Lek02 - Statisticka Obrada i Nesigurnost Mjerenja

8/18/2019 Lek02 - Statisticka Obrada i Nesigurnost Mjerenja

1/29

2. Statistička obrada i greška mjerenja 1

2 STATISTIČKA OBRADA I NESIGURNOSTMJERENJA

Bez obzira na izvedbu mjernog sustava uvijek postoji razlika izmeĎu stvarne i izmjerene vrijednostimjerne veličine. Ta razlika se naziva greška mjerenja. Mjerenje je praktički beskorisno ako se ne može

procijeniti mogući interval greške mjerenja. Ta procjena se naziva mjerna nesigurnost (eng. uncertainty).

U ovom se poglavlju analizira kako definirati mjernu grešku i nesigurnost, i to s teorijskog aspekta i praktično tijekom samih mjerenja. Analiziraju se i mogući izvori sistematskih i slučajnih izvora greški ismetnji. Temeljni matematički pristup je pomoću teorije vjerojatnosti i statističke analize mjernog

procesa.

2.1. Stvarna vrijednost, greška i nesigurnost Definicije i terminologija u ovom poglavlju temelji se na publikaciji Guide to the Expression of

Uncertainty in Measurement (GUM) , International Organization for Standardization [1]. Analizirat će semjerenja u kojima se rezultat može izraziti realnim brojem. Mjerenja u kojem je rezultat detekcija nekeveličine, s logičkim ishodom true ili false, nije predmet analize.

Označimo stvarnu vrijednost mjerne veličine s z; to je ona vrijednost koju bi izmjerili idealnim mjernimsustavom. Vrijednost koja se dobije stvarnim mjerenjem, nazovimo je rezultat mjerenja, označimo s x.

Mjerna greška, e, je razlika stvarne vrijednosti i rezultata mjerenja:

e = z - x (2.1)

Poznato je iz psiholoških istraživanja Weber-Fechnera da čovjek percipira promjenu neke veličine kaorelativan omjer apsolutne vrijednost promjene i same veličine. Zbog toga se greška često izražava kaorelativna greška erel;

erel = |e| / z . (2.2)

Greška je nepoznata veličina jer je i stvarna vrijednost veličine z nepoznata. Paradoks je da mi vršimomjerenja jer nas zanima objektivna „stvarna vrijednost“, a nju ne možemo točno izmjeriti. Ono što semože procijeniti mjerenjem je interval vrijednosti unutar kojih se nalazi stvarna vrijednost mjereneveličine. Taj interval smo nazvali nesigurnost mjerenja. Za odreĎivanje nesigurnosti mjerena potr ebno jekoristiti znanja iz teorije vjerojatnosti i statistike.

2.2. Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti Najprije će se odrediti pojam slučajne varijable, funkcije razdiobe i funkcije gustoće vjerojatnosti, azatim kako se statističkim zaključivanjem ili teorijski odreĎuje nesigurnost mjerenja.

Kad bacamo kocku jedino pouzdano znamo da će rezultat biti jedan od šest brojeva. Koji će to biti broj

stvar je slučajnosti, stoga svako bacanje kocke predstavlja jedan elementarni stohastički događaj (ili pokus), označimo ga s i, i=1,2,..6. Pošto je vjerojatnost pojave svakog od šest brojeva jednaka, uzima seda ta vjerojatnost iznosi 1/6, prema logici da je vjerojatnost pojave bilo kojeg broja jednaka je 1. Ako pri

bacanju kocke promatramo da li će rezultat biti parni ili neparni broj, tada promatramo dogaĎaj koji jefunkcija elementarnog dogaĎaja i; označimo ga x( i). Funkcija x( i) može imati samo dvije vrijednostikoje označavaju parni, odnosno neparni broj. Označimo te dvije vrijednosti s 0 i 1. Sada činjenicu, da jevjerojatnost pojave parnog broja jednaka 1/2 možemo zapisati s Pr( x( i) = 1) = 1/2. U teoriji vjerojatnosti


2/29


funkcija x(i), koja preslikava slučajni dogaĎaj u realnu vrijednost, naziva se slučajna varijabla, ausvojeno je da se skraćeno označava s podvučenim ili velikom slovom, tj, x ili X.

Nakon svakog mjerenja slučajne varijable poprimaju novu vrijednost, zbog toga mjerni rezultat x i greškumjerenja e označavamo kao slučajne varijable: X i E .

Analizirat ćemo rezultate mjerenja kontinuir ane sluča jne varijable X , koje može poprimiti bilo koju realnuvrijednost. U tom slučaju nema smisla definirati kolika je vjerojatnost da se pojavi neka vrijednost x, jervjerojatnost da se pojavi jedan od beskonačno mnogo brojeva jednaka je nuli. MeĎutim, moguće jeodrediti vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost man ju ili jednaku vrijednosti x, tj. Pr( X


3/29


Slika 2.1 Primjeri razdiobe i gustoće vjerojatnosti (a) pri bacanju kocke i (b) greške pri pretvaranjurealnog broja u cijeli broj

2.2.1. Funkcije gustoće vjerojatnosti

Na slici 2.2 prikazano je nekoliko funkcija gustoće vjerojatnosti.

Normalna ili Gausova gustoća vjerojatnosti određena je paramertima i ;

2

2

2

)(exp(

2

1)(

x x f X (2.6)

Uniformna gustoća vjerojatnosti odreĎena je parametrima A i B;

else

B x Aif A B x f X

0

1

)( (2.7)

Pois sonova gustoća vjerojatnosti odreĎena je parametrima n i :

0

)(!

)exp()(

n

n

X n xn

x f

(2.8)

Binomna gustoća vjerojatnosti odreĎena je parametrima N i P :

0

)()1()!(!

!)(

n

n N n X n x P P

n N n

N x f (2.9)

Slučajni dogaĎaji u prirodi najčešće podliježu normalnoj razdiobi. Razlog je činjenica da seakumuliranjem slučajnih dogaĎaja uvijek ostvaruje normalna razdioba. To će kasnije biti iskazano kaocentralni granični teorem – najvažniji teorem teorije vjerojatnosti. Dobra strana normalne razdiobe je dase njome lako vrše mnoge matematičke analize, koje s drugim razdiobama nisu moguće. Značajna je i u


4/29


teoriji sustava jer se propagiranjem signala kroz sustave ne mijenjaju njegova statistička svojstva ukolikoamplitude signala podliježu normalno j razdiobi.

Uniformna razdioba se često javlja u digitalnoj obradi signala. Prije je pokazan primjer uniformnerazdiobe kod pretvaranja realnog broja u cijeli broj. Mnogi generatori šuma koji se digitalno generiraju pomoću „linearnih kongruencijskih sekvenci“ imaju uniformnu razdiobu amplituda.

Poissona i binomna razdioba su diskretne razdiobe. Poissonova razdioba se često koristi za modeliranje procesa koji broje dogaĎaje unutar nekog vremena. Primjer je foto-detektor, koji daje napon proporcionalan broju fotona koji presijecaju površinu detektora u jedinici vremena. Parametar predstavlja srednju vrijednost izbroja.

Binomna razdioba se pojavljuje kod pokusa gdje re registrira N neovisnih dogaĎaja koji imaju logičkirezultat. Tada postoji vjerojatnost P da je rezultat "true", i (1-P) da je rezultat "false". Kod binomnerazdiobe registrira se broj koliko je puta slučajni rezultat ishoda "true".

Pošto Poissonova i binomna razdioba imaju ishodište u izbroju dogaĎaja koji mogu biti potaknuti od višeneovisnih slučajnih dogaĎaja, za očekivati je da anvelopa ovi diskretnih razdioba aproksimirakontinuiranu normalnu razdiobu. To je točno. Poissonova razdioba se može aproksimirati normalnomrazdiobom kada je = i =, ako je dovoljno velik. Binomna razdioba se aproksimira normalnom

razdiobom sa = NP i = [ NP (1 - P )], ako je N dovoljno velik.

Slika 2.2 Funkcije gustoće vjerojatnosti


5/29


2.2.2. Očekivanje, varijanca i standardna devijacija

Slučajna varijabla je kompletno definirana ako je definirana gustoća vjerojatnosti f X ( x) za sve njenemoguće vrijednosti. Ponekad je ovaj zahtjev vrlo strog, i tada se obično zadovoljavamo poznavanjemtemeljnih statističkih parametara: matematičkog očekivanja slučajne varijable x (tj. srednja vrijednost) i

standardne devijacije x.

Ove veličine slijede iz definicije matematičkog očekivanja E { g (x)}:

dx x f x g x g E X )()()( (2.9)

Očekivanje varijable x = E { x} je srednja vrijednost oko koje očekujemo da je pozicionirana gustoćarazdiobe. Ima isti značaj kao i aritmetička sredina u statistici.

dx x xf X E X x )( (2.10)

Varijanca, pokazuje srednje kvadratno odstupanje od srednja vrijednosti varijable. Definirana je s:

22222 }{)()(}){( x X x x x X E dx x f x x E X Var

(2.11)

Standardna devijacija a pokazuje „efektivnu vrijednost“ odstupanja od očekivane vrijednosti:

X Var x (2.12)

Vrijednosti očekivanja i standardne devijacije za prethodno opisane gustoće vjerojatnosti prikazuje tablica2.1.

Tablica 2.1

Razdioba

Vjerojatnosti

Očekivanje Standardna

devijacija Normalna Uniformna ( A+ B)/2 ( B- A)/12Binomna NP NP (1- P )Poissonova

Ako mjerimo neku veličinu koja ima karakter slučajne varijable X , možemo očekivati da će biti izmjerenrezultat blizak očekivanju x plus ili minus vrijednost koja je proporcionalna standardnoj devijaciji.Iskazano formulom vjerojatnosti može se utvrditi i vjerojatnost, nazovimo je razina povjerenja (eng.confidence level ), da će odstupanje od očekivane (srednje) vrijednost biti manje od k ;

)Pr( x x x x k X k (2.13)

Parametar k, nazvan faktor pokrivanja (eng. coverage factor ), i razina povjerenja za normalnu razdiobuiznose:

0.68 0.9 0.95 0.955 0.99 0.9972 0.999

k 1 1.645 1.960 2 2.576 3 3.291


6/29


Primjerice, ako želimo utvrditi koliko je odstupanje od srednje vrijednosti u 95.5% slučajeva, tablica pokazuje da iznosi 2 jer je k =2. Na ovaj način odreĎena je proširena nesigurnost mjerenja. Primijetimoda će r ezultat će biti unutar u 68% slučajeva što predstavlja standardnu nesigurnost mjerenja.

2.2.3 Funkcije i parametri vjerojatnosti za dvije slučajne varijable

Često će se analizirati dvije slučajne varijable, X i Y , s pripadnim gustoćama vjerojatnosti f X ( x) i f Y ( y). Z anima nas kolika je vjerojatnost da je istovremeno X x i Y y. U tu svrhu definira se zajedničk a funkcija razdiobe (eng. joint distribution function):

F X,Y ( x,y) = (def ) Pr( X x i Y y). (2.14)

Definiraju se i marginalne funkcije razdiobe (eng. marginal distribution functions) F X ( x) i F Y (y) kaofunkcije koje se dobiju iz razdiobe F XY ( x,y):

F X ( x) = (def ) Pr( X x) = Pr( X x i Y ) = F X,Y ( x, )

F Y ( y) = (def ) Pr(Y


7/29


Kažemo da kovarijanca predstavlja očekivanje produkta dviju „centriranih“ varijabli, jer daje očekivanje pomaka vrijednosti slučajne varijable od srednje vrijednosti.

Ako su dvije slučajne varijable neovisne, tada su i korelacija i kovarijanca jednake nuli.

Često je poželjno izraziti stupanj kojim su dvije varijable korelirane, bez obzira na njihovu veličinu. U tusvrhu definira se parametar koji se naziva koeficijent korelacije (ili normalizirana kovarijanca);

x y

Y X

Y

y

Y

x

Y X

dydx y x f y xY X Cov

),(),(

,

(2.22)

R ješavanjem ovog integrala, dobije se:

y X

y x XY E

(2.23)

Korelacijski koeficijent || ima vrijednosti od 0 do 1. Ako su dvije slučajne varijable neovisne, tada je = 0, a ako su potpuno ovisne tada je = 1.

Zajednička funkcija gustoće za normalnu razdiobu glasi:

2

2

2

2

22

)())((2)(

)1(2

1exp

12

1),(

Y

y

Y X

y x

X

x

Y X

y y x x y x f

(2.24)

Ako je korelacija jednaka nuli, tada je f ( x, y) = f ( x) f ( y).

2.2.5 Očekivanje i varijanca zbroja slučajnih varijabli

Zbroj slučajnih varijabli takoĎer predstavlja slučajnu varijablu. Definirajmo tu rezultantnu slučajnuvarijablu Z kao linearnu kombinaciju slučajnih varijabli X i B:

Z = X + B (2.25)

Očekivanje srednje vrijednosti Z jednako je: y x z Y E X E Z E (2.26)

U elektroničkim sklopovima srednja vrijednost neke fluktuacije je istosmjerna vrijednost, pa ovajzaključak odgovara činjenici da se istosmjer ne veličine zbrajaju linearno.

Očekivanje kvadrata slučajne varijable iznosi:

XY E Y E X E

dxdy y x f xydy y f ydx x f x

dydx y x f xy y xdxdy y x f y x Z E

x y

XY

y

Y

x

X

x y

XY

x y

XZY

(2

),(2)()(

),()2(),()(

2222

22

222222

Za varijancu vrijedi sličan zaključak , jer ona predstavlja očekivanje kvadrata „centrirane“ varijable:


8/29


))((2)()(

),()()((

),()()()(

22

2

22

y x

x y

XY ya

x y

XY y x z

Y X E Z Var X Var

dydx y x f y x

dxdy y x f y x z E Z Var

(2.28)

Ako su slučajne varijable neovisne, tada su korelacija E{ XY } i kovarijanca E{( X- x ) (Y- y)} jednaki nuli, pa se tada aditivni članovi zbrajaju s kvadratnom potencijom. U elektronici kvadrat varijable, koja predstavlja napon ili struju, je proporcionalan električnoj snazi Ovaj zaključak je vrlo važan za analizušuma u elektroničkim sklopovima, jer tu obično ne raspolažemo s podatkom o naponu ili struji šuma, većraspolažemo s podatkom o snazi šuma koju generira pojedina komponenta. Vidimo da se u aditivnimsklopovima zbrajaju snage neovisnih izvora šuma. Ovo razmatranje se može poopćiti za slučaj aditivnogutjecaja N neovisnih slučajnih varijabli.

2.3 Statističko zaključivanje Postavljaju se pitanja:

1.

Kako odrediti očekivanje i standardnu devijaciju iz rezultata mjerenja?

2. Kako odrediti očekivanje i standardnu devijaciju dok razvijamo mjerni ureĎaj, u kojem višeelemenata generira slučajne dogaĎaje, primjerice otpornik i operacijsko po jačalo su generatorišuma?

3. Može li se u mjerenju uvesti postupke koji će smanjiti standardnu devijaciju, a time i nesigurnostmjerenja?

Na ova pitanja će biti odgovoreno u narednim stavcima.

Za odreĎivanje gustoće vjerojatnosti mjerne greške koriste se dvi je metode. Prva je teorijska metoda ukojoj se najprije analizira gustoća vjerojatnosti za sve moguće izvore greški, odreĎuje se kako se greške propagiraju u mjernom lancu i kakovi utjecaj imaju na konačnu grešku. Tipični izvori slučajnih greški sutermički šum otpornika, šum tranzistora, šum kvantizacije, šum izvora napajanja i dr. U sekcijama 2.4.2 i2.4.3 opisano je kako se obraĎuje propagacija ovih greški u konačnu grešku.

U ovoj sekciji se obraĎuje druga metoda, u kojoj se korist statističko zaključivanje s rezultatima mjerenja.Ova metoda je moguća samo ako se neko mjerenje može ponovljeno izvršiti u nepromijenjenimokolnostima, primjerice;

u istoj okolini,

uz istu temperaturu,

koristeći istu mjernu metodu i

koristeći isti instrumentarij.

U statistici pod skupom podataka razumijevamo vrijednosti dobivene mjerenjem (ili opažanjem) nekog statističkog obilježja (ili varijable) promatrane skupine objekata ili osoba. Varijabla može biti jednodimenzionalna ili višedimenzionalna. Grupa objekata ili osoba koju promatramo zove se populacija.Često nije moguće izmjeriti (opaziti) sve vrijednosti izučavanoga statističkog obilježja. U tom slučajuodabiremo (reprezentativni) uzorak iz populacije i iz njega odreĎujemo statistička obilježja.


9/29


Najjednostavnije statističko zaključivanje provodi se procjenom srednje vrijednosti i standardnedevijacije, a ponekad se prikazuje histogram, koji predstavlja aproksimaciju funkcije gustoćevjerojatnosti.

2.3.1. Eksperimentalna procjena funkcije gustoće vjerojatnosti: histogram

Procijeniti ćemo oblik gustoću vjerojatnosti realne slučajne varijable X koja predstavlja ili rezultatmjerenja ili mjernu grešku, na temelju izmjerenih N uzoraka xn koji predstavljaju moguću vrijednostslučajne varijable X . Nadalje, pretpostavit ćemo da su svi uzorci xn meĎusobno statistički neovisni,vrijednost im je izmeĎu xmin i xmax tj. minimalnog i maksimalnog uzorka u nizu uzoraka xn.

Histogram se izraĎuje na sljedeći način. Prvo se interval [ xmin, xmax] podijeli u K podintervala jednakeširine [ xk , xk + x] gdje je x = ( xmax - xmin ) / K. Svaki podinterval se naziva bin. Zatim se analizira niz xn iza svak bin odredi se broj uzoraka koji po amplitudi pripada tom bin-u. Te vrijednosti se bilježe u nizuhk .

Vjerojatnost da mjereni uzorak pripada k-tom binu iznosi:

x x

x

X k

k

k

dx x f P )( (2.29)

Pošto imamo izbroj N uzoraka, niz hk ima binomnu razdiobu s parametrima ( N , P k ). Prema tablici 2.1očekivanje od hk je E {hk } = NP k i njegova varijanca je NP k (1 - P k ).

Definirajmo sada niz H k koji sadrži normalizirani histogram

x N

h H k k

(2.30)

Time se uvjetuje da ukupna površina histograma je jednaka 1.

Očekivanje od H k iznosi:

x x

x

k X k X k X

X k k

k

k

k

x x f x

x F x x F dx x f x x

P x N

h E H E )2/()()()(1 (2.31)

Zaključujemo da H k predstavlja aproksimaciju funkcije gustoće vjerojatnosti f X ( xk + x /2).

Pogledajmo praktični primjer histograma na slici 2.3. Slika (a) prikazuje niz od 100 slučajnih uzoraka iznormalne razdiobe (u realnosti mi ne znamo kojoj razdiobi podaci pripadaju). Za taj niz napravljena sudva histograma, jedan s K =25 binova i drugi s K =4 bina, prikazana na slikama (b). Na istim slikama je prikazana je normalna gustoće vjerojatnosti pomoću koje su generirani podaci.

Malo širom eksperimentalnom analizom pokazuje se da je za izradu histograma najbolje odabrati K prema pravilu K = N .


10/29


Slika 2.3 Estimacija funkcije gustoće vjerojatnosti pomoću histograma: (a) prikaz mjerenih uzoraka (N =100); (b) histogram sa K = 25 (lijevo) i K = 4 (desno) i sa stvarnom funkcijom gustoće vjerojatnosti;

2.3.2. Procjena uzoračke srednje vrijednosti i standardne devijacije

Procjena srednje vrijednosti i zakon velikih brojeva

Pri mjerenjima često se provodi više mjerenja iste veličine, xn, n=1,2,.. N i zatim se vrši usrednjavanje(eng. averaging) prema formuli za aritmetičku sredinu:

N

n

n x N

x1

1 (2.32)

Crtica poviše parametra označava aritmetičku sredinu niza xn.

Pokazat ćemo da se usrednjavanjem dobije znatno točniji rezultat. Koristit ćemo statističko zaključivanje jer se ono, kao i mjerenje, provodi s ograničenim brojem podataka na tzv. statističkom uzorku. Budući jestatistika funkcija slučajnih varijabli, definiramo statistički slučajni uzorak od N slučajnih varijabli ( X 1,

X 2,... X N ), čija populacijska razdioba ima matematičko očekivanja i varijancu 2. UreĎenu n-torku

brojeva ( x1, x2 , …, x N ) koja predstavlja realizaciju slučajnog uzorka zovemo opaženi uzorak .

Uzoračka srednja vrijednost (ili sredina) je slučajna varijabla jer je funkcija slučajnih varijabli:

N

n

n X N

X 1

1 (2.33)

Očekivanje uzoračke sredine iznosi:

N

N X E

N X E

N

n

i 111

(2.34)

Vidimo da je procijenjena vrijednost jednaka stvarnoj srednjoj vrijednosti populacije. Kažemo da ova procjena predstavlja nepristranu ili centriranu procjenu. U suprotnom slučaju imali bi pristranu ilinecetriranu procjenu.

Varijanca uzoračke sredine se procjenjuje koristeći izraz za varijancu sume neovisnih varijabli (2.22) :


11/29


N

N N

X Var N

X Var N

X Var n

n

i

n

n

i

22

21

21

2

111

(2.35)

Ovaj izraz podrazumijeva da su elementi uzorka statistički neovisni, tj. Cov( X i, X j) = 0.

Standard na devijacija uzoračke sredine, često nazivana i standardna uzoračka greška, iznosi:

N

X Var X

)( (2.36)

Ovi izrazi vrijede kada je N veliki broj, i u literaturi se nazivaju "zakon veli kih brojeva ".

Najvažniji je zaključak da usrednjavanje smanjuje standardnu devijaciju, odnosno standardnu grešk u, i to proporcionalno s 1/ N. U graničnom slučaju, kada N , greška teži nuli. U tom slučaju kažemo daimamo konzistentnu procjenu srednje vrijednosti (eng. consistent estimator ). U realnim slučajevimagreška neće ipak biti nula jer uvijek postoji neka mala ovisnost izmeĎu mjernih vrijednosti, obično kao

posljedica nelinearnosti i stacionarnih smetnji u mjernom sustavu.

Procjena uzoračke varijance

Za procjenu varijance iz statističkog uzorka postoje dva slučaja. U prvom slučaju, kada je poznata srednjavrijednost x , varijanca se procjenjuje izrazom:

N

n

n x x N 1

22 1ˆ (2.37)

Znak “^“ označava da se radi o procjeni vrijednosti na statističkom uzorku.

Drugi je slučaj kada je srednja vrijednost ne poznata, pa simultano treba procijeniti i varijancu i srednjuvrijednost. Srednja vrijednost se kao i prije dobije usrednjavanjem, zatim se nepristrana procjena

varijance dobije pomoću tzv. uzoračke varijance (eng. sample variance) S 2:

N

nn x

x x N

S 1

22

1

1 (2.38)

Razlika ova dva izraza je za faktor N/(N - 1) kojim se ispravlja pristranost u procjeni uzoračke varijance.

Dokažimo da uzoračka varijanca predstavlja konzistentni estimator varijance. Koristit ćemo identitete:

2221

22 ,11

1Y E Y Var Y E X

N

N X

N S

N

n

n x

Računamo matematičko očekivanje od S 2:

22

22

22

2

1

2

2

1

22

)1(1

1

)(1

)(1

1

(1

)(1

1

11

1

x x

x x

x x

N

n

nn

N

n

n x

N N

N N

N N

N

X E X Var N

N X E X Var

N

X E N

N X E

N S E


12/29


Kao što je pokazano, ovi estimatori su konzistentni. Preostala greška procjene se iskazuje u varijanci procjene:

1

2,

2ˆ

42

42

N S Var

N Var x x

x x

(2.39)

Izrazi (2.39) zahtijevaju poznavanje x. Obično se ovaj problem rješava tako da se umjesto x supstituiraS x. Napomenimo da ova dva izraza vrijede samo ako xn podliježe normalnoj razdiobi.

U slučaju da uzorak čine parovi vrijednosti ( xn, yn), n=1,.. N definiramo uzoračku kovarijancu S x,y iuzorački koeficijent korelacije r x,y:

N

n

nn y x y y x x N

y xCovS 1

,1

1),(

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

y x

y x

y x

y y x x

y y x x

S S

S r

1

2

1

2

1,

,

)()(

))((

Primjer 2.3 Procjena srednje vrijednosti i varijance iz 100 uzoraka

Primjer tabelarno prikazuje jedan rezultat proračuna srednje vrijednosti i standardne devijacije za niz od100 uzoraka. Uzorci su dobiveni iz digitalnog slučajnog generatora koji teorijski ima srednju vrijednost = 0 varijancu 2 = 1. Primjena izraza (2.32) do (2.30) daje sljedeće rezultate:

- Stvarna

vrijednost

Procijenjena

vrijednost

Standardna

devijacija procjene

Srednja vrijednost 0 05.0 x 106.0

1S

N

Varijanca 12 064.12 S 15.0

1

2 4

N

S

Centralni granični teorem

Najvažnija zakonitost teorije vjerojatnosti, uz zakon velikih brojeva, je centralni granični teorem (eng.central limit theorem). Njime je dokazano da ako više slučajnih varijabli aditivno tvore jedan slučajnirezultat on će imati normalnu razdiobu, bez obzira na tip razdiobe pojedinih aditivnih varijabli. Združeno prethodnom razmatranju zakona velikih brojeva može se zaključiti da pri usrednjavanju n vrijednostislučajne varijable, koja ima standardnu devijaciju , rezultat ima normalnu razdiobu, sa standardnom

devijacijom

/ n.

2.4. Analize nesigurnosti mjerenja Nesigurnost mjerenja se najčešće izražava kao standardna devijacija mjerne greške i naziva se standardnanesigurnost (eng. standard uncertainty). Alternativno, proširena nesigurnost mjerenja (eng. expandeduncertainty) definira interval oko mjernog rezultata, u skladu s razinom povjerenja, prema izrazu (3.13).Ako je razdioba greške normalna, tada se uvijek može pretvoriti standardna nesigurnost u proširenunesigurnost koristeći faktor pokrivanja iz izraza (2.13).


13/29


Koriste se dvije metode odreĎivanja standardne nesigurnosti. Tip A koristi statističko zaključivanje iz ponovljenih mjerenja, a Tip B koristi apriori poznate funkcije razdiobe i znanje o sistematskim greškama.

2.4.1. Tip A - određivanja nesigurnosti

Procedura koja rezultira u Tip A nesigurnosti je opisana u prethodnim stavcima jer se ona temelji nastatističkom zaključivanja s ponovljenim mjerenjima. Mana ovog tipa odreĎivanja nesigurnosti je u tomešto ne uključuje mnoge sistemske greške, koje nisu slučajnog karaktera.

Primjer 2.4 Kalibriranje senzora razine tekućine

U mjerenju se usporeĎuje izlaz senzora razine s stabilnom referentnom razinom. Cilj je što točnije procijeniti razliku pokazivanja senzora od referentne razine. Obavljeno je 50 mjerenja xn , n = 1 . . . . . N( N = 50). Referentnu vrijednost označavamo s z , pa svako mjerenja daje grešku en = xn - z. Tipičan primjer greške je prikazan na slici 2.4.

Slika 2.4 Greške pri ponovljenom kalibriranju senzora razine

Pod pretpostavkom da su mjerenja neovisna, najbolja procjena je aritmetička sredina greška en. U ovomslučaju iznosi e = 0.58 mm. Standardna devijacija od en je prema izrazu (2.22): S e = 1.14 mm, a prema

izrazu (2.20) standardna devijacija srednje vrijednosti iznosi .16.0/ mm N S e Može se zaključiti da semože izvršiti kalibracija senzora tako da se razini senzora doda korekcija e = 0.58 mm. MeĎutim i nakontoga ostaje nesigurnost mjerenja od 0.16 mm.

2.4.2. Tip B - određivanja nesigurnosti

OdreĎivanje nesigurnost teorijskim i praktičnim metodama različitim od statističkog zaključivanja predstavlja tip B odreĎivanja nesigurnosti. Koriste se različite informacije koje utječu na rezultatmjerenja:

Specifikacije dijelova i ureĎaja dane od proizvoĎača. Informacije koje se dobiju iz certifikata o kalibraciji.

Informacije iz referentnih priručnika i standarda.

Informacije iz poznavanja fizikalnih procesa i stanja okoline.

Ovo će biti pojašnjeno primjerom.

Primjer 2.5 Nesigurnost zbog promjene temperature kod senzora tlaka

MPX2010 je senzor tlaka. Bit će primijenjen pri temperaturi 20C uz promjenu od 2C. Tabelarno su prikazane njegove radne karakteristike:


14/29


Karakteristika Simbol Min Tip Maks Jedinica

Raspon tlakova P 0 - 10 kPa

Napon pune skale

(odgovara rasponu tlakova)

VFSS 24 25 26 mV

Temperaturni efekt na

naponski offset

TCoff -1.0 - 1.0 mV

Ako je mjerni sustav kalibriran pri 20C, kolika će biti nesigurnost mjerenja zbog promjene temperature?Koristite podatak da je izlazni napon je V linearno ovisan o tlaku P prema formuli:

V = offset + pojačanje P + greška.

Parametar TCoff je promjena izlaznog napona za minimalni tlak, unutar temperature 0 to 85 relativno prema 25. Pretvoreno u domenu tlaka ovaj parametar se mijenja od -0.4 kPa do 0.4 kPa.

Da bi procijenili nesigurnost potrebne su neke pretpostavke. Prva je pretpostavka da se promjenatemperature manifestira kao aditivni član (offset) koji linearno ovisi o temperaturi. To matematičkizapisujemo izrazom:

z = x + a(T - T ref ) = x + aT x stvarni tlak, z je izlaz sustava s temperaturnim utjecajem, a je temperaturni koeficijent naponskog

offseta. T ref je temperatura pri kojoj je ureĎaj kalibriran (u ovo slučaju T ref = 20).

Druga je pretpostavka da se standardna devijacija od a može odrediti iz TCoff . Dalje će se pretpostavitilinearna promjena izmeĎu maksimuma i minimuma. Zbog toga, standardna devijacija od TCoff je jednaka2/12 0.6 mV 0.2 kPa.

Promjene izlaza se mjere u temperaturnim pojasima od 0 do 25 i od 25 do 85 . Prema najgoremslučaju prvi pojas koristimo za odreĎivanje standardne devijacije od a; a 0.2 / 25 = 0.01 kPa/C.

Nesigurnost u z se pojavljuje zbog člana aT , čiji faktori imaju nesigurnost sa standardnom devijacijoma 0.01 kPa/C i T 2C. Pošto su a i T neovisne varijable, standardna devijacija od z zbogtemperaturne promjene iznosi z = a T = 0.02 kPa.

2.4.3. Prijenos greške u linearnim i nelinearnim sustavima

Mjerni rezultat z obično ovisi o više parametara elektroničke opreme, o fizikalnom stanju okoline(temperatura, tlak, vlažnost itd.) i o parametrima obrade signala (pr. rezolucija AD konvertora). Općenitosve te parametre označimo s yl,. .. y N . i definirajmo funkciju g(.) koja opisuje vezu izmeĎu parametara imjerne veličine:

x = g ( yl,. .. y N ) (2.25)

OdreĎivanje parametara je podložno greški. Označimo stoga niz točnih parametara s 1,..., N pomoćukojih izražavamo stvarnu vrijednost mjernog rezultata::

z = g ( 1,..., N) (2.26)

Izraz (2.26) izražava činjenicu da se potpuno točan rezultat može dobiti samo u slučaju kada su poznatisvi parametri n. Nažalost to nije moguće i greška se preko parametara yn prenosi u mjernom lancu ikonačno stvara grešku u izlazu x. Nesigurnost od x se naziva kombinirana nesigurnost (eng. combineduncertainty).

Sada ćemo analizirati slučajeve kako greška u parametrima yn utječe na kombiniranu nesigurnost od x uslučajevima kada je funkcijska ovisnost g(.) linearna, nelinearna ili multiplikativna.


15/29


Linearni odnosi

Mjerni sistem je linearan ako je izlaz linearna kombinacija ulaza

z = a1 1 + a2 2 +... (2.25)

odnosno pri mjerenju:

x = a1 y1 + a2 y2 +... (2.26)

gdje koeficijenti an su konstante s zanemarivom nesigurnošću.

U zmimo da je n nesigurnost odnosno standardna devijacija pridružena yn . Greška u parametrima yn jeen = yn - n , a konačna grešk a e = x - z se može zapisati u obliku:

e = a1e1 + a2e2 +... (2.27)

Srednja vrijednost od en , označena s n, daje srednju vrijednost od e prema izrazu:

= a1 1 + a2 2 +... (2.28)

Varijanca od e, a time i kvadrat nesigurnosti konačnog mjerenja, dobije se iz izraza (2.28):

N

n

N

nm

nnmmmn

N

n

nne ee E aaa1 11

222 ))((2 (2.29)

Gdje je E{(em - m)(en - n)} k ovarijanca izmeĎu en i em. Ako je kovarijanca izmeĎu en i em jednaka nulito znači da su varijable nekorelirane. To je slučaj kada greška nastaje iz različitih fizikalnih izvora.Primjerice, termički šumovi od dva otpornika su nekorelirani. Korelirani se utjecaj javlja kod parametaras istim izvorom greške, primjerice ispravljač je zajednički generator greške za više operacijskih pojačala injihovi izlazi iskazuju kovarijancu. Ovakav tip greške je sistematski i može se izbjeći boljim projektiranjem ispravljača dok se šum otpornika ne može izbjeći.

Ako su svi yn i ym nekorelirani, tj. ako je kovarijanca E{(em - m)(en - n)} = 0 za sve n i m, izraz (2.29)se pojednostavljuje na oblik:

N

n

nne a1

222 (2.30)

dakle varijance se jednostavno zbrajaju u konačnoj greški.

Nenlinearni odnosi

U nelinearnom sustavu moramo voditi računa o obliku funkcije g (.). Najjednostavniji je način da se izrazza grešku razvije u Taylor -ov red:

N

n

N

n

N

m mn

mn

n

n N N y y

g ee

y

g e g y y g z xe

1 1 1

2

11 ....2

1),...,(),...,( (2.31)

gdje se parcijalne derivacije računaju po yl,. .. y N .Srednja vrijednost greške mjerenja e se dobije primjenom operatora očekivanja na prethodni izraz iuzimajući samo prva dva člana Taylorovog reda:

N

n

N

n n

n

n

n

N

n

N

n

N

m mn

mn

n

n y

g

y

g

y y

g ee

y

g e E e E

1 12

22

1 1 1

2

2

1....

2

1 (2.32)

Iz ovog se izraza vidi da nelinearnost stvara posmak srednje vrijednosti, pa se i kod sustava gdje jesrednja vrijednost nula može se pojaviti značajno odstupanje od nule. To ilustrira slika 2.5(a).


16/29


U procjeni varijance od e obično se uzima samo prvi član Taylorovog reda. U tom slučaju je g (.) zapravolokalno linearizirana (vidi sliku 2.5b) , pa se može primijeniti izraz (2.30) :

N

n n

ne y

g

1

222 )( (2.33)

Slika 2.5 Propagacije greški u nelinearnom sustavu: (a) šum uzrokuje posmak; (b) linearizirana

varijanca

Multiplikativni odnosi

Specijalni je slučaj multipliktivnih greški, tj, kad se utjecaj parametara javlja s potenci jom:

....,...),( 21 2111 p p

y yc y y g (2.34)

gdje su c, pl, p2,...poznate konstante. U tom slučaju izraz (2.33) ima oblik:

N

n n

nne

y

p

z 12

22

2

2 (2.35)

U ovom posebnom slučaju dana je relativna kombinirana nesigurnost e /z pomoću članova sume koji sadrže relativnu nesigurnost n /yn. Specijalni slučaj, kada su sve potencije pn = 1, daje nesigurnost kodtzv. multiplikativnih greški.

Primjer 2.6 Nesigurnost mjerenja električne snage na ot porniku

Snaga disipacije na otporniku se odreĎuje mjerenjem na pona V i struje I , a zatime se ove dvije veličinemnože u rezultat: P = VI. Ako je nesigurnost mjerenja V i I dana sa V i I , tada relativna nesigurnost po

P iznosi:

2

2

2

2

I V P

I V p (2.36)


17/29


2.4.4 Preporuke za oređivanje nesigurnosti pomodu GUM metoa

Mjerna nesigurnost može se odrediti na različite načine. Široko upotrebljavana i prihvaćena metoda,kojusu prihvatila akreditacijska tijela, jest "GUM metoda" koju preporučuje ISO. GUM metoda i filozofija nakojoj se temelji ta metoda dani su u tablici u nastavku.

Filozofija nesigurnosti prema GUM-u

1) Mjerna veličina čija vrijednost nijetočno poznata, smatra se stohastičkomvarijablom X s pripadnom funkcijomvjerojatnosti.

2) Mjerni rezultat x procjena je očekivanevrijednosti E ( X ).

3) Standardna nesigurnost u( x) jednaka

je standardnoj devijaciji odnosnodrugomu korijenu procjene varijance

Var ( X ).

4) A-tip odreĎivanja nesigurnosti Očekivanje i varijanca procjenjuju sestatističkom obradbom ponovljenihmjerenja.

5) B-tip odreĎivan ja nesigurnostiOčekivanje i varijanca procjenjuju sedrugim metodama. Najčešće seupotrebljava metoda da se na temeljuiskustva ili drugih podataka pretpostavi

razdioba vjerojatnosti i odredi standardnadevijacija odnosno varijanca.

Provedba GUM metode

1) Utvrdite sve važne sastavnice mjerne nesigurnosti Postoje mnogi izvori koji mogu doprinositi mjernoj nesigurnosti. Primijenitemodel stvarnoga mjernog procesa kako biste identificirali izvore.

2) Izračunajte standardnu nesigurnost svake sastavnice m jernenesigurnostiSvaka sastavnica mjerne nesigurnosti izražava se na temelju standardnenesigurnosti u koja se odreĎuje kao tip A (u A) ili tip B (u B)

3) Izračunajte sastavljenu nesigurnost Sastavljena nesigurnost izračunava se sastavljanjem pojedinačn ih sastavnicanesigurnosti u skladu sa zakonom prijenosa nesigurnosti, koji praktično glasi:

Za zbroj ili razliku sastavnica sastavljena nesigurnost izračunava sekao drugi korijen zbroja kvadrata standardnih sastavnicanesigurnosti.

Za umnožak ili količnik sastavnica primjenjuje se isto pravilo”zbroj/razlika”, ali za relativne standardne nesigurnostisastavnica.

4) Izračunajte povećanu nesigurnost Ako želite izraziti nesigurnost za veći interval povjerenja, pomnožitesastavljenu nesigurnost s faktorom pokrivanja k (često se uzima k = 2, kojiodgovara razini povjerenja od približno 95 %).

5) Iskažite mjerni rezultat u obliku Y = y ± U


18/29


2.5 Linearna regresija - metoda najmanjeg kvadrata greške

2.5.1 Linearna regresija za procjenu koeficijenata pravca

Linearna regresija je statistička metoda odreĎivanja koeficijenata pravca y = a1 + a2 x, koji najbolje

aproksimira neku statičku prijenosnu funkciju, koja je odreĎena mjerenjem ulazne veličine x i izlazneveličine y iz nekog sustava. Ako raspolažemo skupom eksperimentalnih podataka ( xi, yi; i=1,N)možemo definirati grešk u ei, koja pokazuje odstupanje od pravca za svaku izmjerenu vrijednost;

ei = yi – a1 + a2 xi

Ukupnu grešku za sve izmjerene vrijednosti možemo definirati kao sumu kvadrata greške:

N

i

ii xaa yS 1

2

21

Cilj je odrediti koeficijente pravca a1 i a2 koji daju najmanju ukupnu grešku. To će ujedno biti i vrijednostkoja daje najmanju varijancu greške jer očekujemo srednju vrijednost greške jednaku nuli. Zbog toga seova metoda naziva metoda minimalne varijance. Još češće naziva se metoda najmanjeg kvadrata greške

(eng. least square error - LSE).

Slika 2.6 Primjer aproksimacije izmjerene statičke prijenosne funkcije jednadžbom pravca

Minimalnu vrijednost greške S , dobije se kada su parcijalne derivacije S/a1 i S/a2 jednake nuli;

0)(2/

0)(2/

2

1

12

2

1

11

ii

N

i

i

i

N

i

i

x xaa yaS

xaa yaS

Rješavanjem ovih jednadžbi dobije se


19/29


N

i

i

N

i

i

x N x

y x N y x

a

1

22

12

)(

, gdje je

N

i

i x N

x1

1,

N

i

i y N

y1

1

xa ya 21

Kvalitet rješenja može se procijeniti razmatranjem koeficijenta korelacije mjerenih podataka xi i yi, jer suobje mjerene vrijednosti podložne slučajnoj promjeni. Koeficijent korelacije iznosi:

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

y x y y x x

y y x x

S S

y xCov

1

2

1

2

1

)()(

))((),(

Vrijednost od | | bliska jedinici znači dobru korelaciju, u tom slučaju podaci dobro aproksimirajukrivulju pravca.

Primjer 2.5.1 Karakteristika senzora pomaka

U eksperimentu da se odredi linearna karakteristika senzora pomaka, koji daje naponski izlaz, izmjereno je 10

ulaznih i izlaznih vrijednosti:

x - pomak (cm) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

y - napon (V) 2,1 4,3 6,2 8,5 10,7 12,6 14,5 16,3 18,3 21,2

Odredit ćemo karakteristiku pravca y = a1 + a2 x, koji najbolje aproksimira linearnu prijenosnu funkciju senzora. Najprije računamo srednju vrijednost x = 5,5 i srednju vrijednost y = 11,47, zatim računamo ( xi yi ) = 801,( xi

2)=385, što daje koeficijente pravca:

a2 = (801-(105,511,47)) / (385-(105,52)) = 2,067, a1 = 11,47-(2,0675,5) = 0,103.

Primjer 2.5.2 Procjena par ametara eksponencijalne krivulje pražnjenja kondenzatora

Poznato je da se napon na kondenzatoru C prazni na otporniku R po exponencijalnom zakonu u = k exp(-t / ).

Odredite parametre K i ako su izmjerene slijedeće vrijednosti napona u vremenu

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

u(V) 8,67 6,55 4,53 3,29 2,56 1,95 1,43 1,04 0,76

Postupak rješenja:

Logaritmiranjem izraza za napon kondenzatora dobije se ln(u) = ln(k ) - t / ,. Ako se uzme da je

y = ln(u), x = t

a1 = ln(k ) , a2 = -1/

problem se sveo na ugaĎanje ulaznih podataka xi=t i, yi = ln(ui) s krivuljom y= a1+ a2 x. Nakon odreĎivanjakoeficijenata a1 i a2, kao u prethodnom primjeru, računaju se koeficijenti k = exp(a1) i t = -1/ a2.

---*---


20/29


2.5.2 Linearna regresija za procjenu koeficijenata polinoma višeg reda

Metoda najmanjeg kvadrata pogreške može se primijeniti i za procjenu funkcije višeg reda potencije kojuopćenito zapisujemo u obliku:

134

2321 ...

M M xa xa xa xaa y

Tada je ukupna greška odreĎena sumom kvadrata greške za svaki uzorak ( xi, yi);

N

i

M

j

ji ji

N

i

M i M iii xa y xa xa xaa yS

1

2

1

1

1

212321 ...

Ili u nešto drukčijem obliku:

N

i

jiij

M

j

ij ji x X X a yS 1

1

2

1

,

Greška je minimalna ako odredimo koeficijente a1, a2, a3,. .,a M , za koje su parcijalne derivacije ukupne

greške jednake nuli, tj,

N

i

M

k

ik k iij

j

X a y X a

S

1 1

0)(2 , za ( j=1,2,..M)

Uz malo preureĎenja, dobiju se tzv. normalne jednadžbe (eng. least square normal equations):

N

i

M

k

N

i

iijk ik ij y X a X X 1 1 1

, za ( j=1,2,..M)

U matričnom obliku ove jednadžbe se zapisuju u obliku:

(XTX)a = X

Ty

X je NM matrica s elementima X ij, (i = 1,..N, j = 1,..M).

Rješenjem ove matrične jednadžbe dobije se vektor a – koji sadrži koeficijente reda potencija.

a = (XTX)

-1 X

Ty

Direktno izračunavanje ovog izraza inverzijom matrice često kod polinoma višeg reda iskazuje numeričkunestabilnost, stoga se preporučuje korištenje naprednih numeričk ih tehnika inverzije matrice (Choleskydekompoziciju i SVD). U programu Matlab implementirana je posebna funkcija za odreĎivanjekoeficijenata polinoma – imena polyfit ().


21/29


2.6. Obrada i tipovi mjerne greške Dva su temeljna tipa mjernih greški: sistematske greške i slučajne greške. Prije je pokazano da se slučajnagreška može smanjiti usrednjavanje vrijednosti više ponovljenih mjerenja neke veličine.

mjerna greška = sistematske grešk e + slučajne grešk e

Sistematske greške su rezultat nepovoljnih karakteristika mjernog sustava (primjerice, nelinearnosti ilikalibracije), takoĎer, nastaju i zbog djelovanja vanjskih stacionarnih smetnji. One se ne mogu smanjitiusrednjavanjem, ali se mogu koristiti razne kompenzacijske metode za njihovo smanjenje, primjerice prijenosna funkcija kalibracije senzora se može u odzivu senzora kompenzirati numeričkim putem -koristeći inverzne interpolirane vrijednosti iz tablice kalibracije senzora.

2.6.1 Slučajne greške

Greške konačne rezolucije mjernog sustavaRezolucijske greške u principu nastaju u digitalnim sustavima zbog kvantizacije vrijednosti, primjericekod AD konverzije, kod aritmetičkih operacija s konačnim brojem decimala ili kod brojača kojigeneriraju mjerne vrijednosti. Ova j tip greške zapravo je sistematska greška, ali se u analizi greške modeliraju kao slučajne veličine.

Klizanje (Drift)

Drift je naziv za greške koje se manifestiraju kao spora promjena mjerene vrijednosti. Nastaje zbogslučajne promjene temperature, vlažnosti, nestabilnih ispravljača, 1/f šuma itd.

Smetnje i šum iz mjerne okoline

Okolina djeluje na mjerni i mjereni sustav. Najčešće se javljaju greške zbog elektromagnetskih smetnji(EMI electromagnetic interferences). Uzroci EMI su motori, jaki transformatori, radio interferencije ivisokonaponska pražnjenja. Greške mogu nastati i zbog induciranih smetnji zbog vibracije kablova, ilizbog utjecaja buke u akustičkim mjerenjima.

Šum iz mjernog sustava

Najčešći oblik slučajnih greški nastaje zbog šuma elektroničkih ureĎaja, zbog akustičke buke ili zbogslučajnih mehaničkih vibracija. Klasificira se kao bijeli ili obojeni šum. Bijeli šum ima spektralnu gustoćusnage konstantnu po frekvenciji, a obojani šum najčešće ima frekvencijsku ovisnost gustoće snage oblika1/f p gdje je p vrijednost izmeĎu 1 i 2.

Šum pojačala i otpornika

U elektroničkim sklopovima gotovo svi sastavni dijelovi: otpornici, tranzistori i diode predstavljaju izvoršuma. Uobičajeno je da se veličina šuma iskazuje u frekvencijskoj domeni spektralnom gustoćom snage (

jedinicama V2/Hz ) ili gustoćom efektivne vrijednosti napona (V/Hz). Razlog specificiranja šuma u

frekvencijskoj domeni je činjenica, koja će biti dokazana u sljedećem poglavlju, da spektralna gustoćasnage predstavlja determinističku karakteristiku slučajnog procesa – varijancu slučajnog signala na izlazuiz pojasnog filtra širine pojasa 1Hz.

Kod otpornika dominantan je termički šum (ili Johnsonov šum) uzrokovanim titranjem naboja u vodiču. Na temperaturama iznad apsolutne nule elektroni imaju slučajno gibanje u vodičima i to gibanje ovisi o


22/29


temperaturi. Ukupna snaga termičkog šuma P n proporcionalna je apsolutnoj temperaturi T i širinifrekvencijskog pojasa mjernog sustava f ; prema izrazu:

P n = 4kT f

gdje je k Boltzmanova konstanta (1.38 × 10−23). Gustoće snage po frekvenciji je konstantna, jer istu snagušuma generira otpornik u pojasu u od 1 do 2 Hz kao i u pojasu od 1000 do 1001 Hz. Kažemo da je

otpornik generator "bijelog šuma".U analizi elektroničkih sklopova utjecaj šuma otpornika se može analizirati na način da se svakomotporniku serijski doda naponski izvor šuma,

f kTR E n 4

ili paralelno otporniku da se doda strujni generator šuma:

R

f kT I n

4

kao što je prikazano na slici 2.8.

Slika 2.8 Ekvivalentni naponski (a) i strujni (b) generator šuma otpornika Koristit ćemo oznake en i in za vrijednosti gustoće napona i struje po kvadratnom korijenu frekvencije:

kTRen 4 [V/Hz], R

kT in

4 [A/Hz]

Otpornik vrijednosti 50-Ω predstavlja naponski izvor šuma gustoće 0.9 nV/√Hz, a otpornik od 1-kΩ približno 4 nV/√Hz.

Ako kroz otpornik teče istosmjerna struja tada se generira i dodatni strujni šum. Efekt je izražen kodkarbonskih otpornika, kod kojih se izmeĎu granula javljaju mikro pražnjenja. Snaga ovog tipa šumaopada s frekvencijom. Eksperimentalno je utvrĎena vrijednost napona zbog ovog tipa šuma :

f R I K E x x

22

2

gdje je K x konstanta koja ovisi o tehnologiji izrade otpornika, I je istosmjerna struja. U analizi šumasklopova ovaj šum se obično ne analizira jer poluvodički sklopovi imaju znatno veći šum na niskimfrekvencijama.

Kod poluvodičkih sklopova, pored termičkog šuma, postoji još nekoliko uzroka šuma (flicker noise, burstili popcorn noise i avalanche noise). Šum je kod poluvodičkih sklopova frekvencijski ovisan: najveći je na


23/29


niskim frekvencijama, zatim opada proporcionalno 1/ f n. U audio i VF području spektralna gustoća šuma je konstantna, a zatim opet raste na vrlo visokim frekvencijama.

AV u V i

Ri

V i Ru

en R g eng

e g in

Šum generatora

Ekvivalentni

šum pojačala Idealno

pojačalo

Slika 2.9 Model djelovanja šuma u pojačalu i generatoru signala

Slika 2.9 prikazuje model djelovanja šuma u pojačalu. Šum kao slučajna varijabla se prikazuje kroz

djelovanje dva ekvivalentni naponska (V n) i strujni izvor na ( I n) ulazu u pojačalo. Ulazni otpor pojačala Ri se idealizira bešumnim otporom. Na izlazu pojačala se dobije ulazni napon pomnožen s pojačanjem A.Pojačalo ima izlazni otpor R0. Ekvivalentni naponski šum se dobije mjerenjem šuma na izlazu kada jeulaz kratko spojen, zatim se ta vrijsdnost podijeli s pojačanjem. Strujni šum se dobije mjerenjem izlaznogšuma kada je ulaz otvoren, zatim se ta vrijednost podijeli s pojačanjem i ulaznim otporom..

Primjerice, niskošumno operacijsko pojačalo OP27 ima specifikaciju: V n = 3n/Hz i I n = 1.5pA/Hz naf=1kHz. Ove vrijednosti su konstantne u širokom pojasu frekvencija (vidi sliku 2.10) .

Slika 2.10 Gustoća naponskog i strujnog šuma operacijskog pojačala OP27. Prikazana je krivulja gustoće šuma za standardno operacijsko pojačalo 741 i standardno operacijsko pojačalo za audio primjenu NE5532.

Izlazni šum pojačala ovisi o pojačanju, širini pojasa i vrijednosti ulaznog otpora koji je takoĎer generatoršuma. Kada se aditivno javlja više generatora slučajnih signala, njihova ukupna snaga (varijanca) seodredi kao suma snaga od pojedinog generatora. To znači da je izlazna snaga šuma jednak a:


24/29


f A R R

R RieeV

i g

i g nnng ni

222222 )()()(

Ova formula vrijedi na višim frekvencijama jer nije uzet u obzir porast šuma na niskim frekvencijama.TakoĎer, ona podrazumijeva da su strujni i naponski izvori statistički neovisni.

Zadatak: Ako pojačalo ima V n = 3n/Hz i I n = 1.5pA/Hz, a unutarnji otpor generatora je R=10k odredite efektivnu vrijednost napona šuma na izlazu pojačala, koje ima ulazni otpor 1M i pojačanje100, za pojas frekvencija od 20kHz.

Zadatak: Za prethodni primjer odredite vrijednost otpora generatora pri kojem strujni šum ima istidoprinos kao i naponski šum pojačala.

Faktor šuma i inamički raspon pojačala

Faktor šuma F se definira kao omjer odnosa signal šum na ulazu pojačala i odnosa signal šum na izlazu pojačala :

i

u

N S

N S F

)/(

)/(

ili u decibelima:

i

u

N S

N S NF

)/(

)/(log10 [dB]

Ova mjera se uvodi jer i sam izvor signala predstavlja izvor šuma. To znači da već na ulazu sustava postoji ograničenje moguće dinamike sustava, koju definiramo omjerom signal šum:

f kTR

E

f e

E

E

E N S

g

g

ng

g

gn

g

ul

4)/(

2

2

2

2

2

Dinamički raspon na izlazu pojačala definiramo omjerom snage signala i šuma na izlazu:

2

222

2

2)(

)/(ni

i g

i g

ni

ii

V

A R R

R E

V

V N S

Faktor šuma se dobije prema prethodno j definiciji:

2

22 )(1

ng

g nn

e

Rie F

Ovaj izraz pokazuje da je faktor šuma uvijek veći od jedan. Treba ga analizirati ovisno o tipu pojačala.K od tranzistorskih pojačala, značajan je doprinos strujnog šuma u slučaju kada generator ima veliku

unutarnju impedanciju. K od FET pojačala značajan je jedino naponski šum, praktično to znači da za pojačanje signala senzora koji imaju visoku izlaznu impedanciju treba koristiti pojačala s FETtranzistorima u ulaznom sklopu. Kod VF pojačala s niskom ulaznom impedancijom (600 utelekomunikacijama i 50 u mikrovalnom području) dominantan je naponski šum.


25/29


2.6.2 Sistematske greške

Zasidenje, mrtva zona i histereza statičke prijenosne karakteristike

Ovi efekti, prikazani na slici 2.11, karakteriziraju oblik statičke prijenosne karakteristike y = g ( x).

Zasićenje (eng. saturation) nastaje pri većoj pobudi. Tada opada osjetljivost g/ x s porastom |x|

(slika 2.11 a). Za još veći iznos od |x| nastupa rezanje (eng. clipping )

Mrtva zona senzora (eng. dead zone ) je interval ulaza za koji nema promjene na izlazu senzora

(kao na slici 2.11b). Javlja se primjerice kod pojačala B-klase.

Histereza(eng. hysteresis) je pojava kada karakteristika g(x) ovisi o tome da li x raste ili opada

(slika 2.11c). Često se javlja u mehaničkim sustavima.

Slika 2.11 Si stematske greške zbog nelinearnosti

Statički posmak (offset)

Kod pojačala koja trebaju pojačavati istosmjerne napone ili struje izražena je greška posmaka istosmjernevrijednosti. Ovaj tip greške je posebno izražem u sklopovima za integriranje, jer integriranje povećavadoprinos statičkog posmaka u odnosu na izmjeničnu komponentu signala ili šuma.

Greške opteredenja

Greška opterećenja se javlja kada mjerni sustav postaje značajni teret za mjereni senzor, primjerice kadaunutarnji otpor voltmetra ili osciloskopa utječe na vrijednost izmjerenog napona.

Slika 2.12 prikazuje model senzora, koji generira napon V y i voltmetra koji mjeri napon V i. R je unutarnjiotpor senzora a Ri je ulazni otpor voltmetra. Relativna greška mjerenja iznosi:

ii

ii

i

i

i y

i R

R

V

V V R

R

V

V V

V

V

)1(

Slika 2.12 Si stematska greška zbog unutarnjegotpora voltmetra


26/29


Kalibracijske greške

Kalibracijske greške mogu nastati zbog:

nesigurnosti referentne vrijednosti

slučajnih grešaka tijekom kalibracije

pogrešno odreĎenih ili interpoliranih kalibracijskih krivulja ili tablica

Dinamičke greške

Dinamičke greške nastaju kada mjerni sustav ne može registrirati brze promjene, primjerice kodoperacijskih pojačala slew rate odreĎuje maksimalnu brzinu "slijeĎenja" ulaznog signala. Kod digitalnihsustava dinamičke greške se očituju kod sustava koji koriste nisku frekvenciju uzorkovanja.

2.6.3 Lineariziranje prijenosne funkcije senzora

U pravilu, senzori imaju nelinearnu statičku prijenosnu karakteristiku, premda u mnogo slučajeva je tanelinearnost zanemariva. Pored nelinearnosti, na izlazu senzora često postoji značajan šum. Označimo limjernu veličinu s x, izlaz senzora s y i šum s n, može se napisati funkcija izlaza senzora:

n x f y s )(

Cilj je postići dvije stvari: smanjiti šum n i linearizirat prijenosnu funkciju senzora f s( x) tako da se dobijelinearna prijenosna funkcija y= kx.

Ovaj cil j se može postići obradom analognog signala iz senzora pogodnim sklopovima, tako da se tijekommjerenja dobije linearna karakteristika, a za smanjenje šuma treba vršiti ponovljena mjerenja susrednjavanjem.

Funkcija kompenzacije mora se odrediti na temelju mjerene vrijednosti, a to je izlaz senzora y. Postavljase problem odreĎivanja funkciju kompenzacije f c ( y) koja daje vrijednost koja je proporcionalna ulaznojveličini senzora , tj. f c ( y) = f c ( f s ( x) ) x.

Kompenzacija nelinearnosti se može jednostavno provesti kada raspolažemo s podacima kalibracijesenzora. Oni mogu biti dani u dva oblika: a) analitički, kao nelinearna funkcija y = f s( x), najčešće u obliku

polinoma potencija od x, ili b) kao krivulja kalibracije zadana nizom točaka { xi, yi}. Ukoliko je krivuljamonotona, tj., bez lokalnih minimuma ili maksimuma, može se provesti sljedeći postupak odreĎivanjavrijednosti x kada je izmjerena vrijednost y. Prvo se odrede vrijednosti niza yi i yi+1 za koje vrijedi da su

bliske vrijednosti y, tj. yi


27/29


Slika 2.13 Blok shema sklopa za lineariziranje prijenosne funkcije senzora (adresne linije ROM memorijemogu se povezati direktno na izlaz A/D konvertera, a za selektiranje memorije može se iskoristiti signalza kraj konverzije)

2.6.4 Primjena povratne veze za smanjenje gr eške u odzivu sustava

Povratna veza je mehanizam kojim se dio signala vraća s izlaza sustava i ponovo zbraja ili odbija odulaznog signala. U slučaju pozitivne povratne veze nastaju oscilacije, a u slučaju negativne povratne veze povećava se kontrola rada sustava - primjerice:

smanjuje se utjecaj promjene vrijednosti komponenata sustava na pojačanje sustava.

smanjuje se razina šuma i nelinearnih izobličenja.

povećava se kontrola ulazne i izlazne impedancije.

proširuje se radni frekvencijski pojas.

Slika 2.14 Opća struktura pojačala s povratnom vezom

Slika 1.4 prikazuje opću strukturu sustava s povratnom vezom. Signali napona (ili struje) su označeni nasljedeći način: x je ulazni signal, y je izlazni signal, x f = y je signal povratne veze, a xi = x - x f je signalna ulazu pojačala k o ji ima pojačanje A. Vrijedi jednadžba veze ulaza i izlaza:

y = A xi = A( x - x f ) = A( x - y )


28/29


iz koje se dobije pojačanje sustava s povratnom vezom:

A

A

x

yG

1

Veličina A se zove pojačanje petlje, a veličina (1 + A ) se zove faktor povratne veze. Kod operacijskih

pojačala je pojačanje petlje veliko, A >> 1, pa je u tom slučaju pojačanje s povratnom vezom približno jednako G ≈ 1/ , dakle ovisi isključivo o povratnoj vezi .

Osjetljivost na promjenu pojačanja

Iz prethodne diskusije se vidi da promjene u pojačanju otvorene petlje malo utječu na pojačanje G. Taosjetljivost se iskazuje izrazom:

A

dA

AG

dG

1

1

Koji pokazuje da je osjeljivost na promjenu pojačanja kod sustava s povratnom vezom G manja za faktor

povratne veze od osjetljivosti na promjenu pojačanja kod otvorene petlje A.Zadatak : Izvedite prethodni izraz za osjetljivost pojačanja. Najprije izvršite deriviranje dG/dA, a zatimizrazite ovisnost dG/G od dA/ A.

Smanjenje utjecaja šuma

Negativna povratna veza smanjuje utjecaj šuma koji postoji unutar petlje povratne veze. To će biti pokazano primjerom sustava prikaznog na slici 2.15. Postoje dva stupnja pojačanja A1 i A2. Pretpostavka je da se na izlazu A1 generira šum n. Tada izlazni signal iznosi:

)(

1 112

12

A

n x

A A

A A y

Ovaj izraz pokazuje da primjena povratne veze smanjuje šum za vrijednost pojačanja prvog stupnja A1.To znači da prvi stupanj pojačala treba imati što veće pojačanje i mali šum, pa tada sljedeći stupnjevi pojačala ne moraju biti niskošumni.

Slika 2.15 Koncept povećanja S/N s povratnom vezom i niskošumnim prvim stupnjem pojačala

Prethodna analiza se može primijeniti i na analizu izobličenja (koja možemo tretirati kao šum). Povratnaveza će smanjiti izobličenja, ali pod uvjetom da prvi stupanj pojačala bude linearan i niskošuman.


29/29

Proširenje frekvencijskog pojasa sustava

U prethodnim primjerima uzeli smo da je pojačanje neovisno o frekvenciji. Razmotrimo sada realnijislučaj da je pojačanje funkcija frekvencije i da opada na visokim frekvencijama, tj. uzet ćemo da je:

g f

f j

A f A

1

1)( 0

gdje je f g gornja granična frekvencija, pri kojoj pojačanje otvorene pelje A0 opadne na vrijednost 0,707 A0.

Ako se izraz za A( f ) uvrsti u izraz za pojačanje s negativnom povratnom vezom, dobije se

)1(1

1

1)(

0

0

0

A f

f j

A

A f G

g

što znači da se granična frekvencija povećala proporcionalno faktoru povratne veze.

Documents

Lek02 - Statisticka Obrada i Nesigurnost Mjerenja