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L’équilibre concurrentielLe modèle d’Arrow-Debreu
Yves Balasko27 février 2003
c©Yves Balasko 2003
1. Introduction
Les économistes considèrent qu’une caractéristique essentielle des marchés concurrentiels estqu’aucun agent économique n’est en position de modifier les prix du marché. Cette propriétén’est pas vérifiée dans le cas de monopoles, ou encore d’oligopoles controlant une part suffisantedu marché pour que de telles manipulations soient possibles.
Dans un marché concurrentiel, les prix du marché s’imposent comme des données exogènes auxdifférents agents économiques. Ces prix égalisent par hypothèse l’offre et la demande des dif-férents biens.
Le modèle d’Arrow-Debreu est la représentation mathématique du marché concurrentiel.
2. Le marché: biens et prix
2.1.Biens
Chaque bien (sur un marché) correspond à une grandeur mesurable (définition de l’égalité et de lasomme de deux quantités de cette grandeur).Choix d’une unité de mesure arbitraire.Chaque bien est divisible.Nombre fini de biensEspace des biens:R`
Le vecteurx = (x1, x2, . . . , x`) ∈ R` s’appelle souvent uncomplexeou unpanier de biens.
Noter que les coordonnées du vecteurx ne sont pas nécessairement positives.Interprétationéconomique?
2.2.Prix
Une fois que le choix d’uneunité est fait pour chaque bien, on considère le prixpj de l’unité dubienj. C’est un nombre> 0.
Le vecteurp = (p1, p2, . . . , p`) ∈ R`++ est appelé levecteur prix.
Le numéraire est un bien qui est choisi comme bien de référence à l’aide duquel on exprime lesprix des autres biens.Le numéraire est-il la même chose que la monnaie?
On choisit le -ième bien comme numéraire. C’est la même chose que poserp` = 1.
On noteS = R`−1++ × 1 l’ensemble des prixnormaliséspar la convention de numéraire.
2.3.Valeur d’un complexe de biens
Soitx = (x1, x2, . . . , x`) ∈ R` un complexe de biens. Soitp ∈ S un vecteur prix.
La valeur du complexe de biensx ∈ R` pour le vecteur prixp ∈ S est le produit scalaire
p · x = p1x1 + p2x
2 + · · ·+ p`x`.
3. Un premier agent économique: le consommateur
3.1.La fonction de demande individuelle
La fontion de demandedu consommateuri est une application
fi : S × R→ R`.
Le vecteurfi(p, wi) représente le panier de biens demandé par le consommateuri pour un vecteurde prix affichésp ∈ S and une richessewi ∈ R.
Interprétation économique defi(p, wi)?
Une propriété économique de la fonction de demande : La loi de Walras
p · fi(p, wi) = wi.
Interprétation économique de la loi de Walras?
3.2.Comprendre la fonction de demande
La notion d’ensemble de consommations
On noteXi le sous-ensemble de l’espace des biensR` qui représente l’ensemble des consom-
mations possibles pour le consommateuri. On dit queXi est l’ensemble de consommationduconsommateuri.
Plus haut, on avait implicitementXi = R`. Très souvent, on fait l’hypothèseXi = R
`+ ouR`++.
Interprétation économique?
La notion d’utilité
La fonction d’utilité du consommateuri est une application
ui : Xi → R.
On dit que le complexe de biensyi est préféré au sens large au complexe de biensxi si l’on aui(xi) ≤ ui(yi):
xi i yi ⇐⇒ ui(xi) ≤ ui(yi).
La relation binairei est une relation de préordre surXi. Quelles sont les propriétés carac-téristiques d’une relation de préordre?On dit quei représente lepréordre de préférenceduconsommateuri.
Un consommateur peut-il avoir plusieurs fonctions d’utilité différentes représentant le même préor-dre de préférence? Interprétation économique?
3.3.Hypothèses sur les préférences des consommateurs
Les préordres de préférences des différents consommateurs d’une économie satisfont un certainnombre de propriétés. Les plus fréquemment utilisées sont les suivantes:
1) Les fonctions d’utilitéui sont définies surXi = R`++ etC∞;
2)Dui(xi) > 0 (monotonicité);
3) Le systèmeXTi D
2ui(xi)Xi ≥ 0 et Dui(xi)TXi = 0
avecXi ∈ R` ne possède que la solutionXi = 0 (stricte quasi-concavité);
4) L’ensemble d’indifférenceyi ∈ Xi | ui(yi) = ui(xi) est fermé dansR` pour toutxi ∈ Xi.
Interprétations économiques des quatre conditions précédentes?
Exercice: Déduire de la Propriété (3) la propriété suivante de la matrice dite hessienne bordée dela fonction d’utilité:
Proposition 1. La matrice hessienne bordée[D2ui(xi) Dui(xi)Dui(xi)
T 0
]est inversible.
Illustration graphique dans le cas= 2.
3.4.Maximisation des préférences sous contrainte budgétaire et fonctions dedemande
Soitui : Xi → R une fonction d’utilité représentant le préordre de préférences du consommateuri.Soitp ∈ S un vecteur prix donné. On admet que si le consommateuri dispose de la richessewi > 0(donnée arbitrairement), ce consommateur cherche à maximiser l’utilitéui(xi) de la consommationxi ∈ Xi sous la contrainte de budgetp · xi ≤ wi.
Montrer que le problèmeMaximiser ui(xi)
sous la contrainte de budgetp · xi ≤ wi
etxi ∈ Xi admet une solution unique. On note cette solutionfi(p, wi).
Montrer que la contrainte de budget est saturée, c’est à dire que l’on ap ·xi = wi pourxi solutiondu problème.
Montrer que la fonction de demandefi déduite de la maximisation d’un préordre de préférencesatisfaisant les propriétés indiquées plus haut vérifie la relation de Walras. Quelle est la propriétéessentielle pour la validité de la relation de Walras?
Conditions du premier ordre
Les conditions nécessaires du premier ordre de ce problème de maximisation sous contraintes’obtiennent à partir du Lagrangien de ce problème. Ce Lagrangien s’écrit
ui(xi)− λi(p · xi − wi).
Les conditions du premier ordre s’obtiennent en écrivant que les dérivées partielles du premier
ordre du Lagrangien sont égales à0. Ces conditions sont donc
Dui(xi) = λip et p · xi − wi = 0.
Commexi = fi(p, wi), la première égalité s’écrit aussi sous la forme
Dui(fi(p, wi)) = λip,
avecλi > 0.
Proposition 2. Les conditions du premier ordre sont aussi suffisantes.
3.5.Différentiabilité de la fonction de demande individuelle
Proposition 3. La fonction de demandefi : S × R++ → R`++ obtenue par maximisation d’un
préordre de préférence vérifiant les hypothèses(1) à (4) sous contrainte budgétaire est de classeC∞.
Démonstration. On applique le théorème des fonctions implicites aux conditions du premier ordre.On axi = fi(p, wi) si xi est la solution du problème
Maximiser ui(xi)
sous la contraintep · xi = wi.
Ceci est équivalent à l’existence d’unλi > 0 tel que le couple(xi, λi) est solution du systèmed’équation défini par les conditions du premier ordre, à savoir
Dui(xi)− λip = 0 , p · xi − wi = 0
NotonsF (xi, λi, p, wi) = 0 ce système d’équation où les inconnues sont le couple(xi, λi) tandisque (p, wi) sont de simples paramètres. (On note que la fonctionF est évidemmentC∞.) Lethéorème des fonctions implicites dit qu’une condition suffisante pour que la solution(xi, λi) soitune fonctionC∞ des paramètres(p, wi) est que la matrice jacobienne
DF
D(xi, λi)
soit inversible.
Calculons donc cette matrice jacobienne:
On trouve
J =
[D2ui(xi) p
pT 0
]
On sait que l’on aDui(xi) = λip. Par conséquent, en multipliant la dernière ligne et colonne de lamatrice jacobienne parλi 6= 0 (Pourquoi sait-on queλi est 6= 0?) on obtient la matrice hessiennebordée de l’utilité [
D2ui(xi) Dui(xi)Dui(xi)
T 0
]matrice que l’on sait inversible. Il en résulte que(fi(p, wi), λi) est fonctionC∞ de (p, wi). Ceciimplique quefi(p, wi) est aussi fonctionC∞. (Pourquoi?)
4. Le modèle de l’économie d’échange
Une économie d’échange consiste en la donnée d’un certain nombre de biens`, d’un certain nom-bre de consommateursm, le consommateuri (avec i variant de1 à m) étant caractérisé parsa fonction de demandefi : S × R++ → R
`++ et par un vecteur de ressources individuelles
ωi ∈ Xi = R`++. On admet que les fonctions de demandefi sont obtenues par maximization de
fonctions d’utititéui (vérifiant les propriétés(1) à (4) vues plus haut) sous contrainte budgétaire.
4.1.Définition de l’équilibre concurrentiel
Soit p ∈ S un vecteur prix arbitrairement choisi, la demande du consommateuri est égale àfi(p, p · ωi). La demande totale (la somme des demandes individuelles) est égale à
m∑i=1
fi(p, p · ωi).
L’offre totale est la somme des offres individuelles, i.e.,
m∑i=1
ωi.
Definition 4. Le vecteur prixp ∈ S est un vecteur prix d’équilibre de l’économieω = (ω1, ω2, . . . , ωm)s’il y égalité entre offre et demande totale:
m∑i=1
fi(p, p · ωi) =m∑i=1
ωi.
Exercice: Montrer que les inégalités
m∑i=1
fi(p, p · ωi) ≤m∑i=1
ωi
etm∑i=1
fi(p, p · ωi) ≥m∑i=1
ωi
sont nécessairement des égalités.
Interprétation économique?
5. La notion d’optimum de Pareto
On dit que l’allocationx = (x1, x2, . . . , xm) est un optimum de Pareto s’il n’existe pas d’allocationy = (y1, y2, . . . , ym) vérifiant les deux propriétés suivantes:
ui(yi) ≥ ui(xi) pour touti, une inégalité au moins étant strictem∑i=1
yi =m∑i=1
xi.
Montrer que six = (x1, x2, . . . , xm) est un optimum de Pareto, alorsx est la solution du problèmede maximization sous contraintes suivant:
Maximiser u1(z1)
sous les contraintes
u2(z2) ≥ u2(x2)
. . . ≥ . . .
um(zm) ≥ um(xm)m∑i=1
z1i =
m∑i=1
x1i
. . . = . . .m∑i=1
z`i =m∑i=1
x`i
Réciproque?
Peut-on remplacer les inégalités dans les contraintes par des égalités? Expliquer.
5.1.Optimums de Pareto et prix supports
On dit que le vecteur prixp ∈ S supporte le panier de bienxi ∈ Xi si l’égalité suivante est vérifiée:
fi(p, p · xi) = xi.
Interprétation économique?
Soitx = (x1, x2, . . . , xm) une allocation de biens entre lesm agents de l’économie. On dit que levecteur prixp ∈ S supporte l’allocationx si le vecteur prixp supporte chaque composantexi del’allocationx.
Proposition 5. Soitx = (x1, x2, . . . , xm) un optimum de Pareto. Alors il existe un vecteur prixp ∈ S qui supporte l’allocationx = (x1, x2, . . . , xm).
Démonstration.
Si x = (x1, x2, . . . , xm) est un optimum de Pareto, alorsx est solution du problème de maximisa-tion
Maximiser u1(z1)
sous les contraintes
u2(z2) = u2(x2)
. . . = . . .
um(zm) = um(xm)m∑i=1
zi =m∑i=1
xi
Expliquer pourquoi?
Les conditions nécessaires du premier ordre de maximisation de ce problème d’optimisation souscontraintes prennent alors la forme où on a le Lagrangien
u1(z1) + λ1(u2(z2)− u2(x2)) + · · ·+ λm(um(zm)− um(xm))+
µ1(m∑i=1
z1i −
m∑i=1
x1i ) + · · ·+ µ`(
m∑i=1
z`i −m∑i=1
x`i)
Il suffit alors d’écrire que les dérivées partielles d’ordre un par rapport aux inconnues du problèmesans contraintes (i.e., lesz1, . . . ,zm, λ2, . . . ,λm, µ1, . . . ,µ`).
Cela donne en particulier à l’optimumx les égalités suivantes:
Du1(x1) = λ2Du2(x2) = · · · = λmDum(xm) = (µ1, µ2, . . . , µ`)T .
Les vecteursDui(xi) sont tous colinéaires. Soitp ∈ S l’unique vecteur prix (normalisé par laconvention de numéraire) qui est colinéaire avec ces vecteurs gradients. La conditionDui(xi)colinéaire avecp ∈ S devient équivalente à l’égalité
xi = fi(p, p · xi).
Pourquoi?
Ceci démontre que le vecteur prixp ∈ S supporte l’optimum de Paretox = (x1, x2, . . . , xm).
6. Les deux grandes propriétés classiques de l’équilibre concur-rentiel
6.1.Existence d’un vecteur prix d’équilibre pour toute économie d’échange
Pour toutω = (ω1, ω2, . . . , ωm) ∈ Ω, il existe au moins un vecteur prix d’équilibrep ∈ S.
6.2.Efficacité de l’allocation d’équilibre concurrentiel: Les deux théorèmesde l’économie du bien-être
Proposition 6 (Premier théorème de l’économie du bien-être).Toute allocation d’équilibre con-currentielx = (x1, x2, . . . , xm) est un optimum de Pareto.
Démonstration. On raisonne par l’absurde. On suppose quex = (x1, x2, . . . , xm) n’est pas unoptimum de Pareto.
Il existe doncy = (y1, y2, . . . , ym) tel que
ui(yi) ≥ ui(xi) pour touti, stricte pour au moins uni,m∑i=1
yi =m∑i=1
xi
L’inégalitéui(yi) ≥ ui(xi)
implique l’inégalitép · yi ≥ p · xi.
Pourquoi?
De même, l’inégalité stricteui(yi) > ui(xi)
implique l’inégalité strictep · yi > p · xi.
Encore une fois, pourquoi?
On en déduit la série d’inégalités (dont une au moins une est stricte)
p · yi ≥ p · xi pour touti
Additionnons membre à membre toutes ces inégalités; ça donne l’inégalité stricte (pourquoi?)
p · (m∑i=1
yi) > p · (m∑i=1
xi).
D’où une contradiction avec la conditionm∑i=1
yi =m∑i=1
xi.
Proposition 7 (Deuxième théorème de l’économie du bien-être).Soitx = (x1, x2, . . . , xm) unoptimum de Pareto. Il existe alors unω = (ω1, ω2, . . . , ωm) ∈ Ω tel quex soit une allocationd’équilibre possible pour l’économieω.
Démonstration.
Puisquex = (x1, x2, . . . , xm) est un optimum de Pareto, il existe un vecteur prixp ∈ S quisupporte l’allocationx, i.e.,
xi = fi(p, p · xi)pouri = 1, 2, . . . ,m.
Il en résulte que le vecteur prixp ∈ S (qui supporte l’optimum de Paretox) est aussi un vecteurprix d’équilibre pour l’économieω = x. Pourquoi?.
On a donc trouvé un exemple d’économieω pour lequel l’optimum de Paretox est une allocationd’équilibre concurrentiel.
Existe-t-il d’autres économiesω = (ω1, ω2, . . . , ωm) pour lesquellesx = (x1, x2, . . . , xm) est aussiune allocation d’équilibre concurrentiel? Décrire avec précision l’ensemble de ces économies.
Une observation concernant les optimums de Pareto
Proposition 8. Soit x = (x1, x2, . . . , xm) un optimum de Pareto (pour lesm consommateursdéfinis par les fonctions d’utilitéu1, u2, . . . , um et les ressources totalesx1 + x2 + · · · + xm.Alors(xi1 , xi2 , . . . , xik) est un optimum de Pareto pour les consommateurs définis par les fonctionsd’utilité ui1, ui2, . . . ,uik et les ressources totalesxi1 + xi2 + · · ·+ xik .
Démonstration.
On raisonne par l’absurde. Supposons que(xi1 , xi2 , . . . , xik) n’est pas un optimum de Pareto. Ilexiste donc une allocation(x′i1 , x
′i2, . . . , x′ik) qui est Pareto supérieure à(xi1 , xi2 , . . . , xik) et telle
quexi1 + xi2 + · · · + xik = x′i1 + x′i2 + · · · + x′ik . On complete cette allocation en une allocationdesm consommateurs en posantx′j = xj pour j 6= i1, i2, . . . , ik. Ceci définit une allocationx′ = (x′1, x
′2, . . . , x
′m) qui est Pareto supérieure à l’allocationx = (x1, x2, . . . , xm), d’où une
contradiction.
1
12
201
02
M = (x1, x2)
Du1(x1)
Du2(x2)
u1
u2
Figure 1: Optimum de Pareto: deux consommateurs
Illustration géométrique: le cas de deux consommateurs et la boite d’Edgeworth.
1
12
201
02
M
u1
u2
ω
M ′
Figure 2: Equilibre général et optimums de Pareto
7. Un second agent économique: le producteur
7.1.Ensembles de production
Une firmej transforme certains biens en d’autres biens. Ceci se représente très facilement à l’aidedu concept du vecteur d’activité de la firme. Plus précisément, le vecteury = (y1, y2, . . . , y`) apour coordonnées les quantités des différents biens produits ou transformés par la firme. On notepositivement les quantités effectivement produite, négativement les quantités de biens servant à laproductions d’autres biens.
On noteYj l’ensemble de toutes les activités possibles de la firmej. Cet ensemble est l’ensemblede production de la firmej.
Soit yj un vecteur d’activité de la firmej. Pour le vecteur prixp ∈ S, la valeurp · yj de l’activitéyj s’appelle le profit de la firmej pour l’activitéyj et le vecteur prixp ∈ S.
On admet que, étant donné le vecteur prixp ∈ S, la firme j maximise le profitp · yj sujet à lacontrainte de productionyj ∈ Yj.
7.2.La fonction d’activité du producteur
On admet que l’activité de la firme est une fonctiongj(p) qui dépend du vecteur prixp ∈ S.
La fonction d’activité gj : S → Yj de la firmej représente l’activité de la firmej pour le vecteurprix p. Le profit de la firme est alors égal àp · gj(p).
On admet que la firmej détermine l’activitégj(p) qui maximise son profit. Une partie de la théoriede la firme consiste à étudier dans quelles mesures des hypothèses économiquement raisonnablessur l’ensemble de productionYj permettent de définir une fonction d’activitégj(p).
Hypothèses classiques concernant les ensembles de production
Les hypothèses les plus traditionnelles concernant les ensembles de production sont les suivantes:
L’ensemble de productionYj est fermé dansR`.
0 ∈ Yj(l’inactivité est toujours possible.)Si yj ∈ Yj, alorsyj − R`++ ⊂ Yj (hypothèse de libre disposition).
Si l’ensemble de productionYj est un cône, on dit que la production a lieu à rendements constants.
Interprétations économiques?
On dit que la productionyj est efficace si on a
(yj + R`++) ∩ Yj = yj.
Interprétation économique?
On appellefrontière efficace∂Yj,eff de l’ensemble de productionYj l’ensemble des productionsefficaces de la firmej. La frontière efficace est évidemment la partie la plus intéressante del’ensemble de production. Souvent, on se contente de décrire la frontière efficace par un sys-tème d’équation souvent qualifié de «fonctions de production». On revient sur ce sujet un peu plusloin.
Hypothèse de rendements décroissants
On dit que la production a lieu avec des rendements décroissants si l’ensemble de productionYjest convexe.
On dit que la production a lieu avec des rendements strictement décroissants si l’ensemble des pro-ductions efficaces est la frontière d’un ensemble strictement convexe. Pratiquement, cela signifie
que siy ety′ sont deux productions efficaces, alorsy+y′/2 est une production possible, mais n’estpas efficace. Elle est dominée par une production efficace.
Le profit associé à un vecteur d’activité
Comme pour le consommateur, la fonction d’activitégj : S → R` de la firmej peut être définie à
partir de l’ensemble de productionYj et de l’hypothèse de maximisation du profit si l’ensemble deproduction vérifie un certain nombre de propriétés.
En particulier, on a
Proposition 9. Supposons que l’ensemble de consommationYj soit borné supérieurement, et quela frontière efficace∂Yj,eff soit strictement convexe, alors la fonction d’activitégj est définie pourtout vecteur prixp ∈ S.
Démonstration?
La fonction d’activité ainsi obtenue est-elle continue?
Montrer que le profit est toujours≥ 0.
Le cas d’un seul produit
Dans un certain nombre de questions, la notion d’ensemble de production est trop générale. C’esten particulier le cas pour une firme qui ne produit qu’un seul bien. Supposons que ce soit lebien1, les autres étant des facteurs de productions. Soith(y2, y3, . . . , y`) la quantité maximale dubien1 qui peut être produite avec les inputs(y2, y3, . . . , y`) des différents facteurs de productions(comptés négativement).
L’ensemble de production devient
Yjy ∈ R` | y1 ≤ h(y2, y3, . . . , y`)
L’équation de la frontière efficace est
y1 = h(y2, y3, . . . , y`).
On dit aussi dans ce cas que la fonctionh est une fonction de production. (Attention: la fonctionhn’est pas, au sens strict, l’équation de la frontière efficace!)
On fait maintenant l’hypothèse que la fonctionh est strictement concave et différentiable. On aalors:
Proposition 10. Poury = gj(p), il vient
∂h
∂yk= −pk
p1
.
Démonstration. Par hypothèse,y = gj(p) maximise le profitp·y sous la contraintey1−h(y2, . . . , y`) =0.
Ce profit s’écrit sous la forme
p1h(y2, . . . , y`) + p2y2 + · · ·+ p`y
`.
Les dérivées du premier ordre sont nécessairement égales à zéro, ce qui donne
p1∂h
∂yk+ pk = 0.
Expliquer pourquoi ces dérivées partielles sont négatives.
Pourquoi la propriété de stricte concavité de la fonctionh suffit pour entrainer que la solution quimaximise le profit soit unique?
Proposition 11. Soit y = gj(p). Le vecteur prixp ∈ S est alors normal eny à l’hypersurface∂Yj,eff définissant la frontière efficace.
Démonstration. En effet, l’hypersurface d’équationy1 − h(2, . . . , y`) a pour normale le vecteurdéfini par les dérivées partielles (d’ordre un) de l’équation de l’hypersurface, c’est à dire le vecteur
(1,− ∂h
∂y2, . . . ,− ∂h
∂y`)
vecteur colinéaire au vecteur prixp ∈ S.
Coût marginal
Soit y1 une quantité du bien1 que la firmej veut produire. Pour cela, il faut qu’elle trouve desinputsy2, . . . ,y` de façon à ce que l’on ait
y1 = h(y2, . . . , y`).
Le coût de ces inputs est égal à−(p2y2+· · ·+p`y`). On définit la fonction coûtc(y1) pour produire
la quantitéy1 (compte tenu du vecteur prixp ∈ S) comme le minimum du coût de ces inputs. C’estune fonction différentiable dey1. Le profit de l’entreprisej est alors égal àp1y
1 − c(y1).
Proposition 12. Poury = gj(p), on a
p1 = c′(y1).
Démonstration. Poury1 = g1j (p), le profitp1y
1 − c(y1) est maximal, donc la dérivée par rapport ày1 nulle:
p1 − c′(y1) = 0.
Interprétation en termes de coût marginal.
8. Le modèle de l’économie de propriété privée
Une économie de propriété privée consiste est définie par la donnée de` biens,m consommateurs,etn firmes (ou producteurs).
Le consommateuri est caractérisé par sa fonction de demandefi, ses ressourcesωi, et par lapossession de la partθij ≥ 0 de la firmej.
La firmej est caractérisée par sa fonction d’activitégj.
On parle du modèle de l’économie de propriété privée de la production quand les partsθij sontfixées une fois pour toute, mais les ressources individuellesω = (ω1, ω2, . . . , ωm) variables.
8.1.Définition de l’équilibre
Etant donné le vecteur prixp ∈ S, l’activité de la firmej est égale àgj(p), et son profit àp · gj(p).La firmej distribue la partθijp · gj(p) de son profit au consommateuri.
La richesse du consommateuri est donc égale à la valeur de ses ressources augmentée des profitsqui lui sont distributés par les différentes firmes dont il est (partiellement) propriétaire. Cette
richesse est donc égale à
p · ωi +n∑j=1
p · gj(p).
La demande du consommateuri est donc égale à
fi(p, p · ωi +n∑j=1
p · gj(p)).
La demande totale est alors égale à
m∑i=1
fi(p, p · ωi +n∑j=1
p · gj(p)).
L’offre totale est égale àm∑i=1
ωi +n∑j=1
gj(p).
Le vecteur prixp ∈ S est unvecteur prix d’équilibre de l’économie de propriété privée précédem-
ment définie si l’égalitém∑i=1
fi(p, p · ωi +n∑j=1
p · gj(p)) =m∑i=1
ωi +n∑j=1
gj(p)
est satisfaite.
8.2.Notion d’optimum de Pareto
Dans le cas d’une économie avec production (comme c’est le cas pour une économie avec propriétéprivée de la production), une allocation est unm+ n-uple
(x, y) = (x1, x2, . . . , xm, y1, y2, . . . , yn).
On dit que l’allocation(x, y) estfaisablesi l’on am∑i=1
xi ≤m∑i=1
+n∑j=1
.
On dit que l’allocation(x, y) est un Pareto optimum s’il n’existe pas d’allocation faisable(x′, y′)qui vérifie les inégalités
ui(xi) ≤ ui(x′i) pour touti, une inégalité au moins étant stricte
Comparer avec la définition d’un optimum de Pareto pour une économie d’échange.
Enfin, si le vecteur prixp ∈ S est unvecteur prix d’équilibre de l’économie de propriété privéedéfinie par les ressourcesω = (ωi) et les partsθ = (θij), l’allocation(x, y) où
xi = fi(p, p · ωi +n∑j=1
p · gj(p))
etyj = gj(p)
est l’allocation d’équilibre correspondante.
8.3.Les deux grandes propriétés classiques des économies avec propriété privéede la production
Existence de l’équilibre
Proposition 13. Toute économie avec propriété privée de la production admet au moins un vecteurprix d’équilibre.
Les deux théorèmes de l’économie du bien-être
Proposition 14 (Premier théorème de l’économie du bien-être).Toute allocation d’équilibre(x, y) dans une économie avec propriété privée de la production est un optimum de Pareto.
Démonstration. Par définition, il existe un vecteur prixp ∈ S tel que l’on ait:
xi = fi(p, p · (ωi +
n∑j=1
θijyj))
yj = gj(p)
m∑i=1
xi =m∑i=1
ωi +n∑j=1
yj
Supposons qu’il existe(x′, y′) faisable tel que
ui(xi) ≤ ui(x′i)
une inégalité au moins étant stricte.
Le vecteur prixp ∈ S supporte le panier de biensxi. Par conséquent, l’inégalité précédente sur lesutilités implique l’inégalité
p · xi ≤ p · x′iune de ces inégalités au moins étant stricte.
En outre, il resulte de la définition deyj que l’on a
p · y′j ≤ p · yj.
On a
p · xi = p · ωi + p ·n∑j=1
θijyj
d’où
p · ωi + p ·n∑j=1
θijyj ≤ p · x′i
Additionnons membre à membre ces inégalités. On obtient
p · (m∑i=1
ωi +n∑j=1
yj) < p · (m∑i=1
x′i)
Comme on a aussi
p · (m∑i=1
x′i) ≤ p · (m∑i=1
ωi +n∑j=1
y′j) ≤ p(m∑i=1
ωi +n∑j=1
yj)
il vient
p · (m∑i=1
ωi +n∑j=1
yj) < p(m∑i=1
ωi +n∑j=1
yj),
d’où une contradiction.
Proposition 15 (Deuxième théorème de l’économie du bien-être).Pour tout optimum de Pareto(x, y) dans le modèle avec propriété privée de la production, il existe une économie avec propriétéprivée de la production définie par les ressources individuellesω = (ωi) (on rappelle que les partsde propriétésθij sont données) dont l’allocation(x, y) est une allocation d’équilibre.
Démonstration. On se limite au cas où les frontières efficaces des ensembles de productionYj sontdéfinies par des équations du typeHj = y1 − hj(y2, . . . , y`) = 0.
Montrons qu’en un tel optimum de Pareto, les vecteursDui(xi) etDHj(yj) sont tous colinéairesauxquel cas ces vecteurs sont alors colinéaires avec un vecteur prixp ∈ S.
On applique des idées vues un peu plus haut, à savoir que si(xi, yj)i,j est un optimum de Pareto,si on fixe les composantesxi ouyj correspondant à un sous-ensemble des agents, les composantes
qui restent variables définissent encore un optimum de Pareto pour l’ensemble restant des agents,consommateurs et producteurs. Par conséquent, en fixant les composantes de tous les consomma-teurs sauf un, et les composantes de tous les producteurs sauf un, on est ramené au cas particulierd’un couple formé d’un seul consommateur et d’un seul producteur.
Comme on sait que les composantes d’un optimum de Pareto relativement aux consommateurssont toutes supportées par un même vecteur prixp, il en résulte que la composante relative auproducteur considéré dans l’exemple «un consommateur-un producteur» est aussi supportée par levecteur prixp. Cette propriété étant vraie pour chaque producteur dans l’économie, ceci terminela démonstration du cas général du théorème.
Etude du cas particulier: un consommateur et un producteur
Le couple(x1, y2) est un optimum de Pareto s’il n’existe pas de couple(x′1, y′2) tel quex′1 − y′2 ≤
x1 − y2, y2 ety′2 ∈ Y2, etu1(x′1) > u1(x1).
Il en résulte quey2 est une production efficace. Sinon, il existey′2 ∈ Y2 avecy2 < y′2. Il suffit alorsde prendrex′1 = x1 + (y′2 − y2).
Posonsx1 − y2 = r. Le couple(x1, y2) est un optimum de Pareto si(x1, y2) est solution duproblème:
Maximiser u1(y2 + r)
sous la contraintey2 ∈ Y2.
On peut écrire ce problème sous la forme équivalente
Maximiser ui(x1)
sous la contraintex1 ∈ r + Y2,
problème dont l’interprétation géométrique est immédiate.
1
2
0
M(x1 = y2 + r)
Du1(x1)
DH2(y2)
u1Y2 + r
Le lagrangien s’écritu1(x1)− ν
(y1
2 − h(y22, . . . , y
`2))
ce qui donne à l’aide des conditions du premier ordre
Du1(x1) = νDH2(y2),
ce qui établit la colinéarité des vecteursDu1(x1) etDH2(y2).
Nous avons donc démontré que si(xi, yj)i,j est un optimum de Pareto, les allocationsxi etyj sont
toutes supportées par le même vecteur prixp.
Le profit p · yj de l’entreprisej est réparti entre les différents consommateurs suivant la clé derépartition définie par lesθij. Le consommateuri reçoit
n∑j=1
θijp · yj.
Il suffit alors de poser
ωi = xi −n∑j=1
θijyj.
On a clairement ∑i
xi =∑i
ωi +∑j
yj,
ce qui combiné avec la définition deyj = gj(p) etxi = fi(p, p·xi) entraine quep est bien un vecteurprix d’équilibre de l’économie avec propriété privée de la production, et ressources individuellesdéfinies par le vecteurω = (ωi).
9. Conclusions
L’étude du modèle d’Arrow-Debreu ne se limite pas aux seules propriétés que sont l’existence etles deux théorèmes de l’économie du bien-être. Ceci étant, la plupart des enseignements de mi-croéconomie se limitent à la partie du modèle d’Arrow-Debreu qui traite de ces seules propriétés.
En effet, l’étude des autres propriétés comme la stabilité de l’équilibre, le nombre d’équilibres et lesimplications de ce nombre sur la stabilité structurelle de ces équilibres, et plus généralement l’étudedes propriétés dites de statique comparative exigent un investissement mathématique beaucoupplus important.
Outre cet aspect essentiellement technique, le modèle d’Arrow-Debreu est plutôt discret quantaux mécanismes par lesquels le ou les marchés atteignent ces fameux prix d’équilibre. Ces ques-tions sont certes considérées comme relativement secondaires dans certaines questions, en macroé-conomie par exemple. Mais il n’en est pas de même pour les thèmes de la théorie microéconomiquemoderne comme la théorie des enchères, la théorie des contrats, et l’organisation industrielle,thèmes pour lesquels l’importance de la formation des prix est centrale.
Références
Debreu. Théorie de la Valeur, Dunod.
Malinvaud. Leçons de théorie microéconomique, Dunod.
