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Optique chapitre 3

Lentilles et miroirs sphériques

I. Définitions

I.1. Miroir sphérique mince

Un dioptre limite deux MHIT, sauf dans le cas où il n'est utilisé qu'en réflexion. Pour se limiter à la réflexion, on place un revêtement argentique sur l'une des faces du dioptre. Auquel cas, il constitue un miroir sphérique.

Prenons un dioptre sphérique de centre C et de rayon R, la lumière peut l'atteindre par sa face intérieure (concave) donc aller du centre vers le dioptre. Elle peut aussi aller dans le sens dioptre → centre et atteindre le dioptre sur sa face extérieure (convexe) .

On trouvera donc deux types de miroirs : les concaves et les convexes.

Un axe passant par C coupe la surface en S. Le miroir sphérique est défini par son centre C et son sommet S. Le rayon est défini de manière algébrique par R =

€

SC .

Le sens positif étant défini par le sens de la lumière, R > 0 pour un miroir convexe et R < 0 pour un miroir concave (fermant).

I.2. Lentilles sphériques minces

Deux dioptres sphériques, de rayons R1 et R2 (algébriques), de

centres C1 et C2 de sommets S1 et S2, délimitent un milieu d'indice n >1, Un tel système est appelé lentille sphérique.

Ce système possède un axe de révolution appelé axe optique. On dit que c'est un système centré.

Une lentille fonctionne en transmission : la lumière traverse la lentille.

La lentille est mince si son épaisseur e = S1S2 <<⏐R1⏐ ou ⏐R2⏐et à

C1C2 donc si e peut être négligée devant toutes les autres distances et toute distance inférieure à e sera considérée comme nulle.

Autrement dit on confond le segment S1S2 avec le point O appelé centre optique de la lentille mince.

Une lentille est un MHIT limité par deux surfaces sphériques. Elle est mince, lorsque la distance entre les deux surfaces est négligeable devant toutes les autres distances.

I.3. Convergent ou divergent ?

Manip 1 : Reconnaissance rapide

⇒ par la forme : la lentille convergente est plus mince aux bords qu'au centre, le miroir convergent est argenté sur la face externe

⇒ par l'effet : une lentille convergente converge → il y a plus de lumière sous la lentille : trace claire. Sous une lentille divergente il y a une trace sombre.

I.4. Foyers

Par définition, le foyer principal objet F de tout système optique centré, est le point objet dont l'image se

trouve à l'infini sur l'axe optique : F

€

Système optique⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ∞.

Le plan perpendiculaire à l'axe optique passant par F est le plan focal objet. Tout point de ce plan est appelé foyer secondaire et a son image à l'infini.

De même, le foyer principal image F' d'un système centré est le point image d'un objet situé à l'infini sur

l'axe optique : ∞

€

Système optique⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ F'.

Le plan perpendiculaire à l'axe optique passant par F' est le plan focal image. Tout point situé à l'infini a son image dans ce plan.

C1 S1

R1

C2 S2

R2

C S

S C

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Manip 2 : On utilise la source munie d'un condenseur et une plaque comportant trois fentes. En agissant sur le bouton placé au dessus de la source on peut modifier le trajet des rayons émis par cette source. Rechercher les foyers image puis objet des lentilles.

⇒ Mode opératoire : Il faut obtenir des rayons parallèles soit avant soit après la lentille .......

⇒ Observations : les deux foyers de la lentille sont symétriques par rapport au centre optique ils sont virtuels dans le cas d'une lentille divergente

⇒ Vérification : quand les rayons arrivent parallèles entre eux, peu importe la position de la lentille, l'image sera toujours à la même distance de la lentille dans le plan focal image .

Manip 3 : Sur le banc d'optique : Placer une lettre qui servira d'objet 1 sur la lampe source. Placer un miroir sur un support sur le banc. Rechercher les foyers image puis objet du miroir.

⇒ Mode opératoire : Il faut obtenir des rayons parallèles soit avant soit après le miroir. Pour obtenir des rayons parallèles avant le miroir, il faut intercaler une lentille convergente en la plaçant de façon à ce que l'objet 1 soit en son foyer. Elle en donne alors une image à l'infini, donc les rayons arrivant sur le miroir sont parallèles...........................................................

⇒ Observation : les foyers du miroir sont confondus. ..............................................................................

I.5. Distance focale - Vergence

La grandeur algébrique

€

OF = f (en mètre) pour une lentille et

€

SF = f pour un miroir est appelée distance focale objet. La grandeur algébrique

€

OF ' = f' ou

€

SF ' = f ' est appelée distance focale image. La

vergence est V =

€

1OF '

en m-1 ou dioptries (δ).

Attention, dans le cas de la lentille convergente, on a

€

OF < 0 et

€

OF ' > 0 donc V > 0 alors que pour un miroir convergent

€

SF =

€

SF ' = f = f' < 0.

I.6. Modélisation

En plaçant la lentille sur le banc d'optique nous travaillons dans les conditions de Gauss. Dans ces conditions, miroirs et lentilles sont stigmatiques de façon approchée mais suffisante.

Dans les conditions de Gauss, on représente l'axe optique et les points particuliers O, F et F' pour une lentille

convergente divergente

F F' F' FOO

Pour un miroir, on représente l'axe optique et les points S, F et C, centre de courbure du miroir.

Manip 4 : Trouver un mode opératoire pour déterminer la position de C

⇒ Mode opératoire : Sachant que tout rayon passant par le centre de la sphère arrive perpendiculairement à sa surface, donc se réfléchit sur lui même, les rayons passant par C ne sont pas déviés. Il s'en suit que si l'objet est en C son image par le miroir y sera aussi. On recherche donc la distance objet - miroir telle que l'image soit dans le plan de l'objet ..........

⇒ Observation : On constate que l'image est alors de même taille et renversée et que SC = 2SF

⇒ Conclusion : F est au milieu de SC et γ = - 1 pour cette position .......................................................

On en déduit la modélisation :

convergent divergent

C F

S

x

S F

C

x

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Nous avons donc trouvé pour ces deux systèmes optiques quelques couples de points conjugués. Lesquels ?

• ∞

€

Lentille⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ F'

• F

€

Lentille⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ∞

• O

€

Lentille⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ O

• ∞

€

Miroir⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ F

• F

€

Miroir⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ∞

• C

€

Miroir⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ C

• S

€

Miroir⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ S

Il s'agit maintenant de trouver le conjugué d'un point quelconque, autrement dit de trouver les relations de conjugaison, et la dimension de l'image correspondante, autrement dit les relations de grandissement.

II. Conjugaison et grandissement

II.1. Lentille mince convergente

Manip 5 : Sur le banc d'optique. L'objet AB est une lettre placée devant la source. Régler sa position à la graduation zéro. Placer une lentille mince convergente en O sur un support sur le banc. Rechercher l'image A'B' sur un écran. Mesurer

€

OA et

€

OA '. Observer l'image et mesurer

€

A'B' . Recommencer pour plusieurs positions de la lentille.

⇒ Observations : l'image est sur l'écran donc réelle et renversée .....................................................

⇒ Mesures : Ne pas oublier les signes. Noter aussi la dimension de l'objet :

€

AB =

€

OA (m)

€

OA ' (m)

€

A'B' (mm)

⇒ Exploitation des mesures : Tracer

€

OA ' = f(

€

OA). Modéliser la courbe.

⇒ Calculer les rapports :

€

OA'OA

et

€

A'B'AB

et les comparer.

II.2. Miroir convergent

Manip 6 : Même chose en remplaçant la lentille par un miroir. Il sera nécessaire d'incliner un peu le miroir pour avoir une image sur un écran un peu à côté du banc puisque la lumière ne traverse pas le miroir.

⇒ Observations : : l'image est sur l'écran donc réelle et renversée ....................................................

⇒ Mesures : Ne pas oublier les signes. Noter aussi la dimension de l'objet :

€

AB =

€

SA (m)

€

SA ' (m)

€

A'B' (mm)

⇒ Exploitation des mesures : Tracer

€

SA ' = f(

€

SA ). Modéliser la courbe.

⇒ Calculer les rapports :

€

SA'SA

et

€

A'B'AB

et les comparer.

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III. Etude géométrique

III.1. Constructions

III.1.1. Rayons remarquables

Le rayon parallèle à l'axe optique (rouge), vient d'un point à l'infini sur l'axe optique, il émerge en passant par le foyer image - image d'un point à l'infini sur l'axe optique.

Le rayon (vert) passant par le foyer objet dont l'image est à l'infini sur l'axe optique, émerge parallèlement à l'axe.

Ceci est vrai pour les miroirs comme pour les lentilles

Ces deux rayons permettent de trouver l'image B' d'un point objet B situé hors de l'axe optique.

L'image A'B' de l'objet AB perpendiculaire à l'axe est perpendiculaire à l'axe → A'. Ceci utilise la propriété d'aplanétisme approché des miroirs et des lentilles utilisés dans les conditions de Gauss.

Le rayon (bleu) passant par le centre du miroir et n'est pas dévié. On constate également que le rayon (bleu) passant par le centre optique O d'une lentille n'est pas dévié.

C'est une propriété générale : tout rayon passant par le centre optique d'un système centré n'est pas dévié.

III.1.2. Autres rayons

Il s'agit ici de déterminer le trajet d'un rayon lumineux quelconque après la lentille.

Une première méthode consiste à choisir un des points de ce rayon comme objet B et de construire l'image B' de B comme précédemment.

Une autre méthode utilise le fait que des rayons incidents parallèles traversent le système optique en passant par le même foyer image secondaire (point du plan focal image hors de l'axe optique).

III.2. Relations dans le cas des lentilles

III.2.1. Origines aux foyers : formules de Newton

Sur la figure 1 :

€

ABAF

=

€

OJOF

et

€

A'B'A'F '

=

€

OIOF '

;

€

OI =

€

AB et

€

OJ =

€

A'B' →

€

A'B'AB

=

€

A'F 'OF '

=

€

F 'A'F 'O

=

€

FOFA

→ les formules de Newton :

Conjugaison :

€

FA

€

F 'A' =

€

OF

€

OF ' =

€

FO

€

F 'O = ff' = - f'2

Grandissement

γ =

€

−fFA

=

€

f 'FA

=

€

F 'A'−f '

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III.2.2. Origine au centre : formules de Descartes

€

FA =

€

OA -

€

OF =

€

OA +

€

OF ' et

€

F 'A' =

€

OA' -

€

OF ' ce qui donne dans la formule de Newton :

-

€

OF '

€

OA -

€

OF '

€

OA' +

€

OA

€

OA' = 0 qui devient en divisant par

€

OA

€

OA'

€

OF '

Conjugaison :

€

1OA'

-

€

1OA

=

€

1OF '

= -

€

1OF

= V

Grandissement :

γ =

€

OA'OA

On retrouve la relation déterminée en TP.

Attention : on rencontre aussi la notation p = ⏐

€

OA⏐ et p' = ⏐

€

OA' ⏐ →

€

1p '

+

€

1p

=

€

1f '

= -

€

1f

= V.

III.2.3. Théorème des convergences :

Soient deux lentilles de vergences V1 et V2 accolées, c'est à dire placées de telle sorte que l'on puisse

confondre leurs centres optiques, et soit A un objet sur l'axe optique.

A

€

L1⎯ → ⎯ A1

€

L2⎯ → ⎯ A2.

Pour la première lentille :

€

1OA1

-

€

1OA

= V1. pour la seconde:

€

1OA2

-

€

1OA1

= V2.

Donc finalement

€

1OA2

-

€

1OA

= V1 + V2.

Autrement dit, cet ensemble revient à une lentille unique de vergence V = V1 + V2 pour laquelle on

aurait : A

€

Lentille équivalente⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ A

2

Attention, ce n'est vrai que dans le cas de lentilles accolées (O et O' confondus).

III.3. Relations pour un miroir dans les conditions de Gauss

III.3.1. Origine au sommet formules de Descartes (figure 2)

Conjugaison Grandissement

€

1SA

+

€

1SA'

=

€

2SC

=

€

1f

γ = -

€

SA'SA

III.3.2. Origine au foyer formules de Newton

Triangles ABF et SJF semblables →

€

ABAF

=

€

SJSF

Triangles A'B'F et SIF semblables →

€

A'B'A'F '

=

€

SISF '

avec

€

SJ =

€

A'B' ;

€

SI =

€

A'F ' et F et F' confondus : x →

€

FA

€

F 'A' = f2 γ =

€

−fFA

=

€

FA'−f

III.3.3. Origine au centre : formules de Descartes

€

FA =

€

CA -

€

CF et

€

FA' =

€

CA' -

€

CF → (

€

CA -

€

CF )(

€

CA' -

€

CF ) = f2 avec - f =

€

12

€

CS =

€

CF

→

€

CA

€

CA' -

€

12

€

CS

€

CA -

€

12

€

CS

€

CA' = 0 soit en divisant par

€

CS

€

CA'

€

CA →

€

1CA

+

€

1CA'

=

€

2CS

γ =

€

CA'CA

III.3.4. Cas du miroir plan

Un miroir plan peut être considéré comme un miroir sphérique de rayon infini, donc dont le centre et le foyer sont à l'infini. Sa vergence est nulle, c'est un système afocal

On retrouve :

€

1SA

+

€

1SA'

=

€

2SC

=

€

1f

→

€

SA +

€

SA' = 0 et γ = + 1.