Legea Evenimentelor Rare

7. LEGI CLASICE DE PROBABILITATE Fie (, K, P) un cmp de probabilitate i f : R, o variabil aleatoare. Am vzut c varibilei f i se poate asocia o funcie de repartiie F, continu la stnga i o funcie caracteristic , care este o funcie continu. Uneori funcia de repartiie F este definit de o densitate de repartiie . Din punct de vedere probabilistic, variabila aleatoare f poate fi studiat prin intermediul la oricare din funciile asociate mai sus. Dac ne oprim la funciile de repartiie, observm c acestea sunt, de fapt, probabiliti pe cmpul de evenimente (R, RB ). Aceste funcii de repartiie nedescresctoare, continue la stnga, cu F(-) = 0 i F() = 1 mpart variabilele aleatoare n clase de echivalen, iar odat cunoscut, clasa de echivalen a unei variabile aleatoare, adic cunoscnd la ce funcie de repartiie corespunde, caracteristicile variabilei aleatoare sunt deduse imediat, din cele ale funciei de repartiie corespunztoare. Prin frecvena cu care sunt ntlnite, n rezolvarea unor probleme practice din diferite domenii, anumite funcii de repartiie (probabiliti pe dreapta real) au primit denumirea de legi (clasice) de probabilitate. De cteva din aceste legi ne vom ocupa n cele ce urmeaz.

7.1. Repartiia binomial (Legea de probabilitate Bernoulli)

Aceast repartiie descrie un experiment care poate avea dou rezultate posibile i anume, unul de succes S cu probabilitatea constant p, ori de cte ori se repet experimentul, i unul de insucces I, deasemenea cu probabilitatea constant q = 1 - p, ori de cte ori se repet experimentul. ntruct experimentele ce genereaz evenimentele le considerm independente, un exemplu de variabil aleatoare ce corespunde unei repartiii Bernoulli este dat prin Schema bilei revenite. Cazul cel mai simplu este cel al unui singur experiment, cnd variabila aleatoare a numrului de reuite este:

Legi clasice de probabilitate - 7 150

fp p

:0 1

1

,

care are media M(f) = p i variana D f p p2 1( ) ( )= . S presupunem c variabila aleatoare f ia ca valori numrul de apariii a unui succes n cursul a n experimente independente. Probabilitatea ca n cele n experimente s avem o secven de forma

{SS S II IK123 Kde k ori de n-k ori

este p qk n k , iar numrul de secvene posibile care difer ntre

ele este de Cnk .

Din cele de mai sus deducem c variabila aleatoare f, a numrului de succese obinute n repetarea experimentului de n ori, are distribuia dat prin tabloul:

(7.1.1) fk n

q C pq C p q pn nn

nk k n k n:

0 11 1

L LL L

.

Cmpul de probalitate corespunztor experimentului de mai sus poate fi considerat

{ } = 0 1, n , K = P(), P A pii A

( ) = unde, pentru ( )i n= 1 2, , ,K cu j = 0

sau 1, ( )p p pi n kk= 1 , iar { }k card j j= =: 1 . Evenimentele care ne intereseaz sunt de forma { }A i k i n = = =: ( ) , , , ,0 1K . Repartiia Bernoulli de parametri n N i p (0, 1) se mai noteaz prin:

(7.1.2) ( ) [ ]B n p x C p qnk k n kk

x

, ( ) = =

0

1

.

Aici [x] reprezint partea ntreag a lui x, q = 1 - p. Graficul funciei de repartiie dat de (2) are n trepte corespunztoare celor n + 1 puncte de discontinuitate. Definiia 1. Spunem c o variabil aleatoare f are o distribuie binomial cu parametrii n N i p (0, 1) dac, f ia valorile k, k = 0, 1,, n, cu probabilitile p k p f k C p qn n n

k k n k( ) ( )= = = , q = 1 - p, adic are distribuia dat prin tabloul (1). Teorema 1. Dac f este o variabil aleatoare binomial de parametri n i p atunci M(f) = np, iar D f np q2 ( ) = , unde q = 1 - p.

11.1. Repartiia binomial (legea de probabilitate Bernoulli) 151

Demonstraie: M f kC p qnk k n k

k

n( ) =

=

1. Pentru calculul acestei sume considerm

identitatea ( ) ( )pt q C pt qn nk k n kk

n+ =

=

0 i o derivm n raport cu variabila t,

rezult ( ) ( )np pt q kC p pt qn nk k n kk

n+ =

=1 1

1, pentru t = 1, innd seama c

p + q = 1, avem kC p q npnk k n k

k

n

==

1, de unde rezult c M(f) = np.

Pentru calculul dispersiei folosim relaia ( ) [ ]D f M f M f2 2 2( ) ( )= . ( )M f 2 poate fi calculat n mod direct, cum am procedat pentru M(f) sau putem

utiliza funcia caracteristic , a variabilei aleatoare f.

( ) ( )( )t C p q e C pe q pe qnk k n k iktk

n

nk it k n k

k

nit n= = = +

=

=

0 0

( )M fi

ddt t

22

2

20

1=

=

( )ddt n pe q pieit n it = + 1 , ( )( ) ( )d

dtn n pe q p i e n pe q pi eit

n it it n it2

22 2 2 2 1 21

= + + + .

Obinem ( )M f n p np np2 2 2 2= + i ( )D f np np np p2 2 1( ) = = = npq. Experimentele binomiale, ca cel prezentat mai sus, se ntlnesc la tot pasul, de fapt, el este echivalent cu aruncarea unei monezi la care ne intereseaz numrul de apariii a unei fee ban, cnd aruncm moneda de un numr de ori. Evident, n acest

caz parametrul p = 12

.


Exemplul 1. S presupunem c exist aproximativ 1.000.000 de poteniali cumprtori ai unui produs al unei fabrici, ne intereseaz ce proporie dintre acetia prefer acest produs, n faa aceluiai produs al altor concureni. Vrem s vedem dac acest experiment este unul binomial i s determinm parametrul p. Selectm 1.000 de cumprtori din cei 1.000.000, fiecare avnd aceeai ans de a fi selectat, i ntrebm, dac prefer produsul acelei fabrici, fa de ceilali concureni. Pentru ca un experiment aleator s fie binomial trebuie s posede urmtoarele caracteristici: a) s constea din n ncercri identice; b) fiecare ncercare s se finalizeze prin unul din dou rezultate; c) probabilitatea de a obine un rezultat, ntr-o singur ncercare, rmne aceeai n

fiecare ncercare, dac pe aceast probabilitate o notm cu p, atunci cea a evenimentului contrar este q = 1 - p;

d) ncercrile sunt independente; e) legat de experiment suntem interesai de observarea numrului de realizri a

uneia din cele dou rezultate n cele n ncercri. Constatm c cele cinci caracteristici ale unui experiment binomial sunt verificate n exemplul considerat. Dac ne concentrm atenia asupra caracteristicii d), observm ns c, dac la prima ncercare am avut un cumprtor care prefer produsul fabricii n cauz, atunci la a doua ncercare, probabilitatea alegerii tot a unui astfel de cumprtor s-a modificat, att numrul cazurilor favorabile ct i cel al cazurilor posibile a sczut cu o

unitate, dac la prima extragere probabilitatea p a fost fs

, la a doua ea a devenit

fs

11

. Se pare astfel, c acea condiie d), de independen nu este verificat i acest

fapt ar duce la o restrngere a sferei experimentelor aleatoare de tip binomial. Dac ns, numrul de ncercri n este mai mic n raport cu numrul de elemente ale populaiei din care se face extragerea, probabilitatea p poate fi

considerat constant fs

fs

11

.

Exemplul 2. ntr-o intreprindere numrul zilelor lucrtoare ntr-o perioad de timp (lun, an, etc.) n care ritmul zilnic este ndeplinit reprezint o variabil aleatoare.

Probabilitatea ca acest ritm zilnic s fie realizat este p = 34

.

Se cere legea de repartiie a acestei variabile aleatoare pe o perioad de o lun, format din 21 de zile lucrtoare, valoarea medie i dispersia acestei variabile aleatoare.

11.1. Repartiia binomial (legea de probabilitate Bernoulli) 153

Se constat c variabila aleatoare, a crei repartiie se cere, respect legea

binomial de parametrii n = 21 i p = 34

. S o notm cu f. Avem:

f

k

C Ckk k:

0 1 21

14

34

14

34

14

34

21

211

20

21

21 21

L L

L L

M f n p( ) ,= = = =21 34

634

15 75; D f2 2134

14

6316

3 93( ) ,= = = . Exemplul 3. S presupunem c sunt date pentru o variabil aleatoare f, valorile nregistrate, { }x x xn1 2, , ,K i frecvenele relative ale acestora { }f f fn1 2, , ,K . Dac experimentul aleator ce a generat variabila aleatoare f permite aplicarea legii binomiale, se pune problema ajustrii frecvenelor nregistrate (empiric) prin probabilitile unei legi binomiale corespunztoare. Pentru identificarea repartiiei binomiale care ajusteaz seria frecvenelor relative empirice, trebuie determinai parametri n i p. Cum iniial se cunoate volumul eantionului i media variabilei f, pe baza formulei mediei repartiiei binomiale B(n, p), M(f) = np, se calculeaz

probabilitatea p dup relaia pM f

n= ( ) .

S presupunem c se recepioneaz un lot de produse alimentare. Pentru aceasta au fost preluate un lot de 50 de cutii, fiecare cuprinznd 20 de produse. Repartizarea celor 50 de cutii dup numrul de produse, ce nu corespund standardelor, se reprezint n tabelul urmtor:

Numr de produse

defecte Xi 1

Numr de cutii Ni

2

X Ni i

3

fi

4

P(f = i)

5

0 12 0 0,24 0,189 1 18 18 0,36 0,328 2 9 18 0,18 0,271 3 5 15 0,10 0,141 4 4 1,6 0,08 0,052 5 2 10 0,04 0,015

Total 50 77 1,00 0,996


Considerm c piesele ce nu corespund calitii, n fiecare cutie recepionat, urmeaz o lege binomial de probabilitate p i n = 20. Din totalul de 50 de cutii observate, rezult o medie de produse defecte, pe

cutie, de f = =7750

1 54, . Din ipoteza fcut rezult 20p = 1,54, de unde rezult

p = =1 5420

0 08,

, . Deci, produsele defecte ntr-o cutie respect o lege binomial B(20;

0,08). Coloana a cincea a tabelului de mai sus conine ajustrile date pe baza repartiiei binomiale B(20: 0,08) a frecvenelor relative (empirice) coninute n coloana a patra. Exist diferite teste statistice pentru msurarea conformitii ntre cele dou serii de frecvene.

7.2. Repartiia Poisson (Legea evenimentelor rare)

Am vzut c o variabil aleatoare binomial, de parametri n i p, are ca valori numrul de apariii ale unui eveniment A n n ncercri independente, n fiecare ncercare probabilitatea evenimentului A este constant P(A) = p. Probabilitatea ca

variabila aleatoare s ia valoarea k este dat de ( )P k C p pn nk k n k( ) = 1 . S considerm c, numrul n al probelor este foarte mare, iar probabilitatea p a apariiei evenimentului A ntr-o prob este foarte mic, evident, evenimentul A a devenit, n urma acestor presupuneri, un eveniment rar, motiv pentru care legea de probabilitate a variabilei aleatoare ce are ca valori numrul de apariii ale evenimentului A, n cele n probe, poart numele de legea evenimentelor rare. S presupunem c, n condiiile de mai sus, produsul np rmne constant, np = , fiind numit parametrul repartiiei Poisson, i s determinm probabilitile P kn ( ) , n cazul cnd tinde la .

( ) ( ) ( ) ( ) =+== knknknkknnk p1p!k1kn1nnlimp1pClimP K

( ) ( ) =

+=

knk

n n1

n!k1kn1nnlim K

( ) ( )

=

+= e!k

1n

1lim!kn

1kn1nnlimkkn

n

k

kn

K.

7.2. Repartiia Poisson (legea evenimentelor rare) 155

Am obinut = e!k

Pk

k .

Se verific imediat c P ek

e ekk

k

k=

=

= = =

0 01

!.

Definiia 2. Repartiia de probabilitate discret, determinat de probabilitile

Pk

ekk

= !

, k = 0, 1, 2, ... se numete repartiia lui Poisson de parametru , iar o variabil aleatoare descris de repartiie:

(7.2.1)

...e!K

...e!2

e!1

e

...K...210:f K2

se numete repartiie aleatoare Poisson. Teorema 2. Dac f este o variabil aleatoare de repartiie Poisson, de parametru , atunci, aceasta are valoarea medie M(f) = , dispersia ( )D f2 = i funcia caracteristic ( ) ( ) t e eit= 1 . Demonstraie: ( ) ( )

=

= ==

==0k 1k

1kk.ee

!1kee

!kkfM

( ) ( ) ( ) =

==+===

0k

k2

k

0k

222 e!k

kkke!k

kfMfM

( ) ,eee!k

ke!k1kk 22

0k

k

0k

k+=+=+=

=

=

de unde ( ) ( ) ( )[ ]D f M f M f2 2 2 2 2= = + = ( ) ( ) ( )

=

=====

0k

1eekitk

0k

ikt itit eee!k

eee!k

et .


7.3. Repartiia hipergeometric

S considerm schema bilei nerevenite. Fie U o urn cu a bile albe, b bile negre i a + b = N. Din urn se fac n extracii succesive fr a pune bila extras napoi n urn. S notm cu f variabila aleatoare care ia ca valori numrul de bile albe extrase. Presupunem n min(a, b). Variabila aleatoare f poate lua valorile k, unde max(n-b, 0) k min(a, n). Probabilitile cu care f ia valorile respective sunt:

(7.3.1) ( ) ( )P k P f k C CCn

ak

N an k

Nk= = =

, k = 0,1,...,min(a, n)

Definiia 3. Spunem c variabila aleatoare discret f are o repartiie hipergeometric dac distribuia ei este dat prin:

(7.3.2) f

k

C CC

nak

N an k

Nk

:. . .

...

...

...

... .

0 1 2

Repartiia de probabilitate corespunztoare variabilei f se numete lege de probabilitate hipergeometric.

Teorema 3. Valoarea medie i dispersia unei variabile aleatoare hipergeometrice sunt date prin:

( ) ( )M f np D f npq N nn

= = , ,2

1

unde pa

a biar q

ba b

= + = +, , deci p + q = 1. Se observ c o variabil aleatoare hipergeometric, definit de (5), are aceai valoare medie cu o variabil aleatoare binomial de parametri n i p, iar dispersiile lor difer. n cazul variabilei aleatoare hipergeometrice dispersia este cu att mai mic cu ct numrul valorilor pe care le poate lua variabila aleatoare este mai mare. Repartiia hipergeometric are un rol important n controlul calitii produselor.

Exemplul 4. Fie un lot de 200 de aparate, din care 13% nu se ncadreaz n limitele de funcionare admise. Alegnd la ntmplare 10 aparate se cere: a) S se stabileasc legea de repartiie a variabilei aleatoare care reprezint numrul

de aparate, din cele 10, care nu se ncadreaz n limitele de funcionare. b) S se calculeze valoarea medie i dispersia acestei variabile aleatoare.

7.4. Repartiia uniform 157

Rezolvare: a) Variabila aleatoare cerut urmeaz o lege hipergeometric, unde a = 26,

b = 174, k = 0,1,2,...,10. Deci ( )P f k C CC

k k= =

26 174

10

20010 i f este descris de tabloul

f

k

C CC

k k:. . .

...

...

...

... .

0 1 2 1026 174

10

20010

b) ( )M f n p n aa b

= = + = =10 26

2001 3, ;

( )D f npq N nN

21

1026200

174200

200 10200 1

1 08= = = , .

7.4. Repartiia uniform

Definiia 4. Spunem c o variabil aleatoare continu f are o repartiie uniform, pe segmentul [a, b], dac densitatea ei de repartiie este dat prin:

(7.4.1) ( ) [ ] x b a pentru x a bpentru x a x b

= < >

1

0

,

,

Teorema 4. a) Funcia de repartiie a unei variabile aleatoare uniforme f, pe segmentul [a, b] este:

( )F xpentru x a

x ab a

pentru a x b

pentru x b

=

<

>

0

1

b) Valoarea medie i dispersia variabilei aleatoare uniforme f, sunt date prin:

( ) ( ) ( )M f a b D f b a= + = 2 12

22

,


Demonstraie: ( ) ( )F x t dtx

= .

Integrnd pentru valori ale lui x ( - ,a], x (a, b] i x (b, +) rezult expresia lui F(x).

( ) ( ) ( )M f x x dx b a xdxb a

b aa b

a

b

= = = =

+

1 2 2

2 2

( ) ( ) ( )[ ] ( )D x M f M f b a x dx a b b aa

b2 2 2 2

2 212 12

= = +

=

7.5. Repartiia normal (Legea de probabilitate Gauss - Laplace)

Aceast repartiie are un rol fundamental n teoria probabilitiilor, ea st la baza metodelor de prelucrare a datelor de msurare i are o importan deosebit n statistic. Definiia 5. O variabil aleatoare f continu are o repartiie normal, de parametri m i 2 (sau este supus unei legi normale de probabilitate N (m, 2 ) ) dac densitatea sa de repartiie este dat prin:

(7.5.1.) ( ) ( ) ,e2

1,m,x 22

2mx

2

= x R,

0 a b x

1b a

(x)

0 a b x

1

F(x)

7.5. Repartiia normal (legea de probabilitate Gauss - Laplace) 159

unde m i 2 sunt parametri. Rezult imediat c funcia de repartiie a unei variabile aleatoare normale este dat prin:

(7.5.2.) ( )( )

,dte2

1xFx

2mt

2

2

= x R. Repartiia discret binomial se apropie de distribuia normal, cnd numrul probelor devine foarte mare. n statistic, spunem c o distribuie urmeaz o lege normal N(m, ) dac, secvenele empirice se apropie de probabilitile date prin (7.5.2). Urmtoarea teorem precizeaz interpretarea parametrilor m i 2 din legea normal N(m, 2 ). Teorema 5. Dac f este o variabil aleatoare ce se supune legii normale N(m, 2 ), atunci valoarea medie i dispersia lui f sunt date prin:

M(f) = m, ( )D f2 2= Demonstraie: S observm c (x, m, 2 ) ndeplinete condiiile unei densitii de

repartiie (x) 0 i ( ) x m dx, , ,2 1=

ceea ce rezult n urma schimbrii de

variabil x t prin x = t + m.

( )( )

M f xe dxx m

=

12

2

22

.

n integrala de mai sus se efectueaz schimbarea de variabil x t, dat prin t

x m= sau x = t + m i se obine:

( ) ( ) mdte2mdtte

2dtemt

21fM 2

t2t

2t 222

=+=+=

.


Am inut seama c te dtt

=

2

2 0 , fiind o integral dintr-o funcie impar,

iar e dtt

2

2 este integrala improprie a lui Poisson ce are valoarea 2 .

Dispersia variabilei aleatoare f, de repartiie normal N(m, 2 ), se calculeaz prin:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) dxemx2

1mfMfD 22

2mx

222

==

i dup efectuarea aceleeai schimbri de variabil se obine:

( )

22

2t

2t2

2t

22

2t

222

22

dtete2

dtet2

dtet21fD

22

22

==

+

=

===

Am utilizat integrarea prin pri, considernd funciile u(t) = t i

( )v t tet

= 2

2 i am inut seama de integrala Poisson.

Observm c parametrii m i 2 ai repartiiei normale N(m, 2 ) reprezint valoarea medie i respectiv dispersia unei variabile aleatoare ce urmeaz aceast lege. n acelai timp, funcia de repartiie a unei variabile aleatoare normale este complet determinat de valoarea medie m i de dispersia . Reprezentnd grafic densitatea de repartiie normal, acest grafic are forma unui clopot, numit clopotul lui Gauss. Pentru diferite valori ale lui m i 2 se obin diferite curbe ale densitii de repartiie normale . Toate aceste curbe au ns urmtoarele proprieti: a) admit ca asimptot orizontal axa absciselor, Ox;


b) admit un punct de maxim ,2

1,mM

innd seama de coordonatele acestui

punct rezult c clopotul lui Gauss este cu att mai ascuit cu ct este mai mic; c) sunt simetrice fa de paralela la axa Oy, de ecuaie x = m; d) admit dou puncte de inflexiune de abscise m - i m + .

m + mm - x

( , , )x m 2

Fie f o variabil aleatoare care se supune legii normale ( )N m,2 . S considerm variabila aleatoare g

f m= . Constatm imediat c,

[ ]M g M f m( ) ( )= =1 0 ; ( )D g M g M f mf m2 2 2 2 21 2( ) ( )= = + =

( )[ ] ( )= + = + + =1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 M f mM f m m m m( ) , adic variabila aleatoare g se supune unei legi normale N (0, 1). Definiia 6. Spunem c variabila aleatoare g are o repartiie normal redus, dac densitatea sa de repartiie se obine din (7) fcnd m = 0 i = 1, adic are ca densitate de repartiie funcia:


(7.5.3) r x ex

( ) = 12

2

2 .

Funcia de repartiie a unei variabile aleatoare normale reduse este dat prin:

(7.5.4) ( ) ( )x r u du e duuxx

= = 12

2

2 ,

i ea este cunoscut sub numele de funcia lui Laplace. S observm c:

( )

( ),

= = =

= =

x e du e du

e du x

ux u

x

ux

12

112

112

1

2 2

2

2 2

2

deci are loc: (7.5.4) (-x) + (x) =1. Fie f o variabil aleatoare de repartiie normal N m( , )2 i numerele reale a < b date. Atunci:

( ) ( )P a f b x m dx e dxa

b x m

a

b

< < = =

, ,

( )2 21

2

2

2 .

n urma aceleiai schimbri de variabil x m

t x t = ( ) se obine:

( )P a f b e dt

e dt e dtb m a m

t

a m

b m

tb m

ta m

< < = =

= =

12

12

2

2 2

2

2 2


Deci, chiar dac variabila aleatoare f se supune unei legi de repartiie normal N m( , )2 de parametrii m i 2 probabilitatea P(a < f < b) se poate exprima cu ajutorul funciei de repartiie corespunztoare variabilei aleatoare normale reduse, funcia lui Laplace (x), motiv pentru care, de obicei, valorile ei se gsesc nregistrate i pot fi utilizate pentru determinarea probabilitilor evenimentelor legate de o variabil aleatoare normal. Fie acum > 0, atunci:

( ) ( )P m f m P f m < < + = < = =

=

=

1 2 1.

S considerm = 3. Obinem: ( )P f m < = 3 2 3 1 ( ) .

Apelnd la valorile funciei lui Laplace obinem c (3) = 0,9987 i deci, ( )P f m < = =3 2 0 9987 1 0 9974 , , ,

ceea ce susine afirmaia c valorile unei variabile aleatoare normale nu se abat de la valoarea medie m cu mai mult de 3 sau cu alte cuvinte, aceste valori se abat de la valoarea medie cu mai mult de 3, cu o probabilitate foarte mic (1 - 0,9974 = 0,0026).

Exemplul 4. S considerm un ansamblu statistic de valori, reprezentnd o caracteristic a unui lot de produse (cost, consum electric, etc.), care sunt repartizate dup o lege normal N (200, 64). Lund la ntmplare 100 din aceste produse, care

a bm

P a m b( )< 0. Atunci funcia de repartiie a variabilei aleatoare g

f

=

tinde ctre funcia de repartiie normal redus (cu parametrii

0 i 1) cnd tinde la . Teorema 8. Fie ( )fn n1 un ir de variabile aleatoare de distribuie binomial, fn de parametri n i p (p nu depinde de n) i f o variabil aleatoare de distribuie normal redus. Atunci are loc

( )P a f b P a f npnpq

bn

n< < = <


Urmtoarea teorem arat importana repartiiei normale n prelucrarea datelor de msurare.


Fie a o mrime pentru care se determin prin n msurtori valorile a a a n1 2, ,..., . Cantitile n,1k,aae kk == se numesc erori accidentale (de msurare) n cele n msurtori. Teorema 9. (Teorema lui Laplace - Gauss). Variabila aleatoare care ia ca valori erorile accidentale (de msurare) ek , k n= 1, urmeaz o repartiie normal. Exemplul 5. Variabila aleatoare f care indic erorile de msurare ale unui aparat se supune legii normale N (0, 9). Se cere probabilitatea ca din trei msurtori

independente eroarea s aparin cel puin o dat intervalului 0125

, .

Rezolvare: Notm cu A evenimentul a crui probabilitate este cerut.

P A P A( ) ( )= 1 , [ ]P A P f( ) ( , )= < 0

(7.6.1) =0

t1x dtet(x)

de parametrul x. Utiliznd criteriile de convergent pentru astfel de integrale se arat c ea este convergent pentru orice x > 0 .

Dac facem schimbarea de variabil (t y) prin 2yt

2

= rezult Integrala din membrul drept este o integral improprie generalizat depinznd

7.6. Repartiia Gama 167

(7.6.2) =0

12xx1 dyey2(x) 22y

iar pentru cazul particular 21x = se obine

===

22dye2)(

0

2y

21

2

Sa considerm (x+1) i s integrm prin pri , avem :

x)(xdtetxetdtet1)(x0

t1x0

tx

0

tx =+==+

Deci funcia (gama) verific ecuaia funcional (7.6.3) )x(x1)(x =+ , x > 0 Dnd succesiv lui x valorile naturale :1,2,3,,n i innd seama c 1)1( = rezult c pentru orice n ntreg (7.6.4) (n+1)=n! Din cele de mai sus rezult c

(7.6.5) ==+= 2121212123 )()1()( i din aproape n aproape putem calcula )( 2 12n+ pentru orice n ntreg . Definiia 7. Spunem despre o variabil aleatoare f ca urmeaz o repartiie gama dac densitatea ei de repartiie este data prin

(7.6.6) (x)= 0 n, x 0 , (n)xe 1-n-x >


O astfel de variabil aleatoare posed momentele de un ordin k oarecare date prin:

(7.6.8) 1)k2).....(n1)(nn(n)n(

)kn(dxxe(f)M0

k1nx)n(

1k +++=

+== +

Pentru momentele acestea gsim:

(7.6.9)

........................................6n3n(f)m

3n(f)mnn1)n(n[M(f)](f)M(f)m

24

3

2222

+==

=+==

Funcia caracteristic asociat unei variabile aleatoare de repartiie gama este:

nk

1k

0k 0

k

0

k1knx

0 0k

1nxk

0

1nxitxf

it)1(it)(k!

1)k(n1)........n(n1

(it)k!

k)(n)n(

1dx(it)xek!1

n)(1

dxxek!x)(i

n)(1dxxee

)n(1)t(

=

=

+

=

=+++=

=+==

=+==

Referitor la operaii cu variabile aleatore de repartiie gama are loc. Teorema 10. Dac variabilele aleatoare independente sunt de repartiie gama aparinnd claselor )n(f 11 , respectiv )n(f 22 , atunci 21 ff + este de repartiie gama i aparine clasei )nn( 21 + . Demonstraie. Funcia caracteristic corespunztoare variabilei aleatoare 21 ff + este

)n(nnnff

212121

it)(1it)(1it)(1(t) ++ == , care corespunde repartiiei )nn( 21 + Urmtoarea teorem stabilete o relaie de legtur ntre repartiia gama i repartiia normal (Gauss-Laplace) Teorema 11. Dac variabila aleatoare f este normal de parametrii m i (fN(m,)), atunci variabila aleatoare

7.7. Repartiia Beta 169

(7.6.10) 22

2)mf(g

= este de repartitie gama i aparine clasei )( 21

Demonstraie. Fie x > 0, atunci funcia de repartiie asociat variabilei aleatore este:

G(x) = P(g < x) = P({ : g()


iar prin schimbarea de variabil yx , y1

1x += obinem

(7.6.4)

+

+= 0 qp1q

dy)y1(

y)q,p(B

ntre funciile lui Euler beta i gama se stabilete urmtoarea relaie de legtur

(7.6.5) )q,p(

)q()p()q,p(B =

Definitia 8. Spunem despre o variabil aleatoare f c urmeaz o repartiie de probabilitate beta dac densitatea sa de probabilitate este de forma:

(7.6.6) ,)n,m(B)x1(x)x(

1n1m = unde 0 x 1, m > 0 , n > 0 Evident, (x) este o densitate de probabilitate deoarece (x) 0 i =

1

0

1n1m )n,m(Bdx)x1(x

implic

= 1dx)x( .

Vom nota (m,n) mulimea tuturor variabilelor aleatoare a cror densitate de repartiie este dat prin relaia (7.6.6). Momentele de ordinul k ale unei variabile aleatoare de repartiie sunt:

(7.6.7)

)1knm)...(1nm)(nm()1km)...(1m(m

)n,m(B)n,km(Bdx)x1(x

)n,m(B1)f(M 1n

1

0

1mkk

+++++++=

=+== +

n particular avem :

nmm)f(M += , )1nm)(nm(

)1m(m)f(M 2 ++++=

(7.6.8) )1nm()nm(

mn)]f(M[)f(M)f()f(m 22

22

2 +++===

7.8. Repartiia lognormal 171

ntre variabilele aleatoare de repartiie beta i gama exist urmtoarea relaie de legatur . Teorema 12. Dac f 1 i f 2 sunt variabile aleatoare independente de repartiie gama

)n(f si )m(f 21 atunci, variabila aleatoare (7.6.9)

21

1

fffg +=

urmeaz o repartiie beta de parametri m si n (g(m,n)) . De asemenea se poate construi o variabil aleatoare de repartiie beta pornind de la variabile aleatoare de repartiie normal Teorema13. Dac variabilele aleatoare independente mi1),f( i , nj1);g( j urmeaz o repartiie normal de parametrii o si 2 , atunci variabila aleatoare (7.6.10) 2

n21

21

2m

22

21

2m

22

21

g.....ggf......fff.....ffh +++++++

+++=

este de distribuie beta aparinnd clasei ),( 2n

2m .

7.8. Repartiia lognormal

Definitia 9. O variabil aleatoare f continu are o repartitie lognormal dac densitatea sa de repartiie este dat prin :

(7.8.1) e 22

2)ax(ln

2

2x1),a,x(

= ,

unde + IRx , iar a i 2 sunt valoarea medie i respectiv, dispersia logaritmului lui f. S considerm variabila aleatoare

(7.8.2) )af(ln1g = , atunci avem :

(7.8.3) e gaf += , iar variabila aleatoare g este repartizat dupa legea normal redus )1,0(Ng( )


Teorema 14. Valoarea medie a unei variabile aleatoare lognormale f de parametrii a i 2 este

(7.8.4) e 22

a)f(M+= ,

iar dispersia este dat prin

(7.8.5) e )1e(a2222

)f(D += .

Demonstraie: ==

0

2 dx),a,x(x)f(M

0 2)ax(ln

dx2

1e 2

2

.

Efectund schimbarea de variabil (x u) prin = axlnu i efectund calculele

rezult valoarea medie dat de (35).

dxx

)x(2

1dx),a,x())f(Mx()f(D0 0

2)ax(ln22

a222 ee 2

22

+==

Efectund aceeai schimbare de variabil i calculele rezult dispersia dat prin (15) .

Observaia 1. 0),a,x(lim),a,0( 2

0x0x

2 ==>

ceea ce constituie o proprietate

important a variabilei aleatoare lognormale cnd x are semnificaia timp , proprietate ce nu este ndeplinit n cazul unei variabile aleatoare normale .

Observaia 2. Fie n21 f,.....,f,f variabile aleatoare de repartiie lognormal independente .

Atunci, variabila aleatoare produs (7.8.6) n21 f,........,f,fg = este o variabil aleatoare lognormal.

ntr-adevr n,1k,fk = fiind de repartiie lognormal, atunci variabilele aleatoare n,1k,fln k = sunt de repartiie normal i folosind proprietatea de aditivitate a variabilelor aleatoare independente de repartiie normal rezult c

variabila aleatoare =

= n1k

kflngln este de repartiie normal i deci g este de repartiie

lognormal.

7.9. Repartiia student 173

7.9. Repartiia Student

Definitia 10 . Spunem c o variabil aleatoare f are o repartiie Student cu n grade de libertate, dac densitatea sa de probabilitate este dat prin :

(7.9.1) 21n2

2n

21n

)n

x1()(n

)()x(

++ +=

unde x R, *Nn iar este funcia lui Euler de spea a doua =0

t1u )dtet)u((

. Funcia (x) definit de (38) indeplinete condiiile unei densiti de probabilitate: a) (x) 0 , pentru orice x R este vizibil. b)

= 1dx)x( , rezult din calcul .

ntr-adevr

+++ +=+

= +0

21n

nx

2n

21n

nx

2n

21n

dx)1()(n

)(2dx)1(

)(n)(

dx)x( 221n2 ,

deoarece (x) este o funcie par. Efectund schimbarea de variabila (x y) prin

2xy

2

= se obine

,)(

)()(2n

)2n,

21(

2ndy)y1(y

2ndx)

nx1(

21n

2n

21

0 0

2)1n(

21

2)1n(2

+

++

=

==+=+

de unde rezult c

= 1dx)x( .


Deoarece densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare student este o funcie par, valoarea medie i momentele de ordin impar a unei variabile f repartizate student sunt zero: M(f) = 0 , 0)f(M 1k2 =+ . Pentru momentele de ordin par se obin n urma aceleiai schimbri de variabile, utilizate mai sus, rezultatele:

(7.9.2) )(

)k()k(2

n)f(M2n

2n

21k

k2 +

= , k < 2n

Cum

==+21)...

23k)(

21k()

21(

21).....

23k)(

21k()

21k( ,

)k2n()k

2n)......(2

2n)(1

2n()

2n( =

obinem pentru momentele de ordin par exprimrile:

(7.9.3) )k2n)....(4n)(2n(

)1k2.......(321n)f(Mk

k2 = , k

7.10. Repartiia Helmert 175

n statistic o variabil aleatoare student cu n grade de libertate se mai noteaz prin nt , iar -cuantila superioar se noteaz prin n,t i ea este determinat de relaia

(7.9.7) => )tt(P n,n Geometric reprezint aria suprafeei cuprinse ntre axa Ox, graficul

densitii de repartiie student, situat la dreapta paralelei cu Oy de ecuaie

n,tx = .Mulimea variabilelor aleatoare ce urmeaz o repartiie de probabilitate Student cu n grade de libertate se noteaz de obicei cu S(n). Repartiia Student este utilizat pentru efectuarea de teste statistice n vederea verificrii unor ipoteze statistice referitoare la mediile populaiilor etc.n cadrul acestor teste densitatea de repartiie Student cu n grade de libertate se mai noteaz cu f(t,n), iar valorile ei i ale -cuantilei superioare se gsesc tabelate (nregistrate).

7.10. Repartiia Helmert

Aceast repartiie a fost descoperit n 1876 de ctre Helmert i pus n valoare de K. Pearson cu 30 de ani mai trziu. Ea este un caz particular al repartiiei

gama, obinndu-se din aceasta pentru 22b , 2na ==

Definiia 11. Spunem despre o variabil aleatoare f c urmeaz o repartiie de probabilitate Helmert ( 2 )de parametrii n si dac densitatea sa de repartiie este dat prin:

(7.10.1) ex2

22x

12n

n2n

)2n(

1)x(

=

pentru orice x[0, ) , unde n este un numr natural dat, numit numrul gradelor de libertate, iar > 0 este de asemenea dat. Se verific uor c

=0

1dx)x( .


Vom nota cu H(n,) mulimea tuturor variabilelor aleatoare avnd o repartiie de probabilitate Helmert de parametrii n, . Prin calcul direct se deduce c funcia caracteristic asociat unei variabile aleatoare hi-ptrat este :

(7.10.2) 2n

2 )ti21()t(=

Derivnd succesiv obinem

(7.10.3)

.)ti21()2k2n)...(2n(nidtd

.....................................................

)ti21()2n(nidt

yd

)ti21(indtdy

k2n

2k2kk

k

22n

2422

2

12n

22

++=

+=

=

Dnd lui t valoarea zero, din relaiile de mai sus se obin momentele de diferite ordine pentru o variabil aleatoare f de repartiie hi-ptrat

(7.10.4)

,)2k2n)...(2n(ndtd

i1)f(M

....................................................

)2n(ndtd

i1)f(M

ndtd

i1)f(M

k2

0tk

k

kk

4

0t2

2

22

2

0t1

++=

=

+=

=

=

=

=

=

=

iar pentru momentele centrate se obin valorile :

(7.10.5)

.....................................................)4n(n12)f(m

n8)f(m

n2)]f(M[)f(M)f(m

84

63

42122

+==

==


Cu ajutorul funciei caracteristice asociate repartiiei Helmert se poate arta c, dac f este o variabil aleatoare ce aparine clasei H(n,)atunci variabila aleatoare

(7.10.6) 2

2

n n2nfg =

este asimptotic normal (N(0,1)), pentru n . S considerm variabilele aleatoare ),n(Hf 11 i ),n(Hf 22 i funciile caracteristice corespunztoare acestora

2n

21

1

)ti21()t(= , respectiv 2

n2

2

2

)ti21()t(= .

Atunci variabila aleatoare 21 fff += va avea funcia caracteristic

,)ti21(

)ti21()ti21()t()t()t(

2nn

2

2n

22n

221

21

21

+

=

===

de unde rezult c ),nn(Hfff 2121 ++= Urmtoarele teoreme furnizeaz modaliti de a obine variabile aleatoare de repartiie H(n,). Teorema 16. Fie variabilele aleatoare independente 1nn21 f,f,..,f,f + aparinnd clasei N(0,). Atunci variabila aleatoare

(7.10.7) g = 2n2

22

1 f,..,ff +++ aparine clasei H(n , ) . Demonstraie. Fie x 0. Funcia caracteristic a variabilei aleatoare nj1,f 2j se obine prin:

==


2

2

2t

ex2

1dx

)x(dF

=

De aici rezult c funcia caracteristic asociat variabilei aleatoare 2jf este dat de :

== 02

x21

xtitiff dxexe2

1)e(M)t( 22j

2j

Dezvoltnd n serie de puteri (Taylor) funcia

=

=0n

nxtixti

!n)xti( ee , innd

seama de definiia funciei a lui Euler i de expresia seriei binomiale, n urma unui calcul similar cu cel din determinarea funciei caracteristice asociate repartiiei gama se obine

21

2tiff )ti21()e(M)t(

2j

2j

==

Funcia de repartiie asociat variabilei aleatoare =

=n

1j

2jfg se obine prin :

,)ti21(

)ti21()(M

)(M)(M)t(

2n

2

n

1j

n

1j

21

2itf

n

1j

itffitg

e

ee

2j

2j

n

1j

2j

= =

=

=

===

===

=

care este funcia caracteristic corespunztoare unei variabile aleatoare de repartiie Helmert (g(n,)) de parametrii n si . Legea de repartiie 2 (hi-ptrat) cu n-grade de libertate se mai noteaz cu 2n , iar - cuantila superioar corespunztoare unei variabile aleatoare de repartiie 2n se noteaz prin 2,n . Ea se determin prin relaia


(7.10.8) P( 2n > 2,n ) = , reprezint aria haurat din figura alturat i pentru determinarea -cuantilei superioare 2,n se gsesc nregistrri (tabele) cu valorile ei n funcie de .

Repartiia 2 este utilizat frecvent n statistic la ajustarea repartiiilor statistice rezultate n analiza statistic.

(x)

Documents

Legea Evenimentelor Rare