Les concepts dopérations du CP au CM2 du sens aux techniques Stage départemental mathématiques 205 « Nombres et calculs en école élémentaire Cycles 2 et

Les concepts d’opérations du CP au CM2

du sens aux techniques

Stage départemental mathématiques 205

« Nombres et calculs en école élémentaire

Cycles 2 et 3 »

Sandrine Micoud et Fabien VallierCPC La Tour du Pin et BJ1

D'après un document de Christophe Clanché IEN La Tour du Pin

Plan de la journée Quelle place et quels enjeux donnés à l’apprentissage du calcul posé à l’école

élémentaire ?

Nombres et calcul au cycles 2 et 3 : ce qui vous questionne ou met en difficulté

• Faut-il insister sur le sens lors de l’apprentissage d’une technique opératoire ? Enseigner seulement la technique durant un temps dédié ?

• Comment aider les élèves à faire le lien entre les connaissances sur les nombres et les opérations et leur utilisation dans la résolution de problèmes ?

– Comment faire acquérir les tables de multiplication aux élèves qui « bloquent » ?

– Technique opératoire de la division

– Situations relevant de la soustraction

• Comment aider certains élèves qui n’ont pas encore certains automatismes simples ?

• Quels outils pour les élèves les plus en difficulté ?

Les constats :Evaluations CE1 – 2011 : exemple

d’une circonscription (La Tour du Pin)3 items les plus échoués

(moins d’1/3 des élèves en réussite) dans le même domaine ….

… en CALCUL !

C’est également dans ce domaine que l’écart avec le reste du département est le plus important.

Circo . Tour du Pin

Isère

Effectuer 3 divisions

33 % 37,6 %

Effectuer 2 multiplications

32 % 40 %

18 : 2 20 : 5 60 : 2

52 x 3 130 x 5

Problème de partage

21 % 24,9 %

Problème soustractif

47,7 % 50,7 %

Problème multiplicatif

50 % 56,3 %

225 - 112

12 x 4

Partage de 75 en 3

Item 89

Item 79

Item 79

Item 92 Seulement un élève sur 5 a trouvé la bonne réponse.

Deux exercices réussis par moins d’un élève sur 2

Deux exercices réussis par moins d’un élève sur 2

Évaluations CM2 – 2011- Isère

13 items – 5 compétences

pas de problème particulier pour :C1 77.5 % et 81.5% de réussite)C5 74,5% de réussite

1313i

j

j

j

C1

hh

C2 : environ 52% de réussite

8,3 x 5 = ? 246 + 34 + ? = 500

Des résultats quasi identiques

Multiplication :

Problème de retenue : nécessité de l’écrire – pb à retenir

Problème de virgule : oubli

C2 Calculer mentalement

Problème de technique

8 X 5

C2 Calculer mentalement

addition à trou (246 + 34) (500 – 280) réponse : 220

1ère étape bien réalisée mais écrite et erreur de retenue

Incompréhension de l’addition à trou (complément)

Erreurs de calcul :

autres propositions : 150 – 293 – 21 - 86

C3 – Poser et effectuer une addition : 64,5% de réussite

• Bons résultats

Erreur sur la partie décimale :

oubli de la virgule

bbbbbbC3 – Poser et effectuer une addition

Erreurs de disposition / d’alignement :

C3 – Poser et effectuer une addition

• Les nombres sont transformés :

C3 – Poser et effectuer une soustraction : 74% de réussite

• placer la virgule

• Notion d’écart constant :

C3 – Poser et effectuer une multiplication : 81% de réussite

avec le même

résultat

C3 – Poser et effectuer une multiplication (Nombre décimal X entier à 1 chiffre) : 51% de

réussite • 14 X 30 nombre d’étapes

place/rôle de

la virgule

pb de numération

C4 : quotient entier (79% de réussite ) quotient avec 1 partie décimale (43%)

• Nombre de chiffres au quotient

• partie décimale

C6 : 71% trouvent la bonne opération mais seulement 25% le résultat

La théorie des conceptsLes problèmes qui

peuvent être résolus à l’aide du

concept

Les résultats, algorithmes,

procédures qui sont à mémoriser, automatiser ou qui

pourront être élaborés

Les éléments langagiers qui

permettent d’évoquer le concept (langage

verbal et symbolique)

Les propriétés utilisables

Les problèmes :

2 types de multiplication :

la multiplication combinaison (Cf. tableau à 2 entrées, produit de mesure) la multiplication transformation : prendre plusieurs fois une grandeur (additions réitérées)

Le langage :

« scolaire » : fois, multiplié par, multiplicateur, multiplicande, produit, multiple

« en situation » :• Faire des paquets de, des piles de, des rangées de, des colonnes de, des groupes de… prendre autant de fois reporter… fois

Le langage symbolique : à l’école seulement a x b = c ou x c

a b au collège : a.b = c ou ab=c

Le concept de

multiplication

Procédures et résultats :

procédure de calcul mental :CommuterDécomposer / associer / distribuerCompenser

algorithme écrit :décomposer : les tableauxla technique françaisedécortiquer d’autres techniques

les tables :construirearticulermémoriserrestituer « automatiquement »utiliser « à l’envers »

Les propriétés :

• la commutativité

l’associativité

l’élément neutre : 1

l’élément absorbant : 0

chaque nombre différent de 0 a un symétrique (appelé inverse) : a x 1/a = élément neutre

la distributivité

Le concept de

multiplication

La multiplication : par où commencer ?

L’addition réitérée

ouLes quadrillages

???

Historiquement…Les Grecs mettaient toujours en

relation le numérique et le géométrique :

□Un nombre représenté par une longueur 5 cm

X X □Un produit de 2 nombres

représenté par l’aire d’une surface

8 multiplié par 5 8 x 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 (5 fois 8)

8 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 Mais 8,2 x 1,7 = ???

Les limites de l’addition réitérée

Alors que …□5,4 x 6,3

□Et même…

?

6,3 cm

5,4 cm

Les propriétés à acquérir

La commutativité : 3 x 25 = 25 x 3

Absolument nécessaire pour la multiplication posée: 2 x 327 se pose en fait en 327 x 2Pas évident si l’on reste sur le sens « additionsréitérées »

5 paquets de 6 mais6 paquets de 5 ???

3 barres de 6 carreaux ou6 barres de 3 carreaux

Les propriétés à acquérirLa distributivité (à droite et à gauche)3 x 15 = (3 x 10) + (3 x 5) et 15 x 3 = (10 x 3)

+ (5 x 3)Indispensable pour introduire la technique

opératoire.

Avec l’addition réitérée :5 paquets de 6 billes, c’est 2 paquets de 6 billes

plus 3paquets de 6 billes.

Avec le produit de mesures :6 rangées de 3 carreaux c’est 2 rangées de 3 carreaux plus 4 rangées de 3 carreaux.

Activités préparatoires à mener au CP, au CE1 : rappels

EN VRAC OU ORGANISES ?

3

2

6

RÉALISONS DES COUPLES ET DÉNOMBRONS-LES !

Retrouvons le bon rectangle

La table de multiplication

À construire et à analyser avec les élèves

Les tables de multiplication

Leur donner du sens, une nécessité !

Jean Simon travaille rue Albert GuillaumeJean Paul travaille rue Guillaume Albert

Paul Roger travaille rue Jean Roger

Essayez de mémoriser cela en 30 secondes


Leur donner du sens, une nécessité !

3 X 4= 12,

3 X 7= 21

7 X 5= 35

1 Albert

2 Guillaume

3 Jean

4 Simon

5 Roger

7 Paul

Jean Simon travaille rue Albert GuillaumeJean Paul travaille rue Guillaume Albert

Paul Roger travaille rue Jean Roger



Une progression basée sur la réflexion :

Après la table de 2, les tables de 4 et de 8 peuvent être reconstruites.

Même remarque après la table de 3 pour 6 et 9.

La seule n'ayant aucun lien avec les autres, donc a priori la plus difficile à mémoriser, c'est la table de 7. Mais, en réalité, il ne reste alors que 7 x 7 à apprendre. Tous les autres peuvent être retrouvés par commutativité (Exemple : 7 x 8 et 8 x 7 ….)


Les cowboys

Les chaises mu…ltiplicatives

Des activités :d u

Pour les élèves en difficultés travailler les résultats qui ne sont pas connus !

A vous de jouer

A vous de jouer !!!!A vous de jouer !!!!

Les tables de multiplication : avec des jeux

Des jeux à fabriquer : en fabriquant 1 jeu de chaque, toute la classe peut jouer en même temps !

* le jeu des mariages* le jeu de mémory* le jeu de la table* le jeu de Pythagore* les 50 cases* le jeu des multiples

Les mariages

Jeu de mémory

Jeu de rapidité

Jeu de Pythagore

A vous de poser : 34 X 23

La technique opératoireUn préalable la décomposition des

nombres car …

La technique opératoire

Multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à deux chiffres :

Combien vaut 34 × 23 ?34 × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage :

23

34

Pour trouver le nombre de carreaux du quadrillage, on décompose 34 :

On aura donc deux calculs à faire :

4 × 23

30 × 23

Et pour trouver combien vaut 34 × 23 on ajoutera les deux résultats trouvés.

4

30

4 × 23

30 × 23

34 = 30 + 4

4 × 23

30 × 23

4 × 23 = 92

23

34

3 × 23 = 69

donc

30 × 23 = 690

Disposition habituelle des calculs :

23

34

4

30

4 × 23

30 × 23

2 3

× 3 4

9 2

6 9 0

7 8 2

Multiplication posée que nous avons retenue

34 X 23

ou

Et les décimaux ...

La division

Les problèmes :

de type groupement (quotition)

de type partage(partition)

de type « fois moins »Proportionnalité

Le langage :

« scolaire » : diviser/divisionquotient, reste, dividende, diviseur

« en situation » : partager, part faire des paquets de, rassembler par … combien de fois

Le langage symbolique :

: , /, « potence », barre de fraction

Le concept de

division


procédure de calcul mental : moitié, quart : 10, : 100 utiliser les propriétés

algorithme écrit :rechercher le nombre de chiffres du quotientécrire la table du diviseurécrire les soustractions intermédiaires

les tables :connaître les tables à l’envers

Les propriétés :

elle n’est pas commutative

elle n’est pas associative


tout nombre différent de 0 est son propre symétrique (a : a = 1)

le quotient d’une somme est égal à la somme des quotients(18 + 6) : 3 = (18 : 3) + (6 : 3)24 : 3 = 86 + 2 = 8

diviser par un produit équivaut à diviser par chacun des termes du produit24 : (2X4) = (24:2 ) : 424 : 8 = 12 : 4 =3

Le concept de

division

La division : les particularités

Le symbole « : » ne sert que dans descas particuliersExemple : 45 : 5 = 9N’est valable que comme réciproque

de la multiplicationMais 47 : 5= ?47: 5 = 9 reste 2 est

incorrect Donc 47= (9 x 5) + 2

Les 2 sens de la division

… et un 3ème !

Dans le catalogue « Vert gazon », on peut acheter 2 chaises de jardin pour 76 €.

Quel est le prix d’une chaise ?

J’apprends les maths

Ni partition, ni quotition … mais

Proportionnalité (notion de « fois moins ») « Si 2 chaises coûtent 76€, une chaise

coûtera donc 2 fois moins cher »

Quelle progression ?

En fonction du type de problème

Des procédures différentes

Groupement

Partage (Quotition)

(Partition)


Quelle progression ?Partage


1 – On commence par des situations de quotition


11


2 – On continue par des situations de partition

A vous de poser :

3750 : 24

Division : la technique

Seulement au CE2 !

Programmes 2008 :CE1 : il n’est jamais fait mention de la

technique opératoire de la division« diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à

100 (quotient exact entier) »« approcher la division à partir d’un

problème de partage ou de groupements »

Division : la technique

On utilise dès le début des situations avec reste : pour éviter d’installer une mauvaise

représentation de la division !

Au CE2

La division : les particularités

Le résultat de la division est composé de

deux nombres : le quotient et le reste

47 divisé par 5 a pour quotient 9 et pour reste 2

47 = (9 x 5) + 2 alors que le résultat de toute

autreopération est composé d’un seul

nombre

Savoirs et savoir-faire utiles :

-Savoir faire la différence entre partages équitables et partages non équitables

- Connaître les techniques de l’addition, de la soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication

- Savoir ce qu’est un multiple et savoir écrire la table des multiples d’un nombre donné (exemple : table des multiples de 16)

Problèmes précédant le travail sur la technique posée traditionnelle (1 séance)

- On peut commencer par une situation de groupement (« Combien de paquets ? ») avec un quotient à un chiffre qui permettra de faire un travail sur les multiples sans aborder encore la technique posée traditionnelle.

Exemple : 171 bonbons - des paquets de 25 bonbons - combien de paquets ?

171 = (6 X 25) + 21

- On peut continuer par une situation de partage (« Combien dans chaque paquet ? ») avec un quotient à un chiffre qui permettra, elle aussi, de faire un travail sur les multiples toujours sans aborder la technique traditionnelle.

Exemple : 213 bonbons - 25 enfants – combien de bonbons chacun ? 213 = (8 X 25) + 13

- Problème que les élèves sont amenés à résoudre en utilisant des procédures personnelles

Exemple : un géant qui fait des pas de 15 km part de son premier château pour allervers son deuxième château distant de 3530 km.Combien de pas le géant doit-il effectuer pour atteindre ce deuxième château?

La mise en commun permet de faire apparaître les différentes procédures utilisées par les élèves

On peut garder sous la forme d’affiches des traces des procédures utilisées de façon à pouvoir s’y référer lors des séances suivantes.

On peut écrire à la fin : 3530 = (235 × 15) + 5

Rappel : Il semble préférable, au niveau mathématique d'avoir dès le départ une division avec reste pour ne pas donner une fausse image de la notion de division …

Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (2 ème séance)

Remarque : on peut d’abord faire construire la table des multiples de 15 et demander d’utiliser cette table pour effectuer des calculs du type 5 × 15, 50 ×15, 500 ×15, 5000 ×15, …

Elaborer progressivement la technique posée traditionnelle c’est s’intéresser parmi les différentes procédures utilisées pour résoudre le problème du géant, à la procédure soustractive qu’on va améliorer pour le rendre de plus en plus efficace.

On pourra, par exemple,arriver à une présentation de ce type :

3 5 3 0 1 5- 1 5 0 0 1 0 0

2 0 3 0- 1 5 0 0 1 0 0

5 3 0- 1 5 0 1 0

3 8 0- 1 5 0 1 0

2 3 0 - 1 5 0 1 0

8 0- 7 5 5 5

Le géant fait

235 pas

Il lui reste encore 5 km à parcourir

Nouveau problème (problème avec une division-partition alors que le problème du géant était un problème de division-quotition)

24 flibustiers veulent se partager équitablement 3750 pièces d’or.Combien auront-ils chacun ?

Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle …suite

(3ème et 4ème séances mais qui ne suivent pas nécessairement immédiatement la deuxième séance)

[Là encore, il y a un reste … (à ajouter à la part du capitaine, à enterrer en prévision de jours plus difficiles, … ? :-) ]

On pourra reprendre une présentation des calculs analogues à celle vue au paragraphe précédent puis l’améliorer pour arriver à :

3 7 5 0 2 4- 2 4 0 0 1 0 0

1 3 5 0 - 1 2 0 0 5 0

1 5 0 - 1 4 4 6

6

1 × 24 = 242 × 24 = 483 × 24 = 724 × 24 = 965 × 24 = 1206 × 24 = 1447 × 24 = 1688 × 24 = 1929 × 24 = 216

On utilise la table des multiples de 24 pour donner lemaximum de paquets de 100 pièces, puis le maximum de paquets de 10 pièces puis le maximum de pièces.

On peut écrire : 3750 = (156 × 24) + 6

Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle suite …

(5ème séance mais qui ne suit pas nécessairement immédiatement les précédentes et qui peut ne concerner que le CM2)

- Travail sur le nombre de chiffres du quotient :

Sans effectuer les divisions, trouver le nombre de chiffres du quotient (indiquer lenombre de chiffres du quotient en mettant – ou – – ou – – – à la place du quotient)et expliquer comment vous faites pour le trouver.

8 2 5 1 5 5 3 9 1 4 8 0 1 7

_ _ _ _ _ _

15 x 1 < 825 < 15 x 10

15 x 10 < 825 < 15 x 100 2 chiffres au quotient

□- Technique posée traditionnelle :

3 7 5 0 2 4- 2 4 0 0

1 3 5 0- 1 2 0 0

1 5 0- 1 4 4

6

1 5 6

Et les décimaux...

Additions et soustractions

Les problèmes :

composition de 2 états

transformation d’un état

comparaison de 2 états

composition de transformations

Le langage :

« scolaire » : ajouter, additionner plus somme, addition, total

« en situation » :• mettre ensemble réunir avancer en tout gagner / perdre

Le langage symbolique : a + b = c

Le concept

d’addition


procédure de calcul mental :

commuterdécomposer/associer/distribuercompenser

algorithme écrit :

groupement par 10, échangel’algorithme françaisdécortiquer un autre algorithme

les tables :construirearticulermémoriserrestituer « automatiquement »utiliser « à l’envers »

Les propriétés :

la commutativité

l’associativité


existence d’un symétrique :

a + (-a) = 0 (non étudié à l’école)

Le concept

d’addition

Les problèmes :

composition de 2 états

transformation d’un état

comparaison de 2 états

composition de transformations

Le langage :

« scolaire » :• ôter soustraire différence écart moins

« en situation » :• retirer, enlever reculer gagner, perdre le complément, ce qui manque ce qui reste

Le langage symbolique : a - b = c

Le concept de

soustraction


procédure de calcul mental :

impossibilité de commuter !décomposer/associer/distribuercompenser

algorithme écrit :

connaissance d’un des trois algorithmes :sans retenue (on casse les classes)avec retenues en basavec retenues en bas et en haut

comparaison des algorithmes

les tables : passer de la formulation :« 5 pour aller à 7 2 » à « 7 – 5 = 2 »

Les propriétés :

• elle n’est pas associative

elle n’est pas commutative

élément neutre : 0

propriété de l’ajout simultané :a-b = (a+c) – (b+c)

• soustraction d’une somme (cf. calcul réfléchi) : a-(b+c)= a-b-c

soustraction d’une différence (cf. calcul réfléchi)a-(b-c)= a-b+c

Le concept de

soustraction

La mémorisatio

n des répertoires additifs et

soustractifs

La mémorisation des répertoires additifs et soustractifs

Pour faciliter la visualisation des acquis

La technique opératoire de l’addition

Étroitement liée à la numération et aux échanges mais également à la connaissance du répertoire additif.

Importance de faire des jeux (le banquier, les enveloppes, les bûchettes...)

…. Film sur les bûchettes ……

Et les décimaux...

La technique soustraction

Plutôt les techniques !

A vous de poser : 4325 - 594


La technique par « cassage des classes »

Elle repose sur la décomposition des nombres : 32 = 20 + 12

1213


Limites de cette dernière :- Quand il y a des zéros …- Elle n’est pas la méthode

« traditionnelle » ( à la maison, on essaiera de leur apprendre l’autre!)

- Elle complique la tâche dans les divisions

Si elle est utilisée en CE1, il faut programmer sur l’école le passage à la méthode traditionnelle (en France !)


La technique « traditionnelle »

Elle repose sur la notion d’écart constant.

A Avec les décimaux …

En conclusion

Documents

Les concepts dopérations du CP au CM2 du sens aux techniques Stage départemental mathématiques 205 « Nombres et calculs en école élémentaire Cycles 2 et