Leonard Adleman, Qi Cheng, Ashish Goel and Ming-Deh Huang- Running Time and Program Size for Self-assembled Squares

8/3/2019 Leonard Adleman, Qi Cheng, Ashish Goel and Ming-Deh Huang- Running Time and Program Size for Self-assembled Squares

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n u m b e r o f t i l e s , a n d t h e f u l l y a s s e m b l e d c o u n t e r , w h i c h

i s r o u g h l y a l o g n n r e c t a n g l e c a n b e c o m p l e t e d i n t o a

s q u a r e u s i n g a c o n s t a n t n u m b e r o f t i l e s . T o e l i m i n a t e t h e

n e e d t o p r o d u c e a s e e d - r o w t h a t i s l o g n b i t s l o n g , w e r e p -

r e s e n t t h e n u m b e r n i n b a s e ( l o g n = l o g l o g n ) u s i n g o n l y

( l o g n = l o g l o g n ) d i g i t s . T h u s i f t h e c o u n t e r w e r e t o u s e

b a s e ( l o g n = l o g l o g n ) r a t h e r t h a n b i n a r y , o n l y ( l o g n = l o g l o g n )

t i l e s w o u l d b e r e q u i r e d t o a s s e m b l e a c o u n t e r . T h i s o b -

s e r v a t i o n i m m e d i a t e l y a l l o w s u s t o r e d u c e t h e n u m b e r o f

t i l e s ( t h e p r o g r a m s i z e ) r e q u i r e d t o a s s e m b l e a s q u a r e t o

( l o g n = l o g l o g n ) , w h i c h m a t c h e s t h e l o w e r b o u n d d i c t a t e d

b y K o l m o g o r o v c o m p l e x i t y . U n f o r t u n a t e l y , t h i s p r o g r a m

s i z e r e d u c t i o n c o m e s a t t h e c o s t o f i n c r e a s e d a s s e m b l y t i m e .

T o r e m e d y t h i s , w e i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f b a s e c o n v e r s i o n .

W e s t a r t o u t w i t h a r o w o f ( l o g n = l o g l o g n ) t i l e s r e p r e s e n t -

i n g a n u m b e r b e t w e e n 0 a n d n i n b a s e ( l o g n = l o g l o g n )

W e t h e n c o n v e r t t h i s n u m b e r i n t o b i n a r y u s i n g a s e l f - a s s e m b l y

p r o c e s s t h a t s i m u l a t e s b a s e c o n v e r s i o n . N o w t h e c o u n t i n g

p r o c e s s c a n t a k e p l a c e i n b i n a r y , a l l o w i n g u s t o a c h i e v e t h e

o p t i m a l t i m e c o m p l e x i t y a n d o p t i m a l p r o g r a m - s i z e c o m p l e x -

t y s i m u l t a n e o u s l y

S e c t i o n 2 p r e s e n t s a n a t u r a l e x t e n s i o n o f t h e t i l e - a s s e m b l y

m o d e l o f R o t h e m u n d a n d W i n f r e e t o i n c l u d e t h e t i m e - c o m p l e x i t y

o f s e l f - a s s e m b l y . S e c t i o n 3 s h o w s h o w a l o g n n c o u n t e r

c a n b e a s s e m b l e d i n t i m e ( n ) a n d s e c t i o n 4 e x p l a i n s h o w

b a s e c o n v e r s i o n c a n b e s i m u l a t e d i n t h e t i l e - a s s e m b l y m o d e l .

S e c t i o n 5 s k e t c h e s h o w a n e n t i r e n n s q u a r e c a n b e c o n -

s t r u c t e d u s i n g t h e t o o l s o u t l i n e d i n s e c t i o n s 3 a n d 4 . F i n a l l y ,

w e p r e s e n t s o m e o p e n p r o b l e m s a n d c o n c l u s i o n s i n s e c t i o n 6 .

2. ADDING TIME COMPLEXITY TO THE

TILE ASSEMBLY MODELT h e T i l e A s s e m b l y M o d e l w a s o r i g i n a l l y p r o p o s e d b y R o t h e -

m u n d a n d W i n f r e e 6 ] . I t e x t e n d s t h e t h e o r e t i c a l m o d e l o f

t i l i n g b y W a n g 7 ] t o i n c l u d e a m e c h a n i s m f o r g r o w t h b a s e d

o n t h e p h y s i c s o f m o l e c u l a r s e l f - a s s e m b l y . I n f o r m a l l y e a c h

u n i t o f a n a s s e m b l y i s a s q u a r e w i t h g l u e s o f v a r i o u s t y p e s

o n e a c h e d g e . T h e t i l e " o a t s " o n a t w o d i m e n s i o n a l p l a n e

a n d w h e n t w o t i l e s c o l l i d e t h e y s t i c k i f t h e i r a b u t t i n g s i d e s

h a v e c o m p a t i b l e g l u e s .

F o r m a l l y , a t i l e i s a n o r i e n t e d u n i t s q u a r e w i t h t h e n o r t h ,

e a s t , s o u t h a n d w e s t e d g e s l a b e l e d f r o m s o m e a l p h a b e t

o f g l u e s . W e b e g i n w i t h a t r i p l e < T g > w h e r e T s a

n i t e s e t o f t i l e s , 2 Z

> 0

i s t h e t e m p e r a t u r e , a n d g i s t h e

g l u e s t r e n g t h f u n c t i o n f r o m t o N , w h e r e i s t h e s e t

o f e d g e l a b e l s a n d N i s t h e s e t o f n a t u r a l n u m b e r s . I t i s

a s s u m e d t h a t n u l l 2 g ( x y ) = g ( y x ) f o r x y 2 , a n d

g ( n u l l x ) = 0 f o r a l l x 2 . F o r e a c h t i l e i 2 T , t h e l a b e l s o f

i t s f o u r e d g e s a r e d e n o t e d

N

( i )

E

( i )

S

( i ) , a n d

W

( i )

A c o n g u r a t i o n i s a m a p f r o m Z

2

t o T f e m p t y g . F o r

t 2 T ;

( x y

t

i s t h e c o n g u r a t i o n s u c h t h a t ;

( x y

t

( i j ) = t

( i j ) = ( x y ) a n d e m p t y o t h e r w i s e . L e t C a n d D b e

t w o c o n g u r a t i o n s . S u p p o s e t h e r e e x i s t s o m e i 2 T a n d

( x y ) 2 Z

2

s u c h t h a t C ( x y ) = e m p t y D = C e x c e p t a t

( x y ) D ( x y ) = i , a n d

g (

E

( i )

W

( D ( x + 1 y ) ) + g (

W

( i )

W

( D ( x ; 1 y ) ) +

g (

N

( i )

W

( D ( x y + 1 ) ) + g (

S

( i )

W

( D ( x y ; 1 ) )

T h e n w e s a y t h a t t h e p o s i t i o n ( x y ) n C s a t t a c h a b l e , a n d

w e w r i t e C !

T

D t o d e n o t e t h e t r a n s i t i o n f r o m C t o D n

a t t a c h i n g t i l e i t o C a t p o s i t i o n ( x y ) . I n f o r m a l l y , C !

T

D

D c a n b e o b t a i n e d f r o m C b y a d d i n g a t i l e t o i t s u c h t h a t

t h e t o t a l s t r e n g t h o f i n t e r a c t i o n i n a d d i n g t h e t i l e t o C i s a t

l e a s t

W e d e n e t h e n o t i o n o f a c o o r d i n a t e d s u p e r t i l e r e c u r s i v e l y

a s f o l l o w s :

1 . F o r t 2 T ;

( x y

t

i s a c o o r d i n a t e d s u p e r t i l e .

2 . i f C !

T

D a n d C i s a c o o r d i n a t e d s u p e r t i l e , t h e n D

i s a l s o a c o o r d i n a t e d s u p e r t i l e .

T w o c o o r d i n a t e d s u p e r t i l e s a r e e q u i v a l e n t i t h e y d i e r o n l y

b y t r a n s l a t i o n . A n e q u i v a l e n c e c l a s s o f c o o r d i n a t e d s u p e r -

t i l e s i s a n s u p e r t i l e ( s - t i l e i n b r i e f ) . W r i t e A !

T

B f o r s - t i l e s

A a n d B i t h e r e e x i s t a 2 A a n d b 2 B s u c h t h a t a !

T

b

A t i l e s y s t e m i s a q u a d r u p l e T = < T S g > , w h e r e

T g a r e a s a b o v e a n d S i s a s e t o f s u p e r t i l e s c a l l e d s e e d

s u p e r t i l e s

L e t !

T

d e n o t e t h e r e e x i v e t r a n s i t i v e c l o s u r e o f !

T

A

d e r i v e d s u p e r t i l e o f t h e t i l e s y s t e m T i s a s u p e r t i l e s u c h

t h a t s !

T

A f o r s o m e s 2 S A t e r m i n a l s u p e r t i l e o f t h e

t i l e s y s t e m T i s a d e r i v e d s u p e r t i l e A s u c h t h a t t h e r e i s n o

s u p e r t i l e B , d i e r e n t f r o m A , s u c h t h a t A !

T

B . I f t h e r e

i s a t e r m i n a l s u p e r t i l e A s u c h t h a t f o r a n y d e r i v e d s u p e r t i l e

B B !

T

A , w e s a y t h a t t h e t i l e s y s t e m u n i q u e l y p r o d u c e s

A

G i v e n a t i l e s y s t e m T w h i c h u n i q u e l y p r o d u c e s A , w e s a y

t h a t t h e p r o g r a m s i z e c o m p l e x i t y o f t h e s y s t e m i s T i . e .

t h e n u m b e r o f t i l e t y p e s .

I n t h i s p a p e r , w e a d o p t t h e r e s t r i c t i o n , s u g g e s t e d b y R o t h e -

m u n d a n d W i n f r e e 6 ] , t h a t S c o n t a i n s a s i n g l e s e e d s c o n -

s i s t i n g o f a s i n g l e t i l e , a n d t h a t g ( ) = 0 f o r 2 w i t h

6= . F o r a d i s c u s s i o n o f t h e l o w e r b o u n d o n p r o g r a m - s i z e

i n t h e a b s e n c e o f t h e l a t t e r r e s t r i c t i o n , s e e o p e n p r o b l e m # 2

i n s e c t i o n 6 .

W e n o w i n t r o d u c e t h e d e n i t i o n o f t h e t i m e c o m p l e x i t y o f

s e l f - a s s e m b l y . A s i m i l a r d e n i t i o n h a s a l s o b e e n s u g g e s t e d

b y W i n f r e e 1 0 ] . W e a s s o c i a t e w i t h e a c h t i l e i 2 T a n o n -

n e g a t i v e p r o b a b i l i t y p , s u c h t h a t

P

2 T

p = 1 . W e a s s u m e

t h a t t h e t i l e s y s t e m h a s a n i n n i t e s u p p l y o f e a c h t i l e , a n d

p m o d e l s t h e c o n c e n t r a t i o n o f t i l e i i n t h e s y s t e m { t h e

p r o b a b i l i t y t h a t t i l e i i s c h o s e n w h e n a t i l e i s d r a w n a t r a n -

d o m . N o w s e l f - a s s e m b l y o f t h e t i l e s y s t e m T c o r r e s p o n d s t o

a c o n t i n u o u s t i m e M a r k o v p r o c e s s w h e r e t h e s t a t e s a r e i n

a o n e - o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h d e r i v e d s - t i l e s , a n d t h e i n i -

t i a l s t a t e c o r r e s p o n d s t o t h e s e e d s . T h e r e i s a t r a n s i t i o n o f

s t a t e B t o C B !

T

C , a n d t h e r a t e o f t h e t r a n s i t i o n i s

p f C i s o b t a i n e d f r o m B b y a d d i n g a t i l e i . S u p p o s e t h e

t i l e s y s t e m u n i q u e l y p r o d u c e s a n s - t i l e A

T

. I t w o u l d f o l l o w

t h a t A

T

i s t h e u n i q u e s i n k s t a t e . G i v e n t h e M a r k o v p r o c e s s ,

t h e t i m e f o r r e a c h i n g A

T

f r o m s i s a r a n d o m v a r i a b l e . T h e

t i m e c o m p l e x i t y f o r p r o d u c i n g A

T

f r o m s i s d e n e d a s t h e

e x p e c t e d v a l u e o f t h i s r a n d o m v a r i a b l e .

I n f o r m a l l y o u r d e n i t i o n o f t i m e m o d e l s a s y s t e m w h e r e i n

a s e e d " o a t s " i n s o l u t i o n e n c o u n t e r i n g t i l e s a t r a n d o m . T h e

h i g h e r t h e c o n c e n t r a t i o n o f a p a r t i c u l a r t i l e t h e h i g h e r t h e

r a t e a t w h i c h i t i s e n c o u n t e r e d . W h e n a t i l e i s e n c o u n t e r e d

w h i c h h a s s u c i e n t l y s t r o n g i n t e r a c t i o n w i t h t h e s e e d , t h e

t i l e i s i n c o r p o r a t e d . B y t h i s p r o c e s s o f a c c r e t i o n t h e s e e d

g r o w s l a r g e r a n d l a r g e r .

W e s a y a t i l e s y s t e m p r o d u c e s a n N N s q u a r e i i t

u n i q u e l y p r o d u c e s a t e r m i n a l s - t i l e w h i c h i s a n N N s q u a r e

o f t i l e s . T h e n t h e t i m e c o m p l e x i t y o f p r o d u c i n g a n N N

s q u a r e i s t h e m i n i m u m o f t h e t i m e c o m p l e x i t y o f a l l t h e

t i l e s y s t e m s w h i c h p r o d u c e N N s q u a r e s . T h e f o l l o w i n g

741


3/9

t h e o r e m i s i m m e d i a t e f r o m o u r f o r m a l m o d e l w e o m i t t h e

p r o o f f r o m t h i s v e r s i o n .

T h e o r e m 2 . 1 . T h e t i m e c o m p l e x i t y o f p r o d u c i n g a n N

N s q u a r e i s ( n )

3. COUNTING UP TO N IN TIME ( N )T h e s q u a r e c o n s t r u c t i o n o f R o t h e m u n d a n d W i n f r e e 6 ]

o c c u r s i n t w o s t a g e s . T h e y r s t s h o w h o w t o a s s e m b l e a

l o g n n r e c t a n g l e , a n d t h e n e x t e n d i t i n t o a n n n s q u a r e .

T o a s s e m b l e t h e l o g n n r e c t a n g l e , t h e y s i m u l a t e a c o u n t e r

t h a t c o u n t s f r o m 1 t o n i n b i n a r y . W e a r e g o i n g t o u s e

t h e s a m e g e n e r a l f r a m e w o r k , b u t w i l l r e p l a c e t h e i r c o u n t e r

a s s e m b l y b y a m o r e e c i e n t ( a n d m o r e i n v o l v e d ) p r o c e s s .

I n t h e i r c o u n t e r a s s e m b l y , o n l y o n e t i l e i s a t t a c h a b l e t o t h e

a s s e m b l y a t a n y g i v e n t i m e . I n o u r a s s e m b l y p r o c e s s , s e v e r a l

t i l e s m a y b e a t t a c h a b l e a t t h e s a m e t i m e . T h i s \ p a r a l l e l i s m "

a l l o w s u s t o a s s e m b l e a c o u n t e r i n t i m e ( n ) a s o p p o s e d

t o t h e ( n l o g n ) a s s e m b l y t i m e f o r t h e c o u n t e r d e s c r i b e d

b y R o t h e m u n d a n d W i n f r e e . W e c a l l t h e p r o c e s s d e s c r i b e d

b e l o w t h e S A - c o u n t e r .

3.1 The Tile SystemW e i n i t i a l l y a s s u m e t h a t n = 2

K

; 1 f o r s o m e p o s i t i v e

i n t e g e r K { w e w i l l l a t e r s h o w h o w t h i s a s s u m p t i o n c a n b e

r e m o v e d . W h i l e e a c h t i l e i s c o m p l e t e l y s p e c i e d b y i t s f o u r

g l u e s , i t i s c o n v e n i e n t f o r t h e p u r p o s e o f e x p o s i t i o n t o a l l o w

t i l e s t o h a v e l a b e l s . E a c h t i l e h a s o n e m a i n l a b e l ( e i t h e r 0

o r 1 ) w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e b i t r e p r e s e n t e d b y t h e t i l e .

F u r t h e r , e a c h t i l e c a r r i e s o n e o r m o r e a u x i l i a r y l a b e l s . T h e

f u l l y a s s e m b l e d c o u n t e r i s g o i n g t o b e a r e c t a n g l e , w i t h K

t i l e s i n e a c h r o w . E a c h r o w r e p r e s e n t s a n u m b e r b e t w e e n 0

a n d n { t h i s n u m b e r c a n b e o b t a i n e d b y r e a d i n g t h e m a i n

l a b e l s o n t h e t i l e s i n t h e r o w , w i t h t h e m o s t s i g n i c a n t b i t

b e i n g t h e l e f t m o s t i n t h e r o w . W e d e s c r i b e t h e s e l f - a s s e m b l y

p r o c e s s w h i c h r e s u l t s i n t h e c o u n t e r b e i n g i n c r e m e n t e d .

T h e i n c r e m e n t o p e r a t i o n h a p p e n s i n t h r e e s t a g e s a n d u s e s

1 5 d i e r e n t t i l e s ( s e e g u r e 1 ) . W e s t a r t w i t h a n \ I N E R T "

r o w ( e a c h t i l e c a r r i e s t h e a u x i l i a r y l a b e l \ I " ) . T h i s r o w g e t s

r e p l i c a t e d i n t o a n \ A C T I V E " r o w ( a u x i l i a r y l a b e l \ A " ) i f

a n d o n l y i f t h e r e i s a t l e a s t o n e 0 - t i l e i n t h e o r i g i n a l I N -

E R T r o w . I f a l l t h e t i l e s i n t h e I N E R T r o w a r e 1 - t i l e s , t h e

c o u n t e r c o n s t r u c t i o n c a n n o t p r o c e e d a n y f u r t h e r a n d t h e

s e l f - a s s e m b l y p r o c e s s t e r m i n a t e s . A \ C A R R Y " r o w ( a u x i l -

i a r y l a b e l \ C " ) t h e n a s s e m b l e s o n t o p o f t h e A C T I V E r o w .

T h e b u l k o f t h e i n c r e m e n t o p e r a t i o n h a p p e n s d u r i n g t h i s

s t e p . T h e C A R R Y r o w w i l l r e p r e s e n t t h e v a l u e o f t h e A C -

T I V E r o w i n c r e m e n t e d b y o n e , e x c e p t t h a t t h e 0 - t i l e ( i f a n y )

w h i c h n e e d s t o c h a n g e t o a 1 - t i l e d u e t o a c a r r y p r o p a g a t i o n

i s s t i l l u n c h a n g e d . T h e n a n I N E R T r o w a s s e m b l e s o n t o p

o f t h e C A R R Y r o w w h i c h w i l l c o n v e r t s u c h a t i l e ( i f a n y )

t o a 1 - t i l e . T h e r i g h t m o s t t i l e i n a n y r o w a l w a y s c a r r i e s

t h e a u x i l i a r y l a b e l \ R " a l o n g w i t h t h e a u x i l i a r y l a b e l c o r r e -

s p o n d i n g t o t h e r o w . S o m e t i l e s m a y a l s o b e m a r k e d s p e c i a l

( a u x i l i a r y l a b e l \ S " ) t o a i d i n t h e c a r r y p r o p a g a t i o n . E v e n

t h o u g h t h e a b o v e d e s c r i p t i o n s e e m s s e r i a l , t h e S A - c o u n t e r

n e e d n o t a s s e m b l e r o w - b y - r o w s e v e r a l d i e r e n t t i l e s ( p o s -

s i b l y b e l o n g i n g t o d i e r e n t r o w s ) m a y b e a t t a c h a b l e a t t h e

s a m e t i m e .

W e w i l l a s s u m e t h a t t h e t e m p e r a t u r e f o r t h i s c o u n t e r c o n -

s t r u c t i o n i s 3 . W e n o w d e s c r i b e t h e t i l e s i n e a c h o f t h e r o w s

a n d t h e i r g l u e s . A l l t i l e s o c c u r w i t h t h e s a m e p r o b a b i l i t y ,

p

S A

w h i c h i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f n

I N E R T t i l e s : T h e r e a r e t h e f o l l o w i n g I N E R T t i l e s : 0 1 0 R

1 R 0 S 1 S

A C T I V E t i l e s : 0 A 1 A 0 A R 1 A R

C A R R Y t i l e s : 0 C 1 C 0 C S 0 C R 1 C R . T h e g l u e s a n d t h e i r

s t r e n g t h s a r e d e p i c t e d p i c t o r i a l l y i n g u r e 1 .

A s s e m b l i n g A C T I V E r o w s : N o t i c e t h a t s t a r t i n g w i t h a n

I N E R T r o w t h a t c o n s i s t s o f a l l 1 - t i l e s , n o A C T I V E

t i l e s c a n a t t a c h t o t h e t o p o f t h e r o w s i n c e a l l p o s s i -

b l e b o n d s a r e o f s t r e n g t h 2 w h e r e a s t h e t e m p e r a t u r e

i s 3 . H o w e v e r , a l l 0 - t i l e s i n t h e I N E R T r o w c a n a l -

l o w A C T I V E 0 - t i l e s t o a t t a c h o n t o p t h r o u g h b o n d s o f

s t r e n g t h 3 . T h e s e n e w l y a t t a c h e d A C T I V E 0 - t i l e s p r o -

v i d e s t r e n g t h 1 b o n d s t h a t s u p p l e m e n t t h e s t r e n g t h 2

b o n d s b e t w e e n A C T I V E 1 - t i l e s a n d I N E R T 1 - t i l e s , a l -

l o w i n g A C T I V E 1 - t i l e s t o a t t a c h i n p o s i t i o n s a d j a c e n t

t o t h e a l r e a d y a t t a c h e d A C T I V E 0 - t i l e s . T h e n e w l y

a t t a c h e d A C T I V E 1 - t i l e s i n t u r n p r o v i d e s t r e n g t h 1

b o n d s t h a t a l l o w a d j a c e n t A C T I V E 1 - t i l e s t o a t t a c h

o n t o p o f I N E R T 1 - t i l e s , a n d s o o n . T h i s a l l o w s t h e

e n t i r e I N E R T r o w t o b e r e p l i c a t e d i n t o a n A C T I V E

r o w .

A s s e m b l i n g C A R R Y r o w s : N o t i c e t h a t a n y 0 - t i l e s ( e x -

c e p t t h e r i g h t m o s t ) i n t h e A C T I V E r o w a l l o w a C A R R Y

0 - t i l e t o a t t a c h o n t o p b y m e a n s o f b o n d s o f s t r e n g t h 3 .

T h e s e t i l e s t h e n a l l o w C A R R Y 1 - t i l e s t o a t t a c h o n t h e

l e f t t h r o u g h b o n d s o f s t r e n g t h 1 , w h i c h i n t u r n a l l o w

m o r e C A R R Y 1 - t i l e s t o a t t a c h o n t h e l e f t . N o t i c e t h a t

C A R R Y 0 - t i l e s d o n o t p r o v i d e a n y g l u e s o n t h e r i g h t

a n d t h e r e f o r e c a n n o t f a c i l i t a t e a t t a c h m e n t o f C A R R Y

1 - t i l e s t o t h e i r r i g h t . T h i s a l l o w s m o s t o f t h e A C T I V E

r o w t o r e p l i c a t e i n t o t h e C A R R Y r o w { w e j u s t n e e d

t o b o t h e r a b o u t t h e r i g h t m o s t t i l e a n d t h o s e A C T I V E

1 - t i l e s t h a t d o n o t h a v e a n o r d i n a r y A C T I V E 0 - t i l e t o

t h e i r r i g h t . W e w i l l n o w c o n s i d e r t w o c a s e s d e p e n d -

i n g o n t h e r i g h t m o s t t i l e i n t h e A C T I V E r o w . I f t h e

r i g h t m o s t t i l e i n t h e A C T I V E r o w i s a 0 - t i l e t h e n i t

w i l l a l l o w a r i g h t m o s t C A R R Y 1 - t i l e t o a t t a c h o n i t s

t o p t h r o u g h a b o n d o f s t r e n g t h 3 . T h i s t h e n p r o v i d e s

a b o n d o f s t r e n g t h 1 t o i t s l e f t w h i c h w i l l a l l o w A C -

T I V E 1 - t i l e s t o a s s e m b l e t o i t s l e f t , t h u s c o m p l e t i n g

t h e C A R R Y r o w . N o t i c e t h a t t h i s C A R R Y r o w a l r e a d y

r e p r e s e n t s t h e c o r r e c t r e s u l t f o r t h e i n c r e m e n t o p e r a -

t i o n . I f t h e r i g h t m o s t t i l e i s a n A C T I V E 1 - t i l e , t h e n

i t a l l o w s a r i g h t m o s t C A R R Y 0 - t i l e t o a t t a c h o n t o p .

T h i s t i l e t h e n a l l o w s s p e c i a l C A R R Y 0 - t i l e s ( a n d n o t

C A R R Y 1 - t i l e s ) t o b o n d t o i t s l e f t o n t o p o f t h e A C -

T I V E 1 - t i l e s . T h u s t h e e n t i r e s e q u e n c e o f c o n t i g u o u s

A C T I V E 1 - t i l e s o n t h e r i g h t w i l l h a v e s p e c i a l C A R R Y

0 - t i l e s a t t a c h e d o n t o p . T h e C A R R Y r o w n o w r e p r e -

s e n t s t h e c o r r e c t r e s u l t f o r t h e C A R R Y o p e r a t i o n w i t h

o n e e x c e p t i o n : t h e A C T I V E 0 - t i l e w h i c h w a s i m m e d i -

a t e l y t o t h e l e f t o f t h e r i g h t m o s t s e q u e n c e o f A C T I V E

1 - t i l e s h a s a C A R R Y 0 - t i l e a t t a c h e d o n t o p , w h e r e a s

t h e i n c r e m e n t o p e r a t i o n s h o u l d c o n v e r t i t i n t o a 1 - t i l e

d u e t o c a r r y p r o p a g a t i o n . T h i s i s r e m e d i e d i n t h e n e x t

s t e p .

A s s e m b l i n g I N E R T r o w s : T h e 0 - t i l e w h i c h n e e d s t o b e

c h a n g e d i n t o a 1 - t i l e c a n b e \ d e t e c t e d " a s a C A R R Y

0 - t i l e w h i c h h a s a s p e c i a l C A R R Y 0 - t i l e o r a r i g h t m o s t

C A R R Y 0 - t i l e t o i t s i m m e d i a t e r i g h t . T h e d e s c r i p t i o n

742


4/9

IS1 1IR IR0I0a

k

L

IS0

A0 A1 0 AR1ARm

n n

a d

n n

o

n

f

p

n

i

ACTIVETILES

q

0C C1 CS0 0 CRCR 1c

s

m

e

s

L

o

s r r r s

h

q p

J

CARRYTILES

a

b

c

d

b

e

d

c

b k

i

b

J

f

k

h

INERTTILESb

1I

o

F i g u r e 1 : T h e t i l e s f o r t h e S A - c o u n t e r . T h e n u m b e r o f l i n e s j u t t i n g f r o m e a c h e d g e o f t h e t i l e r e p r e s e n t t h e

s t r e n g t h o f t h e b o n d ( 1 , 2 , o r 3 ) a n d t h e l a b e l o n t h e e d g e s r e p r e s e n t s t h e g l u e . S o m e e d g e s d o n o t h a v e a n y

g l u e s .

f o r t h e a s s e m b l y o f t h e I N E R T r o w i s s i m p l e . A l l t h e

t i l e s e x c e p t o r d i n a r y C A R R Y 0 - t i l e s c a n a t t a c h a n I N -

E R T t i l e ( w i t h t h e o t h e r l a b e l s s u c h a s t h e b i t - l a b e l ,

t h e r i g h t m o s t l a b e l , a n d t h e s p e c i a l l a b e l r e m a i n i n g t h e

s a m e ) o n t o p . N o w s p e c i a l I N E R T 0 - t i l e s a n d r i g h t -

m o s t I N E R T 0 - t i l e s a l l o w a s p e c i a l I N E R T 1 - t i l e t o

a t t a c h ( o n t o p o f a C A R R Y 0 - t i l e ) t o t h e i r l e f t , w h i l e

a l l o t h e r I N E R T t i l e s a l l o w a n I N E R T 0 - t i l e t o a t t a c h .

T h i s a c c o m p l i s h e s t h e d e s i r e d c a r r y p r o p a g a t i o n a n d

c o m p l e t e s t h e i n c r e m e n t p r o c e s s .

T h e S e e d R o w : T h e s e e d s u p e r t i l e S

K

i s a r o w o f K s p e -

c i a l t i l e s . T h e r i g h t m o s t t i l e i n S

K

i s i d e n t i c a l t o t h e

t i l e 0 R e x c e p t t h a t t h e b o t t o m s u r f a c e h a s n o g l u e .

T h e o t h e r K ; 1 t i l e s a r e i d e n t i c a l t o t h e t i l e 0 e x c e p t

t h a t t h e r e i s n o g l u e o n t h e b o t t o m s u r f a c e s

1

T h e t i l e s y s t e m T

S A

( K ) h a s a t i l e s e t c o n s i s t i n g o f a l l

t h e t i l e s i n g u r e 1 a s w e l l a s t h e s p e c i a l t i l e s n e e d e d i n t h e

s u p e r t i l e S

K

. T h e g l u e s t r e n g t h f u n c t i o n i s a s i n d i c a t e d i n

g u r e 1 . T h e t e m p e r a t u r e i s 3 , a n d t h e r e i s a s i n g l e s e e d

s u p e r t i l e S

K

. W e w i l l r e f e r t o t h e M a r k o v c h a i n d e n e d b y

t h e t i l e s y s t e m a s t h e S A - c o u n t e r . W e w i l l a s s u m e t h a t a l l

t i l e s w h i c h a r e n o t i n S

K

h a v e t h e s a m e c o n s t a n t p r o b a b i l i t y .

T h e n e x t t h e o r e m f o l l o w s f r o m o u r d e s c r i p t i o n o f t h e t i l e

s y s t e m , a n d w e o m i t t h e p r o o f .

T h e o r e m 3 . 1 . T h e t i l e s y s t e m T

S A

( K ) u n i q u e l y p r o d u c e s

a s u p e r t i l e w h i c h i s a K ( 3 2

K

; 2 ) r e c t a n g l e .

M i n o r m o d i c a t i o n o f t h e s e e d r o w r e s u l t s i n a t i l e s y s t e m

t h a t u n i q u e l y p r o d u c e s a s u p e r t i l e w h i c h i s a K N r e c t a n g l e

f o r a n y N 3 2

K

; 2

O u r c o u n t e r c o n s t r u c t i o n i s m o r e i n v o l v e d t h a n t h a t p r o -

p o s e d b y R o t h e m u n d a n d W i n f r e e 6 ] b u t e x p l o i t s \ p a r a l -

l e l i s m " t o s p e e d u p t h e a s s e m b l y p r o c e s s . T h e c o n s t r u c -

t i o n o f R o t h e m u n d a n d W i n f r e e t a k e s t i m e O ( n l o g n ) n

t h e m o d e l o f r u n n i n g t i m e d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . D e n e

1

I n t h i s s e c t i o n w e a r e u s i n g s u p e r t i l e s c o n s i s t i n g o f m o r e

t h a n o n e t i l e a s t h e s e e d , w h e r e a s o u r r e s t r i c t e d m o d e l a l l o w s

u s t o u s e o n l y s u p e r t i l e s w i t h a s i n g l e t i l e a s s e e d . W e r e c t i f y

t h i s i n s e c t i o n 5 .

t h e c h a i n - l e n g t h , C , o f a r o w a s t h e m a x i m u m n u m b e r o f

c o n t i g u o u s 1 - t i l e s o r c o n t i g u o u s 0 - t i l e s i n t h e r o w . O n c e a

r o w g e t s a s s e m b l e d i n o u r c o n s t r u c t i o n , e a c h t i l e i n t h e n e x t

r o w d e p e n d s o n a t m o s t O ( C ) m o r e t i l e s a t t a c h i n g b e f o r e i t

b e c o m e s a t t a c h a b l e . I n t h e c o n s t r u c t i o n o f R o t h e m u n d a n d

W i n f r e e , a t i l e i n t h e n e x t r o w m a y h a v e t o w a i t f o r l o g n t i l e s

t o a t t a c h ( i n s e r i a l ) b e f o r e i t b e c o m e s a t t a c h a b l e , e v e n i f C

i s s m a l l . T h i s d i s t i n c t i o n i s t h e m a i n s o u r c e o f p a r a l l e l i s m i n

o u r c o n s t r u c t i o n . T h e a v e r a g e c h a i n l e n g t h i s O ( l o g l o g n )

a s t h e c o u n t e r c o n s t r u c t i o n p r o c e e d s f r o m 1 t o n . C o m b i n -

i n g t h i s w i t h C h e r n o b o u n d s , w e c a n i m m e d i a t e l y c o n c l u d e

t h a t t h e a v e r a g e e x p e c t e d t i m e f o r a n i n c r e m e n t o p e r a t i o n

s O ( l o g l o g n ) w h i c h y i e l d s a n O ( n l o g l o g n ) u p p e r b o u n d

o n t h e a s s e m b l y t i m e o f o u r c o u n t e r . T h i s i s n o t t h e b e s t

b o u n d w e c a n p r o v e ( w e s h o w t h a t S A - c o u n t e r g e t s a s s e m -

b l e d i n l i n e a r t i m e i n s e c t i o n 3 . 2 ) . I n t u i t i v e l y , t h e s t r o n g e r

( n ) b o u n d o n t h e a s s e m b l y t i m e i s d u e t o t h e f a c t t h a t a

r o w m a y s t a r t g e t t i n g a s s e m b l e d e v e n b e f o r e t h e p r e v i o u s

r o w n i s h e s g e t t i n g a s s e m b l e d .

3.2 AnalysisF o r t h e p u r p o s e o f o u r a n a l y s i s , w e t r a n s f o r m t h e S A -

c o u n t e r i n t o a n o t h e r p r o c e s s w h i c h w e c a l l t h e \ s e n t i n e l "

p r o c e s s . T h e s e n t i n e l p r o c e s s d o e s n o t a d h e r e t o t h e m o d e l

d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 i n f a c t t h e r e d o e s n o t s e e m t o b e

a n e a s y i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s e n t i n e l p r o c e s s . H o w e v e r ,

t h e s e n t i n e l p r o c e s s i s m o r e a m e n a b l e t o a n a l y s i s , a n d t h e

t i m e f o r t h i s p r o c e s s t o c o m p l e t e i s a n u p p e r b o u n d ( i n t h e

s t o c h a s t i c d o m i n a t i o n s e n s e ) o n t h e c o m p l e t i o n t i m e f o r t h e

S A - c o u n t e r .

3.2.0.1 The sentinel process:.L o o k a t a c o m p l e t e d s e l f a s s e m b l y , a n d r e p l a c e e a c h b o n d

b y t w o d i r e c t e d b o n d s , o n e i n e a c h d i r e c t i o n . E a c h d i r e c t e d

b o n d h a s t h e s a m e s t r e n g t h a s t h e o r i g i n a l b i d i r e c t e d b o n d .

T h e n , r e m o v e a l l t h e d i r e c t e d b o n d s t h a t s a t i s f y a n y o f t h e

f o l l o w i n g c r i t e r i a :

1 . T h e b o n d g o e s f r o m a h i g h e r t o a l o w e r r o w .

743


5/9

2 . T h e b o n d g o e s f r o m l e f t t o r i g h t i n a n o n - A C T I V E

r o w .

3 . T h e b o n d g o e s f r o m l e f t t o r i g h t i n a n A C T I V E r o w ,

a n d t h e r e i s a t l e a s t o n e z e r o - t i l e t o t h e r i g h t o f t h e

o r i g i n o f t h e b o n d .

4 . T h e b o n d g o e s f r o m r i g h t t o l e f t i n a n A C T I V E r o w ,

a n d t h e d e s t i n a t i o n t i l e o f t h e b o n d i s a z e r o - t i l e .

5 . T h e b o n d g o e s f r o m r i g h t t o l e f t i n a n A C T I V E r o w ,

t h e s o u r c e a n d d e s t i n a t i o n t i l e s a r e b o t h o n e - t i l e s , a n d

t h e r e a r e n o z e r o - t i l e s t o t h e r i g h t o f t h e s o u r c e .

W e c a n d e n e a s e n t i n e l g r a p h a s t h e g r a p h w i t h v e r t i c e s

c o r r e s p o n d i n g t o t h e t i l e s , a n d d i r e c t e d a r c s c o r r e s p o n d i n g

t o t h e d i r e c t e d b o n d s a n d l a b e l e d b y t h e s t r e n g t h . T h e

f o l l o w i n g l e m m a i s i m m e d i a t e f r o m o u r c o n s t r u c t i o n .

L e m m a 3 . 2 . T h e s e n t i n e l g r a p h i s a c y c l i c .

T h e s e n t i n e l p r o c e s s i s a M a r k o v c h a i n o b t a i n e d b y m o d i -

f y i n g t h e M a r k o v c h a i n c o r r e s p o n d i n g t o t h e S A - c o u n t e r a s

f o l l o w s . W e c o n s i d e r e a c h t r a n s i t i o n i n t h e M a r k o v c h a i n f o r

t h e S A - c o u n t e r . L e t t h i s t r a n s i t i o n c o r r e s p o n d t o a d d i n g a

n e w t i l e X t o a s u p e r t i l e A . A t i l e Y n A i s s a i d t o b e

a s u p p o r t t i l e i f i t s h a r e s a s i d e w i t h X a n d t h e r e i s a n a r c

f r o m Y t o X i n t h e s e n t i n e l g r a p h t h e s t r e n g t h o f t h i s a r c i s

s a i d t o b e t h e s u p p o r t s t r e n g t h f r o m Y . W e r e t a i n t h i s t r a n -

s i t i o n i f t h e s u m o f t h e s u p p o r t s t r e n g t h s f r o m t h e s u p p o r t

t i l e s i s g r e a t e r t h a n t h e t e m p e r a t u r e a n d e l s e w e d i s c a r d i t .

A n y s t a t e i n t h e M a r k o v c h a i n t h a t i s u n r e a c h a b l e f r o m t h e

s o u r c e s t a t e i s d i s c a r d e d .

I n t u i t i v e l y , t h e s e n t i n e l p r o c e s s i s f o r m e d b y t a k i n g t h e

S A - c o u n t e r a n d i n t r o d u c i n g a \ s e n t i n e l " w h o d i s a l l o w s t r a n -

s i t i o n s t h a t r e q u i r e b o n d - f o r m a t i o n f r o m t h e l e f t t o t h e r i g h t ,

e x c e p t w h e n s u c h t r a n s i t i o n s a r e n e c e s s a r y f o r r e p l i c a t i o n .

I t i s n o t d i c u l t t o s e e t h a t t h e s e n t i n e l p r o c e s s p r o d u c e s

e x a c t l y t h e s a m e c o m p l e t e a s s e m b l y a s t h e S A - c o u n t e r .

I n t h e s e n t i n e l g r a p h , t h e r e i s e x a c t l y o n e b o n d t h a t g o e s

f r o m t h e l e f t m o s t c o l u m n t o t h e r i g h t , a n d t h i s h a p p e n s j u s t

a b o v e t h e I N E R T r o w 0 1 1 1 1 w h e r e t h e l e f t m o s t 0 i s t h e

o n l y t i l e t h a t c a n \ s e l f - r e p l i c a t e " i n t o t h e a c t i v e r o w a n d

m u s t t h e n i n d u c e t h e 1 - t i l e s t o a t t a c h t o i t s r i g h t . F u r t h e r ,

t h i s p r o p e r t y i s r e c u r s i v e l y s a t i s e d i f w e r e m o v e t h e l e f t -

m o s t c o l u m n a n d l o o k a t t h e s e n t i n e l g r a p h s f o r t h e t w o

s u b - r e c t a n g l e s b e l o w a n d a b o v e t h e 0 1 1 1 1 r o w . T h i s r e -

c u r s i v e s t r u c t u r e m a k e s t h e s e n t i n e l p r o c e s s m o r e a m e n a b l e

t o a n a l y s i s . T h e s t r u c t u r e o f t h e s e n t i n e l g r a p h i s i l l u s t r a t e d

i n g u r e 2 .

3.2.0.2 Stochastic dominance:.D e n e t

j

t o b e t h e t i m e a t w h i c h t h e ( i j ) p o s i t i o n g e t s

l l e d i n t h e S A - c o u n t e r a n d t

j

t o b e t h e t i m e a t w h i c h i t

g e t s l l e d i n t h e s e n t i n e l p r o c e s s . N o t e t h a t t ( i j ) a n d t ( i j )

a r e r a n d o m v a r i a b l e s . L e t t ( n ) a n d t ( n ) b e t h e r a n d o m

v a r i a b l e s d e n o t i n g t h e t i m e s a t w h i c h t h e S A - c o u n t e r a n d

t h e s e n t i n e l a s s e m b l y c o m p l e t e .

A r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e A i s s a i d t o b e s t o c h a s -

t i c a l l y d o m i n a t e d b y a n o t h e r r a n d o m v a r i a b l e B , d e n o t e d

A

s d

B , i f f o r a l l x P r A > x P r B > x

L e m m a 3 . 3 . F o r a l l p o s i t i o n ( i j ) i n t h e c o n s t r u c t e d c o u n t e r ,

t

j

s d

t

j

C1

A1

1I

C1

A1

1I

C1

A1

IS1

0C CS0 0CR

A0 A1 AR1

1I

C1 CR1

A1 0AR

IS1 IR0

0C 0CR

A0 AR1

I0 1IR

0C CR1

A0 0AR

IS0 IR0

1I 1IR

0C

A0

I0

0C

A0

I0

0C

A0

I0

I0

C1 CR1

A1 0AR

IS1 IR0

0C 0CR

A0 AR1

I0 1IR

0C CR1

A0 0AR

IR0

1I 1IR

I0

G(4)

1

2

3G (8)

G (8)

G (8)

G(8)

G(4)

Seed Row

F i g u r e 2 : T h e r e c u r s i v e s t r u c t u r e o f t h e s e n t i n e l

g r a p h .

744


6/9

P r o o f . L e t X

j

b e a n e x p o n e n t i a l r a n d o m v a r i a b l e w i t h

m e a n 1 = p

j

, w h e r e p

j

r e f e r s t o t h e p r o b a b i l i t y a s s o c i a t e d

w i t h t h e t i l e a t p o s i t i o n i j i n t h e s q u a r e . R e c a l l t h a t

p

j

= p

S A

f o r a l l i j , w h e r e p

S A

i s s o m e c o n s t a n t i n d e p e n -

d e n t o f n . L e t a l l t h e X

j

b e i n d e p e n d e n t . A t i l e a t t a c h e s

a t p o s i t i o n ( i j ) i n t h e s e l f - a s s e m b l y X

j

t i m e a f t e r t h i s p o -

s i t i o n b e c o m e s a t t a c h a b l e

2

. W e c o u p l e t h e s e n t i n e l p r o c e s s

a n d t h e S A - c o u n t e r b y s e t t i n g t h e v a l u e s o f X

j

t o b e t h e

s a m e f o r b o t h p r o c e s s e s . D e n e a

j

a n d a

j

t o b e t h e t i m e s

a t w h i c h t i l e p o s i t i o n ( i j ) i s a t t a c h a b l e i n t h e S A - c o u n t e r

a n d t h e s e n t i n e l p r o c e s s , r e s p e c t i v e l y . L e t t b e t h e e a r l i e s t

t i m e w h e n a t i l e g e t s a t t a c h e d i n t h e s e n t i n e l p r o c e s s b u t

i s s t i l l u n a t t a c h e d i n t h e S A - c o u n t e r . L e t ( i j ) b e t h i s t i l e

p o s i t i o n . C l e a r l y , a

j

< t . T h e r e f o r e a n y t i l e s w h i c h h a d a t -

t a c h e d i n t h e s e n t i n e l p r o c e s s b y t i m e a

j

h a d a l s o a t t a c h e d

i n t h e S A - c o u n t e r . S i n c e t h e s e n t i n e l p r o c e s s w a s f o r m e d

b y d i s a l l o w i n g c e r t a i n b o n d s i n t h e S A - c o u n t e r , t i l e p o s i t i o n

( i j ) i s a l s o a t t a c h a b l e i n t h e S A - c o u n t e r a t t i m e a

j

. H e n c e

a

j

a

j

. B u t t

j

= a

j

+ X

j

a n d t

j

= a

j

+ X

j

. T h i s i m -

p l i e s t h a t t

j

t

j

, w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n . S i n c e t

j

t

j

f o r e a c h c o u p l e d e x p e r i m e n t , t

j

s d

t

j

3.2.0.3 Completion time for the sentinel process:.D e n e L ( n ) t o b e t h e l o n g e s t l e n g t h o f a n y d i r e c t e d p a t h

i n t h e s e n t i n e l g r a p h f o r c o u n t i n g u p t o n

L e m m a 3 . 4 . L ( n ) = ( n )

P r o o f . L e t u s b r e a k t h e s e n t i n e l g r a p h i n t o t h r e e p a r t s

t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e r e c u r s i v e s t r u c t u r e o f t h i s g r a p h .

T h e r s t p a r t c o r r e s p o n d s t o a l l t h e r o w s f r o m t h e i n i t i a l a l l -

z e r o s I N E R T r o w t o t h e I N E R T r o w t h a t h a s a 0 i n t h e m o s t

s i g n i c a n t p o s i t i o n a n d a 1 e v e r y w h e r e e l s e . T h e s e c o n d

p a r t c o r r e s p o n d s t o t h e i n c r e m e n t o p e r a t i o n o n t h i s I N E R T

r o w . T h e t h i r d c o r r e s p o n d s t o a l l t h e r e m a i n i n g r o w s . L e t

G

1

( n ) G

2

( n ) G

3

( n ) r e f e r t o t h e s e t h r e e p a r t s o f t h e s e n t i n e l

g r a p h a n d l e t G ( n ) r e f e r t o t h e e n t i r e g r a p h . T h e r e c u r s i v e

s t r u c t u r e o f t h e g r a p h i s d e p i c t e d i n g u r e 2 . L e t L

1

( n )

L

2

( n ) , a n d L

3

( n ) r e p r e s e n t t h e m a x i m u m l e n g t h o f a n y p a t h

i n e a c h o f t h e t h r e e p a r t s . S i n c e n o b o n d s g o f r o m h i g h e r

t o l o w e r r o w s ( b y c o n s t r u c t i o n o f t h e s e n t i n e l g r a p h ) , w e

h a v e L ( n ) 2 + L

1

( n ) + L

2

( n ) + L

3

( n ) . S i n c e t h e g r a p h i s

a c y c l i c a n d t h e r e a r e o n l y O ( l o g n ) t i l e s i n t h e s e c o n d p a r t ,

L

2

( n ) = O ( l o g n ) . T h e r s t a n d t h i r d p a r t s o f t h e g r a p h

a r e s y m m e t r i c s o w e w i l l j u s t c o n c e n t r a t e o n L

1

( n ) . T h e

c r u c i a l o b s e r v a t i o n i s t h a t t h e l e f t m o s t t i l e ( a 0 - t i l e ) i n t h e

i n e r t r o w w i t h w h i c h t h e r s t p a r t t e r m i n a t e s i s t h e t i l e

a t w h i c h a n y l o n g e s t p a t h i n t h e e n t i r e r s t p a r t m u s t e n d .

F u r t h e r , t h e s t r u c t u r e o f t h e s e n t i n e l g r a p h d i c t a t e s t h a t t h e

l e n g t h o f t h e l o n g e s t p a t h e n d i n g a t t h i s t i l e i s L ( n = 2 ) + 1 .

T h e r e f o r e , L ( n ) = 2 L ( n = 2 ) + ( l o g n ) , a n d t h e s o l u t i o n t o

t h i s r e c u r r e n c e i s L ( n ) = ( n )

R e c a l l t h a t t ( n ) t ( n ) a r e t h e c o m p l e t i o n t i m e s f o r t h e

S A - c o u n t e r a n d t h e s e n t i n e l p r o c e s s r e s p e c t i v e l y .

L e m m a 3 . 5 . E t ( n ) ] = ( n ) . F u r t h e r , t ( n ) h a s a n e x -

p o n e n t i a l l y d e c a y i n g t a i l .

2

T h i s f a c t f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t o n c e a t i l e p o s i t i o n

b e c o m e s a t t a c h a b l e i t r e m a i n s a t t a c h a b l e t i l l i t a c t u a l l y

a t t a c h e s .

P r o o f . L e t P

1

P

2

: : : P

N

r e p r e s e n t t h e N d i r e c t e d p a t h s

f r o m t h e s e e d r o w t o a n y t i l e i n t h e n a l r o w i n t h e s e n t i n e l

g r a p h . A t e a c h s t e p i n a n y p a t h , t h e b o n d m u s t g o e i t h e r

u p , l e f t , o r r i g h t . T h e r e f o r e N i s a t m o s t 3

L ( n

e

c n

f o r

s o m e c o n s t a n t c . L e t S d e n o t e t h e s u m o f a l l X

j

s u c h

t h a t p o s i t i o n i j l i e s o n p a t h P . T h e n t h e c o m p l e t i o n t i m e

t ( n ) = m a x

n

= 1

S S i s t h e s u m o f a t m o s t L ( n ) m u t u a l l y

i n d e p e n d e n t e x p o n e n t i a l v a r i a b l e s , e a c h w i t h m e a n 1 = p

S A

H e n c e E S L ( n ) = p

S A

l e t d e n o t e t h e v a l u e L ( n ) = p

S A

C l e a r l y = O ( n ) . U s i n g C h e r n o b o u n d s f o r e x p o n e n t i a l

v a r i a b l e s 4 ] , i t f o l l o w s t h a t P r S > ( 1 + ) ( ( 1 +

) = e

)

L ( n

( ( 1 + ) = e

)

n

. H e n c e P r t ( n ) > ( 1 + )

N ( ( 1 + ) = e

)

n

e

c n

( ( 1 + ) = e

)

n

= ( ( 1 + ) = e

c

)

n

. L e t

u s c h o o s e = + 2 m a x f c 2 g , w h e r e > 0 . N o w

P r

t ( n ) > ( 1 + 2 m a x f c 2 g ) ( 1 + )

P r

t ( n ) > ( 1 + 2 m a x f c 2 g + )

( ( 1 + ) = e

)

n

T h i s c l e a r l y g i v e s a n e x p o n e n t i a l t a i l b o u n d . N o w ,

E

t ( n ) ( 1 + 2 m a x f c 2 g ) ( 1 +

Z

1

= 0

( ( 1 + ) = e

)

n

d )

w h i c h i s O ( n ) a s = O ( n ) a n d t h e i n t e g r a l i s b o u n d e d b y

a c o n s t a n t f o r a n y v a l u e o f n 1

L e m m a 3 . 3 i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e l e m m a 3 . 5 n o w a l l o w s

u s t o c o n c l u d e :

T h e o r e m 3 . 6 . E t ( n ) ] = ( n ) . F u r t h e r , t ( n ) h a s a n e x -

p o n e n t i a l l y d e c a y i n g t a i l .

4. SIMULATING BASE CONVERSION BY

SELF-ASSEMBLY.I n R o t h e m u n d a n d W i n f r e e ' s c o n s t r u c t i o n ( a n d i n o u r s ) ,

t h e \ s e e d r o w " r e p r e s e n t s a n u m b e r w r i t t e n i n b i n a r y a n d

c o n s i s t s o f l o g n t i l e s , e a c h e n c o d i n g 0 o r 1 . T h e n u m b e r i s

u s e d a s t h e s t a r t i n g p o i n t f o r a c o u n t e r . S i n c e w e a r e o n l y

a l l o w e d a s e e d s u p e r t i l e c o n s i s t i n g o f a s i n g l e t i l e , t h i s s e e d

r o w i t s e l f n e e d s t o b e a s s e m b l e d f r o m a s i n g l e t i l e . E a c h

t i l e i n t h e s e e d r o w n e e d s t o b e d i s t i n c t , a n d t h e r e f o r e t h e

p r o g r a m s i z e c o m p l e x i t y f o r a s s e m b l i n g t h e s e e d r o w i t s e l f

i s ( l o g n ) . O n t h e o t h e r h a n d , K o l m o g o r o v c o m p l e x i t y

d i c t a t e s t h e p r o g r a m s i z e c o m p l e x i t y t o b e (

o g n

l o g l o g n

) . I n

o r d e r t o a c h i e v e t h e K o l m o g o r o v b o u n d , w e c h a n g e t h e s e e d

r o w t o r e p r e s e n t a n u m b e r w r i t t e n b a s e b , w h e r e b i s p o w e r

o f 2 s u c h t h a t

l o g n

l o g l o g n

b = 2

k


7/9

U n f o r t u n a t e l y i f w e s i m p l y f o l l o w R o t h e m u n d a n d W i n -

f r e e 6 ] ' s m e t h o d , w e p a y a p r i c e i n t i m e c o m p l e x i t y . T h e

R o t h e m u n d a n d W i n f r e e c o n s t r u c t i o n b e g i n s w i t h t h e s e e d

r o w a n d g r o w s t h r o u g h a s u c c e s s i o n o f s - t i l e s t o p r o d u c e

a n a l r e c t a n g l e . B u t f o r e a c h s - t i l e p r o d u c e d i n t h e p r o -

c e s s , t h e r e i s e x a c t l y o n e t i l e w h i c h c a n b e i n c o r p o r a t e d .

T h e r e a r e a t l e a s t b = (

o g n

l o g l o g n

) d i s t i n c t t i l e s w h i c h o c c u r

( n ) t i m e s i n t h e n a l r e c t a n g l e , a n d a t l e a s t o n e o f t h e s e

t i l e s m u s t h a v e p r o b a b i l i t y O (

l o g l o g n

o g n

) . I t f o l l o w s t h a t s u c h

t i l e s r e q u i r e (

n o g n

l o g l o g n

) t i m e f o r a s s e m b l i n g o f t h e r e c t a n -

g l e . I n p a r t i c u l a r , t h e t i m e i s n o t l i n e a r . E v e n u s i n g t h e

p a r a l l e l c o n s t r u c t i o n d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 , t h e t i m e i s n o t

i m p r o v e d ( p r o o f o m i t t e d ) .

T o o v e r c o m e t h i s t i m e p r o b l e m w h i l e p r e s e r v i n g t h e O (

o g n

l o g l o g n

)

p r o g r a m s i z e , w e a d o p t t h e s t r a t e g y o f w r i t i n g t h e s e e d r o w

b a s e b a n d t h e n c o n v e r t i n g i t t o b a s e 2 . W e t h e n e m p l o y

t h e f a s t p a r a l l e l c o u n t e r d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 .

I n t h e c o n v e r s i o n p a r t , w e w i l l e m p l o y s o m e t i l e s , w h i c h

h a v e t h e c a p a b i l i t y t o p e r f o r m d i v i s i o n - b y - 2 . T h e s e t i l e s

h a v e g l u e s r e p r e s e n t i n g b i n a r y s t r i n g s . T h e n o r t h g l u e r e p -

r e s e n t s l a s t b i t , t h e w e s t g l u e r e p r e s e n t s t h e p r e x s u b s t r i n g

a n d t h e e a s t g l u e r e p r e s e n t s t h e s t r i n g i t s e l f . S e e F i g u r e 4

( A ) f o r t h e t i l e a s s o c i a t e d w i t h t h e s t r i n g 0 1 1 0 , a n d F i g u r e 4

( B ) f o r c o o p e r a t i o n o f t w o t i l e s . W e a s s u m e t h a t t h e t e m -

p e r a t u r e i s 3 , b u t i t i s n o t h a r d t o s e e t h a t t h e s a m e i d e a

a l s o w o r k s f o r t e m p e r a t u r e 2 .

I n t h e f o l l o w i n g t i l e d e s c r i p t i o n s , w e i d e n t i f y a t i l e b y t h e

l a b e l s o n i t s f o u r s i d e s : N o r t h ( N ) , W e s t ( W ) , E a s t ( E ) a n d

S o u t h ( S ) , a n d a t i t l e s y m b o l ( T S ) . I n o u r n o t a t i o n s , a p r e x

\ ( 2 ) " i n d i c a t e d a g l u e w i t h s t r e n g t h 2 , a p r e x \ ( 3 ) " i n d i -

c a t e d a g l u e w i t h s t r e n g t h 3 . T h e a b s e n c e o f p r e x i n d i c a t e s

g l u e w i t h s t r e n g t h 1 .

S u p p o s e w e w a n t t o c o n v e r t b

1

b

h

i n b a s e b t o b i n a r y

b a s e n u m b e r , w h e r e b i f w r i t t e n i n b i n a r y w o u l d b e b

1

b

2

b

k

T h e s e t o f t i l e s c o n s i s t s o f

1 . ( S e e d . ) T h e s e t i l e s w i l l f o r m a s e e d r o w . F o r e a c h

b

1

b

2

b

k

1 i h

T S : ( b

1

b

2

b

k

)

s

N : i f i < h , ( 3 ) S S : I f i > 1 , ( 3 ) S

1

W : i f i = h , ( 3 ) b

h 1

b

h 2

b

h k

, e l s e b

1

b

2

b

k

2 . ( d i v i s i o n b y 2 . ) F o r e a c h b i n a r y s t r i n g a

1

a

2

a 1

i k

T S : ( a

1

a

2

a )

d

N : ( 2 ) a , E : ( 3 ) a

1

a

2

a

W : i f i 2 , ( 3 ) a

1

a

2

a

1

, o t h e r w i s e x 2 ,

S : i f i 2 , ( 2 ) x 1 , o t h e r w i s e ( 2 ) x 3 .

3 . ( B a s e b c o p y . ) F o r e a c h b i n a r y s t r i n g a

1

a

2

a

k

T S : ( a

1

a

2

a

k

)

c

N : ( 2 ) x 1 , W : a

1

a

2

a E a

1

a

2

a , S : ( 2 ) x 1 .

4 . ( L a s t b c o p y t i l e . ) F o r e a c h b i n a r y s t r i n g a

1

a

2

a

k

T S : ( a

1

a

2

a

k

)

C

N : ( 2 ) x 3 , W : ( 3 ) a

1

a

2

a E a

1

a

2

a , S : ( 2 ) x 1 .

5 . ( B a s e 2 c o p y . ) F o r a = 0 o r 1 ,

T S a

x

N : ( 2 ) a E : x 2 S : ( 2 ) a W : x 2 .

N o t e t h a t t h e e a s t s i d e o f t h e s e e d t i l e s , t h e s o u t h s i d e o f

t h e r s t s e e d t i l e a n d t h e n o r t h s i d e o f t h e l a s t s e e d t i l e a r e

n o t a s s i g n e d w i t h a n y g l u e s . T h e y a r e o p e n f o r l a t e r u s e .

E v e n i f t h o s e g l u e s a r e a l l d i e r e n t , t h e n u m b e r o f d i s t i n c t

t i l e s i s n o t i n c r e a s e d .

F i g u r e 4 ( C ) i s a n e x a m p l e s h o w i n g h o w t o c o n v e r t s t r i n g

0 3 1 i n b a s e 4 t o s t r i n g 0 0 1 1 0 1 i n b a s e 2 .

I n i t e m 2 , w e u s e t h e m o s t d i s t i n c t t i l e s . w h i c h i s

b +

b

2

+

b

4

+ 1


8/9

0

x1

011 0110

0

0110

x1

0110d

0110d

01

1

011d

x1

(A) Convert one bit.(B) Convert two bits.

d

c*

ccdd c*

x

x x x x s

s

s

c

c

d

d

x d

0 0 01 1 1

0 00 00 00 00 00 00

0 0 1 11 11 11 11

010101100

(C) Convert 031 in base 4 to 001101 in base 2.

F i g u r e 3 : C o n v e r t i n g b a s e b y s e l f - a s s e m b l y .

c o m p l e x i t y n o l o n g e r d i c t a t e s a n ( l o g n = l o g l o g n ) l o w e r

b o u n d o n t h e p r o g r a m s i z e ( n u m b e r o f t i l e s ) . W h a t i s

t h e s m a l l e s t p o s s i b l e n u m b e r o f t i l e s n e e d e d i n t h a t

c a s e , a n d c a n t h i s b o u n d b e a c h i e v e d s i m u l t a n e o u s l y

w i t h o p t i m a l p r o g r a m t i m e ? T h e K o l m o g o r o v c o m -

p l e x i t y b a s e d l o w e r b o u n d f o r t h i s m o d e l i s (

p

l o g n )

t i l e s .

3 . I n t h e m o d e l d e s c r i b e d h e r e , s - t i l e s g r o w b y a c c r e t i o n

i . e . b y t h e a d d i t i o n o f s i n g l e t i l e s t o a g r o w i n g c r y s t a l .

M o d i f y t h e m o d e l t o a l l o w a n y t w o s - t i l e s t o m e r g e

i n t o a l a r g e r s - t i l e . I n s u c h a s y s t e m t h e l o w e r b o u n d

o f ( n ) f o r t h e t i m e t o a s s e m b l e n n s q u a r e s n o

l o n g e r a p p e a r s n e c e s s a r y . I n t h i s c a s e , w h a t i s t h e b e s t

p o s s i b l e t i m e a n d c a n i t b e a c h i e v e d s i m u l t a n e o u s l y

w i t h o p t i m a l p r o g r a m s i z e ?

4 . T h e T i l e A s s e m b l y M o d e l a s p r e s e n t e d h e r e i s " i r r e -

v e r s i b l e " - o n c e a t i l e s t i c k s , i t n e v e r " u n s t i c k s " . G e n -

e r a l i z e t o a m o d e l t h a t a l l o w s t i l e s t o b o t h a t t a c h t o

a n d d e t a c h f r o m t h e a s s e m b l y .

Acknowledgements

W e w o u l d l i k e t o t h a n k P a u l R o t h e m u n d a n d E r i k W i n f r e e

f o r s e v e r a l h e l p f u l d i s c u s s i o n s a b o u t t h e i r w o r k 6 ] .

7. REFERENCES 1 ] L e o n a r d M . A d l e m a n . T o w a r d s a m a t h e m a t i c a l

t h e o r y o f s e l f - a s s e m b l y . T e c h n i c a l R e p o r t 0 0 - 7 2 2 ,

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i t y o f

S o u t h e r n C a l i f o r n i a , 2 0 0 0 .

2 ] H . A b e l s o n , D . A l l e n , D . C o o r e , C . H a n s o n , G .

H o m s y , T . K n i g h t , R . N a g p a l , E . R a u c h , G . S u s s m a n

a n d R . W e i s s . A m o r p h o u s c o m p u t i n g . A I M e m o

1 6 6 5 , A u g u s t 1 9 9 9 .

3 ] C h e n g d e M a o , T h o m a s H . L a B e a n , J o h n H . R e i f a n d

N a d r i a n C . S e e m a n . L o g i c a l c o m p u t a t i o n u s i n g

a l g o r i t h m i c s e l f - a s s e m b l y o f D N A t r i p l e - c r o s s o v e r

m o l e c u l e s . N a t u r e , 4 0 7 : 4 9 3 { 4 9 6 , 2 0 0 0 .

4 ] R . M o t w a n i a n d P . R a g h a v a n . R a n d o m i z e d

A l g o r i t h m s . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 5 .

5 ] P a u l R o t h e m u n d . U s i n g l a t e r a l c a p i l l a r y f o r c e s t o

c o m p u t e b y s e l f - a s s e m b l y . P r o c e e d i n g s o f t h e N a t i o n a l

A c a d e m y o f S c i e n c e s , 9 7 : 9 8 4 { 9 8 9 , 2 0 0 0 .

747


9/9

Documents

Leonard Adleman, Qi Cheng, Ashish Goel and Ming-Deh Huang- Running Time and Program Size for Self-assembled Squares