurrence sur *Nn∈ )nX)...(X)(X(!n
)()X(P
n
n −−−−= 211
1℘ est vraie car X)X(P −=11
soit *Nn∈ , on suppose que n℘ est vraie
on étudie 1+℘n
L.Gulli Page 9 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
( ) ( ))!n(
)nX)...(X(X
!n
)nX)...(X(X...
!
)X(XX)X(P n
)X(P
nn
n
1
11
111
2
11 1
1 +−−−++−−−++−+−= +
+4444444444 34444444444 21
( ) ( )
( ) ( )
( ))!n(
)nX)(nX)...(X(X
)Xn()!n(
)nX)...(X(X
n
X
!n
)nX)...(X(X
)!n(
)nX)...(X(X
!n
)nX)...(X()X(P
n
nn
nnHR
n
1
111
11
11
11
11
1
11
11
1
11
++−−−−=
=−++
−−−=
+−−−−=
+−−−+−−−=
+
++
Exercice Soit *Nn∈ , P est le polynôme de [ ]XR défini par
11212 112 −+++−= ++ nnn X)n(X)n(X)X(P
Montrer que 1 est une racine multiple de P . Quel est son ordre de multiplicité ? Corrigé : On calcule P(1) ;P’(1),P’’’(1) etc… Remarque 312 ≥+= n)Pdeg(
0111211211 112 =−+++−= ++ nnn )n()n()(P
donc Pest un multiple de ( )1−X , 12 1211212 −++++−+= nnn nX)n(X)n)(n(X)n()X('P
012112121 =++++−+= n)n()n)(n()n()('P donc 1 est racine double de P
Attention ! ici étudier le cas 1=n 2112 112112212 −−− −++++−+= nnn X)n(n)n(nX)n)(n(nX)n()X("P
0112121121122121 =−+−−+=−++++−+= )nn(n)n()n(n)n(n)n)(n(n)n()("P
donc 1 est racine triple de P Calcul de )(''' XP Si 1=n , 6=)X('"P ; 061 ≠=)('"P donc 1 est racine triple de P , ordre 3.
Si 2≥n , 2112 112112212 −−− −++++−+= nnn X)n(n)n(nX)n)(n(nX)n()X("P
pour n=2 103020)(" 3 +−= XXXP ; 3060)('" 2 −= XXP ; 0301 ≠=)('"P donc 1 est racine triple de
P ordre 3 pour n>2
322 2112111212212 −− −−++−++−−+= nnn X)n)(n(n)n(X)n(n)n)(n(X)n(n)n()X('"P )n)(n(n)n()n(n)n)(n()n(n)n()('"P 21121112122121 −−++−++−−+=
[ ] [ ]²)n²nn²nn²n)n()n)(n(n)n(n)n()n(n)n()('"P 2324122111122121 3 +−+−−+=−−+−+−−+=[ ] [ ] 0221222121 3 ≠−++=+−+= n²n)n(n)nn²n)n()('"P
donc 1 est racine triple de P : Ordre de multiplicité=3 Exercice Soit Nn∈ , 2≥n P est le polynôme de [ ]XR défini par
L.Gulli Page 10 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
1)1()( 1 ++−= + nn XnnXXP 1°) Montrer que 1 est une racine multiple de P . Quel est son ordre de multiplicité ? 2°) pour 2=n puis pour 3=n déterminer le quotient de P par )²2( −X Corrigé : 1°) On calcule P(1) ;P’(1),P’’’(1) etc…
011)1(1)1( 1 =++−= + nn nnP donc Pest un multiple de ( )1−X , 1)1()1()(' −+−+= nn XnnXnnXP 0)1(' =P donc 1 est racine double de P
21 )1)(1()1²()(" −− +−−+= nn nXnnnXnnXP 0)1()1(" ≠+= nnP donc 1 est racine double de P 2°) )()12²()()²2()( XQXXXQXXP +−=−=
Pour 2=n ; 132)( 23 +−= XXXP la division donne 12)( += XXQ
Pour 3=n ; 143)( 44 +−= XXXP la division donne 123)( 2 ++= XXXQ Exercice 1°) Montrer que si P est un polynôme de [ ]XR de degré 2≥ vérifiant
)X("P)X('P)X(P =2 , alors degré (P)=3
2°) Déterminer tous les polynômes P de [ ]XR de degré 2≥ vérifiant
)X("P)X('P)X(P =2
Corrigé :
Notons n 2≥ le degré de P alors QXaP nn += avec 0≠na , deg(P)=n et deg(Q) 1−≤ n
)X(QXa)X(P n
nn 222
0
+=≠
donc deg( P(2X)=n
Etude de deg(P’P’’) deg(P’P’’)=deg(P’)+deg(P’’) car deg(P)2≥
donc n=(n-1)+(n-2) donc n-3=0 donc n=3 Donc dcX²bXaXP +++= 3 avec 0≠a
cbXaX'P ++= 23 2, baX"P 26 2 +=
dcX²bXaX)X(P +++= 2482 3
( )( ) bcX)ac²b(abXX²abaXcbXaX)X("P)X('P 26418182623 232 ++++=+++=
)X("P)X('P)X(P =2
=+=
==
⇔
bcd
ac²bc
abb
²aa
2
642
184
188
==
==
=
=
⇔
=+=
=
=
⇔≠≠
02
03
4
09
4
2
642
29
4
00
bcd
cc
b
a
bcd
ac²bc
bb
aaa
donc 3
3
4X)X(P =
Exercice 1°) Montrer que si P est un polynôme de [ ]XR vérifiant 061 =−+ P"P)²X( et 21 =)(P
alors degré(P)=3
L.Gulli Page 11 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
2°) Déterminer tous les polynômes Pde [ ]XR , non nuls tels que 061 =−+ P"P)²X( et
21 =)(P
(Indication :On pourra étudier le degré de P) Corrigé : étude du degré de P : 0≠P , QXaP n
n += avec 0≠na , deg(P)=n et
deg(Q) 1−≤ n [ ] )(6)1(6")1()(1²(6")1²( 2 XRXannPQXannXPPX n
nn
n +−−=−+−+=−+ − donc
061 =−+ P"P)²X( ⇒ [ ] 061 =−− )n(n ⇒ impossiblen 02 <−= ou 3=n
Conclusion : 3=n donc dcX²bXaXP +++= 3
cbXaX'P ++= 23 ; baX"P += 6
dbX)ac(²bX)dcX²bXaX()baX)(²X(P"P)²X( 66566161 3 −+−+−=+++−++=−+061 =−+ P"P)²X( ⇒ 0665 =−+−+− dbX)ac(²bX ⇒ ac;d;b === 00
Donc aXaXP += 3 Et 21 =)(P ⇒ 1=a Donc XXP += 3
Exercice
1°) Montrer que si P est un polynôme de [ ]XR vérifiant ( ) 1'2
1²12 =
+−− PXPX
Alors degré(P)=2
2°) Déterminer tous les un polynôme P de [ ]XR vérifiant ( ) 1'2
1²12 =
+−− PXPX
Corrigé : Etude des degrés Remarque :
a) si P=0 alors ( ) 10'2
1²12 ≠=
+−− PXPX , doncP=0 n’est pas solution
b) Si 0≠P alors ( )XQXa)X(P nn += avec 0≠na , 0)deg( ≥= nP et
1−≤ n)Qdeg(
donc
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) )(2'2
1²12'
2
1²12 11 XRXanXQXnaXXQXaXPXPX n
nn
nn
n +−=+
+−+−=
+−− +−
avec n))X(Rdeg( ≤
donc ( ) ( ) )(2'2
1²12 1 XRXanPXPX n
n +−=
+−− +
si 2≠n alors 01≠+n ( car 0≥n ) donc ( ) 1)(20
1 ≠+−≠
+
444 3444 21X
nn XRXan conclusion 2=n
et si 2=n alors cbX²aXP ++= , avec 0≠a
( )( ) ( ) ( ) bcXacbXbabaXXcbXaXXS2
1)2(²2
2
1²²12 −−−+−++−=+
+−++−=
L.Gulli Page 12 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Injections surjections Bijections Exercice Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G a)Montrer que si fg o est injective, alors f est injective b) Donner un exemple où g est surjective, fg o n’est pas surjective Corrigé : a)Hypothése fg o est injective conlusion f est injective soient a et b tels ques f(a)=f(b) alors )(afg o = )(bfg o or fg o est injective donc a=b donc f est injective.
b) non !
→→ +
)²( xxx
RRRgf
aaxxf =)( et ²)( xxg =
Exercice Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G a)Montrer que si fg o est surjective, alors g est surjective b) Donner un exemple où f est injective, et fg o n’est pas injective . Corrigé a)Hypothése fg o est surjective conlusion g est surjective a)Soit Ga∈ , puisque fg o est surjective , alors il existe Eb∈ Tel que abfg =)(o , posons Fcbf ∈=)( donc il existe Fbfc ∈= )( Tel que acg =)( donc g est surjective.
b) non !
→→
²xxx
RRRgf
aa
Exercice soit f une application de E dans F , FA ⊂ et FB ⊂ 1)Montrer que )()()( 111 BfAfBAf −−− ∪=∪ 2)Montrer que )()()( BfAfBAf ∩⊂∩ Corrigé : 1)Soit Ex∈ , )(1 BAfx ∪∈ − ⇔ BAxf ∪∈)( ⇔ Axf ∈)( ou Bxf ∈)( ⇔ )(1 Afx −∈ ou
)(1 Bfx −∈ ⇔ )()( 11 BfAfx −− ∪∈ 2) soit )( BAfy ∩∈ , il existe BAx ∩∈ , tel que )(xfy = , or Ax∈ donc )(Afy∈ Et Bx∈ donc )(Bfy∈ donc )()( BfAfy ∩∈ donc )()()( BfAfBAf ∩⊂∩ Exercice soit f une application de E dans F , FA ⊂ et FB ⊂
L.Gulli Page 13 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
1)Montrer que )()()( 111 BfAfBAf −−− ∩=∩ 2) ) on suppose que f est surjective montrer que )()( AfAf ⊂ Corrigé : 1)Soit Ex∈ , )(1 BAfx ∩∈ − , ⇔ BAxf ∩∈)( ⇔ Axf ∈)( et Bxf ∈)( ⇔ )(1 Afx −∈ et )(1 Bfx −∈ ⇔ )()( 11 BfAfx −− ∩∈ Soit )(Afy∈ , alors )(Afy∉ et f surjective donc il existe Ex∈ tel que )(xfy = Et )(Afy∉ donc Ax∉ donc Ax∈ donc )()( Afxfy ∈= Exercice soit f une application de E dans F , FA ⊂ et FB ⊂
1)Montrer que )()( 11 AfAf −− = 2)Montrer que )()()( BfAfBAf ∪=∪ Corrigé : 1)Soit Ex∈
)(1 Afx −∈ ⇔ Axf ∈)( ⇔ Axf ∉)( ⇔ )(1 Afx −∉ ⇔ )(1 Afx −∈ 2) Soit Fy∈
)( BAfy ∪∈ ⇔ Ax∈∃ ou Bx∈∃ tq )(xfy = ⇔ )()( BfAfy ∪∈ Exercice Soit FE:f a .
On suppose que f est surjective montrer que ( )( ) YYff,EY =⊂∀ −1
Corrigé : hyp f surjective Concl ( )( ) YYff,EY =⊂∀ −1
Soit EY ⊂ Par double inclusion
Montrons que ( )( ) YYff ⊂−1 .
Soit ( )( )Yffz 1−∈ , alors )Y(fy 1−∈∃ tel que )y(fz = ,
Or )Y(fy 1−∈ , donc Y)y(f ∈ donc ( ) Y)y(fz ∈=
Remarque on n’a pas utilisé la surjectivité de f
Montrons que ( )( )YffY 1−⊂
Soit Yy∈ , puisque f est surjective il existe Ex∈ tel que y)x(f =
Or y)x(f = , et Yy∈ donc )Y(fx 1−∈ , donc ( )( )Yff)x(fy
1−∈321
Ici on a utilisé la surjectivité de f
Exercice On considère l’application f de 2R dans 3R définie par
( )yxyxyxyxf +−+= 2,3,),( a)Montrer que f est injective
L.Gulli Page 14 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
b) soit 3);;( Rcba ∈ , à quelle condition sur cba ;; , )();;( 2Rfcba ∈ ? Corrigé :
a)
=
⇔
+−
+=
+−
+⇔
=
'
'
''2
''3
''
2
3'
'
y
x
y
x
yx
yx
yx
yx
yx
yx
y
xf
y
xf donc f est injective.
b) soit 3R
c
b
a
∈
existe-t-il 2Ry
x∈
tel que
=
c
b
a
y
xf ?
⇔
=
c
b
a
y
xf
=−+−=
+=⇔
=+=−
=+
045
4/)3(
4/)(
2
3
cba
bay
bax
cyx
byx
ayx
Conclusion si 045 ≠−+ cba , 3R
c
b
a
∈
n’a pas d’antécédent, exemple 3
1
1
1
R∈
− n’a
pas d’antécédent donc f n’est pas surjective. Exercice
Soit f l’application de 3R dans 2R définie par ( )zyx;zyx)z;y;x(f ++−+= 22
a) soit ( )b;a 2R∈ Résoudre ( )b;a)z;y;x(f =
b) f est-elle injective ? surjective ?
Corrigé
a) soit ( )b;a 2R∈ on résout ( )b;a)z;y;x(f =
( )b;a)z;y;x(f = ⇔
=++=++
bzyx
azyx
2
2⇔
=−−++−−=
+
bxyayx
xyaz
z43421
22
2⇔
−=−−−=
abxy
xyaz 2
⇔
∈−+=−−=
Rx
abxy
xyaz 2
⇔
∈=−+=−−=
Rxx
abxy
xbaz 32
⇔ ( ) ( ) Rx/;;xa;ab;S ∈−+−= 31120
b) ( )00;)z;y;x(f = a une infinité de solutions distinctes, donc f n’est pas injective
pour tout ( )b;a 2R∈ ( )b;a)z;y;x(f = a au moins une solution donc f est surjective.
Exercice Soit EE:f → telle que ffff =oo
On suppose que f est surjective montrer que f est injective
L.Gulli Page 15 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Corrigé Hyp : f surjective. concl : f injective
Soit ( )21 x;x tels que )x(f)x(f 21 = a-t-on 21 xx?
=
Puisque f surjective, il existe ( )21 u;u tels que 11 x)u(f = et 22 x)u(f =
Puisque f surjective, il existe ( )21 v;v tels que 11 u)v(f = et 22 u)v(f =
⇒ 111
1
u)v(f))v(f(f(fx
==43421
et 222
2
u)v(f))v(f(f(fx
==43421
donc 11 u)x(f = et 22 u)x(f = or )x(f)x(f 21 = donc 21 uu = donc 321321
21
21
xx
)u(f)u(f =
donc 21 xx = et f est injective.
Exercice Soit EE:f → telle que ffff =oo
On suppose que f est injective montrer que f est surjective.
Corrigé.Hyp : f injective Concl f surjective.
Soit b∈E on cherche a tel que )a(fb = ?
Puisque ffff =oo alors )b(f)b(fff =oo et f injective⇒ b)b(ff =o
Donc b))b(f(fa
=321
donc )b(fa = et f est surjective.
Exercice Soit FE:f a .
On suppose que ( )( ) YYff,EY =⊂∀ −1 montrer que f est surjective
Hyp ( )( ) YYff,EY =⊂∀ −1 Conclf surjective
Soit Ey∈
Posons yY = Puisque ( )( ) YYff,EY =⊂∀ −1 Alors ( )( ) yyff =−1
Donc ( ) ≠⊄− yf 1 donc E)Y(fx ⊂∈∃ −1 et )Y(fx 1−∈ signifie yY)x(f =∈
Donc y)x(f = , avec Ex∈ , donc f surjective
L.Gulli Page 16 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Etude de fonctions dérivées et variations Exercice
On pose xxxf1
)( =
1.Déterminer l’ensemble de définition fD de f
2. Justifier que f est dérivable sur fD . Donner l’expression de )(' xf pour tout x de fD
Et en déduire les variations de f sur fD
Corrigé : x
x
x exxfln1
)( == , *+= RD f , x
x
ex
xxf
ln
²
ln1)('
−= du signe de xln1−
Donc f croissante sur ] ]e;0 et décroissante sur [ [+∞;e et eeef1
)( = Exercice soit f la fonction définie sur R par 2)( −+= − xx eexf 1.Etudier la parité de f 2. Donner l’expression de )('xf pour tout réel x, en déduire les variations de f
3. En déduire que pour tous réels a et b ( )ba
ba
eee +≤
+
2
12
Corrigé : f est paire, xx eexf −−=)(' , 010)(' 2 ≥⇔≥⇔≥−= − xeeexf xxx
Donc f croissante sur +R et décroissante sur −R et 0)0( =f
Donc pour tout x réel 202)( ≥+⇔≥−+= −− xxxx eeeexf
2≥+ − xx ee donc pour 2
bax
−= on a 222 ≥+−− abba
ee en multipliant les deux membres par
2
ba
e+
on obtient ( )ba
ba
eee +≤
+
2
12
Exercice
soit f la fonction définie sur R par :xx
xx
ee
eexf −
−
+−=)(
1.Etudier la parité de f
2. Justifier que f est dérivable sur fD . Donner l’expression de )('xf pour tout x de fD
Et en déduire les variations de f sur fD
3. Démontrer que pour tout x de fD )²(1)(' xfxf −=
Corrigé : f est impaire, 2. 0)²(
4
)²(
)²()²()(' >
+=
+−−+= −−
−−
xxxx
xxxx
eeee
eeeexf ,
f est croissante sur R, et 0)0( =f
3. )(')²(
4
)²(
)²()²(1)²(1
2
xfeeee
eeee
ee
eexf
xxxx
xxxx
xx
xx
=+
=+
−−+=
+−−=− −−
−−
−
−
L.Gulli Page 17 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Dénombrements formule du binôme et autres formules Exercice
démontrer que pour [ ][ ]nk ;1∈ ;
−−
=
1
1
k
nn
k
nk
Corrigé : pour [ ][ ]nk ;1∈ ;
−−
=
1
1
k
nn
k
nk
Preuve : pour [ ][ ]nk ;1∈ , notons N le nombre de façons de choisir une partie A à k éléments de E, et un élément x de A 2façons d’agir
a)on choisit A puis on choisit x : nombre de choix :
Nkk
n
x
A
=×
b)on choisit x puis on choisit A : nombre de choix Nk
nn
A
x
=
−−
×3211
1
d’où
−−
=
1
1
k
nn
k
nk
Exercice Démontrer que pour tout Nn∈ ,: ∑=
−
=+
n
k
knkn bak
nba
0
)(
Corrigé : Par récurrence : pour tout Nn∈ , )(nP : ∑=
−
=+
n
k
knkn bak
nba
0
)(
)0(P : 10
1)(0
0
000 =
=+ ∑
=
−
k
kbak
etba donc )0(P vraie
soit Nn∈ tq )(nP vraie
∑ ∑∑= =
−+−+
=
−+
+
=+×
=+×+=+
n
k
n
k
knkknkn
k
knknn bak
nba
k
nbaba
k
nbababa
0 0
11
0
1 )()()()(
jnjn
j
njnjn
j
n
nn
j
jnj
jn
nn
j
n
j
jnjjnj
n
k
n
k
knk
knkn
k
n
k
knkknk
baj
nba
n
nba
j
nba
n
ban
nba
j
n
j
nba
nba
j
nba
j
n
bak
nba
k
nba
k
nba
k
njj
−++
=
+−+
=
−+
+
=
−+
+
−++
= =
−+−+
= =
−++−++
= =
−+−+
∑∑
∑∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
+=
++
+
++
+=
+
+
−+
=
+
−=
+
=
+
11
0
011
1
010
01
1
1
1
0101
1 0
11
0 0
1)1(11
0 0
11
1
1
11
0
1
10144 344 21
321
Donc P(n+1) est vraie.
L.Gulli Page 18 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Exercice Soit *Nn∈ , et [ ][ ]nE ;1= Pour nk ≤≤0 on note kB une partie à k éléments de [ ][ ]nE ;1= . a)Combien de façons à-t-on de choisir la partie kB ? b) Ayant choisi une partie kB dans [ ][ ]nE ;1= , combien y-a-t-il de parties A de
[ ][ ]nE ;1= telles que kBA ⊂
c) rappeler la formule du binôme de Newton ∑=
=+?
?
???)(k
nba
A l’aide de a) de b) et de la formule du binôme , déterminer le nombre de couples ),( BA de parties de E telles que BA ⊂ . d) vérifier votre résultat lorsque [ ][ ]2;1=E Corrigé : 1)pour [ ][ ]2;1=B ; ∅=A ; [ ][ ]1=A , [ ][ ]2;1=A [ ][ ]2;1=A ; donc 4 couples pour [ ][ ]2=B ; ∅=A ; [ ]2=A ,; donc 2 couples pour [ ][ ]1=B ; ∅=A ; [ ]1=A ,; donc 2 couples pour ∅=B ; ∅=A ;donc 1 couples au total 9 couples 2) Construction d’un tel couple ),( BA lorsque B a k éléments
Choix de la partie B à k éléments de E ,
k
n choix
Choix de la partie BA ⊂ , donc )(BA ℘∈ et B a k éléments donc k2 choix Conclusion : le nombre couples ),( BA de parties de E telles que B a k éléments et BA ⊂
est k
k
n2
au total le nombre couples ),( BA de parties de E telles que BA ⊂
est nn
k
k
k
n32
0
=
∑
=
Exercice 1)Construire toutes les applications surjectives de [ ][ ]3;1 dans [ ][ ]2;1 2)Combien y –a-t-il d’applications surjectives de [ ][ ]1;1 +n dans [ ][ ]n;1 Corrigé : Si est f une application surjective de [ ][ ]1;1 +n dans [ ][ ]n;1 Alors il existe un élément ade [ ][ ]n;1 qui a deux antécédents distincts Et tous les autres éléments de [ ][ ]n;1 en ont un et un seul.
L.Gulli Page 19 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Il y a n choix pour a puis
+2
1n n choix pour les deux éléments distincts de
[ ][ ]1;1 +n pour les 2 antécédents e a puis Il reste n-1 éléments de [ ][ ]1;1 +n que l’on met en bijection avec les n-1 éléments restant de [ ][ ]n;1 , )!1( −n possibilités.
Au total il y a 2
)!1()!1(
)!1(!2
)!1()!1(
2
1 +=−×−×
+=−×
+ nnn
n
nnn
nn surjections de [ ][ ]1;1 +n
dans [ ][ ]n;1 Exercice 1)Combien de nombres de 2 chiffres peut-on écrire avec les 3 chiffres 1 ;2 ;3 ? 2) quelle est leur somme ? 3) Combien de 4 chiffres peut-on écrire avec les 6 chiffres 1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ? quelle est leur somme ? Corrigé : 1)+2) arbre… réponse 1) 23 2) ( ) 198113213 =×++× 1) abcd est une 4-liste de 1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 donc 46 nombres 2) chaque chiffre de E est écrit autant de fois en unités Il y a 6 chiffres dans E chaque chiffre de E est donc écrit 34 66/6 = fois en unités de même chaque chiffre de E est donc écrit 34 66/6 = fois en dizaine chaque chiffre de E est donc écrit 34 66/6 = fois en centaine chaque chiffre de E est donc écrit 34 66/6 = fois en millier la somme des chiffres des unités est donc ( ) 2166543216 33 ×=+++++× la somme des chiffres des dizaines est donc ( ) 2166543216 33 ×=+++++× la somme des chiffres des centaines est donc ( ) 2166543216 33 ×=+++++× la somme des chiffres des milliers est donc ( ) 2166543216 33 ×=+++++× la somme des nombres est alors ( ) 503986011112161000100101216 33 =××=+++×× Exercice Une grenouille se trouve devant un escalier de 9 marches. Sachant qu'elle peut gravir soit une, soit deux marches à la fois, combien de solutions possibles y-a-t il pour gravir l'escalier ? Indication : on pourra noter )(nF le nombre de façons de gravir n marches et chercher une relation entre )1(),( +nFnF et )2( +nF Corrigé : pour monter n marches, soit elle arrive à la (n-1)-ième puis elle monte de une marche, soit elle arrive à la (n-2)-ième et elle monte à la n-ième.
L.Gulli Page 20 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Donc si on note f(n) le nombre de chemins possibles pour arriver à la n-ième marche, on a: f(n)=f(n-1)+f(n-2). Avec f(1)=1 et f(2)=2. On retombe sur les suites de Fibonnaci f(9)=55 Exercice Une petite entreprise emploie 12 femmes et 11 hommes On veut constituer un bureau de représentants des employés de 5 employés. a)Combien y-a-t-il de bureaux possibles ? b) pour [ ]5;0∈k ; Combien y-a-t-il de bureaux possibles contenant exactement k femmes ?
c) déduire du a) et du b) la formule ∑=
−
=
4
0 4'
1112
4
23
k kk, quel est le nom de cette
formule ? Quelle est la formule générale ? Exercice
Calculer pour tout *Nn∈ ∑+
=
−
1
1 1
n
k
kxk
n
Corrigé : n
n
j
jn
j
jn
k
k xxxj
nxx
j
nx
k
n)1(
1 00
11
1
+=
×=
=
− ∑∑∑==
++
=
Exercice
Calculer pour tout *Nn∈ ∑=
n
k
kxk
nk
1
Corrigé :
∑∑∑∑−
=
−−
=
+
==
+=
−=
−=
−−
=
1
0
11
0
1
11
)1(11
1
1 n
j
njn
j
jn
k
kn
k
k xnxxj
nnxx
j
nnx
k
nnx
k
nk
Exercice soit p et n deux entiers tels que np ≤
Démontrer par récurrence sur n que ∑=
++
=
n
pk p
n
p
k
1
1
Corrigé : P(p) est vraie. Soit pn ≥ tel que P(n+1) est vraie
++
=
++
++
=
++
=
∑ ∑
+
= = 1
21
1
111
p
n
p
n
p
n
p
n
p
k
p
kn
pk
n
pk
L.Gulli Page 21 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Matrices Exercice
Soit
=011
101
110
A
1°) Déterminer les réels ( ) 2, Rba ∈ tels que 0))(( 33 =−− bIAaIA , en déduire 1−A 2°)a) Montrer que Nn∈∀ , ( ) ², Rba nn ∈∃ tels que 3IbAaA nn
n += b) Donner l’expression de na et nb en fonction de n , en déduire nA (indication montrer que na est une suite récurrente linéaire d’orde 2) Corrigé : 1°)
++−−+−−+−−++−−+−−+−−+
=
−−
−
−−
−=−−
2)1()1(
)1(2)1(
)1()1(2
11
11
11
11
11
11
))((
ababab
ababab
ababab
b
b
b
a
a
a
bIAaIA
0))(( =−− bIAaIA ⇔⇔⇔⇔
=+=+1
02
ba
ab⇔⇔⇔⇔
−==+−
ab
aa
1
02)1(⇔⇔⇔⇔
−==−−
ab
aa
1
02²⇔⇔⇔⇔
=−=2
1
b
aou
−==
1
2
b
a donc 0)2)(( =−+ IAIA ⇔ 02² =−− IAA ⇔⇔⇔⇔ IIAA
A
=−×
−43421
1
)(2
1
3°) a) par récurrence P(n) : IbAaA nnn +=
Initialisation IAIA ×+×== 100 donc 00 =a et 10 =b , P(0) est vraie. Hérédité : soit Nn∈ tel que P(n) vraie
AbAaIbAaAAAA nnnnnn +=+×=×=+ ²)(1
or IAA 2² += ( voir 1°) donc
IaAbaAbIAaAnn
b
n
a
nnnnn
11
2)()2(1
++
++=++=+
43421
donc P(n+1) est vraie.
=+=
+
+
nn
nnn
ab
baa
21
1 et
==
1
0
0
0
b
a ⇔⇔⇔⇔
=
+=
+
−+
nn
b
nnn
ab
aaan
2
2
1
11
avec
===
1
10
0
10
b
aa
b) Suite récurrente linéaire d’ordre 2 Equation caractéristique 02 ====−−−−−−−− rr ² 2 racines distinctes 11 −=r ; 22 =r Donc ( ) nn
na 21 µλ +−= or 10 10 == aa
Donc 0=+ µλ et 12 =+− µλ d’où 3
1−=λ et 3
1=µ ;
D’où ( )3
2
3
1 1 nn
na +−=+
et ( )3
2
3
122 1
nn
nn ab +−== −
L.Gulli Page 22 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
D’où ( ) ( )IAA
nnnnn
+−+
+−=
+
3
2
3
12
3
2
3
1 1
Exercice
Soit
−−−
−=
011
101
110
B
1°) Déterminer les réels ( ) 2, Rba ∈ tels que 0))(( 33 =−− bIBaIB , en déduire 1−B 2°)a) Montrer que Nn∈∀ , ( ) ², Rba nn ∈∃ tels que 3IbBaB nn
n += b) Donner l’expression de na et nb en fonction de n , en déduire nB (indication montrer que na est une suite récurrente linéaire d’orde 2) Corrigé : 1°)
++−−+−−−++−++−−−++
=
−−−−−
−−
−−−−−
−−=−−
2)1()1(
)1(2)1(
)1()1(2
11
11
11
11
11
11
))((
ababab
ababab
ababab
b
b
b
a
a
a
bIAaIA
0))(( =−− bIAaIA ⇔⇔⇔⇔
=+=+1
02
ba
ab⇔⇔⇔⇔
−==+−
ab
aa
1
02)1(⇔⇔⇔⇔
−==−−
ab
aa
1
02²⇔⇔⇔⇔
=−=2
1
b
aou
−==
1
2
b
a donc 0)2)(( =−+ IAIA ⇔ 02² =−− IAA ⇔⇔⇔⇔ IIAA
A
=−×
−43421
1
)(2
1
3°) a) par récurrence P(n) : IbAaA nnn +=
Initialisation IAIA ×+×== 100 donc 00 =a et 10 =b , P(0) est vraie. Hérédité : soit Nn∈ tel que P(n) vraie
AbAaIbAaAAAA nnnnnn +=+×=×=+ ²)(1
or IAA 2² += ( voir 1°) donc
IaAbaAbIAaAnn
b
n
a
nnnnn
11
2)()2(1
++
++=++=+
43421
donc P(n+1) est vraie.
=+=
+
+
nn
nnn
ab
baa
21
1 et
==
1
0
0
0
b
a ⇔⇔⇔⇔
=
+=
+
−+
nn
b
nnn
ab
aaan
2
2
1
11
avec
===
1
10
0
10
b
aa
b) Suite récurrente linéaire d’ordre 2 Equation caractéristique 02 ====−−−−−−−− rr ² 2 racines distinctes 11 −=r ; 22 =r Donc ( ) nn
na 21 µλ +−= or 10 10 == aa
Donc 0=+ µλ et 12 =+− µλ d’où 3
1−=λ et 3
1=µ ;
D’où ( )3
2
3
1 1 nn
na +−=+
et ( )3
2
3
122 1
nn
nn ab +−== −
L.Gulli Page 23 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
D’où ( ) ( )IAA
nnnnn
+−+
+−=
+
3
2
3
12
3
2
3
1 1
Exercice
Soit
=100
110
111
A
a)Déterminer B telle que BIA += 3 , calculer 2B ; 3B b) en déduire nA Corrigé :
=−=000
100
110
IAB ;
=000
000
1002B ; 03 =B
+ Formule du Binôme :
+
=
+
=
100
002
)1(0
²20
n
nnn
Bn
Bn
An
Exercice
Soient
−−
=12
21A et
−=
21
21P
1)Montrer que P est inversible et calculer 1−P 2)Calculer APPD 1−= 3)Calculer nD 4)Exprimer A en fonction de P 5)Montrer par récurrence que 1−= PPDA nn , en déduire les coefficients denA Corrigé :
1)
−=−
11
22
4
11P ; 2)
−=
30
01D 3)
−= n
nD)3(0
01 ;
−×+−×−−×−−×+
== −nn
nnnn PPDA
)3(22)3(22
)3(22)3(22
4
11
Exercice :
Soient
−−
=23
32A ,
−=
31
31P
1)Montrer que P est inversible et calculer 1−P 2)Calculer APPD 1−= 3)Calculer nD 4)Exprimer A en fonction de P 5)Montrer par récurrence que 1−= PPDA nn , en déduire les coefficients denA Corrigé :
L.Gulli Page 24 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
−=−
11
33
6
11P ; 2)
−== −
50
011APPD 3)
−= n
nD)5(0
01 ;
−×+−×−−×−−×+
== −nn
nnnn PPDA
)5(33)5(33
)5(33)5(33
6
11
Exercice
Soient
−−
=34
43A et
−=
41
41P
1)Montrer que P est inversible et calculer 1−P 2)Calculer APPD 1−= 3)Calculer nD 4)Exprimer A en fonction de P 5)Montrer par récurrence que 1−= PPDA nn , en déduire les coefficients denA Corrigé :
−=−
11
44
8
11P ; 2)
−== −
70
011APPD 3)
−= n
nD)7(0
01 ;
−×+−×−−×−−×+
== −nn
nnnn PPDA
)7(44)7(44
)7(44)7(44
8
11
Exercice
Soit
−−
−=
111
111
111
A Calculer 1−A en résolvant le système YAX =
Vérifier votre résultat en calculant le produit 1−AA Corrigé : On inverse le système YAX =
YAX = ⇔
=−+=+−
=++−
3321
2321
1321
yxxx
yxxx
yxxx3211 LLLL ++←
⇔
=−+=+−
++=++
3321
2321
321321 )(
yxxx
yxxx
yyyxxx
133
122LLLLLL
−←−←
⇔
++−=−++−=−++=++
)(2
)(2
32133
32122
321321
yyyyx
yyyyx
yyyxxx
+=
+=
++=++
⇔
2
2
213
312
321321
yyx
yyx
yyyxxx
+=
+=
+=+−+−++=
⇔
2
2
222
213
312
3221313211
yyx
yyx
yyyyyyyyyx
⇔
=−
011
101
110
2
11A
L.Gulli Page 25 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Exercice
Soit
=02/14/1
202/1
420
C Calculer 1−C en résolvant le système YCX =
Vérifier votre résultat en calculant le produit 1−CC Corrigé
On inverse le système YCX = ⇔⇔⇔⇔ YCX 1−= Soit
=w
v
u
X et
=c
b
a
Y
YCX = ⇔⇔⇔⇔
=+=+
=+
cvu
bwu
awv
2/4/
22/
42
⇔++−←
++−←++−←
2/4/
2/
42
2133
1322
3211
LLLL
LLLL
LLLL
++−=++−=
++−=
2/)2/4/(
2/)2/(
2/)42(
bacw
acbv
cbau
⇔⇔⇔⇔
YAA
c
b
a
w
v
u
−−
−=
−444 3444 21
1
12/14/1
211
421
2
1 D’où ( )ICC −=
−−
−=−
2
1
12/14/1
211
421
2
11
Exercice
Soit
−−−
−=
011
101
110
B Calculer 1−B en résolvant le système YBX =
Vérifier votre résultat en calculant le produit 1−BB Corrigé : 1°) On inverse le système YBX = ⇔⇔⇔⇔ YBX 1−=
Soit
=w
v
u
X et
=c
b
a
Y YBX = ⇔⇔⇔⇔
=−=−−=+−
cvu
bwu
awv
⇔−+−←−+−←+−−←
2133
1322
3211
LLLL
LLLL
LLLL
−+−=−+−=+−−=
2/)(
2/)(
2/)(
bacw
acbv
cbau
⇔⇔⇔⇔
YAA
c
b
a
w
v
u
−−−−−−
=
−44 344 21
1
111
111
111
2
1 D’où )(
2
1
111
111
111
2
11 IBB −=
−−−−−−
=−
L.Gulli Page 26 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Probabilités conditionnelles Exercice
Corrigé :
kB la boule tirée au k ième tirage est blanche
( ) ( ) ( )nBBBBBBn BPBPBPBPBBBPn 121211 ....32121 ....)()....(
−∩∩∩=∩∩∩
( )
)!2(
²!
1
1.......
22
2
12
1
2)....( 21 n
n
nn
n
n
n
n
nBBBP n =
+××
−−×
−−×=∩∩∩
Exercice Une urne contient 4 boubles blanches et 6 boules rouges. On tire une boule dans l’urne, puis on remet la boule dans l’urne en ajoutant 2 boules de la même couleur. Calculer la probabilité np d’obtenir la première boule blanche au n-ième tirage
Corrigé :
kB la boule tirée au k ième tirage est blanche
( ) ( ) ( ) ( )nBBBnBBBBBBnn BPBPBPBPBPBBBBPpnn 121221211 ....1....321221 ....)()...(
−− ∩∩−∩∩∩ ∩∩=∩∩∩∩=
( ) ( ) ( ) ( ))1(210
4
)2(210
)2(26...
12
8
10
6....)(
121221211 ....1....321 −+×
−+−+×××=∩∩
−− ∩∩−∩∩∩ nn
nBPBPBPBPBP nBBBnBBBBBB nn
)4)(3)(2(
24
4
2
3
1...
6
4
5
3)...( 221 +++
=+
×++×××=∩∩∩∩=
nnnnn
nBBBBPp nn
Exercice
Corrigé : B la boule tirée est blanche, kU l’urne choisie est la k ième
?)(
)()( 1
1 =∩
=BP
BUPUPB
L.Gulli Page 27 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Or
( ) ∑∑∑===
+=+=×==∩=∪∪∪∩=n
k
n
kUk
n
kkn n
n
n
nn
n
k
nBPUPUBPUUUBPBP
k111
21 2
)1(
²2
)1(1)()())....(()(
)1(
2
2
)1(
11
)(
)()(
)(
)()( 111
1 +=
+
×==∩=
nnn
nnn
BP
BPUP
BP
BUPUP U
B
Exercice
Corrigé : B la boule tirée est blanche, kU l’urne choisie est la k ième
( ) ∑∑∑===
+=+=×==∩=∪∪∪∩=n
k
n
kUk
n
kkn n
n
n
nn
n
k
nBPUPUBPUUUBPBP
k111
21 2
)1(
²2
)1(1)()())....(()(
Exercice
Corrigé
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;1;5;2;4;3;3;4;2;5;11 =E ; 36/5)( 1 =Ep ( ) ( ) ( ) ( ) )1;6(;2;5;3;4;4;3;5;2);6;1(2 =E ; 36/6)( 2 =Ep
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6;4;5;4;4;4;3;4;2;4;1;4=F 36/6)( =Fp ( ) 2;41 =∩ FE ; )()(36/1)( 11 FpEpFEp ×≠=∩ non indépendants ( ) 3;42 =∩ FE ; )()(36/1)( 22 FpEpFEp ×==∩ indépendants
L.Gulli Page 28 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Lim ites, continuité, théorème de la bijection et accroissements finis Exercice f est une fonction définie et continue sur +R telle que Rl)x(flim
x∈=
+∞→ (limite finie)
1°) En utilisant la définition de Rl)x(flimx
∈=+∞→
montrer qu’il existe 0≥a tel que
Pour tout +∈ Rx tel que ax ≥ on a 1)(1 +≤≤− lxfl
2°)Montrer que f est bornée sur [ ]a;0
3°) En déduire que f est bornée sur +R
Corrigé : Puisque Rl)x(flim
x∈=
+∞→ alors
pour 1=ε , il existe 0≥a tel que +∈∀ Rx , ( )1)(1 +≤≤−⇒≥ lxflax
donc pour tout [ [+∞∈ ;ax ; 11 +≤≤− l)x(fl ( f est bornée sur [ [+∞∈ ;ax )
d’autre part f est continue sur [ ]a;0 ;qui est un segment donc f est bornée sur [ ]a;0
c'est-à-dire qu’il existe m et M tels que [ ]a;x 0∈∀ , M)x(fm ≤≤
En prenant )m;lmin(m 11 −= et )M;lmax(M 11 += on a +∈∀ Rx 11 M)x(fm ≤≤
Donc f est bornée sur +R
Exercice f est une fonction de [ ]b;a dans R continue sur [ ]b;a .
pet q sont deux réels strictement positifs
En déduire qu’il existe [ ]b;ac∈ tel que )c(f)qp()b(qf)a(pf +=+
( Indication on pourra comparer qp
bqfapf
++ )()(
avec )(af et )(bf
Corrigé : Etude du cas f(a)<=f(b)
1°) 0))()(()()()()(
)()()( ≤
+−=
+−−+=−
++
qp
bfafp
qp
bqfbpfbqfapfbf
qp
bqfapf
0))()(()()()()(
)()()( ≥
+−=
+−−+=−
++
qp
afbfq
qp
aqfapfbqfapfaf
qp
bqfapf
Donc )()()(
)( bfqp
bqfapfaf ≤
++≤
On montre qu’il existe [ ]b;ac∈ tel que )c(f)qp(
)b(qf)a(pf =++
En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires : « si f est une fonction continue sur[ ]b;a alors f prend toute valeur comprise entre
)a(f et )b(f »
Puisque )qp(
)b(qf)a(pf
++
est une valeur comprise entre )a(f et )b(f
L.Gulli Page 29 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
il existe alors [ ]b;ac∈ tel que )c(f)qp()b(qf)a(pf +=+
Exercice
f est une fonction définie sur R vérifiant : f est continue en 0 et Rx∈∀
=2
)(x
fxf
1)Montrer que pour tout Nn∈ ,
=n
xfxf
2)(
2) En déduire que f est constante sur R
Corrigé : pour tout Nn∈ ,
=n
xfxf
2)( par récurrence sur N
Pour Rx∈ fixé la suite )(2
xfx
funn =
= est une suite constante
Donc )x(fulim nn
=⇒+∞→
D’autre part : 02
=+∞→ nn
xlim et f est continue en 0 donc )0(
2limlim f
xfu
nnn
n=
=+∞→+∞→
D’où (unicité de la limite) )(f)x(f 0= donc f est constante.
Exercice
Soit f la fonction définie sur *+R par xx xexf
1
)2()( +=
1)Rappeler la valeur de u
uu
)1ln(lim
0
+→
2)Peut-on prolonger f par continuité en 0 ?
Corrigé :
1)1ln(
lim0
=+→ u
uu
)2ln(1 1
)2()( xexx x
ex
xexf +=+= , posons
++=
+=+=xx
xx
e
xx
e
xexexg
21ln
21ln)2ln()(
Donc
x
x
xx
x
xxx
e
xe
x
ee
e
xe
x
xe
x
xex 2
21ln
21
2
2
21ln
1
21ln
1)2ln(1
+×+=
×
++=
++=+
Or
3
000
0
0)(lim3
2
)2
1ln(
21lim1
2
)2
1ln(lim
1)1ln(
lim
02
limexf
e
xe
xe
e
xe
x
u
ue
x
x
x
xx
x
x
x
x
u
xx=⇒=
+×+⇒=
+⇒
=+
=
→→→
→
→
Exercice
On considère la fonction
−−
→
)()(:
xExxEx
RRf
a ou )(xE désigne la partie entière de x
Montrer que f est continue sur R. Corrigé :
L.Gulli Page 30 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
)(xE est continue sur tout intervalle de la forme ] [1; +nn car elle est constante sur cet
intervalle donc f est continue sur tout intervalle de la forme ] [1; +nn comme somme de composée de fonctions continues sur ces intervalles. Etude de la continuité en Znx ∈=
Soit Zn∈ ; si ] [1; +∈ nnx alors nxnxf −−=)( donc )()(lim nfnxfnx
==>
→
si ] [nnx ;1−∈ alors )1()1()( −−−−= nxnxf donc )()(lim nfnxfnx
==<
→
f est continue en Znx ∈= donc f est continue sur R. Exercice 1)soit *Nn∈ . Montrer que l’équation 0=−+ nxex , admet une unique solution dans R, notée nx 2) montrer que pour tout *Nn∈ , nxn ln≤
3) Montrer que 1ln
lim =
+∞→ n
xn
n
Corrigé 1)On étudie nxexf x −+=)( , (f’>0 donc f réalise une bijection de R sur R) 0=−+ nxex , admet une unique solution dans R, notée nx 2) 0)(ln ln >=−+= nnnenf n donc nxn ln≤
3) −∞→+∞→
− −+−=−−+=−−+=−n
nn n
e
ennn
e
ennenf 1ln)
1(1ln1ln)1(ln
ln1ln
Donc il existe *0 Nn ∈ tel que si 0nn ≥ , 0)1(ln ≤−nf donc nxn ≤−1ln
Donc 1lnln
11 ≤≤−
n
x
nn donc 1
lnlim =
+∞→ n
xn
n
Exercice pour *Nn∈ , montrer que l’équation 0ln =−− nxx , admet une unique solution supérieure ,notée nx , dans l’intervalle[ [+∞;1 2) calculer )(nf en déduire la limite de la suite ( ) 1≥nnx . Corrigé 1)On étudie nxxxf −−= ln)( , (f’>0 pour 1≥x pour donc f réalise une bijection
de [ [+∞;1 sur
+∞−≤
;10
n )
l’équation 0ln =−− nxx , admet une unique solution supérieure ou égale à 1 notée nx 2) 0ln)( ≤−= nnf donc nxn ≤ donc +∞=
+∞→ nn
xlim
Exercice 1)soit *Nn∈ . Montrer que l’équation 0=−+ nxex , admet une unique solution dans R, notée nx
L.Gulli Page 31 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
2) montrer que pour tout *Nn∈ , nxn ln≤
3) Montrer que 1ln
lim =
+∞→ n
xn
n
Corrigé 1)On étudie nxexf x −+=)( , (f’>0 donc f réalise une bijection de R sur R) 0=−+ nxex , admet une unique solution dans R, notée nx 2) 0)(ln ln >=−+= nnnenf n donc nxn ln≤
3) −∞→+∞→
− −+−=−−+=−−+=−n
nn n
e
ennn
e
ennenf 1ln)
1(1ln1ln)1(ln
ln1ln
Donc il existe *0 Nn ∈ tel que si 0nn ≥ , 0)1(ln ≤−nf donc nxn ≤−1ln
Donc 1lnln
11 ≤≤−
n
x
nn donc 1
lnlim =
+∞→ n
xn
n
Exercice Soit
=≠=
00
0)(
1
xsi
xsixxfx
1°) Montrez que f est dérivable sur ] [+∞;0 et donner l’expression de )x('f sur ] [+∞;0
2°) la dérivabilité à droite de f en x=0, Préciser la tangente en x=0
Corrigé :
Sur]]]] [[[[+∞+∞+∞+∞;0 )()ln(1
)( xux
x
x eexxf === par compositition )(²
)ln(1)(')(' )( xf
x
xexuxf xu ×−==
Dérivabilité à droite en 0 : ?)()(
lim ====−−−−−−−−
>>>>→→→→ 0
0
00 x
fxf
xx
;
pour x>0 x
xxxx
exx
xx
fx ln)(
−−−−−−−−============
−−−−−−−− 1
11
111
0
0
Or −∞−∞−∞−∞====
−−−−>>>>→→→→
xx
xx
lnlim 11
00
donc 00
0
00
====−−−−−−−−
>>>>→→→→ x
fxf
xx
)()(lim donc f est dérivable à droite en 0 et
00 ====)(' df
Dérivabilité à gauche : ?)()(
lim ====−−−−−−−−
<<<<→→→→ 0
0
00 x
fxf
xx
; pour x<0
)ln(
)()(
)()()( xxx
xx
exx
xx
fx −−−−
−−−−−−−−−−−−====−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−− 1
11
111
0
0
Or +∞+∞+∞+∞====−−−−
−−−−<<<<→→→→
)ln(lim xx
xx
11
00
donc −∞−∞−∞−∞====−−−−−−−−
<<<<→→→→ 0
0
00 x
fxf
xx
)()(lim donc f n’est pas dérivable à gauche
en 0 mais tangente verticale !
Exercice Soit
>+
==
−0)1(
00)( 1
xsienx
xsixf
x
L.Gulli Page 32 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
1°) Montrez que f est dérivable sur ] [+∞;0 et donner l’expression de )x('f sur ] [+∞;0
2°) la dérivabilité à droite de f en x=0, Préciser la tangente en x=0
Corrigé :
]]]] [[[[+∞+∞+∞+∞;0 xenxxf1
)1()(−
+= , xx ex
nxnxe
x
nxnxf
11
²
1²
²
1)('
−−
++=
++=
Dérivabilité à droite en 0 : ?)()(
lim ====−−−−−−−−
>>>>→→→→ 0
0
00 x
fxf
xx
;
pour x>0 x
ene
xenx
xfenx x
xxx
11
11
1
0
01−−−−
−−−−−−−−−−−−
++++====++++====
−−−−−−−−++++ )()()(
or 01
00
====−−−−
>>>>→→→→
x
xx
nelim et 01 1
00
1
00
================+∞+∞+∞+∞→→→→
−−−−
+∞+∞+∞+∞→→→→
−−−−
>>>>→→→→
−−−−
>>>>→→→→ XX
X
X
x
xx
x
xx e
XXee
xxe
limlimlimlim
donc f est dérivable à droite en 0 et 00 ====)(' df
Exercice
Soit
=>−= −
11
1)1()(1
1
xsi
xsixxfx
1°) Montrez que f est dérivable sur ] [+∞;1 et donner l’expression de )x('f sur ] [+∞;1
2°) la dérivabilité à droite de f en x=1, Préciser la tangente en x=1
Corrigé
=>−= −
10
1)1()(1
1
xsi
xsixxfx
1°) sur ] [+∞;1 )(1
)1ln(
1
1
)1()( xux
x
x eexxf ==−= −−
− , )()(')(' xuexuxf =
Or 2)1(
)1ln(1
1
)1ln()('
−−−=
′
−−=
x
x
x
xxu donc sur ] [+∞;1 , 1
)1ln(
2)1(
)1ln(1)(' −
−
−−−= x
x
ex
xxf
Dérivabilité à droite en x=1
Pour 0>h
)hln(h h
h
ehh
h
h
)(f)h(f
−
−
===−+1
1
11
10
11
Or −∞=
−×+→
11
0 h)hln(lim
h donc
011
11
0
0
0==−+
→→
−
++
)hln(
hh
h
elimh
)(f)h(flim
L.Gulli Page 33 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
De même
011
0
0
0==−+
+− →→ h
²hlim
h
)(f)h(flim
hh
Donc f est dérivable en 1 et 0)1(' =f
Exercice
Soit f la fonction de R dans R définie par ²)x()x(f −= 43
1
1°) Montrer que pour tout [ ]340 /:x∈ , 9
8≤)x('f
2°) ( )nu est la suite définie par
[ ]( )
∈−=
∈
+ Nnpouruu
/;u
nn2
1
0
43
1
340
2°) Justifier que Nn∈∀ , [ ]340 /;un ∈
3°) à l’aide de l’inégalité des accroissements finis montrer que ( )nu converge vers 1.
Corrigé : 1°) On note ²)x()x(f −= 43
1, on a )u(fu nn =+1 x)x('f
3
2−=
x 0 4/3 )x('f -
)x(f 4/3 20/27
On montre par récurrence sur Nn∈ que n℘ Nn∈∀ , [ ]340 /;un ∈ facilement
Car [ ] [ ]340342720 /;/:/ ⊂
2°) f continue et dérivable sur [ ]340 /; et pour tout [ ]340 /:x∈ 9
8≤)x('f
on peut appliquer l’inégalité des accroissements finis sur tout intervalle contenu dans [ ]340 /; , en particulier sur l’intervalle ( )1;un on a
19
811
11
1 −×≤−=−=
+ nn
)(f
n u)(f)u(fu donc 19
811 −≤−+ nn uu
donc par récurrence sur Nn∈ 19
81 0 −
≤− uun
n donc 1=+∞→ n
nulim
Exercice 1°) en utilisant l’inégalité des accroissements finis montrer que
*Nk ∈∀ ( )k
kkk
1)ln(1ln
1
1 ≤−+≤+
2°) Pour *Nn∈ on note ∑=
+−=n
kn k
nS1
1ln , étudier la monotonie de nS
3°) Montrer que *Nn∈∀ , 11
0 ≤≤≤ nSn
. En déduire que nS converge.
Corrigé :
L.Gulli Page 34 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
1°) )ln()( xxf = , ( )x
xf1
' = , donc *Nk ∈∀ , [ ]1; +∈∀ kkx , ( )k
xfk
1'
1
1 ≤≤+
Donc (IAF sur [ ]1; +kk ) ( ) )1(1
)(1)1(1
1kk
kkfkfk
k−+≤−+≤−+
+, c’est à dire
( )k
kkk
1)ln(1ln
1
1 ≤−+≤+
ou encore
2°) . 1
1)ln()1ln(
11)ln()1ln(
1
1
11 +
−++−=+−++−=−− ∑∑=
+
=+ n
nnkk
nnSSn
k
n
knn
Or 1
1)ln()1ln(
1
+−≤++−≤−
nnn
n donc 0
1
2
1
1)ln()1ln(
1
11 ≤+
−≤+
−++−≤+
−−nn
nnnn
Donc nS est décroissante
2°) puisque pour *Nk ∈∀ ( )k
kkk
1)ln(1ln
1
1 ≤−+≤+
en sommant
( )∑ ∑∑−
=
−
=
−
=
≤−+≤+
1
1
1
1
1
1
1)ln()1ln(
1
1 n
k
n
k
n
k kkk
k en changeant d’indice ∑∑
−
==
≤≤1
12
1ln
1 n
k
n
k kn
k
∑∑=
−
=
−≤−≤−n
k
n
k kn
k 2
1
1
1ln
1 donc ∑∑∑∑ ∑
===
−
= =
+−≤+−≤+−n
k
n
k
n
k
n
k
n
k kkkn
kk 121
1
1 1
111ln
11
11
ln1
1
≤+−≤ ∑=
n
k kn
n donc 1
10 ≤≤≤ nS
n
Exercice Soit f la fonction de] [+∞;0 dans R définie par )ln()( xxxf +=
1°) Démontrer que f est une bijection de] [+∞;0 dans R, on note g la bijection réciproque.
2°) montrer que g est dérivable sur R et que )(1
)()('
xg
xgxg
+=
3°) calculer )1(' eg + Corrigé :
1°) 01
)(' >+=x
xxf donc f bijective théorème de la bijection
2°) 0)(' ≠xf donc g est dérivable sur R et )(1
)(
)(
1)(1
))(('
1)('
xg
xg
xg
xgxgfxg
+=
+==
3°) )1(1
)1()1('
eg
egeg
+++=+ ; eaeaaeafega =⇔+=+⇔+=⇔+= 1ln1)()1(
e
eeg
+=+
1)1('
L.Gulli Page 35 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Espaces et sous espaces vectoriels applications linéaires Exercice Pour quelles valeurs du réel a l’ensemble F ci-dessous, est-il un sev de )(1,2 RM , donner
alors une famille de vecteurs qui engendre F .
=−−++−++∈
= 02²2)1()1/()( 3
1,2 aaayaxaRMy
xF
Corrigé : Si F un sous espace vectoriel de 2R , alors (0,0) est dans F Donc 02²23 =−−+ aaa ; a=1 est racine ; -1 est racine -2 est racine Donc pour a=1 ; ( ) )1,0(0/, 2 vectxRyxF ==∈=
Pour a=-1 ( ) )0,1(0/, 2 vectyRyxF ==∈=
Pour a=-2 ( )
−==+∈= 1;2
3032/, 2 vectyxRyxF
Exercice 75
Soit
=+−∈
= 02/)(1,3 zyxRM
z
y
x
F . Montrer que F est un S.E.V de )(1,3 RM engendré
par une famille finie de vecteurs Corrigé
zyx 2−= ( ) ))1,0,2(),0,1,1(();;2(,, −=−= vectzyzyzyx Exercice Pour quelles valeurs du réel t l’ensemble F ci-dessous, est-il un sev de )(1,2 RM , donner
alors une famille de vecteurs qui engendre F .
=+++−++∈
= 0²2)1()1/()( 3
1,2 tttytxtRMy
xF
Exercice Dans l’espace vectoriel 3R on considère les vecteurs )1,1,0(1 =e , )1,0,1(2 =e , )0,1,1(3 =e
.Montrer que ),,( 321 eee est une base de 3R
Déterminer les coordonnée de )0,0,1(=v dans cette base. Corrigé : base on montre que tout vecteur ),,( zyxv = se décompose de manière unique
),,( cbav = sur ),,( 321 eee
L.Gulli Page 36 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
−+−=−=
++=−=
+−=
⇔
−+−=−=
=+
+−=
⇔
=+=+
+−=
⇔
=+=+=+
+−←
)(2
1
)(2
1
)(2
1
)(2
1
)(2
1)(
2
1
3211
zyxbza
zyxayc
zyxb
zyxbza
yca
zyxb
zba
yca
zyxb
zba
yca
xcbLLLL
pour )0,0,1(=v on obtient 2
1−=a ; 2
1== cb
Exercice Soit f l’application linéaire de )(1,2 RM dans )(1,3 RM définie par :
)(1,2 RMy
x∈
∀ ,
−++
=
yx
yx
yx
y
xf 2 Déterminer le noyau puis l’image f .
Corrigé : Ker f :
=
⇔=
=−=+
=+⇔=
0
00
0
02
0
0y
x
yx
yx
yx
y
xf
Im(f)=vect(f(e1),f(e2))=vect ((1;1;1);(1;2;-1)) Exercice Soit f l’application linéaire de )(1,2 RM dans )(1,3 RM définie par :
)(1,2 RMy
x∈
∀ ,
+−+−
=
yx
yx
yx
y
xf
2
32 Déterminer le noyau puis l’image f .
Corrigé : Ker f :
=
⇔=
=+=−=+−
⇔=
0
00
02
032
0
0y
x
yx
yx
yx
y
xf
Im(f)=vect(f(e1),f(e2))=vect ((-1;2;1);(1;-3;2)) Exercice Soit f l’application linéaire de )(1,3 RM dans )(1,2 RM définie par :
)(1,2 RM
z
y
x
∈
∀ ,
−−++−
=
zyx
zyx
z
y
x
f32
Déterminer le noyau puis l’image f .
Corrigé : Ker f : ))1,1,2((2
0032
00 vectKerf
yz
yx
zyx
zyx
z
y
x
f =⇔
==
⇔=
=−−=++−
⇔=
Im(f)=vect(f(e1),f(e2), f(e3)=vect ((-1;2);(1;-3);(1;-1))= vect ((-1;2);(1;-1))
L.Gulli Page 37 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Séries Exercice
déterminer la valeur de ] [1;0∈x telle que 4
27)1(
2
2 =−∑+∞
=
−
n
nxnn
Corrigé :x
xxfn
n
−−−−======== ∑∑∑∑
≥≥≥≥ 1
1
0
)( ; (((( ))))20
1
1
1
xnxxf
n
n
−−−−========∑∑∑∑
≥≥≥≥
−−−−)(' ;
( )30
2
1
2)1()("
xxnnxf
n
n
−=−=∑
≥
−
donc ( ) ( ) ( ) xxx
xxnn
n
n −=⇔−=
⇔−=⇔=−
⇔=−∑≥
− 12
31
2
31
8
274
1
2
4
27)1( 3
33
30
2
donc [ [1;02
1
2
31
4
27)1(
0
2 ∈−=−=⇔=−∑≥
− xxnnn
n
Exercice
déterminer la valeur de R∈α telle que 15
1
!0
=
∑
∞+
=n
n
n
α
Corrigé :
rappel : pour tout Rx∈ on a ∑≥
=0 !n
nx
n
xe ; pour
5
1====x ; on obtient n
n ne
=∑≥ 5
1
!
1
0
5
1
et par conséquent 5
1
0 5
1
!e
n
n
n
αα =
∑
≥
donc 5
1
5
15
1
0
111
5
1
!
−
≥==⇔=⇔=
∑ e
e
en
n
n
ααα
Exercice
Pour ] [1;1−∈x , calculer ∑+∞
=1n
nnx , puis ∑+∞
=1
²n
nxn
Corrigé :
xxxf
n
n
−==∑
≥ 1
1)(
0
; ( )2
0
1
1
1)('
xnxxf
n
n
−==∑
≥
− ; ( )3
0
2
1
2)1()("
xxnnxf
n
n
−=−=∑
≥
−
Donc ( )2
0
1
1
1
xnx
n
n
−=∑
≥
− en multipliant par x on obtient ( )2
0 1 x
xnx
n
n
−=∑
≥
( )30
2
1
2)1(
xxnn
n
n
−=−∑
≥
− en multipliant par ²x on obtient ( )3
0 1
²2)1(
x
xxnn
n
n
−=−∑
≥
Donc ( ) ( ) ( ) ( )3323
000 1
)1(
1
)1(²2
11
²2)1(²
x
xx
x
xxx
x
x
x
xnxxnnxn
n
n
n
n
n
n
−+=
−−+=
−+
−=+−= ∑∑∑
≥≥≥
L.Gulli Page 38 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Exercice
Etudier la série de terme général ne
n2
, en cas de convergence calculer sa somme
Corrigé :
1
2 ²
1
²
1−
××=n
n en
ee
net
( )20
1
1
1
xnx
n
n
−=∑
≥
− pour 1<x ici ²
1
ex =
Donc )²1²(
²
²
11
1
²
12
12 −
=
−=∑
+∞
= e
e
e
ee
n
nn
Exercice
déterminer la valeur de R∈α telle que 35
2
!0
=
∑
∞+
=n
nn
n
α
Corrigé :
rappel : pour tout Rx∈ on a ∑≥
=0 !n
nx
n
xe ;
pour 5
2α=x ; on obtient n
n ne
=∑≥ 5
2
!
1
0
5
2 αα
et par conséquent 5
2
0 5
2
!
ααe
n
n
n
n
=
∑
≥
donc 2
3ln533
5
1
!5
2
0
=⇔=⇔=
∑
≥αα α
en
n
n
n
Exercice
Etudier la série de terme général
++=
)1(
21ln
nnun , *Nn∈
Corrigé
+−
++=
+++=
+++=
++=
2ln
3
1ln
)3(
)2)(1(ln
)3(
2)3(ln
)3(
21ln
n
n
n
n
nn
nn
nn
nn
nnun
)3ln()3ln(3
1ln
2ln
2ln
2ln
3
1ln
1
2 11∞+
+
= ==→+
++=
+−
+=
+−
++= ∑ ∑∑ n
n
k
k
j
j
k
k
k
kS
n
j
n
k
n
kn
L.Gulli Page 39 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Théorème de la limite monotone en probabilités Exercice Une urne contient 3 boules rouges et deux blanches. On effectue des tirages successifs de deux boules dans l’urne en remettant les deux boules après chaque tirage jusqu’à obtenir une boule rouge. Calculer la probabilité de s’arrêter au n-ième tirage. En déduire que l’on exécutera presque surement un nombre fini de tirages. Corrigé : notons kB l’événement on a tiré deux boules blanches au k-ième tirage
Et nR l’événement la première boule rouge est obtenue au n-ième tirage
On a nnn BBBR ∩∩∩= −11 ...
10
7
10
3
2
5
2
3
1
2
5
2
3
)()(...)()(1
1
11 ×
=
−×
=∩∩∩=−
−
−
n
n
nnn BPBPBPRP
Notons R l’événement on obtient jamais la boule rouge ( le jeu ne s’arrête jamais)
I+∞
=
=1n
nRR et nR est décroissante donc (limite monotone) ( ) 0lim)(1
==
=+∞→
+∞
=n
nn
n RPRPRP I
R est quasi impossible, donc R est quasi certain donc l’on exécutera presque surement un nombre fini de tirages. Exercice On lance une infinité de fois un dé équilibré . Calculer la probabilité d’obtenir de au moins un 6. Corrigé : Notons A l’événement ne jamais obtenir de 6, alors obtenir de au moins un 6 est l’événement A , donc )(1)( ApAp −= Calculons )(Ap
Notons nA l’événement n’obtenir aucun 6 au cours des n premiers lancers
Alors I+∞
=
=1n
nAA , or nn AA ⊂+1 donc )( 1+nA est décroissante, le théorème de la limite
monotone dit alors que )(lim)(1
nn
nn APAPAP
+∞→
+∞
=
=
= I
L.Gulli Page 40 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Or n
nn
n card
AcardAP
6
5
)(
)()( =
Ω= donc 0)(lim)(
1
==
=+∞→
+∞
=n
nn
n APAPAP I
Donc 1)(1)( =−= ApAp L’événement : obtenir de au moins un 6 est quasi certain, donc on effectuera, presque surement, un nombre fin de lancers pour obtenir au moins un 6 Exercice On effectue une infinité de lancers indépendants d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir « Pile » est ] [1;0∈p 1)Quelle est la probabilité de n’obtenir que des piles au cours des n premiers lancers 2) En déduire que l’événement obtenir au moins un « face » est quasi certain Corrigé : 1)Notons kP l’événement obtenir pile au k-ième lancer
Et nA l’événement n’obtenir que des piles au cours des n premiers lancers
Alors In
kkn PA
1=
= , les lancers sont indépendants donc nn
kkn pPPAP == ∏
=1
)()(
2) Notons A l’événement n’obtenir que des piles au cours d’une infinité de lancers Calculons )(Ap
Alors I+∞
=
=1n
nAA , or nn AA ⊂+1 donc )( 1+nA est décroissante, le théorème de la limite
monotone dit alors que 0lim)(lim)(1
===
=+∞→+∞→
+∞
=
n
nn
nn
n pAPAPAP I
Obtenir au moins 1 face est l’événement A donc 1)(1)( =−= ApAp Donc l’événement obtenir au moins un « face » est quasi certain
L.Gulli Page 41 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Intégrales, sommes de Riemann Intégrales impropres Exercice Soit f la fonction de [ [+∞;3 dans R définie par :
)²2)(1(
1)(
−−=
xxxf
1)Déterminer trois réels cba ;; tels que [ [+∞∈∀ ;3x , )²2()2()1(
)(−
+−
+−
=x
c
x
b
x
axf
En déduire une primitive F de f sur [ [+∞;3 Corrigé :On réduit au même dénominateur
)²2)(1(
)1()2)(1()²2(
)²2()2()1( −−−+−−+−=
−+
−+
− xx
xcxxbxa
x
c
x
b
x
a
)²2)(1(
)1()23²()44²(
)²2()2()1( −−−++−++−=
−+
−+
− xx
xcxxbxxa
x
c
x
b
x
a
)²2)(1(
)24()34(²)(
)²2()2()1( −−−+++−−++=
−+
−+
− xx
cbaxcbaxba
x
c
x
b
x
a
Donc )²2)(1(
)24()34(²)(
)²2)(1(
1
−−−+++−−++=
−− xx
cbaxcbaxba
xx
On identifie les coefficients :
−=
−=
=
⇔
=−−+=
−=⇔
=−−+=+−−−
−=⇔
=−+=+−−
=+
2
12
12
1
1)()(21)(24
0)(34
124
034
0
a
c
b
aaa
ac
ab
caa
caa
ab
cba
cba
ba
−−+
−+
−−=
−−=
)²2(
1
)2(
1
)1(
1
2
1
)²2)(1(
1)(
xxxxxxf
Primitive :
−+
−−=
−+−+−−=
)2(
1
1
2ln
2
1
)2(
12ln1ln
2
1)(
xx
x
xxxxF
Exercice pour tout entier 1≥n on pose : ∫ +=
1
0 ²1dx
x
xJ
n
n
Calculer 1J ; montrer que 1
10
+≤≤
nJn ; en déduire la limite de nJ
Corrigé : [ ]2
)2ln(²)1ln(
2
1
²110
1
0
1
1 =+=+
= ∫ xdxx
xJ
Pour tout [ ]1;0∈x , 2²11 ≤+≤ x ,donc Pour tout 1²1
1
2
10 ≤
+≤≤
x,
donc nn
xx
x ≤≤≤≤++++
≤≤≤≤²1
0 donc 32143421
1
1
1
0
1
0 10
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫ ≤≤≤≤++++
≤≤≤≤
n
n
J
n
dxxdxx
x
n
² donc
1
10
+≤≤
nJn 0lim =
+∞→ nn
J (gendarmes)
Exercice Pour tout entier n on pose ∫+=
2
1
)1ln(dt
t
tJ
nn
L.Gulli Page 42 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
1)Calculer 0J 2) Montrer que nJ est décroissante et minorée.
Corrigé : ∫ +=2
10 )1ln( dttJ on peut intégrer par partie
1)(' =tu ; )1ln()( ttv +=
[ ] ∫∫∫ +−−=
+−+=+=
2
1
2
1
21
2
10 12ln3ln2
1)1ln()1ln( dt
t
tdt
t
tttdttJ
Calcul de [ ] [ ] 2ln3ln1)1ln(1
1
1
1
121
2
1
2
1
2
1
2
1+−=+−=
+−
++=
+ ∫∫∫ ttdtt
dtt
tdt
t
t
Donc 12ln23ln30 −−=J
Variations de la suite
( ) 01)1ln()1ln()1ln( 2
10
0
1
2
1
2
1 11 ≤−×+=+−+=− ∫∫∫≤
≥
+++ dttt
tdt
t
tdt
t
tJJ
nnnnn 32143421
Donc nJ est décroissante et minorée par 0 car ∫ ≥+=
≥
2
1
0
0)1ln(dt
t
tJ
nn
43421
Donc nJ converge !
Exercice en utilisant les sommes de Riemann calculer ∑=+∞→
n
kn n
k
123
lim
Corrigé : Posons xxf =)( la somme de Riemann supérieure de l’intégrale ∫1
0)( dxxf est
∑∑∑∑====
==
=
−×+−=n
p
n
p
n
p
n
pn n
p
n
p
nn
pf
nnpf
nS
123
111
11010
01
Donc n
n
p
Sn
p=∑
=123
or on sait d’après le cours que ∫=+∞→
1
0)(lim dxxfSn
n
Donc 3
2
3
2)(lim
1
0
231
0
1
0)(
123
=
=== ∫∫∑
==+∞→
xdxxdxxf
n
p
xxfici
n
pn
Exercice A l’aide du changement de variable tex = calculer ∫ += −
1
0 1dt
e
eI
t
t
Exercice Soit f la fonction définie sur R par
( )2
3
3
1 ²x
x)x(f
+= .
1°) à l’aide du changement de variable ²xt = , calculer ∫1
0dx)x(f
L.Gulli Page 43 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
2°) à l’aide des sommes de Riemann, en déduire la limite de la suite
∑=
=
+
=nk
kn
n
k
k
nS
132
3
4
1
1
Corrigé 1°) changement de variable ²xt = , xdxdt 2= , t varie de 0 à 1.
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )[ ]∫ ∫
∫ ∫∫∫∫
−=
+++=
+−
+=
=+
−+
+=+
=+
=+
1
0
1
0
1
0
1
02
3
2
1
1
0
1
02
3
2
3
1
02
3
1
02
3
31
02
3
3
22
23
1
11
1
1
2
1
12
1
1
1
2
1
1
1
2
1
12
1
11
tt
t
dt
t
dt
t
dt
t
dtt
t
tdt
²x
dxx
²x
dxx
2°)
+++
+=
+
=
+
= ∑∑=
=
=
= n
nf...
nf
n
n
k
n
k
n
n
k
k
nS
nk
k
nk
kn 0
10
1
1
1
1
1
132
3
132
3
4
donc 22
230
1 1
01
−==
+= ∫∑=
=+∞→+∞→dx)x(f
n
kf
nlimSlim
RiemanndeSommenk
knn
n
rappel de cours
si f continue sur [ ]b;a ∫∑ =
+− =
=+∞→
b
a
RiemanndeSommenk
kndx)x(f
n
kaf
n
)ab(lim
1
Exercice en posant 1++++==== xt , calculer ∫∫∫∫ ++++2
1 1dx
x
x
1 . Calcul de ∫∫∫∫ ++++2
1 1dx
x
x Posons 1++++==== xt , donc 1−−−−==== tx et dtdx ====
Donc ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====−−−−====++++
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
11
1dt
tdttdt
tdt
t
tdx
x
x
Une primitive de 2
1
tt ==== est 3
2
2
31
2
1
2
3
2
31
2
1
ttt ========++++
++++
Exercice Calculer ∫ +1
0 2x
dx ; en déduire ∑
=+∞→ +
n
kn kn1 2
1lim
Corrigé : [ ]
=+=+∫ 2
3ln2ln(
210
1
0x
x
dx
n
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
Sn
kf
nn
kf
nn
knn
knkn
')01(
011
)2(
11
)2(
1
2
1
1 1111∑ ∑∑∑∑
= =====
×−+=
=+
=+
=+
L.Gulli Page 44 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
avec2
1)(
+=
xxf d’où [ ]
=+=+
=+ ∫∑
=+∞→ 2
3ln2ln(
22
1lim 1
0
1
01
xx
dx
kn
n
kn
INTEGRALES IMPROPRES
Exercice pour tout entier naturel n on pose ∫∞+
+
−=1 2
)1(dt
t
tJ
n
n
n
calculer 0J , puis à l’aide d’une intégration par parties calculer nJ pour n entier naturel.
Corrigé : 11
10
1
1
2 +−=
−=
−−
∫ A
tdtt
AA
111
lim1
20 =
+−==+∞→
∞+ −∫ A
dttJA
∫∫ +
−−+−−+ −
+++
−−−=−
A
n
nAnnA
v
n
u
n dtt
t
n
n
n
ttdttt
1 21
21
1'
31 )1(
2
1
2)1()1(
43421 (
En prenant les limites quant A tend vers ∞+
2
1
2
1
2)1(
0
1
21
1 ++=
+++
−−−=
=
+∞−−+
+ n
nJ
n
n
n
ttJ n
nn
n
444 3444 21
Donc 4342143421
nn vv
n JnJn )1()2(
1
1 +=++
+ ; ⇒ 1001 ====+ Jvvv nn donc 1
1
+=
nJn
Exercice Calculer ∫+∞
=1 ²
)ln(dt
t
tJ
Corrigé : IPP
11)ln(11
ln²
11ln
²
)ln(
111
11
+−−=
−+
−×=+
−×= ∫∫ AA
A
tttdt
tttdt
t
tAA
AA
A
Donc 1²
)ln(1
== ∫+∞
dtt
tJ
Exercice a) calculer ∫+∞
+1 )1(
1du
uu
b)A l’aide du changement de vaiable teu = puis d’une intégration par parties calculer
∫∞+
+0 )²1(dt
e
tet
t
corrigé : a)
−
+=
+=
+−=
+ ∫∫∫ 2
1ln
1ln
1ln
)1(
11
)1(
1
1111 A
A
u
udu
udu
udu
uu
AAAA
donc )2ln()1(
11
=+∫
+∞du
uu
b) ∫∫∫ ++
+−=
+=
+
= A
A
Ate
eeeuA
t
t
duuuu
udu
u
udt
e
te1
110 )1(
1
)1(
)ln(
)²1(
)ln(
)²1(
donc )2ln()²1(0
=+∫
∞+dt
e
tet
t
L.Gulli Page 45 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Variables Aléatoires Discrètes Exercice Un sac contient 7 jetons ( 4 rouges ;3 blancs) . On extrait les jetons un à un sans remise. On note X le rang du premier jeton rouge obtenu. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. Corrigé : 4,3,2,1)( =ΩX ( on peut tirer le jeton au premier coup ou automatiquement au 4ème)
Soit ,4,3,2,1)( =Ω∈ Xk ; Si 1====k7
4)1( ==Xp
Si 2≥≥≥≥k , notons iS l’événement on a tiré un rouge au ième tirage on a alors
kk SSSSkX 121 ...)( −== Donc )()()...()()( 121 kk SpSpSpSpkXp −==
notons pour 42 ≤≤ iii
Spp ii −=
+−==
8
4
17
4)( . .
i
i
ipi −
−=−
−=−8
4
8
411
kkkk ppppSpSpSpSpkXp )1)...(1)(1()()()...()()( 121121 −− −−−===
Remarque :pour 2≥≥≥≥k
k
kkXp
kk
k
k
kXppp
pkXpkXp k
k
k
−−×==
−×
−
−−
×==×−×==+= + 7
4)(
7
4
8
48
4
)()1(
)()1( 1
k
kkXpkXp
−−×==+=
7
4)()1(
k 1 2 3 4 )( kXp ====
7
4
7
2
6
3
7
4 =×
35
4
5
2
7
2 =×
35
1
4
1
35
4 =×
5
8
35
56
35
14
35
43
7
22
7
41)( ==×+×+×+×=XE
)²(²)()( XEXEXV −=
7
20
35
100
35
1²4
35
4²3
7
2²2
7
4²1²)( ==×+×+×+×=XE
175
62
25
64
7
20)²(²)()( =−=−= XEXEXV
Exercice Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un urne contient nboules numérotées de 1 à n . On extrait de l’urne simultanément 2 boules au hasard et on note X la V.A égale au plus grand numéro tiré. Déterminer )(ΩX , puis pour )(Ω∈ Xk )( kXP ≤ En déduire la loi de X, et son espérance Corrigé : [ ]nX ;2)( =Ω
Soit [ ]nk ;2∈ ; ⇔≤ )( kX les deux numéros sont inférieurs ou égaux à k
L.Gulli Page 46 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Donc on a tiré 2 numéros parmi k donc )1(
)1(
2
2)(
−−=
=≤nn
kkn
k
kXP
Loi de X pour [ ]nk ;3∈
)1(
)1(2
)1(
)2)(1(
)1(
)1()1()()(
−−=
−−−−
−−=−≤−≤==
nn
k
nn
kk
nn
kkkXPkXPkXP
Et )1(
2)2(
−===
nnXP
donc dans tous les cas [ ]nk ;2∈∀)1(
)1(2)(
−−==
nn
kkXP
Vérification 12
)1(
)1(
2)1(
)1(
2
)1(
)1(2)(
111
=−×−
=−−
=−−== ∑∑∑
===
nn
nnj
nnnn
jjYp
n
j
n
j
n
j
)1(
)1(
)1(
²2
)1(
2
)1(
²2
)1()1(
2
)1(
)1(2)( 111
11 −+−
−=
−−
−=−
−=
−−×=
∑∑∑∑∑ ===
== n
n
nn
j
nn
j
nn
j
jjnnnn
jjYE
n
j
n
j
n
jn
j
n
j
Or 6
)12)(1(²
1
++=∑=
nnnj
n
j
donc
3
)1(21
3
12
)1(
1
)1(
1
)1(3
)12)(1(
)1(2
1
)1(6
)12)(1(2
)(+=
−+−+=
−+−
−++=
−+−
−
++×= nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
nnn
YE
Exercice Une urne contient n boules numérotées de 1à n. On effectue deux tirages successifs d’une boule avec remise. On note Z la V.A égale à le différence entre le plus grand numéro et le plus petit. a)Déterminer )(ΩZ b)Déterminer la loi de Z c) Calculer l’espérance et la variance de Z
Corrigé : a) [ ]1;0)( −=Ω nZ ; 0= on tire la même boule !
Soit [ ]1;0 −∈ nk )( kZ = signifie qu’une boule porte le numéro a et l’autre a+k Il faut donc que nka ≤+ donc kna −≤
Pour k=0 ;
==
=U
n
a
aaZ1
),()0( ; nn
naaPZPn
a
1
²
1),()0(
1
=×=== ∑=
Pour [ ]1;1 −∈ nk UUkn
a
kn
a
akakaakZ−
=
−
=
+∪
+==11
),(),()(
Donc ²
1)(2),(),()(
11 nknakaPkaaPkZP
kn
a
kn
a
×−×=+++== ∑∑−
=
−
=
n
nn
n
nnn
nnn
n
nn
nk
nk
nZE
n
k
n
k 3
)1)(1(
3
)12)(1()1(
6
)12)(1(
²
2
2
)1(2²
²
22)(
1
1
1
1
+−=−−−−=−−×−−×=−= ∑∑−
=
−
=
n
nnZE
3
)1)(1()(
+−=
L.Gulli Page 47 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
)²(²)()( ZEZEZV −=
∑∑∑∑∑−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−=
×−×=
×−×===1
1
31
1
1
1
1
1
1
1 ²
2²
2
²
²)(2
²
1)(2²)(²²)(
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
kn
knn
kkn
nknkkZPkZE
6
)1)(1(
2
)²1(
3
)12)(1(
4
²)²1(
²
2
6
)12)(1(2
²
2²
2²)(
1
1
31
1
+−=−−−−=−×−−−×=−= ∑∑−
=
−
=
nnnnnnn
n
nnn
nk
nk
nZE
n
k
n
k
6
)1)(1(²)(
+−= nnZE
²18
)2²)(1²(
²9
)²1)²(1(
6
)1)(1()²(²)()(
n
nn
n
nnnnZEZEZV
+−=+−−+−=−=
Exercice npersonnes )2( ≥n lancent ensemble une pièce de monnaie équilibrée. Si une personne obtient un résultat différent de toutes les autres personnes, alors elle gagne Et le jeu s’arrête, sinon on recommence. 1°) Quelle est la probabilité pour que le jeu comporte un gagnant ? 2°)On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties nécessaires à l’obtention d’un gagnant. Donner la loi de X, son espérance et sa variance. Corrigé : 1°) Une partie comporte un gagnant ? Une issue possible pour une partie= );...;;( 21 kaaa FPai ;∈
Pour une partie ( ) ncard 2=Ω Il y a un gagnant sur une partie = le nombre de piles est 1 ou le nombre de faces est 1
P(gagnant)= 111 22
2
2
1
2
112
1
2
11 −−− ==×
+×
=
nnnn
nnnnp
2°) ( ) *NX =Ω on gagne au premier coup ou jamais… Soit *Nk ∈ ; Si 1====k ; pgagnantpXp === )()1(
Si 2≥k ; ( ) ppGpGpGGGGpkXp kk
k
11
1
1)()()...()( −−
−
−==== 43421
( ) ppppkppkpkXkpXE
k
kpdérivée
k
k
k
k
k
1
²)1(1
1)1()1()()(
0)1(
1
1
1
1
1
=−−
×=−=−===
∑ −
+∞
=
−+∞
=
−+∞
=∞+
=
∑∑∑4434421
Donc p
XE1
)( = donc ²
1²)()²(²)()(
pXEXEXEXV −=−=
∑∑∑+∞
=
−
+−
+∞
=
−+∞
=−=−===
1
1
)1(1
1
1
)1(²)1(²)(²²)(k
k
kkkk
k
k
pkpppkkXpkXE
−+−−=−=
==
∞+
=
−∞+
=
−∞+
=
−
+−∑∑∑
4434421
pXE
k
k
k
k
k
k
kkk
pkpkkppkpXE
1)(
1
1
1
1
1
1
)1(
)1()1)(1()1(²²)(
1)1)(1()1(1)1)(1(²)(
0)1(sec
1
2
1
1 +
−−−=+
−−=
∑ −
∞+
=
−∞+
=
−
∞+
=
∑∑444 3444 21
k
kpdeondedérivée
k
k
k
k pkkpppkkpXE
L.Gulli Page 48 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
1²
)1(21
))1(1(
2)1(²)(
3+−=+
−−×−=
p
p
pppXE
21
²
12²
²
11
²
)1(2)²(²)()(
−=+−=−+−=−=p
p
p
pp
pp
pXEXEXV
Exercice 1)Déterminer la valeur du réel a , pour que l’ensemble ( ) *,3; Nkapkx k
kk ∈×==
définisse une loi de probabilité. 2)Soit X la variable aléatoire telle que *Nk ∈∀ , kakXp 3)( ×== X a-t-elle plus de chances de prendre des valeurs paires ou impaires ? 2) calculer E(X) et V(X) Corrigé :
1°)2
3
11
1
33
1
33
1
3
1
3 0
1
11
1
aaaa
a
jj
kj
kk
kk
=−
×==×= ∑∑∑+∞
=
−=+∞
=−
+∞
= ;
231
aa
kk
=∑+∞
=
donc 2131
=⇔=∑+∞
=
aa
kk
2°) A :X est paire⇔⇔⇔⇔ ( )kXAk
21
==+∞
=U ;
( )4
1
9
11
1
9
2
9
1
9
2
9
1
9
2
9
12
3
22)(
0
1
11
112
1
=−
×======= ∑∑∑∑∑+∞
=
−=+∞
=−
+∞
=
+∞
=
+∞
= jj
kj
kk
kk
kk
k
kXpAp
B :X est impaire 4
3)(1)( =−= ApBp
Vérification : ( )4
3
9
11
1
3
2
9
1
3
2
9
1
3
2
3
212)(
00012
0
=−
×====+== ∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=+
+∞
= jj
kk
kk
k
kXpBp
2°) ( )2
3
4
9
3
2
3
11
1
3
2
33
2
3
2)(
21
111
=×=
−×===== ∑∑∑
+∞
=−
+∞
=
+∞
= kk
kk
k
kkkXkpXE
( )43421
2
3)(
11
12
111 33
2
3
)1(
9
2
3
)1(2
3
²2²²)(
==
+∞
=−
+∞
=−
+∞
=
+∞
=
+∞
=∑∑∑∑∑ +−=+−====
XE
kk
kk
kk
kk
k
kkkkkkkkXpkXE
32
3
98
274
2
3
3
11
2
9
2
33
2
3
)1(
9
2²)(
3
2
3)(
11
12
=+×
×=+
−×=+−=
==
+∞
=−
+∞
=− ∑∑
43421XE
kk
kk
kkkXE
4
3
4
93
4
9²)()( =−=−= XEXV
Exercice Un jeu télévisé consiste à réussir chaque semaine une épreuve. On suppose que pour tout *Nk ∈ , la probabilité de succès à la semaine k est k/1 Le joueur est éliminé au premier échec. On note X la variable aléatoire égale au numéro de la semaine du dernier succès.
1)Justifier que *)( NX =Ω . Déterminer la loi de X, vérifier que 1)(1
==∑+∞
=k
kXp
2) calculer l’espérance et la variance de X
L.Gulli Page 49 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Corrigé : Notons jS l’événement le joueur a réussi à la semaine j et j
Spp jj
1)( == ;
j
jSp j
1)(
−= ; 0)( 1 =Sp . ( ) *NX =Ω il n’y a pas de limite pour les succès
Soit *Nk ∈ ; Si 1=k ; 2
1
2
11)()1( 21 =×=== SSpXp
Si 2≥≥≥≥k ; )!1(1
1...
2
1
1
1)...()( 121 +
=+
××××=== + k
k
k
k
kSSSSpkXp k
k
k43421
11
1
!
1
!
1
!
1
)!1(
1
!
1
)!1( 212
1
221
1
==−=−−
=−=+ ∑∑∑∑∑∑
+∞
=
+∞
=
+∞
=
−=+∞
=
+∞
=
+∞
=
+=
jkj
jk
jjk
kj
jkjjj
j
k
k
2°) ∑∑∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+=+−=+−=−=
+=
22222
²
1
1
!
1
!2
!
²
!
12²
!
)1(
)!1()(
jjjjjk
kj
jj
j
j
j
j
jj
j
j
k
kkXE
∑∑∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=+
−−+−=+−=
222222 !
1
)!1(
12
!
)1(
!
1
!2
!
²)(
jjjjjj jjj
jjj
jj
j
j
jXE
∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+−
−−
+−
=2222 !
1
)!1(
12
)!1(
1
)!2(
1)(
jjjj jjjjXE
∑∑∑∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=−=−=+−=+
−−
−=
0210222
11!
1
!
1
!
1
!
1
!
1
)!1(
1
)!2(
1)(
kjkkjjj
ekjkkjjj
XE
∑∑∑∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+=−+−=−+−=−=
+=
222
2
2
3
2
3
2
3
1
1
!
1
!3
!3
!!
13²3
!
)1(
)!1(²²)(
jjjjjjk
kj
jj
j
j
j
j
j
j
jjj
j
j
k
kkXE
∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
−+−=222
2
2
3
!
1
!3
!3
!²)(
jjjj jj
j
j
j
j
jXE Or jjjjjj 2²3)2)(1(3 −+−−=
Donc ∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
−+−−+−−=222
2
2 !
1
!3
!3
!
2²3)2)(1(²)(
jjjj jj
j
j
j
j
jjjjjXE
∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
−+−−=222 !
1
!!
)2)(1(²)(
jjj jj
j
j
jjjXE
)2
11()1(
!
1
!
1
!
1
!
1
)!1(
1
)!3(
1²)(
210223
−−−−+=−+=−−
+−
= ∑∑∑∑∑∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=eee
jkkjjjXE
jkkjjj
2
1²)( += eXE ;
2
13²)²1(
2
1)²(²)()( −+−=−−+=−= eeeeXEXEXV
Exercice On effectue infinité de lancers d’un dé équilibré. X est la variable aléatoire qui donne le nombre le nombre de lancers nécessaires à L’obtention du premier 1.
1)Justifier que *)( NX =Ω . Déterminer la loi de X, vérifier que 1)(1
==∑+∞
=k
kXp
2) calculer l’espérance et la variance de X Corrigé : *)( NX =Ω .Notons kU obtenir 1 au k ième lancer
1)1( UX == , pour 2≥k kk UUUkX ∩∩∩== −11 ...)( donc 6
1
6
5)(
1
×
==−k
kXp
L.Gulli Page 50 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Vérification : 16
1
6
51
1
6
1
6
5)(
1
1
1
=×−
=×
== ∑∑∞+
=
−∞+
= k
k
k
kXp
6²
6
51
1
6
1
6
5
6
1
6
1
6
5)()(
1
1
1
1
1
=
−×=
=×
=== ∑∑∑∞+
=
−∞+
=
−∞+
=
géomsuitedérivée
k
k
k
k
k
kkkXkpXE
66660²
6
51
1
6
1
6
51
2
6
1
6
5
6
1
6
5
6
5
6
1
6
5)1(
6
1
6
5
6
1
6
5)1(
6
1
6
5²)(²²)(
31
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
=+=
−×+
−××=×
+××
−=
×
+×
−=×
===
∑∑
∑∑∑∑∞+
=
−∞+
=
−
∞+
=
−∞+
=
−∞+
=
−∞+
=
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kkk
kkkkkXpkXE
303666)²(²)()( =−=−= XEXEXV Exercice Un commerçant estime que la demande d’un certain produit saisonnier est une
variable aléatoire de loi définie par Nk ∈∀1)1(
)( ++==
k
k
p
pkXp
1°)Vérifier que X suit bien une loi de probabilité 2°)Calculer E(X) et V(X) si elles existent
Corrigé 1
11
1
1
1
)1(1
1
)1()(
01
00
=
+−
×+
=++
=+
== ∑∑∑∈+
=+
∈+
=
∈+
=
p
ppp
p
pp
pkXp
k
k
kk
k
kk
p
p
pp
p
pp
pk
p
p
pp
pkkXkpXE
k
k
kk
k
kk
=
+−
×+
×+
=++
×+
=+
=== −
−∈+
=+
∈+
=
∈+
=∑∑∑
²1
1
1
11
1
)1(11
1
)1()()(
1
1
11
11
on note p
pr
+=
1 donc p
r+=
−1
1
1
( ) )²1(
²²2²
1
2
1
1²
1)1(
1
1²
1
1)1(
1
1²
1
1)(²²)(
32
2
1
1
1
1
1
1
1
p
ppr
rpr
p
prrkk
pr
krp
rkkp
rrkp
rkXpkXE
k
k
k
k
k
k
k
k
k
++=+
−×
+×=
+×+−
+×=
++×−
+×=
+×===
∑
∑∑∑∑∞+
=
−
+∞
=
−+∞
=
−+∞
=
−+∞
=
)²1(
²²)²(²)()(
p
ppXEXEXV
++=−=
Exercice Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un urne contient nboules numérotées de 1 à n . On extrait de l’urne simultanément 2 boules au hasard et on note X la V.A égale au plus grand numéro tiré. Déterminer )(ΩX , puis pour )(Ω∈ Xk )( kXP ≤ En déduire la loi de X, et son espérance
L.Gulli Page 51 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Corrigé : [ ]nX ;2)( =Ω Soit [ ]nk ;2∈ ; ⇔≤ )( kX les deux numéros sont inférieurs ou égaux
à k Donc on a tiré 2 numéros parmi k donc )1(
)1(
2
2)(
−−=
=≤nn
kkn
k
kXP
Loi de X pour [ ]nk ;3∈
)1(
)1(2
)1(
)2)(1(
)1(
)1()1()()(
−−=
−−−−
−−=−≤−≤==
nn
k
nn
kk
nn
kkkXPkXPkXP
Et )1(
2)2(
−===
nnXP donc dans tous les cas [ ]nk ;2∈∀
)1(
)1(2)(
−−==
nn
kkXP
Vérification 12
)1(
)1(
2)1(
)1(
2
)1(
)1(2)(
111
=−×−
=−−
=−−== ∑∑∑
===
nn
nnj
nnnn
jjYp
n
j
n
j
n
j
)1(
)1(
)1(
²2
)1(
2
)1(
²2
)1()1(
2
)1(
)1(2)( 111
11 −+−
−=
−−
−=−
−=
−−×=
∑∑∑∑∑ ===
== n
n
nn
j
nn
j
nn
j
jjnnnn
jjYE
n
j
n
j
n
jn
j
n
j
Or 6
)12)(1(²
1
++=∑=
nnnj
n
j
donc
3
)1(21
3
12
)1(
1
)1(
1
)1(3
)12)(1(
)1(2
1
)1(6
)12)(1(2
)(+=
−+−+=
−+−
−++=
−+−
−
++×= nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
nnn
YE
EXERCICE Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramète λ Déterminer les valeurs de Nk ∈ pour lesquelles )( kXp = est maximum
Corrigé : Posons !
)(n
enXPa
n
n
λλ−
=== , on étudie cette suite
+−−=−
−
+ 1
1
!1 n
n
n
eaa
na
nn
λλ
naa nn <−⇔<−+ 101 λ
Si 01<−λ alors pour tout Nn ∈∈∈∈ nn aa ≤≤≤≤++++1 le maximun de la suite est 0a , donc k=0
Si 01=−λ alors 10 aa ==== et pour tout 1≥n nn aa <+1 , donc k=0 et k=1
Si 01>−λ pour tout n tel que )(λEntn ≥ , λλ >+≥+ 1)(1 Entn donc on a nn aa <+1 Le
maximum est alors )(λEnta , donc )(λEntk =
Exercice On considère un jeu de 32 cartes. On effectue une série de tirages successifs en remettant à chaque fois la carte tirée. On note Z la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier roi. Donner la loi de Z. Calculer son espérance et sa vaiance.
Corrigé : On tire le premier roi au kième tirage si : On n’a pas tiré de roi aus (k-1) premiers tirages et on tire 1 roi au kième tirage.
11
8
7
8
1
32
428−−−−−−−−
====××××========
k
k
k
kZP )( . ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞∞∞∞++++
====
−−−−∞∞∞∞++++
====
−−−−∞∞∞∞++++
====
====
============1
1
1
1
1 8
7
8
1
8
7
8
1
k
k
k
k
k
kkkZkPZE )()(
L.Gulli Page 52 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Or ∑∑∑∑∑∑∑∑∞∞∞∞++++
====
−−−−∞∞∞∞++++
========
′′′′
1
1
0 k
k
k
k kxx donc )²( xx
kxk
k
−−−−====
′′′′
−−−−====∑∑∑∑
∞∞∞∞++++
====
−−−−
1
1
1
1
1
1
Donc 8
8
1
1
8
1
8
71
1
8
1
8
7
8
122
1
1
====
××××====
−−−−××××====
∑∑∑∑
∞∞∞∞++++
====
−−−−
k
k
k donc 8====)(ZE
(((( ))))28−−−−==== ²)()( ZEZV : 4434421
)(
)()()()(²²)(
ZE
kkk
kZkPkZPkkkZPkZE ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====
+∞+∞+∞+∞
====
+∞+∞+∞+∞
========++++====−−−−============
111
1
2
2
1
221 8
71
8
7
8
1
8
7
8
1111
−−−−∞∞∞∞++++
====
−−−−∞∞∞∞++++
====
∞∞∞∞++++
====
∞∞∞∞++++
====
−−−−××××====
−−−−========−−−−========−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑k
k
k
kkk
kkkkkZPkkkZPkk )()()()()()(
Or
(((( ))))302
2
1
21
xxxkk
k
k
k
k
−−−−====
″″″″
====−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∞∞∞∞++++
====
∞∞∞∞++++
====
−−−−)( Donc 33
2
2
82
8
71
2
8
71 ××××====
−−−−====
−−−−−−−−∞∞∞∞++++
====∑∑∑∑
k
k
kk )( donc
112828
7
8
1
8
71
8
7
8
1 32
2
====××××××××××××====
−−−−××××−−−−∞∞∞∞++++
====∑∑∑∑
k
k
kk )(
1208112111
====++++========++++====−−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====
+∞+∞+∞+∞
==== 4434421)(
)()()(²)(
ZE
kk
kZkPkZPkkZE
Exercice A et B sont deux avions ayant respectivement 4 et 2moteurs. Chaque moteur a la probabilité p de tomber en panne et les moteurs sont indépendants les uns des autres .Chaque avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombent en panne . Quel avion choisissez vous ?
L.Gulli Page 53 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Exercice Deux joueurs lancent une pièce de monnaie équilibrée n fois chacun. Calculer la probabilité qu’ils obtiennent le même nombre de fois pile. Corrigé : Notons X et Y les VAR égales au nombre de piles obtenus par chacun des joueurs. X et Y suivent des lois binômiales B(n,1/2) L’événement YX ==== se décompose en
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]])()(.......)()()()( 111100 ====∩∩∩∩====∪∪∪∪∪∪∪∪====∩∩∩∩====∪∪∪∪====∩∩∩∩====⇔⇔⇔⇔==== YXYXYXYX 2à2 disjoints et indépendants donc
(((( )))) (((( )))) ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============
====
====================
n
kn
n
kn
n
k k
n
k
nkYpkXpYXp
0
2
20
2
0 2
1
2
1)(
Or
−−−−====
kn
n
k
n donc
====
−−−−
====
∑∑∑∑∑∑∑∑
======== n
n
kn
n
k
n
k
n n
k
n
k
2
00
2
donc n
n
n
YXp22
2
============ )(
Exercice Soit X une variable aléatoire telle que NX =Ω)(
Déterminer la loi de X si )1(3
)( −=×== nXpn
nXp pour tout *Nn∈
Déterminer son espérance et sa variance Corrigé : Posons )( nXPan ========
On a ;
01
21
1
1
3
1
3
3
aa
an
a
an
a
nn
nn
====
−−−−====
====
−−−−−−−−
−−−−
....... par produit on obtient 0
3a
na
n
n !====
Et 10
========∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====k
kXP )( donc 13
00 ====∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====k
k
ak!
donc 33
0
0
1
3
1 −−−−∞∞∞∞++++
====
============
∑∑∑∑e
ek
a
k
k
!
Donc 33 −−−−==== en
an
n ! donc 33 −−−−======== e
nnXP
n
!)( loi de Poisson de paramètre 3
L.Gulli Page 54 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Variables aléatoires continues, et fonctions de variables aléatoires. Exercice
Soit f la fonction définie sur Rpar
<
≥=
10
12
)( 3
xsi
xsixxf
1°)Montrer que f est une densité 2°) Soit X une var de densité f , déterminer la fonction de répartition de X et son espérance Corrigé :
1°) 1²
12)(
11 3
=
−==+∞
∞+∞+
∞− ∫∫ xdx
xdxxf
2°) ∫ ∞−=
xdttfxF )()( si 1<x 0)( =xF
Si 1≥x²
11
²
12)()(
11 31 xt
dtt
dttfxFx
xx−=
−=== ∫∫
222
)()(1
1 21=
−===+∞
∞+∞+
∫∫ tdt
tdtttfXE
Exercice X est une var qui suit une loi exponentielle de paramètre λ . Déterminer la valeur de R∈α pour que )()( αα ≤=> XPXP Corrigé :
)(1)( αα ≤−=> XPXP donc
2
1)()()(1)()( =≤⇔≤=≤−⇔≤=> ααααα XPXPXPXPXP
λααλαα λαα λ )2ln(
2
10
2
10
2
1)(
0=⇔=>⇔=>⇔=≤ −−
∫ eetdteetXP t
Exercice
Soit f la fonction définie sur Rpar [ ][ ]
∈+−−∈+
>−<=
1;01
0;11
110
)(
xsix
xsix
xouxsi
xf
1°)Montrer que f est une densité 2°) Soit X une var de densité f , déterminer la fonction de répartition de X et son espérance Corrigé :
1°) 12
1
2
1
2
)²1(
2
)²1()1()1()(
1
0
0
1
1
0
0
1=+=
−+−+
+=+−++=−
−
∞+
∞− ∫∫∫xx
dxxdxxdxxf
2°) ∫ ∞−=
xdttfxF )()( si 1−<x 0)( =xF
Si [ ]0;1−∈x2
)²1(
2
)²1()1()(
11
+=
+=+=−
−∫xt
dttxFx
x
L.Gulli Page 55 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Si [ ]1;0∈x2
)²1(1
2
)²1(
2
)²1()1()1()(
0
0
10
0
1
+−−=
−+−+
+=+−++=−
− ∫∫xtt
dttdttxFx
x
Si 1≥x 12
1
2
1
2
)²1(
2
)²1()1()1()(
1
0
0
1
1
0
0
1=+=
−+−+
+=+−++=−
− ∫∫tt
dttdttxF
02
1
3
1
2
1
3
1
2323)1()1()()(
1
0
230
1
231
0
0
1
1
1=
+−+
−=
+−+
+=+−++==
−−− ∫∫∫
ttttdtttdtttdtttfXE
Exercice X est une var qui suit une loi exponentielle de paramètre λ . Soit [ ]XEY = , la partie entière de
X. Déterminer la loi de Y et son espérance Corrigé : Puisque X est une var qui suit une loi exponentielle de paramètre λ .
Alors X ne prend que des valeurs positives ou nulles car
<≥
=−
00
0)(
xsi
xsiexf
xλλ
DONC [ ]XEY = ne prend que des valeurs entières dan N
kY = 1+<≤⇔ kXk donc )( kYP = )1()1(1 λλλλ −−+ − −===+<≤ ∫ eedxekXkP kk
k
x
E(Y)=
[ ] ( ) λ
λ
λ
λλλλλλλλλλ
−
−
−
−−−
−+∞
=
−−−+∞
=
−−−−+∞
=
−−
−=
−×−=−=−=− ∑∑∑
e
e
e
eeeekeekeeeeke
k
kk
k
k
k
1)²1()1()1()1()1(
21
11
)1(
1
λ
λ
−
−
−=
e
eYE
1)(
2
Exercice
la fonction de répartition F d’une var X est définie sur Rpar :
<
≥−=
20
21)( 2
xsi
xsix
kxF
Déterminer la valeur de k , la densité f de X et son espérance Corrigé : Une fonction de répartition est continue sur R donc
)2()(lim22
FxFxx
=<→
donc 4
10k−= donc 4=k
<
≥==
20
28
)(')( 3
xsi
xsixxFxf
1²2
18
8)()(
22 32
=
−===
+∞∞+∞+
∫∫ tdt
tdtttfXE
Exercice X est une var qui suit une loi normale centré réduite . Soit XeY = .. Déterminer la loi de Y et son espérance. Indication : on pourra noter G et F les fonctions de répartition de Y et de X et exprimer G en fonction de F.
L.Gulli Page 56 sur 56 Colles ECE 1ère année Corrigés
Corrigé : Soit G la fonction de répartition de Y et F celle de X
)()()( xePxYPxG X ≤=≤=
Si 0≤x , ∅=≤ )( xeX donc 0)( =≤ xeP X
Si 0>x )(ln2
1))ln(()()()( 2
²)ln(
xFdtexXPxePxYPxGt
xX ==≤=≤=≤=−
∞−∫ π
Donc )(ln)( xFxG = donc )(ln1
)( xfx
xg =
( ) ( )
444 3444 211
12
1
2
1
2
11
2
1
2
²
2
² 22
2
1
2
1
2
1
2
1)()(
=
∞+
∞−
−−∞+
∞−
−−∞+
∞−
+−∞+
∞−
−∞+
∞− ∫∫∫∫∫ ====== dxeedxeedxedxeedxxfeYExxx
xxxx
ππππ
Or ( )
12
1 212
1
=∫∞+
∞−
−−dxe
x
π densité de N(1/2,1) Donc 2/1)( eYE =
![Eric Prié & Aaron Summerscale - Colle & Anti-Colle [D02-05]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/55cf97e3550346d033943939/eric-prie-aaron-summerscale-colle-anti-colle-d02-05.jpg)
