INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

LEKCE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Marek Jukl

Olomouc 2012

Předmluva

Učební text Lekce z lineární algebry je určen pro kurz lineární algebry ve 2. se-mestru bakalářského studia matematiky zaměřeného na ekonomii na Přírodově-decké fakultě Univerzity Palackého v Olomouci (ve stávající nomenklatuře před-mětů se jedná o předmět KAG/LA2S).Skripta tak zahrnují základní poznatky o euklidovských vektorových prosto-

rech, homomorfizmech vektorových prostorů a pseudoinverzi a jsou členěna tak,že každá podkapitola odpovídá v zásadě jedné přednášce. Tyto partie tvoří zá-kladní kameny lineární algebry a aplikují se v dalších matematických disciplínách(např. matematická analýze, geometrii či matematické statistice), ale pro Vás jedůležité zejména to, že jsou základem matematického aparátu aplikovaného k po-pisu ekonomických jevů.Text má konspektivní charakter a neklade si za cíl přednášky nahradit – na-

opak, má studentům poskytnout základní faktografii předmětu, aby přednáškymohly být věnovány budování, resp. zdůraznění, logické výstavby příslušné mate-matické disciplíny a jejím vnitřním souvislostem. Každá kapitola obsahuje vzdě-lávací cíle, motivaci i konkrétní úkoly – dává tak studentovi možnost, aby sám,již před vlastní přednáškou, se s danou sekcí seznámil a určil si otázky, ke kterýmje třeba přednášku zvláště zaměřit. K zaznamenání poznatků na přednášce sloužípak volný list řazený za každou z podkapitol.Studenti s hlubším zájmem o lineární algebru uvítají seznam další doporučené

literatury.V textu jsou barevně odlišeny texty definic (červený rámeček) a matematic-

kých vět (šedý rámeček). Jako průvodci textem Vám poslouží následující ikony,které by vám měly usnadnit samostatnou práci s ním.

Cíle: Na začátku každé kapitoly naleznete konkrétně formulované cíle. Je-jich prostřednictvím získáte přehled o tom, čemu budete po nastudovánípříslušného tématického rozumět a co budete schopni dělat.

Motivace: Odstavec, v němž by mělo být vysvětleno, proč se danou proble-matikou vůbec hodláme zabývat. Má vás motivovat k tomu, abyste studo-vali právě tuto pasáž.

Průvodce: Pasáž, v níž se poukazuje na propojenost učiva s jinými částmitextu či Vašimi předchozími znalostmi. Jde tedy o jakési „zasazení do kon-textuÿ.

Zapamatujte si: Mělo by sloužit pro upozornění na nějakou chybu, které sestudenti často (a úplně zbytečně) dopouštějí.

Úkol: Jeho prostřednictvím jste vybídnuti k tomu, abyste na základě studiaurčité tématiky něco vytvořili. Má převážně aplikační charakter.

3

Otázky: Prověřují, do jaké míry jste učivo pochopili, zapamatovali si pod-statné informace a zda je umíte aplikovat.

Listopad 2012Autor

4

Obsah

1 Euklidovský vektorový prostor 71.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Kolmost v euklidovském vektorovém prostoru . . . . . . . . . . . 131.3 Vzdálenost a odchylka v euklidovském vektorovém prostoru . . . . 23

1.3.1 Grammovy determinanty, vnější a ortogonální součin . . . 231.3.2 Vzdálenost a odchylka v euklidovském vektorovém prostoru 28

2 Homomorfizmy vektorových prostorů 372.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Vektorový prostor homomorfizmů; skládání homomorfizmů . . . . 46

2.2.1 Vektorový prostor homomorfizmů . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2 Skládání homomorfizmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Endomorfizmy vektorového prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Vlastní hodnoty a vlastní podprostory endomorfizmů vektorového

prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Homomorfizmy euklidovských vektorových prostorů . . . . . . . . 63

2.5.1 Ortogonální projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.2 Ortogonální homomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Faktorové vektorové prostory 71

4 Duální vektorový prostor 79

5 Pseudoinverzní matice a homomorfizmy 845.1 Pseudoinverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Moor–Penroseova pseudoinverze. Optimální přibližné řešení sou-

stav lineárních rovnic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.1 Moor–Penroseova pseudoinverzní matice . . . . . . . . . . 885.2.2 Moor–Penroseův homomorfizmus . . . . . . . . . . . . . . 92

Doporučená literatura 97

5

6

1 Euklidovský vektorový prostor

1.1 Základní pojmy

Student umí vymezit euklidovský vektorový prostor, rozezná skalární sou-čin, dovede zavést v euklidovském vektorovém prostoru metriku, určit normuvektoru a úhel vektorů.

Ze střední školy pojem skalární součin dvou vektorů znáte - zaváděli jstejej však pomoci intuitivně chápaných pojmů úhel a délka vektoru. Zde sedozvíte, jak zavést pojem skalárního součinu axiomaticky a jak pomocí nějvymezit pojmy délka a úhel vektorů. Také se seznámíte s pojmem vzdále-nost dvou vektorů.

Definice 1.1 Euklidovským vektorovým prostorem rozumíme každý vektorovýprostor V nad tělesem reálných čísel R spolu se zobrazením · : V × V → Rmajícím následující vlastnosti

∀u,v,w ∈ V, ∀t ∈ R :

1. u · v = v · u,2. u · (v+w) = u · v+ u ·w,3. (tu) · v = t(u · v),4. u 6= o ⇒ u · u > 0.

V tomto případě nazýváme zobrazení · : V × V → R skalárním součinem naV a reálné číslo u · v pak skalárním součinem vektorů u a v.

Poznámka 1.1

• Euklidovský vektorový prostor z definice 1.1 je možné chápat jako uspořá-danou dvojici (V, ·). Na témže reálném vektorovém prostoru můžeme defi-novat různé vektorové součiny a dostáváme tak obecně různé euklidovskévektorové prostory.

• Vzhledem k tomu, že typograficky odlišujeme skaláry (t, r, s ∈ R) a vektory(u,v,w ∈ V), píšeme namísto u·v jen uv, neboť nehrozí záměna s násobe-ním vektoru skalárem, např. tu.

• V literatuře se můžete také setkat s jiným označeními skalárního součinuvektorů u a v, např. , β(u,v) apod.

7

Pamatujte si, že skalární součin zavádíme jen pro vektorové prostory nadreálnými čísly1.

Někdy bývá zvykem skalární součin vektoru u se sebou samým označo-vat u2, namísto uu, a hovořit o skalárním čtverci vektoru u. Upozorněmevýslovně, že však nemají žádný význam zápisy typu u3,u4 apod.

Příklad 1.1 Rozhodněte, která z následujících zobrazení „·ÿ jsou skalárním sou-činem na příslušném vektorovém prostoru V:

(i) V = R2, (x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2,[ano]

(ii) V = Rn, (x1, x2, . . . , xn) · (y1, y2, . . . , yn) =∑n

i=1 xiyi,[ano; tento součin bývá nazýván standardní skalární součin na Rn]

(iii) V = R3, (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2,[ne]

(iv) V = R2, (x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1,[ne]

(v) V = R3, (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 + 2x3y3.[ano]

Věta 1.1 Buď V se skalárním součinem · euklidovský vektorový prostor. Paklibovolný podprostor W ⊆⊆ V je spolu s restrikcí ·|W × W euklidovskýmvektorovým prostorem.

Důsledek 1.1 Všechny pojmy zaváděné pro euklidovské vektorové prostorylze přenést do jejich podprostorů (aniž by je bylo nutno definovat znova).Všechny věty platné pro euklidovské vektorové prostory platí i pro jejich pod-prostory (a není je nutno znova dokazovat).

Věta 1.2 Pro každé ∀u,v ∈ V a všechna t, r ∈ R platí:1. (tu)(rv) = (tr)uv,

2. uu = 0⇔ u = o,3. (∀x ∈ V : xu = 0)⇔ u = o,4. u = v ⇔ (∀x ∈ V : xu = xv).

1jeho zobecněním pro čísla komplexní je tzv. unitární součin

8

Důsledek 1.2 Pro libovolný vektor u ∈ V platí: uu ≥ 0.

K odstavci 4 věty 1.2: Uvědomte si, že pouhá existence vektoru x, pro nějžxu = xv, nezaručuje rovnost u = v – např. v R2 se standardním skalárnímsoučinem je (1, 1) · (1, 0) = (1, 1) · (1

2, 12), avšak (1, 0) 6= (1

2, 12).

Definice 1.2 Buď u ∈ V. Pak normou vektoru u rozumíme číslo označované‖u‖ a definované takto:

‖u‖ =√uu.

Je-li ‖u‖ = 1, řekneme, že vektor u je normovaný.

Příklad 1.2 Napište formule pro normy určené skalárními součiny z příkladu 1.1.

[Řešení: Ukažme řešení např. pro skalární součin (i):V souladu s definicí 1.2 můžeme pro vektor u = (u1, u2) ∈ R2 psát

‖u‖ =√uu =

√(u1, u2)(u1, u2) =

√2u1u1 + u1u2 + u2u1 + u2u2 =

=√2u21 + 2u1u2 + u

22

Pro skalární součin (ii) obdržíme analogicky relaci

‖u‖ =√u21 + u

22 + u

23.]

Věta 1.3 Pro libovolné vektory u,v ∈ V a libovolný t ∈ R platí:1. ‖tu‖ = |t| ‖u‖;2. ‖u‖ = 0⇔ u = o;3. ‖u‖ > 0⇔ u 6= o;4. ‖u‖ ‖v‖ ≥ |uv|, přičemž rovnost nastává, právě když u,v jsou lineárnězávislé;

5. ‖u‖ + ‖v‖ ≥ ‖u + v‖, přičemž rovnost nastává, právě když existujet ∈ R, t ≥ 0, tak, že v = tu nebo u = tv;

6. |‖u‖ − ‖v‖| ≤ ‖u − v‖, přičemž rovnost nastává, právě když existujet ∈ R, t ≥ 0, tak, že v = tu nebo u = tv.

O nerovnosti 4 z věty 1.3 se hovoří jako o Cauchyově či Schwarzově, o nerov-nosti 5 pak jako o trojúhelníkové.

9

Definice 1.3 Buďte u,v ∈ V. Pak úhlem vektorů u a v rozumíme čísloz intervalu označované ∡(u,v) a definované takto:

1. u 6=o 6=v : ∡(u,v) = arccos uv‖u‖ ‖v‖ ,

2. u=o ∨ v=o : ∡(u,v) = π2.

Důsledek 1.3 Pro libovolné u,v ∈ V platí:

1. ∡(u,v)=π2⇔ uv=0,

2. uv = ‖u‖ ‖v‖ cos∡(u,v).

Poznámka 1.2

• Díky komutativitě skalárního součinu (viz vlastnost 1 definice 1.1) je zřejměpro libovolné u,v ∈ v ∡(u,v) = ∡(v,u).

• Bod 1 právě uvedeného důsledku využijeme v další lekci k formulaci kriteriakolmosti dvou vektorů.

• Vztah uvedený v bodě 2 bývá na středních školách používán právě k za-vedení skalárního součinu pomocí pojmů délka vektoru a úhel vektorů.Vidíme, že námi axiomaticky zavedený skalární součin definicí 1.1 zcelaodpovídá intuitivně chápanému pojmu SŠ matematiky.

Po zavedení pojmů délka vektoru a úhel dvou vektorů nyní zavedeme pojemmetrika neboli vzdálenost dvou vektorů.

V matematické analýze se seznámíte s pojmem metrický prostor, což jelibovolná neprázdná množina M spolu se zobrazením ρ : M × M → R+,nazývaným metrika na M, majícím tyto vlastnosti:

1. ∀x, y ∈ M,x 6= y : ρ(x, y) = ρ(y, x) > 0,2. ∀x ∈ M : ρ(x, x) = 0,3. ∀x, y, z ∈ M : ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(y, z).

Již teď patrně vidíte, že ρ je přirozeným zobecněním pojmu vzdálenost dvoubodů prostoru, který pro body intuitivně chápané euklidovské roviny nebotřírozměrného prostoru znáte z geometrie na základní a střední škole. Sevzdáleností vektorů jste přitom patrně na SŠ nepracovali.

10

Věta 1.4 Buď V euklidovský vektorový prostor. Zobrazení ρ : V × V → R+definované vztahem

∀u,v ∈ V : ρ(u,v) = ‖v− u‖ (1.1)

je metrikou na množině V.

Definice 1.4 Buď V spolu se skalárním součinem · euklidovský vektorovýprostor. Pak metrika ρ definovaná na V vztahem (1.1) se nazývá metrikaindukovaná skalárním součinem ·.

Poznámka 1.3 Každý euklidovský vektorový prostor je tedy současně prostoremmetrickým. Na daném euklidovském vektorovém prostoru lze ovšem zavést i jinémetriky, než je metrika indukovaná skalárním součinem.

V případě aritmetického vektorového prostoru Rn se standardním skalárnímsoučinem je metrika indukovaná tímto součinem dána formulí (srv. příklad 1.2):

ρ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =

√√√√n∑

i=1

(yi − xi)2.

Na témže vektorovém prostoru můžeme ovšem zavést metriku ρ′ např. takévztahem

ρ′((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = Max{|yi − xi|}ni=1,která je různá od metriky indukované uvažovaným skalárním součinem.

Uvažujeme-li nyní aritmetický vektorový prostor R2 se skalárním součinemdefinovaným formulí (i) z příkladu 1.2, pak předpis pro metriku indukovanoutímto skalárním součinem zní

ρ((x1, x2), (y1, y2)) =√2(y1 − x1)2 + 2(y1 − x1)(y2 − x2) + (y2 − x2)2.

11

Poznámky:

12

1.2 Kolmost v euklidovském vektorovém prostoru

Student umí definovat pojem kolmost vektorů euklidovského vektorovéhoprostoru, dovede zkonstruovat ortogonální doplněk libovolného podprostorua rozhodnout o kolmosti dvou podprostorů euklidovského vektorového pro-storu. K dané bázi sestrojí její ortonormalizaci. Student zná euklidovskéformule pro skalární součin, normu a vzdálenost dvou vektorů.

Ze střední školy máte jistě intuitivní představu o kolmosti dvou vektorů,kolmosti vektoru na množinu vektorů a v případě jedno- a dvourozměr-ných podprostorů dvoj- nebo třírozměrného prostoru i o jejich vzájemnékolmosti. Zde se dozvíte, jak zavést pojem kolmosti v euklidovských vek-torových prostorech obecně tak, aby odpovídal vaší intuitivní představěo několika konkrétních případech. Ukážete si, že v ortonormální bázi máformule pro skalární součin dvou vektorů velmi jednoduchý tvar a naučítese v každém euklidovském vektorovém prostoru ortonormální bázi sestrojit.

Definice 1.5 Buďte u,v∈V. Řekneme, že vektory u,v jsou kolmé (ortogo-nální), což značíme u⊥v, jestliže ∡(u,v) = π

2.

Poznámka 1.4 S ohledem na poznámku 1.2 je relace být kolmý opravdu syme-trická, tj. nemusíme rozlišovat zda u⊥v či v⊥u.Z důsledku 1.3 dostáváme následující kriterium kolmosti dvou vektorů (bývá

někdy v literatuře používáno pro definici kolmosti dvou vektorů).

Věta 1.5 Buďte u,v∈V. Pak platí: v⊥u ⇔ uv = 0.

Definice 1.6 Nechť U ⊂ V. Řekneme, že

1. U je ortogonální množinou vektorů, jestliže platí

∀u,v ∈ U : u 6= v ⇒ uv = 0,

2. U je ortonormální množinou vektorů, jestliže U je ortogonální množinouvektorů jednotkové délky.

Pro konečné podmnožiny vektorů dostáváme2:

2Připomeňme, že symbol δij , nazývaný Kroneckerovo delta, je definovaný pro libovolná při-rozená čísla i, j takto:

δij =

{0 pro i 6= j,1 pro i = j.

13

Věta 1.6 Nechť U = {u1,u2, . . . ,uk} ⊂ V. Pak platí:

1. U je ortogonální množinou, právě když

∀i, j ∈ N : i 6= j ⇒ uiuj = 0,

2. U je ortonormnální množinou, právě když

∀i, j ∈ N : uiuj = δij.

Poznámka 1.5 Poznamenejme, že i když se někdy užívá – pro zjednodušení –obratu ortogonální, resp. ortonormální, vektory, jde vždycky o vlastnost nikolijednotlivých vektorů, ale celé jimi tvořené množiny. Podobně, jako v případěobratu vektory lineárně nezávislé, resp. závislé.

Nyní si všimneme vztahu mezi ortogonalitou množin vektorů a jejich line-ární (ne)závislosti. Zavedeme zvláštní název pro báze tvořené ortonormálnímnožinou vektorů.

Věta 1.7 Každá ortogonální podmnožina nenulových vektorů z V je lineárněnezávislá.

Důsledek 1.4 Každá ortonormální podmnožina vektorů z V je lineárně ne-závislá.

Pamatujte si, že ve větě 1.7 nelze předpoklad nenulovosti vektorů vyne-chat – přidáním nulového vektoru k jakékoli množině vektorů získáme vždymnožinu lineárně závislou.

Definice 1.7 Řekneme, že báze B euklidovského vektorového prostoru V senazývá

1. ortogonální bází, jestliže B je ortogonální podmnožinou ve V,2. ortonormální bází, jestliže B je ortonormální podmnožinou ve V.

Z věty 1.7 pak snadno vyplývá, že

14

Důsledek 1.5

1. Každá n-členná ortogonální podmnožina nenulových vektorů z V je or-togonální bází V,

2. Každá n-členná ortonormální podmnožina vektorů z V je ortonormálníbází V.

Následující věta, plynoucí z vlastností skalárního součinu a věty 1.6, říká,kdy je skalární součin dán tzv. euklidovskou neboli kartézskou formulí po-mocí souřadnic daných vektorů. Jednoduchost této formule je příčinou, pročse v praxi snažíme zpravidla volit za báze v euklidovských prostorech právěbáze ortonormální (viz také věta 1.9 a její důsledek).

Vyplývá z ní mj. že v aritmetickém euklidovském vektorovém prostoru Rn

se standardním skalárním součinem je jednou z ortonormálních bází tzv.báze standardní3 .

Věta 1.8 Buď B báze prostoru V. Báze B je ortonormální, právě když platí:

∀u,v∈V, {u}B={u1, . . . , un}, {v}B = {v1, . . . , vn} : uv =n∑

j=1

ujvj. (1.2)

Připomeňme, že symbolem {x}B značíme souřadnice vektoru x v bázi B.

Poznámka 1.6 Euklidovskou formuli (1.2) lze maticově přepsat takto:

uv = {u}B{v}TB .

Věta 1.9 Buď B báze prostoru V. Báze B je ortonormální, právě když platí:

∀u∈V, {u}B={u1, . . . , un} : ‖u‖ =

√√√√n∑

j=1

u2j .

3tj. báze tvořená aritmetickými vektory (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)

15

Důsledek 1.6 Buď B báze prostoru V. Báze B je ortonormální, právě kdyžplatí:

∀u,v∈V, {u}B={u1, . . . , un}, {v}B={v1, . . . , vn} : ρ(u,v) =

√√√√n∑

j=1

(vj − uj)2.

Zatím však ještě nevíme, zda v libovolném euklidovském prostoru alespoňjedna ortonormální báze existuje. Matematickou indukcí (pro dimenzi prostoru)byste ověřili platnost následující věty [zkuste!], z níž získáme odpověď na tutootázku.

Věta 1.10 Ortonormální bázi libovolného podprostoru euklidovského vekto-rového prostoru lze doplnit na ortonormální bázi tohoto prostoru.

Důsledek 1.7 V každém euklidovském vektorovém prostoru existuje alespoňjedna ortonormální báze.

Příklad 1.3 V euklidovském vektorovém prostoru z úlohy (v) v příkladu 1.1najděte alespoň jednu ortonormální bázi.

[Návod: zvolte libovolný nenulový vektor ē1 z V a hledejte množinu vektorů na nějkolmých. V ní vyberte libovolný nenulový vektor ē2 a konečně hledejte množinuvektorů kolmých současně na ē1 a na ē2 současně a v ní vyberte vektor ē3.Takto získáte ortogonální bázi ve V. Vynásobíte-li každý ēi číslem 1‖ei‖ , obdržíte

hledanou ortonormální bázi. Např. vektory e1 = (√22, 0, 0), e2 = (

√66,−

√63, 0),

e3 = (0, 0,√22) jsou jedním z řešení.]

Příklad 1.4 V aritmetickém vektorovém prostoru R3 jsou dány vektory

e1 = (1, 1, 0), e2 = (0, 1, 1), e3 = (0, 0, 1).

Najděte skalární součin · na R3 tak, aby B = byla ortonormálníbází.

[Návod: Skalární součin dvou vektorů pomocí vyjádřený pomocí souřadnic v báziB musí být dán formulí (1.2). Využijte pak transformace souřadnic od báze B dostandardní báze.Řešení: u ·v = 3u1v1− 2u1v2+u1v3− 2u2v1+2u2v2−u2v3+u3v1−u3v2+u3v3. ]

Platnost následující věty snadno odvodíte z definice matice přechodu, definicesoučinu matic a relace (1.2). 4

4Symbolem (B, C) budeme v celém textu rozumět matici přechodu od báze B k bázi C.

16

Věta 1.11 Buď B ortonormální a C libovolná další báze euklidovského vekto-rového prostoru. Pak je báze C ortonormální, právě když platí:

(B, C)(B, C)T = E

Definice 1.8 Reálnou čtvercovou matici A nazýváme ortogonální matice,jestliže

AAT = E.

Věta 1.12 Reálná čtvercová matice řádu n je ortogonální, právě když jejířádky tvoří ortonormální bázi aritmetického vektorového prostoru Rn se stan-dardním skalárním součinem.

Důsledkem vět 1.11 a 1.12 je:

Věta 1.13 Množina ortogonálních matic daného řádu spolu s násobením ma-tic tvoří grupu, která je podgrupou v multiplikativní grupě reálných regulárníchmatic téhož řádu.

Připomeňme, že dvě báze daného reálného vektorového prostoru se nazývajísouhlasné, jestliže determinant matice přechodu od jedné z nich ke druhéje kladný.Následující věta, zvaná též Grammův-Schmidtův ortonormalizační procesukazuje, že ke každé bázi euklidovského vektorového prostoru lze sestrojitjistou, jednoznačně určenou, ortonormální bázi (tzv ortonormalizace vý-chozí báze).

Věta 1.14 Ke každé bázi U = euklidovského vektorovéhoprostoru V existuje právě jedna ortonormální báze V = to-hoto prostoru s vlastnostmi:

1. pro všechna r, r = 1, . . . , n, platí: [u1,u2, . . . ,ur] = [v1,v2, . . . ,vr],

2. pro všechna r, r = 1, . . . , n, jsou a souhlasnými bázemi podprostoru jimi generovaného.

Přibližme si konstrukci ortonormální báze, jejíž existenci zaručuje právě řečenávěta (její důkaz je právě na této konstrukci založen a mohli byste jej provéstmatematickou indukcí pro n = dimV):

17

Hledejme nejprve k bázi U ortogonální báziW = splňujícípožadavky 1 a 2 předešlé věty. Pak již snadno vektory báze W normalizujeme aobdržíme hledanou bázi V .Položme

w1 = u1. (1.3)

Vektor w2 budeme hledat ve tvaru

w2 = u2 + tw1, (1.4)

což spolu s (1.3) evidentně znamená splnění požadavků 1 i 2 pro r = 2 5. Nynírovnost (1.4) vynásobme skalárně vektorem w1, čímž dostaneme:

w1w2 = w1u2 + t(w1w1). (1.5)

Protože požadujeme, aby W byla ortogonální, položíme w1w2 = 0. Rovnice

0 = w1u2 + t(w1w1)

o neznámé t je jednoznačně řešitelná, neboť (w1w1) 6= 0. Dosazením řešení tdo rovnosti (1.4) dostáváme vektor w2 tvořící spolu s w1 bázi požadovanýchvlastností pro r = 2.Dále postupujeme analogicky volbou

w3 = u2 + t2w2 + t1w1. (1.6)

Tuto rovnost vynásobíme nejprve vektorem w1, čímž, položíme-li w1w3 = 0,dostaneme řešitelnou rovnici o neznámé t1, protože w1⊥w2. Vynásobením rov-nosti (1.6) vektorem w2 pak, položíme-li w2w3 = 0, dostaneme řešitelnou rovnicio neznámé t2 a můžeme tedy spočíst w3.Takto postupujeme stále dále až nakonec obdržíme vektor wn tvořící se svými

předchůdci ortogonální bázi W požadovaných vlastností.

Příklad 1.5 Nechť je dán vektorový prostor R3 se skalárním součinem definova-ným relací

(x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 + 2x3y3.

Ortonormalizujte bázi U = 6, kde

u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0),u3 = (0, 0, 1).5příslušná „kandidátkaÿ na matici přechodu mezi bázemi a má tvar(

1 0

t 1

), je tedy regulární a navíc s kladným determinantem.6přesvědčte se, že U vzhledem ke zvolenému skalárnímu součinu opravdu není ortonormální

18

[Řešení: v1 =√22(1, 0, 0), v2 =

√2(−1

2, 1, 0), v3 =

√22(0, 0, 1).]

Definice 1.9 Buďte u∈V, Q⊆V. Řekneme, že vektor u je kolmý (ortogo-nální) na množinu Q, což značíme u⊥Q, jestliže je kolmý na všechny vektorynáležící Q.

Je-li množina Q navíc podprostorem, dostaneme následující užitečné krite-rium.

Věta 1.15 Buďte u∈V, U⊆⊆V. Pak je vektor u kolmý na U, právě když jekolmý na některou (a pak tedy na každou) množinu generátorů podprostoruW.

Definice 1.10 BuďQ⊆V.Ortogonálním doplňkem množiny Q ve V rozumímemnožinu právě všech vektorů z V kolmých na Q a značíme jej Q⊥.

Důsledek 1.8

1. Buď Q⊆V. Pak platí:

Q⊥ = {y ∈ V; ∀x ∈ Q : xy = 0}.

2. Buď Q ⊆⊆ V, Q = [u1, . . . ,uk]. Pak platí:

Q⊥ = {y ∈ V; ∀i, i=1, . . . , k : uix = 0}.

Věta 1.16 Buď U ⊆⊆ V. Pak platí:1. dimU⊥ = dimV− dimU,2. V = U⊕U⊥,3. U⊥⊥ = U.

Je-li U ⊆⊆ V, pak lze dle odstavce 2 právě uvedené věty každý vektorx ∈ V právě jedním způsobem psát ve tvaru

x = x∗ + x⊥, kde x∗ ∈ U, x⊥ ∈ U⊥.

Tento důležitý výsledek využijeme později ke konstrukci tzv. kolmého prů-mětu vektoru do podprostoru.

19

Věta 1.17 Buďte U,W ⊆⊆ V. Pak platí:1. (U+W)⊥ = U⊥ ∩W⊥,2. (U ∩W)⊥ = U⊥ +W⊥,3. U ⊆ W ⇔ W⊥ ⊆ U⊥.

Intuitivní představa vypěstovaná ve školské geometrii roviny a třírozměr-ného prostoru nás vede k tomu chápat dvě přímky jako kolmé, jsou-li kolméjejich směrové vektory, tedy náleží-li směr jedné z nich ortogonálnímu do-plňku směru druhé. Podobně, přímku chápeme jako kolmou na rovinu, právěkdyž je kolmá ke dvěma různoběžkám této roviny, nebo-li náleží-li její směrortogonálnímu doplňku zaměření této roviny. Konečně dvě roviny poklá-dáme za kolmé, obsahuje-li jedna kolmici na druhou z nich, neboli je-liortogonální doplněk zaměření druhé obsažen v zaměření první. Přirozenáse nám tak jeví následující definice.

Definice 1.11 Buďte U,W ⊆⊆ V. Řekneme, že podprostor U je kolmý napodprostor W, což značíme U⊥W, jestliže

U ⊆ W⊥ ∨W⊥ ⊆ U.

Z vět 1.16, 1.17 plyne

Důsledek 1.9 Relace „být kolmýÿ na množině podprostorů daného vektoro-vého prostoru je symetrická.

O dvojici podprostorů tak můžeme jednoduše hovořit jako o kolmých podpro-storech.

Připomeňme, že vektorovou nadrovinou ve vektorovém prostoru dimenze nrozumíme každý jeho (n− 1)-rozměrný podprostor.

Věta 1.18

1. Ke každé vektorové nadrovině N ⊂ V existuje až na nenulový násobekjediný (a to nenulový) vektor n ∈ V tak, že

N = {x ∈ V : xn = 0}. (1.7)

2. Ke každému nenulovému vektoru n ∈ V existuje právě jedna vektorovánadrovina N ⊂ V tak, že platí (1.7).

20

Definice 1.12 Buď N libovolná nadrovina ve V. Pak N⊥ se nazývá normá-lový směr vektorové nadroviny N a každý generátor normálového směru senazývá normálový vektor vektorové nadroviny N.

Z věty 1.18 plyne:

Věta 1.19 Buď N libovolná nadrovina ve V, B některá ortonormální báze veV. Pak pro normálový vektor nadroviny N platí:

{n}B = (a1, a2, . . . , an),

právě když

N = {x ∈ V, {x}B = (x1, x2, . . . , xn) : a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = 0}.

Příklad 1.6 V euklidovském vektorovém prostoru V3 je dán podprostorW = [w1,w2]. Nalezněte ortogonální doplněk W

⊥, jestliže v ortonormální báziB je dáno:

{w1}B = (1, 2, 0), {w2}B = (1, 1, 1).[Návod: využijte odstavec 2 důsledku 1.8. Řešení:W⊥ = [(2,−1,−1)].

Podprostor W je vektorovou nadrovinou, kterou můžeme (podle věty 1.19) zadatrovnicí

2x1 − x2 − x3 = 0.

21

Poznámky:

22

1.3 Vzdálenost a odchylka v euklidovském vektorovémprostoru

Student umí definovat pojmy vzdálenost a odchylka vektoru od podprostorueuklidovského vektorového prostoru. Dovede vymezit pojmy ortogonální avnější součin. Umí zkonstruovat kolmý průmět vektoru do podprostoru,určit vzdálenost a odchylku vektoru od daného podprostoru. Student do-vede používat metodu nejmenších čtverců, zná vlastnosti vnějšího a orto-gonálního součinu vektorů v euklidovském vektorovém prostoru a dovede jeaplikovat.

Z předchozí kapitoly víte, že euklidovský vektorový prostor je přímým souč-tem libovolného svého podprostoru a jeho ortogonálního doplňku. Nyní senaučíte – s využitím rozkladu libovolného vektoru – určovat vzdálenost aodchylku vektoru od daného podprostoru. Seznámíte se s přirozenými apli-kacemi tohoto aparátu lineární algebry v geometrii a při řešení soustavlineárních rovnic. Poznáte, že pojem smíšeného a vektorového součinu, sekterým jste pracovali na SŠ ve fyzice, má své zobecnění i pro vyšší dimenze.

1.3.1 Grammovy determinanty, vnější a ortogonální součin

Než přistoupíme k pojmům vzdálenost a odchylka vektoru od podprostoru,bude užitečné zavést pojmy Grammova matice, ortogonální a vnější součin.

Definice 1.13 Buďte u1, . . . ,uk ∈ V. Pak

1. Grammovou maticí vektorů u1, . . . ,uk rozumíme matici označovanouG(u1, . . . ,uk) a definovanou takto:

G(u1, . . . ,uk) =

u1·u1 u1·u2 . . . u1·uku2·u1 u2·u2 . . . u2·uk...

......

uk·u1 uk·u2 . . . uk·uk

2. Grammovým determinantem vektorů u1, . . . ,uk rozumíme číslo označo-vané G(u1, . . . ,uk) a definované takto:

G(u1, . . . ,uk) = detG(u1, . . . ,uk).

Poznámka 1.7 Grammova matice je zřejmě reálná symetrická matice.

23

Věta 1.20 Pro libovolné u1, . . . ,uk ∈ V platí:

1. G(u1, . . . ,uk) ≥ 0,2. G(u1, . . . ,uk) = 0, právě když vektory u1, . . . ,uk jsou lineárně závislé,

3. ∀π ∈ Sk : G(uπ(1), . . . ,uπ(k)) = G(u1, . . . ,uk).

Symbolem Sk se rozumí množina všech permutací množiny {1, 2, . . . , k}.

Připomeňme, že orientovat vektorový prostor V znamená prohlásit některouz jeho bází za kladnou. Kladnými bázemi se pak rozumí všechny báze s nísouhlasné; báze ostatní se nazývají záporné. Orientovat každý vektorovýprostor lze tedy právě dvěma způsoby.

Definice 1.14 Buďte u1, . . . ,un ∈ Vn, B nechť je kladná ortonormální bázeorientovaného vektorového prostoru Vn.Položíme-li {ui}B = (ui1, . . . , uin), 1≤i≤n, pak vnějším součinem vektorů

u1, . . . ,un (vzhledem k bázi B) nazveme číslo označované [u1, . . . ,un]B a de-finované takto:

[u1, . . . ,un]B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u11 u12 . . . u1nu21 u22 . . . u2n......

...un1 un2 . . . unn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Definicí je hodnota vnějšího součinu dané n-tice vektorů formálně vázána navolbu konkrétní báze. Vyšetřeme, o jakou závislost se jedná.Buďte B,B′ dvě ortonormální báze. Uvážíte-li definici součinu matic a vztah

pro transformaci souřadnic vektoru, s nimiž jste se seznámili v minulém semestru,snadno zjistíte, že označíme-li souřadnice vektorů u1, . . . ,un v bázi B′ analogickyjako v definici 1.14, ale čárkovaně, platí:

u11 u12 . . . u1nu21 u22 . . . u2n......

...un1 un2 . . . unn

=

u′11 u′12 . . . u

′1n

u′21 u′22 . . . u

′2n

......

...u′n1 u

′n2 . . . u

′nn

(B,B

′).

Vezmete-li v úvahu větu 1.11, je již zřejmá platnost následující věty.

24

Věta 1.21

1. Hodnota vnějšího součinu daných vektorů nezávisí na výběru kladné or-tonormální báze.

2. Změní-li se orientace vektorového prostoru, změní se hodnota vnějšíhosoučinu daných vektorů v číslo opačné.

Poznámka 1.8 Ve zvolené orientaci vektorového prostoru V tedy není volbabáze podstatná a můžeme vnější součin označovat jen [u1, . . . ,un].

Věta 1.22 Buďte u1, . . . ,un ∈ Vn. Pak platí:1. [u1, . . . ,un]2 = G(u1, . . . ,un),

2. ∀π ∈ Sn : [uπ(1), . . . ,uπ(n)] = sgnπ[u1, . . . ,un],3. ∀i, 1 ≤ i ≤ n, ∀ui,u′i ∈ V :

[u1, . . . , (ui + u′i), . . . ,un] = [u1, . . . ,ui, . . . ,un] + [u1, . . . ,u

′i, . . . ,un],

4. ∀i, 1 ≤ i ≤ n, ∀c ∈ R : [u1, . . . , cui, . . . ,un] = c[u1, . . . ,ui, . . . ,un].

Věta 1.23 Buďte u1, . . . ,un−1 ∈ Vn a Vn je orientovaný vektorový prostor.Pak existuje právě jeden vektor u∗ ∈ V takový, že platí:1. u∗ ⊥ u1, . . . ,un−1,2. ‖u∗‖ =

√G(u1, . . . ,un−1),

3. jsou-li u1, . . . ,un−1 lineárně nezávislé, tvoří klad-nou bázi prostoru V.

Zvolíte-li si ve vektorovém prostoru Vn kladnou ortonormální báziB = a položíte-li

{ui}B = (u1, . . . , un), 1 ≤ i ≤ n−1,

a dále položíte

u∗ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u11 u12 . . . u1nu21 u22 . . . u2n...

......

un−1 1 un−1 2 . . . un−1 ne1 e2 . . . en

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, (1.8)

dovedete se přesvědčit, že u∗ splňuje požadavky věty 1.23?

25

[Návod: z (1.8) plyne, že vektor u∗ má v B souřadnice (Un1, . . . ,Unn), kde Uijoznačuje algebraický doplněk prvku na pozici (i, j) v dotyčné matici. Uvážíte-lidále matici

u11 u12 . . . u1nu21 u22 . . . u2n...

......

un−1 1 un−1 2 . . . un−1 nx1 x2 . . . xn

,

je zřejmé, že její determinant je pro libovolný vektor x, {x}B = (x1, . . . , xn),roven skalárnímu součinu u∗·x.]

Definice 1.15 Buďte u1, . . . ,un−1 ∈ Vn a nechť V je orientovaný. Pak vektoru∗ ∈ V splňující požadavky věty 1.23 se nazývá ortogonální součin vektorůu1, . . . ,un−1 a značí se u1 × u2 × · · · × un−1.

Poznámka 1.9 Buďte dány vektory u1, . . . ,un−1 orientovaného vektorovéhoprostoru Vn.

• Ortogonální součin je jednoznačně dán zadáním vektorů u1, . . . ,un−1 a vol-bou orientace vektorového prostoru Vn.

• Je-li dána kladná ortonormální báze ve V, je ortogonální součinu1 × · · · × un−1 roven symbolickému determinantu (1.8) .

Věta 1.24 Buďte u1, . . . ,un−1 vektory orientovaného vektorového prostoruV. Pak u = u1 × · · · × un−1, právě když pro každý x ∈ V platí:

[u1, . . . ,un−1,x] = u·x.

Věta 1.25 Buďte u1, . . . ,un−1 ∈ Vn. Pak platí:

1. ∀π ∈ Sn−1 : uπ(1) × · · · × uπ(n−1)] = sgnπ(u1 × · · · × un−1),

2. ∀i, 1 ≤ i ≤ n−1, ∀ui,u′i ∈ V :u1 × · · · × (ui + u′i) × · · · × un−1 = u1 × · · · × ui × · · · × un−1 + u1×× · · · × u′i × · · · × un−1,

3. ∀i, 1 ≤ i ≤ n−1, ∀c ∈ R:u1 × · · · × cui × · · · × un−1 = c(u1 × · · · × ui × · · · × un−1),

4. změní-li se orientace vektorového prostoru V, přejde ortogonální součinve vektor opačný.

26

Definice 1.16 V prostoru V3 se vnější součin tří vektorů nazývá součin smí-šený a ortogonální součin dvou vektorů součin vektorový.

Z věty 1.24 plyne:

Důsledek 1.10 Pro libovolné vektory u1,u2,u3 ∈ V3 platí:

[u1,u2,u3] = (u1 × u2) · u3.

Věta 1.26 Nechť N⊂⊂V je vektorová nadrovina, její libo-volná báze. Pak vektor u1 × · · · × un−1 je normálovým vektorem nadrovinyN.

Porovnejte vlastnosti ortogonálního součinu dvou vektorů ve V3 dle věty1.23 s vlastnostmi, pomocí nichž jste na SŠ definovali vektorový součin.

Příklad 1.7 V euklidovském vektorovém prostoru V je vzhledem ke kladné or-tonormální bázi B = dáno:

{u1}B = (1, 0, 1, 0), {u2}B = (0, 1, 1, 0), {u3}B = (1, 1, 1, 1).

Spočtěte ortogonální součin u1 × u2 × u3.[Návod: postupujte dle Poznámky 1.9: u1 × u2 × u3 = e1 + e2 − e3 − e4, tj.ortogonální součin má souřadnice (1, 1,−1,−1).]

27

1.3.2 Vzdálenost a odchylka v euklidovském vektorovém prostoru

Připomeňte si větu 1.16. Podle ní lze každý vektor x ∈ V vzhledem k libo-volnému podprostoruW ⊆⊆ V právě jedním způsobem psát ve tvaru

x = x∗ + x⊥, kde x∗ ∈ W, x⊥ ∈ W⊥. (1.9)

Definice 1.17 BuďW ⊆⊆ V, x vektor z V a nechť x∗, x⊥ jsou vektory spl-ňující (1.9). Pak vektor x∗ nazýváme kolmý průmět vektoru x do podprostoruW a vektor x⊥ nazýváme perpendikulár vektoru x na podprostor W.

Věta 1.27 Buď W ⊆⊆ V, x vektor z V. Pak platí:

1. kolmý průmět vektoru x do podprostoruW je roven perpendikuláru vek-toru x na podprostor W⊥,

2. perpendikulár vektoru x na podprostor W je roven kolmému průmětuvektoru x do podprostoru W⊥.

Věta 1.28 Buď W ⊆⊆ V, x vektor z V. Pak platí:

x ∈ W ⇔ x∗ = x ⇔ x⊥ = o,

x⊥W ⇔ x∗ = o ⇔ x⊥ = x.

Ve V existuje jediný vektor, pro nějž x = x⊥ = x∗. Který to je?

[Použijte větu 1.28.]

Věta 1.29 Buď W ⊆⊆ V, x vektor z V. Pak platí:

‖x‖2 = ‖x∗‖2 + ‖x⊥‖2.

Pozn.: V euklidovských vektorových prostorech tedy platí Pythagorova věta.

28

Pro zjišťování vzdálenosti a odchylky vektoru od podprostoru se ukáže dů-ležitost normy perpendikuláru.

Věta 1.30 Buď N vektorová nadrovina ve V, n její libovolný normálový vek-tor. Pak pro libovolný vektor x z V platí:

‖x⊥‖ = |x · n|‖n‖ .

Věta 1.31 Buď W libovolný podprostor ve V, některá jehobáze. Pak pro libovolný vektor x z V platí:

‖x⊥‖ =√

G(u1, . . . ,uk,x)

G(u1, . . . ,uk).

Příklad 1.8 V euklidovském vektorovém prostoru V je dán vektor x a pod-prostor W = [u1,u2]. Nalezněte kolmý průmět vektoru x do podprostoru W aperpendikulár naW, jestliže v ortonormální bázi je dáno:

{x} = (5, 3, 1); {u1} = (1, 2, 0), {u2} = (1, 1, 1).

[Návod: vyjádřete si vektor x ve tvaru (1.9), vektor x∗ pak jako lineární kombinacivektorů u1,u2. Získanou rovnost pak skalárně vynásobte vektorem u1 a uvažte,že vektory u1,x⊥ jsou kolmé. Stejně postupujte pro vektor u2. Tím obdržítesoustavu rovnic

xu1 = c1(u1u1) + c2(u2u1),

xu2 = c1(u1u2) + c2(u2u2).

Jejím vyřešením naleznete c1, c2 a tím vektor x∗.Řešení: {x∗} = (3, 4, 2), x⊥ = (2,−1,−1). ]

Definice 1.18 BuďW⊆⊆V, x vektor z V a nechť x∗ je kolmý průmět vektorx doW. Pak odchylkou vektoru x od podprostoru W rozumíme číslo označo-vané ∡(x,W) a definované vztahem

∡(x,W) = ∡(x,x∗).

29

Věta 1.32 Buď W⊆⊆V, x vektor z V. Pak platí

∡(x,W) ∈〈0,

π

2

〉.

Věta 1.33 Buď W⊆⊆V, x vektor z V. Pak platí

1. ∡(x,W) = π2⇔ x ⊥ W,

2. ∡(x,W) = 0⇔ x ∈ W ∧ x 6= o.

Věta 1.34 Buď W⊆⊆V, x vektor z V. Pak platí

1. ‖x∗‖ = ‖x‖ cos∡(x,W),

2. ‖x⊥‖ = ‖x‖ sin∡(x,W).

A nyní využijeme vět 1.30, 1.31:

Věta 1.35 Buď N vektorová nadrovina ve V, n její libovolný normálový vek-tor. Pak pro libovolný vektor x z V, x 6= o, platí:

∡(x,N) = arcsin|x · n|‖x‖‖n‖ .

Věta 1.36 Buď W libovolný podprostor ve V, některá jehobáze. Pak pro libovolný vektor x z V, x 6= o, platí:

∡(x,W) = arcsin

√G(u1, . . . ,uk,x)

‖x‖√G(u1, . . . ,uk)

.

Příklad 1.9 V euklidovském vektorovém prostoru V je dán vektor x a pod-prostor W = [u1,u2]. Stanovte odchylku vektoru x od podprostoru W, jestližev ortonormální bázi je dáno:

{x} = (5, 3, 1); {u1} = (1, 2, 0), {u2} = (1, 1, 1).

30

[Řešení: ∡(x,W) = arcsin 6√210; porovnejte přímým výpočtem za použití výsledku

Příkladu 1.8.]

Následující věta ukazuje názorně význam pojmu vzdálenost vektoru od pod-prostoru definovaného v Definici 1.19.

Věta 1.37 Buďte W ⊆⊆ V, x ∈ V. Pak pro libovolný vektor y z W platí:

ρ(x,y) ≥ ρ(x,x∗),

přičemž rovnost nastává jen v případě y = x∗.

Definice 1.19 Buď W⊆⊆V, x vektor z V a nechť x∗ je kolmý průmět vek-tor x do W. Pak vzdáleností vektoru x od podprostoru W rozumíme číslooznačované ρ(x,W) a definované vztahem

ρ(x,W) = ρ(x,x∗).

Důsledek 1.11 Buďte W ⊆⊆ V, x ∈ V. Pak platí:

ρ(x,W) = Min{ρ(x,y)}y∈W.

Věta 1.38 Buď W⊆⊆V, x vektor z V. Pak platí

1. ρ(x,W) = 0⇔ x ∈ W,

2. ρ(x,W) = ‖x‖ ⇔ x⊥W.

Uvážíte-li, jak vyjádřit vzdálenost vektoru od podprostoru pomocí jeho per-pendikuláru, pak s využitím vět 1.30, 1.31 dostanete:

Věta 1.39 Buď N vektorová nadrovina ve V, n její libovolný normálový vek-tor. Pak pro libovolný vektor x z V platí:

ρ(x,N) =|x · n|‖n‖ .

31

Věta 1.40 Buď W libovolný podprostor ve V, některá jehobáze. Pak pro libovolný vektor x z V platí:

ρ(x,W) =

√G(u1, . . . ,uk,x)

G(u1, . . . ,uk).

Příklad 1.10 V euklidovském vektorovém prostoru V je dán vektor x a pod-prostorW = [u1,u2]. Stanovte vzdálenost vektoru x od podprostoruW, jestližev ortonormální bázi je dáno:

{x} = (5, 3, 1); {u1} = (1, 2, 0), {u2} = (1, 1, 1).

[Řešení: ρ(x,W) =√6; porovnejte přímým výpočtem pomocí délky perpendiku-

láru za použití výsledku Příkladu 1.8.]

Na závěr této lekce si všimneme několika přirozených aplikací teorie vzdále-ností a odchylek, a to v teorii řešení soustav lineárních rovnic a v euklidovskégeometrii.

Z prvního semestru víte, že soustava lineárních rovnic

A(x1, x2, . . . , xn)T = (b1, b2, . . . , br)

T

je řešitelná, právě když sloupcový vektor pravých stran je možné vyjádřitjako lineární kombinaci sloupcových vektorů matice dané soustavy; koefici-enty této lineární kombinace pak představují řešení soustavy.

Uvažujeme-li soustavu lineárních rovnic s reálnými koeficienty, lze říci, žeuspořádaná n-tice (x1, . . . , xn) je řešením dané soustavy, právě když vzdá-lenost mezi vektory (A(x1, x2, . . . , xn)T ) a (b1, b2, . . . , br)T euklidovskéhovektorového prostoru Rr je nulová.

V případě, kdy soustava řešitelná není, má smysl hledat takové „dosazeníÿ(x1, . . . , xn), pro nějž je číslo

ρ((A(x1, x2, . . . , xn)T ), (b1, b2, . . . , br)

T )

nejmenší možné. Na základě věty 1.37 popisuje metodu, nazývanou metodanejmenších čtverců7, nalezení tohoto přibližného řešení následující věta.

7tento název plyne z toho, že vzdálenost dvou vektorů v Rr se standardním skalárnímsoučinem je dána relací zmíněnou v důsledku 1.6

32

Věta 1.41 (metoda nejmenších čtverců)Buďte A ∈ Mr×n(R) a b ∈ Mr×1(R). Je-li b∗ kolmým průmětem vektorub do sloupcového podprostoru matice A a x1, x2, . . . , xn vyhovují soustavělineárních rovnic

A

x1...xn

= b∗, (1.10)

pak pro každé y1, y2, . . . , yn ∈ R platí:∥∥∥∥∥∥∥A

y1...yn

− b

∥∥∥∥∥∥∥≥

∥∥∥∥∥∥∥A

x1...xn

− b

∥∥∥∥∥∥∥,

přičemž rovnost nastává, právě když y1, y2, . . . , yn ∈ R řeší soustavu lineárníchrovnic (1.10).

Příklad 1.11 Určitý fyzikální děj je popsán funkční závislostí y = f(x), o níž jeznámo, že je lineární. Při experimentu byly zjištěny následující hodnoty

x 0 1 2f(x) 1 5 3

.

Metodou nejmenších čtverců nalezněte parametry ve funkčním předpise uvedenézávislosti, aby co nejlépe vystihoval provedené měření.

[Návod: Funkční závislost předpokládejte ve tvaru y = ax + b, dosazením uve-dených dvojic hodnot obdržíte soustavu tří lineárních rovnic o neznámých a, b,která nebude řešitelná. Dále postupujte dle věty 1.41.Řešení: y = x+ 2.]

Uvažujme nyní v euklidovském prostoru E podprostor Mk daný bodem Aa bázi jehož zaměření nechť tvoří vektory u1, . . . ,uk. Zabývejme se dvěmaúlohami:

– zjištěním vzdálenosti libovolného bodu B od podprostoru M ,

– zjištěním odchylky libovolné přímky p se směrovým vektorem s odpodprostoru M .

V prvním případě si představme kolmý průmět B∗ bodu B do podprostoruM ; vzdálenost ρ(B,M) se v geometrii definuje rovna vzdálenosti ρ(B,B∗).Uvažujeme-li vektor B−A, je zřejmě vektor B∗−A jeho kolmým průmětem

33

do zaměření8 V(M) podprostoru M , a tudíž platí ρ(B,M) = ‖B∗ − B‖ == ρ((B − A),V(M)).V druhém případě si na přímce p zvolme libovolně dva různé body B,C. Jejich rozdílem je směrový vektor C − B = s. Sestrojme jejich kolméprůměty C∗, B∗. V geometrii se odchylka ∡(p,M) definuje jako odchylkapřímek BD a B∗D∗. Je zřejmé, že vektor C∗ − B∗ je kolmým průmětemvektoru s do zaměření V(M) podprostoru M , a tudíž platí ∡(p,M) == ∡(s,V(M)).

Důsledkem vět 1.36 a 1.40 jsou tedy následující věty euklidovské geometrie.

Věta 1.42 Buď M libovolný podprostor euklidovského prostoru E určený bo-dem A a nechť je některá báze jeho zaměření. Pak pro libovolnýbod B ∈ E platí:

ρ(A,M) =

√G(u1, . . . ,uk, (B−A))

G(u1, . . . ,uk).

Věta 1.43 Buď M libovolný podprostor euklidovského prostoru E určený bo-dem A a nechť je některá báze jeho zaměření. Pak pro libovolnoupřímku p se směrovým vektorem s platí:

∡(p,M) = arcsin

√G(u1, . . . ,uk, s)

‖s‖√G(u1, . . . ,uk)

.

Geometrický význam mají i vnější a ortogonální součin vektorů. Zmiňme jealespoň pro třírozměrný euklidovský prostor E.

Věta 1.44 Buďiž dán rovnoběžnostěn A1B1C1D1A2B2C2D2 v euklidovskémprostoru E3. Pak pro jeho objem platí:

V = |[(B1−A1), (D1−A1), (A2−A1)]|.

Věta 1.45 Buď v euklidovském prostoru E3 dán rovnoběžník ABCD. Pak projeho plochu platí:

S = ‖(B−A)× (D−A)‖.

8připomeňme, že zaměřením podprostoru rozumíme množinu vektorů daného podprostoru;získáme je např. jako průvodiče vedoucí z bodu A do všech jeho bodů

34

Příklad 1.12 V euklidovském prostoru E3 jsou dány body A = [1, 1, 1],B = [3, 1, 1], C = [3, 1, 3]. Určete obsah trojúhelníku ABC.

[Návod: použijte větu 1.45. Výsledek: S=2]

35

Poznámky:

36

2 Homomorfizmy vektorových prostorů

2.1 Základní pojmy

Student umí definovat pojem homomorfizmus vektorových prostorů. Umírozpoznat zobrazení, která jsou homomorfizmem vektorových prostorů. Znápojmy monomorfizmus, epimorfizmus, izomorfizmus, endomorfizmus a au-tomorfizmus a dovede přiřadit daný homomorfizmus k těmto pojmům. Znápojmy obrazu a jádro homomorfizmu a dovede je nalézt. Dovede sestavitanalytické vyjádření homomorfizmu ve zvolených bázích a nalézt maticihomomorfizmu v libovolné dvojici bází.

Z předchozího semestru znáte pojem vektorový prostor – víte, že se jednáo množinu prvků (vektorů) vybavenou tělesem skalárů a dvojicí zobrazení –sčítáním vektorů a násobením vektorů skalárem. Nyní si ukážeme, že mezivšemi zobrazeními, která si dokážeme mezi dvojicemi vektorových prostorů(přesněji mezi jejich množinami vektorů) představit, hrají roli ta zobrazení,která zachovávají obě zobrazení (nazveme je homomorfizmy). Uvidíte, žejistým způsobem „přenášejíÿ strukturu prvního prostoru do druhého a vezvláštním případě izomorfizmu pak vytvářejí věrnou „kopiiÿ prvního z vek-torových prostorů. Naučíte se vyjádřit takováto zobrazení rovnostmi popi-sujícími souřadnice obrazu pomocí souřadnic vzoru. Seznámíte se zadánímhomomorfizmu prostřednictvím matice.

Definice 2.1 Buďte (V,+, T, ·) a (W,⊕, T, ◦) vektorové prostory9. Zobrazeníf : V → W se nazývá homomorfizmus vektorového prostoru V do vektorovéhoprostoru W, jestliže má následující vlastnosti:

1. ∀u,v ∈ V : f(u+ v) = f(u)⊕ f(v),2. ∀u ∈ V, ∀t ∈ T : f(t · u) = t ◦ f(u).

Poznámka 2.1• nebude-li výslovně řečeno jinak, budeme všechny vektorové prostory nadáleuvažovat na tímže tělesem T,

• víme-li v každém případě, kterému vektorovému prostoru daná dvojice vek-torů, resp. vektor, náleží, nehrozí nebezpečí nedorozumění a můžeme sčítánívektorů i v druhém prostoru označovat stejným symbolem „+ÿ, resp. náso-bení vektoru skalárem stejným symbolem „·ÿ či tuto tečku zcela vynechávat;ze stejného důvodu budeme i nulový vektor v obou prostorech značit tímžesymbolem o.

9všimněte si, že oba vektorové prostory mají totéž těleso skalárů

37

• všechny vektorové prostory budeme označovat jen symbolem příslušné mno-žiny vektorů – tj. např. namísto (V,+, T, ·) budeme psát jen V.

Označení 2.1 Buďte V, W vektorové prostory. Množinu všech homomorfizmůV doW budeme označovat Hom(V,W).

Příklad 2.1 Buďte V3,W3 vektorové prostory nad R a uvažujme zobrazeníf : V3 → W3 daná vzhledem ke zvoleným bázím B, C předpisem:

∀x∈V3 : {x}B = (x1, x2, x3) 7−→ {f(x)}C = (y1, y2, y3),

kde:1. y1 = x1

y2 = 2x1 + x2y3 = 3x1 − x3,

2. y1 = x21y2 = 2x1 + x2y3 = 3x1 − x3.

3. y1 = x1y2 = 2x1 + x2 + 5y3 = 3x1 − x3.

Je zobrazení f v jednotlivých případech homomorfizmem?[1. ano; 2.,3. ne.]

Definice 2.2 Buď f ∈ Hom(V,W);

1. jestliže je f injektivní, nazývá se monomorfizmus,

2. jestliže je f surjektivní, nazývá se epimorfizmus,

3. jestliže je f bijektivní, nazývá se izomorfizmus,

4. jestliže jeW = V, nazývá se f endomorfizmus vektorového prostoru V,

5. jestliže jeW = V a f je bijektivní, nazývá se automorfizmus vektorovéhoprostoru V.

Definice 2.3 Buď f ∈ Hom(V,W). Pak

1. obrazem homomorfizmu f rozumíme množinu označovanou Imf a defi-novanou takto:

Im f = {y ∈ W;∃x ∈ V : y = f(x)},

2. jádrem homomorfizmu f rozumíme množinu označovanou Kerf a defi-novanou takto:

Ker f = {x ∈ V; f(x) = o}.

38

Důsledek 2.1 Buď f ∈ Hom(V,W). Pak

1. f je epimorfizmem V na Im f ,

2. je-li f monomorfizmus V do W, pak je izomorfizmem V na Im f .

Věta 2.1 Buď f ∈ Hom(V,W). Pak

1. Im f ⊆⊆ W,2. Ker f ⊆⊆ V.

Příklad 2.2 Buďte V3,W4 vektorové prostory R a uvažujme zobrazení f : V3 →W4 dané vzhledem ke zvoleným bázím B, C předpisem:

∀x∈V3 : {x}B = (x1, x2, x3) 7−→ {f(x)}C = (y1, y2, y3, y4),

kde:y1 = x1 + 2x2 − x3y2 = x1 + 5x2 − 5x3y3 = 3x2 − 4x3y4 = x1 + 8x2 − 9x3.

Určete jeho jádro a obraz.[Ker f={x∈V, {x}B ∈ [(−5, 4, 3)]},Im f={y∈W, {y}C ∈ [(−2,−1, 1, 0), (1, 1, 0, 1)]}.]

Věta 2.2 Buďte V, W vektorové prostory. Je-li f izomorfizmus V na W,pak je f−1 izomorfizmem W na V.

Věta 2.3 Buď f ∈ Hom(V,W). Pak platí:

1. f je epimorfizmus V na W, právě když Im f =W,

2. f je monomorfizmus V do W, právě když Ker f = {o}.

Dle definice 2.1 zachovává homomorfizmus dvě základní zobrazení vekto-rového prostoru +, ·. Následující věta ukazuje, že zachovává i libovolnoulineární kombinaci vektorů a dále ukáže souvislost lineární (ne)závislostivzorů a obrazů.

39

Věta 2.4 Buď f ∈ Hom(V,W). Pak

1. pro každé x1, . . . ,xk ∈ V každé t1, . . . , tk ∈ T platí:

f(t1x1 + · · ·+ tkxk) = t1f(x1) + · · ·+ tkf(xk),

2. pro každé x1, . . . ,xk∈V platí: jsou-li x1, . . . ,xk lineárně závislé, pak jsouf(x1), . . . , f(xk) též lineárně závislé,

3. pro každé x1, . . . ,xk∈V platí: jsou-li x1, . . . ,xk lineárně nezávislé a je-lif monomorfizmus, pak jsou f(x1), . . . , f(xk) též lineárně nezávislé,

– Vyslovte obměněnou větu k tvrzení v odstavci 2.

– Najděte příklad ukazující, že předpoklad injektivity homomorfizmu fnelze v odstavci 3 vynechat.

Důsledek 2.2 Buďte f ∈ Hom(V,W), U ⊆⊆ V. Pak platí:

1. množina f(U) je podprostorem v W,

2. jestližeM je množina generátorů podprostoru U, pak f(M) je množinagenerátorů podprostoru f(U),

3. je-li G množina generátorů prostoru V, pak f je epimorfizmus, právěkdyž f(G) je množinou generátorů prostoru W,

4. je-li B báze prostoru V, pak f je izomorfizmus, právě když f(B) je bázeprostoru W.

Homomorfizmus f : V → W, je, jakožto zobrazení, množinou uspořáda-ných dvojic {(x, f(x)) ∈ V × W,x ∈ V}. V případě homomorfizmů všaknení třeba (mnohdy ani možné) zadat výčtem všechny takovéto uspořádanédvojice – důležitou otázkou je, kolik takových uspořádaných dvojic je třebaznát, aby bylo toto zobrazení jednoznačně určeno. Odpovědí je následujícívěta o určenosti homomorfizmu.

Věta 2.5 Buďte V,W vektorové prostory. Pak ke každé bázi vektorového prostoru V a každé n-tici vektorů w1, . . . ,wn z vektorového pro-storu W existuje právě jeden homomorfizmus f : V → W s vlastností

f(vi) = wi, i = 1, . . . , n.

40

Definice 2.4 Buďte V,W vektorové prostory. Řekneme, že uvedené vektorovéprostory jsou izomorfní, což značíme V ∼= W, existuje-li izomorfizmus V naW.

Poznámka 2.2 Na základě věty 2.2 vidíme, že relace být izomorfní je opravdusymetrická. Právě uvedená definice je tedy v tomto smyslu korektní.

Jsou-li vektorové prostory (V,+, T, ·) a (W,⊕, T, ◦) izomorfní, znamená tovíce, než jen to, že existuje bijekce mezi množinami V a W jejich vektorů.Buď f izomorfizmus V naW. Podívejme se nyní, jak sečíst dva vektory u,w náležícíW. Protože na základě věty 2.2 a definice 2.1 můžeme psát

u⊕ v = f(f−1(u))⊕ f(f−1(w)) = f(f−1(u) + f−1(w)),

je patrno, že tento součet je plně určen operací + sčítání vektorů ve V.

Podobně se přesvědčíte, že i násobení ◦ vektorů skalárem ve W je plněurčeno zadáním násobení · ve V.Můžete tedy uzavřít, že dva izomorfní vektorové prostory jsou navzájemsvými „přesnými kopiemiÿ, což vyjadřujeme obratem, že dva izomorfní vek-torové prostory se liší jen pojmenováním svých prvků.

Věta 2.6 Vám poskytne kritérium, kdy jsou dva vektorové prostory izo-morfní.

Přesvědčte se, že z prvního semestru Vám známé zobrazení Vn → T n zvanésoustava souřadnic je izomorfizmem uvedených vektorových prostorů. Od-voďte pomocí tohoto faktu platnost následující věty!

[Návod: použijte větu 2.2]

Věta 2.6 Dva vektorové prostory (nad tímže tělesem) jsou izomorfní, právěkdyž mají stejnou dimenzi.

Definice 2.5 Buď f ∈ Hom(V,W). Nechť B, C jsou libovolné báze po řaděvektorových prostorů Vn aWm, B = . Označíme-li

{f(ai)}C = (ai1, ai2, . . . , ain), i=1, . . . , n,

pak matici (aij) ∈ Mn×m(T ) nazýváme matice homomorfizmu f vzhledemk bázím B, C a značíme (f,B, C).

41

Užitím věty 2.4 (1) byste se přesvědčili o platnosti následující věty.

Věta 2.7 Buď f ∈ Hom(V,W). Nechť B, C jsou libovolné báze po řadě vek-torových prostorů V a W. Pak pro každý vektor x z V platí:

{f(x)}C = {x}B(f,B, C),

neboli:je-li {x}B = (x1, . . . , xn), pak pro f(x) platí:

{f(x)}C = (y1, . . . , ym)⇔ ∀j, 1 ≤ j≤m : yj =n∑

i=1

aijxi, (2.1)

kde (aij)n×m = (f,B, C).

Víte již, že k určení homomorfizmu f není třeba zadání všech uspořádanýchdvojic (x, f(x)). Znáte-li obrazy vektorů některé báze, můžete určit sou-řadnice obrazu kteréhokoli vektorů, a to pomocí tzv. analytického vyjádřeníhomomorfizmu vůči zvolené dvojici bází, jak budeme soustavě rovností (2.1)dále říkat.

Na základě věty 2.5 je patrně zcela rovnocenné, zda homomorfizmus určítezadáním obrazů prvků některé báze, maticí homomorfizmu či analytickýmvyjádřením.

Věta 2.8 Buďte B, C některé báze po řadě prostorů V, W. Pak zobrazeníHBC : Hom(Vn,Wm)→ Mn×m(T ) definované vztahem

∀f ∈ Hom(V,W) : HBC(f) = (f,B, C)

je bijekcí uvedených množin.

Příklad 2.3 Buďte V, W vektorové prostory. Nechť B = je bázeprostoru V a C = je báze prostoru W. Napište analytické vyjádřeníhomomorfizmu f : V → W, jestliže platí:

f(e1) + 2f(e2) = b1 + 4b2 + 3b3f(e1)− f(e2) + f(e3) = b1 + b2 + 2b3

f(e2) + f(e3) = b2 − b3.

[Řešení: matice hledaného homomorfizmu je

1 2 30 1 00 0 −1

. ]

42

Věta 2.9 Buď f ∈ Hom(V,W). Nechť B,B′, resp. C, C ′, jsou libovolné bázevektorového prostoru V, resp. W. Pak platí:

(f,B′, C ′) = (B,B′)(f,B, C)(C ′, C).

Věta 2.10 Buď f ∈ Hom(V,W). Nechť B,B′, resp. C, C ′, jsou libovolné bázevektorového prostoru V, resp. W. Pak platí:

h(f,B′, C ′) = h(f,B, C) = dim Im f.

Pozn.: o společné hodnosti všech matic daného homomorfizmu f se hovoří jakoo hodnosti homomorfizmu f.

Věta 2.11 Buď f ∈ Hom(V,W). Pak platí:

dimKer f + dim Im f = dimV.

Důsledek 2.3 Buď f ∈ Hom(V,W) a nechť dimV=dimW. Pak jsou násle-dující podmínky ekvivalentní:

1. f je izomorfizmus,

2. f je epimorfizmus,

3. f je monomorfizmus,

Důsledek 2.4 Homomorfizmus je izomorfizmem V na W, právě když jehomatice v jedné (a tudíž v každé) dvojicí bází prostorů V a W je regulární.

43

Věta 2.12 Buď f ∈ Hom(Vn,Wm). Pak existují báze B, C po řadě prostorůV,W tak, že analytické vyjádření homomorfizmu f v této dvojici bází má tvar:

y1 = x1y2 = x2

...yr = xryr+1 = 0

...ym = 0 ,

kde r je dimenze obrazu homomorfizmu f .

Jaký tvar má matice homomorfizmu v bází dle věty 2.12?

Příklad 2.4 Buďte V a W vektorové prostory a uvažujme homomorfizmusf : V → W daný vzhledem k jisté zvolené dvojici bází analytickým vyjádřením:

y1 = x1+ 2x2− x3y2 = x1+ 5x2− 5x3y3 = 3x2− 4x3y4 = x1+ 8x2− 9x3

Najděte takovou dvojici bází, v níž bude mít daný homomorfizmus analytickévyjádření ve tvaru dle věty 2.12.

[Návod: Označme hledané báze po řadě B = , C = .Uvažte, že jádro homomorfizmu f je podprostorem ve V, jehož všechny prvkyse zobrazí na nulový vektor. Najděte tedy nejprve bázi jádra Ker f . Její vektorybudou tvořit „odzaduÿ prvky báze B. Bázi Ker f doplňte libovolně na bázi pro-storu V, tím dostanete bázi B. V tomto konkrétním případě je dimKer f = 1,tedy jeho bází bude vektor e3. Ten pak doplníme vektory e1 a e2 na bázi B.Nyní zobrazte vektory báze B nepatřící jádru Ker f v homomorfizmu f . Tyto

vektory dle věty 2.2 generují Im f a jejich počet je dle věty 2.11 roven dimenziIm f – jsou tedy lineárně nezávislé. Označme tedy b1 = f(e1), b2 = f(e2) avektory b1, b2 pak doplňme libovolně na bázi C prostoruW.Uvažte definici matice homomorfizmu, pak je zřejmé, že

(f,B, C) =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

,

a tedy analytické vyjádření bude mít požadovaný tvar.]

44

Poznámky:

45

2.2 Vektorový prostor homomorfizmů; skládání homomor-fizmů

Student umí zavést na množině homomorfizmů strukturu vektorového pro-storu. Dovede určit matici součtu homomorfizmů a skalárního násobku ho-momorfizmu. Student zná vztah mezi vektorovým prostorem homomorfi-zmů a s ním izomorfní strukturou matic, dovede využít vztahů mezi těmitodvěma izomorfními strukturami. Student dovede skládat homomorfizmy aurčit matici složení homomorfizmů.

V minulé lekci jste se seznámili s množinou homomorfizmů vektorovéhoprostoru V do vektorového prostoruW. Nyní si ukážete, jak přirozeně defi-novat sčítání homomorfizmů i násobení homomorfizmu skalárem, a získátetak na množině Hom(V,W) strukturu vektorového prostoru. Dále uvidíte,jaké vlastnosti má zobrazení přiřazující ve zvolené bázi každému homomor-fizmu jeho matici. V prvním semestru jste viděli, že množina matic spoluse sčítáním matic a násobením matice skalárem tvoří vektorový prostor –nyní uvidíte, že je izomorfní právě vybudovanému vektorovému prostoruhomomorfizmů.

Dále se naučíte skládat homomorfizmy.

Popsané operace s homomorfizmy Vám osvětlí přirozenost definic sčítánímatic, násobení matice skalárem a součinu matic, s nimiž jste se v minulémsemestru seznámili.

2.2.1 Vektorový prostor homomorfizmů

Definice 2.6 Buďte f, g ∈ Hom(V,W), t ∈ T . Pak součtem homomorfizmůf a g nazýváme zobrazení f + g : V → W definované vztahem

∀x ∈ V : (f + g)(x) = f(x) + g(x),

skalárním t-násobkem homomorfizmu f nazýváme zobrazení tf : V → W de-finované vztahem

∀x ∈ V : (tf)(x) = tf(x).

Ověřte platnost axiomů vektorového prostoru pro množinu Hom(V,W)spolu se sčítáním homomorfizmů a násobením homomorfizmu skalárem.

Věta 2.13 Množina Hom(V,W) spolu spolu se sčítáním homomorfizmů anásobení homomorfizmu skalárem tvoří vektorový prostor nad tělesem T .

46

Pozn.: Nulovým prvkem vektorového prostoru Hom(V,W) je tzv. nulový homo-morfizmus o definovaný pro každé x z V relací o(x) = o.

Věta 2.14 Buďte f, g ∈ Hom(V,W), t ∈ T . Pak pro libovolné báze B, C pořadě prostorů V, W platí:

(f + g,B, C) = (f,B, C) + (g,B, C),(tf,B, C) = t(f,B, C).

Vezmete-li v úvahu větu 2.8, dostanete

Věta 2.15 Buďte B, C některé báze po řadě prostorů V, W. Pak zobrazeníHBC : Hom(Vn,Wm)→ Mn×m(T ) definované vztahem

∀f ∈ Hom(V,W) : HBC(f) = (f,B, C)

je izomorfizmem vektorových prostorů Hom(Vn,Wm) aMn×m(T )

Označte si pro libovolné přípustné (i, j) symbolem Eij matici zMn×m(T ),jejíž prvky jsou nulové s výjimkou právě prvku na pozici (i, j), který jeroven 1.

Zřejmě každou matici zMn×m(T ) lze zapsat jako lineární kombinaci matic mno-žiny

E = ,a to jediným způsobem. Množina E je tedy bází vektorového prostoruMn×m(T ).Např.(1 2 −10 8 7

)= 1

(1 0 00 0 0

)

︸ ︷︷ ︸E11

+2

(0 1 00 0 0

)

︸ ︷︷ ︸E12

−1(0 0 10 0 0

)

︸ ︷︷ ︸E13

+8

(0 0 00 1 0

)

︸ ︷︷ ︸E21

+7

(0 0 00 0 1

)

︸ ︷︷ ︸E23

.

Z věty 2.15 dostanete:

47

Důsledek 2.5 Buďte V, W vektorové prostory. Pak platí:

1. dimHom(V,W) = dimV. dimW,

2. jsou-li B, C báze po řadě prostorů Vn, Wm a označíme-li pro každéi, j, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, homomorfizmus eij definovaný relací(eij,B, C) = Eij, pak množina

je bází vektorového prostoru Hom(V,W),

3. jsou-li B, C báze po řadě prostorů Vn, Wm, pak platí

(f,B, C) = (aij)n×m ⇐⇒ f =∑

1≤i≤n1≤j≤m

aijeij.

Poznámka 2.3

• Z věty 2.14 vidíte, že sčítání matic je přirozeně určeno sčítáním homomor-fizmů a podobně skalární násobek matice je přirozeně určen násobenímhomomorfizmu skalárem.

• Z důsledku 2.5, odst. (3) je patrný další význam prvků matice homomorfi-zmu – mají současně význam souřadnic daného homomorfizmu v bázi dleodst. (2).

48

2.2.2 Skládání homomorfizmů

Druhá část této lekce je věnována skládání homomorfizmů. Dva homomorfi-zmy můžeme složit jako každá jiná zobrazení10 . Důležité však je, že složenímhomomorfizmů obdržíte opět homomorfizmus.

Věta 2.16 Buďte U, V, W vektorové prostory. Pak pro libovolné homomor-fizmy f ∈ Hom(U,V), g ∈ Hom(V,W) platí, že f ◦ g ∈ Hom(U,W).

Věta 2.17 Buďte U, V, W vektorové prostory, f ∈ Hom(U,V) a g ∈∈ Hom(V,W). Pak, jsou-li B, C,D libovolné báze po řadě prostorů U, V,W, platí:

(f ◦ g,B,D) = (f,B, C)(g, C,D).

Poznámka 2.4 Z věty 2.17 vidíte, že násobení matic je přirozeně určeno sklá-dáním homomorfizmů.

Důsledek 2.6 Buď f ∈ Hom(U,V) a B, C libovolné báze po řadě prostorůU, V. Pak platí:

(f−1, C,B) = (f,B, C)−1.

Věta 2.18 Buďte U, V, W vektorové prostory. Pak pro libovolné homomor-fizmy f, g ∈ Hom(U,V), h, k ∈ Hom(V,W) a t ∈ T platí:

1. (f + g) ◦ h = f ◦ h+ g ◦ h,2. f ◦ (h+ k) = f ◦ h+ f ◦ k,3. (tf) ◦ h = t(f ◦ h) = f ◦ (th).

Jak zní důsledky věty 2.18 pro operace s maticemi?

10v tomto textu se pro označení složení dvou zobrazení α, β budeme držet této konvence:

(α ◦ β)(x) = β(α(x)).

49

Poznámky:

50

2.3 Endomorfizmy vektorového prostoru

Student dovede zavést na množině endomorfizmů vektorového prostoru struk-turu okruhu, resp. lineární algebry. Student zná vztah mezi okruhem, resp.lineární algebrou, endomorfizmů a příslušnou izomorfní strukturou matic,dovede využít vztahů mezi těmito dvěma izomorfními strukturami. Dále do-vede rozpoznat automorfizmus vektorového prostoru a zavést na množiněautomorfizmů strukturu grupy, zná vztah mezi touto grupou a příslušnoustrukturou matic s ní izomorfní. Student dovede zavést pojem projekce vek-torového prostoru a rozpoznat mezi endomorfizmy projekce.

V jedné z předešlých lekcí (definice 2.2) jste se seznámili s pojmem endomor-fizmus vektorového prostoru, jako homomorfizmem vektorového prostoru dosebe, a v lekci bezprostředně předcházející jste se naučili homomorfizmy sčí-tat, násobit skalárem i skládat. Nyní si ukážete, že endomorfizmy danéhovektorového prostoru tvoří okruh. Zobrazení, přiřazující endomorfizmu jehomatici ve zvolené bázi, tvoří izomorfizmus tohoto okruhu a okruhu matic.Dále poznáte strukturu lineární algebry endomorfizmů, grupu automorfi-zmů a v obou těchto případech s nimi izomorfní struktury matic.Seznámíte se s projekcemi vektorového prostoru na podprostor, jako endo-morfizmy zobrazujícími vektorový prostor na některý jeho podprostor, tedyna vektorový prostor nižší dimenze11, což dává projekcím široký praktickývýznam.

Označení 2.2 Buď V vektorový prostor. Pak množinu endomorfizmů vektoro-vého prostoru V (tedy množinu Hom(V,V)) budeme značit End(V). Matici en-domorfizmu f v bázi B budeme značit jen (f,B).

Ověřte platnost axiomů okruhu pro množinu End(V) spolu se sčítáním askládáním homomorfizmů.

Věta 2.19 Buď V vektorový prostor. Množina End(V) spolu se sčítáním endo-morfizmů + a skládáním endomorfizmů ◦ tvoří okruh s jednotkovým prvkem,kterým je identický endomorfizmus id. Tento okruh není obecně komutativní.

Důsledkem věty 2.14 a 2.17 je následující věta:

Věta 2.20 Buď B některá báze prostoru V. Pak zobrazení HB : End(Vn) →→ Mn×n(T ) definované vztahem

∀f ∈ End(V) : HB(f) = (f,B)

je izomorfizmem okruhů (End(Vn),+, ◦) a (Mn×n(T ),+, ·).

11s výjimkou triviálního případu identity

51

Definice 2.7 Buď A množina, T komutativní těleso a nechť jsou dána zob-razení

+: A× A → A, ◦ : A× A → A, · : T × A → A,přičemž

1. A spolu se zobrazeními +, · je vektorový prostor nad T ,2. A spolu se zobrazeními +, ◦ je okruh s jednotkovým prvkem,3. ∀a, b ∈ A, ∀t ∈ T : t · (a ◦ b) = (t · a) ◦ b = a ◦ (t · b).

Pak se množina A spolu s uvedenými zobrazeními nazývá lineární algebrounad tělesem T . Řádem algebry A se rozumí dimenze A jakožto vektorovéhoprostoru.

Definice 2.8 Buďte A a B lineární algebry nad týmž tělesem. Řekneme, želineární algebra A je izomorfní s lineární algebrou B, existuje-li zobrazeníH : A → B, které je současně izomorfizmem A a B jakožto vektorových pro-storů i jako okruhů.

Z vět 2.13, 2.15, 2.18, 2.19 a 2.20 plynou dvě věty následující:

Věta 2.21 Množina End(V) spolu se sčítáním a skládáním endomorfizmů anásobením endomorfizmu skalárem z T tvoří lineární algebru nad tělesem T ,jejíž řád je roven (dimV)2.

Věta 2.22 Buď B některá báze prostoru Vn. Pak zobrazení HB přiřazující kaž-dému endomorfizmu jeho matici v bázi B je izomorfizmem lineárních algeberEnd(V) aMn×n(T )

Nyní se všimneme zvláštního případu endomorfizmů, a sice automorfizmůdaného vektorového prostoru (viz definice 2.2).

Označení 2.3 Buď V vektorový prostor. Pak množinu automorfizmů vektoro-vého prostoru V (tedy podmnožinu množiny End(V)) budeme značit Aut(V).

Ověřte platnost axiomů grupy pro množinu Aut(V) spolu se skládáním zob-razení.

[Využijte mj. větu 2.2.]

52

Věta 2.23 Buď V vektorový prostor. Množina Aut(V) spolu se skládánímautomorfizmů tvoří grupu.

Pozn.: Grupa (Aut(V), ◦) bývá nazývána lineární grupa vektorového prostoru V.

Z důsledku 2.4 plyne:

Věta 2.24 Endomorfizmus je automorfizmem prostoruV, právě když jeho ma-tice v jedné (a tudíž v každé) bázi prostoru V je regulární.

Důsledek 2.7 Grupa automorfizmů vektorového prostoru Vn je izomorfnís multiplikativní grupou regulárních matic řádu n nad tělesem T .Buď B některá báze prostoru Vn. Pak zobrazení HB přiřazující každému endo-morfizmu jeho matici v bázi B je izomorfizmem grup (Aut(V), ◦) a (Ln×n(T ), ·).

Využitím důsledku 2.2 a porovnáním definic matice homomorfizmu a maticepřechodu odvoďte platnost následujícího tvrzení!

Věta 2.25 Buď f endomorfizmus a B některá báze prostoru V. Pak je fautomorfizmem vektorového prostoru V, právě když množina C, C = f(B) jebází prostoru V. Přitom platí

(B, C) = (f,B).

Představíte-li si intuitivně chápaný pojem projekce 3-rozměrného vektoro-vého prostoru na některý jeho 2-rozměrný podprostor rovnoběžně se zvole-ným směrem, vidíte, že následující definice je jeho přirozeným zobecněním.

Definice 2.9 Buďte U,W ⊆⊆ V takové, že V = U ⊕ W. Pak zobrazeníoznačované pUW a definované předpisem

∀x∈V, x = xW + xU , xW∈W,xU∈U : pUW (x) = xW ,

nazýváme projekce vektorového prostoru V na podprostor W rovnoběžně pod-prostoru U.

Poznámka 2.5 Vzhledem k tomu, že součet V = U⊕W je přímý (direktní), jezobrazení pUW definováno korektně.

53

Věta 2.26 Buď pUW projekce vektorového prostoru V. Pak pro každé x z Vplatí:

1. pUW (x) = o, právě když x ∈ U,2. pUW (x) = x, právě když x ∈ W.

Důsledek 2.8 Každá projekce pUW prostoru V je surjekcí V na W.

Důsledek 2.9 Buď pUW projekce vektorového prostoru V. Pak platí:

1. pUW = idV ⇔ U = {o} ⇔ W = V,2. pUW = o ⇔ W = {o} ⇔ U = V.

Věta 2.27 Každá projekce prostoru V je endomorfizmem prostoru V.

Věta 2.28 Buď p projekce prostoru V. Pak je projekcí V na Im p rovnoběžněKer p.

Věta 2.29 Buď p endomorfizmus prostoru V. Pak p je projekcí, právě kdyžplatí

1. V = Ker p⊕ Im p,2. p| Im p = idIm p

Věta 2.30 Buď p endomorfizmus prostoru V. Pak p je projekcí, právě kdyžplatí

p ◦ p = p.

Důsledek 2.10 Buď p endomorfizmus prostoru V. Pak p je projekcí, právěkdyž v libovolné (a pak tedy v každé) bázi B prostoru V platí

(p,B)2 = (p,B).

54

Příklad 2.5 Nalezněte projekci p prostoru V nad R, pro niž platí

p(ui) = vi, i = 1, 2,

je-li ve zvolené bázi B prostoru V dáno:

{u1}B=(1, 2, 1,−1), {u2}B=(3, 0, 0, 1), {v1}B=(1, 2, 0, 0), {v2}B=(1, 1, 1, 1).

[Návod: uvažte, že vektory v1,v2 náleží do Im p a použijte větu 2.29.

Řešení:

(p,B) = 111

3 4 2 24 9 −1 −12 −1 5 52 −1 5 5

.]

55

Poznámky:

56

2.4 Vlastní hodnoty a vlastní podprostory endomorfizmůvektorového prostoru

Student dovede vymezit pojem vlastní hodnoty a vlastních vektoru endo-morfizmu vektorového prostoru. Dále dovede pro konkrétní endomorfizmusnalézt vlastní hodnoty a vlastní podprostory. Zná vztah mezi násobnostívlastní hodnoty jako kořene charakteristického polynomu a dimenzí vlast-ního podprostoru. Dovede aplikovat kriteria pro to, aby endomorfizmus byldiagonalizovatelný. Umí definovat a nalézt vlastní hodnoty a vlastní pod-prostory čtvercové matice.

V řadě oblastí matematiky (např. geometrii, matematické analýze, statis-tice) i jejích aplikací je důležité znát pro daný endomorfizmus vektory, kteréurčují stejný směr jako jejich obrazy. Takovým vektorům budeme říkatvlastní vektory a v této kapitole se je naučíte hledat. Poznáte, že mno-žina vektorů zobrazující se na svůj daný násobek tvoří podprostor a žev některých případech je vektorový prostor na takové podprostory direktněrozložitelný.

Definice 2.10 Buď f endomorfizmus vektorového prostoru V. Platí-li proskalár λ ∈ T a nenulový vektor x ∈ V

f(x) = λx,

řekneme, že λ je vlastní hodnota endomorfizmu f a x vlastní vektor endomor-fizmu f příslušný vlastní hodnotě λ.Množina všech vlastních hodnot endomorfizmu f se nazývá spektrum en-

domorfizmu f a značí se Specf .

Pozn.: Je-li T číselným tělesem, užívá se vedle pojmu vlastní hodnota též pojemvlastní číslo.

Označení 2.4 Buď f endomorfizmus na vektorovém prostoru V, λ některá jehovlastní hodnota. Pak symbolem Nλ budeme rozumět následující množinu

Nλ = {x ∈ V; f(x) = λx} (2.2)

57

Věta 2.31 Buď f endomorfizmus na vektorovém prostoru V, λ některá jehovlastní hodnota. Pak platí:

1. Nλ ⊆⊆ V, Nλ = Ker(f − λ id)

2. je-li B některá báze V, pak x ∈ V je vlastním vektorem endomorfizmuf příslušným λ, právě když jeho souřadnice v bázi B jsou netriviálnímřešením soustavy lineárních homogenních rovnic o matici (f,B)T −λE.

Definice 2.11 Buď f endomorfizmus na vektorovém prostoru V, λ některájeho vlastní hodnota. Pak množina Nλ definovaná vztahem (2.2) se nazývávlastní podprostor endomorfizmu f příslušný vlastní hodnotě λ.

Důsledek 2.11 Buď f endomorfizmus na vektorovém prostoru V, λ některájeho vlastní hodnota, B libovolná báze.Označíme-li (f,B) = (aij)n×n, pak vektor x, {x}B = (x1, . . . , xn), náleží vlast-nímu podprostoru Nλ, právě když

(a11 − λ)x1 + a21x2 + · · ·+ an1xn = 0a12x1 + (a22 − λ)x2 + · · ·+ an2xn = 0

...a1nx1 + a2nx2 + · · ·+ (ann − λ)xn = 0

(2.3)

Předešlá věta dává návod, jak pro dané λ najít vlastní vektory endomorfi-zmu f . Zbývá ještě nalézt vlastní hodnoty daného endomorfizmu. Uvážíme-li, že vlastní vektory jsou nenulové, hledáme netriviální řešení soustavyrovnic (2.3). Z prvního semestru víte, že jeho existence je ekvivalentní sin-gularitě matice soustavy. Odtud vyplývá věta 2.32, která je návodem pronalezení vlastních hodnot λ.

Definice 2.12 Buď f endomorfizmus na vektorovém prostoru V, B libovolnábáze tohoto prostoru. Pak charakteristickým polynomem endomorfizmu f ro-zumíme polynom chf (x) ∈ T [x] definovaný vztahem

chf (x) = det( (f,B)− xE ). (2.4)

58

Přesvědčte se, že charakteristický polynom daného endomorfizmu nezávisína volbě báze B – tedy, že definice 2.12 je v tomto smyslu korektní.[Návod: užijte větu 2.9.]

Věta 2.32 Buď f endomorfizmus na vektorovém prostoru V. Pak spektrumendomorfizmu f je rovno množině kořenů jeho charakteristického polynomu.

Připomenete-li si ještě větu 2.24, pak platí:

Důsledek 2.12 Buď f endomorfizmus na vektorovém prostoru V. Pak spek-trum endomorfizmu f množina právě těch λ ∈ T, pro něž endomorfizmusf−λid není automorfizmem prostoru V.

Příklad 2.6 Nechť v jisté bázi B prostoru V nad R je dán endomorfizmus fmaticí A a endomorfizmus g maticí B.

A =

3 0 21 1 1

−1 0 0

, B =

1 −3 44 −7 86 −7 7

.

Najděte vlastní hodnoty a vlastní podprostory obou endomorfizmů.

[Návod: Nejdříve spočítejte charakteristický polynom daného endomorfizmu dle(2.4). Pro endomorfizmus f obdržíme chf (x) = −(x−1)2(x−2), tj. Specf = {1, 2}.Pak pro každou vlastní hodnotu sestavte soustavu lineárních rovnic (2.3) a vyřešteji. Tím pro každou vlastní hodnotu získáte vlastní podprostor.

Řešení: Pro endomorfizmus f obdržíme: Spec f = {1, 2},N1 = [(1, 0, 2), (0, 1, 1)],N2 = [(1, 0, 1)]. Pro endomorfizmus g pak Spec g = {−1, 3}, N−1 = [(−2, 1, 0)],N3 = [(1,−1, 1)].]

Věta 2.33 Buďte λ1, . . . , λr navzájem různé vlastní hodnoty endomorfizmu fna některém vektorovém prostoru V. Označíme-liN1, . . . ,Nr příslušné vlastnípodprostory, platí:

N1 + · · ·+Nr =N1 ⊕ · · · ⊕Nr.

Důsledek 2.13

1. Každý vlastní vektor přísluší jediné vlastní hodnotě daného endomorfi-zmu.

2. Vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám téhož endomorfi-zmu jsou lineárně nezávislé.

59

Věta 2.34 Buď f endomorfizmus na vektorovém prostoru V, λ některá jehovlastní hodnota a nλ její násobnost jakožto kořene charakteristického poly-nomu chf (x). Pak pro dimenzi vlastního podprostoru Nλ platí:

dimNλ ≤ nλ.

Povšimněte si, že dimenze vlastního podprostoru se opravdu nemusí rovnatnásobnosti – viz endomorfizmus g v příkladu 2.6.

Definice 2.13 Endomorfizmus f na vektorovém prostoru V se nazývá dia-gonalizovatelný, jestliže existuje báze B prostoru V tak, že matice (f,B) jediagonální.

Naskýtá se otázka, které endomorfizmy jsou diagonalizovatelné. Následujícítrojice vět přináší některá kriteria. Z druhé z nich a příkladu 2.6 vyplývá,že existují endomorfizmy, které nejsou diagonalizovatelné : (endomorfimus fje diagonalizovatelný, zatímco endomorfizmus g nikoli).

Obecně tedy neplatí, že by ke každému endomorfizmu existovala báze tak,že by matice endomorfizmu nad touto bází byla diagonální.

Věta 2.35 Endomorfizmus f na vektorovém prostoru V je diagonalizovatelný,právě když existuje báze B prostoru V tvořená vlastními vektory endomorfi-zmu f .Diagonála matice (f,B) je v tom případě tvořena vlastními hodnotami endo-morfizmu f ; každé z nich stojí na diagonále právě tolikrát, kolikanásobným jekořenem charakteristického polynomu chf (x).

Věta 2.36 Endomorfizmus f na vektorovém prostoru V je diagonalizovatelný,právě když je vektorový prostor V roven součtu právě všech vlastních podpro-storů endomorfizmu f .

Věta 2.37 Je-li endomorfizmus f diagonalizovatelný, pak pro každý jehovlastní podprostor Nλ platí, že dimenze Nλ je rovna násobnosti λ jakožtokořene charakteristického polynomu.Pro endomorfizmy na vektorových prostorech nad C platí i věta obrácená.

60

Poznámka 2.6 Analogicky12 můžete dospět k pojmům vlastní vektor, vlastníhodnota a vlastní podprostor matice A zMn×n(T ):

• Platí-li pro skalár λ ∈ T a nenulový vektor x ∈ V

x.A = λx,

řekneme, že λ je vlastní hodnota matice A a x vlastní vektor matice Apříslušný vlastní hodnotě λ.

• Podprostor Nλ ⊆⊆ T n,

Nλ = {x ∈ T n;x.A = λx},

nazývá se vlastní podprostor matice A příslušný vlastní hodnotě λ.

12stačí uvažovat aritmetický vektorový prostor V = Tn a na něm pro zvolenou maticiA de-finovat endomorfizmus f předpisem f(x) = x.A, což nám umožní přenést vlastnosti vlastníchvektorů/hodnot/podprostorů endomorfizmu na tyto pojmy pro matice.

61

Poznámky:

62

2.5 Homomorfizmy euklidovských vektorových prostorů

Student dovede vymezit pojem ortogonální projekce a ortogonální homo-morfizmus. Dovede rozhodnout o ortogonalitě dané projekce a daného ho-momorfizmus. Student dovede aplikovat vlastnosti ortogonální projekce,resp. homomorfizmu, při konstrukci těchto zobrazení. Zná vztah mezi grupouautomorfizmů a příslušnou multiplikativní grupou matic. Zná nutné a po-stačující podmínky pro to, aby dané zobrazení bylo ortogonálním homo-morfizmem. Umí rozeznat ortogonálně izomorfní euklidovské vektorové pro-story.

V kapitole 1.2 jste poznali, že euklidovský vektorový prostor je roven pří-mému součtu svého libovolného podprostoru a jeho ortogonálního doplňku.Využijete-li poznatků kapitoly 2.3, můžete zkoumat projekce, jejichž já-dro a obraz jsou navzájem ortogonálními doplňky. Tyto projekce nazvemeortogonální projekce a mají řadu aplikací v geometrii i dalších oblastechmatematiky.

V kapitole 2.1 jste se seznámili s izomorfizmem vektorových prostorů aviděli jste, že v tomto případě je druhý z dvojice izomorfních vektorovýchprostorů jen „kopiíÿ prvního, neboť izomorfizmus. V případě euklidovskýchvektorových prostorů zavedeme pojem ortogonálního izomorfizmu, kterýkrom sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem zachovává též skalárnísoučin. Uvidíte, že v případě, kdy budou dva euklidovské vektorové prostoryortogonálně izomorfní, bude opět druhý z nich „kopiíÿ prvního.

2.5.1 Ortogonální projekce

Připomeňte si definici 2.9 a větu 1.16. Pak je zřejmé, že platí:

Věta 2.38 BuďW podprostor euklidovského vektorového prostoru V. Pak pro-jekce pW

⊥

W přiřazuje každému vektoru x z V jeho kolmý průmět do podprostoruW.

Definice 2.14 Buď W podprostor euklidovského vektorového prostoru V.Pak projekci pW

⊥

W nazýváme ortogonální projekce prostoru V na podprostorW a značíme ji pW .

Zobrazení přiřazující každému vektoru z V jeho kolmý průmět do danéhopodprostoruW – ortogonální projekce – je tedy zvláštním případem projekce (atedy endomorfizmem) – jedná se o projekci V naW rovnoběžněW⊥.

63

Věta 2.39 Buď p libovolná projekce euklidovského vektorového prostoru V naněkterý jeho podprostor. Pak p je ortogonální projekcí, právě když

∀x,y ∈ V : p(x) · y = x · p(y).

Lemma 2.1 Buď p endomorfizmus euklidovského vektorového prostoru V, Blibovolná ortonormální báze. Pak platí:

[∀x,y ∈ V : p(x) · y = x · p(y)]⇔ [(p,B)T = (p,B)].

Věta 2.40 Buď p libovolná projekce euklidovského vektorového prostoru V naněkterý jeho podprostor. Pak p je ortogonální projekcí, právě když v některé(a pak tedy ve všech) ortonormální bázi B prostoru V platí:

(p,B)T = (p,B).

Příklad 2.7 Nalezněte ortogonální projekci p prostoru V na podprostor W =[v1,v2], je-li ve zvolené ortonormální bázi B prostoru V dáno:

{v1} = (1, 2, 0, 0), {v2} = (1, 1, 1, 1).

[Návod: uvažte, co je jádrem a obrazem hledáné projekce a kam se zobrazí vektorynáležící jejímu jádru a obrazu. Příklad jde řešit také jinak, např. užitím důsledku2.10 a věty 2.40 – proveďte!.Řešení:

(p,B) = 111

3 4 2 24 9 −1 −12 −1 5 52 −1 5 5

.]

64

2.5.2 Ortogonální homomorfizmy

Definice 2.15 Buďte (V, ·) a (W,⊙) euklidovské vektorové prostory. Homo-morfizmus f : V → W se nazývá ortogonální, jestliže platí:

∀x,y ∈ V : x · y = f(x)⊙ f(y).

Poznámka 2.7 Nebude-li hrozit nebezpečí nedorozumění, budeme skalární sou-čin v různých euklidovských vektorových prostorech značit týmž symbolem „·ÿ,nebo jeho označení budeme vypouštět zcela.

Uvažte definici 1.2 normy vektoru, 1.3 úhlu mezi vektory a 1.4 vzdálenostivektorů. Pak z definice 2.15 snadno odvodíte následující důsledek. Pozdějiuvidíte, že tvrzení (1) a (3) je nejen nutnou, ale i postačující podmínkouortogonality homomorfizmu.Bude tomu tak i u tvrzení (2)? [Ne; zdůvodněte!]Z tvrzení 2.14 (3) pak plyne věta 2.41.

Důsledek 2.14 Buď f : V → W ortogonální homomorfizmus. Pak pro každéx,y z V platí:

1. ‖f(x)‖ = ‖x‖,2. ∡(f(x), f(y)) = ∡(x,y),

3. ρ(f(x), f(y)) = ρ(x,y).

Věta 2.41 Každý ortogonální homomorfizmus je monomorfizmem.

Odtud a z věty 2.3 plyne:

Věta 2.42 Je-li dimV = dimW, pak každý ortogonální homomorfizmus V →→ W je izomorfizmem V na W.Speciálně: každý ortogonální endomorfizmus vektorového prostoru je auto-

morfizmem tohoto prostoru.

Poznámka 2.8 Příkladem ortogonálního izomorfizmu je např. kartézská sou-stava souřadnic euklidovského vektorového prostoru (jde o ortogonální izomorfi-zmus Vn na Rn se standardním skalárním součinem).Snadno rovněž zjistíte, že každý ortogonální izomorfizmus Vn na Rn se stan-

dardním skalárním součinem je kartézskou soustavou souřadnic.

65

Připomeňme důsledek 2.2 (4). Dále si uvědomte, že ortogonální homomor-fizmus díky důsledku 2.14 zobrazí ortonormální množinu vektorů opět naortonormální množinu. Konečně, zobrazuje-li některý homomorfizmus or-tonormální bázi opět na ortonormální bázi, pak se s ohledem na větu 1.8přímým výpočtem snadno přesvědčíte, že následující věta je opravdu ekvi-valencí.

Věta 2.43 Buď f homomorfizmus V do W, B libovolná ortonormální bázeprostoru V. Pak je f ortogonálním izomorfizmem V na W, právě tehdy kdyžf(B) je ortonormální bází prostoru W.

Důsledek 2.15 Buďte U, V, W euklidovské vektorové prostory. Pak platí:

1. je-li f ortogonální izomorfizmus U na V, pak f−1 je ortogonálním izo-morfizmus V na U,

2. je-li f ortogonální homorfizmus U do V a g ortogonální homomorfizmusV do W, pak f ◦ g je ortogonální homomorfizmus U do W.

Je přirozenou otázkou, jak snadno zjistit, zda daný homomorfizmu je činení ortogonální. Uvážíte-li opět větu 2.43, definici matice homomorfizmu2.5, definici součinu matic a ovšem i kartézskou formuli pro skalární součin,snadno se přesvědčíte o platnosti následujícího kriteria.

Věta 2.44 Buď f homomorfizmus V doW, B, C libovolné ortonormální bázepo řadě prostorů V,W. Pak je f ortogonálním homomorfizmem V doW, právětehdy když

(f,B, C)(f,B, C)T = E.

Pamatujte si, že předpoklad ortonormality u žádné z bází nelze vynechat!

Z věty 2.44 a důsledku 2.15 plyne:

66

Důsledek 2.16

1. Množina ortogonálních automorfizmů euklidovského vektorového prostoruV spolu se skládáním homomorfizmů tvoří grupu, která je podgrupouv grupě automorfizmů vektorového prostoru V.

2. Grupa ortogonálních automorfizmů13je izomorfní s multiplikativní grupouortogonálních matic řádu n.

Je-li B ortonormální báze prostoru Vn, pak zobrazení HB přiřazujícíkaždému endomorfizmu jeho matici v bázi B je izomorfizmem uvedenýchgrup.

Následující čtyři věty Vám přinesou další nutné a postačující podmínky proto, aby homomorfizmus, resp. zobrazení, byl ortogonálním homo-, popř. izo-morfizmem. Srovnejte jejich obsah s definičními podmínkami ortogonalityhomomorfizmu (definice 2.15) a s důsledkem 2.14.

Užitím identity (x + y)(x + y) = xx + 2xy + yy ověřte platnost prvníz dále uvedených vět!

[Návod: odv