Lekcija 11:Lekcija 11 - people.etf.unsa.bapeople.etf.unsa.ba/~jvelagic/laras/dok/lekcijad11.pdf · Lekcija 11:Lekcija 11: Sistemi daljinskog voSistemi daljinskog vo ... 0.15 Brzina

Lekcija 11:Lekcija 11:Sistemi daljinskog vođenjaSistemi daljinskog vođenja

Prof dr sc Jasmin VelagićProf.dr.sc. Jasmin VelagićElektrotehnički fakultet Sarajevo

K l ij Di t ib i i i t iKolegij: Distribuirani sistemi

2012/2013

Sadržaj poglavlja:

Sistemi daljinskog vođenja u robotici

Sistemi daljinskog vođenja 2/79j g j

Bilateralni sistem vođenja

Koncept pasivnosti

2/79

Koncept pasivnosti

Teleoperacija u valnom području

Ilustrativni primjerIlustrativni primjer

11.1. Sistemi daljinskog vođenja

Daljinsko vođenje je tehnika vođenja sistema na daljinu ukojima neposredno (blisko) upravljanje nije ostvarivo, jer jeopasno i/ili nedostupno 3/79

Osnovni pojmoviopasno i/ili nedostupno. 3/79

Teleoperacija: tehnika vođenja sistema sa udaljenog mjesta.Operator: čovjek koji nadzire vođeni stroj i poduzima neophodne upravljačke akcije.Teleoperator: daljinski vođeni sistem. U slučaju robota zove se telerobot.Mehanička manipulacija: mehanički (ili hidraulički) prijenos p j ( ) p jupravljačkih naredbi od operatora do teleoperatora. Telemanipulacija: prijenos upravljačkih naredbi električnim putem.Daljinsko upravljanje: upravljanje na daljinu u kome se upravljani j p j j p j j j p jsistem nalazi u vidnom polju operatera.Teleoperacija: poopćenje telemanipulacije na mobilne sisteme (robote) i sisteme upravljane preko komunikacijskih medija.( ) p j p j jNadzirano upravljanje: velika autonomnost udaljenog sistema, a operator samo nadzire njegov rad i djeluje samo povremeno.

Sistemi daljinskog vođenja

Danas je zastupljena tzv. standardna manipulacija, tj. bežično upravljanje i vizuelna povratna veza preko sistema kamera i monitora 4/79monitora. 4/79


Tipovi teleoperacija:

Upravljanje u zatvorenoj petlji (direktna teleoperacija) 5/79Upravljanje u zatvorenoj petlji (direktna teleoperacija). Operator direktno upravlja aktuatorima teleoperatora i dobiva povratne signale u stvarnom vremenu. Ovo je moguće samo kada su kašnjenja u krugu mala i dinamika teleoperatora

5/79

kada su kašnjenja u krugu mala i dinamika teleoperatora dovoljno spora.Koordinirana teleoperacija.O t lj kt t i t l t li t j i kOperator upravlja aktuatorima teleoperatora, ali postoje i neke regulacijske petlje na samom teleoperatoru. Teleoperator nema autonomiju i na njemu se zatvaraju one regulacijske petlje kojima operator ne može upravljati zbog kašnjenja i dinamikekojima operator ne može upravljati zbog kašnjenja i dinamike.Nadzirano upravljanje. Veliki dio upravljanja obavlja se autonomno na teleoperatoru. Operator uglavnom nadzire njegov rad i daje naredbe višeOperator uglavnom nadzire njegov rad i daje naredbe više razine. Ponekad se koristi i termin “teleoperacija temeljena na zadatku”.

St j i t l ijSistemi daljinskog vođenja

Stupnjevi teleoperacije

OPERATOR OPERATOR OPERATOR 6/79

prikaz upravljanje prikaz upravljanje prikaz upravljanje

6/79

HMI računar HMI računar HMI računar

Stupnjevi

Teleoperatorskič

prijenos

Teleoperatorski Teleoperatorskič

prijenos prijenosStupnjevi teleoperacije

računar

aktuatorisenzori

računar

aktuatorisenzori aktuatorisenzori

računar

zadatak zadatak zadatak

Direktna teleoperacija

Koordinirana teleoperacija

Nadzirano upravljanje


Primjena novih računarskih tehnologija u teleoperaciji omogućuje operatoru dobivanje osjećaja prisutnosti u udaljenom prostoru 7/79udaljenom prostoru.

1. Daljinska prisutnost (Telepresence). Teleoperater se nalazi

7/79

1. Daljinska prisutnost (Telepresence). Teleoperater se nalazi izvan vidnog polja operatora, a senzorske informacije (vida, slike, zvuka, sile,...) daju operatoru osjećaj prisutnosti u udaljenom prostoruudaljenom prostoru.

2. Virtualna prisutnost (virtualna stvarnost, Virtual Reality). Slična pojmu daljinske prisutnosti, s tim da su udaljeni

l i k i f ij i iprostor, teleoperator i senzorske informacije generirani virtualno u računar.

3. Proširena stvarnost (Augmented Reality). Predstavlja ( g y) jkombinaciju virtualne stvarnosti i informacija iz stvarnog udaljenog prostora.


Mehanička manipulacija (do 1954)

Z štit i idSi di O di 8/79 Zaštitni zidSigurna sredina Opasna sredina 8/79

Master manipulator Slave manipulator

Prozor

Operator


Telemanipulacija uz električki prijenos signala (od 1954).

9/79 Zaštitni zid Sigurna sredina Opasna sredina

9/79

Master manipulator Slave manipulator

Operatorelektrički kabel

Operator

Upravljačka kutija


Telemanipulacija uz električki prijenos signala i vizuelnu povratnu vezu sistema kamera i monitora (od 1975).


Kamera

10/79

TV

Računar

Upravljačka kutija

Računar

j


Napredna teleoperacija (od 1985).


Kamera

11/79

TV

Računar

Upravljačka kutija

Računar

Mobilnostkutija Mobilnost


Primjene:

P d d i t ži j 12/79Podvodna istraživanja. Svemirska istraživanja.Vojne primjene (podmornice kopno zrak

12/79

Vojne primjene (podmornice, kopno, zrak, poluautonomna vozila, antiterorističke letjelice, itd.).Medicina (endoskopska hirurgija, telehirurgija –operiranje s udaljenih mjesta,itd.).I d t ij ( d t d i t j i itd )Industrija (rudarstvo, radni strojevi, itd.)


Problem kašnjenja:

Kašnjenje u teleoperacijskoj petlji uvijek postoji 13/79Kašnjenje u teleoperacijskoj petlji uvijek postoji.Svaki dio sistema ima neko kašnjenje.Digitalni sistemi povećavaju kašnjenje.Smanjenje utjecaja kašnjenja:

13/79

Smanjenje utjecaja kašnjenja:Primjena tehnika virtualne i proširene stvarnosti.Povratna veza po sili sa algoritmima predikcije i kompenzacije kašnjenjakašnjenja.

Kašnjenje povratnepovratne

veze Kašnjenje prijenosa

Kašnjenje teloperatora

Kašnjenje upravljačkog

i lp

signala

11.2. Bilateralni sistemi vođenjaProblemi kašnjenja u petlji sistema daljinskog vođenja

Operator preko vodećeg (master) manipulatora 14/79

upravlja udaljenim, pratećim (slave) manipulatorom.

Poželjno je da na ruku operatora djeluje povratna sila

14/79

j j p j j pproporcionalna sili u kontaktu pratećeg manipulatora i njegove okoline → bilateralno daljinsko vođenje.

Na taj način operator ima bolji osjećaj o udaljenoj operaciji.

Problem komunikacijskog kašnjenja → može prouzrokovati nestabilnost sistema.p

Nestabilnost se ne može pojaviti u vizuelnoj povratnoj vezi.vezi.

Bilateralni sistemi vođenjaBilateralno pozicijsko upravljanje

zglobovi slave-a qDqS &Δ+Δs qS Δm

zglobovi mastera

sτ mτ

),( sss qqh & ),( mmm qqh &qq &ΔΔ ,

mm,qq &ss ,qq &

Problemi koji se susreću kod bilateralnog sistema upravljanja pozicijom:Operator osjeća silu pri svakom odstupanju u poziciji vodećeg i pratećeg manipulatorapratećeg manipulatora.Neelastični sudari sa preprekama.

Bilateralni sistemi vođenjaBilateralno upravljanje silom

TmJ

m~τ

16/7916/79

zglobovi slave-a qDqS &Δ+Δs

zglobovi mastera

sτ mτ

ss , qq &ΔΔ

),( sss qqh & ),( mmm qqh &

xx &ΔΔ

mm,qq &ss ,qq &

inverzna kinematika

slave-a

mm,xx &ss ,xx &

xx ΔΔ ,

direktna kinematika

slave-a

direktna kinematika

mastera

Kod bilateralnog upravljanja silom problem može nastati kada je prateći manipulator udaljen tako da ga operator ne vidimanipulator udaljen tako da ga operator ne vidi. Problem se rješava dodavanjem vizuelne povratne veze.

Bil t l lj j i l tBilateralni sistemi vođenjaBilateralno upravljanje sa vizuelnom povratnom vezom

stereo - TV monitor

17/7917/79

zglobovi slave-a xDxS &Δ+Δ xx

zglobovi mastera

sτ mτTsJ

),( ssx qqh & ),( mmm qqh &xx &ΔΔ ,

mm,qq &ss ,qq &

mxsxdirektna kinematika

slave-a

direktna kinematika

mastera

U slučaju problema navedenog kod bilateralnog upravljanja po sili, rješenje predstavlja upravljanje impedancijom (pogledati sliku, gdje nema j j p j p j j p j (p g , g jpovratne veze po sili, nema senzora sile i vrh manipulatora reagira na vanjsku silu f (tzv. aktivno pokoravanje)

Osnovna struktura bilateralnog vođenjaBilateralni sistemi vođenjaOsnovna struktura bilateralnog vođenja

“Master-slave” koncept (vodeći i prateći manipulatori)

18/79

Interakcija Interakcija

18/79

Promjenjivo vremensko kašnjenje

sa korisnikom sa okolinom

xm xm

Master Slave

Operator Master manipulator

Master regulator

Komunikacijski

m m

Fh Fmc

k ili b i (li ili ) Komunikacijski kanal

(kašnjenje T)Okolina Slave Slave

xsxs

F

xi – pomak ili brzina (linearna ili ugaona)Fi – sila ili moment

Okolinamanipulator

Slave regulatorFscFe


Zbog jednostavnosti manipulatori sa jednim stupnjem slobode.19/79Jednadžbe kretanja vodećeg (master) i pratećeg (slave)

manipulatora: bJ τθθ =+ &&& J - moment tromosti

M t i l t

19/79

mmmmm bJ τθθ =+

sssss bJ τθθ =+ &&&

b - faktor prigušenja- ubrzanje segmenta- brzina segmentaθ&

θ&&

Master manipulator

Slave manipulator sssss τ - zakretni momentθSlave manipulator

Da bi prateći manipulator pratio vodeći primjenjuje se PD regulator:

smpdsmpdpd BK θθθθτ −+−= )()( &&

pdspdm ττ ττ =−= ,

τpd - zakretni moment dobiven iz regulatora,τpd a et o e t dob ve egu ato a,Kpd - pojačanje regulatora,Bpd - derivacijska konstanta regulatora.


20/79 Komunikacijska linija

mθ& sdθ& sθ&20/79

sJb +1 sBK pdpd +

sJb +1

mm sJb + s ss sJb +

Ulaz

Komunikacijska linijamτ pdτ

korisnik Okolina

Ovaj sistem je stabilan samo ako je kašnjenje u komunikacijskoj mreži manje od nekog graničnog kašnjenja.

Kada je T=0 sistem se ponaša dobro. Za veće T ponašanje sistema se pogoršava i za neko T>0 postaje nestabilan.

Analiza stabilnostiBilateralni sistemi vođenjaAnaliza stabilnosti

Sistem je stabilan samo ako je kašnjenje u komunikacijskoj mreži manje od nekog graničnog kašnjenja → provesti analizu stabilnosti. 21/79manje od nekog graničnog kašnjenja → provesti analizu stabilnosti.

sT

pdpdssmm

sspdpdo e

KsBbsJsJbsJbsBK

sG −

++++

++=

))()(())((

)( 2Prijenosna funkcija otvorenog kruga:

21/79

pdpdssmm

01)( =+sGoKarakteristična jednadžba: beskonačno rješenja.

Rješava se preko faznog uvjeta, tj za:

))(()(ˆ sspdpd sJbsBK

G++

))()(()( 2

pdpdssmm

ppo KsBbsJsJb

sG++++

=

Karakteristična jednadžba vrijedit će uz sljedeće uvjete:j j j j

1|)(ˆ| =− To esG σ

,...2,1,0 ,2)(ˆ =++=∠ kkTsGo ππω

Analiza stabilnostiBilateralni sistemi vođenjaAnaliza stabilnosti

Variable delay root locus 22/79

Nacrtana je krivulja mjesta k ij k 0

T=0s

22/79

korijena samo za k=0.Za veće T sistem postaje nestabilan.Potrebno je na neki način xi

s

T=1s

ot eb o je a e ačkompenzirati kašnjenje.

mag

inar

y a

Im

Real axis

Primjer 1 Bilateralni sistem bez kašnjenjaBilateralni sistemi vođenja

0.5

Master

0.5

0.6Slave

Primjer 1. Bilateralni sistem bez kašnjenja

23/79

0.3

0.4

ozic

ija (m

)

0.3

0.4

ozic

ija (m

)

Parametri:Jm=Js=2 Kg·m2

23/79

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2Po

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2Po m s g

bm=bs=1 Kg·m/sT= 0 s.

• Početne brzine mastera i 0 2 4 6 8 10t (s)

0 2 4 6 8 10t (s)

Master Slave

slave-a, kao i početni uglovi vodećeg i pratećegmanipulatora jednaki su nuli.

0 15

0.2

0.25

(m/s

)

0 15

0.2

0.25

(m/s

)

• Korisnik djeluje na vodećimanipulator momentom iznosa 1 Nm u trajanju od

0.05

0.1

0.15

Brz

ina

0.05

0.1

0.15

Brz

ina 1 sekunde.

0 2 4 6 8 100

t (s)0 2 4 6 8 10

0

t (s)

Primjer 1 Bilateralni sistem bez kašnjenjaBilateralni sistemi vođenja

0 6

0.8Master

0.2

SlavePrimjer 1. Bilateralni sistem bez kašnjenja

24/79

0.2

0.4

0.6

men

t (N

m)

0 4

-0.2

0

men

t (N

m)

24/79

0 2 4 6 8 10-0.2

0

Mom

0 2 4 6 8 10-0.8

-0.6

-0.4

Mom

0 2 4 6 8 10t (s)

0 2 4 6 8 10t (s)

15x 10-3 Razlika pozicije Mastera i Slave-a

0.06Razlika brzine Mastera i Slave-a

Rezultati:

• Sistem stabilan.

10

zici

je (m

)

0.02

0.04

ine

(m/s

)

• Prijelazni proces završio za otprilike 2 s.

0

5

Raz

lika

poz

-0.02

0

Raz

lika

brz

0 2 4 6 8 10-5

t (s)0 2 4 6 8 10

-0.04

t (s)

Primjer 2 Bilateralni sistem sa kašnjenjemBilateralni sistemi vođenja

1.5Master

2Slave

Primjer 2. Bilateralni sistem sa kašnjenjem

25/79

0.5

1

cija

(m)

0

1

cija

(m)

Parametri:

25/79

1

-0.5

0

Poz

ic

2

-1

Poz

ic

Kao u primjeru 1 i T= 400 ms.

Rezultat:0 2 4 6 8 10

-1

t (s)0 2 4 6 8 10

-2

t (s)

Rezultat:

Sistem postao nestabilan.

6Master

4Slave

2

4

6

m/s

)

0

2

4m

/s)

-2

0

Brz

ina

(m

-4

-2

Brz

ina

(m

0 2 4 6 8 10-4

t (s)0 2 4 6 8 10

-6

t (s)

P i j 2 Bil t l i i t k š j jBilateralni sistemi vođenja

40Master

30Slave

Primjer 2. Bilateralni sistem sa kašnjenjem

26/79

0

20

nt (N

m)

0

10

20

nt (N

m)

26/79

-20Mom

e

-20

-10

Mom

e

0 2 4 6 8 10-40

t (s)0 2 4 6 8 10

-30

t (s)

2Razlika pozicije Mastera i Slave-a

10Razlika brzine Mastera i Slave-a

1

2

zici

je (m

)

5

10

brzi

ne

-1

0

Raz

lika

poz

-5

0

Raz

lika

b

0 2 4 6 8 10-2

t (s)0 2 4 6 8 10

-10

t (s)

Bilateralno vođenje sa kašnjenjem temeljeno na valnim11.3. Koncept pasivnosti sistemaBilateralno vođenje sa kašnjenjem temeljeno na valnim varijablama

Opisani sistem bilateralnog vođenja može se učiniti pasivnim27/79(stabilnim) za proizvoljan iznos komunikacijskog kašnjenja T,

ako se komunikacija između vodećeg i pratećeg manipulatora ostvaruje u prostoru valnih varijabli (jednadžbi).

27/79

j p j (j )Valne varijable predstavljaju proširenje teorije pasivnosti. Razlog njihovog uvođenja jest u utjecaju na uvjet pasivnosti sistema. Sistem je pasivan ako je energija dovedena u njega veća ili jednaka od energije koju on daje na svom izlazujednaka od energije koju on daje na svom izlazu. Slijedi da je sistem (semi)disipativan, odnosno sistem je stabilan. U slučaju bilateralnog upravljanja to znači da snaga (sila*brzina) j g p j j g ( )koju vodeći manipulator šalje pratećem mora biti jednaka ili veća od snage (sila*brzina) koju mu prateći manipulator vraća. Ak j t ći i t i t b i ti d i k ik ij kiAko je prateći sistem pasivan, treba osigurati da i komunikacijski kanal bude pasivan i cjelokupni sistem će biti stabilan, a što se osigurava primjenom valnih jednadžbi.

Opis koncepta pasivnosti sistemaKoncept pasivnosti sistema

Opis koncepta pasivnosti sistemaFormalizam pasivnosti predstavlja matematički opis intuitivnog fizičkog koncepta snage i energije.

28/79Omogućuje jednostavan i robusan alat za analizu stabilnosti nelinearnih sistema i dozvoljava povezivanje sa drugim sistemima dok su zadovoljena svojstva globalne stabilnosti.

28/79

dok su zadovoljena svojstva globalne stabilnosti. U nastavku se opisuje formalizam pasivnosti.

Uvjet pasivnosti sistema:j p

dissT

dtd PEyxP +==

x - ulazni vektor sistema,y - izlazni vektor sistema,P l i t N d ž fi ik l j i ž j d ij bl iP - ulazna snaga u sistem. Ne odgovara nužno fizikalnoj snazi, važno je da varijable x i yimaju istu dimenziju.

Ul h j j ili di i i i tUlazna snaga se pohranjuje ili disipira u sistemu.Sistem ne može generirati energiju, osigurava samo koliko je ima inicijalno.

Opis koncepta pasivnosti sistemaKoncept pasivnosti sistema

Opis koncepta pasivnosti sistemaPasivnost se češće izražava preko energije (predznak “-”označava ulaznu energiju):

29/79

0 ,konst )0()0()(0 00

≥∀=≥−≥+−= ∫ ∫∫ tddtdt t

diss

tEPPEEP τττ

29/79

Ako je disipirana snaga cijelo vrijeme jednaka nuli, sistem gubi energiju. Suprotno, ako je disipirana snaga pozitivna jednako dugo kao i pohranjena energija, tada neće doseći svoju donju granicu, odnosno sistem je striktno pasivansistem je striktno pasivan.Korištenjem pohranjene energije kao Lyapunov-ljeve funkcije, može se analizirati stabilnost sistema. Lahko se pokaže da bez djelovanja vanjskog ulaza pasivni sistem je stabilan. Asimptotska stabilnost se postiže za striktno pasivan sistemAsimptotska stabilnost se postiže za striktno pasivan sistem, pretpostavljajući da pohranjena energija ovisi (pozitivno) o svim stanjima sistema.

Kombinacija pasivnih elemenata – tok snage dvoportnih sistemaKoncept pasivnosti sistema

Kombinacija pasivnih elemenata – tok snage dvoportnih sistemaOpćenito se snaga označava kao pozitivna ukoliko se unosi u sistemi povećava pohranjenu energiju sistema.

30/79

lx& rx&

Port lijeve Port desne TT FxFxP &&=

Ukupan tok snage:Dvoulazni sistem 30/79

lF rFstrane strane rrll FxFxP −=

Kaskada pasivnih elemenata Ukupan tok snage:Kaskada pasivnih elemenata

x& x& 4x&x&AB

TTTT

TT

FxFxFxFx

FxFxP

+

−= 4411

&&&&

&&

Ukupan tok snage:

1x 2x

1F 2F

4x

4F

3x

3F

A B

ABdiss

ABB

diss

BA

diss

A

dtd

dtd

dtd PEPEPE

FxFxFxFx

+=+++=

−+−=

44332211

BAAB EEE

Funkcije pohranjenje energije i disipativne snage kombinacije sistema:

Bdiss

Adiss

ABdiss

BAAB

PPPEEE

+=

+= Sistem dobiven kaskadnim povezivanjem dva pasivna sistema je također pasivan

Valne varijable i razdvajanje valova (Wave Scattering)Koncept pasivnosti sistemaValne varijable i razdvajanje valova (Wave Scattering)

Teorija razdvajanja valova (wave scattering) je usko povezanasa formulacijom pasivnosti. 31/79j p

Tok energije razdvaja se u dva dijela, koji predstavljajuulaznu, odnosno izlaznu snagu sistema.

31/79

Nakon toga se ova dva dijela pridružuju ulaznim i izlaznimvalovima.Ovo je motivirano fizikalnim konceptom valova a može seOvo je motivirano fizikalnim konceptom valova, a može seprimijeniti na bilo koji nelinearni sistem.

U teoriji razdvajanja valova, valovi se interpretiraju na sljedećinačin (dvoulazni sistem):

vvuuvvuuFxFxP TTTTTT 1111−+−=−= && vvuuvvuuFxFxP rrllrrll 2222

+==

gdje su ul i ur, odnosno vl i vr, ulazni, odnosno izlazni valovi. Ovi vektori povećavaju protok snage u sistemu.

Transformacije između energetskih i valnih varijabliKoncept pasivnosti sistema

Transformacije između energetskih i valnih varijabli Transformacija energetskih varijabli ( ) u valne varijable (u,v ):Fx,&

11 32/79

)(

21),(

21

)(21,)(

21

rrrlll

rrrlll

bb

bb

bb

bb

xFv xFv

xFuxFu

&&

&&

+=−=

−=+= 32/79

22 bb b – striktno pozitivan parametar i može se proizvoljno odabrati,definira karakterističnu impedancijukoja je pridružena valnim varijablama i

)( )(2

vuvuFx +⋅−=bb &

koja je pridružena valnim varijablama i koja direktno djeluje na ponašanje sistema. )(

2

2

vux −=bb &

Transformacija valnih varijabli u energetske varijable:

)(2

vuF +=b

Transformacija valnih varijabli u energetske varijable:

)(2

,)(2 rrrlll

bb vuFvuF +=+=

)(21),(

21

22

rrrlll bbvux vux −−=−= &&

Transformacije između energetskih i valnih varijabliKoncept pasivnosti sistema

Transformacije između energetskih i valnih varijabli Osim toga, svaki port je jednoznačno određen ako su specificiranejedna valna i jedna energetska varijabla. Ako su zadane sile Fl i Fr →valne transformacije: 33/79valne transformacije:

2 ,2rrrlll bb

vFuvFu −=−=

33/79

)2(1 ),2(1rrrlll b

bb

b

bb

vFxvFx −−=−= &&

Ako su dane brzine portova tada se valne transformacije mogu napisati kao:

2,22,2

rrrlll

rrrlll

bbbbbb

vxFvxFvxuvxu

+−=+=+−=+=

&&

&&

Posebno, moguće je specificirati upravljačke brzine na jednom portu koje ćeproizvesti upravljačke sile na drugom portu. Sljedeća slika prikazuje grafičkivalne transformacije kada su i zadani.lx& rF

T f ij i đ t kih i l ih ij bliKoncept pasivnosti sistemaTransformacije između energetskih i valnih varijabli

b b2

1 Sistem

lx&b2

rx&lurv

b1

34/79b2opisan valnim

varijablamab2

lFrF

lv ru

b21

34/79

Povezivajući teorije razdvajanja valova i pasivnosti može se reći da jesistem pasivan ako je energija dobivena na valnim izlazima ograničena saenergijom primljenom preko valnih ulaza tjenergijom primljenom preko valnih ulaza, tj.

∫∫ ≤t

0

t

0uuvv TT

21

21

Zadovoljeno kada je amplituda izlaznog vala ograničena amplitudomzakašnjelog ulaznog vala. Dakle, može se uključiti proizvoljno kašnjenje usistemima opisanih valnim varijablama u pasivnom obliku Ovo je jedna od

22

sistemima opisanih valnim varijablama u pasivnom obliku. Ovo je jedna odfundamentalnih karakteristika ovog pristupa.Kada t→∞ omjer izlazne i ulazne energije je određen sa H∞ normom sistema.Ovim je omogućeno povezivanje koncepata razdvajanja valova i pasivnosti uOvim je omogućeno povezivanje koncepata razdvajanja valova i pasivnosti uteorem malog pojačanja, koji kaže da je zatvoreni sistem stabilan ako je H∞otvorenog sistema ograničena na jediničnu vrijednost.

Komunikacija sa vremenskim kašnjenjemKoncept pasivnosti sistemaKomunikacija sa vremenskim kašnjenjem

Komunikacijski elementi u teleoperacijskom sistemu povezuju lokalne iudaljene sisteme i zatvaraju sve upravljačke petlje.Zbog toga je tipično uvesti vremenska kašnjenja koja mogu biti 35/79Zbog toga je tipično uvesti vremenska kašnjenja koja mogu bitiuzrokovana vremenom fizičkog prijenosa ili ograničenjimakomunikacijskog propusnog pojasa (brzina prijenosa).Međutim, tip podataka koji se prenose može biti proizvoljno odabran što

35/79

Međutim, tip podataka koji se prenose može biti proizvoljno odabran štoće imati prilično jak utjecaj na ponašanje i stabilnost cjelokupnog sistema.Posebno se mogu postaviti zahtjevi za prijenos koji će omogućiti stabilnuteleoperaciju temeljeno na povratnoj vezi po sili dodira sa proizvoljnimp j j p j p p jvremenskim kašnjenjem.Uvođene vremenskog kašnjenja dovodi u nestabilnost mnoge zatvorenesisteme upravljanja, što se može vidjeti na faznoj rezervi u linearnoj teorijiupravljanja.Kod teleoperacija sa povratnim vezama po sili, ovakva kašnjenja se mogupojaviti u komunikaciji između lokalne i udaljene strane.Kako je poznato od ranije, malo kašnjenje može dovesti do nestabilnostisistema. Ova osobina važi i za komunikacijske sisteme i ne ovisi opojedinačnom regulatoru ili hardverskoj konfiguraciji.Korištenjem teorije pasivnosti moguće je odvojiti komunikacije od ostalogdijela sistema i pokazati kako se pojavljuje nestabilnost kao posljedicavremenskog kašnjenja.

Standardna komunikacijaKoncept pasivnosti sistemaStandardna komunikacija

Standardne komunikacije između lokalnih i udaljenih strana opisane su 2-portnim sistemima, gdje je jedan port povezan sa lokalnimregulator/manipulatorom a drugi sa udaljenim sistemom 36/79regulator/manipulatorom, a drugi sa udaljenim sistemom.Tipično, struktura ovog elementa je takva da se lokalna brzina prenosi na udaljenu stranu gdje postaje naredba brzine. Simultano, udaljena sila se šalje nazad lokalnoj strani osiguravajući željenu naredbu sile

36/79

sila se šalje nazad lokalnoj strani osiguravajući željenu naredbu sile.

mx& )( Ttms −= xx &&

T )( Ttms −= xx &&

Komunikacija:

)( Ttsm −= FF sFT

Vremensko kašnjenje

)( Ttsm −= FF

tbb

tbtb

tttt

mmmm

ssmm

−−+=

−=

)()(21)(

2)(

21

)()()()(

222 xFxF

FxFxP

&&

&&

dissdtd PPE −=Tok snage

tbb

tbtbb

tb

tbb

tbtb

sssmmm

ssss

+−+−−=

+−++

)()(21)()()(

21)(1

)()(21)(

2)(

21

2222

222

xFxxFF

xFxF

&&&

&&

dissP Pdiss >0 – sistem pasivanP <0 i t t bil

τττ db

bdtd

bbbt

Ttsm∫− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ )(

21)(

2

2222 Fx&

diss

E

Pdiss <0 – sistem nestabilan.

Moguće Pdiss <0 - problem!!!

Pasivizacija sistema bez valnih varijabliKoncept pasivnosti sistemaPasivizacija sistema bez valnih varijabli

U prethodnom dijelu vidjelo se da standardna komunikacija može unijeti neodređen iznos energije u sistem i učiniti ga nestabilnim.

37/79Ovaj problem se može zaobići postavljajući disipativne elemente direktno na sljedeću komunikaciju, garantirajući svojstva pasivnosti bez obzira na kašnjenje i ostatak sistema.

37/79

mx& )( Ttms −= xx &&

T1b

mx& ∗sx&

tttt ssmm∗∗ −=

11)()().()( FxFxP &&

Tok snage:

)( Ttsm −= FF sFT

Vremensko kašnjenje

b∗

mF sF

Disipacija Disipacijatb

b

tbtbb

tb

ss

smmm

+−

+−−=

)()(21

)()()(21)(1

2

222

xF

xxFF

&

&&

Vremensko kašnjenjeDisipacija Disipacija

τττ db

bdtdb

t

Tt sm∫− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

1

)(21)(

2

222 Fx&00 ≠> ∗∗

ms F xP i uz , &diss Pasivna komunikacija

tbtb

tb

tb

sm

sm

∗∗ +=

++

)(2

)(21

)(21)(

22

22

xF

Fx

&

&• Međutim, nije prihvatljivo da u mirovanju uz konstantnu silu teče energija u sistem.

• Ako sila ne teče (energija) tada operator ne osjeća silu okoline.

τττ db

bdtd

bt

Tt sm∫− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ )(

21)(

2

2222 Fx&

okoline.• Osim toga, disipacija modificira naredbu brzine, kada se

reflektira sila, što dovodi do pomaka položaja pratećeg robota u odnosu na vodeći.

Pasivizacija sistema valnim varijablamaKoncept pasivnosti sistemaPasivizacija sistema valnim varijablama

Teorija razdvajanja se temelji na ideji propagacije valova i omogućujeformiranje komunikacijskih procedure koje oponašaju prijenosne linije bez gubitaka zadržavajući pasivnost uprkos vremenskom kašnjenju 38/79bez gubitaka, zadržavajući pasivnost uprkos vremenskom kašnjenju.Koristeći definicije razdvajanja valova može se uočiti da se pasivna komunikacija može postići direktnim prijenosom valnih varijabli umjesto energetskih varijabli

38/79

energetskih varijabli.

),()( Ttt sm −= uv b

b21mx&

b2sx&

mu svb1

T

)()( Ttt ms −= uvb2

mF sFmv su

b21T

−+−= tttt )(1)(1)(1)(1 2222 vuvuP• Dakle ovo je pasivna komunikacija bez

gubitaka sa pozitivnom funkcijom

Transformacija u/iz valne varijable(i)

Prijenos sa vremenskim mašnjenjem

Transformacija u/iz valne varijable(i)

⎤⎡ ⎞⎛

−−+−−=

+

d

TttTtt

tttt

mssm

ssmm

11

)(21)(

21)(

21)(

21

)(2

)(2

)(2

)(2

22222 uuuu

vuvuP

Tok snage:

pohranjene energije. • Drugim riječima, komunikacijski kanal je

pasivan i bez gubitaka, a pohranjena energija je pozitivna i rezultat je integracije

l t k ij⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫− τττ d

bdtd t

Tt sm )(21)(

21 22 uu

snage valova tokom prijenosa. • Pri tome svojstvo pasivnosti je u cijelosti

neovisno o stvarnom vremenskom kašnjenju (T).

Pasivizacija sistema valnim varijablamaKoncept pasivnosti sistemaPasivizacija sistema valnim varijablamaPovratkom u energijske varijable, jednadžbe prijenosa postaju:

)]([1)]([1 Ttbtb FF && 39/79

)]([21)]([

21

)]([2

)]([2

Ttbb

tbb

Ttbb

tbb

mmss

ssmm

−+=+

−−=−

xFxF

xFxF

&&

39/79

22 bb

odnosno ))()(()()( TttbTtt smsm −−+−= xxFF &&

))()((1)()(

))()(()()(

Tttb

Ttt msms

smsm

−−−−= FFxx &&

Ovi rezultati pokazuju da sa prijenosom valnih varijabli umjesto energetskih varijabli (sila i brzina), čuvanje ukupne stabilnosti ne zahtijeva poznavanje vremenskog kašnjenja T. g j jOsim toga, korištenje koncepta valnih varijabli omogućuje proširenje mnogih područja. Konačno, treba potcrtati da kada je stvarno vrijeme kašnjenja smanjeno na nulu,Konačno, treba potcrtati da kada je stvarno vrijeme kašnjenja smanjeno na nulu, prijenos valnih varijabli je identičan prijenosu energetskih varijabli. Tako gornja procedura osigurava prirodnu robusnost na vremenska kašnjenja sistema.

Pasivizacija sistema valnim varijablamaKoncept pasivnosti sistemaPasivizacija sistema valnim varijablama

Primjenom teorije valnih varijabli standardni komunikacijski kanal se transformira u valni komunikacijski kanal.U slučaju bilateralnog upravljanja robotskim manipulatorom slika 40/79U slučaju bilateralnog upravljanja robotskim manipulatorom – slika ispod

mθ& mu su sdθ&

)()( Ttutu ms −=

40/79

b

m mb2 Kašnjenje b2

bτ

mτ mv svb2 Kašnjenje b2

pdτ

)()( Ttvtv sm −=

P ij l kih ij bli ( ) l ij bl ( ) d j lj d ćiθ&Prijelaz sa energetskih varijabli ( ) na valne varijable (u,v) dan je sljedećim izrazima:

τθ ,

ttbtu mmm

)()()( τθ +=

&

bttb

tu pdsds 2

)()()(

τθ +=

&

bttbtv

b

mmm

m

2)()()(

2)(

τθ −=

&

bttb

tv

b

pdsds 2

)()()(

2τθ −

=&

b2 b

U nastavku se provodi analiza pasivnosti u Laplace-ovom području uz korištenje operatora razdvajanja.

Analiza pasivnostiKoncept pasivnosti sistemaAnaliza pasivnosti

Za LTI sisteme, odzivi valova mogu se u Laplace-ovoj domeni dobiti iz:

)()( ss VH = 41/79)()(

sU

LTI sistem je pasivan samo ako je pozitivan, tj. ako mu je prijenosna funkcija pozitivno realna.

41/79

Za određivanje stabilnosti promatra se frekvencijski odziv H(jω). Njegova amplituda predstavlja pojačanje snage na svakoj frekvenciji ω, koja mora ostati ispod jedinice da bi se zadovoljila pasivnost, tako da graf leži isključivo unutar jediničnog kruga H(s) ravnine. Različitim područjima H(s) ravnine odgovaraju različita ponašanja, kako je prikazano na slici.

Im Kapacitivno H(s) ravnina•Lokacija na realnoj osi opisuje relativnu dominaciju sile u odnosu na kretanje pozitivnaKapacitivno

Slobodni prostorKruto

( ) dominaciju sile u odnosu na kretanje, pozitivna znači dominaciju kretanja, a negativna dominaciju sile.

•U ekstremima, (+1) definira slobodan prostor bez sila i ( 1) krutu interakciju bez kretanja

Re

Prigušeno Slobodni prostor(kretanje dominantno)

Kruto(sila dominantno)

-1 +1

sila i (-1) krutu interakciju bez kretanja. •Na imaginarnoj osi, pronalazi se kapacitivno nasuprot inercijalnom ponašanju, što odgovara faznom prethođenju ili zaostajanju. Udaljenost do ishodišta označava disipaciju; mala amplituda

Inercijalno

ishodišta označava disipaciju; mala amplituda iskazuje veće gubitke, dok veće amplitude osiguravaju bolju efikasnost, i jedinična amplituda je bez gubitaka.


Sistem sa više ulaza i više izlaza (MIMO) je pozitivno realan ako mu je Hermitska matrica pozitivno semidefinitna, tj.

G( )+ G*( ) j iti id fi it R ( )≥0 dj j G*( ) 42/79G(s)+ G*(s) je pozitivno semidefinitna za sve Re(s)≥0, gdje je G*(s)transponirana konjugirano kompleksna matrica matrice G(s).G*(s)= GT(s) jer prijenosna matrica fizikalnih sistema sadrži samo

l l t

42/79

realne elemente.Za sisteme sa jednim ulazom i jednim izlazom (SISO) ovaj uvjet postaje:

Re(G(s)) ≥0 za sve Re(s) ≥0.Operator razdvajanja S(s) i Hermitska matrica povezani su sljedećom relacijom:

1))(())(()( −+−= sssS GIIG

Umjesto preslikavanja ulaza u izlaz, operator razdvajanja preslikava njihovu razliku u zbroj:

)()( xyxy +=− S

Sistem je pasivan ako je norma operatora razdvajanja ≤1:

)()(2 ∫ dSSTSt T τuu

0 ,1)()(

maxmax0

02

22 ≥∀≤==

∫∫

≠≠t

d

dSS

TTS

S t T τ

τ

uu

uu

uu

uu 00


Norma se može dobiti iz frekvencijskog odziva. Sistem je pasivan akoje: 1))()((sup)(sup max

22 ≤== ∗ ωωλω jSjSjSS 43/79

Komunikacijski sistem u Laplaceovom području bez valnih varijabli.

Za provjeru pasivnosti promatra se ukupna snaga P koja se unosi u komunikaciju:

))()((p)(p maxωω

jjj 43/79

Za provjeru pasivnosti promatra se ukupna snaga Pu koja se unosi u komunikaciju:

sTsdm

Tmu FxFxP && −=

P ij t i

)()( Ttt sm −= FF )()( Ttt msd −= xx &&

Prijenosna matrica:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−m

sT

sTmm

ee

sF

xF

xG

xF &&

& 00

)(⎦⎣−⎦⎣⎦⎣−⎦⎣ sssd e FFx 0

Hermitska matrica:

⎤⎡ 0 sTTs

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=+=+−−

−−∗

00

)()()()( TssT

sTTsT

eeee

ssss GGGG


Provjera pasivnosti:

44/79

)sin(2)(sin4)(

))sin(2()(2222

TeTeee

Tieeeeee

T

TTssT

TTjTjTTssT

ωλ

ωλ

ω

σ

σ

σωωσ

−

−−−

−+−−−−

±=

=−−=

−=−=− 44/79

)sin(2 Te ωλ ±=

pri čemu nije ispunjen uvjet:

1))()((sup)(sup max22 ≤== ∗ ωωλω

ωωjSjSjSS

K ik ij ki i t L l d čj l i ij blKomunikacijski sistem u Laplaceovom području sa valnim varijablama.

Prijenosna matrica:

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−+

−+−

= −−

−

−

−

−

121

21

)1(

)( 2

22

2

sTsT

sT

sT

sT

sT

w eeee

eeb

sG

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ++ −− )1(1 22 sTsT ebe


Provjera pasivnosti:45/79

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−

−

00

)(sT

sT

ee

sS

45/79

⎦⎣odnosno:

1)( 0

0)()(

2

2

=⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−∗ ω

σ

σ

jSe

ess SS

Dakle, komunikacijski kanal nije samo pasivan, već je i bez gubitaka.

Interpretacija valnih varijabliKoncept pasivnosti sistemaInterpretacija valnih varijabli

Za razliku od energetskih varijabli (brzina, sila), valne varijable nisufizikalno mjerljive i nisu intuitivne; mjerna jedinica . Međutim, valneW 46/79j j ; j j ,varijable imaju više korisnih svojstava:

Simetričnost – i odlazni i povratni val interpretiraju se na jednaknačin razlikuju se samo po predznaku sile tj interakcija

W 46/79

način, razlikuju se samo po predznaku sile, tj. interakcijapodsistema odvija se jednakim silama suprotnog predznaka(slično Newtonovu zakonu).Hibridno upravljanje gubi se razlika između naredbe za silu iHibridno upravljanje – gubi se razlika između naredbe za silu ineredbe za brzinu. Kad je prateći manipulator u kontaktu, valnanaredba kreirat će silu, a kad je u slobodnom prostoru, kreirat ćekretanje Na ovaj način se izbjegava i pojednostavljujekretanje. Na ovaj način se izbjegava i pojednostavljujeprojektiranje hibridnog upravljanja (automatsko prilagođavanje).Naredba “pokreni ili gurni” – predznak valne varijableoznačava smjer a iznos energetski sadržaj Energija se pretvaraoznačava smjer, a iznos energetski sadržaj. Energija se pretvarau kinetičku, odnosno potencijalnu energiju.Valna impedancija b – parametar kojim se podešava odnosi đ b i k t j i i il V ći b d j ć t žiizmeđu brzine kretanja i iznosa sile. Veći b daje veću težinubrzini (manje prigušenje), manji b veću težinu sili (većeprigušenje).

Klasični elementi u prostoru valnih varijabliKoncept pasivnosti sistemaKlasični elementi u prostoru valnih varijabli

Klasični elementi u prostoru valnih varijabli su kruti zid, slobodanprostor, čista opruga, inercija (neprigušenja masa) i čisto prigušenje 47/79p , p g , j ( p g j ) p g j(između slobodnog kretanja i krute sile).Prikaz prijenosnih funkcija osnovnih elemenata u prostoru valnihvarijabli.

47/79

a jab v

1sila nula

puno kretanjen

l

slobodan prostor

inercija

Pojedinačni element

Upravljačka jednadžba

Valna prijenosna funkcija

Kruti zid 0=x& 1)( −=sH

F xb&

čisto prigušenje

)(

Slobodni prostor 0=F 1)( =sH

Inercija xF &&m= mb

sssH =+−

−= λλλ ,)(

-1sila maksimalna

bez kretanjan kruti zid

kruta opruga slobodna opruga ms + λ

Prigušenja xF &B= .,)( konstBbBbsH =

+−

=

Opruga xF K= bK

sssH =+−

= λλλ ,)(

kruti zid

Na slici je amplituda ograničena u području između -1 i +1, dok predznak određuje tipakcije: kretanje ili djelovanje sile.Dakle, da bi se osigurala pasivnost amplituda valnog odziva mora biti ograničenaoriginalnom valnom komandom, koja se odnosi na pohranjenu energiju. Zato se koristerelativni iznosi za mjeru gubitka snage signala ili privremene pohranjene energije.

Komunikacija u valnom području11.4. Teleoperacija u valnom područjuKomunikacija u valnom području

Kako je ranije rečeno, formiranje pasivnih valnih varijabli je robusno navremenska kašnjenja.To sugerira obavljanje komunikacije direktno u valnom području 48/79To sugerira obavljanje komunikacije direktno u valnom području.Pri tome kašnjenja u direktnoj i povratnoj grani moraju biti jednaka.Najvažnija karakteristika ove sheme je da se informacije na lokalnoj iudaljenoj strani transformiraju u valne varijable prije prijenosa

48/79

udaljenoj strani transformiraju u valne varijable prije prijenosa.U slučaju telerobotske manipulacije, oba manipulatora, i vodeći iprateći, upravljani su u energetskim (fizikalnim) varijablama. Ovopodrazumijeva mjerenja pozicije i brzine, a na manipulatore sepodrazumijeva mjerenja pozicije i brzine, a na manipulatore seprimjenjuju sile. Prije prijenosa ove varijable se pretvaraju u valne, čimese osigurava pasivnost.

sx&mx&

Sl

M t

Tmu su

Slaveregulator

Masterregulator Master Slave

T FFmv sv

sFmF

Valna transformacija na lokalnoj strani

Valna transformacija na udaljenoj strani

Teleoperacijski sistem u valnom područjuTeleoperacija u valnom područjuTeleoperacijski sistem u valnom području

U valnom području sistem sa masterom i slave-om sa jednimstupnjem slobode i sa PD regulatorom. Master primjenjuje željenu siludirektno na palici (joystick) Ovakav sistem je blizak tradicionalnom 49/79direktno na palici (joystick). Ovakav sistem je blizak tradicionalnomsistemu sa pozicijskom direktnom (unaprijednom) granom i povratnomvezom po sili.

θ& dθ& θ&

49/79

sJb +1 KBs +

Jb1

Komunikacijska linijamθ sdθ sθ

ručj

u

sJb mm + s sJb ss +

Komunikacijska linijaτ τ

Ulaz korisnik Okolina

lnom

pod

r

mτ pdτ

stem

u v

a

T

mθ&

mu susθ&sdθ&

raci

jski

sisT

sJb mm +1

sKBs +

sJb ss +1

Tele

ope

T

mτ

mv sv

sτ

Teleoperacijski sistem u valnom područjuTeleoperacija u valnom područjuTeleoperacijski sistem u valnom području

PD regulator pratećeg manipulatora, u općem slučaju, koristikonstantnu simetričnu pozitivno definitnu matricu za pojačanje brzineB i j č j i ij K k t j t ć i l t d ti 50/79B i pojačanje pozicije K za pokretanje pratećeg manipulatora da pratiželjenu brzinu . Potrebna sila za ovo je:sdx&

)()( sdssdss KB xxxxF −−−−= &&

50/79

sdssdss

Željena brzina se dobiva iz valne transformacije:

b Fu −2b

b sssd

Fux =

2&

i povratni val se računa kao:i povratni val se računa kao:

ssssd

s bbb

FuFx

v 22

−=−

=&

Problem algebarske petlje rješava se na sljedeći način:

bBKBb sdsss

sd +−++

=)(2 xxxu

x&

&

Teleoperacijski sistem u valnom područjuTeleoperacija u valnom područjuTeleoperacijski sistem u valnom područjuTakođer, željena pozicija mora se računati preko brzine na sljedećinačin:

t 51/79

Na strani mastera, željena sila primijenjena na joystick je:

∫=t

0

xx ττ dsdsd )(&51/79

Na strani mastera, željena sila primijenjena na joystick je:

mmm bb vxF 2−= &

Konačno, val od mastera prema slave-u se računa iz:

mmmm

m bb

bvx

Fxu −=

+= &

&2

2

Također se treba istaći da su svi elementi pasivni i da je sistem stabilan,bez obzira na kašnjenje T.Zaista vrijednost čak i ne treba biti poznata kao da ona nije upotrebljenaZaista, vrijednost čak i ne treba biti poznata, kao da ona nije upotrebljenanigdje u regulatoru. Za mala kašnjenja, sistem se vraća u jednostavnu PDvezu između master i slave manipulatora.

Primjer 3 Bilateralni sistem sa valnim varijablamaTeleoperacija u valnom području

0 5

Master

0 5

Slave

Primjer 3. Bilateralni sistem sa valnim varijablama

52/79

0.3

0.4

0.5

zici

ja (m

)

0.3

0.4

0.5

zici

ja (m

)

Parametri:

52/79

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2Poz

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2Poz Isti kao u primjerima 1 i 2.

T=400 ms, b=1.

• Početne brzine mastera i 0 2 4 6 8 10

t (s)0 2 4 6 8 10

t (s)slave-a, kao i početni uglovi vodećeg i pratećegmanipulatora jednaki su nuli.0.4

Master0.3

Slave

• Korisnik djeluje na vodećimanipulator momentom iznosa 1 Nm u trajanju od0.2

0.3

0

(m/s

)

0.2

0 3(m

/s)

1 sekunde.

0

0.1

Brz

ina

(

0

0.1

Brz

ina

(

0 2 4 6 8 10-0.1

t (s)0 2 4 6 8 10

-0.1

t (s)

Primjer 3 Bilateralni sistem sa valnim varijablamaTeleoperacija u valnom području

0.6Master

0.6Slave

Primjer 3. Bilateralni sistem sa valnim varijablama

53/79

0

0.2

0.4

men

t (N

m)

0

0.2

0.4

men

t (N

m)

Rezultati:

• Sistem ostao stabilan

53/79

0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

Mom

0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

Mom • Sistem ostao stabilan.

• Prvi problem: narušen kvalitet rada sistema → ovo je veliko ograničenje0 2 4 6 8 10

t (s)0 2 4 6 8 10

t (s)ovo je veliko ograničenjemetode.

• Drugi problem: refleksijavalova tj odbijanje

0.3Razlika pozicije Mastera i Slave-a


valova, tj. odbijanjeinformacija izmeđumastera i slave-a → velikovrijeme smirivanja.0.1

0.2

ozic

ije (m

)

0

0.2

zine

(m/s

)

• Rješenje problema:Filtriranje valnih varijabliili uvođenje valnog prediktora

-0.1

0

Raz

lika

po

-0.2

0

Raz

lika

brz

prediktora.0 2 4 6 8 10

-0.2

t (s)0 2 4 6 8 10

-0.4

t (s)

Povratne veze u teleoperatorskom sistemuTeleoperacija u valnom područjuPovratne veze u teleoperatorskom sistemu

U sistemu postoje tri povratne veze:Trenutna povratna veza u obliku prigušenja formirana valnomtransformacijom. Ne sadrži u sebi elemente kašnjenja. 54/79j j jDruga staza sadrži kašnjenje i zasniva se na refleksiji valova u objetransformacije. Reflektirani valovi ne nose korisne informacije, a mogutrajati i više ciklusa vremenskog kašnjenja. Reflektirani valovi mogudovesti do velikih poremećaja

54/79

dovesti do velikih poremećaja.Trećom stazom se prenose signali od slave manipulatora preko PDregulatora natrag do operatora. Ovo je glavna petlja povratne veze iosigurava informacije neophodne za kompletiranje zadatakaosigurava informacije neophodne za kompletiranje zadataka.

T

mx&

mu susx&sdx&

T

smm

1

sKBs +

sms

1

mv sv

mF sF

Prividno prigušenje

Valne refleksije Povratni signali

d lmmm bb vxF 2−= &

od slave-a

ssssd

s bbb

FuFx

v 22

−=−

=&

mmmm

m bb

bvx

Fxu −=

+= &

&2

2

Povratna veza po pozicijiTeleoperacija u valnom područjuPovratna veza po pozicijiPodaci koji se prenose između dvije lokacije sadrže valne signale koji usebi nose informacije o brzini i sili.

55/79Ne postoji direktna povratna veza po poziciji niti eksplicitnagarancija konvergencije pozicije između mastera i slave-a.Informacija o poziciji se može izvući integriranjem brzine.

55/79

Ovo je konzistentno sa pristupom pasivnosti, koji ne može garantiratineophodnu snagu za pomicanje robota iz jedne u drugu lokaciju.Vraćanje pozicije mastera u njegovu izvornu poziciju i zatim natrag upoziciju slave-a može zahtijevati više energije nego što je dostupno.Nepostojanje povratne veze po poziciji je također konzistentno sastrukturom valnog sistema koji mijenja ulogu za adaptiranje trenutnomzadatku. Ako se uspostavi dodir, sistem će djelovati kao regulator silekoji općenito ne razmatra konvergenciju pozicije.U praksi, većina aplikacija zahtijeva postojanje povratne veze po poziciji injeno praćenje između mastera i slave-a koje bi bilo robusno nanumeričke greške i temeljilo se na stvarnom mjerenju pozicije.Jedno od rješenja - može se uz valne signale slati i integrali valova.j j g gOvi integrali sadrže informacije o poziciji i mogu se formirati direktno izmjerenja pozicije.

Teorijsko praćenje pozicijeTeleoperacija u valnom područjuTeorijsko praćenje pozicije

Ostvariti praćenje pozicije tako da greška praćenja ustacionarnom stanju bude nula.O l kš ičk i t ij ž lj b i l j 56/79Ovo olakšava numeričku integraciju željene brzine slave-a u njegovuželjenu poziciju, tako da u se praksi master i slave-a mogu „driftati“odvojeno.

56/79

Teorijski je praćenje pozicije osigurano:

τττ db m

t

mm ))()((21 vux += ∫

τττ db

b

s

t

ssd ))()((21

2

0

0

vux += ∫Greška praćenja:

τττ db

tttΔ s

t

msdmcomm ))()((21)()()( vuxxx −=−= ∫b2 0∫

U stacionarnom stanju valne jednadžbe iščezavaju pa je greška pozicije teoretskijednaka nuli.U stvarnosti se može pojaviti offset pozicije zbog: numeričkih grešaka (uslijedintegracije, uzorkovanja), gubitka podataka u komunikaciji i razlike početnihpozicija.

Prenošenje valnih integralaTeleoperacija u valnom područjuPrenošenje valnih integrala

Uz prenošenje valnih varijabli prenose se i njihovi valni integrali:

bdt

)()( pxU +∫ 57/79

bbdt

bdt

t

2)()(

2)()(

0

pxvV

puU

−==

==

∫

∫

ττ

ττ 57/79

x – pozicija, p – moment sile (integral sile):

b20∫

dt

∫ )(F

Pozicija se obično direktno mjeri, a moment se mora računati numeričkom

ττ d∫=0

)(Fp

integracijom. Preko mreže se moraju prenositi i valovi i njihovi integrali, pa seopis sistema proširuje sljedećim jednadžbama:

dt

∫ )(F b pU −2 b px −ττ dss ∫=0

)(Fpb

b sssd

pUx −=

2b

b ssds 2

pxV = mmm b VxU −= 2

Može se pokazati da vrijedi (ne treba računati moment sile):

∫−

−−−−=t

Ttssdmsd d

bTtTt

2

)(1)2()(2 ττFxxx

Prenošenje valova i njihovih integralaTeleoperacija u valnom područjuPrenošenje valova i njihovih integrala

Nije potreban poseban komunikacijski kanal za prijenos integralavalnog signala.V l i i l i j i t l d ž j j d i l ij ij 58/79Valni signal i njegov integral združuju u jedan signal prije prijenosa, anakon pristizanja na prijemnu stranu, vrši se njihovo razdruživanje.

1muλ

su

58/79

T

λ

mU sU

λ

∫ τd

)( sss UUu −= λ

T ∫ τd

mU sU

∫=t

ss d0

τuU

Na ovaj način se smanjuje prijenosni opseg komunikacijskog sistema

mmm uUUλ1

+= )()( Ttt ms −= UU

Na ovaj način se smanjuje prijenosni opseg komunikacijskog sistema.λ je pozitivna konstanta koja određuje vremensku konstantu filtra. Izbor ovekonstante je proizvoljan.Međutim, treba voditi računa o tome da ona mora biti znatno manja odvremena uzorkovanja.

sadrži sve potrebne informacije o sistemu (pozicija, brzina, sila)U

Problem valne refleksijeTeleoperacija u valnom područjuProblem valne refleksije

Kako je ranije rečeno, reflektirani valovi mogu dovesti do velikihporemećaja.Eksperimentalni rezultati na slici prikazuju ponavljanje valnih 59/79Eksperimentalni rezultati na slici prikazuju ponavljanje valnihrefleksija trajanja pet kompletnih ciklusa prije smirivanja.

b Fx +&

59/79

ssdbF

Fx 2−&

mmmm

m bb

bvx

Fxu −=

+= &2

2

ssssd

s bbFuv

2−==

Na slici u trenutku t=0 djeluje kratkotrajni poremećaj na master manipulatoru (T=1s). Rezultat je kašnjenje, koje je višekratnik T-a.Uočljiv je utjecaj refleksije valova

Svaki dolazeći val vm ili us može se reflektirati i vratiti nazad sa odlazećim valomum i vs.

Uočljiv je utjecaj refleksije valova.

Bbk −)(m s

Postavlja se pitanje: Kako spriječiti refleksiju valova?Postići da se podsistemi ponašaju kao čisti prigušivači pojačanja b.

BbBbkonstsH

+== .)(

Problem valne refleksijeTeleoperacija u valnom područjuProblem valne refleksije

Na vodećoj (master) strani nije moguće postići čisto prigušenje,odnosno izjednačiti impedanciju mastera sa impedancijom dolaznogvala 60/79vala.

mx&

mu

60/79

smm

1D

F

mv

F mFhF

Dsmsm

m +=)(

)(XF

ss mm )(X

)()(3)( sbDbDsms

bDs m

mhm VFU −+

−=bDsmbDsm m

mh

mm ++++

Uz D=b dobije se najmanja refleksija, ali i dalje ostaje visokofrekvencijskarefleksija.

Problem valne refleksijeTeleoperacija u valnom područjuProblem valne refleksijeNa pratećoj strani dodavanje elemenata prigušenja D I R.

sx&sdx&

Bez prigušenja: 61/79

KBs + D

su

R1

Bez prigušenja:

KBssmBsKsm

sss

s

s

sd

s

+++

= 2

)()(

)(XF

61/79

sKBs + D

sv

Rsms

ssd )(

Najmanja refleksija za:bKbB

2

i ==sF eF sm

KbB i ==

Sa prigušenjem: )()(

))(()()(

)( 22 ssRKsDBsm

KBsDsmsKsDBsm

KBss sds

se

ss XFF ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+++++

++++

+=

Odabirom: BbRmKmBmD ssssss −==== , , , 2λλλ

1 λ)()()( sbss

ss sde

s

ss XFF +

+=

λλ )(

21)( s

sbs e

s

ss FV

λλ+

−=

P bl l fl k ijTeleoperacija u valnom područjuProblem valne refleksije

Iz zadnjeg izraza zaključuje se da nema refleksije i parametrikoji figuriraju u izrazu su λ (lomna frekvencija) i b (impedancija 62/79koji figuriraju u izrazu su λs (lomna frekvencija) i b (impedancijaprateće strane).Ako je R=b-B>0 tada impedancija ne može biti manja od b.

62/79

Praćenje pozicije:

)()(2

2)(21)( s

ssBbBbss

bsss e

s

s

s

ss

s

ss FUX

λλ

λλ

λλ

+++

−+

=

Slijedi da brzina pratećeg manipulatora prati val preko PT1 člana.Djelovanje kontaktne sile F je prigušeno u nisko frekvencijskomDjelovanje kontaktne sile Fe je prigušeno u nisko-frekvencijskompodručju.

Uklanjanje valne refleksije izjednačavanjem impedancijaTeleoperacija u valnom područjuUklanjanje valne refleksije izjednačavanjem impedancija

Valne refleksije se pojavljuju kada valni signal „pogodi“ element čijaimpedancija se razlikuje od impedancije vala b. Da bi se smanjile

fl k ij t ji i j d čiti i d ij b d i t 63/79refleksije nastoji se izjednačiti impedancije za oba podsistema,mastera i slave-a.Simetrična izvedba vodećeg i pratećeg manipulatora.

&

63/79

Tmu su

sx&sdx&

11

mx&mdx&

Tmv sv

sKBs + DR sms

1smm

1R

sKBs +D

sF eFmFhF

)(2)(1)( Bbs ssss FUX λλλ +)(2)(1)( Bbs mmmm FVX λλλ + )()(2

)(2

)( sssbB

sbs

ss es

s

ss

sss

s

ss FUX

λλλ ++−

+=)(

)(2)(

2)( s

ssbBs

bsss h

m

m

mm

mmm

m

mm FVX

λλλ ++−

+=

)(1)( ss es

s FVλ

λ−= )(

21)( s

bs h

mm FU

λλ

=)(2

)(sb e

ss λ+

)(2

)(sb h

mm λ+

Oba vala se pojavljuju samo kada djeluju vanjske sile Fe i Fh, pri čemu su oba vala isfiltrirana.

Ukl j j l fl k ij i j d č j i d ijTeleoperacija u valnom područjuUklanjanje valne refleksije izjednačavanjem impedancija

Pri kontaktu pratećeg manipulatora sa okruženjem (ili naglompokretu operatora) pojavljuju se refleksije.

64/79

0)()(2

2)(21)( =

+++

−+

= sssbB

Bbssbs

ss es

s

ss

sss

s

ss FUX

λλ

λλ

λλ

64/79

)(21)( s

sbs e

ss FV

λλ+

−=2 sb sλ+

K Poželjno: u slobodnom)(2

)( sKbs

Ks ss

ss UV

+−=

Poželjno: u slobodnom prostoru mali b, a u kontaktu veliki b.

Moguća rješenja:Filtriranje valnih varijabli.Primjena složenije strukture regulatora.j j gPrihvatiti postojanje valnih refleksija i odabrati valnu impedanciju b uz kojuće se minimizirati njihov štetan utjecaj.

Primjer 4 Uklanjanje valne refleksije izjednačavanjemTeleoperacija u valnom područjuPrimjer 4. Uklanjanje valne refleksije izjednačavanjem impedancija

Parametri: 65/79Parametri:• T=400 ms, b=1 i λs=10 s-1 Početne brzine mastera i slave-a, kao i početni uglovi

vodećeg i pratećeg manipulatora jednaki su nuli. • Korisnik djeluje na vodeći manipulator momentom iznosa 1 Nm u trajanju od 1 sekunde

65/79

• Korisnik djeluje na vodeći manipulator momentom iznosa 1 Nm u trajanju od 1 sekunde.• U slučaju kontakta na pratećoj strani: prepreka će se simulirati na način da se postavi

integrator brzine na nulu kada položaj dostigne neku vrijednost na pratećoj strani.Uvrštavanjem zadanih vrijednosti dobivaju se vrijednosti slijedećih parametara:Uvrštavanjem zadanih vrijednosti dobivaju se vrijednosti slijedećih parametara:

19 ,200 ,20 ,20 2 −=−======= BbRmKmBmD ssssss λλλ

Tmu su

sx&sdx&mx&mdx&

mv sv

sKBs + DR sms

1smm

1R

sKBs +D

Tm s

sF eFmFhF


Bez kontakta slave manipulatora sa okolinomMaster Slave 66/79

0.8

1m

]Master

0.8

1

m]

Slave 66/79

0 2

0.4

0.6

Pol

ožaj

[m

0 2

0.4

0.6

Pol

ožaj

[m

0 2 4 6 8 100

0.2

t [s]0 2 4 6 8 10

0

0.2

t [s]

0.8

1Master

]

0.8

1Slave

]

0.2

0.4

0.6

Brz

ina

[m/s

0.2

0.4

0.6B

rzin

a [m

/s

0 2 4 6 8 10

0

t [s]0 2 4 6 8 10

0

t [s]

P i j 4 Ukl j j l fl k ij i j d č jTeleoperacija u valnom područjuPrimjer 4. Uklanjanje valne refleksije izjednačavanjem impedancija

0.8Master

0.5Slave

67/79

0.4

0.6

0.8t [

Nm

]

0.3

0.4

0.5

t [N

m]

67/79

0

0.2

Mom

ent

0.1

0.2

Mom

ent

0 2 4 6 8 10-0.2

t [s]0 2 4 6 8 10

0

t [s]

Razlika položaja mastera i slave-a Razlika brzina mastera i slave-a

0.2

0.3Razlika položaja mastera i slave a

aja

[m]

0.5

1Razlika brzina mastera i slave a

[m/s

]

0

0.1

Raz

lika

polo

ža

-0.5

0

Ral

ika

brzi

na

0 2 4 6 8 10-0.1

t [s]

R

0 2 4 6 8 10-1

t [s]

Primjer 4 Uklanjanje valne refleksije izjednačavanjemTeleoperacija u valnom području

Primjer 4. Uklanjanje valne refleksije izjednačavanjem impedancija

Slave manipulatoru u kontaktu sa okolinomMaster Slave 68/79

0.8

1]

Master

0 4

0.6

]

Slave 68/79

0 2

0.4

0.6

Pol

ožaj

[m

0.2

0.4

Pol

ožaj

[m

0 2 4 6 8 100

0.2

t [s]0 2 4 6 8 10

0

t [s]M t Sl

0.5

1Master

s] 0 6

0.8

1Slave

s]

-0.5

0

Brz

ina

[m/s

0.2

0.4

0.6B

rzin

a [m

/s

0 2 4 6 8 10-1

t [s]0 2 4 6 8 10

0

t [s]


8Master

15Slave

69/79

4

6

8[N

m] 10

15

[Nm

]

69/79

0

2

Mom

ent [

0

5

Mom

ent [

0 2 4 6 8 10-2

t [s]0 2 4 6 8 10

-5

t [s]

R lik l ž j t i l R lik b i t i l

0.2

0.3Razlika položaja mastera i slave-a

a [m

] 0.5

Razlika brzina mastera i slave-a

[m/s

]

0

0.1

azlik

a po

loža

ja

-0.5

0

azlik

a br

zina

[

0 2 4 6 8 10-0.1

t [s]

Ra

0 2 4 6 8 10-1

t [s]

Ra

Filtriranje valnih varijabliTeleoperacija u valnom područjuFiltriranje valnih varijabliU sistemima automatskog upravljanja filter se koristi za smanjenjevisokofrekvencijskog šuma.Međutim filtriranje unosi dodatno vremensko kašnjenje što povećava 70/79Međutim, filtriranje unosi dodatno vremensko kašnjenje što povećavarizik nestabilnosti sistema, budući da ovo ima identičan efekat kaopovećano mrtvo vrijeme.El t filt i j ij i i ž d t bili i ti i t M đ ti

70/79

Element filtriranja nije pasivan i može destabilizirati sistem. Međutim,ako se ovaj element postavi u valni prijenos između vodećeg ipratećeg manipulatora tada neće utjecati na pasivnost sistema.

b b2

1

Element

lx&b2

rx&lu

rvλ

λ+s b

1

Element filtriranja

b2lF

rFlv ru

b21

lrr uvv λλ =+&Filtar:Tok snage: Pdiss dE/dt

vvuuvvuuFxFxP Tr

Tr

Tl

Tlr

Trl

Tl 2

121

21

21

−+−=−= && rTrr

Tr dt

d vvvvPλλ 21

21

2 += &&

Filtriranje valnih varijabliTeleoperacija u valnom područjuFiltriranje valnih varijabli

Zadovoljen je uvjet pasivnosti. Filtriranje u prostoru valnih varijabli jeinherentno stabilno bez obzira na iznos faznog kašnjenja koje unosi.

1 71/79

∫∫ ≤t

0

t

0uuvv l

Tlr

Tr 2

121Iz: r

Tr vvE

λ21

=

T1

71/79

rTrdiss vvP &&

221λ

=

Filter kontinuirano disipira energiju ako se valni signal brzo mijenja te na tajFilter kontinuirano disipira energiju, ako se valni signal brzo mijenja, te na tajnačin eliminira snagu visoke frekvencije.Filtar također pohranjuje energiju, kada je valni signal različit od nule.Ak l l d i l j j tAko ulaz naglo padne, izlaz se smanjuje postepeno.

Ako bi se uzelo λ=1 (jedinično pojačanje na niskim frekvencijama) dobila bi sepozicijska greška u stacionarnom stanju jednaka nuli.pozicijska greška u stacionarnom stanju jednaka nuli.Prelaskom u energetske varijable dobiva se:

1 F22 &&&&& + λλ Omogućuje izračunavanje željenog ubrzanja, koje se

)( rlrl

rlrr

bb

xxFF

Fx2x2x

&& −+=

−=+ λλ g j j j g j , jmože koristiti za izračunavanje momenta potrebnog za održavanje željenog kretanja.

Fil i j l ih ij bliTeleoperacija u valnom područjuFiltriranje valnih varijabli

Filtriranje valova preporučuje se u slučaju kada izjednačavanjeimpedancija ne daje dobre rezultate 72/79impedancija ne daje dobre rezultate.Izjednačavanje impedancija se provodi uz očekivani odziv ipredviđeni radni scenarij, što se može narušiti promjenama uokolini ili djelovanjem operatora

72/79

Tmu su

sx&mx&

λ

okolini ili djelovanjem operatora.

T

sKBs +

sKBs +

λ+s

Master Slave

Tmv sv

sFmF

λλ+s

Prosječna frekvencija filtra bira se u odnosu na T, jer je frekvencija valnihrefleksija 1/2T.Preporučuje se: λ≥1/T.

Primjer 5 Bilateralni sistem sa valnim filtromTeleoperacija u valnom područjuPrimjer 5. Bilateralni sistem sa valnim filtrom

Parametri:• Isti kao u primjerima 1 2 i 3 T=400 ms b=1 λ=0 004 73/79• Isti kao u primjerima 1, 2 i 3. T=400 ms, b=1, λ=0.004.• Početne brzine mastera i slave-a, kao i početni uglovi vodećeg i pratećeg manipulatora jednaki su nuli.

• Korisnik djeluje na vodeći manipulator momentom iznosa 1 Nm u trajanju od

73/79

Korisnik djeluje na vodeći manipulator momentom iznosa 1 Nm u trajanju od 1 sekunde.

• Filter u povratnoj grani, od pratećeg prema vodećem manipulatoru.

T

mθ&

mu susθ&sdθ&

T

sJb mm +1

sKBs +

sJb ss +1

T

mm s ss

mv svλ

λ+s

mτ sτ

Primjer 5 Bilateralni sistem sa valnim filtromTeleoperacija u valnom području

0.5

Master

0.5

Slave

Primjer 5. Bilateralni sistem sa valnim filtrom

74/79

0.3

0.4

0.5zi

cija

(m)

0.3

0.4

0.5

zici

ja (m

)

74/79

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2Poz

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2Poz

0 2 4 6 8 10t (s)

0 2 4 6 8 10t (s)

0.4Master

0.2Slave

0 2

0.3

(m/s

)

0 1

0.15

(m/s

)

0.1

0.2

Brz

ina

0.05

0.1B

rzin

a

0 2 4 6 8 100

t (s)0 2 4 6 8 10

0

t (s)

Primjer 5 Bilateralni sistem sa valnim filtromTeleoperacija u valnom području

0 5

0.6Master

0.4Slave

Primjer 5. Bilateralni sistem sa valnim filtrom

75/79

0.3

0.4

0.5

men

t (N

m)

0.2

0.3

men

t (N

m)

75/79

0

0.1

0.2

Mom

0

0.1Mom

Rezultati:

• Sistem stabilan.0 1 2 3

0

t (s)0 2 4 6 8 10

0

t (s) • Dobre performanse upravljanja.

0.3Razlika pozicije Mastera i Slave-a


• Eliminiran efekat refleksijevalova.

0.2

zici

je (m

)

0.2

ine

(m/s

)

0

0.1

Raz

lika

poz

0

0.1

Raz

lika

brz

0 2 4 6 8 10-0.1

t (s)0 2 4 6 8 10

-0.1

t (s)

Primjer 6 Sistem sa izjednačenim impedancijama i valnimTeleoperacija u valnom područjuPrimjer 6. Sistem sa izjednačenim impedancijama i valnim filtrom

76/79Parametri:• Identični onima iz primjera 4. • Na slave manipulator djeluje sila izvana. Prepreka će se simulirati na način da

76/79

se postavi integrator brzine na nulu kada položaj dostigne neku vrijednost na pratećoj strani.

• Parametar valnog filtra λ=0.004.

sx&sdx&mx&

mdx&

Tmu su

KBs + DR11

RKBs +D

Tmv sv

sDR sms

smmR

sD

sF eFmFhF


0.8Master

0 6

Slave

77/79

0.4

0.6

ožaj

[m]

0.4

0.6

ožaj

[m]

77/79

0

0.2

Pol

o

0

0.2Pol

o

0 2 4 6 8 100

t [s]0 2 4 6 8 10

t [s]

0 8Master

1Slave

0 4

0.6

0.8

m/s

]

0.6

0.8

1

m/s

]

0

0.2

0.4

Brz

ina

[m

0

0.2

0.4

Brz

ina

[m

0 2 4 6 8 10

0

t [s]0 2 4 6 8 10

0

t [s]


0.8Master

15Slave

78/79

0.4

0.6m

ent [

Nm

] 10

men

t [N

m]

78/79

0 2 4 6 8 10

0

0.2Mom

0 2 4 6 8 100

5

Mom

0 2 4 6 8 10t [s]

0 2 4 6 8 10t [s]

0.25Razlika položaja mastera i slave-a

1Razlika brzina mastera i slave-a

0.15

0.2

ožaj

a [m

]

0

0.5

zina

[m/s

]

0.05

0.1

Raz

lika

polo

-0.5

0R

azlik

a br

z

0 2 4 6 8 100

t [s]0 2 4 6 8 10

-1

t [s]


1Master

8Master

79/79

0.6

0.8aj

[m]

4

6

nt [N

m]

sa filtrombez filtra

79/79

0.2

0.4

Pol

ož

0

2

Mom

en

0 2 4 6 8 100

t [s]0 2 4 6 8 10

-2

t [s]

Razlika položaja mastera i slave-a Razlika brzina mastera i slave-a

0.2

0.3p j

aja

[m]

0.5

1

a [m

/s] sa filtrom

bez filtra

0

0.1

Raz

lika

polo

ž

-0.5

0R

azlik

a br

zina

0 2 4 6 8 10-0.1

t [s]0 2 4 6 8 10

-1

t [s]

Documents

Lekcija 11:Lekcija 11 - people.etf.unsa.bapeople.etf.unsa.ba/~jvelagic/laras/dok/lekcijad11.pdf · Lekcija 11:Lekcija 11: Sistemi daljinskog voSistemi daljinskog vo ... 0.15 Brzina