Embed Size (px)
Citation preview
Titus Petrila Ioan Ioja Profesor universitar Doctor în matematici
Lecii de Matematic i Biostatistic
Universitatea de Vest „Vasile Goldi” – Arad
2
Refereni tiinifici Prof.univ.dr. Grigore Slgean, Universitatea „Babe-Bolyai”, Cluj-Napoca Prof.univ.dr. Damian Trif, Universitatea „Babe-Bolyai”, Cluj-Napoca
3
Cuvânt înainte Leciile de matematic i biostatistic reprezint în esen nucleul cursului i seminariilor, cu acela nume, inute de autori în ultimii 5 ani, în cadrul anului I, a seciei de Farmacie de la Facultatea de Medicin general, Medicin stomatologic i Farmacie a Universitii de Vest „Vasile Goldi” din Arad. Cutând s urmreasc curricula Uniunii Europene pentru Facultile de Farmacie, prezentul curs acoper atât o parte de noiuni din matematicile clasice i superioare (algebr linear, calcul diferenial i integral) cât i fundamente ale teoriei probabilitilor i ale statisticii matematice, toate în vederea abordrii aspectelor moderne legate de biostatistic. Biostatistica este azi un instrument cheie în cercetarea tiinelor vieii i din acest motiv nu poate lipsi din programele Facultilor de Medicin i Farmacie. Acest curs va ajuta în abordarea ulterioar, de ctre studeni, a altor discipline de profil care astzi nu se mai pot concepe fr o pregtire matematic i statistic. Noiunile prezentate nu sunt însoite de demonstraii. Sunt îns date numeroase exemple, multe cu profil medical i farmaceutic. Caracterul su succint este legat de numrul redus de ore afectat predrii i seminarizrii. Sperm c acest text va fi util nu doar studenilor ci i altor cercettori interesai în abordarea modern a problematicii vieii. Orice observaie din partea cititorilor va fi întâmpinat cu interes din partea noastr. Autorii
4
5
Cuprins
1. ELEMENTE DE ALGEBR LINEAR. MATRICI, DETERMINANI, SISTEME ALGEBRICE DE ECUAII LINEARE ......................................................... 9
1.1. PERMUTRI ......................................................................................................... 9 1.2. MATRICI PTRATICE.......................................................................................... 10 1.3. DETERMINANI ................................................................................................. 10 1.4. REGULA LUI LAPLACE ....................................................................................... 12 1.5. RANGUL UNEI MATRICI...................................................................................... 16 1.6. SISTEME DE ECUAII ALGEBRICE LINEARE ......................................................... 18 1.7. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINEARE COMPATIBILE DETERMINATE . 20 1.8. SISTEME ALGEBRICE LINEARE OMOGENE........................................................... 22 1.9. METODA ELIMINRII SUCCESIVE A NECUNOSCUTELOR (METODA LUI GAUSS) .. 23
2. NOIUNI DE CALCUL DIFERENIAL ............................................................. 27 2.1. IRURI ............................................................................................................... 30 2.2. SERII DE PUTERI................................................................................................. 34 2.3. LIMITA DE FUNCII ............................................................................................ 36 2.4. CONTINUITATEA................................................................................................ 37 2.5. DERIVABILITATEA ............................................................................................. 39
2.5.1. Derivate de ordin superior........................................................................... 42 2.6. REGULA LUI L’HOSPITAL................................................................................... 43 2.7. STUDIUL FUNCIILOR DE O VARIABIL CU AJUTORUL DERIVATELOR. MONOTONIE I CONCAVITATE. EXTREME ............................................................................................ 44 2.8. REPREZENTAREA GRAFIC A FUNCIILOR ......................................................... 50
3. ELEMENTE DE COMBINATORIC .................................................................. 54 4. NOIUNI DE CALCUL INTEGRAL.................................................................... 57
4.1. INTEGRALA NEDEFINIT .................................................................................... 57 4.1.1. Metoda integrrii prin pri......................................................................... 58 4.1.2. Metoda substituiei....................................................................................... 59 4.1.3. Integrarea funciilor raionale ..................................................................... 59
4.2. INTEGRALA DEFINIT ........................................................................................ 63 4.2.1. Formula Leibnitz-Newton ............................................................................ 65
4.3. NOIUNEA DE INTEGRAL IMPROPRIE ............................................................... 66 4.4. INTEGRALELE EULER......................................................................................... 68
5. METODE APROXIMATIVE (NUMERICE) ....................................................... 70 5.1. CALCULUL APROXIMATIV AL DERIVATELOR...................................................... 70 5.2. INTERPOLARE .................................................................................................... 71 5.3. CALCULUL APROXIMATIV AL INTEGRALELOR.................................................... 73
6. FUNCII DE MAI MULTE VARIABILE ............................................................ 75 6.1. LIMITA GLOBAL .............................................................................................. 75 6.2. CONTINUITATEA................................................................................................ 76
6
6.3. DERIVATE PARIALE ......................................................................................... 76 6.4. DERIVATE PARIALE DE ORDIN SUPERIOR ......................................................... 77 6.5. EXTREMUL FUNCIILOR DE MAI MULTE VARIABILE ........................................... 78 6.6. EXTREME CU „RESTRICII” (CONSTRÂNGERI) .................................................... 80
7. CÂMP DE VECTORI.............................................................................................. 82 8. ECUAII DIFERENIALE ................................................................................... 84
8.1. ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL ÎNTÂI ........................................................ 84 8.1.1. Ecuaii difereniale „omogene”................................................................... 89
8.2. ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL DOI ........................................................... 90 8.3. REZOLVAREA UNUI SISTEM DE DOU ECUAII DIFERENIALE LINEARE DE ORDINUL ÎNTÂI................................................................................................................. 93
9. CALCULUL PROBABILITILOR.................................................................... 94 9.1. EVENIMENTE. MODEL ANSAMBLIST ASOCIAT.................................................... 94 9.2. OPERAII CU EVENIMENTE ................................................................................ 96 9.3. CORPURI DE EVENIMENTE ................................................................................. 98 9.4. DEFINIIA CLASIC A PROBABILITII .............................................................. 99 9.5. DEFINIIA AXIOMATIC A PROBABILITII...................................................... 100 9.6. PROBABILITATE CONDIIONAT...................................................................... 101 9.7. TEOREMA (FORMULA) PROBABILITII TOTALE. TEOREMA (FORMULA) LUI BAYES ........................................................................................................................ 105 9.8. SCHEME DE PROBABILITATE ............................................................................ 108
9.8.1. Schema lui Bernoulli, cu dou stri, cu „bila întoars” (binomial)........ 108 9.8.2. Schema lui Bernoulli, cu dou stri, cu „bila neîntoars” (hipergeometric) ................................................................................................................... 109 9.8.3. Schema lui Poisson .................................................................................... 110
9.9. VARIABILE ALEATOARE .................................................................................. 110 9.9.1. Variabile aleatoare discrete ...................................................................... 111 9.9.2. Funcia de repartiie .................................................................................. 114 9.9.3. Variabile aleatoare continue ..................................................................... 116
9.10. LEGI DE PROBABILITATE DE TIP CONTINUU...................................................... 116 9.10.1. Legea uniform ..................................................................................... 116 9.10.2. Legea normal ...................................................................................... 118
9.10.3. Legea 2
νχ ............................................................................................. 119 9.10.4. Legea T a lui Student (sau Student-Fisher)........................................... 119
9.11. VARIABILE ALEATOARE INDEPENDENTE. OPERAII CU VARIABILE ALEATOARE .... ........................................................................................................................ 120 9.12. CARACTERISTICI NUMERICE ASOCIATE VARIABILELOR ALEATOARE................ 121 9.13. TEOREME DE APROXIMARE ÎN CALCULUL PROBABILITILOR......................... 125
9.13.1. Aproximarea legii binomiale printr-o lege normal ............................. 126 9.13.2. Tabele de calcul pentru legea normal centrat redus N(0,1)............ 126 9.13.3. Aproximarea legii Poisson printr-o lege normal ................................ 130
10. STATISTICA..................................................................................................... 134 10.1. STATISTIC DESCRIPTIV. GENERALITI ...................................................... 134 10.2. ABORDAREA DESCRIPTIV A VARIABILELOR ................................................... 135
7
10.2.1. Cazul variabilelor calitative.................................................................. 135 10.2.2. Cazul variabilelor cantitative................................................................ 139
10.3. CARACTERISTICI NUMERICE EMPIRICE............................................................. 140 10.4. TEORIA SELECIEI ........................................................................................... 145 10.5. FUNDAMENTAREA MATEMATIC A TEORIEI SELECIEI .................................... 147 10.6. ELEMENTE DE TEORIA ESTIMAIEI................................................................... 152
10.6.1. Estimaiile punctuale............................................................................. 152 10.7. RELUAREA UNOR REZULTATE DIN CALCULUL PROBABILITILOR UTILIZATE ÎN STATISTIC .................................................................................................................... 155 10.8. INTERVALE DE ÎNCREDERE .............................................................................. 156 10.9. TESTAREA (VERIFICAREA) IPOTEZELOR STATISTICE........................................ 161
11. ANEXE............................................................................................................... 165
8
9
1. Elemente de algebr linear. Matrici, Determinani, Sisteme algebrice de ecuaii lineare
1.1. Permutri Printr-o permutare a n elemente, numerotate respectiv cu numerele 1,2,...,n, se înelege o redistribuire a acestora 1i , 2i , ..., ni care, evident, va avea tot n elemente distincte dintre numerele 1,2,...,n. Se obinuiete a se
folosi pentru aceast permutare notaia
niii
n
,,...,
,,...2,1
21
.
Evident
n
n
,,...2,1,,...2,1
va fi permutarea ”identic”. Numarul total de
permutri , care se pot construi pentru n elemente, este nn ⋅⋅⋅= ...21! . Exemplu: În cazul 3=n , avem pentru elementele 1, 2, 3 un numr
posibil de 6321!3 =⋅⋅= permutri
321 ,,
3,2,1
iii mai precis avem
permutrile
3,2,1
3,2,1,
2,3,1
3,2,1,
3,1,2
3,2,1,
1,3,2
3,2,1,
2,1,3
3,2,1,
1,2,3
3,2,1.
Dac într-o permutare dat 1i , 2i , ..., ni se perturb sensul cresctor al elementelor (care exist, evident, pentru 1,2,...,n), deci dac exist doi indici k i l astfel ca lk ii > , dei lk < , se zice c avem o „inversiune”. O permutare este „par” dac ea are un numr par de inversiuni i „impar” în caz contrar. Permutarea identic are 0 inversiuni i este considerat par. Exemplu: Luând din nou 3=n , dac considerm permutarea
2,3,1
3,2,1 ea are o inversiune (între 3 i 2), în timp ce permutarea
10
1,2,3
3,2,1 are 3 inversiuni (între 3 i 2, 3 i 1, 2 i 1) iar permutarea
2,1,3
3,2,1 are 2 inversiuni (între 3 i 1, 3 i 2).
1.2. Matrici ptratice Printr-o matrice înelegem un tablou A de elemente dispuse într-un anumit numr n de linii i m de coloane încadrate de dou paranteze ( ), adic
j
aaa
a
aaaaaa
iA
nmnn
ij
m
m
=
......
...
...
...
21
22221
11211
Se zice atunci c avem o matrice A de ordinul mn × . Evident c elementul general al unei astfel de matrici va fi un element ija aflat la intersecia liniei a i-a cu coloana j. În cazul particular când numrul liniilor i numrul coloanelor este acelai, adic avem mn = , se zice c matricea este „ptratic”.
1.3. Determinani Printr-un determinant ataat, unei matrici ptratice
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.........
...
...
21
22221
11211
de ordinul n, se înelege un numr, notat cu
11
)det(A sau
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
.........
...
...
21
22221
11211
, care este egal cu
=≡P
niii
nnnn
n
n
naaa
aaa
aaa
aaa
A ...
.........
...
...
)det(21 21
21
22221
11211
ε , unde
niii
n
,,...,
,,...2,1
21
este
o permutare a numerelor 1,2,...,n, ε este „semnul” acestei permutri (care este „+” pentru permutri pare i este „-” pentru permutri impare), suma
fiind extins pentru toate permutrile P, în numr de !n , care pot fi formate cu 1,2,...,n. Se observ c fiecare termen al acestei sume este un produs de n (ordinul matricei i al determinantului) elemente ale matricei cu restricia c din fiecare linie i coloan nu apare decât un singur i numai un singur factor. Din aceast definiie se vede c valoarea unui determinant nu se modific dac se înlocuiesc liniile prin coloanele de acela ordin sau reciproc. Exemplu: Fie acum o matrice ptratic A de ordinul 3, adic
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A . Prin )det(A , conform definiiei de mai sus, vom
înelege suma
332112312213322311312312322113332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++ unde s-au explicitat toate permutrile pentru 1, 2, 3 (scrise mai sus) iar semnul „+” s-a precizat pentru cazul permutrilor pare în timp ce semnul „-” a fost asociat permutrilor impare. Se remarc faptul c rezultatul de mai sus este în acord cu regula lui Sarus sau regula triunghiului stabilite în liceu pentru determinanii de ordinul 3.
12
1.4. Regula lui Laplace Prin minor ijM , al unui element ija al unui determinant de ordinul n, se înelege determinantul de ordinul „n-1” care se ataeaz matricei de acela ordin (n-1) obinut prin suprimarea liniei a i-a i a coloanei a j-a. Dac acest minor este precedat de semnul ji+− )1( el devine complementul algebric ijA ataat lui ija , adic ij
jiij MA +−= )1( .
Pentru calcularea unui determinant de un ordin n oarecare se poate utiliza rezultatul cunoscut sub numele de regula (teorema) lui Laplace care permite „dezvoltarea” determinantului dup elementele oricrei linii sau coloane. Mai precis, pentru dezvoltarea dup elementele liniei a „i”-a (sau a coloanei a „j”-a) avem
≡+++= ininiiii
nnnjnn
inijii
nj
nj
AaAaAa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
............
............
......
......
2211
21
21
222221
111211
njnjjjjj AaAaAa +++≡ ...2211 În esen aceast regul înlocuiete calculul unui determinant de ordinul n cu calcularea a n determinani de ordinul „n-1”. Cum linia (coloana) dup cum se face dezvoltarea poate fi aleas arbitrar, este util, în practic, de a alege o linie sau coloan care are un numr maxim de zerouri, deoarece pentru acele elemente nule nu mai trebuiesc calculai complemenii algebrici respectivi. Apelând atunci la proprieti ale determinanilor – care permit transformarea unui determinant dat într-un altul echivalent (cu aceeai valoare), se va cuta s se transforme determinantul într-unul cu numr maxim (n-1) de zerouri pe o aceai linie (coloan). Mai precis se poate apela la urmtoarele proprieti: 1. Un determinant care are toate elementele unei linii (sau coloane) egale cu zero, are valoarea zero.
13
2. Un determinant cu dou linii (sau coloane) proporionale, are valoarea zero. 3. Dac elementele unei linii (sau coloane) se multiplic cu o aceeai constant k i rezultatul se adaug la alt linie (sau coloan) – dar fr a modifica linia (sau coloana) iniial, valoarea determinantului nu se schimb. Exemplu: S se evalueze determinantul de ordinul 5
32130
21462
55013
27301
31052
−−−
−−−
−−
=d
Dac am utiliza regula lui Laplace ar trebui s calculm 5 sau 4 determinani de ordinul 4 care apoi i ei ar trebui redui la determinani de ordinul 3, etc. Dac îns linia cinci multiplicat cu 3 o adugm la linia doua i apoi scdem linia cinci multiplicat cu 4, din linia patra, avem
32130
1070182
55013
713091
31052
−−−−−−
−−−
=d
Dezvoltând acest determinant dup coloanea treia – care conine un singur element diferit de zero, obinem
107182
5513
71391
3152
)1( 8
−−−−
−−−
−=d .
Transformând acum acest determinant prin adugarea la linia întâi a liniei a doua multiplicat cu 2 i sczând linia doua multiplicat cu 3 din linia treia i aceeai linie a doua multiplicat cu 2 din linia patra, obinem
2433360
2634260
71391
1725130
−−−−
−−
=d .
14
Acest determinant, dezvoltat dup coloana 1, conduce la un unic determinant de ordinul 3 care se calculeaz dup regulile cunoscute. Mai precis
1032243336263426
172513−=
−−−−
−=d .
Observaia 1: În cazul determinanilor care au toate elementele situate deasupra sau dedesubtul diagonalei principale egale cu zero, valoarea acestor determinani este egal cu produsul tuturor elementelor ce formeaz diagonala principal. Observaia 2: Folosind aceeai tehnic a formrii de zerouri, succesiv, pe coloane (linii) se arat c un determinant Vandermonde de
ordinul n adic
112
11
21
.......
...1...11
−−− nn
nn
n
aaa
aaa este egal cu
))...()(()( 131211
nnnji
ji aaaaaaaa −−−=− −≤<≤
∏ , adic cu produsul tuturor
diferenelor posibile ji aa − cu nji ≤<≤1 .
Definiie: O matrice ptratic A se zice nesingular dac 0)det( ≠A . În caz contrar ea este singular. Orice matrice ptratic, nesingular, A admite o invers 1−A ale
crei elemente sunt )det(A
A ji adic complemenii algebrici ai matricei
„transpuse” (matricea obinut prin înlocuirea liniilor cu coloanele) împrii cu valoarea determinantului matricei A (diferit de zero). Definind produsul a dou matrici ptratice de acela ordin1 A i B prin
1 În condiiile produsului a dou matrici neptratice A i B (de ordinul (n, m) respectiv (p, r)) acesta nu se va putea efectua decât dac numrul coloanelor primei matrici (m) este egal cu numrul liniilor celei de a doua matrici (p), elementele ijc ale matricii produs C
fiind suma produselor elementelor corespunztoare ale elementelor liniei a „i”-a a matricii A i a coloanei a „j”-a matricei B.
15
,
...............
......
.
.
.
...............
..............
.....
...
.....
.
....
...
.....
...
.....
.
....
...
221122221211212111
222212122222212211221221121
121211121221212111121121111
21
22221
11211
21
22221
11211
+++++++++
++++++++++++++++++
=
=
⋅
nnnnnnnnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
nnnn
n
n
nnnn
n
n
bababababababababa
bababababababababa
bababababababababa
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
produs care în general nu este comutativ, se arat c, pentru orice matrice nesingular A de ordinul n i inversa ei 1−A , avem EAAAA =⋅=⋅ −− 11 , unde E este matricea „unitate” de acela ordin n, adic
=
1...00.........0...100...01
E . Aceast matrice E are proprietatea evident c,
pentru orice matrice ptratic A de ordinul n, avem AEAAE =⋅=⋅ . Exemplu:
Fie matricea
−−
−=
412112013
A care este nesingular ( 05)det( ≠=A ).
Formând atunci pe
)det(1
A
AA ji=− obinem
−
−
=−
51
51
0
53
512
2
51
54
1
1A . Se verific imediat c
=⋅=⋅ −−
100010001
11 AAAA .
16
1.5. Rangul unei matrici
S considerm o matrice
=
nnnn
rmrrrr
mr
mr
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
.........
................
......
......
21
21
222221
111211
de
ordinul mn × . Prin rangul acestei matrici se înelege ordinul maxim r al unui minor diferit de zero al acestei matrici. Cu alte cuvinte dac, de pild,
determinantul 0...
.....
1
111
≠=
rrr
r
r
aa
aa
D i toi determinanii de ordin superior
lui r, formai cu elementele lui A, sunt zero, rangul acestei matrici este r. Evident pentru a calcula rangul unei matrici o prim cale ar fi de a calcula determinanii formai cu elementele acestei matrici, începând cu determinantul de ordin maxim (min(n,m)) i apoi, succesiv, determinanii de ordin mai mic. În momentul când, urmând aceast cale, am stabilit un determinant diferit de zero, ordinul acestui determinant este rangul matricei. Pe de alt parte observând c urmtoarele transformri elementare: 1.) interschimbarea liniilor cu coloanele, 2.) multiplicarea unei linii (coloane) cu o constant arbitrar nenul, 3.) adunarea la o linie (coloan) a altei linii (coloane) multiplicate cu o constant, nu modific rangul unei matrici (determinantul de ordin maxim rmânând în continuare diferit de zero), dac folosind aceste transformri se reduce matricea la o form diagonal (fcând zero elementele nediagonale) atunci numrul elementelor nenule de pe diagonala principal ne d rangul matricei respective.
17
Exemplu: Fie matricea
−
−−−
=
0321050713541420
A . Interschimbând
primele dou coloane i multiplicând prima linie cu ½, obinem matricea „echivalent”
−
−−−
0231005731514201
.
Adugând la coloana treia prima coloan multiplicat cu 2 i apoi adugând noua prim linie, multiplicat convenabil, la liniile celelalte se obine
−−
620000930310
001
.
În final multiplicând linia doua cu -1, sczând din coloana treia coloana doua multiplicat cu 3, iar apoi sczând din a treia i a cincea linie pe linia doua multiplicat corespunztor, se ajunge la forma diagonal dorit
000000000010001
ceea ce arat c rangul acestei matrici este doi.
18
1.6. Sisteme de ecuaii algebrice lineare S considerm un sistem algebric de ecuaii lineare (necunoscutele apar la puterea întâi) de s ecuaii cu n necunoscute 1x , 2x , ..., nx , adic un sistem de forma
snsnss
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++=+++
.....
...
...
2211
22222121
11212111
unde coeficienii ija i termenii liberi 1b , 2b , ..., sb sunt numere reale date. Introducând matricile
=
snss
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.....
...
...
21
22221
11211
,
=
nx
x
x
X.2
1
,
=
sb
b
b
B.2
1
acest sistem se poate scrie matricial BAX = , egalitatea acestor matrici având loc dac i numai dac toate elementele lor coincid deci dac este satisfcut sistemul de mai sus. În cele ce urmeaz vom analiza sistemul dat de ecuaii lineare din punctul de vedere al compatibilitii (rezolvabilitii) sale. Vom spune c un astfel de sistem este compatibil determinat dac el are o soluie unic i este compatibil nedeterminat dac are o infinitate de soluii. Sistemele care nu admit nici o soluie se numesc incompatibile. În cazul sistemelor omogene ( 0...21 ==== sbbb ) soluia nul
0...21 ==== nxxx exist întotdeauna, ea fiind îns considerat o soluie trivial. În cazul acestor sisteme problema compatibilitii se pune sub aspectul existenei unor soluii netriviale. Dac numrul ecuaiilor este mai mare decât al necunoscutelor, sistemele vor fi în general incompatibile sau compatibile determinate. În caz contrar sistemele pot fi incompatibile sau compatibile nedeterminate. Aceste observaii vor fi utile în „completarea” rezultatelor teoretice de mai jos care precizeaz condiii de compatibilitate în general (fr a preciza tipul compatibilitii).
19
Prin matricea „extins” a matricii A a sistemului se înelege matricea A , obinut din A, prin adugarea unei noi coloane format din termenii liberi, adic
=
ssnss
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A.
.....
...
...
2
1
21
22221
11211
.
Fie M un minor de ordin maxim, diferit de zero, al matricei A (ordinul cruia ne d i rangul lui A). Toi minorii matricei A obinui prin „bordarea” lui M dar cu elemente neaparinând doar lui A (ar putea s fie termeni liberi), se vor numi „determinani caracteristici” ai sistemului dat. Au loc atunci urmtoarele dou teoreme complet echivalente: Teorema lui Rouché: Sistemul de ecuaii algebrice lineare de mai sus este compatibil dac i numai dac rangul matricei extinse A este egal cu rangul matricei A a sistemului; Teorema lui Kronecker-Capelli: Sistemul de ecuaii algebrice lineare de mai sus este compatibil dac i numai dac toi determinanii si caracteristici sunt egali cu zero.
Aa cum atenionasem anterior cele dou rezultate de mai sus nu spun nimic despre tipul de compatibilitate.
În cazul particular când numrul ecuaiilor coincide cu cel al necunoscutelor ( ns = ) i implicit matricea este ptratic avem un rezultat puternic cunoscut sub numele de Teorema (regula)lui Cramer care spune c: Condiia necesar i suficient pentru ca un sistem de n ecuaii algebrice lineare (neomogene!) cu n necunoscute s fie compatibil determinat este ca determinantul sistemului )det(A s fie diferit de zero. În acest caz soluia unic a sistemului este dat de
)det(1
1 Ad
x = , )det(
22 A
dx = , ...,
)det(Ad
x ii = , ...,
)det(Ad
x nn = ,
unde id sunt determinanii obinui din )det(A prin înlocuirea coloanei de coeficieni a lui ix cu coloana termenilor liberi. Observm c teorema lui Cramer poate fi reobinut i dac scriem sistemul algebric linear, de n ecuaii în n necunoscute, sub form matricial. Dac A este matricea sistemului, B matricea (coloana) termenilor liberi iar X matricea (coloana) necunoscutelor, atunci sistemul se poate scrie BXA =⋅ .
20
Acceptând acum c matricea A este nesingular ( 0)det( ≠A ) i deci admite matricea invers 1−A , multiplicând cu aceasta – la stânga, obinem c BAX ⋅= −1 ceea ce determin soluia (unic). Astfel s-a artat suficiena condiiei pentru compatibilitatea determinat din Teorema (regula) lui Cramer, mai precis 0)det( ≠A .
1.7. Rezolvarea sistemelor algebrice lineare compatibile determinate
S considerm din nou un sistem de s ecuaii algebrice lineare neomogene2, în n necunoscute, sistem care matricial se putea scrie i
BXA =⋅ , A, B i X având semnificaiile precizate înainte. S presupunem acum c acest sistem este determinat. Nici teorema lui Rouché nici teorema lui Kronecker-Capelli nu ne dau îns indicaii cum trebuie calculate soluiile acestui sistem. S acceptm c rangul matricei sistemului A este r. Acest rang este, conform teoremelor menionate înainte, egal cu cel al matricei extinse A . Dac noi izolm atunci r ecuaii din sistem, ecuaii care au ca i coeficieni elementele din determinantul de ordin maximal (r) diferit de zero i acceptând, pentru simplificare, c acestea ar aparine primilor r linii i r coloane ale matricei sistemului, avem subsistemul
rnrnrr
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++=+++
.................................................
...
...
2211
22222121
11212111
Se arat c orice soluie a sistemului dat iniial se regsete în soluiile acestui subsistem i deci va fi suficient s ne concentrm asupra acestuia din urm. Evident c nr ≤ deoarece dac nr > nu am putea forma, cu coeficienii sistemului, nici un determinant de ordinul r, aa cum am presupus (i care s fie i diferit de zero).
Dac nr = am avea un sistem, construit pe o matrice ptratic, i cu determinant diferit de zero. Evident el va avea o soluie unic
2 Cazul sistemelor omogene, când 0...21 ==== sbbb , va fi schiat ulterior.
21
(compatibilitatea determinat) care se va calcula cu teorema (regula) lui Cramer.
Dac nr < , pstrând în membrul stâng doar necunoscutele cu coeficienii determinantului 0≠rD i mutând în membrul drept „restul” am avea
nrnrrrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xaxabxaxaxa
xaxabxaxaxa
xaxabxaxaxa
−−−=+++
−−−=+++−−−=+++
++
++
++
.........................................................................................
......
......
11,2211
211,222222121
111,111212111
Evident c prin aplicarea regulei lui Cramer acestui sistem, de determinant 0≠rD , se obine soluia sa 1x , 2x , ..., rx în funcie de restul
necunoscutelor 1+rx , 2+rx , ..., nx . Acceptând c aceste ultime necunoscute, numite i libere, ar lua respectiv valorile constante 1+rc , 2+rc , ..., nc - alese într-o manier arbitrar, am obine în final pentru (sub)sistemul considerat o infinitate de soluii corespunztor valorilor arbitrare kc (compatibilitate nedeterminat). Am putea scoate acum i o observaie important pentru practic i anume: Un sistem algebric linear compatibil determinat are o soluie unic dac i numai dac rangul matricii sale este egal cu numrul necunoscutelor.
Evident dac numrul ecuaiilor s este strict mai mic decât numrul necunoscutelor ( ns < ) sistemul nu va putea fi compatibil determinat. Exemplu S se studieze i s se rezolve sistemul
0895
4343
12
54321
54321
54321
=+−−+=+++−
=+−−+
xxxxx
xxxxx
xxxxx
Acest sistem este compatibil deoarece rangul matricei sistemului A este egal
cu rangul matricei extinse, ambele fiind doi (5111
, adic determinantul
format cu coeficienii lui 1x i 2x din linia întâia i a treia, este diferit de zero). Rezolvând atunci subsistemul
54321
54321
895
21
xxxxx
xxxxx
−+=+−++=+
,
folosind regula lui Cramer (determinantul su fiind diferit de zero), obinem
22
432
5431
47
47
41
43
41
45
xxx
xxxx
++−=
−−+=.
Alegând atunci necunoscutele 3x , 4x , 5x ca i necunoscute libere, egalitile de mai sus ne dau infinitatea (tripl) de soluii ale sistemului considerat (compatibilitate nedeterminat).
1.8. Sisteme algebrice lineare omogene
S considerm sistemul de mai sus în cazul când
=
=
0.
00
.2
1
sb
b
b
B ,
adic în cazul omogen. Dup cum este evident, soluia nul (trivial) 0...21 ==== nxxx este întotdeauna prezent. Ne propunem, în cele ce
urmeaz, s schim rezultate care s permit studiul existenei i a soluiilor netriviale (nenule). S presupunem din nou c rangul matricei A a sistemului este r. Dac nr = atunci, 0≠rD , va exista o singur soluie care evident va fi soluia trivial. Pentru nr < , sistemul va avea de asemenea soluii netriviale care se calculeaz dup aceeai tehnic ca i în cazul sistemelor neomogene. În particular un sistem de n ecuaii lineare omogene în n necunoscute are o soluie netrivial dac i numai dac determinantul sistemului este zero (într-adevr faptul c determinantul este zero este echivalent cu aceea c rangul r al matricei A este mai mic decât n i deci ne încadrm în cazul
nr < , caz studiat mai sus). Pe de alt parte, dac, într-un sistem de ecuaii omogene, numrul ecuaiilor este mai mic decât numrul necunoscutelor – rangul ne mai putând fi egal cu numrul necunoscutelor, atunci sistemul trebuie s aib obligatoriu soluii diferite de zero. Exemplu: S se determine, dac este posibil, soluia netrivial a urmtorului sistem algebric linear omogen.
23
031625
05341211
027322
0283
54321
54321
54321
54321
=+−+−=−+−+
=+−−−=++−+
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
.
Numrul ecuaiilor fiind mai mic dacât cel al necunoscutelor sistemul va avea obligatoriu soluii netriviale. Rangul matricei sistemului este 2, determinantul format cu coeficienii lui 1x i 2x din primele dou
ecuaii, adic 22
13−
, fiind diferit de zero. Luând primele dou ecuaii i
considerând pe 3x , 4x , 5x ca i necunoscute libere, se obine pentru 1x i
2x , respectiv,
5432
5431
21
825
87
21
83
819
xxxx
xxxx
+−=
−+=
ceea ce, pentru orice valori ale tripletului )0,0,0(),,( 543 ≠xxx , ne furnizeaz o infinitate de soluii netriviale ale sistemului.
1.9. Metoda eliminrii succesive a necunoscutelor (Metoda lui Gauss)
S considerm din nou un sistem de s ecuaii algebrice lineare în n necunoscute. În cele ce urmeaz vom da o metod de studiere a acestor sisteme, metode care va permite evaluarea imediat a compatibilitii sau incompatibilitii sistemului, urmat de un algoritm practic de soluionare a sistemului (în cazul compatibilitii). S presupunem c coeficientul 011 ≠a (dac nu ar fi aa procedeul se începe cu un alt coeficient, diferit de zero, al necunoscutei 1x , deoarece cel puin unul dintre ei trebuie s fie diferit de zero pentru a avea n necunoscute !). Vom transforma sistemul eliminând, pentru început, necunoscuta 1x din toate ecuaiile, exceptând „prima” (cu 011 ≠a ). Pentru a face aceasta
vom multiplica succesiv ambii membri ai primei ecuaii cu 11
1
11
31
11
21 ,...,,aa
aa
aa s
24
i vom scdea aceast ecuaie „multiplicat” din, respectiv, linia doua, linia treia .a.m.d. În felul acesta se va ajunge la urmtorul sistem echivalent (cu aceleai soluii), tot de s ecuaii în n necunoscute,
''...'.....................................
''...'
''...'
........
22
33232
22222
11212111
snsns
nn
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
bxaxaxa
=++
=++=++=+++
unde coeficienii 'ija i termenii liberi 'ib sunt obinui prin operaiile specificate. S admitem acum c 0'22 ≠a . Multiplicând linia doua succesiv cu
''
,...,''
,''
22
2
22
42
22
32
aa
aa
aa s i sczând-o din linia, respectiv, a treia, a patra, ..., a s-a,
se obine un nou sistem echivalent, cu cel iniial, mai precis
""..."......................................
""..."
''...''
........
33
33333
22323222
11313212111
tntnt
nn
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
=++
=++=+++=++++
unde "lma i "lb se obin prin operaiile specificate iar st ≤ (unele ecuaii putând s „dispar”, observaie valabil i la eliminarea lui 1x ). Procedeul va continua în aceeai manier. Dac, pe parcursul eliminrilor, ajungem la o ecuaie în care coeficienii necunoscutelor din membrul stâng sunt zero iar termenul liber corespunztor este nenul, atunci sistemul dat va fi incompatibil. Dac aceast situaie nu apare, vom obine în final un sistem echivalent de tipul
)1()1()1(
22,211,2222
11,111,1212111
...
.......................................
''...''...'
.......
−−−
−−
−−
=++
=+++++=++++++
kkn
kknk
kkk
nnkkkk
nnkkkk
bxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
25
unde 011 ≠a , 0'22 ≠a , 0)1( ≠−kkka i unde evident sk ≤ i deci nk ≤ . În
acest caz sistemul dat este compatibil. El va fi compatibil determinat pentru nk = i compatibil nedeterminat pentru nk < .
Într-adevr dac nk = sistemul are forma
)1()1(
22222
11212111
..................................................
''...'
........
−− =
=++=+++
nnn
nnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
Din ultima ecuaie, )1( −nnna fiind diferit de zero, se obine o valoare
unic pentru nx . Introducând-o pe aceasta în penultima ecuaie vom determina univoc pe 1−nx .a.m.d. Se obine astfel soluia unic asociat compatibilitii determinate. Dac nk < , alegând ca i necunoscute libere pe 1+kx , 2+kx , ..., nx se determin, ca i înainte – de jos în sus, succesiv, kx , 1−kx , ..., 1x , ca funcii de necunoscutele libere, ajungând astfel la o infinitate de soluii (compatibilitate nedeterminat). Rezumând, dac sistemul se reduce, prin procedeul eliminrilor succesive, la o form „triunghiular” ( nk = ) el va fi compatibil determinat iar dac se reduce la o form „trapezoidal” ( nk < ) el va fi compatibil nedeterminat. În practica rezolvrii sistemelor prin procedeul Gauss se va lucra cu matricea sistemului „bordat” (dar separat de aceasta cu o linie vertical) cu matricea (vectorul) termenilor liberi. Utilizând atunci transformrile indicate în procedeu (în fapt transformri elementare) se va ajunge la forma triunghiular (trapezoidal) cutat. Exemplu: S se rezolve, prin procedeul Gauss, sistemul
2563
23
952
321
321
321
=−−=+−
−=++
xxx
xxx
xxx
Transformând succesiv matricea „bordat” avem
−−−
−→
−−−−
−→
−−−
−
880011230
9521
521612011230
9521
2516323119521
ajungând astfel la sistemul echivalent
26
88
1123
952
3
32
321
=−=−−−=++
x
xx
xxx
care are soluia unic 21 =x , 32 −=x , 13 −=x .
27
2. Noiuni de calcul diferenial În cele ce urmeaz vom da o trecere în revist a principalelor noiuni i rezultate ale calculului diferenial pentru funcii de o variabil. Generaliti Printr-o ax înelegem o dreapt pe care s-a fixat un punct O, numit „origine”, s-a precizat un „sens” de parcurgere ( → ) i s-a definit o „unitate de msur” u.
Este evident c mulimea numerelor reale R este în coresponden „biunivoc” („unu la unu”) cu mulimea punctelor unei axe. Într-adevr la fiecare ∈x R îi corespunde un unic punct M (obinut prin deplasarea unitii u de x ori) i reciproc, x fiind „abscisa” punctului M. Aceast coresponden permite o sinonimie între punctele axei i numerele reale, axa respectiv numindu-se i axa real. Punctul de la infinit al axei reale (în sensul de parcurs sau în sensul invers) corespunde simbolului ∞+ respectiv ∞− din R . Printr-un interval deschis ),( ba al axei reale întelegem toate punctele (numerele reale) x ale axei care satisfac condiia bxa << . Dac dubla inegalitate conine i semnul egal, adic bxa ≤≤ , intervalul devine închis i se noteaz cu ],[ ba . Printr-o vecintate a unui punct )(xM al axei reale, notat cu (x), vom înelege orice interval deschis al axei care conine punctul )(xM . Vecintatea este finit dac „capetele” sale (extremitile intervalului deschis) sunt numere finite (neinfinite). Noiunea de funcie Fie A i B dou mulimi de numere reale, adic ⊂BA, R. Printr-o funcie f definit pe A cu valori în B ( BAf →: ) se înelege o coresponden (legtur) f prin care la orice element Ax ∈ îi va corespunde un unic By ∈ . Acest y, obinut aplicând legea corespondenei f asupra lui x,
)(xfy = , va purta numele de „imagine” a lui x prin f.
28
Fie acum un sistem de dou axe perpendiculare (cu aceeai orgine O), Ox i Oy, formând un sistem cartezian de axe Oxy. S reprezentm, prin punctele corespunztoare, mulimea A pe axa Ox i mulimea B pe axa Oy. Evident c, prin corespondena f, fiecrui AxM ∈)( îi va corespunde un
ByN ∈)( unic din B. Ducând atunci paralele la cealalt ax, prin punctele M i N, la intesecia acestora vom avea un punct P al planului Oxy, punct de coordonate ),( yx unde x este abscisa iar y este ordonata lui P. Atunci când
)(xM parcurge întreaga mulime A, mulimea punctelor P va descrie ceea ce se numete graficul funciei BAf →: . O funcie este deci definit prin tripleta (f, A, B). Mulimea A se mai numete i domeniu de definiie a lui f iar mulimea B codomeniu. Subliniem caracterul univoc obligatoriu al corespondenei respective pentru ca aceasta s reprezinte o funcie. Deci nu va fi posibil ca unui x fixat din A s-i corespund, prin f, simultan un Bxfy ∈= )(1 i un
Bxfy ∈= )(2 , 21 yy ≠ . În schimb definiia funciei nu interzice ca un acela y din B s fie imaginea a dou valori diferite 1x i 2x din A, adic s avem )( 1xfy = i )( 2xfy = pentru 21 xx ≠ , Axx ∈21 , . În plus dac corespondena dat implic toate punctele Ax ∈ , ea nu va implica obligatoriu i toate punctele By ∈ . Adic pot s existe puncte (numere) din B care s nu fie imaginea nici unui punct din A. Definiie: O funcie BAf →: se zice injectiv dac pentru orice pereche de puncte 21 xx ≠ din A, imaginile corespunztoare )( 11 xfy = i
)( 22 xfy = din B vor satisface inegalitatea 21 yy ≠ sau, echivalent, dac pentru orice Axx ∈21 , pentru care are loc )()( 21 xfxf = aceasta s implice ca 21 xx = . Injectivitatea implic în fapt caracterul „biunivoc” („unu la unu”) al corespondenei dintre mulimea A i mulimea imaginilor prin f, adic f(A). Evident c BAf ⊆)( . Definiie: O funcie BAf →: se zice surjectiv dac oricare ar fi un element By ∈ el este imaginea unui Ax ∈ , adic exist cel puin un
Ax ∈ astfel încât )(xfy = . Evident c în acest caz corespondena respectiv „acoper” întregul B sau, în ali termeni, BAf =)( . O funcie care este atât injectiv cât i surjectiv se va numi bijectiv. Dac corespondena asociat funciei f este bijectiv atunci aceast coresponden (legtur) vzut de la B la A va avea din nou calitatea unei
29
funcii (caracter univoc i de la B la A!) i ea se va numi funcia invers a funciei iniiale (directe) f i se va nota cu ABf →− :1 . Este evident c funcia invers nu exist pentru orice funcie f. Pentru ca ea s existe trebuie ca corespondena iniial (direct) f s acopere întregul B i ea s aib un caracter biunivoc. Exemplu: Fie +→− R)1,1(:f dat prin legea 1)( 2 +≡= xxfy . Se vede c aceast coresponden între cele dou mulimi numerice )1,1(−=A i += RB are un caracter univoc: la fiecare x se asociaz un singur y care se obine ridicând pe acel x la ptrat i adugând 1. Se remarc faptul c aceast funcie nu este nici injectiv (la valori
Axx ∈≠ 21 , cum ar fi 21
1 −=x i 21
2 =x , corespund aceeai valoare
+∈== R45
21 yy ) dar nici surjectiv deoarece +=⊂≡ RBAf )2,1()( .
Dac îns aceeai lege 1)( 2 += xxf este aplicat unui )1,0(=A iar B se ia ca fiind )2,1( corespondena respectiv va fi i injectiv i surjectiv, adic bijectiv. Va exista deci i funcia invers )1,0()2,1(:1 →−f dat prin
legea 1)( −≡= yyfx (cu valoarea pozitiv a radicalului). Fie acum dou funcii BAf →: i CBg →: , A, B i C fiind mulimi numerice date. S notm cu Bxfy ∈= )( i cu Cygz ∈= )( elementele „imagine” a celor dou funcii. Observm c cele dou funcii realizeaz, prin intermediul mulimii „tafet” B , o coresponden care asociaz, în final, la orice Ax ∈ un unic Cz ∈ . Aceast nou coresponden va defini funcia compus CAgf →: prin care unui
Ax ∈ îi corespunde univoc ))(( xfgz = , oricare ar fi Ax ∈ . Definiie: Vom spune c f este o funcie par dac )()( xfxf −= , Ax ∈∀ . Evident c o funcie par are graficul simetric fa de axa Oy. Definiie: Vom spune c f este o funcie impar dac )()( xfxf −−= ,
Ax ∈∀ . Evident graficul unei funcii impare este simetric fa de originea O a reperului Oxy. Definiie: Vom spune c funcia f este periodic de perioad T dac exist un T, independent de x, astfel ca )()( xfTxf =+ , Ax ∈∀ i T este cel mai mic numr real cu aceast proprietate.
30
Evident c graficul unei funcii periodice de perioad T odat trasat pe o „lungime” T, se reproduce identic, prin „indigo”, pe întregul domeniu de definiie.
2.1. iruri
Conceptul de ir este esenial pentru fundamentarea calculului diferenial. Prin ir înelegem o mulime de numere 1a , 2a , ..., na , ... puse în coresponden biunivoc cu mulimea numerelor naturale N, adic
... , ..., ,2 ,1
... , ..., , , 21
n
aaa n
Aceast coresponden biunivoc, „unu la unu”, permite în esen „numerotarea” termenilor irului prin acei indicii „la picior”. Tot datorit acestei corespondene biunivoce un ir are întotdeauna atâtea elemente câte numere naturale sunt, adic un numr infinit. Un ir se poate da i doar prin termenul su general na i se noteaz
atunci N∈nna . De exemplu irul 1, 21
, 31
, ..., n1
, ... se poate scrie N∈
nn1
.
Problema central a teoriei irurilor este problema convergenei. Dar pentru a defini corect aceast problem va trebui în prealabil s definim conceptul de punct de acumulare i limita. Definiie: Vom spune c punctul (numrul) a este punct de acumulare al irului N∈nna dac în orice vecintate a sa exist o infinitate de termeni ai irului (care pot s coincid i cu a).
Exemplu: Pentru irul N∈
nn1
se observ c 0=a ar fi un punct de
acumulare deoarece în orice vecintate a sa (oricât de mic!) exist o infinitate de termeni ai irului.
Exemplu: Pentru irul N∈
−+
n
n
2)1(1
se observ c atât 0 cât i 2
sunt puncte de acumulare deoarece, atât 0 cât i 2, ca termeni ai irului, se afl, respectiv, în numr infinit în orice vecintate a acestora.
31
Definiie: Un punct de acumulare a, unic i finit, se va numi limita (punct limit) a irului considerat. Dac a este limita irului este evident c în afara oricrei vecinti a sa exist cel mult un numr finit de termeni ai irului.
Exemplu: Pentru irul n
an
11+= se vede c 1 ar fi un punct de
acumulare unic i finit. Înafara vecintii )34
,0( , de pild, exist 3 termeni
ai irului iar înafara vecintii )3,0( nu exist nici un termen al irului. Definiie: Vom spune c un ir este convergent dac el are o limit. În caz contrar (nu exist puncte de acumulare, exist mai multe puncte de acumulare sau punctul de acumulare este infinit), irul se va zice divergent. În cazul irurilor divergente cu un punct de acumulare infinit se mai spune, prin „extensie (abuz) de limbaj”, c irul este convergent ctre infinit. Exemplu: irul N∈n
n2 ar fi convergent ctre ∞+ (în fapt este divergent!) Convergena irului ctre un punct a se noteaz cu aann
=∞→
lim sau
aan → . Pentru stabilirea convergenei unui ir un rol esenial au monotonia i mrginirea irurilor. Definiie: Vom spune c irul N∈nna este monoton dac, pentru N∈∀n , are loc fie 1+≤ nn aa fie 1+≥ nn aa . În primul caz irul se zice monoton cresctor iar în cazul al doilea monoton descresctor.
Exemplu: irul N∈
nn1
satisfcând condiia 1
11+
>nn
( 1+≥ nn aa ), N∈∀n , este monoton (strict) descresctor iar irul N∈nn2
satisfcând condiia 122 +< nn ( 1+≤ nn aa ), N∈∀n , este monoton (strict) cresctor. Definiie: Vom spune c irul N∈nna este mrginit dac exist dou
numere reale finite α i β astfel ca βα << na sau ),( βα∈na , pentru N∈∀n . În caz contrar irul este nemrginit.
32
Exemplu: irul N∈
+
nnn 1
este mrginit deoarece )3,0(1 ∈+
nn
dar
i ]2,1(1 ∈+
nn
, etc., oricare ar fi N∈n . În schimb irul numerelor naturale
n este evident nemrginit el depind, la un moment dat, orice „prag”
drept *n . Teorem: Orice ir monoton i mrginit este convergent. Aceast teorem, în fond o condiie suficient de convergen, reprezint un instrument de lucru puternic în stabilirea convergenei. Totui ea nu permite i determinarea efectiv a limitei stabilind doar posibila ei existena. Remarcm c teorema reciproc nu este adevrat decât parial, în sensul c un ir convergent este în totdeauna mrginit dar nu obligatoriu monoton.
Exemplu: irul cu termenul general n
n na
+= 11 este atât monoton
(cresctor) cât i mrginit ( 32 << na ). Exist deci limita sa care va fi
numrul lui Neper (numr iraional) notat cu n
n ne
+=∞→
11lim . Acest numr
se va lua ca baz a logaritmilor naturali (ln).
Exemplu: irul N∈
−
n
n
n)1(
este evident un ir convergent ctre 0. El
va fi obligatoriu mrginit (de pild 12 <<− na ), dar el nu este monoton fiind un ir „oscilant” în jurul lui zero. Un alt rezultant important în evaluarea convergenei unui ir este i Criteriul majorrii: Dac termenii irului N∈nna satisfac urmtoarea inegalitate în raport cu termenii irului N∈nnb
nn baa <− , (adic nnn baab <−<− )
pentru orice *nn > (numr natural finit), i dac irul nb este convergent i tinde la zero ( 0→nb ) atunci i irul na este convergent i tinde ctre a ( aan → ).
Exemplu: Deoarece irul n
nan
sin= satisface inegalitatea
33
nnn 1sin < , N∈∀n , iar irul
nbn
1= este convergent ctre 0, va rezulta c
i 0sin →
nn
.
Teorem: Dac irurile N∈nna i N∈nnb sunt convergente ctre a respectiv
b atunci irurile N∈± nnn ba , N∈⋅ nnn ba i N∈
nn
n
ba
(aici 0≠nb ) sunt
convergente ctre, respectiv, ba ± , ba ⋅ i ba
(aici 0≠b ).
Pe baza noiunii de convergen a unui ir numeric se va putea da un sens i conceptului de „sum infinit” cunoscut în matematici ca i seria numeric.
Fie seria numeric ∞
==+++++
0210 ......
nnn uuuuu .
Definiie: Vom spune c aceast serie ∞
=0nnu este convergent ctre S (are
suma S) dac, ataându-i irul „sumelor pariale” adic
00 uS = , 101 uuS += , 3102 uuuS ++= , ..., nn uuuuS ++++= ...210 , ... acest ir este convergent i limita sa este S. În caz contrar seria se zice divergent (nu are sum!).
Exemplu: Fie seria ∞
=+++++=
0
2 ......1n
nn rrrr
Ataându-i irul sumelor pariale 10 =S , rS += 11 , ...,
rr
rrrSn
nn −
−=++++=+
11
...11
2 , ... se vede c acest ir este convergent
doar dac 11 <<− r ( 1<r ) i în acest caz limita sa (suma seriei!) va fi
r−11
. Pentru celelalte valori ale lui r avem fie mai multe puncte de
acumulare, fie acestea sunt infinite. Precizm c exist mai multe criterii de convergen a seriilor numerice. Aceste, criterii chiar dac stabilesc convergena unei serii, nu îi determin îns suma.
34
2.2. Serii de puteri Seriile de puteri sunt sume „infinite” ale unor funcii putere, adic a unor funcii de forma n
n xa , unde R∈na iar N∈n . Mai precis o serie de puteri este de forma
......0
10 ++++=∞
=
nn
n
nn xaxaaxa
Problema convergenei (existenei sumei) a unei astfel de serii de funcii de tip putere se va reduce la problema convergenei unor serii numerice asociate. Mai precis se caut a se determina mulimea punctelor (numerelor) 0x pentru care seria numeric ataat
...... 00
0100 ++++=∞
=
nn
n
nn xaxaaxa
este convergent i are o limit (sum) univoc determinat 0S . Mulimea punctelor 0x pentru care aceast convergen este realizat va purta numele de „mulimea de convergen” D a seriei iar corespondena univoc
00 SDx →∈ va defini o funcie R→DS : care va fi suma seriei de puteri. Se observ c punctul 00 =x întotdeauna aparine lui D. Mai mult s-a demonstrat (Abel) c mulimea de convergen a unei serii de puteri are întotdeauna structura unui interval simetric fa de origine, ),( RR− , unde R va fi numit raza de convergen. Exist formule pentru determinarea razei de convergen R dar care nu pot spune nimic despre convergena în Rx ±= . Dac +∞=R , atunci convergena va fi asigurat pe întreaga ax real.
Exemplu: Fie seria de puteri ∞
=
+++++=0
2
2
...2
...22
12n
n
n
n
n xxxx
Aceast serie de puteri, de tip geometric (raia fiind 2x
) va fi convergent
pentru toi 0x ce satisface cerina ca raia respectiv s fie cuprins în
intervalul )1,1(− , adic 12
1 0 <<−x
. Rezult c domeniul de convergen va
fi intervalul deschis )2,2(− - deci 2=R , iar suma seriei este
21
1x
S−
=
35
(analog cu cazul seriei numerice de tip geometric care a fost folosit ca exemplu la serii numerice). Exemplu: Seriile de puteri
...!
...!2!1
12
+++++nxxx n
,
...)!12(
)1(...!5!3
1253
++
−+++−+
nxxx
xn
n ,
...)!2(
)1(...!4!2
1242
+−+++−n
xxx nn ,
sunt serii de puteri, toate convergente pe întreaga ax real ( ∞=R ). În schimb seria de puteri
...)1(...32
132
+−+−+− −
nxxx
xn
n
este convergent doar pe )1,1(− . În privina seriilor de mai sus convergente pe întregul R, ele au ca sum, respectiv, funciile xe , xsin , xcos , în timp ce seria convergent pe
)1,1(− are ca sum pe )1ln( x+ . Aceste dezvoltri asociate funciilor elementare de mai sus – care sunt i dezvoltri Taylor dup cum vom vedea mai târziu, ar putea reprezenta i definiii pentru aceste funcii, ele respectând proprietile clasice ale acestora. Mai precis dac xyey x =⇔= ln , funciile xe i xln (logaritmul natural) fiind funcii inverse ce realizeaz deci corespondena, în ambele sensuri, între R i +R . Se pot verifica, prin dezvoltrile de mai sus, proprietile clasice ale funciilor exponeniale i logaritmice, mai precis
2121 xxxx eee =+ , 2121 )( xxxx ee = , 21
2
1xx
x
x
eee −= , 10 =e , respectiv
2121 lnln)ln( xxxx += , 212
1 lnln)ln( xxxx
−= , xnx n lnln = , 01ln = .
În mod analog dezvoltrile de mai sus atest atât periodicitatea funciilor xsin i xcos ( xx sin)2sin( =+ π i xx cos)2cos( =+ π ) cât i satisfacerea formulei fundamentale a trigonometriei, 1cossin 22 =+ xx , precum i a tuturor relaiilor din trigonometria clasic (construit pe definiia „în triunghi” a funciilor xsin i xcos ).
36
2.3. Limita de funcii Fie o funcie f definit pe mulimea A cu valori în mulimea B, adic o funcie care asociaz, în mod univoc, la fiecare Ax ∈ un Bxfy ∈= )( . Fie de asemenea 0x un punct de acumulare al mulimii A. Definiie (Heine): Vom spune c funcia f are o limit l în punctul 0x - ceea ce se va nota prin lf
xx=
→ 0
lim , dac oricare ar fi irul nx , Axn ∈ , ir
convergent ctre 0x ( 0xxn → ), irul valorilor corespunztoare ale lui f pentru nxx = , adic )( nxf , va fi de asemenea convergent ctre o aceeai limit l. Remarcm c aceast definiie are loc i pentru puncte de acumulare infinite. În cazul „convergenei” (divergenei) irului )( nxf ctre infinit, prin aceeai extensie de limbaj vom spune c „limita este ∞ ”. Exemplu: Fie R→]1,0(:f unde 1)( 2 +=≡ xxfy i fie de asemenea 00 =x , punct de acumulare evident al domeniului de definiie (dar care nu aparine acestui domeniu). Vrem s studiem existena limitei funciei date în 00 =x . Pentru aceasta considerm pe nx , un ir arbitrar de puncte din ]1,0( , dar care este
convergent ctre 0 (de pild n
xn
1= ). Dac formm pe 1)( 2 += xxf n
deoarece acesta este o sum de dou iruri convergente (irul 000 =⋅→⋅ nn xx i irul constant 1 , convergent evident ctre 1) el va fi
de asemenea convergent ctre suma limitelor, adic ctre 110 =+ . Cum acest rezultat are loc oricare ar fi 0→nx , definiia de mai sus ne permite s
scriem 1)1(lim 2
0=+
→x
x.
Evident c raionamentul de mai sus se poate reface pentru orice alt
0x punct de acumulare al lui ]1,0( , cum ar fi orice punct aparinând intervalului ]1,0( i care este cu siguran punct de acumulare.
Dintre limitele importante amintim pe ex x
x=+
→
1
0)1(lim , 1
sinlim
0=
→ xx
x,
11
lim0
=−→ x
e x
x, 0
lnlim =
∞→ xx
x, ∞=
∞→ xe x
xlim .
37
Proprietile enunate la seciunea iruri ne permit s scriem i urmtoarele proprieti pentru limitele de funcii. Teorema: Fie funciile BAf →: i BAg →: iar 0x un punct de acumulare al mulimii A. Dac exist limitele celor dou funcii în 0x i sunt
egale, respectiv, cu l i h atunci exist i limitele funciilor gf ± , gf ⋅ , gf
( 0≠g ) i ele sunt egale, respectiv, cu hl ± , hl ⋅ , hl
( 0≠h ).
Are loc, de asemenea, i Criteriul majorrii Dac funciile BAf →: i BAg →: satisfac inegalitatea
)()( xglxf <− , Ax ∈∀ i în plus 0)(lim0
=→
xgxx
( 0x fiind un punct de
acumulare a lui A) atunci exist i lxfxx
=→
)(lim0
.
Exemplu: Fie funcia x
xxf1
cos)( = , definit pe R, cu valori tot în
R. Având loc inegalitatea evident xx
x <1cos iar 0lim
0=
→x
x, va rezulta c
01
coslim0
=→ x
xx
.
Observaie: Dac în definiia limitei unei funcii într-un punct 0x , impunem restricia suplimentar ca irul Axn ∈ , 0xxn → s satisfac tot timpul condiia 0xxn < , respectiv 0xxn > , atunci vom ajunge la conceptul de „limit la stânga” sl , respectiv „limita la dreapta” dl . Acestea se noteaz i prin sxx
lxf =↑
)(lim0
i dxxlxf =
↓)(lim
0
.
Se arat c dac exist sl i dl i în plus ds ll = atunci exist i limita „global” l, ea fiind egal cu valoarea comun a limitelor laterale.
2.4. Continuitatea
Fie din nou funcia BAf →: iar 0x un punct de acumulare a mulimii A care, de data aceasta, trebuie s i aparin acestei mulimii A ( Ax ∈0 ).
38
Definiie: Vom spune c funcia BAf →: este continu în 0x dac exist limita acestei funcii în punctul respectiv ( 0x ) i mai mult aceast limit este acum )( 0xf (deci nu mai este un l oarecare ci o valoare ce se obine înlocuind pe x cu 0x , în expresia lui )(xf !). Evident c dac exist limitele laterale ale funciei în 0x i ambele sunt egale cu )( 0xf atunci funcia va fi din nou continu în 0x . O funcie care nu este continu în punctul 0x se zice discontinu în acel punct. Dac funcia este continu în orice punct Ax ∈0 , funcia va fi continu pe A. Observaie: Toate funciile elementare sunt continue pe întregul lor domeniu de definiie. Se arat c dac dou funcii sunt continue într-un acela 0x (sau pe domeniul lor comun de definiie) atunci suma, diferena, produsul, câtul (acesta sub rezerva neanulrii numitorului) vor fi i ele continue în acela punct (domeniu). Compunerea a dou funcii continue este de asemenea continu. Analog inversa unei funcii continue este continu. Dac o funcie )(xfy = este continu în punctul 0x atunci graficul su va fi „continuu” (nu se întrerupe) în acel punct. Dac funcia este discontinu în punctul 0x atunci graficul su fie se întrerupe fie are ramuri infinite (asimptote) în punctul respectiv. Exemplu: S se studieze continuitatea funciei
=
≠==
0 ,
0 ,2
sin)( 3
x
xx
xxfy
α, unde α este o constant real.
Observm c pentru 0≠x funcia este produsul dintre o funcie
elementar (x) i o compunere de funcii elementare ( 3
2sin
x), deci va fi
continu. Pentru a avea continuitate i în 0=x va trebui ca
α==→
)0()(lim0
fxfx
. Dar în cazul nostru, în virtutea criteriului majorrii,
avem c xx
x <3
2sin iar 0lim
0=
→x
x adic 0
2sinlim 30
=→ x
xx
. Va rezulta c
39
continuitatea i în 0=x va fi asigurat doar dac 0=α în timp ce, pentru 0≠α , funcia rmâne continu doar pe intervalele ),0()0,( +∞∪−∞ .
Pentru funcii continue are loc Teorema (Darboux): Fie R→],[: baf o funcie continu pe intervalul închis ],[ ba i fie m un numr oarecare cuprins între )(af i )(bf . Atunci exist un punct ),( bac ∈ astfel încât mcf =)( . În particular are loc si rezultatul Teorema (interseciei): Dac R→],[: baf este o funcie continu pe ],[ ba i dac 0)()( <⋅ bfaf atunci va exista cel puin un punct ),( bac ∈ astfel încât 0)( =cf (dac funcia ia valori de semne contrare pe extremitile acestui interval atunci, graficul su, fiind neîntrerupt, va exista cel puin un punct c unde acest grafic intersecteaz cu axa Ox, adic 0)( =cf ).
2.5. Derivabilitatea
Fie funcia BAf →: i 0x un punct aparinând domeniului de definiie A (care este i punct de acumulare a lui A). Definiie: Vom spune c funcia f este derivabil în punctul 0x dac exist
0
0 )()(lim
0 xxxfxf
xx −−
→ i aceasta ia o valoare finit. Valoarea acestei limite,
notat cu )(' 0xf sau )( 0xdxdf
, va purta numele de derivat a funciei în
punctul 0x . Evident dac limita de mai sus exist „la dreapta” sau „la stânga” avem derivate „la dreapta”, )(' 0xf d , respectiv „la stânga”, )(' 0xf s . Dac funcia este derivabil în toate punctele Ax ∈0 , atunci ea este derivabil pe A. Teorem: Dac o funcie este derivabil în punctul 0x atunci ea este i continu în acest punct. Reciproca nu este, în general, adevrat.
Exemplu: Funcia
<−≥
==0 ,
0 ,xx
xxxy dei continu în 0=x nu este
derivabil în 0=x (exist dou derivate, la stânga, egal cu -1, i la dreapta, egal cu +1, dar nu exist derivata „global”).
40
În ceea ce privete interpretarea geometric a derivatei, dac avem o funcie continu în 0x (graficul este neîntrerupt) atunci existena derivatei este sinonim cu existena unei tangente geometrice la graficul funciei în punctul ( 0x , )( 0xf ) adic a posibilitii trasrii unei drepte care are cu acest grafic, în punctul menionat, un contact multiplu (cel puin în dou puncte confundate). În ceea ce privete valoarea derivatei )(' 0xf , ea va fi egal cu panta m a acestei drepte (tangente). Mai precis avem αtgmxf ==)(' 0 , unde α este unghiul format de aceea tangent geometric cu sensul pozitiv al axei Ox. Ca o consecin a acestei interpretri geometrice a derivatei, punctele de continuitate în care graficul funciei nu admite tangenta vor fi, în esen, „punctele ascuite” unde evident o dreapt nu poate s se „aeze” pe grafic într-un contact multiplu. Deci, în fapt, plimbându-ne cu mâna pe un astfel de grafic punctele unde ne „înepm” sunt puncte de nederivabilitate! Observaie: Toate funciile elementare sunt derivabile (nu numai continue). La fel compunerea a dou funcii derivabile ne d tot o funcie derivabil i )('))]'(([ ' xgfxgf g ⋅= . Evident i inversa 1−f a unei funcii
derivabile f este i ea derivabil si avem relaia )('
1))'(( 1
xfyf =− , unde
)(xyy = . Dac )(xf i )(xg sunt dou funcii derivabile atunci suma, diferena, produsul, câtul lor (acesta sub rezerva neanulrii numitorului) sunt i ele derivabile si mai mult au loc egalitile:
'')'( gfgf ±=± '')'( gfgfgf ⋅+⋅=⋅
2
'')'(
ggfgf
gf ⋅−⋅=
Definiia derivatei a permis stabilirea unor expresii explicite pentru derivatele unor funcii simple astfel încât, în probleme practice, se apeleaz la aceste derivate „gata calculate”. Limitându-ne la funciile elementare putem da urmtorul tabel al derivatelor.
41
2
2
2
2
1
11
1
1arccos
1
1arcsin
cos1
sincoscossin
1ln
)( 10(const)
'
xarctgx
xx
xx
xtgx
xx
xx
eex
x
xx
x
c
ff
xx
+
−−
−
−
∈− Rαα αα
......................................
Din definiia derivatei avem i c 0
00
))()('
xxfxxf
xf−−
≈ deci derivata
aproximeaz raportul între variaia funciei i variaia argumentului pe intervalul ],[ 0 xx cunoscut i sub numele de „rat de schimb”. Implicit dac dx este o variaie infinitezimal a argumentului atunci „variaia funciei”, corespunztoare, va fi dxxfxdf )(')( 00 = (ceea ce este în acord i cu notaia
pentru derivata 0
0 )('dxdf
xf = ).
Acest df poart numele de diferentiala funciei derivabile f în punctul
0x . Prin cele enunate mai sus difereniala va aproxima variaia funciei corespunztoare unei variaii mici a argumentului.
42
2.5.1. Derivate de ordin superior Dac BAf →: este o funcie derivabil atunci derivata sa, 'f , este de asemenea o funcie (definit pe domeniul de derivabilitate a funciei f). Aceast nou funcie poate s fie i ea derivabil iar derivata ei se va nota
'')''( ff = . Aceast nou funcie (dac exist) este numit i a doua derivat a lui f i raionamentul poate continua nedefinit.
În general se noteaz prin n
nn
dxfd
f =)( derivata a n-a a funciei f.
Fie acum funcia R→],[: baf , funcie despre care presupunem c ar fi de „n+1” derivabil pe intervalul ],[ ba adic exist 'f , ''f , '''f , ...,
)(nf , )1( +nf . În aceste condiii are loc formula
)()!1(
)()(
!
)(...)(''
!2
)()('
!1)()( )1(
1)(
2
cfn
abaf
n
abaf
abaf
abafbf n
nn
n+
+
+
−+
−++
−+
−+=
unde c este un punct care aparine intervalului ),( ba (imposibil de precizat înainte!). Formula aceasta poart numele de formula lui Taylor iar importana ei const în faptul c, folosind informaiile din punctul a (adic pe )(af ,
)('af , ..., )()( af n ), se poate „face saltul” în punctul b, adic s aflm pe )(bf . Neglijarea ultimului termen – dificil de precizat explicit din cauza
prezenei lui c, permite o evaluare aproximativa a lui )(bf , evaluare cu atât mai exact cu cât n este mai mare i b mai apropiat de a. Pentru xb = i 0=a , se realizeaz saltul de la zero la o valoare x apropiat de acesta i formula mai poart numele de formula lui MacLaurin
)()!1(
)0(!
...)0(''!2
)0('!1
)0()( )1(1
)(2
xfnx
fnx
fx
fx
fxf nn
nn
θ++
++++++= , unde
10 << θ . Remarcm c aceast formul genereaz i o dezvoltare in serie de puteri. Într-adevr dac f este indefinit derivabil noi vom putea scrie
...)0(!
...)0(''!2
)0('!1
)0()( )(2
+++++= nn
fnx
fx
fx
fxf cunoscut i sub
numele de dezvoltarea lui Taylor (MacLaurin). Dezvoltrile în serii de puteri, scrise anterior pentru xe , xsin , xcos i )1ln( x+ sunt în fapt dezvoltri Taylor (MacLaurin).
43
În cazul funciilor xe , xsin , xcos i )1ln( x+ dezvoltrile MacLaurin (Taylor) conduc la reprezentrile prin serii de puteri, scrise deja. Dac în aceste dezvoltri ne oprim doar la primii n termeni „resturile” care rmân (i care ar putea fi puse sub forma coninând derivata de ordinul n+1 evaluat întru-n punct intermediar) ar avea respectiv ordinul )( nxO ,
)( 2nxO , )( 12 +nxO i )( ...xO , unde prin )(zO înelegem o cantitate care tinde la zero (când ∞→n ) la fel de repede cu z sau altfel c
constzzO
n=
∞→
)(lim .
2.6. Regula lui l’Hospital Regula lui l’Hospital este o metod de a calcula limita unei funcii raionale, când 0xx → , unde atât numrtorul cât i numitorul, funcii derivabile, tind ambele ctre zero sau ambele ctre infinit (atunci când
0xx → ). Se ajunge astfel la aa numitele „nedeterminri de baz” 00
sau
∞±∞±
care se completeaz i cu situaiile ∞−∞ , ∞⋅0 , 00 , ∞1 , 0∞ acestea
din urm fiind reductibile la primele dou. Teorema: Fie f i g dou funcii i 0x un punct de acumulare al domeniului lor comun de definiie. Dac funciile f i g sunt a) derivabile într-o ( 0x )
b) )(lim0)(lim00
xgxfxxxx →→
== sau )(lim)(lim00
xgxfxxxx →→
=+∞= atunci
dac )(')('
lim0 xg
xfxx→
exist (acceptând i limitele ∞± !) avem egalitatea
)(')('
lim)()(
lim00 xg
xfxgxf
xxxx →→=
Observaii: Dac i )(')('
lim0 xg
xfxx→
conduce la nedeterminarea 00
sau ∞±∞±
i
exist derivatele de ordinul doi al funciilor f i g, vom putea scrie i c
)('')(''
lim)(')('
lim00 xg
xfxgxf
xxxx →→= i procedeul poate continua.
44
Exemplu: S se calculeze limita 30
sinlim
xxx
x
−→
.
Prin înlocuire direct în numrtor i numitor, funcii continue i derivabile,
ajungem la 00
. Conform regulei lui l’Hospital vom avea atunci
203030 3cos1
lim)'(
)'sin(lim
sinlim
xx
xxx
xxx
xxx
−=−=−→→→
.
Dar i ultima limit conduce la o nedeterminare de tipul 00
. Aplicând i
acestui raport din nou regula lui l’Hospital, avem
61
6cos
lim6
sinlim
)'3()'cos1(
lim3cos1
lim002020
===−=−→→→→
xxx
xx
xx
xxxx,
unde, la calculul xx
x 6sin
lim0→
s-a aplicat din nou regula lui l’Hospital.
2.7. Studiul funciilor de o variabil cu ajutorul derivatelor. Monotonie i Concavitate. Extreme
Definiie: Fie R→Af : . Vom spune c aceast funcie este a) strict cresctoare pe A, dac pentru orice Axx ∈21 , , satisfcând
21 xx < , avem i )()( 21 xfxf < , b) strict descresctoare pe A, dac pentru orice Axx ∈21 , , satisfcând 21 xx < , avem i )()( 21 xfxf > , Dac în inegalitile de mai sus, apare i semnul „egal”, funciile vor fi, în a) nedescresctoare, respectiv, în b) necresctoare. Dac o funcie este cresctoare (nedescresctoare) sau descresctoare (necresctoare) se zice c ea este o funcie monoton. Teorem: Fie f o funcie derivabil pe domeniul su de definiie A. Dac a) 0)(' >xf ( 0)(' ≥xf ) pentru orice Ax ∈ atunci funcia f este cresctoare (nedescresctoare) pe A; b) 0)(' <xf ( 0)(' ≤xf ) pentru orice Ax ∈ atunci funcia f este descresctoare (necresctoare) pe A. Alturi de monotonie, o alt proprietate important a funciilor (a graficelor lor) este aa numita „concavitate”. Geometric concavitatea este uor de recunoscut: dac graficul „ine apa” (este orientat ctre y pozitiv)
45
avem concavitate „superioar” iar dac graficul „pierde apa” (este orientat ctre y negativ) avem concavitate „inferioar”. Uneori concavitatea „superioar” este denumit simplu convexitate iar concavitatea „inferioar” este denumit simplu concavitate. Dac funcia f este de dou ori derivabil pe domeniul su de definiie atunci avem urmtoarea Teorem: a) Dac 0)('' >xf , pentru toi Ax ∈ , atunci f este concav superior pe A; b) Dac 0)('' <xf , pentru toi Ax ∈ , atunci f este concav inferior pe A. Monotonia i concavitatea reprezint proprieti eseniale în studiul calitativ al unei dependene funcionale i în particular a determinrii punctelor de maxim i de minim al unei funcii. Unele dintre cele mai importante aplicaii al calculului diferenial sunt problemele de „optimizare”, adic probleme care implic determinarea unor valori maxime sau minime ale funciilor. Definiie: Fie R→Af : i Aa ∈ . Vom spune c funcia f are în a a) un maxim local (relativ) dac )()( xfaf ≥ , pentru orice ∈x (a), sau un maxim absolut (global) dac )()( xfaf ≥ , pentru orice Ax ∈ ; b) un minim local (relativ) dac )()( xfaf ≤ , pentru orice ∈x (a), sau un minim absolut (global) dac )()( xfaf ≥ , pentru orice Ax ∈ . Punctele de maxim sau minim se mai numesc extreme. O funcie poate s aib sau nu extreme. În condiiile extremelor relative (locale) – definite pe o (a), se poate întâmpla ca un maxim relativ s fie mai mic decât un minim relativ sau viceversa. Calculul diferenial, în ipoteza funciilor derivabile, ofer metode eficiente de gsire a extremelor locale (relative) ale unei funcii. Desigur c odat determinate acestea prin simpla comparare a valorilor respective se pot preciza i extremele globale (absolute). Un rol esenial în determinarea extremelor locale îl are urmtoarea Teorem lui Fermat: Dac f este o funcie derivabil pe intervalul su de definiie I i dac pentru Ia ∈ funcia f are un extrem local, atunci are loc
0)(' =af . Remarcm c aceast teorem este în esen o condiie necesar de extrem local. Ea îns nu este i o condiie suficient de extrem local. În ali termeni ecuaia 0)(' =xf , prin soluiile ei, ne furnizeaz doar „suspecii” de extrem local, cunoscui i sub numele de puncte critice (care pe lâng
46
puncte de extrem local ar putea s includ punctele de inflexiune – puncte unde se schimb tipul de concavitate al unei funcii). Conform teoremei lui Fermat, în orice punct de extrem local derivata este zero. Apelând la interpretarea geometric a derivatei înseamn c, într-un punct de extrem local, tangenta geometric la graficul curbei are panta
0== αtgm , adic 0=α ceea ce implic paralelismul tangentei geometrice cu axa Ox. Desigur teorema lui Fermat nu se aplic în condiiile funciilor nederivabile care îns, i ele, ar putea s aib extreme locale. Dac se consider funcia xxf =)( , funcie continu peste tot, derivabil pentru
0≠x i nederivabil în 0=x , i aceast funcie va avea un punct de minim local în 0=x (nedepistabil îns prin metodele calculului diferenial). Odat stabilite punctele critice c ale unei funcii derivabile pe ],[ ba pentru a determina dac c este sau nu un punct de extrem local se poate utiliza urmtorul test bazat pe semnul primei derivatei (monotoniei funciei date). Teorem: a) Dac 0)(' >xf , pentru cxa << , i 0)(' <xf , pentru bxc << , atunci c este un maximum local pentru f; b) Dac 0)(' <xf , pentru cxa << , i 0)(' >xf , pentru bxc << , atunci c este un minimum local pentru f; c) Dac )('xf are acela semn algebric pe cxa << i bxc << , atunci c nu este un punct de extrem local pentru f. În ipoteza c funcia f admite pe ''f (care ar fi i continu într-o (c)) se poate utiliza i un alt test bazat pe semnul derivatei a doua (concavitii funciei date). Mai precis are loc Teorem: a) Dac 0)('' >cf , atunci f are un minim local în c; b) Dac 0)('' <cf , atunci f are un maxim local în c; c) Dac 0)('' =cf , atunci nu se poate afirma nimic (testul este neconcluziv). Exemplu: S se determine (dac exist) extremele (locale) ale funciei urmtoare
RR →:f , 234 683)( xxxxf +−= . Determinm punctele critice („suspecii” de extrem)
223 )1(12122412)(' −=+−= xxxxxxf 0)(' =xf pentru 01 =x i 13,2 =x .
47
Studiul monotoniei funciei (al semnului primei derivate) ne arat c 0)(' <xf , pentru 0<x i 0)(' >xf , pentru 0>x , deci avem o schimbare
de monotonie în 0=x (dar nu în 1=x ). Dac calculm )143(12124836)('' 22 +−=+−= xxxxxf , se vede c
012)0('' >=f , deci f are în 0=x un punct de minim (ceea ce rezult i din „testul” cu prima derivat) în timp ce 0)1('' =f , adic 1=x nu este punct de extrem local (ceea ce rezultase deja i din studiul cu 'f ), el fiind în fapt un punct de inflexiune (unde se schimb tipul de concavitate). Rezultatele ar putea fi introduse într-un tabel final.
Vom da acum enunul unor teoreme fundamentale pentru funciile derivabile. Teorema lui Rolle: Dac R→],[: baf este continu pe ],[ ba , derivabil pe ),( ba i dac )()( bfaf = , atunci exist cel puin un ),( bac ∈ astfel încât 0)(' =cf . În esen aceast teorem statueaz c, în condiiile ipotezei (dac f îndeplinete aceste condiii ea se mai numete funcie Rolle!), exist cel puin un punct critic în care tangenta la graficul funciei va fi evident paralel cu axa Ox. În cazul particular 0)()( == bfaf , teorema lui Rolle afirm c „între dou rdcini ale unei funcii Rolle exist cel puin o rdcin a derivatei acestei funcii”. O alt consecin important a teoremei lui Rolle afirm (Consecin a teoremei lui Rolle): Între dou rdcini consecutive 1x i 2x ,
21 xx < ale derivatei unei funcii Rolle exist cel mult o rdcin a funciei. Aceast consecin împreun cu rezultatul teoremei „interseciei” de la funciile continue, ne permite s afirmm c dac (în plus) avem pentru
48
funcia dat i cerina 0)()( 21 <⋅ xfxf , putem afirma cu certitudine c între
1x i 2x (rdcinile consecutive ale derivatei) exist exact o rdcin a funciei noastre. Observaia de mai sus fundamenteaz aa numitul „ir al lui Rolle” din calculul diferenial, un procedeu care permite stabilirea existenei unor rdcini reale ale unei ecuaii i a unor intervale în care acestea exist. Într-adevr dac avem de studiat existena rdcinilor reale ale unei ecuaii
0)( =xf - unde R→],[: baf este o funcie derivabil pe ],[ ba , ar fi suficient s-i atam acesteia valorile )(af , )( 1xf , ..., )( kxf , )(bf , unde
1x , ..., kx sunt soluiile ecuaiei 0)(' =xf , scrise în ordine cresctoare,
kxxx <<< ...21 . Numrul variaiilor de semn (de la + la – sau invers!) în succesiunea )(af , )( 1xf , ..., )( kxf , )(bf , va fi egal cu numrul soluiilor reale ale ecuaiei 0)( =xf . În plus soluiile reale vor aparine, respectiv, intervalelor unde s-a realizat variaia de semn (dac 0)()( 1 <⋅ +ii xfxf , soluia respectiv, unic, va aparine intervalului ),( 1+ii xx ). Dac mai mult 0)( =ixf , ix va fi o rdcin real multipl pentru
0)( =xf (cel puin dubl). Exemplu: S se studieze existena rdcinilor reale ale ecuaiei (algebrice)
021
683)( 234 =−+−= xxxxf .
Conform teoremei fundamentale a algebrei (d’Alembert) aceast ecuaie are 4 soluii care îns pot fi reale sau complexe. Pentru a vedea dac aceast ecuaie are efectiv rdcini reale (i intervalele unde ar fi acestea plasate) apelm la irul lui Rolle. Cum f este evident definit pe R cu valori în R – unde este i derivabil, cutm rdcinile derivatei 2)1(12)(' −= xxxf pe care le dispunem în ordine cresctoare (împreun cu extremitile lui R) i avem astfel ∞<<<∞− 10 . irul lui Rolle va fi atunci 0)( >−∞f , 0)0( <f , 0)1( >f ,
0)( >+∞f i deci vom putea afirma existena a dou rdcini reale aparinând intervalelor )0,(−∞ i )1,0( . Evident celelalte dou rdcini ale ecuaii vor fi complexe (conjugate). O alt teorem important în aplicaiile calculului diferenial (i care generalizeaz teorema lui Rolle) este
49
Teorema lui Lagrange (a „creterilor finite”) : Fie R→],[: baf o funcie continu pe ],[ ba i derivabil pe ),( ba . Atunci exist un numr ),( bac ∈
astfel ca ab
afbfcf
−−= )()(
)(' , sau, echivalent, ))((')()( abcfafbf −=− .
Cum ab
afbf−− )()(
este panta coardei care unete punctele
))(,( afaA i ))(,( bfbB , teorema lui Lagrange scoate în eviden existena unui punct c în care tangenta geometric (de pant )('cf ) este egal cu panta coardei AB, adic ele sunt paralele. O consecin important a teoremei lui Lagrange furnizeaz un instrument de lucru extrem de util în stabilirea derivabilitii unei funcii într-un punct c. Mai precis are loc Corolar al teoremei lui Lagrange: Dac funcia R→],[: baf este continu într-o (c), ),( bac ∈ , i dac ea este i derivabil în (c)\catunci, în ipoteza c exist limita )('lim xf
cx→,
funcia f va fi derivabil i în puntul cx = i valoarea limitei de mai sus va fi )('cf . Aceast consecin poate fi aplicat cu succes în acele cazuri când aplicarea direct a definiiei derivabilitii într-un punct nu este confortabil.
Exemplu: Fie R→− ]1,1[:f dat de 21arcsin)( xxxxf −+= . Compus din funcii elementare, în intervalul ,11 <<− x funcia va fi
derivabil i xx
x
x
xxxf arcsin
11arcsin)('
22=
−−
−+= . Pentru a
analiza derivabilitatea i în 1−=x i în 1=x (unde continuitatea este
evident satisfcut), calculm 2
)('lim1
π±=±→
xfx
. Va rezulta c funcia dat
este derivabil i în 1±=x valoarea derivatei în acest punct fiind 2π
,
respectiv 2π− .
50
2.8. Reprezentarea grafic a funciilor
A reprezenta grafic o funcie R→Af : înseamn a desena graficul lui f, adic mulimea punctelor Axxfx ∈ )),(,( , într-un sistem de axe rectangulare Oxy. S facem câteva consideraii privind reprezentarea grafic a unei funcii f. Pentru fixarea ideilor vom presupune c ),( baA = iar f este o funcie derivabil de dou ori pe ),( ba . Acceptm i cazul când
),(),( +∞−∞=ba . Primul pas pe care va trebui s-l facem este s stabilim domeniul efectiv de lucru care ar putea fi inclus în domeniul de definiie ),( ba . Pentru stabilirea acestui domeniu efectiv se analizeaz succesiv posibilul caracter par sau impar a funciei, i eventuala sa periodicitate. În ipoteza unui rspuns pozitiv, în primele cazuri domeniul efectiv de lucru va fi la dreapta sau la stânga originii O iar în ultimul „lungimea” sa ar fi egal cu lungimea unei perioade, informaiile obinute putând fi în final extinse, prin simetrie, respectiv periodicitate, pe întregul domeniu de definiie. În al doilea rând se vor cuta puncte de „sprijin” ale reprezentrii tiut fiind faptul c aceasta este aproximativ (o reprezentare exact ar pretinde reprezentarea unei infiniti de puncte ))(,( xfx ceea ce este practic imposibil!). Între aceste puncte de „sprijin” ar fi punctele de intersecie cu axele de coordonate (dac exist) deci punctele 0=x , )0(fy = i ax = ,
0=y unde a este o rdcin a ecuaiei 0)( =xf . Completm aceast etap i cu studiul funciei pe extremitile domeniului de definiie, deci evalum )(lim xf
ax→ i )(lim xf
bx→.
În al treilea rând vom analiza comportamentul la infinit (dac este cazul) prin stabilirea asimptotelor. Aceste asimptote (în esen „tangente la infinit” la ramurile nemrginite ale funciei) sunt fie verticale ( 0xx = , cu
+∞=)( 0xf sau −∞=)( 0xf ) fie orizontale ( 0yy = , cu 0)(lim yxfx
=+∞→
sau
0)(lim yxfx
=−∞→
), fie oblice. Acestea din urm, care le conin ca i cazuri
particulare pe primele, ar fi drepte de forma nmxy += care ar satisface cerina ca 0))()((lim =+−
+∞→nmxxf
x sau (i) 0))()((lim =+−
−∞→nmxxf
x.
51
În prinvina lui m el este dat de xxf
x
)(lim
+∞→ (
xxf
x
)(lim
−∞→) i odat ce el
este determinat i are o valoare finit (cazul ±∞=m corespunde asimptotelor verticale) se trece la determinarea lui ))((lim mxxfn
x−=
+∞→
( ))((lim mxxfnx
−=−∞→
). Dac n este infinit, chiar dac m a avut o valoare
finit, nu avem asimptot (dreapta este „aruncat” la infinit!). Se trece apoi la studiul monotoniei funciei – intervalele unde funcia este cresctoare sau descresctoare, i la determinarea extremelor locale (relative). Pe întregul interval de derivabilitate se formeaz 'f al crui semn se determin (pe subintervale corespunztoare) odat cu rdcinile ecuaiei
0)(' =xf (punctele critice). Aplicarea „testului cu prima derivat”, va permite – odat cu stabilirea subintervalelor de monotonie, precizarea punctelor de extrem i a punctelor de inflexiune. În condiiile existenei unor puncte izolate de nederivabilitate 0x (care corespund unor puncte „unghiulare” ale graficului) se recomand i evaluarea )('lim
0
xfxx↑
i )('lim0
xfxx↓
ceea ce ar determina, respectiv, pantele
subtangentelor în punctul unghiular 0x . Dac funcia este derivabil de dou ori (în practic se recomand utilizarea lui ''f doar dac structura acesteia este suficient de simpl pentru a determina atât zerourile sale cât i semnul ) se trece la stabilirea concavitii funciei (intervalele unde ''f are semn constant) i a punctelor de schimbare a concavitii (puncte de inflexiune), determinate prin
0)('' =xf . Pentru uurarea trasrii efective a graficului, rezultatele de mai sus se transpun într-un tabel („tabel de variaie”) care prezint, pe întregul domeniu efectiv de lucru, semnul lui 'f i ''f iar în final monotonia i concavitatea lui f cu punctele reprezentative (extreme, inflexiune, intersecii cu axele, limite pe extremiti sau în puncte de discontinuitate sau nederivabilitate). În sfârit, înainte de trasarea graficului – transpunerea în sistemul Oxy a informaiilor din tabelul de variaie, se reprezint asimptotele (dar într-o manier distinct de grafic). Apoi graficul obinut pe domeniul efectiv de lucru se „extrapoleaz” pe întregul domeniu de definiie. Exemplu: S se reprezinte grafic funcia RR →− 1,1\:f dat de
11
)(2 −
=x
arctgxf .
52
I. Deoarece )()( xfxf −= , 1,1\ −∈∀ Rx , funcia este par i graficul su va fi simetric fa de axa Oy. Ca domeniul efectiv de lucru va fi suficient deci s lum 1\+R .
II. Pentru 0=x , 4π−=y iar 0)(lim =
+∞→xf
x ( 0=y fiind deci i asimptot
orizontal). Avem i 2
)(lim1
π−=↑
xfx
, 2
)(lim1
π=↓
xfx
.
III. Înafara asimptotei orizontale 0=y , nu exist alte asimptote. IV. i V. Funcia fiind indefinit derivabil, pe întregul domeniu efectiv de lucru, putem scrie
222
)('24 +−
−=xxx
xf , 224
24
)22()223(2
)(''+−
+−−=xx
xxxf .
Cum numitorii sunt pozitivi, 0)(' <xf pentru 0>x iar 0)(' =xf are ca soluie doar pe 0=x . Testul cu prima derivat va arta c acest punct critic este chiar un punct de maxim M (anticipând c 0)(' >xf pentru 0<x , ceea ce se vede prin “simetrie”). În ceea ce privete 0)('' =xf aceasta, în
domeniul efectiv de lucru, va avea doar soluia 2,13
71 ≈+=x iar
0)('' <xf pentru 2,10 <≤ x (concav „inferior”) i 0)('' >xf pentru 2,1>x (concav „superoir”). Anticipm c 2,1=x va fi un punct de
schimbare a concavitii, adic un punct de inflexiune. Toate aceste informaii se pot pune într-un tabel de variaie care, extins „prin simetrie” i la zona 0<x , va fi
53
Graficul corespunztor este
54
3. Elemente de combinatoric În cele ce urmeaz vom schia soluionare unor probleme de „calcul” care apar frecvent în practic în special în teoria probabilitii i statistic. S considerm o mulime de n obiecte (elemente) distincte. Dac cu obiectele acestei mulimi se construesc grupe de ctre nk ≤ obiecte (elemente) i dac dorim s evalum numrul acestor grupe va trebui evident s precizm modul cum aceste grupe sunt construite. Mai precis dac aceste grupe de ctre nk ≤ elemente difer între ele prin a) natura i ordinea elementelor, b) doar prin natura elementelor, c) doar prin ordinea elementelor, avem grupri cunoscute, respectiv, sub numele de „aranjamente de n elemente luate câte k” ( k
nA ), respectiv „combinri de n elemente luate câte
k” ( knC ) i „permutri de n elemente” ( nP ). Dac în cazul aranjamentelor i
combinrilor grupele pot avea nk ≤ elemente, grupe care evident difer prin structura (natura) lor iar în cazul aranjamentelor i prin „ordinea” în care aceste elemente sunt considerate (adic grupa ),( 21 aa va fi la aranjamente considerat distinct de grupa ),( 12 aa ceea ce în cazul combinrilor nu are loc), în situaia permutrilor – diferenierea între grupe având loc doar prin ordinea elementelor, toate elementele trebuie s aparin unei grupe date ( nk = ) fiecare grup fiind în fapt o redistribuire a tuturor elementelor i deci o modificare strict a locaiei acestora. Se arat c
)!(!
)1)...(1(kn
nknnnAk
n −=+−−=
)!(!!
! knkn
kA
Cknk
n −==
!nPn = unde am notat prin nn ⋅⋅⋅= ...321! ( 1!0 = , prin convenie). Se mai
obinuiete, pentru combinri, a se folosi i notaia
=
n
kC k
n , combinrile
fiind în fapt k
kn
PA
. Evident avem i nnn PA = .
55
Exemplu 1. Calculai câte cuvinte de câte 4 litere distincte se pot forma folosind literele a, b, c, d, e, f? Dar câte cuvinte de 6 litere distincte se pot scrie cu aceleai litere? Evident c pentru prima parte rspunsul este dat de
360)!46(
!646 =
−=A în timp ce pentru partea doua rspunsul este dat de
720!66 ==P . Exemplu 2. Dintr-un comitet ales de 6 membri se caut s se aleag un birou format din dou persoane (dintr-un preedinte i un vicepreedinte). Câte variante de birou pot fi formate?
Rspunsul este evident dat de 152
5626 =⋅=C posibiliti
( 2630 A=≠ , unde nu ar fi contat care este preedintele i care
vicepreedintele dintr-un birou de 2 persoane). Permutrile se pot extinde în cazul când cele n elemente nu sunt distincte. S acceptm c exist 1n elemente de un tip, 2n elemente de al doilea tip, ..., kn elemente de al „k”-lea tip, unde evident
knnnn +++= ...21 . În acest caz numrul de permutri de câte n elemente
ce se poate forma este !...!!
!
21 knnnn
⋅⋅⋅.
Exemplu: În câte moduri diferite se poate rescrie aranjamentul de litere MUMMY? Deoarece M apare de 3 ori iar U i Y odat avem 31 =n , 12 =n , 13 =n iar numrul de grupe de câte 5 elemente distincte – producând cuvinte
„diferite”, va fi 20!1!1!3
!5 =⋅⋅
.
O alt extindere a permutrilor reprezint aa numitele „permutri cu repetiie”. În general o k-permutare cu repetiie a celor n elemente distincte date este un sistem de k elemente din cele n elemente date. Numrul acestor k-permutri cu repetiie este kn . Exemplu: Câte numere de telefon de 6 cifre pot fi formate? Cum cifrele sunt 0, 1, 2, ..., 9 (în numr de 10), numrul sistemelor de 6 numere din cele 10 este 000.000.1106 = (atenie este diferit de 6
10A deoarece elementele se pot repeta!). În ceea ce privete combinrile se poate i aici introduce noiunea de „k-combinare cu repetiie” în condiiile existenei în fiecare grup
56
(neordonat) de k elemente a unor „copii” (repetri) în numr de ik ale elementelor iniiale sub restricia evident kkkk n =+++ ...21 . Se arat c
numrul tuturor „k-combinaiilor cu repetiie” de n elemente este knkC 1−+ .
Exemplu: Sapte studeni opresc la un fast-food unde fiecare ar putea comanda un cheeseburger, un hot dog, un taco sau un sandwich cu pete. Câte variante de comenzi sunt posibile (din punctul de vedere al restaurantului)? Avem evident 4=n (pentru tipuri de mâncare) i 7=k (fiecare din cei 7 studeni alege o mâncare). Atunci numrul posibil de comenzi este
120!3!7!107
107
147 =⋅
==−+ CC .
Pentru combinri se stabilesc anumite egaliti utile în practic, unele inspirate din proprieti ale binomului lui Newton ( nn
nkknk
nn
nn
nn bCbaCbaCaCba +++++=+ −− ......)( 110 ). Mai precis au loc
egalitile importante: 1. kn
nkn CC −= (combinri complementare);
2. 11
−+ += k
nkn
kn CCC (identitatea lui Pascal);
3. nnnnnn CCCC 2...210 =++++ (suma coeficienilor binomiali din binomul
lui Newton).
57
4. Noiuni de calcul integral
4.1. Integrala nedefinit Integrala nedefinit este legat de conceptul de antiderivat sau primitiv a unei funcii date. În opoziie cu procesul derivrii – esena calculului diferenial, acum vom fi interesai de procesul invers adic de a construi o funcie nou a crei derivat este o funcie dat. Definiie: Vom spune c f este antiderivabil (primitivabil, integrabil nedefinit) dac exist o funcie derivabil F cu proprietatea c
fF =' . Funcia F se va numi primitiva sau antiderivata funciei date f, mulimea tuturor antiderivatelor (primitivelor) unei funcii date fiind notat cu dxxf )( i purtând numele de integral nedefinit.
Evident c dac )(xF este o primitiv atunci i cxF +)( ( constc = ) este tot o primitiv a funciei f deoarece fcxF =+ )')(( . Se arat c orice primitiv a funciei )(xf este de forma cxF +)( i deci
cxFdxxf += )()( .
Se arat imediat c dac f i g sunt dou funcii integrabile nedefinit iar R∈βα , , atunci i )()( xgxf βα + este integrabil nedefinit i avem
( ) +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( βαβα .
În privina existenei primitivei (antiderivatei, integralei nedefinite) se arat c toate funciile continue sunt integrabile nedefinit. În privina calculului integralelor nedefinite acesta nu se poate face dup reguli generale (ca i în cazul derivrii) în condiiile oricrei funcii integrabile (nedefinit). Reguli precise vor exista doar pentru anumite clase de funcii, dup cum vom vedea mai jos. Desigur c tabelul derivatelor cu inversarea coloanelor f i 'f (i renotarea lui 'f prin f i a lui f prin F) ne-ar da i un tabel al primitivelor imediate. Dac operaia de integrare nedefinit pare o operaie matematic, pur teoretic (s gsim o funcie a crei derivat este o funcie dat!), în paragraful urmtor ne vom ocupa de integrala definit o problem izvorât i intim legat de practic. Se va vedea c, în anumite condiii, calculul
58
complicat al integralelor definite se va reduce la calculul mai simplu al integralei nedefinite asociate. Vom reaminti în cele ce urmeaz, ca metode generale de integrare (aplicabile îns doar în anumite cazuri), metoda integrrii prin pri i metoda substituiei.
4.1.1. Metoda integrrii prin pri Dac plecm de la regula de derivare a unui produs de dou funcii
)(')()()(')()'( xgxfxgxfxgf ⋅+⋅=⋅ egalitate pe care apoi o „integrm (nedefinit) în raport cu x” ajungem la
⋅+⋅=⋅ dxxgxfdxxgxfdxxgf )(')()()(')()'( adic, gf ⋅ fiind
antiderivata lui )'( gf ⋅ ,
⋅−=⋅ dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')( .
Aceasta este formula integrrii prin pri care înlocuiete, în fapt, calculul integralei ⋅ dxxgxf )(')( prin cel al integralei dxxgxf ⋅ )()(' .
Evident c formula devine util dac noua integral la care am ajuns este mai simpl (desigur c i acesteia i se poate aplica, la rândul ei, metoda integrrii prin pri sau o alt metod). Observm c interpretarea cantitii de sub semnul integralei (integrandului) ca i produsul dintre o anumit funcie f i derivata unei alte funcii g, nu este univoc. S-ar putea ca interschimbând pe f cu g (sub condiia ca 'gf ⋅ s fie acela) s obinem un rezultat mai bun (adic
integrala dxgf ⋅' , la care suntem condui, s fie mai simpl).
Exemplu: Folosind metoda integrrii prin pri s se calculeze
dxxe x .
Luând pe xexf =)( i xxg =)(' , avem xexf =)(' i 2
)(2x
xg = i formula
integrrii prin pri ne-ar da −= dxex
ex
dxxe xxx
22
22
. Din pcate îns
noua integral la care suntem condui nu este mai simpl i deci metoda, cu alegerea precedent pentru f i 'g , nu d rezultate. Dac îns lum pe xxf =)( i xexg =)(' avem 1)(' =xf i xexg =)( adic formula integrrii prin pri conduce la
59
Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= , ceea ce evident rezolv problema.
4.1.2. Metoda substituiei Metoda substituiei se bazeaz pe formula de derivare a unei funcii compuse, mai precis pe ( ) )('))((''))(( xgxgFxgF g ⋅= . Fie acum F primitiva unei funcii date f. Înlocuind în egalitatea de mai sus pe ))((' xgFg cu ))(( xgf i integrând avem
CxgFdxxgxgf +=⋅ ))(()('))(( .
De fapt în aceast formul variabila „independent” x se înlocuiete cu o alt funcie de x, ( )(xg ), i implicit dxxgdx )('= . Prin aceast înlocuire, aleas convenabil, s-ar putea ca integrala „în noua variabil )(xg ” s devin mai simpl.
Exemplu: S se calculeze ( ) ⋅+ xdxx 2342 .
Fie )(32 xgx =+ i deci dxxgxdx )('2 = . Atunci integrala dat devine
[ ] ( )C
xdxxgxg ++= 5
3)(')(
524,
inând cont de faptul c =5
54 xdxx .
Observaie: În practic este mai util, pentru evitarea confuziilor, de a introduce, odat cu alegerea lui )(xg , i o nou variabil )(xgu = i deci
dxxgdu )('= . Astfel, mai sus, avem 32 += xu , xdxdu 2= i
( ) ( ) ++=+==⋅+ C
xC
uduuxdxx
53
523
525442 .
4.1.3. Integrarea funciilor raionale
Ne propunem, în cele ce urmeaz, s dm câteva rezultate care
permit integrarea (nedefinit) a funciilor raionale arbitrare )()(
xqxr
, unde atât
)(xr cât i )(xq sunt polinoame algebrice în variabila x, gradul lui )(xr fiind strict mai mic decât gradul lui )(xq . (Dac gradul unui polinom
60
numrtor )(xp ar fi mai mare decât gradul polinomului numitor )(xq , prin efectuarea împririi respective am ajunge la un polinom cât )(xc i la un rest )(xr - de grad strict mai mic fa de gradul lui )(xq , mai precis la
)()(
)()()(
xqxr
xcxqxp += ; cum integrarea polinomului )(xc este imediat,
calculul dxxqxp)()(
revine la calculul lui dxxqxr
)()(
, unde gradul lui )(xr este
strict mai mic decât al lui )(xq .) Primul pas va fi descompunerea polinomului )(xq în factori ireductibili de gradul întâi (ataai rdcinilor reale) i de gradul doi (ataai rdcinilor complexe conjugate) la puteri corespunztoare ordinului de multiplicitate a rdcinii respective. Acceptând c )(xq ar admite o descompunere de forma
ml hmmm
hkll
k exdxcexdxcbxabxaxq )...()()...()()( 211
2111
11 ++++++= , unde ml hhhkkk +++++++ ...... 2121 este chiar numrul total al rdcinilor (reale i complexe) ale lui )(xq (ce coincide i cu gradul acestuia), are loc urmtorul rezultat de „descompunere în fracii simple” ale
funciei )()(
xqxr
, mai precis
m
mm
l
l
hmmm
hm
hm
mmm
mm
mmm
mm
h
hh
kll
kl
ll
l
ll
lk
k
exdxcDxC
exdxcDxC
exdxcDxC
exdxcDxC
exdxcDxC
exdxcDxC
bxaA
bxaA
bxaA
bxaA
bxaA
bxaA
xqxr
)(...
)(
...)(
...)(
)(...
)(...
)(...
)()()(
222
22
2
11
112
1
112
112
1
21
21
112
1
11
11
2
21
11
12
11
21
11
11
1
11
1
1
+++
++++
++
+++
+
++++
+++
+++
+++
++
++
+++
++
+++
+++
++
=
unde constantele 11A , 2
1A , ..., 11kA , ..., 1
lA , 2lA , ..., lk
lA , 11C , 1
1D , ..., 11hC ,
11hD , ..., 1
mC , 1mD , ..., mh
mC , mhmD , se vor preciza ulterior, prin identificarea
numrtorilor celor dou fracii ale egalitii (numitorii fiind aceeai).
Utilizând aceast descompunere se vede c dxxqxr
)()(
se reduce, în
fapt, la calcularea unor integrale de forma + nbaxdx
)(, respectiv,
61
++ nedxcxdx
)( 2 (unde discriminantul ∆ al trinomului edxcx ++2 este
negativ corespunztor cazului rdcinilor complex conjugate ale acestuia). Exist rezultate generale care soluioneaz calculul acestor dou tipuri de integrale. Noi ne vom limita la cazurile particulare cele mai frecvente în practic. Exemplu: S se calculeze integrala
+++−−−+
dxxxxxx
xx)1)(22(
3223
2
. Gradul numrtorului fiind strict mai
mic decât gradul numitorului putem trece direct la descompunere. Cum rdcinile numitorului sunt 2, 1, -1, iar 12 ++ xx este purttorul rdcinilor
complex conjugate 2
31 i±−, putem scrie
)1)(1)(1)(2()1)(1)(2)((
)1)(1)(1)(2()1)(1)(2()1)(1)(2()1)(1)(1(
1112)1)(22(3
2
)(
2
222
2223
2
+++−−+−−++
++++−−
++−−++++−++++−=
=++
+++
+−
+−
=+++−−
−+
xxxxxxxxedx
xxxxxxxxxcxxxxbxxxxa
xxedx
xc
xb
xa
xxxxxxx
xq
ceea ce prin identificare conduce la un sistem algebric linear pentru constantele a,b,c,d,e
−=++−−
=+++
3222..................................................
0
ecba
dcba
sistem ce permite determinarea constantelor a, b, c, d, e. Odat determinate aceste constante avem de calculat integrale de forma
− kxdx
(pentru 1,1,2 −=k i integrale dxxxfx
+++
12. Evident c
ckxkx
dx +−=− ln . În ceea ce privete a doua integral, punând
numitorul sub forma sumei a dou ptrate, adic
62
222 )33
()21
(1 ++=++ xxx , avem succesiv
Cx
arctgf
xx
x
dxfxx
x
dxfdx
xxx
dxxx
fxdx
xxfx
++−⋅+++=
+
+
⋅−⋅+++=
=
+
+
−+++
+=++
+=++
+
2321
3)12(4
)1ln(21
1
232132
)12(4)1ln(
21
23
212
121
1221
122
21
1
22
2
22222
.
rezultat obinut prin substituie
2321+
=x
u i
23
dxdu = i integrala imediat
+=+
carctguu
du12
.
Evident c în cazul − nkxdx
)( cu 1>n avem i
Cn
kxC
nkx
kxdx nn
n+
−−=+
+−−=
−
−+−
1)(
1)(
)(
11
.
În ceea ce privete ++=
nn cbxaxdx
I)( 2
cu 1>n (i 0<∆ pentru
cbxax ++2 ) aceasta se calculeaz „pas cu pas” ( 2I cu ajutorul lui 1I , 3I cu ajutorul lui 2I , etc.) stabilindu-se i o formul de „recuren” de tipul
)( 1−= nn IfI . Observaie: La integrale din funcii raionale de tipul studiat se poate ajunge, prin substituii convenabile, i în condiiile integralelor de tipul
dxxxR )cos,(sin sau dxxcbxaxR ++ ),( 2 , unde prin ),( vuR se
înelege o funcie raional în variabilele u i v. În primul caz se folosete o
63
substituie de forma
21
22
sin2 x
tg
xtg
x+
= i
21
21
cos2
2
xtg
xtg
x+
−= iar t
xtg =
2
( arctgtx 2= ), ajungându-se la o funcie raional în t. În al doilea caz se noteaz, de pild (substituiile lui Euler),
taxcbxax +=++2 (dac 0>a ) i deci 22 taxtcbx +=+ adic
atb
ctx
2
2
−−= , ceea ce va conduce, în final, la o funcie raional în t.
4.2. Integrala definit
Spre deosebire de integrala nedefinit, integrala definit este un concept legat nemijlocit de o problem concret, practic Fie f o funcie real definit pe un interval finit ],[ ba , funcie pe care o presupunem i mrginit pe ],[ ba . Ne propunem s calculm aria delimitat de graficul acestei funcii, de axa real Ox i de paralelele (la axa Oy), ax = i bx = . Pentru aceasta vom urma urmtorii pai: 1. Considerm o diviziune d a intervalului ],[ ba adic împrim acest interval în n subintervale ],[ 1 kk xx − (de lungime, respectiv, 1−− kk xx ) prin punctele de diviziune
bxxxxa nn =<<<<= − 110 ... .
Atam acestei diviziuni aa numita norm, notat prin d , i care este
lungimea celui mai mare subinterval ( )(max 1−−= kkk
xxd ).
2. Alegem un punct intermediar oarecare kξ în fiecare subinterval
),( 1 kk xx − , deci ),( 1 kkk xx −∈ξ , nk ,1= .
3. Formm suma (Riemann) =
−−n
kkkk xxf
11 ))((ξ .
Aceast sum reprezint, în fapt, suma ariilor dreptunghiurilor – ataate fiecrui subinterval ),( 1 kk xx − , de „înime” )( kf ξ i baz 1−− kk xx . Evident c aceast sum va aproxima aria cutat .
64
Definiie: Dac exist =
−
→∞→
−n
kkkk
dn
xxf1
1
0
))((lim ξ i aceast limit ia o
valoare finit, oricare ar fi alegerea punctelor intermediare kξ , atunci funcia f se zice integrabil definit de la a la b (în sens Riemann) i valoarea
acestei integrale este un numr ce se noteaz prin b
adxxf )( i care este dat
de
=
−
→∞→
−=b
a
n
kkkk
dn
xxfdxxf1
1
0
))((lim)( ξ .
Observaie: Cerina ca, în procesul trecerii la limit, s avem 0→d caut s evite „îngrmdirea” punctelor de diviziune în anumite
zone în timp ce în altele ele ar fi la distan mare fix (i implicit aproximarea ariei ar rmâne destul de grosier). Se arat c toate funciile continue sunt i integrabile definit. De asemenea i funciile monotone sunt integrabile definit. Exist funcii integrabile nedefinit care nu sunt integrabile definit. La fel sunt i funcii integrabile definit care nu sunt integrabile nedefinit. Proprietile integralei definite: Dac f i g sunt dou funcii integrabile definit pe ],[ ba , avem atunci
a) =b
a
b
adxxfkdxxkf )()( , unde k este orice constant real;
b) [ ] ±=±b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()( ;
c) +=b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()( , unde c este orice numr din
),( ba ;
d) −=a
b
b
adxxfdxxf )()( ;
e) 0)( =a
adxxf .
Semnificaia geometric – în limbajul ariilor, a proprietilor c) i e) este
imediat. Proprietatea d) atenioneaz c integrala definit b
adxxf )(
msoar aria „orientat” (aria „mturat” în sensul axei Ox, pozitiv dac f este deasupra axei Ox i negativ dac graficul lui f este sub axa Ox). În
65
consecin dac f este o funcie impar ( )()( xfxf −−= ), 0)( =−a
adxxf , în
timp ce aria „geometric” delimitat de graficul funciei ar fi a
dxxf0
)(2 .
Remarcm c atât formula de integrare prin pri cât i metoda substituiei se aplic identic i în cazul integralei definite, adic avem
⋅−⋅=⋅b
a
ba
b
adxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()()()(' i
+=⋅b
a
b
aCxgFdxxgxgf ))(()('))((
(evident c în cazul ultimei formule fcând substituia )(xgu = , dxxgdu )('= se va ajunge în prima faz la o alt integral definit cu alte
limite, α i β , de integrare pentru u, mai precis )(ag=α i )(bg=β .)
4.2.1. Formula Leibnitz-Newton Definiia integralei definite i calcularea acesteia prin aceast definiie este, evident, un proces laborios i care cere un mare buget de timp. Pentru funciile f care, pe lâng c sunt integrabile definit, sunt i integrabile nedefinit (primitivabile, antiderivabile), calculul integralei definite se poate face direct prin Formula (Teorema) Leibnitz-Newton care spune c
−=b
aaFbFdxxf )()()( ( )b
axF )(=
unde F este o primitiv a lui f. Evident c aceast formul nu este aplicabil pentru funciile neintegrabile nedefinit. Din fericire clasa funciilor – care admit ambele tipuri de integrale, este suficient de larg, ceea ce confer formulei de mai sus o importan deosebit.
Exemplu: S se calculeze dxxx +3
01 . Încercm prima dat s
calculm dxxx +1 . Pentru aceasta vom folosi metoda substituiei
punând 1+= xu , adic 12 −= ux i ududx 2= . Observm c dac 0=x atunci 1=u i dac 3=x atunci 2=u . Urmeaz atunci c
15116
32
52
)22(2)1(12
1
32
1
52
1
243
0
2
1
2 =−=−=⋅−=+ uuduuuuduuudxxx .
66
4.3. Noiunea de integral improprie
În introducerea noiunii de integral definit (Riemann) b
adxxf )(
s-a presupus c: 1. limitele de integrare a i b sunt numere finite; 2. funcia f este mrginit pe intervalul ],[ ba .
Vom extinde acum noiunea de integral definit în cazul în care fie lungimea intervalului de integrare devine infinit fie, funcia f (numit i „integrand”) este nemrginit. Integrala rezultat se zice a fi atunci o integral improprie. S considerm prima dat integrala din funcii mrginite luate pe intervale nemrginite.
Definiie: Fie R→∞),[: af . Dac exist t
adxxf )( pentru orice
at ≥ atunci prin integrala improprie ∞
adxxf )( înelegem ∞→
t
atdxxf )(lim .
Integrala improprie ∞
adxxf )( se zice convergent dac limita de mai sus
exist i este finit. În caz contrar integrala se zice divergent.
Analog se poate defini i −∞→∞−=
b
tt
bdxxfdxxf )(lim)( , unde
R→−∞ ],(: bf iar bt ≤ . Dac RR →:f i R∈a atunci prin integrala improprie
∞
∞−dxxf )( se înelege
∞
∞−
∞
∞−+=
a
adxxfdxxfdxxf )()()( i ea va fi
convergent dac ambele integrale ale sumei sunt convergente i va fi divergent dac cel puin una dintre acestea este divergent. Exemplu: Pentru ce valori ale parametrului real α integrala
improprie ∞
1
1dx
xα este convergent?
Se vede c pentru 1=α avem
∞=−==∞→∞→
∞
)1ln(lnlim1
lim1
11
tdxx
dxx t
t
t, adic integrala improprie este
divergent. Pentru 1≠α avem
67
−−
=+−
== −∞→
+−
∞→∞→
∞
11
lim1
11
lim1
lim1
11
1
11α
α
αα αα tx
dxx
dxx t
t
t
t
t.
Pentru 1>α ( 01 >−α ) avem 011
lim 1 =∞
=
−∞→ αtt
. Într-adevr vom avea
111
1 −=
∞
αα dxx
i deci integrala improprie va fi convergent.
Pentru 1<α ( 01 <−α ), ∞==
−
∞→−∞→
αα
11 lim
1lim t
t tt i integrala improprie
este divergent. S analizm acum cazul integralelor improprii din funcii nemrginite. Definiie: Fie R→),[: baf o funcie definit i continu pe ),[ ba cu proprietatea c ∞=
↑)(lim xf
bx(sau ∞− ). Prin integrala improprie a
funciei nemrginite f pe intervalul ],[ ba înelegem
dxxfdxxfb
a
t
abt =↑
)()(lim . Aceast integral se va zice convergent dac
limita respectiv exist i este finit i se zice divergent în caz contrar. Analog dac R→],(: baf este o funcie continu pe ],( ba dar nemrginit în ax = ( ∞=
↓)(lim xf
ax(sau ∞− )) se definete
dxxfdxxfb
tat
b
a ↓= )(lim)( .
Dac R→∪ ],(),[: bccaf este o funcie continu pe domeniul de definiie dar nemrginit în c ( ±∞=
↑)(lim xf
cx sau ±∞=
↓)(lim xf
cx) definim
pe
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a += )()()( i convergena integralei va depinde de
convergena ambilor termeni ai acestei sume (aa cum a fost definit mai sus).
Exemplu: S se evalueze, dac este posibil, dxx −
3
0 21
.
68
Cum 2=x este un punct de discontinuitate pentru integrandul 2
1−x
(în
fapt 2=x este o asimptot vertical la grafic), vom descompune prima dat
−+
−=
−3
2
2
0
3
0 21
21
21
dxx
dxx
dxx
.
Dar [ ] −∞=−−=−=−
=− ↑↑↑ 2ln)2ln(lim2lnlim
21
lim2
1202
2
0 02txdx
xdx
x t
t
t
t
t,
adic integrala aceasta este divergent. În aceste condiii, indiferent de
convergena integralei −3
2 21
dxx
, integrala „total” dxx −
3
0 21
va fi
divergent.
4.4. Integralele Euler Integralele Euler sunt nite funcii speciale definite cu ajutorul unor integrale improprii i care joac un rol important, de pild, în calculul probabilitilor i statistica matematic. Prima integral Euler i funcia Beta
Integrala −− −
1
0
11 )1( dxxx qp este numit „prima integral Euler”. Se
vede c pentru 1≥p i 1≥q aceast integral este o integral definit (proprie). În caz contrar ea este o integral improprie. Teorem:
a) Dac 0>p i 0>q prima integral Euler este improprie dar convergent;
b) Dac 0≤p sau 0≤q atunci prima integral Euler este improprie i divergent.
Pentru 0>p i 0>q se poate defini „funcia Beta” (în dou variabile p i
q) prin R→∞×∞ ),0(),0(:B , dxxxqpB qp
−− −=1
0
11 )1(),( .
A doua integral Euler i funcia Gama
Integrala ∞ −−
0
1 dxex xp se numete „a doua integral Euler”. Avem
rezultatul:
69
a) Dac 0>p atunci a doua integral Euler este improprie dar convergent;
b) Dac 0≤p atunci a doua integral Euler este improprie i divergent.
Pentru 0>p se poate defini, cu ajutorul celei de a doua integrale Euler
(convergente), i „funcia Gama”, R→∞Γ ),0(: , ∞ −−=Γ
0
1)( dxexp xp .
Aceast funcie Γ generalizeaz conceptul de factorial pentru numere naturale (n!). Mai precis avem urmtoarele proprieti: 1)1( =Γ ,
)1()1()( −Γ−=Γ ppp , dac 1>p , )!1()( −=Γ nn , pentru *N∈n ,
π=
Γ21
, ),()()()(
qpBqpqp =
+ΓΓΓ
, pentru 0, >qp .
Integrala Euler-Poisson
Integrala improprie ∞ −
0
2
dxe x este „integrala Euler-Poisson”. Se
arat c aceast integral este convergent. Verificm aceasta mai jos.
Într-adevr, prin substituia 2xt = , tx = , t
dtdx
2, avem
221
21
211
21
0
121
00
2 π=
Γ=== ∞ −−∞ −∞ − dtetdte
tdxe ttx .
Alte proprieti: π=∞
∞−
− dxe x2
, π22
2
=∞
∞−
−dxe
x
.
70
5. Metode aproximative (numerice)
În cele ce urmeaz vom schia câteva procedee aproximative (numerice) utile în calculul diferenial i integral. Vom da i o scurt prezentare a conceptului de interpolare care ar permite aproximarea unei dependene funcionale f în zone unde aceasta nu este cunoscut analitic, pe baza unor valori )( ixf date, cu ix din domeniul unde f este cunoscut.
5.1. Calculul aproximativ al derivatelor S presupunem c dorim s aproximm derivata unei funcii derivabile f într-un punct a fr s cunoatem forma analitic a dependenei f, dar cunoscând pe )(af i )( haf + (unde h este o cantitate mic, astfel c a+h s aparin domeniului de definiie a lui f). Dac utilizm a dezvoltare Taylor i ne limitm la termenul ce conine prima derivat avem
...)(')()( ++=+ ahfafhaf , de unde h
afhafaf
)()()('
−+≈ .
În mod analog acceptând cunoscut funcia în dou puncte „vecine” a+h i a-h, dezvoltarea Taylor în vecintatea acestor puncte permite
stabilirea i a formulei (aproximative) h
hafhafaf
2)()(
)('−−+≈ .
În esen ambele aproximri de mai sus înlocuiesc panta tangentei geometrice în a ( )('af ) cu panta unei coarde care unete puncte din vecintatea lui a. Desigur c procedeul de aproximare se poate extinde i la calculul derivatei de ordinul doi, etc. – fr a cunoate în continuare forma analitic a dependenei f. De exemplu dac se cunoate )(af , )( haf − , )( haf + (cu h mic), dezvoltarea Taylor – limitat la termenul ce conine pe )('' af ne permite s scriem c
2
)()(2)()(''
hhafafhaf
af−+−+≈ .
71
5.2. Interpolare S presupunem c urmrind o anumit mrime C în funcie de o variabila independent t ( cum ar fi concentraia unei substane în funcie de timp) se determin un set de valori ale lui C pentru anumite valori ale lui t, mai precis
25,730,745,770,780,750,830,1050,24)(40302017151051
i
i
tC
t
S figurm aceste puncte ( )(, ii tCt ) într-un reper cartezian:
Dac unim prin arce continue aceste puncte s-ar obine o curb ce aproximeaz dependena funcional )(tC . Evident având o astfel de curb am putea obine informaii despre valorile lui )(tC i pentru valori t diferite de it . Problema care se pune este „cum s unim aceste puncte”, ce curb s folosim pentru ca eroarea s fie cât mai mic. Sau pe scurt, ce tehnic de „interpolare”, s folosim. În matematici exist o gam larg de metode de interpolare. Unele dintre ele folosesc i valori ale derivatei dependenei funcionale necunoscute în punctele (nodurile) it , altele sunt chiar convergente ctre dependena funcional exact )(tCC = , când numrul nodurilor (punctelor) it crete nedeterminat.
72
Noi vom schia în cele ce urmeaz cele mai simple procedee de interpolare cunoscute, care nu implic decât valorile )( itC i la care nu ne vom pune problema erorii. Mai precis, dac acceptm c variaia lui )(tC , între dou valori it i
1+it ale variabilei independente t, este linear, vom avea aa numita interpolare linear (punctele ( )(, ii tCt ) se vor uni cu segmente de dreapt). În esen, pentru ),( 1+∈ ii ttt avem în acest caz
ii
iiii tt
tCtCtttCtC
−−
−+≈+
+
1
1 )()()()()( ,
adic în dezvoltarea Taylor de ordinul întâi am aproximat derivata )(' itC
prin ii
ii
tttCtC
−−
+
+
1
1 )()(.
Analog dac punctele it ar fi unite prin arce de parabol (adic
cbtattC ++= 2)( ), apelând la dezvoltarea Taylor de ordinul doi unde
11
11 )()()('
−+
−+
−−
≈ii
iii tt
tCtCtC iar ( )( )11
11 )()(2)()(''
−+
−+
−−+−
≈iiii
iiii tttt
tCtCtCtC , putem scrie,
pentru ),( 11 +−∈ ii ttt ,
( )( )11
112
11
11 )()(2)(2
)()()()()()(
−+
−+
−+
−+
−−+−−
+−−
−+≈iiii
iiii
ii
iiii tttt
tCtCtCtttt
tCtCtttCtC
ceea ce corespunde interpolrii parabolice. Exemplu: inând cont de valorile cunoscute ale lui C pentru t=1, 5, 10, 15, 17, 20, 30, 40 s se determine pe )7(C folosind
a) interpolarea linear; b) interpolarea parabolic.
a) 58,95
)5()10()57()5()7( =−−+≈ CC
CC
b)
45,955
)5()10(2)15(2
)107(10
)5()15()107()10()7(
2
=⋅
+−−+−−+≈ CCCCCCC
73
5.3. Calculul aproximativ al integralelor Scopul acestui paragraf este de a da o valoare aproximativ a
integralei definite (de la a la b, din funcia continu f) b
adxxf )( , în cazul în
care: - f este cunoscut doar în câteva puncte (noduri) ix ; - calculul explicit al unei primitive F este foarte complicat sau
imposibil. Metodele propuse se bazeaz în esen pe interpolarea funciei f, cu ajutorul lui )( ixf . S acceptm, pentru început, c avem )1( +n puncte (noduri) ix ,
echidistante, definite prin ihaxi += , n
abh
−= fiind „pasul” (echidistana
nodurilor), iar ni ,...,1,0= , cu bnhaxn =+= .
Aproximând atunci aria b
adxxf )( prin ariile dreptunghiurilor, de
aceeai baz n
abh
−= i înlimi, respectiv, )(af , )( 1xf , ..., )( 1−nxf ,
obinem formula aproximativ
+≈
−
=
1
1
)()()(n
ii
b
axfafhdxxf
cunoscut i sub numele de formula dreptunghiurilor. Evident c eroarea aproximrii de mai sus este cu atât mai mic cu cât pasul h este mai mic. Dac acum ne propunem s îmbuntim aproximarea prin înlocuirea ariei dreptunghiului (pe fiecare subinterval ),( 1+ii xx ) cu aria trapezului de laturi )( ixf i )( 1+ixf se va obine o nou formul, cunoscut ca i formula trapezelor, mai precis
++≈
−
=
1
1
)(2)()(2
)(n
ii
b
axfbfaf
hdxxf .
Aceast formul, mai precis decât cea a dreptunghiurilor, are i ea o eroare cu atât mai mic cu cât h este mai mic (numrul n - al punctelor ix ,
∞→ ).
74
Dac apelm acum la interpolarea parabolic, acceptând c cunoatem valoarea funciei f în 3 puncte hxi − , ix i hxi + (cunoatere în
3 puncte permite aproximarea lui f printr-o parabol cbxax ++2 ), avem imediat pentru
)()(4)(3
)( hxfxfhxfh
dxxf iii
hx
hx
i
i
+++−≈+
−.
Aceast formul, cunoscut i ca Formula lui Simpson se poate extinde i în cazul a n+1 puncte (noduri) echidistante, cu n par (i deci n+1 impar). Aplicând, succesiv, la fiecare triplet de 3 noduri interpolarea parabolic, obinem în final Formula Simpson
( ) ( )
+++≈ −
=
−
=+
22
12
22
012 )(2)(4)()(
3)(
n
ii
n
ii
b
axfxfbfaf
hdxxf .
Este evident c aceast aproximare – din ce în ce mai bun dac 0→h ( ∞→n ), este superioar formulelor precedente, aproximarea curbei
printr-un arc de parabol fiind mai bun decât aproximarea prin segmente.
75
6. Funcii de mai multe variabile
În practic se întâmpl foarte des ca o mrime studiat s depind nu doar de o variabil ci de mai multe variabile, simultan. Apare deci necesitatea extinderii conceptului de funcie de o variabil la funcii de mai multe variabile. Definiia funciei reale de mai multe (n) variabile reale Fie A, B dou mulimi din R. Prin produsul cartezian al acestor dou mulimi, notat cu BA× , se înelege mulimea tuturor perechilor ordonate
),( yx , unde Ax ∈ i By ∈ . Evident, analog, prin n
n
AAAA ≡××× ori
... vom
înelege mulimea „n”-uplelor ordonate ),...,,( 21 nxxx , unde Axi ∈ , ni ,1= .
Prin funcii f de „n” variabile definite pe o mulime nA R⊆ , cu valori în R ( R→Af : ), se înelege o coresponden f univoc care asociaz la orice „n”-upl ordonat Axxx n ∈),...,,( 21 un numr unic real notat cu
R∈= ),...,,( 21 nxxxfz . A va fi evident domeniul de definiie al funciei f
iar R⊆= Bxxxf n ),...,,( 21 va fi codomeniul acestei funcii. Ne vom limita în cele ce urmeaz, pentru simplificare, la funcii de dou variabile ),( yxfz = , unde 2),( R⊆∈ Ayx iar R∈z .
6.1. Limita global Vom spune c funcia R→Af : are limita „global” l în punctul
),( ba (punct de acumulare lui A) dac valorile ),( yxf se „apropie” de l când ),( yx se „apropie” – pe un drum arbitrar, de ),( ba . Aceasta se va scrie
lyxfbayx
=→
),(lim),(),(
sau lyxfbyax
=→→
),(lim .
Evident c aceast „apropiere” trebuie precizat riguros. Cea mai simpl i intuitiv manier pentru a realiza aceasta ar fi folosirea noiunii de „distan” d (euclidian) între punctele ),( yx i ),( ba , adic
22 )()( byaxd −+−= , respectiv de „distan” între numere reale ),( yxf
i l, dat de lyxf −),( .
76
În aceaste condiii vom spune c lyxfbayx
=→
),(lim),(),(
dac i numai
dac pentru 0>∀ε , 0>∃δ astfel ca dac Ayx ∈),( i
δ<−+− 22 )()( byax atunci ε<− lyxf ),( . Observm c dac, utilizând drumuri particulare diferite, limita lui f ia valori diferite, atunci limita global nu exist.
Exemplu: S se studieze existena limitei 22
22
)0,0(),(
3lim
yxyx
yx +−
→.
Dac ne „apropiem” de )0,0( de-a-lungul axei reale 0=y avem, evident,
1),(2
2
0==
= xx
yxfy
, pentru orice 0≠x , i deci 1),( →yxf dac
)0,0(),( →yx pe axa real. Dac ne „apropiem” de )0,0( de-a-lungul axei imaginare 0=x avem
33
),(2
2
0−=−=
= yy
yxfx
, pentru orice 0≠y , aa c 3),( −→yxf când
)0,0(),( →yx pe axa ordonatelor. Deoarece f tinde ctre limite diferite de-a-lungul unor drumuri diferite, limita global nu exist.
6.2. Continuitatea Fie RR 2 →⊆Af : o funcie real de dou variabile reale definit pe A i fie ),( ba un punct de acumulare a lui A (care aparine acestuia). Definiie: Vom spune c f este continu în punctul ),( ba dac
),(),(lim),(),(
bafyxfbayx
=→
.
O funcie R→Af : care este continu în orice punct a lui A va fi continu pe A. Dac f i g sunt funcii continue într-un acela punct atunci i
gf ± , gf ⋅ , gf / ( 0≠g ) sunt continue în punctul respectiv.
6.3. Derivate pariale Fie RR 2 →⊆Af : i ),( ba un punct de acumulare a lui A care i aparine acestuia.
77
Definiie: Vom spune c f este derivabil „parial” în raport cu
variabila x, în punctul ),( ba , dac exist ax
bafbxfax −
−→
),(),(lim i aceasta ia o
valoare finit. Respectiva limit se va numi derivata parial în raport cu x i se va nota cu
),(),( ' bafbaxf
x≡∂∂
.
Analog se definete i derivata parial în raport cu y notat cu
),(),( ' bafbayf
y≡∂∂
. Dac funcia R→Af : admite derivata parial în
raport cu x (y) în orice punct Aba ∈),( atunci se zice c ea este derivabil parial în raport cu x (y) pe mulimea A. Observaie: Existena derivatelor pariale ale unei funcii f într-un punct nu implic continuitatea lui f în acel punct.
Exemplu: Funcia
=
≠+=
)0,0(),( 0
)0,0(),( ),( 22
yx
yxyx
xyyxf
nu este continu în )0,0( deoarece dac ne „apropiem” de acesta pe axa real )0( =y limita este 0, dar dac ne „apropiem” de )0,0( pe dreapta mxy =
)0( ≠m , limita este egal cu 01 2
≠+ mm
.
Totui derivatele pariale ale acestei funcii, în zero, exist:
00
)0,0()0,(lim)0,0(
0=
−−=
∂∂
→ xfxf
xf
x iar 0
)0,0(),0(lim)0,0(
0=−=
∂∂
→ yfyf
yf
y
Remarc: Odat „fixat” o variabil, efectuarea derivatei în raport cu cealalt (derivarea parial) se face conform acelorai reguli ca i în cazul funciilor de o variabil.
6.4. Derivate pariale de ordin superior
Derivatele pariale ix
f∂∂
ale unei funcii f de n variabile, ni ,1= , sunt i ele
funcii de n variabile pentru care se va putea pune, la rândul lor, problema derivabilitii ajungându-se astfel la derivate pariale de ordinul doi
78
''ji xx
jiij
fxx
fxf
x≡
∂∂∂=
∂∂
∂∂
i procesul poate continua ajungându-se la
derivate pariale de ordin superior (3, 4, ..., n,...). Lema lui Schwartz: Fie R→Af : , 2R⊆A . Dac exist derivatele pariale
(mixte) de ordinul doi ''xyf i ''
yxf i ele sunt continue în punctele lui A, atunci vom putea scrie
),(),( '''' bafbaf yxxy = , Aba ∈∀ ),( .
6.5. Extremul funciilor de mai multe variabile În cele ce urmeaz se va extinde conceptul de extrem (maxim sau minim), local (relativ) sau global (absolut) la funcii de mai multe variabile. Teorem: (generalizarea Teoremei lui Fermat) Fie R→Af : , nA R⊆ , o funcie de n variabile care admite derivate pariale de ordinul întâi continue. Dac Aaaaa n ∈= ),...,,( 21 este un maxim (minim) local atunci
0)(...)()(21
=∂∂==
∂∂=
∂∂
axf
axf
axf
n
.
Observaie: Punctele ),...,,( 21 naaaa = pentru care
0)(...)()(21
=∂∂==
∂∂=
∂∂
axf
axf
axf
n
poart numele de puncte critice sau
puncte staionare. Se vede deci c pentru orice punct de extrem local derivatele pariale de ordinul întâi se anuleaz ceea ce ar reprezenta o condiie necesar de extrem. Pentru a da i o condiie suficient de extrem pentru un punct staionar a, s presupunem c 2Cf ∈ (adic sunt funcii ce admit derivate de ordinul doi continue) i s construim aa numitul Hessian, mai precis matricea ptratic de ordinul n
79
≡
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
nnnn
n
n
nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
ax
fa
xxf
axxf
axxf
ax
fa
xxf
axxf
axxf
ax
f
aH
...
....
...
...
)(...)()(
....
)(...)()(
)(...)()(
)(
21
22221
11211
2
2
2
2
1
2
2
2
22
2
12
21
2
21
2
21
2
,
cu ).(2
axxf
aji
ij ∂∂∂=
Are loc atunci urmtoarea teorem (condiie suficient de extrem local), Teorem: Dac a este un punct staionar pentru funcia R→Af : , nA R⊆
i 2Cf ∈ , atunci i dac a) urmtorii minori principali a lui )(aH sunt toi pozitivi, adic
011 >a , 02121
1211 >aa
aa, ..., 0
.......
...
...
21
22221
11211
>
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
atunci punctul a este un punct de minim (local) pentru f; b) urmtorii minori principali a lui )(aH alterneaz ca semn, adic
011 <a , 02121
1211 >aa
aa, ..., 0
.......
...
...
)1(
21
22221
11211
>−
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
atunci punctul a este un punct de maxim (local) pentru f; c) anumii minori principali nu îndeplinesc condiiile de semn de la a) sau b) atunci a este un punct ea (nu e nici punct de maxim, nici de minim) iar dac sunt zero nu putem trage nici o concluzie. În cazul funciilor de dou variabile 2Cf ∈ , ce accept punctul
staionar ),( ba , dac notm ),(2
2
bax
fr
∂∂= , ),(
2
bayxf
s∂∂
∂= , ),(2
2
bay
ft
∂∂=
i 2srt −=∆ , atunci
80
a) dac 0>∆ i 0>r , ),( ba este punct de minim local; b) dac 0>∆ i 0<r , ),( ba este punct de maxim local; c) dac 0<∆ , avem un punct ea; d) dac 0=∆ nu putem trage nici o concluzie (alte tehnici trebuiesc folosite pentru soluionarea problemei).
6.6. Extreme cu „restricii” (constrângeri) În acest paragraf vom discuta o metod general pentru determinarea extremelor relative ale unei funcii ale crei variabile independente satisfac una sau mai multe restricii (constrângeri). Aceast metod este numit metoda multiplicatorilor lui Lagrange. În fapt este vorba de problema de a optimiza (gsi extremele) unei funcii ),...,,( 21 nxxxf unde variabilele independente 1x , 2x , ..., nx sunt supuse condiiilor suplimentare (restriciilor, constrângerilor)
jnj cxxxg =),...,,( 21 , nmj <= ,...,2,1 . Funcia f este numit i funcia
obiectiv, funciile 1g , 2g , ..., mg sunt funciile de constrângere (restricie)
iar 1c , 2c , ..., mc sunt constantele de constrângere (restricie). Optimizarea cu „restricii” are un rol proeminent în teoria economic prin importana maximalizrii unor utiliti sub rezerva unor restricii de buget. Pentru rezolvarea problemei de extrem cu restricii o prim metod const în exprimarea celor m variabile independente (din restriciile
jj cg = ) ca funcii de celelalte n-m variabile independente i astfel s eliminm, în funcia obiectiv, aceste m variabile în favoarea celorlalte (n-m). Prin aceast eliminare problema iniial, cu constrângeri, se va transforma într-o problem de optimizare, fr constrângeri, în raport cu cele n-m variabile rmase. În multe cazuri nu va fi îns posibil, tehnic vorbind, s exprimm aceste m variabile ca funcii de restul n-m. În aceast situaie va fi utilizat o metod general care, chiar dac mrete numrul ecuaiilor i necunoscutelor, are avantajul unei uoare aplicabiliti. Este vorba de metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Vom ilustra aceast metod, fr a intra în detaliile unor demonstraii justificative, în cazul optimizrii unei funcii de dou variabile
),( yxf , variabile care sunt supuse restriciei unice cyxg =),( (evident nu
81
putem avea mai multe restricii, numrul restriciilor trebuie s fie strict mai mic decât numrul variabilelor). Primul pas este formarea aa numitei „funcii a lui Lagrange” („Lagrangian”)
]),([),(),,( cyxgyxfyxL −−= λλ , unde λ („multiplicatorul lui Lagrange”) este în fapt o necunoscut auxiliar suplimentar. Se determin apoi punctele critice ale Lagrangianului, adic se rezolv sistemul
=∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
cyxg
yxyg
yxyf
yxxg
yxxf
),(
),(),(
),(),(
λ
λ
Punctele extreme ale lui f se vor afla printre soluiile sistemului anterior ( λ jucând rolul de necunoscut auxiliar).
82
7. Câmp de vectori Noiunile din acest paragraf îi gsesc aplicaii în (bio)fizic. Ne vom limita strict la definirea lor. Definiie: Se numete câmp scalar o regiune a spaiului nostru tridimensional (raportat la un reper cartezian Oxyz) în care fiecrui punct
),,( zyx i se asociaz o mrime (un scalar), ),,( zyxf . Exemplu: Dac fiecrui punct al atmosferei i se asociaz mrimea temperaturii msurat în acel punct, avem un câmp scalar (al temperaturilor). Ansamblul punctelor unui câmp scalar unde funcia f ia o (aceeai) valoare constant C, adic punctele ce satisfac Czyxf =),,( , formeaz o „linie de câmp”. În cazul câmpului temperaturilor aceast linie se va numi „izoterm”, în cazul câmpului presiunilor ea este „izobar”, în cazul câmpului de potenial avem „linii echipoteniale”, etc. Definiie: Se numete câmp vectorial o regiune a spaiului în care la fiecare punct ),,( zyx se asociaz un vector ),,( zyxF
, vector care poate fi
descompus într-un reper cartezian astfel kzyxRjzyxQizyxPzyxF
),,(),,(),,(),,( ++= ,
i
, j
i k
fiind vectorii unitari (versorii) axelor reperului Oxyz. Se vede deci c, în condiiile unui câmp vectorial, la fiecare punct
),,( zyx se asociaz o triplet de funcii (scalare) ),,( zyxP , ),,( zyxQ ,
),,( zyxR care sunt de fapt „componentele” funciei vectoriale ),,( zyxF
. Exemplu: Dac la fiecare molecul a unui fluid în micare asociem viteza de deplasare v
a moleculei, avem un câmp vectorial (al vitezelor).
Definiie: Se numete gradient al unei funcii (scalare) f, vectorul
kzf
jyf
ixf
gradf
∂∂+
∂∂+
∂∂= .
Practic „operatorul” gradient transform un scalar f într-un vector ( gradf ). Definiie: Se numete divergen a unei funcii (vectoriale)
kRjQiPF
++= valoarea (scalarul)
zR
yQ
xP
Fdiv∂∂+
∂∂+
∂∂=
.
„Operatorul” divergen transform vectorul F
într-un scalar ( Fdiv
).
83
Definiie: Se numete rotor a unei funcii vectoriale kRjQiPF
++= , vectorul Frot
al crui componente sunt, respectiv,
zQ
yR
∂∂−
∂∂
, xR
zP
∂∂−
∂∂
, yP
xQ
∂∂−
∂∂
.
Rotorul transform un vector F
tot într-un vector ( Frot
).
Are loc rezultatul important fz
fy
fx
fgradfdiv ∆=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
2
2
2
2
2
2
)( ,
f∆ fiind „laplacianul” lui f. Definiie: Dac pentru un câmp vectorial
kzyxRjzyxQizyxPzyxF
),,(),,(),,(),,( ++= exist o funcie (scalar)
),,( zyxf astfel ca gradfF −=
, atunci câmpul F
se numete „potenial”
iar f este funcia de potenial (potenialul) câmpului F
.
84
8. Ecuaii difereniale Definiie: Se numete ecuaie diferenial de ordin n pentru o funcie
)(xfy = o legtur (relaie) între variabila independent x, funcia )(xfy = i cele n derivate succesive 'y , ''y , ..., )(ny , adic
0),...,'',',,( )( =nyyyyxF , Aici F este o funcie de „n+2” variabile, definit pe un 2nR +⊆A , i cu valori în R. Ordinul ecuaiei difereniale este ordinul maxim al derivatei funciei
)(xy prezent în ecuaie. A rezolva (integra) ecuaia diferenial înseamn a gsi toate funciile )(xy , derivabile de n ori care verific aceast ecuaie. Aceste funcii se vor numi soluii sau (curbe) integrale ale ecuaiei difereniale.
8.1. Ecuaii difereniale de ordinul întâi S considerm o ecuaie diferenial de ordinul întâi, adic o ecuaie de forma 0)',,( =yyxF , unde RR 3 →⊆AF : . Rezolvarea acestei ecuaii difereniale depinde de forma funciei F. În cele ce urmeaz vom da câteva cazuri particulare importante. Ecuaii cu variabile separabile Prin ecuaie cu „variabile separabile” vom înelege orice ecuaie de forma
0)(')( =− xayyb , 0, ≠ba fiind funcii date.
Cum dxdy
y =' , ecuaia de mai sus se poate „separa” în
dyybdxxa )()( = , fiecare din cei doi membri ai egalitii depinzând fie de x fie de y. Soluia se va obine integrând (nedefinit) fiecare membru al egalitii, în raport cu x, respectiv cu y, adic = dyybdxxa )()( . Se obine
astfel „legtura” între y i x ce satisface ecuaia, adic funcia soluie )(xyy = .
85
Exemplu: Fie ecuaia yxy =' . Aceast ecuaie se retranscrie
CxyCexy
kxy
kxyx
dxy
dyy
dxdy
x k =⇔≡=⇔=⇔+=⇔=⇔= ±lnlnln
unde R∈Ck , . Observm c soluia unei astfel de ecuaii difereniale depinde întotdeauna de o constant C numit constant de integrare. În fapt avem, datorit prezenei acestei constante, o familie de soluii (curbe integrale). Pentru a individualiza aceste curbe (soluii) trebuie ca ecuaiei difereniale s i se ataeze aa numitele „condiii iniiale” adic, pentru ecuaiile difereniale de ordinul întâi, s avem i o condiie de tipul
00 )( yxy = (condiia Cauchy). A determina acea soluie care satisface o astfel de condiie iniial (numit i „problema Cauchy”) înseamn a determina acea curb din familia de soluii care trece prin punctul ),( 00 yx . Dac, în exemplul precedent, se caut soluia pentru care 1)1( =y , avem 111 =⇔⋅= CC i soluia unic va fi xy = . Evident c pentru o ecuaie diferenial de ordinul „n” avem n constante de integrare i va fi nevoie de n condiii iniiale pentru determinarea lor. Ecuaii difereniale lineare de ordinul întâi omogene (fr membru drept) Este vorba de ecuaiile de forma
0)(')( =+ yxbyxa , cu a i b funcii date de x, 0)( ≠xa . Linearitatea implic c funcia necunoscut y i derivata 'y apar doar la puterea întâi. Se vede imediat c soluia general a unei astfel de ecuaii –
reductibil la o ecuaie cu variabile separabile, este
=− dx
xaxb
Cey )()(
, unde R∈C .
Exemplu: 02' =− yxy ( 2)( ,)( −== xbxxa )
R∈=⇔±=⇔=⇔=⇔=⇔ CkCxyxeyx
dxy
dyx
dxy
dyy
dxdy
x k , ,222 22
.
86
Ecuaii difereniale lineare de ordinul întâi neomogene (cu membrul drept nenul) Este vorba de ecuaiile
)()(')( xgyxbyxa =+ , unde a, b i g sunt funcii de x, 0)( ≠xa , 0)( ≠xg . Exist dou metode pentru rezolvarea acestei ecuaii: 1) metoda identificrii – o metod mai simpl dar cu câmp de aplicabilitate mai redus; 2) metoda variaiei constantei (a lui Lagrange) – o metod mai general dar mult mai laborioas. Rezolvarea prin metoda identificrii Aceast metod nu va fi aplicabil decât dac: 1) coeficienii ecuaiei sunt constani, adic axa =)( i bxb =)( ; 2) membrul drept este fie o funcie polinom, fie o funcie exponenial multiplicat cu un polinom, fie o funcie linear în kxsin i
kxcos . Se arat c dac ...)( 1 ++= −nn NxMxxg sau kx
n exPxg )()( = sau )cos()sin()( kxNkxMxg += atunci ecuaia admite o soluie particular de
tipul )(xQY n= , respectiv kxn exQY )(= sau kx
n exxQY )(= (dac soluia
general a ecuaiei omogene este kxCe - deci are acela k!), respectiv )cos()sin( kxBkxAY += .
Aici )(xPn i )(xQn sunt polinoame de gradul n, coeficienii lui
)(xQn urmând a fi determinai prin metoda identificrii a dou polinoame (egalarea coeficienilor acelorai puteri). Odat ce avem soluia particular Y a ecuaiei neomogene date, dac aceasta se adaug soluiei generale a ecuaiei omogene asociate (care este
evident R∈=−
CCeyx
ab
,0 ) se obine soluia general a ecuaiei neomogene. Exemplu: S se rezolve ecuaia )(' xgyy =+ ( 1== ba ). Cautm la început soluia general 0y a ecuaiei omogene asociate, adic
R∈=⇔−=⇔−=⇔=+ − CCeydx
ydy
ydxdy
yy x ,0' 0 .
87
S presupunem c )(xg este acum de forma:
1) 2)( xxg = Membrul drept fiind un polinom de gradul doi acela lucru vom putea spune i despre soluia particular DBxAxY ++= 2 . Înlocuind aceast form a soluiei particulare în ecuaie, prin identificarea polinoamelor se ajunge la urmtorul sistem algebric pentru necunoscutele A,B i D
1=A 02 =+ BA
0=+ DB , adic 1=A , 2−=B , 2=D i deci soluia 222 +−= xxY , iar soluia general a ecuaiei neomogene va fi
2220 +−+=+= − xxCeYyy x ;
2) xexg =)(
Acum forma general a soluiei particulare va fi xAeY = i, prin
înlocuirea în ecuaie se obine xx eAe =2 , adic 21=A i avem xeY
21= .
Soluia general a ecuaiei neomogene va fi atunci xx eCeYyy
21
0 +=+= − .
Observaie: Când xexg −=)( - aceeai form a funciei exponeniale regsindu-se i în soluia general a ecuaiei omogene, soluia particular Y se va cuta sub forma 1== − AAxeY x , adic xxeY −= ; 3) xxg sin)( = Forma general a soluiei particularea xBxAY cossin += care,
prin introducere în ecuaie i identificare, conduce la 21=−= BA , adic
xxY cos21
sin21 −= . Avem atunci pentru
xxCeYyy x cos21
sin21
0 −+=+= − .
88
Rezolvarea prin metoda variaiei constantei (a lui Lagrange) Vom relua ecuaia linear de ordinul întâi neomogen în cazul când coeficienii nu mai sunt în mod necesar constani adic
)()(')( xgyxbyxa =+ )0)(( ≠xa . Evident c ecuaia linear de ordinul întâi omogen asociat
0)(')( =+ yxbyxa are soluia general =
− dxxaxb
Cey )()(
0 , R∈C . S notm,
pentru simplificare, =− )()()(
xFdxxaxb
i s cutm soluia particular Y a
ecuaiei neomogene sub forma )()( xFexCY = , unde )(xC este o funcie ce trebuie determinat. Înlocuind în ecuaie aceast form pentru Y obinem
)()(')(])()')(()[(
)()()()(')()()(')()(
0
)()(
)()()(
xgexCxaexbexaxC
xgexCxbexFxCxaexCxaxFxFxF
xFxFxF
=++⇔
⇔=++
=
Cum paranteza ptrat de mai sus este zero ( )(xFe fiind o soluie a ecuaiei
omogene asociate) va rezulta c în mod necesar )(
)()(
)(' xFexaxg
xC −= de
unde, prin integrare, se obine −= dxe
xaxg
xC xF )(
)()(
)( .
Soluia general a ecuaiei neomogene y va fi
−+=+= dxe
xaxg
eCeYyy xFxFxF )()()(0 )(
)(, cu −= dx
xaxb
xF)()(
)( .
Exemplu: Considerând ecuaia )(' xgyy =+ , cu xCey −=0 , reluând raionamentul anterior pentru 1=a i 1=b , obinem în final
= dxexgxC x)()( .
În cazul 2)( xxg = ,
kxxedxexeexdxxeexdxexxC xxxxxxx ++−=+−=−== )22(222)( 2222
(unde s-a folosit, de dou ori, integrarea prin pri). Avem atunci
0
222
y
x
Y
kexxy −++−= , în concordan cu rezultatul obinut prin metoda
identificrii.
89
8.1.1. Ecuaii difereniale „omogene”
Definiie: O ecuaie diferenial este numit „omogen” dac înlocuind pe x prin kx i y prin ky ecuaia rmâne neschimbat.
În esen o astfel de ecuaie se poate scrie sub forma )('xy
hy = .
Notând atunci xy
t = ( 0≠x ) adic txy = i xdttdxdy += ecuaia devine
)(thdx
xdttdx =+ adic o ecuaie cu variabile separabile de forma
0)()( =+ dttndxxm . Dup rezolvare t va fi în final înlocuit cu xy
.
Exemplu: S se rezolve ecuaia diferenial xydxdyyx =+ )( 22 . Observând c, prin înlocuirea kxx → i kyy → ecuaia rmâne neschimbat, putem afirma c aceast ecuaie diferenial este omogen. Fie atunci txy = i xdttdxdy += . Prin înlocuire obinem
dxtxxdttdxxtx 2222 ))(( =++ care se mai scrie dxxtdttx 2323 )1( −=+
)0( ≠t ⇔ dxx
dtt
t 113
2
−=+ adic
kxt
tdxx
dttt
+−=−⇔−=
+ ln21
ln111
23 sau,
xy
t = ,
ky
xy =−
2
2
2ln .
Ultimul rezultat este în fapt o soluie „implicit”, de forma 0),( =yxf , care nu ar permite exprimarea lui y în funcie de x. Dar ea se
poate reprezenta „parametric” prin formulele
k
t
t
ec
cetxy
te
cx±=
==
= unde ,
2
2
2
1
2
1
.
O definiie mai general a unei ecuaii difereniale omogene este cea a unei ecuaii de forma ),('),( yxgyyxf = unde f i g sunt dou funcii
omogene de acela ordin m (adic ),(),( yxfkkykxf m= i
),(),( yxgkkykxg m= )
90
Exemplu: Ecuaia dxxydyyxyx
xyy
yxgyxf ),(),(
2222
)(' =+⇔+
=
.
Dar funciile f i g sunt omogene de un acela ordin (2) deoarece ),(),( 2 yxfkkykxf = i ),(),( 2 yxgkkykxg = .
De fapt ecuaia dat se poate retranscrie i sub forma (deja studiat),
)('xy
hy = , observând c
)()/(1
/)/1(
)/('
2222
2
22 xy
hxy
xyxyx
xyxyx
xyy =
+=
+=
+=
8.2. Ecuaii difereniale de ordinul doi
Definiie: Se numete ecuaie diferenial de ordinul doi orice ecuaie de forma
0)'',',,( =yyyxF , R⊆∈∀ Ax , adic o relaie între variabila independent x, funcia R→Ay : i derivatele sale 'y i ''y (definite pe un acela A). Ecuaii difereniale de ordinul doi care se pot reduce la ecuaii (un sistem de) de ordinul întâi Dac avem ecuaii de forma 0)'',',( =yyxF - adic în care nu apare explicit funcia )(xyy = , acestea se pot reduce la dou ecuaii difereniale de ordinul întâi. Într-adevr punând 'yz = (i deci ''' yz = ) relaia de mai sus devine o ecuaie diferenial de ordinul întâi 0)',,( =zzxF . Integrând aceasta se va determina )(xz i apoi din ecuaia de ordinul întâi 'yz = se determin i )(xy . Exemplu: S se rezolve ecuaia diferenial 0''' =+ yy . Punând 'yz = , ecuaia de mai sus devine
⇔+−=⇔−=⇔=+ 1ln0' Cxzdxz
dzzz
xeCz −=⇔ 2 )( 12
CeC = . Imediat 43)( CeCydxxzy x +=⇔= − .
91
Ecuaii difereniale lineare de ordinul al doilea cu coeficieni constani fr membrul doi Ne vom limita la acest tip de ecuaii difereniale de ordinul al doilea pentru a putea utiliza, în condiiile unui membru drept neidentic nul, metoda identificrii. Definiie: O ecuaie diferenial linear de ordinul doi cu coeficieni constani, fr membrul doi, este o ecuaie de forma
0''' =++ cybyay , unde )0(≠a , b, i c sunt constante reale iar y este o funcie (necunoscut) de x. Proprietate: Dac 1y i 2y sunt dou soluii linear independente (adic neproporionale) ale ecuaiei de mai sus atunci ansamblul soluiilor acestei ecuaii (soluia general) este dat de )()()( 2211 xyCxyCxy += , unde 1C i 2C sunt constante reale arbitrare. Pentru determinarea soluiilor 1y i 2y (i implicit a soluiei generale y) se ataeaz ecuaiei difereniale date, o ecuaie algebric de gradul doi (numit ecuaia caracteristic), mai precis ecuaia
02 =++ cbrar . Dac discriminantul acb 42 −=∆ al acestei ecuaii este: a) pozitiv i rdcinile (reale i distincte) ale ecuaiei caracteristice sunt 1r i 2r , atunci xrxr eCeCxy 21
21)( += ; b) nul i rdcina real (dubl) a ecuaiei caracteristice este r atunci
rxexCCxy )()( 21 += ; c) negativ i rdcinile complexe conjugate ale ecuaiei caracteristice sunt βα i± atunci xexCxCxy αββ )cossin()( 21 += . Exemple: 1) S se rezolve ecuaia diferenial 0'4'' =+ yy .
Ecuaia caracteristic 042 =+ rr având rdcinile reale i distincte 41 −=r i 02 =r ,
soluia general va fi 24
1)( CeCxy x += − ; 2) S se rezolve ecuaia diferenial 0'2'' =++ yyy .
Ecuaia caracteristic 10)1(012 2,122 −=⇔=+⇔=++ rrrr (rdcin
real dubl) i deci xexCCxy −+= )()( 21 ; 3) S se rezolve ecuaia diferenial 0'2''2 =++ yyy .
92
Deoarece ecuaia caracteristic 0122 2 =++ rr are 04 <−=∆ , rdcinile
complex conjugate βα i± vor fi 21
21
i±− i avem
221 )
2cos
2sin()(
x
ex
Cx
Cxy−
+= .
Ecuaii difereniale lineare de ordinul al doilea cu coeficieni constani cu membrul doi (neidentic nul) La fel ca i în cazul ecuaiilor difereniale de ordinul întâi cu membru drept nenul soluia general y se va obine adugând soluiei generale 0y a ecuaiei omogene ataate (fr membrul drept) o soluie particular a ecuaiei difereniale de ordinul doi neomogene (cu membrul drept). Cum 0y tim s-l gsim (vezi paragraful anterior) va trebui s ne focalizm asupra gsirii unei soluii particulare Y a ecuaiei difereniale cu membrul drept (nenul). În principiu dac membrul drept )(xg este fie un polinom
...)( 1 ++= −nnn NxMxxP fie produsul dintr-un polinom i o funcie
exponenial, adic kxn exP )( , fie o structur trigonometric de forma
kxNkxM cossin + , unde M, N, k,... sunt constante reale, atunci Y va fi, respectiv, de forma ...)( 1 ++== −nn
n BxAxxQY , apoi kxn exQY )(= (dar
dac k este o rdcin simpl sau dubl a ecuaiei caracteristice, atunci kx
n exxQY )(= respectiv kxn exQxY )(2= ) i în fine
)cos()sin( kxBkxAY += (cu excepia cazului când ecuaia caracteristic are soluiile imaginare ik± ceea ce ar conduce la ))cos()sin(( kxBkxAxY += . Mai sus A, B, ... sunt constante reale ce urmeaz a fi determinate prin metoda identificrii polinoamelor iar )(xPn i )(xQn sunt polinoame de gradul n. Exemplu: S se rezolve ecuaia xeyyy =+− 6'5'' .
Cum ecuaia caracteristic 0652 =+− rr are rdcini reale i distincte 21 =r i 32 =r , vom avea xx eCeCy 3
22
10 += , R∈21 ,CC . În privina lui Y, forma membrului drept ne conduce la a cuta o soluie de tipul xAeY = (folosim i faptul c 1 nu este o soluie a ecuaiei caracteristice). Prin identificare ajungem la
93
21
)65( ==+− AeAAAe xx i deci xeY21= .
Rezult c soluia general va fi 2
32
21
xxx e
eCeCy ++= ,
R∈21 ,CC .
8.3. Rezolvarea unui sistem de dou ecuaii difereniale lineare de ordinul întâi
Limitându-ne la un sistem de ecuaii difereniale lineare cu coeficieni constani în funciile )(xy i )(xz , dac este posibil exprimarea lui z (sau y) cu ajutorul lui 'y i y (sau 'z i z), i implicit se deduce 'z (sau
'y ), se va ajunge în final la o unic ecuaie diferenial linear de ordinul doi în funcia necunoscut y (sau z).
Exemplu: Fie sistemul diferenial
=−+=+
xyzz
zyy
22'
3'.
Din prima ecuaie se determin '3'''3' yyzyyz +=+= care, înlocuit în a doua ecuaie conduce la xyyyyy =−+++ 2)3'(2)'3''( adic la ecuaia diferenial de ordinul doi xyyy =++ 4'5'' . Prin procedeul dezvoltat în paragraful anterior se determin soluia
general 165
44
210 −++=+= −− xeCeCYyy xx . Din yyz 3'+= se va
determina i 1611
43
2 421 −+−= −− xeCeCz xx .
94
9. Calculul Probabilitilor
Calculul (teoria) probabilitilor studiaz evoluia fenomenelor întâmpltoare (aleatoare) din realitatea înconjurtoare, cautând s dea o msur a probabilitii de producere a acestora. Aceast msur va fi aa numita probabilitate de apariie a fenomenului aleator respectiv i care va fi noiunea central a calculului probabilitilor. Acesta va urmri, în esen, construirea de modele matematice care s permit previziunea evoluiei fenomenelor aleatoare. Fenomene aleatoare (întâmpltoare) exist atât în natur (micarea brownian a moleculelor, fenomene meteorologice, etc.) cât i în societate (îmbolnvirea indivizilor dintr-o colectivitate dat, defectarea unor utilaje, extragerile loto, etc.). Aceste fenomene aleatoare vor fi schematizate în cele ce urmeaz prin conceptul de eveniment întâmpltor (aleator).
9.1. Evenimente. Model ansamblist asociat Definiie: Se numete eveniment rezultatul (sau rezultatele) unui experiment (adic a realizrii unui sistem de condiii date corespunztor criteriului de studiu urmrit). În cadrul teoriei probabilitilor nu vom considera experimente deterministe al cror rezultat este prevzut cu certitudine (ele depinzând de legi bine stabilite), ci experimente aleatoare, al cror rezultat nu se poate prevedea riguros, ele depinzând de hazard. Unui experiment (aleator) considerat i se asociaz trei tipuri de evenimente:
- evenimentul întâmpltor (aleator) care poate sau nu s apar la realizarea experimentului (i care vor fi notate cu A, B, C,...)
- evenimentul cert (sigur) care este evenimentul ce se va produce în mod obligatoriu la realizarea experimentului (notat cu Ω )
- evenimentul imposibi care este evenimentul ce nu se va produce în mod obligatoriu la orice efectuare a experimentului (notat cu 0/ ).
Pentru un experiment fixat avem un singur eveniment cert i un singur eveniment imposibil. Dac un eveniment aleator este nedecomposabil el se va numi i eveniment elementar iE . Un eveniment A oarecare poate fi
95
format din mai multe evenimente elementare în timp ce evenimentul cert Ω este ansamblul tuturor acestor evenimente elementare ( ,...,...,1 nEE=Ω ). De aceea Ω se mai numete i „spaiul tuturor evenimentelor” sau „univers”. Evident c evenimentul imposibil nu va conine nici un eveniment elementar. Exemplu: Se considerm un zar, omogen din punct de vedere fizic i cub perfect din punct de vedere geometric, cu cele ase fee marcate prin puncte de la 1 la 6, zar care se arunc (manual sau mecanic) pe o suprafa neted orizontal. Zarul, suprafaa neted i aruncarea sa creaz un sistem de condiii date criteriului urmrit (punerea în eviden a unei fee), adic un experiment. Faa zarului pus în eviden prin acest experiment va fi un eveniment (aleator) notat cu (i) (dac faa are i puncte). Evident c evenimentele (1), (2), (3), (4), (5), (6) fiind „nedecomposabile” sunt evenimentele elementare în timp ce evenimentele )5(),3(),1(=A (apariia unui numr impar), )6(),4(),2(=B (apariia unui numr par) sunt evenimente „compuse”. De asemenea mulimea tuturor evenimentelor elementare (i) 6,1=i , va reprezenta evenimentul sigur (cert)
)6(),5(),4(),3(),2(),1(=Ω . Pentru studiul organizat al oricrui experiment (aleator) dat i al evenimentelor corespunztoare se poate asocia acestuia un model ansamblist structurat pe o mulime Ω . Prin acest model ansamblist se realizeaz o coresponden biunivoc între mulimea evenimenelor unui experiment i mulimea prilor lui Ω , evenimentului cert (sigur) corespunzându-i întreaga mulime Ω . Evident c evenimentele elementare, nedecomposabile, vor corespunde submulimilor elementare (nedecomposabile) ale lui Ω . Astfel în experimentul cu aruncarea zarului, modelul ansamblist se poate realiza prin considerarea unei mulimi de 6 elemente, notate respectiv cu 1, 2, 3, 4, 5, 6, adic a unui 6,5,4,3,2,1=Ω . Evenimentele elementare
iEi ↔ iar A i B de mai sus vor corespunde submulimilor 5,3,1 respectiv 6,4,2 . Evenimentul imposibil va corespunde submulimii
vide iar evenimentul cert va corespunde întregii mulimi Ω . Aceast abordare, printr-un model ansamblist asociat, cu coresponden biunivoc respectiv, va face s identificm în cele ce urmeaz conceptul de eveniment cu cel de submulime corespunztoare acestuia.
96
9.2. Operaii cu evenimente Modelul ansamblist asociat unui experiment va conduce la simplificarea definirii operaiilor cu evenimente. Definiie: Vom spune c evenimentul A este inclus în evenimentul B – ceea ce se noteaz cu BA ⊂ , dac A, respectiv B, fiind submulimile ataate (prin modelul ansamblist structurat pe mulimea Ω ) acestea se afl în relaia clasic de incluziune a mulimilor adic BA ⊂ . Din punctul de vedere al teoriei probabilitilor relaia de incluziune între evenimentul A i B (adic BA ⊂ ) se interpreteaz prin acea c apariia evenimentului A atrage dup sine, în mod necesar, apariia (realizarea) evenimentului B. Au loc i urmtoarele proprieti (care se pot stabili prin proprietile incluziunii între submulimile asociate): 1. Ω⊂A , A⊂/0 , AA ⊂ 2. Dac BA ⊂ i CB ⊂ rezult CA ⊂ . Definiie: Vom spune c evenimentele A i B sunt egale (echivalente) – ceea ce se noteaz cu BA = , dac are loc simultan BA ⊂ i
AB ⊂ . Definiie: Date fiind evenimentele Ω⊂BA, , se numete intersecie a lor evenimentul C – notat cu BA ∩ , cruia, în modelul ansamblist asociat, îi va corespunde intersecia submulimilor asociate lui A i B. Probabilistic evenimentul BA ∩ este evenimentul ce se realizeaz dac se realizeaz atât A cât i B (A i B). Au loc urmtoarele proprieti – care se pot stabili prin proprietile interseciei între submulimile asociate: Pentru orice Ω⊂CBA ,, 1. AAA =∩ , 00 /=/∩A , AA =Ω∩ 2. ABBA ∩=∩ , CBACBA ∩∩=∩∩ )()( 3. ABA ⊂∩ , BBA ⊂∩ Conceptul de intersecie se poate extinde la un numr finit oarecare sau chiar infinit de evenimente, adic putem avea i iIi
A∈∩ , I fiind mulimea
indicilor i (finit sau infinit). Dac A i B sunt astfel ca 0/=∩ BA , atunci A i B se numesc incompatibile. Definiie: Fiind date evenimentele Ω⊂BA, se numete reuniunea lor un eveniment C – notat prin BA ∪ , cruia îi corespunde, în modelul ansamblist asociat, reuniunea submulimilor ataate lui A i B.
97
Probabilistic evenimentul C apare când apare cel puin unul dintre evenimentele A i B (A sau B) Dac A, B, C sunt evenimente oarecare din spaiul tuturor evenimentelor Ω , au loc urmtoarele proprieti (ce se pot stabili prin proprietile echivalente ale submulimilor asociate): 1. AAA =∪ , AA =/∪ 0 , Ω=Ω∪A 2. ABBA ∪=∪ , CBACBA ∪∪=∪∪ )()( 3. BAA ∪⊂ , BAB ∪⊂ , BABA ∪⊂∩ . i reuniunea evenimentelor se poate extinde la un numr finit oarecare sau chiar infinit de evenimente, adic avem iIi
A∈∪ , I fiind mulimea
indicilor i (finit sau infinit). Definiie: Fie date dou evenimente Ω⊂BA, . Se numete diferen a lor evenimentul, notat cu BA \ , a crui submulime corespunztoare (din modelul ansamblist asociat) este diferena submulimilor asociate lui A i B. Evenimentul diferen apare atunci când se realizeaz (apare) evenimentul A i nu se realizeaz (nu apare) evenimentul B. Pentru orice Ω⊂DCBA ,,, au loc urmtoarele proprieti (echivalente cu proprietile operaiei de diferen între submulimile asociate prin modelul ansamblist): 1. )(\\ BAABA ∩= ; BBABA \)(\ ∪= ; )()\( BABAA ∩∪= ;
0)\()\( /=∩ ABBA 2. )\()](\[ ABABABABA ∪=∩∪=∪ ; 3. )(\)()\( CABACBA ∩∩=∩ ; )(\)()\()\( DBCADCBA ∪∩=∩ Definiie: Se numete diferen simetric a evenimentelor Ω⊂BA, , evenimentul, notat prin BA∆ , definit de
)(\)()\()\( BABABAABBABA ∩∪=∆⇔∪=∆ . Definiie: Fie Ω⊂A . Prin eveniment contrar a lui A (non A), se înelege evenimentul, notat prin A , cruia îi corespunde submulimea complementar a submulimii ataate lui A fa de mulimea total Ω . În ali termeni AA \Ω= i deci evenimentul A apare atunci i numai atunci când nu apare A. Observaie: Avem i urmtoarea definiie echivalent pentru
A :
/=∩Ω=∪0AA
AA.
Avem, corespunztor cu proprietile echivalente pentru submulimi, c
AA =)( , 0/=Ω , Ω=/0 , BABA ∩=\ .
98
De asemenea, analog cu relaiile lui De Morgan din teoria mulimilor, au loc egalitile (pentru un numr finit oarecare sau chiar infinit de evenimente)
iIiiIiAA
∈∈∩=∪ i iIiiIi
AA∈∈∪=∩ .
În sfârit distributivitatea reuniunii fa de intersecie, respectiv distributivitatea interseciei fa de reuniune, se scriu, în limbajul evenimentelor, prin ( ) ( )iIiiIi
AAAA ∪∩=∩∪∈∈
i ( ) ( )iIiiIiAAAA ∩∪=∪∩
∈∈.
Definiie: Un sistem de evenimente Ω∈/≠ 0iA ),1( ni = se zice c
realizeaz o desfacere a evenimentului Ω∈A dac 0/=∩ ji AA , ji ≠∀
(evenimente incompatibile dou câte dou) i i
n
iAA
1=∪= . Dac Ω≡A
(eveniment cert), iA se zice c formeaz un sistem complet de evenimente (sistem exhaustiv). Evident c dac ii EA = (evenimente elementare) avem un sistem
complet de evenimente ( i
n
iE
1=∪=Ω ). La fel pentru orice 0/≠A , A i A
reprezint un sistem complet de evenimente deoarece Ω=∪ AA .
9.3. Corpuri de evenimente Operaiile între evenimentele asociate unui experiment intervin adesea în problematica calculului probabilitilor. Se pune problema evident dac, prin astfel de operaii, nu se depete mulimea evenimentelor ataate experimentului considerat sau, în ali termeni, dac aceast mulime de evenimente este „închis” în raport cu operaiile considerate. Se ajunge astfel la noiunea de corp sau corp borelian. Definiie: Fie , Ω⊂= AA o mulime de evenimente ataate unui experiment dat. Mulimea se numete corp dac: 1. pentru orice ∈A avem i ∈A ; 2. pentru orice ∈BA, avem i ∈∪ BA . Din aceast definiie rezult imediat c, dac este un corp, atunci
∈/Ω 0, iar din ∈BA, urmeaz (pe lâng BA ∪ ) c i BA ∩ , BA \ , ∈∆BA .
99
Definiia de mai sus se poate extinde i la o mulime infinit (numrabil) de evenimente, ajungând la aa numitul corp borelian sau σ -corp. Definiie: O mulime infinit de evenimente , Ω⊂= AA ataate unui experiment dat se numete corp borelian sau σ -corp dac:
1. pentru orice ∈A avem i ∈A ; 2. pentru orice familie numrabil de evenimente ∈iA ,...)2,1( =i
avem i ∈∪∞
= iiA
1.
Un spaiu Ω de evenimente pe care s-a definit un corp (sau un σ -corp) se numete câmp de evenimente (finit sau borelian) i se noteaz cu
),( Ω .
9.4. Definiia clasic a probabilitii
S presupunem c spaiul total al evenimentelor (universul) Ω - asociat unui experiment aleator, este finit. Fie iiE ω= , ni ,1= , n evenimente elementare, cu aceeai ans de realizare („egal posibile”) ce
reprezint i un sistem complet de evenimente pentru Ω , adic i
n
iE
1=∪=Ω ,
iar 0/=∩ kj EE , kj ≠∀ . Fie un A eveniment oarecare din Ω a crui apariie este favorizat de realizarea evenimentelor elementare
1iω ,
2iω , ...,
kiω , adic
,...,,21 kiiiA ωωω= .
Definiie: Se numete probabilitate (clasic) a evenimentului A,
numrul totalecazurilor numarul
favorabilecazurilor numarul)( ==
nk
AP .
Din aceast definiie am putea stabili relaiile: (i) 1)(0 ≤≤ AP , 1)( =ΩP , 0)0( =/P , )(1)( APAP −= ; (ii) Dac BA ⊂ atunci )()( BPAP ≤ ; (iii) Dac 0/=∩ BA atunci )()()( BPAPBAP +=∪ . Exemplu: Reluând experimentul cu aruncarea zarului avem un spaiu finit de evenimente i 6=n cazuri posibile. Dac considerm evenimentul
100
A, care const din apariia unei fee cu numr par, numrul cazurilor
favorabile este 3=k . Prin urmare 21
63
)( ==AP .
Definiia de mai sus nu mai poate funciona atunci când numrul cazurilor (egal) posibile este infinit sau pur i simplu suntem în imposibilitatea de a determina numrul cazurilor favorabile, respectiv, nefavorabile. Acest impediment va fi depit prin introducerea axiomatic a conceptului de probabilitate.
9.5. Definiia axiomatic a probabilitii Fie ),( Ω un câmp finit de evenimente. Definiie: Se numete probabilitate, o aplicaie R→:P care satisface axiomele: (i) 0)( ≥AP , ∈∀A ; (ii) 1)( =ΩP ; (iii) )()()( BPAPBAP +=∪ , ∈∀ BA, , 0/=∩ BA . Aceste axiome, date de Kolmogorov, sunt rezultatul unui proces de abstractizare a evalurii ansei de apariie a unui fenomen aleator din multe situaii practice (coninând i definiia clasic a probabilitii). Ele îns nu furnizeaz o reet efectiv de calcularea a probabilitii, care va trebui evaluat pe baza lor, dar folosind evident i particularitatea problemei concrete considerate. Tripletul ),,( PΩ se numete câmp (finit) de probabilitate. Din axiomele de mai sus rezult c aplicaia P, probabilitatea, satisface i proprietile: 1. )(1)( APAP −= , ∈∀A , 0)0( =/P ; 2. ∈∀ BA, , )()( BPAPBA ≤⊂ i )()()\( APBPABP −= ; 3. )()()\( BAPBPABP ∩−= i )()()( BPAPBAP +≤∪ ; 4. )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ , ∈∀ BA, ; 5. 1)( ≤AP , ∈∀A . Observaie: Dac în definiia de mai sus se consider un câmp infinit de evenimente iar este un corp borelian, atunci înlocuim axioma (iii) prin
(iii)’ ∞
=
∞
==∪
11
)()(i
iiiAPAP , ∈∀ iA , 0/=∩ kj AA , )( kj ≠ , toate
101
proprietile aplicaiei probabilitate (stabilite mai sus pentru cazul finit) se extind i la câmpul (infinit) de probabilitate reprezentat acum de tripletul
),,( PΩ . Exemplu: Dintr-un pachet de cri de joc, coninând 32 de cri, se extrage o carte. S se calculeze probabilitatea ca aceast carte s fie o trefl sau un rege. Acceptând echiprobabilitatea extragerilor, fie A evenimentul „extragerii unui rege” i B evenimentul „extragerii unei trefle”.
Avem, evident, 324
)( =AP i 328
)( =BP iar
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ . Cum 0321
)( ≠=∩ BAP
evenimentele A i B sunt compatibile (se poate extrage un rege de trefl!).
Avem atunci 3211
321
328
324
)( =−+=∪ BAP .
9.6. Probabilitate condiionat S considerm dou evenimente A i B asociate unui experiment aleator. Dac realizarea (apariia) evenimentului B influeneaz apariia (realizarea) evenimentului A, atunci probabilitatea de apariie a lui A – tiind c B a fost realizat se va numi probabilitatea lui A condiionat de B i se noteaz )(APB . În general )()( APAPB ≠ .
Se arat c )(
)()(
BPBAP
APB
∩= ( 0)( ≠BP ).
Avem evident c )()()( BPAPBAP B ⋅=∩ . Exemple: 1. Componena unui amfiteatru cu 200 de studeni, dintr-o universitate, are urmtoarele caliti:
- 130 de studeni sunt fete; - 100 de studeni locuiesc cu familiile lor; - din cei 100 de studeni care locuiesc cu familiile, 80 sunt fete.
Alegând atunci un student la întâmplare care este probabilitatea ca: - studentul s locuiasc cu familia (evenimentul A) - studentul s fie o fat (evenimentul B) - studentul s fie o fat care s locuiasc cu familia (evenimentul
BA ∩ ).
102
Avem evident 200100
)( =AP , 200130
)( =BP , 20080
)( =∩ BAP . Dac tim, în
prealabil, c studentul este o fat, atunci
13080
200/130200/80
)()(
)( ==∩=BP
BAPAPB .
2. Într-un lot de 18 fiole de soluie injectabil, 4 fiole sunt defecte. Se extrag simultan dou fiole i se cere probabilitatea ca: a) ambele s fie defecte; b) nici una s fie defect; c) cel puin una s fie defect. S notm cu def1 evenimentul „ca prima fiol s fie defect”, cu def2 evenimentul „ca a doua fiol s fie defect”, cu 2def evenimentul „ca ambele fiole s fie defecte”. Avem
a) 184
)1( =defP , )2()1()21()2( 1 defPdefPdefdefPdefP def⋅=∩= ,
173
)2(1 =defPdef , 512
173
184
)2( =⋅=defP ;
b) 1814
)1( =defP , 1713
)2(1
=defPdef
, 15391
1713
1814
)"defecta niciuna(" =⋅=P ;
c)
15362
15391
1)"defecta niciuna("1)"defecta fie sa unaputin cel(" =−=−= PP .
3. Într-o populaie, probabilitatea de natere a unui biat este 0,52. În aceeai populaie 3% dintre fete i 2% dintre biei prezint un icter de la natere. a) Care este probabilitatea ca un nou nscut s prezinte un icter? b) Care este probabilitatea ca un nou nscut prezentând un icter s fie o fat? a) Folosind notaiile evidente pentru evenimente F (fete), B (biei), I (icter) avem 52,0)( =BP ; 48,0)(1)( =−= BPFP ; 03,0)( =IPF i 02,0)( =IPB . Se cere s se calculeze P(I). Dar evenimentul I se realizeaz fie prin evenimentul 1E - noul nscut este fat i prezint un icter, adic
FIE ∩=1 , fie prin evenimentul 2E - noul nscut este biat i prezint un icter, adic BIE ∩=2 . Cum evenimentele 1E i 2E sunt incompatibile avem )()()( 21 EPEPIP += iar )()()()( 1 IPFPFIPEP F⋅=∩= i
)()()()( 2 IPBPBIPEP B⋅=∩= , adic 0248,0)02,0)(52,0()03,0)(48,0()( =+=IP .
103
b) Trebuie calculat )(FPI cunoscând )(IPF . Dar avem =⋅=∩ )()()( IPFPFIP F
)()( FPIP I⋅= i deci 581,00248,0
)03,0)(48,0()(
)()()( ==
⋅=
IPIPFP
FP FI .
Definiie: Evenimentele A i B se numesc independente dac )()()( BPAPBAP ⋅=∩ .
Evident c în cazul evenimentelor independente apariia lui A(respectiv B) nu influeneaz apariia lui B(respectiv A) i avem )()( BPBPA = i
)()( APAPB = . Mai mult dac A i B sunt independente atunci i perechile de evenimente ),( BA , ),( BA i ),( BA sunt independente. Observaie: Conceptul de „independen” se poate extinde i la un sistem de n evenimente iA ( ni ,1= ). Acestea vor fi independente (în totalitate) dac sunt independente câte dou, câte trei, ..., câte n, adic avem relaiile
)()()( jiji APAPAAP ⋅=∩ , nji ≤<≤1
)()()()( kjikji APAPAPAAAP ⋅⋅=∩∩ , nkji ≤<<≤1 ..................................................................
)(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP ⋅⋅⋅=∩∩∩ . Observaie: Independena evenimentelor este distinct de incompatibilitatea lor. Dac 0)( ≠∩ BAP , evenimentele sunt compatibile dat ar putea fi dependente sau independente. La fel dac 0)( =∩ BAP , evenimentele incompatibile A i B ar putea fi dependente sau independente. Este cazul evenimentelor A i B descriind componena amfiteatrului de studeni din problema de mai sus. La fel dac 1A reprezint studenii care iubesc muzica iar 1B studenii care locuiesc la ar, acestea sunt evenimente compatibile dar independente. Exemplul 1: Un mediu biologic risc s fie poluat de dou bacterii
1B sau 2B . Aceste dou surse de poluare sunt independente dar compatibile între ele. În timpul unei zile, probabilitatea ca mediul s fie poluat de bacteria 1B este 0,08 iar probabilitatea ca s fie poluat de bacteria 2B este de 0,04. S se determine probabilitatea ca mediul s fie poluat: a) în cursul zilei; b) la sfâritul a dou zile; c) dup n zile;
104
d) care este valoarea lui n începând de la care probabilitatea ca mediul s fie poluat s devin superioar lui 0,5? a) Fie 0P evenimentul de „poluare în cursul zilei”. Avem 210 BBP ∪= i
)()()()()()()()( 212121210 BPBPBPBPBBPBPBPPP ⋅−+=∩−+= ,
evenimentele 1B i 2B fiind independente i deci )()()( 2121 BPBPBBP ⋅=∩ . Imediat
1168,0)04,008,0(04,008,0)( 0 =⋅−+=PP . b) Fie 2E evenimentul de „poluare la sfâritul a dou zile”, 1P evenimentul de „poluare în prima zi” iar 2P evenimentul de „poluare în ziua 2-a”. Avem
1168,0)()()( 210 === PPPPPP . Apoi 8832,01168,01)( 1 =−=PP .
Avem )()()())(()( 2112112112 PPPPPPPPPPPPPEP ∩∩−∩+=∩∪= .
Dar 0)0()( 211 =/=∩∩ PPPPP iar )()()( 2121 PPPPPPP ⋅=∩ i deci
220,0)1168,08832,0(1168,0)()()()( 2112 =⋅+=⋅+= PPPPPPEP .
c) Fie nE evenimentul de „poluare dup n zile”. Avem =−= )(1)( nn EPEP n
nPPPP )8832,0(1...(1 21 −=∩∩∩−= .
d) Pentru ca 65,0)8832,0(15,0)( ≥≥−≥ nEP nn .
Exemplul 2: O populaie este format din brbai i femei în aceeai proporie. În aceast populaie, 12% dintre persoane sunt diabetici, dintre care ¼ sunt femei. Un brbat este ales la întâmplare din populaie. Care este probabilitatea ca el s fie diabetic? Avem 5,0)()( == FPBP iar 12,0)( =DP . Dar 25,0)( =FPD i
deci 75,0)( =BPD . Avem 18,05,0
75,012,0)(
)()()( =⋅=
⋅=
BPBPDP
DP DB .
Exemplul 3: O populaie de femei prezentând cancer de sân i care a fost tratat chirurgical, a fost urmrit pe o perioad de 10 ani. Se disting, pentru aceste cancere, dou forme: formele localizate i formele nelocalizate. În aceast populaie, la momentul interveniei chirurgicale, 80% dintre femei prezint o form localizat (evenimentul L). Se dorete s se cunoasc procentajul de femei care au supravieuit dup 10 ani (evenimentul S). Avem informaia c 65% dintre femei care prezentau o form localizat au supravieuit i doar 23% dintre cele care prezentau o form nelocalizat mai triesc dup 10 ani. a) S se calculeze P(S), probabilitatea de supravieuire dup 10 ani; b) tiind c a supravieuit dup 10 ani, care ar fi probabilitatea ca o femeie s fi avut cancer localizat?
105
c) Evenimentele L i S sunt independente? a) Avem 8,0)( =LP , 2,0)( =LP , 65,0)( =SPL i 23,0)( =SPL .
566,0)23,0()2,0()65,0()8,0()()()()()( =⋅+⋅=⋅+⋅= SPLPSPLPSP LL .
b) )()()()( SPLPLPSP LS ⋅=⋅ i deci
919,0566,0
)65,0()8,0()(
)()()( =⋅=
⋅=
SPSPLP
LP LS .
c) 52,0)()()( =⋅=∩ LPSPLSP S , 4528,0)566,0()8,0()()( =⋅=⋅ SPLP deci
)()()( LPSPLSP ⋅≠∩ i evenimentele sunt dependente.
9.7. Teorema (Formula) probabilitii totale. Teorema (Formula) lui Bayes
Fie din nou un câmp de probabilitate ),,( PΩ . Dac ∈iA , Ii ∈
formeaz un sistem complet de evenimente – adic Ω=∪∈ iIi
A , iar
0/=∩ jk AA , jk ≠∀ , cu 0)( ≠iAP , ne intereseaz )(AP , Ω⊂∀A ,
exprimat cu probabilitile )( iAP i a probabilitii condiionate )(APiA .
Se arat atunci c are loc relaia
∈∈
∩=⋅=Ii
iIi
Ai AAPAPAPAPi
)()()()(
numit i teorema (formula) probabilitii totale. Exemplu: Se cultiv grâu de trei caliti, anume 850kg calitatea I, 125kg calitatea II i 225kg calitatea III. Se cunosc urmtoarele date (procente) privind partea procentual de germinare a grâului semnat: calitatea I-a, 78%, calitatea II-a, 50%, calitatea III-a, 29%. Se amestec boabele de cele trei caliti, se alege un bob din amestecul dat i se cultiv. Se cere probabilitatea ca bobul ales s germineze (adic se cere puterea de germinare a amestecului folosit). Fie evenimentele =1A ”bobul ales este de calitatea I-a”, =2A ”bobul ales este de calitatea II-a”, =3A ”bobul ales este de calitatea III-a”,
=A ”bobul ales germineaz”. Se observ c bobul ales este sigur dintr-una dintre calitile date adic Ω=∪∪ 321 AAA (evenimentul sigur). Mai mult, este imposibil ca un acela bob s fie din dou caliti diferite, ceea ce este
106
echivalent cu faptul c 0/=∩ ji AA pentru ji ≠ , 3,2,1, =ji . Prin urmare
1A , 2A , 3A formeaz un sistem complet de evenimente. Avem evident c
708,0225125850
850)( 1 =
++=AP , 104,0
225125850125
)( 2 =++
=AP ,
188,0225125850
225)( 3 =
++=AP . În ceea ce privete procentele de
germinare ele sunt probabiliti condiionate mai precis
)(78,010078
%781
APA=== , )(50,02
APA= , )(29,03
APA= . Formula
probabilitii totale ne permite atunci s scriem 6588,0)()()()()()()(
321 321 =⋅+⋅+⋅= APAPAPAPAPAPAP AAA , adic 65,88% sunt ansele de germinare. S acceptm acum c un eveniment A este realizat, aceast realizare fiind datorat la mai multe cauze (evenimente) 1A , 2A , ... Ne propunem ca, tiind acum c A este realizat, s se calculeze probabilitile (condiionate) ale lui 1A , 2A , .... Acceptând din nou c ∈iA , Ii ∈ („cauzele”) formeaz un sistem complet de evenimente i c 0)( >AP are loc atunci urmtoarea relaie (dedus imediat din formula probabilitii totale)
∈
⋅
⋅=
IiAi
Aj
jA APAP
APAPAP
i
j
)()(
)()()(
cunoscut i sub numele de formula (teorema) lui Bayes. Exemplu 1: În cadrul problemei anterioare (legate de germinarea bobului de grâu) s determinm, în plus, probabilitatea ca un bob germinat s provin din smân de calitatea II-a. Pentru aceasta vom folosi formula lui Bayes
079,06588,0
50,0104,0)(
)()()( 22
2 =⋅=⋅
=AP
APAPAP A
A sau 7,9%.
Exemplu 2: Trei maini A, B i C produc respectiv 40%, 35% i 25% din numrul total de comprimate fabricate de un laborator farmaceutic. Fiecare dintre aceste maini produce respectiv 5%, 6% i 3% de comprimate „defecte”. a) Se ia un comprimat la întâmplare. Care este probabilitatea ca el s fie „defect”?
107
b) Luând un comprimat la întâmplare se constat c este defect. Care este probabilitatea ca el s fie produs de ctre maina A? Probabilitatea ca un comprimat s fie produs de maina A este
4,0)( =AP , de maina B este 35,0)( =BP iar de maina C este 25,0)( =CP . Dac D este evenimentul „comprimat defect”, atunci
05,0)(
)()( =∩=
APDAP
DPA i analog 06,0)( =DPB i 03,0)( =DPC .
a) Realizarea lui D poate fi realizat prin fiecare din „cauzele” A, B, C – cauze incompatibile, i Ω=∪∪ CBA . Avem 0485,0)()()()()()()( =⋅+⋅+⋅= DPCPDPBPDPAPDP CBA . b) Se caut acum probabilitatea de apartenen (a comprimatului defect) la maina A, adic
41,0)()()()()()(
)()()( =
⋅+⋅+⋅⋅
=DPCPDPBPDPAP
DPAPAP
CBA
AD .
Exemplul 3: Un test de diagnoz pentru o maladie M este aplicat unei populaii unde 1% dintre indivizii ei sunt deja atini de M. Probabilitatea ca testul s fie pozitiv când individul este bolnav este de 90% iar probabilitatea ca testul s fie negativ când individul este sntos este de 95%. a) S se calculeze probabilitatea ca subiectul s fie bolnav când testul este pozitiv; b) S se calculeze probabilitatea ca subiectul s fie sntos când testul este negativ. a) Avem 01,0)( =MP i 90,0)( =+MP iar 95,0)( =−MP . Trebuie calculat
)()()(
)(+
+⋅=+ P
PMPMP M (din )()()()()( MPPPMPMP M +⋅+=+⋅=+∩ ).
Pentru a calcula )(+P , observm c un test pozitiv (+) se poate realiza fie dac individul este bolnav (evenimentul M) fie individul este sntos (evenimentul M ) – evenimente care nu sunt compatibile, mai precis
)()(
)()()()()(+∩+∩
+⋅++⋅=+MP
M
MP
M PMPPMPP . Cum 99,0)(1)( =−= MPMP dar
avem i 1)()( =++− MM PP , adic 05,095,01)(1)( =−=−−=+ MM PP .
Deci 0585,0)05,0)(99,0()90,0)(01,0()( =+=+P . La fel
=+
+=+ )(
)()()(
PPMP
MP M
108
154,0)0585,0(
)90,0)(01,0( == .
b) Pentru a calcula )(MP− , plecm de la
)()()()()( MPPPMPMP M −⋅−=−⋅=−∩ , adic )(
)()()(
−−⋅
=− P
PMPMP M .
Dar 99,0)( =MP i 95,0)( =−MP . Pentru a calcula )(−P , remarcm c 9415,00585,01)(1)( =−=+−=− PP , i deci
999,09415,0
)95,0()99,0()( =⋅=− MP .
9.8. Scheme de probabilitate
Schemele de probabilitate sunt anumite modele probabilistice utilizate în mod curent în diferite domenii i pentru care s-au stabilit deja formule pentru calcularea unor caracteristici probabilistice, inclusiv a probabilitii de apariie a evenimentelor aleatoare implicate. Încadrând problemele de studiat în astfel de scheme se va uura considerabil rezolvarea acestora.
9.8.1. Schema lui Bernoulli, cu dou stri, cu „bila întoars” (binomial)
S considerm un experiment ε care conduce la apariia fie a evenimentului A, fie a evenimentului A , probabilitile acestora fiind
pAP =)( , qAP =)( )1( =+ qp . Vom admite c experimentul ε se poate repeta ori de câte ori în condiii identice, deci p i q au aceeai valoare la orice reluare a experimentului i, în plus, c rezultatele acestor experimente sunt independente (adic rezultatele obinute la o realizare a experimentului nu influeneaz rezultatele ulterioare ale experimentului). Un asemenea experiment se poate imagina considerând o urn ce conine bile albe i bile negre într-o anumit proporie dat. Experimentul const în extragerea unei bile, luarea la cunotin a culorii ei i repunerea ei în urn (compoziia urnei rmânând neschimbat). Evident c rezultatul
109
experimentului (culoarea bilei scoas la o extragere) nu influeneaz asupra rezultatului ulterior al experimentului (culoarea bilei ce se extrage ulterior). S presupunem acum c experimentul ε , cu „dou stri” (apariia doar a lui A sau a lui A ), este reluat de n ori. Ne propunem s evalum probabilitatea ca evenimentul A s apar, în aceste n reluri a experimentului, de nk ≤ ori. Notând cu iA , respectiv cu iA , apariia lui A,
respectiv A , la experimentul de rang i, un eveniment favorabil (dorit) este de forma )......(
11 nkk iiiik AAAAB ∩∩∩∩∩∪=+
, unde reuniunea se face
pentru toate gruprile de k indici 1i , 2i ,..., ki din totalul de n.
Se arat c )( kBP , notat i cu ),( knP , este knkkn qpC − .
Aceast schem cu „dou stri” intervine de pild în analize de laborator unde rezultatul ar fi „pozitiv” sau „negativ”. Facem i observaia c schema lui Bernoulli cu dou stri se poate generaliza i la 2>s stri.
9.8.2. Schema lui Bernoulli, cu dou stri, cu „bila neîntoars” (hipergeometric)
Se consider din nou un experiment ε care conduce fie la un eveniment A, fie la A . De data aceasta experimentul nu se mai poate repeta în condiii identice, deci probabilitile )(AP i )(AP difer de la o experien la alta. În plus rezultatul experimentului la un moment dat depinde de rezultatele anterioare, adic experimentele nu sunt independente. O astfel de situaie avem considerând o urn ce conine 1N bile albe i 2N bile negre. Experimentul const în extragerea unei bile din urn, luarea la cunotin a culorii bilei extrase urmate, apoi, de neintroducerea bilei în urn (îndeprtarea bilei extrase). Efectând n astfel de experimente, probabilitatea ca evenimentul A (bila alb) s apar de 1Nk ≤ ori, va fi de data aceasta
nNN
knN
kN
C
CCknP
21
21),(+
−⋅= .
Observm c i aceast schem cu „dou stri” se poate extinde la 2>s stri.
110
9.8.3. Schema lui Poisson Avem din nou un experiment ε care poate conduce fie la evenimentul A, fie la evenimentul A , experiment care se poate repeta de n ori dar nu în condiii identice. Altfel spus de data aceasta )(AP , respectiv )(AP , depind
de rangul i al experimentului i avem ipAP =)( iar iqAP =)( , 1=+ ii qp
),1( ni = . Pe de alt parte rezultatele experimentului sunt independente, ele neinfluenându-se reciproc. O asemenea situaie s-ar putea schematiza prin n urne care conin bile albe i bile negre în proporii diferite date (depinzând deci de rangul i al urnei). Experimentul va consta în extragerea, succesiv, a unei bile din fiecare urn, evenimentul A fiind scoaterea unei bile albe iar A a unei bile negre. (De data aceasta nu mai este relevant repunerea sau îndeprtarea bilei extrase). Extrgând succesiv câte o bil din cele n urne, probabilitatea ),( knP
ca dintre cele n bile extrase s fie albe k, este acum nkk iiiii qqppp ......
121 + ,
însumarea fcându-se relativ la toate gruprile de k indici 1i , 2i ,..., ki (din cei n posibili 1, 2, ..., n). Evident c aceast schem generalizeaz pe cea a lui Bernoulli cu „bila întoars”, reducându-se la aceasta pentru ppi = i qqi = .
9.9. Variabile aleatoare
Fie un câmp de probabilitate ),,( PΩ . Printr-o variabil aleatoare X definit pe spaiul (universul) Ω se înelege o aplicaie R→Ω:X , care satisface condiia ca, pentru R∈∀x , evenimentul xX = (sau, în ali termeni, evenimentul xX =Ω∈ )(| ωω ) aparin corpului .. Evident c în cazul în care . se identific cu mulimea prilor lui Ω , adic )(ΩP , aceast condiie este superflu. O variabil aleatoare este discret dac mulimea valorilor sale este finit sau numrabil (dar fr punct de acumulare în aceast mulime). Dac mulimea valorilor unei astfel de de variabile reprezint un interval din R atunci variabila aleatoare se zice continu.
111
Exemple: 1. Variabila aleatoare asociat evenimentului „un individ tratat print-un procedeu dezvolt sau nu o alergie” are dou valori posibile. În cazul în care „individul dezvolt o alergie”, vom coda aceast stare prin valoarea 1=X a variabilei aleatoare iar, în cazul contrar, starea o vom coda prin 0=X . Avem deci o variabil aleatoare discret. 2. Se consider familiile cu 4 copii a cror prini sunt purttorii genei unei maladii ereditare. Definind variabila aleatoare X prin numrul copiilor din familie atini de o astfel de maladie, ea este evident discret putând s ia valorile 0, 1, 2, 3, 4. 3. Greutatea (sau înlimea) unui individ de pe pmânt este o variabil aleatoare care poate s ia orice valoarea dintr-un interval finit din +R . Este cazul unei variabile aleatoare continue.
9.9.1. Variabile aleatoare discrete Definiie: Numim distribuie sau repartiie asociat unei variabile aleatoare X de tip discret, tabelul
Iii
i
p
xX
∈
sau
...
...
21
21
pp
xxX ,
unde R∈ix , Ii ∈ , sunt valorile pe care le ia variabila aleatoare pentru evenimentul elementar iω , iar )( ii xXPp == este probabilitatea pentru ca variabila aleatoare X s ia valoarea ix , Ii ∈ , adic probabilitatea
)( iP ω (unde Ω∈iω este evenimentul elementar cruia i se ataeaz, prin aplicaia X, chiar valoarea ix ).
Avem evident ∈
=Ii
ip 1 deoarece evenimentele )( ii xX ==ω ,
Ii ∈ , formeaz un sistem complet de evenimente iar 10 ≤< ip , Ii ∈∀ . Exemple: 1. În cazul experimentului cu zarul, spaiul total al evenimentelor (universul) Ω este format din 621 ,...,, ωωω=Ω unde iω sunt evenimentele
elementare (i), respectiv apariia feei cu i puncte )6,1( =i . Definind atunci o variabil aleatoare R→Ω:X astfel ca iX i =)(ω , deoarece
112
61
)()( ==== ii piXPP ω (probabilitatea de apariie a oricrei fee), avem
urmtoarea distribuie (repartiie)
=
∈ 61
61
61
61
61
61
654321
61 Xi
XIi
.
2. Referitor la experimentul legat de producerea sau nu a unei alergii (vezi setul anterior de exemple) cu variabila aleatoare X luând valorile 1 respectiv 0, dac 1,0=p este probabilitatea pentru a dezvolta o alergie dup tratamentul respectiv, evident c 9,01 =−= pq ar fi probabilitatea pentru a nu dezvolta o alergie iar distribuia (repartiia) va fi
1,09,010
X .
3. Referitor la familiile cu 4 copii unde prinii manifest o maladie
ereditar (vezi setul anterior de exemple), acceptând c 41=p este
probabilitatea ca un copil din cei 4 s fie atins de maladie (i implicit
43
41
1 =−=q ca un copil s nu fie atins de maladie) avem în esen o lege
binomial (schema lui Bernoulli „cu bila întoars”) cu 4=n i 41=p . Dar
atunci, folosind formula pentru ),( knP , de la schema respectiv, avem respectiv
316,043
41
)0(40
04 =
== CXP
422,043
41
)1(31
14 =
== CXP
211,043
41
)2(22
24 =
== CXP
047,043
41
)3(13
34 =
== CXP
004,043
41
)4(04
44 =
== CXP ,
i distribuia variabilei aleatoare discrete X va fi
113
004,0047,0211,0422,0316,043210
X .
Ultimul exemplu s-ar fi putut soluiona i prin considerarea repartiiei asociate unei clase de variabile aleatoare discrete i anume clasei variabilelor aleatoare ataate schemei Bernoulli „cu bila întoars”. Mai precis, dac X este acea variabil aleatoare care indic de câte ori s-a realizat evenimentul A (bila alb) prin n extracii – adic X ia toate valorile de la 0 la n, atunci forma general a distribuiei ataat acestei clase de variabile va fi
nkknkk
n qpC
kX
,0=−
i ea va purta numele de legea de probabilitate binomial. Analog se poate defini legea hipergeometric, asociat schemei Bernoulli „cu bila neîntoars”
nk
nNN
knN
kN
C
CCk
X
,021
21
=+
−
i legea lui Poisson (legea „evenimentelor rare”)3
,...2,1,0! =
−
k
k
ek
kX λλ cu 0>λ .
Exemplu: O maladie congenital are o prevalen de 1% la noii nscui. Într-o clinic se înregistreaz 10 nateri în timpul unui week-end. Care este probabilitatea c cel puin doi din aceti noi nscui s fie atini de maladie? Aceeai întrebare în condiiile în care se înregistreaz 500 de nateri (în timpul unei luni). Prevalena de 1% este în fapt probabilitatea ca un nou nscut, ales la întâmplare, s fie atins de aceast maladie. Cele 10 nateri înregistrate în week-end sunt de fapt experiene în urma crora rezultatul, noul nscut, este
3 O variabil aleatoare X urmeaz legea lui Poisson )(λP (legea „evenimentelor rare”) de
parametru real pozitiv λ , adic )(~ λPX , dac ea va lua valori naturale k cu
probabilitatea !
)(k
ekXPkλλ−== , N∈∀k . Se verific c legea lui Poisson este o lege
de probabilitate, adic 1)(0
==∞
=k
kXP (din dezvoltarea Taylorian ∞
=
=0 !k
k
ke
λλ ).
114
fie atins fie neatins de maladie. Fiecare dintre noii nscui au aceeai probabilitate 01,0%1 ==p de a fi atini de boal. În plus, maladia fiind congenital (i deci necontagioas), pronosticul este independent de la un nou nscut la altul. Numrul de realizri a evenimentului (aici boala) este deci o variabil aleatoare care urmeaz legea lui Bernoulli ),( pnB la noi cu
10=n i 01,0=p . Probabilitatea de a avea cel puin doi nscui atini este
)10(...)3()2()2( =++=+==≥ XPXPXPXP sau =<−=≥ )2(1)2( XPXP
)1()0(1 =−=−= XPXP . Dar 100010 99,001,0)0( ⋅⋅== CXP iar
91110 99,001,0)1( ⋅⋅== CXP i se obine 00427,0)2( =≥XP .
Dac 500=n , se poate, pentru simplificarea calculelor (având în vedere c i 5=np este mic), aproxima legea lui Bernoulli )01,0;500(B printr-o lege Poisson de parametru 5== npλ 4 i deci
510
5 6!1
5!0
5)1()0( −− ⋅=
+==+= eeXPXP i deci
5
61)2(
eXP −=≥ .
9.9.2. Funcia de repartiie
Funcia de repartiie este un concept care face legtura între noiunea de variabil aleatoare i cea de probabilitate. Definiie: Se numete funcie de repartiie asociat variabilei aleatoare X, funcia RR →:F definit prin )()( xXPxF <= , pentru
R∈∀x . Observaie: Dac variabila aleatoare X este de tip discret, cu
distribuia nii
i
p
xX
,1=
, atunci funcia de repartiie asociat va fi de forma
<
=<=xx
ii
pxXPxF )()( pentru orice R∈x . În ali termeni
4 Pentru n mare (practic 30>n ) i np mic ( 5≤ ) o lege Bernoulli ),( pnB se poate
aproxima printr-o lege Poisson )(λP , unde np=λ (vezi pag. 125).
115
<
≤<
≤<≤
=
=+
xx
xxxp
xxxp
xx
xF
n
k
ikki
,1... ...
,
... ...
,
,0
)(
11
211
1
, care este o funcie în scar.
Proprieti: În virtutea definiiei (printr-o probabilitate), avem evident 10 ≤≤ F . Mai mult au loc proprietile: 1. Dac R∈ba, i ba < , atunci )()()( aFbFbXaP −=<≤ ; 2. Funcia de repartiie este întotdeauna o funcie nedescresctoare, adic
R∈∀ 21 , xx , a.î. 21 xx < , avem )()( 21 xFxF ≤ ; 3. 0)( =−∞F i 1)( =∞F ; 4. Funcia de repartiie este întotdeauna continu la stânga adic
)()(lim XFxF i
xxxx
ii
=<→
, R∈∀x ;
5. Mulimea punctelor de discontinuitate este cel mult numrabil. Exemplu: Construind funcia de repartiie asociat exemplului 2 (din primul set de exemple pentru variabile aleatoare), s se evalueze probabilitatea de a avea „cel mult un copil atins de maladia ereditar a prinilor”, probabilitatea de a avea „cel puin 3 copii atini de maladie” i probabilitatea evenimentului de a avea „între unul (exclus) i trei (inclus) copii atini de maladie”. Avem respectiv
)1()1()1( =+=≤ XPFXP , )3(1)3(1)3( FXPXP −=<−=≥ ,
)1()1()3()3()1()3()31( =−−=+=≤−≤=≤< XPFXPFXPXPXP . Cum
<≤<+++≤<++≤<+≤<
≤
=
x
xpppp
xppp
xpp
xp
x
xF
4 ,1
43 ,
32 ,
21 ,
10 ,0 ,0
)(
4321
321
21
1
116
cu 316,0)0(0 === XPp , 422,0)1(1 === XPp , 211,0)2(2 === XPp , 047,0)3(3 === XPp , 004,0)4(4 === XPp , rezultatele finale se obin
imediat prin simpl înlocuire.
9.9.3. Variabile aleatoare continue Definiie: O variabil aleatoare X se spune c este continu dac funcia ei de repartiie asociat )()( xXPxF <= este continu i poate fi
reprezentat sub forma ∞−
=x
dttxF )()( ρ , pentru R∈∀x .
Funcia +→ RR:ρ se va numi densitate de probabilitate a variabilei aleatoare X. Observaie: O variabil aleatoare este continu dac admite densitate de probabilitate. Proprieti ale densitii de probabilitate 1. 0)(')( ≥= xFxρ (relaia care ar putea s nu aib loc pe o mulime de puncte „cel mult numrabil”);
2. =<≤b
a
dttbXaP )()( ρ ;
3. ∞
∞−
=−∞−∞= 1)()()( FFdttρ .
În aplicaiile teoriei probabilitilor întâlnim, la fel ca i în cazul variabilelor aleatoare discrete, clase de variabile de tip continuu. Forma cea mai general a densitii de probabilitate a unei variabile continue aparinând unei clase se numete lege de probabilitate de tip continuu.
9.10. Legi de probabilitate de tip continuu
9.10.1. Legea uniform Spunem c o variabil aleatoare continu X urmeaz legea uniform pe intervalul ],[ ba dac are densitatea de probabilitate
117
∈
∈−=
],[\ ,0
],[ ,1
)(bax
baxabx
Rρ .
Reprezentarea grafic a densitii de probabilitate este dat de
Funcia de repartiie pentru o variabil continu X, ce urmeaz legea uniform pe ],[ ba , se determin conform relaiei de definiie
<
≤<−−
≤
== ∞−
xb
bxaabax
ax
dttxFx
,1
,
,0
)()( ρ , iar reprezentarea ei grafic este
118
9.10.2. Legea normal Spunem c variabila aleatoare X urmeaz legea normal (legea lui Gauss), ),( σmN , de parametrii R∈m i 0>σ , dac ea admite o densitate de probabilitate
2
2
2
)(
2
1)( σ
πσρ
mx
ex−
−= , R∈∀x .
Reprezentarea grafic a acestei densiti – cunoscut sub numele de curba sau clopotul lui Gauss, modeleaz foarte multe fenomene aleatoare din practica cotidian.
Funcia de repartiie pentru variabila aleatoare X, ce urmeaz legea
normal ),( σmN , este ∞−
−−
=x mt
dtexF 2
2
2
)(
2
1)( σ
πσ, R∈∀x i are graficul
Pentru 0=m , 1=σ legea normal )1,0(N se va numi legea normal centrat redus.
119
9.10.3. Legea 2
νχ Definiie: Dac 1X , 2X , ..., νX sunt ν variabile aleatoare independente, urmând legea normal centrat redus )1,0(N , atunci legea urmat de suma ptratelor acestor variabile este legea 2
νχ cu „ν grade de libertate”, adic
2222
21 ~... νν χXXX +++ .
Se demostreaz c ( ) νχν =2M i ( ) νχν 222 =D . Funcia de densitate de probabilitate va depinde de ν . Cu cât ν este mai mare cu atât maximul ei va fi mai mic. Aceste curbe nu mai sunt simetrice în jurul valorilor maxime (cum este în cazul legii normale).
Se demonstreaz c variabila (repartiia) 122 2 −− νχν tinde ctre
o lege normal centrat redus )1,0(N , când ∞→ν . În practic, dac
30≥ν , se va putea aproxima )1,0(12 2 N≈−− νχν .
9.10.4. Legea T a lui Student (sau Student-Fisher)
Definiie: O lege T a lui Student cu ν grade de libertate ( νT ) este legea urmat de o variabil „cât” dintre o variabil U, urmând legea normal centrat redus ( )1,0(~ NU ), i o variabil urmând o lege care este rdcina
120
ptrat din legea 2νχ , cu ν grade de libertate, împrit prin ν , ambele legi
fiind independente, adic νν νχ
TU
~/2
.
Se demonstreaz c, pentru 1>ν , ( ) 0=νTM i c, pentru 2>ν ,
( )2
2
−=
νν
νTD .
Curbele funciei de densitate de probabilitate depind de ν dar toate sunt simetrice fa de Oy. Când o variabil aleatoare continu urmeaz legea Student densitatea sa de probabilitate este dat de
21
2
1
2
21
),(
+−
+
Γ⋅⋅
+Γ=
ν
νννπ
ν
νρ xx , N∈ν , iar
∞−−=Γ
0
1)( dxexa xa (funcia
lui Euler de spea doua).
Pentru 1=ν , 21
11)(
xx
+=
πρ , i legea va deveni „legea Cauchy”.
9.11. Variabile aleatoare independente. Operaii cu variabile aleatoare
Definiie: Variabilele X i Y se zic independente dac
)()())()(( yYPxXPyYxXP <⋅<=<∩< adic, dac ),( yxF este funcia de repartiie a variabilei aleatoare bidimensionale ),( YX iar )(1 xF i )(2 yF sunt funciile de repartiie asociate variabilei X, respectiv Y, are loc relaia )()(),( 21 yFxFyxF ⋅= . Independena variabilelor X i Y revine la independena evenimentelor
)( xX < i )( yY < . Pentru variabilele aleatoare continue independena revine la urmtoarea egalitate între densitile de probabilitate corespunztoare, mai precis )()(),( 21 yxyx ρρρ ⋅= . În cazul variabilelor aleatoare discrete X i Y dac
ijji pyYxXP ==∩= ))()(( independena revine la
121
jijiij qpyYPxXPp ⋅==⋅== )()( . Evident c pentru variabile aleatoare discrete „suma” YX + ,
„produsul” YX ⋅ i „câtul” YX
(Y ia valori diferite de zero), vom avea,
respectiv, distribuiile
++
ij
ji
p
yxYX ,
⋅⋅
ij
ji
p
yxYX ,
ij
j
i
pyx
YX
. Pentru
variabilele aleatoare continue aceleai operaii conduc la structuri mai complicate ale funciei de repartiie sau densitii de probabilitate.
9.12. Caracteristici numerice asociate variabilelor aleatoare
Deoarece nu întotdeauna putem determina uor funcia de repartiie a unei variabile aleatoare – instrumentul principal de studiu al acestora, se caut determinarea mai accesibil ale unor caracteristici numerice ale acestora. Prin intermediul acestor valori caracteristice se pot efectua studii comparative între mai multe variabile aleatoare i se poate caracteriza fenomenul asociat variabilei aleatoare. Definiie: Prin valoare medie sau speran matematic, notat cu
)(XM , a unei variabile aleatoare se înelege numrul
=
∈∈
)( densitate de continua aleatoare variabilao avem daca ,)(
edistributi de discreta aleatoare variabilao avem daca ,)(
xdxxx
p
xXpx
XM Iii
i
Iiii
ρρR
. De fapt valoarea medie )(XM ar reprezenta media valorilor pe care variabila aleatoare ar lua-o la o repetare mare a experimentului respectiv. Exemplu: Pentru o variabil aleatoare discret urmând legea
binomial, adic pentru nk
knkkn qpC
kX
,0=−
,
=
− =
=
n
k
knk npqpn
kkXM
0
)( .
Pentru o variabil aleatoare continu urmând legea uniform,
21
)(ba
dxab
xXMb
a
+=−
= .
122
Pentru o variabil aleatoare continu urmând legea normal ),( σmN ,
mdxxeXMmx
== ∞
∞−
−−2
2
2
)(
21
)( σ
πσ (unde s-a operat schimbarea de variabil
umx =−
σ i s-a inut cont de integrala lui Gauss π22
2
=∞
∞−
−due
u
).
Proprieti ale valorii medii 1. bXaMbaXM +=+ )()( , R∈ba, ; aaM =)( ; 2. )()()( YMXMYXM +=± ; 3. )()()( YMXMYXM ⋅=⋅ , dac X i Y sunt variabile aleatoare independente; 4. Dac YX ≤ (deci )()( ωω YX ≤ , Ω∈∀ω ) atunci
)()( YMXM ≤ . Definiie: Prin moment de ordinul k respectiv moment centrat de ordinul k, asociat unei variabile aleatoare X, se înelege numrul kM , respectiv km , definit prin
)( kk XMM = respectiv [ ]k
k XMXMm ))(( −= Pentru o variabil aleatoare ce urmeaz legea normal redus, se arat c
02
1 21212
2
== ∞
∞−
−++ dxexM
xk
k π iar )12(
2
1 222
2
−== ∞
∞−
−kdxexM
xk
k π!!
Pentru o variabil aleatoare discret, satisfcând legea binomial, se
arat c [ ] =
−−
=
−− −=
−=
k
i
ikk
ik
ikk
i
ikkik
ikk MMCXMXCMm
01
0
)1()()1( .
Variabila aleatoare )(XMX − se mai numete „abaterea” variabilei aleatoare (fa de valoarea medie). Momentul absolut de ordinul k al variabilei aleatoare X este momentul de ordinul k al variabilei X . Definiie: Prin dispersie sau varian a unei variabile aleatoare X, notat cu )()( 22 XXD σ≡ , se înelege momentul centrat de ordinul doi, adic [ ]22 ))(()( XMXMXD −= . Dispersia indic gradul de împrtiere a variabilei aleatoare în jurul valorii medii. Rdcina ptrat din dispersie se numete abaterea medie standard i
se noteaz cu )()( 2 XDX =σ . Acesta este un indicator al gradului de împrtiere, în aceleai uniti ca i variabila aleatoare.
123
Proprieti: 1. )()( 222 XDabaXD =+ , R∈∀ ba, ; 0)(2 =bD ; )()( 22 XDbXD =+ ; 2. Dac X i Y sunt variabile aleatoare independente atunci
)()()( 222 YDXDYXD ±=± ; 3. [ ] 0)()())(()( 2
122222 ≥−=−=−= MMXMXMXMXMXD .
Exemplu: Dispersia calculat pentru o variabil aleatoare discret de tip binomial este npqXD =)(2 iar pentru o variabil aleatoare continu de tip normal este 22 )( σ=XD . Definiie: Prin mod sau valoare modal 0M a unei variabile aleatoare X se înelege acea valoare (valori) ale lui X cu care are cea mai mare probabilitate de realizare. Adic, pentru o variabil aleatoare X,
)()( 0 ixXPMXP =≥= , pentru orice ∈ix codomeniului aplicaiei X. Modul 0M al unei variabile aleatoare este definit prin valoarea (valorile) ce corespund la un maxim local a funciei densitate de probabilitate. Definiie: Prin mediana eM al unei variabile aleatoare continue se înelege numrul real eM astfel ca 5,0)( =eMF . În esen mediana corespunde acelei valori ale lui X care împarte distribuia în dou pri echiprobabile: 5,0)()( =≥=≤ ee MXPMXP . În condiiile unei legi normale ),( σmN , mMMXM e === 0)( . Exemple: 1. Fie o variabil aleatoare X care urmeaz legea lui Poisson de parametru real pozitiv λ , adic )(~ λPX ; atunci ea va lua valori întregi k cu probabilitatea de realizare definit prin
!)(
kekXP
kλλ−== , N∈∀k .
Legea lui Poisson se întâlnete în cazul aproximrii legii binomiale (în anumite circumstane). Ea permite modelarea evenimentelor „rare” (adic cu slab probabilitate de realizare) cum ar fi: boli exotice, accidente rare, etc. Mai mult valoarea medie
λλλλλ λλλλ ==−
== −∞
=
−−
∞
=
− eek
ek
keXMk
k
k
k
1
1
0 )!1(!)( i analog dispersia
[ ] λλλλ =−+=−= 22222 )()()()( XMXMXD , adic aceti parametri sunt egali.
124
Pentru aceast lege exist o singur valoare modal, dac λ nu este întreg, i dou valori vecine, dac λ este un întreg ( λλ ≤≤− 01 M ). 2. Fie o experien aleatoare având dou rezultate posibile: =E succes i
=E eec, cu probabilitile pEP =)( i qpEP =−= 1)( . Se asociaz acestor evenimente o variabil aleatoare discret Y având dou posibile valori: 0 – pentru „eec” i 1 – pentru „succes”, adic pYP == )1( i
qYP == )0( . Se zice c aceast variabil aleatoare Y urmeaz o lege „a lui Bernoulli”. Se verific imediat c pYM =)( ,
[ ] pqppYMYMYD =−=−= 2222 )()()( .
Dac se consider o sum X de n variabile aleatoare iY ( ni ,1= ) urmând legea lui Bernoulli, variabile care se presupun independente i de acela parametru p, atunci aceast sum X va fi o variabil aleatoare discret care urmeaz o lege binomial de parametri n i p ( 10 ≤≤ p ), adic
),(~1
pnBYXn
ii
== .
Legea binomial este utilizat când se pune problema contorizrii succeselor în urma a n încercri repetate, încercri identice i independente (cu aceeai probabilitate de succes p) i cu dou rezultate posibile (succes i eec). Este chiar cazul experimentului care st la baza Schemei lui Bernoulli, cu dou stri, i „cu bila întoars”, când succesul va fi extragerea unei bile albe iar eecul extragerea unei bile negre. Pentru legea binomial dac npXM =)( , npqXD =)(2 , modul 0M va satisface pnpMpnp +≤≤−+ 01 . În ceea ce privete legea asociat Schemei lui Bernoulli „cu bila neîntoars”, rezultatele experienelor succesive ne mai fiind nici identice nici independente, variabila aleatoare X, msurând numrul „succeselor” (bilelor albe) dintr-un eantion de talia n, nu va mai urma legea binomial ci o lege specific numit legea hipergeometric, adic ),,(~ pnNHX , N fiind numrul total al bilelor (evenimentelor) iar p procentajul iniial al bilelor albe (succeselor). Vom avea npXM =)( i
1)1()(2
−−−=
NnN
pnpXD .
Definiii: O variabil aleatoare X este centrat dac 0)( =xM ; O variabil aleatoare X este redus dac 1)( =xσ ;
125
Variabila aleatoare )(
)(X
XMXσ−
, ataat oricrei variabile aleatoare X, este i
centrat i redus.
9.13. Teoreme de aproximare în calculul probabilitilor
Exist anumite rezultate i proprieti care permit înlocuirea unei scheme de probabilitate (cu aplicabilitate greoaie) prin alta care s-ar dovedi mai util într-o aplicaie dat. Vom enumera câteva astfel de rezultate. Teorema 1. Dac n este mare i p este mic (iar np evident finit), atunci variabila aleatoare X care urmeaz ),( pnB , poate fi aproximat printr-o alt variabil aleatoare X ce va urma legea lui Poisson )(λP , unde
np=λ . Într-adevr dac p este mic (aproape de zero), q va fi aproape de 1 i deci )()( 2 XDnpqnpxM =≈= , ceea ce caracterizeaz legea evenimentelor „rare” ( 0≈p ), adic legea lui Poisson. Ce se înelege prin „mic” sau „mare” rmâne de discutat. De pild s-ar putea accepta 30>n , 5≤np i atunci ),(~ pnBX va fi aproximat prin
)(~ λPX cu np=λ . Teorema 2: (Teorema limitei centrale) Fie 1X , 2X , ..., nX , n variabile aleatoare independente urmând legi de
probabilitate oarecare de valori medii )( iXM i dispersii 22 )( iiXD σ= .
Atunci legea urmat de variabila aleatoare =
=n
iiXX
1
poate fi aproximat,
pentru n mare i în anumite condiii, printr-o lege normal ),( σmN , unde
=
=n
iiXMm
1
)( i =
=n
ii
1
2σσ .
Consecina acestei teoreme este remarcabil. Dac un anumit eveniment este influenat printr-o multitudine de fenomene aleatoare independente care se suprapun, evoluia acestui eveniment poate fi studiat (aproximativ) prin legea normal chiar dac fenomenele care-l influeneaz nu urmeaz aceast lege. Un aspect important este posibilitatea aproximrii, în anumite condiii, a unor legi ataate unei variabile aleatoare discrete (care ar pretinde
126
calcule foarte laborioase) prin legi de probabilitate asociate variabilelor aleatoare continue pentru care exist i tabele de calcul (vezi Anexa 1).
9.13.1. Aproximarea legii binomiale printr-o lege normal
Dac valoarea medie a unei legi binomiale ),( pnB este mare, legea binomial tinde ctre o lege normal de aceeai valoare medie i aceeai abatere medie standard ca i a legii binomiale iniiale. Diferite convenii de aproximare sunt întâlnite, în funcie de eroarea dorit. Cu titlu indicativ, un astfel de criteriu ar fi dac 30>n , 5>np i
5>nq , i atunci putem scrie );(),( npqnpNpnB ≈ .
9.13.2. Tabele de calcul pentru legea normal centrat redus N(0,1)
În practica curent se întâlnete foarte des legea normal. Pentru a evita calculul numeric a funciei sale de repartiie, în cazul fiecrei aplicaii particulare, se utilizeaz legea normal centrat redus ale crui caracteristici au valorile tabelate. Pentru aceasta, în locul variabilei aleatoare continue X, se va utiliza variabila aleatoare centrat redus notat prin U. Teorem: Fie X o variabil aleatoare continu urmând o lege normal de medie m i abatere standard σ , cu funcia de repartiie )(xFX . Dac se consider schimbarea de variabil σ/)( mXU −= (i corespunztor, pentru R∈x , schimbarea σ/)( mxu −= ) avem c
)()()()( uFuUPmxmX
PxXPxF UX =<=
−<−=<=σσ
,
unde )(uFU este funcia de repartiie a variabilei aleatoare centrate reduse U (urmând legea N(0,1)). Deoarece funcia de densitate de probabilitate )(uf , în condiiile legii N(0,1), este simetric în jurul valorii medii 0=m avem )()( ufuf −=
i, în consecin,21
)(21
)()(0
0
=== ∞
∞−
∞
∞−
dttfdttfdttf .
127
Mai mult avem
)(1)(1)(1)()( uFdttfdttfdttfuF U
u
u
u
U −−=−=−== −
∞−
∞
∞−
. Imediat
1)(2)()()( −=−−=< uFuFuFuUP UUU .
Dispunem de tabele care-l dau pe u odat cunoscut )(uFU (Anexa 1). Utilizarea acestor tabele depinde de valoarea funciei de repartiie, adic a probabilitii )( uUP < . Mai precis dac - )(uFU este superior lui 0,5 se folosete ultima linie i ultima coloan a tabelei (notat cu )(uFU ), valoarea corespunztoare a lui u fiind pozitiv i citindu-se direct din tabele; - )(uFU este inferior lui 0,5 se utilizeaz prima linie i prima coloan a tabelei (notat cu )()( uGuF UU =− ), iar valorii corespunztoare u, negativ în acest caz, i se adaug semnul „-” fa de valoarea citit din tabele. Dac valoarea exact cutat nu se gsete în tabele se procedeaz prin interpolare linear pentru a gsi valoarea (aproximativ) corespunztoare. Exemple: 1) S se gseasc )17,1()17,1( UFUP =< .
Tabelul I 0,000 0,001 … 0,010
0,00 0,99
: :
0,12 1,1700 0,87
: :
0,49 0,50
0,010 0,009 … 0,000
Valoarea cutat este 879,0)()( ==< uFuUP U .
)()( uFuG UU −=
)(uFU
128
2) S se gseasc u astfel ca 975,0)()( ==< uFuUP U . Tabelul II
0,000 … 0,005 … 0,010
0,00 0,99
:
:
0,02 1,9600 0,97
: :
0,49
0,50
0,010 … 0,005 … 0,000
Valoarea cutat u este 1,96. 3) Dat fiind variabila aleatoare continu care urmeaz legea normal
)16,0;2(N , care este probabilitatea ca valorile ei s fie cuprinse între 1,94 i 2,02?
Dac )16,0;2(~ NX , evident c )1;0(~16,0
2N
XU
−= . Atunci
=<≤−=
−<≤−=−=<≤ )125,0375,0(16,0
202,216,0
294,1)94,1()02,2()02,294,1( UPUPFFXP XX
)375,0()125,0( −−= UU FF . Din tabele avem 5497,0)125,0( =UF i 6462,0)375,0( =UF . Dar
3538,0)375,0(1)375,0( =−=− UU FF i deci 1959,03538,05497,0)02,294,1( =−=<≤ XP .
Una dintre probleme care se pun foarte des în practic const în calculul unei valori ax astfel ca probabilitatea pentru ca X s ia valori într-un interval simetric (de lungime ax2 ) în jurul valorii medii, adic
)( aa xmXxmP +<≤− s ia o valoare dat a. Cum intervalului simetric
),( aa xmxm +− îi corespunde, pentru variabila asociat centrat redus
σmX
U−= , intervalul simetric ),( aa uu− cu
σa
a
xu =
( ⇔+<≤− aa xmXxm
129
aaaa u
xU
mxmU
mxm=<⇔
−+<≤
−−⇔
σσσ) problema revine la
determinarea unui au astfel ca
auFuFuFuUP aUaUaUa =−=−−=< 1)(2)()()( , ceea ce se rezolv imediat cu ajutorul tabelelor. Pentru fixarea ideilor s determinm intervalul simetric în jurul valorii medii m astfel ca probabilitatea ca X s fie în acest interval este 95%. Avem deci de rezolvat problema 95,01)(2)( =−=< aUa uFuUP i
deci 975,0)( =aU uF . Dar din tabele, avem imediat 9600,1=au i în final σ⋅= 96,1ax .
Acest interval σ⋅± 96,1m , care corespunde probabilitii de 95% pentru ca variabila aleatoare X s ia valori în interiorul su, este extrem de utilizat în statistic. Exemplu: Într-o populaie masculin nivelul de colesterol X urmeaz legea normal )5,0;2(N . Parametrii sunt exprimai în 1−⋅ Lg . a) S se calculeze parobabilitatea )023,3208,1( ≤< XP ; b) S se gseasc extremitile intervalului simetric (în jurul valorii medii) astfel ca probabilitatea ca X s aparin acestui interval s fie egal cu 0,80.
a) Fie variabila normal centrat redus 5,0
2−= XU . Avem atunci
1)046,2(2)046,2584,1()023,3208,1( −=<≤−=<≤ FUPXP . Dup tabelul din Anexa 1 avem 979,0)0335,2( =F i 980,0)0537,2( =F . O interpolare furnizeaz atunci 9796,0)046,2( ≈F i atunci probabilitatea cutat de mai sus este, aproximativ, 0,9235. b) Intervalul cutat va fi de forma ]2,2[ aa +− unde numrul real pozitiv a satisface 8,0)22( =+<≤− aXaP . Aceast ultim relaie se retranscrie
1)2(2)22(8,0 −=<≤−= aFaUaP i deci 9,0)2( =aF iar din tabele avem 6408,0=a . Deci intervalul cutat va fi ]6408,2;3592,1[ .
130
9.13.3. Aproximarea legii Poisson printr-o lege normal
Dac valoarea medie a unei legi Poisson este mare, legea lui Poisson poate fi aproximat printr-o lege normal de aceeai valoare medie i dispersie ca i legea de plecare. Se accept, de pild, c, dac 5>λ , avem
),()( λλλ NP ≈ . Observaie: Un aspect „delicat” în aproximarea unei legi binomiale discrete printr-o lege continu const în aceea c, în timp ce probabilitatea pentru o variabil aleatoare discret evaluat pe un punct este nenul (dac
),(~ pnBX , knkkn qpCkXP −== )( iar dac )(~ λPX ,
!)(
kekXP
kλλ−== ), pentru o variabil aleatoare continu ea este nul
( )()()( kFkFkXkP −+=+<≤ εε iar când 0→ε 0)( == kXP ; în particular dac ),(~ σmNY , 0)( == kYP ). Pentru a depi i a evita acest paradox, în cazul în care variabila aleatoare discret X este aproximat prin variabila aleatoare continu Y, nu vom calcula probabilitatea ca Y s fie strict egal cu k ci probabilitatea ca Y s aib valori într-un interval mic în jurul lui k, cum ar fi
)(~)5,05,0( kXPkYkP =+<≤− . Exemplu: Fie o variabil aleatoare X care urmeaz legea binomial
)4,0;1000(B . Care este probabilitatea ca X s ia o valoare egal cu valoarea medie? Avem 400)( == npXM i 49,15== npqσ . Conform formulei stabilite
600400 6,04,0!600!400
!1000)400( ⋅
⋅==XP , dar acest calcul necesit un calculator
extrem de puternic! Cum condiiile de aproximare printr-o lege normal sunt satisfcute, putem aproxima )4,0;1000(B prin )49,15;400(N , adic
=<≤−=<≤≈= )0323,00323,0()5,4005,399()400( UPYPXP
02576,01)0323,0(2)0323,0()0323,0( =−=−−= UUU FFF , unde σ
mYU
−=
este variabila continu centrat redus (ataat lui Y) iar )0323,0(UF
131
(funcia de repartiie pentru variabila U normat evaluat în 0,0323) se preia din tabelul de calcul existent pentru aceast variabil (Anexa 1). Exemplu: Într-o anumit colectivitate, probabilitatea ca o persoan s cear a fi vaccinat contra gripei porcine este 4,0=p . Se formeaz, într-o manier arbitrar, un eantion de n indivizi din aceast populaie i se noteaz cu X variabila aleatoare care d numrul persoanelor – din acest eantion, care doresc s fie vaccinate. 1) Ce lege urmeaz variabila aleatoare X? 2) Se presupun c 10=n a) Care este legea pentru X în acest caz? b) S se calculeze probabilitile ca 3 persoane (exact) s cear a fi vaccinate i apoi ca cel puin 2 persoane s cear a fi vaccinate; 3) Se consider acum cazul ca 2000=n a) Ce aproximaie se poate alege pentru legea variabilei X? b) S se calculeze )850750( <≤ XP ; c) S se calculeze numrul 0x astfel ca 8,0)( 0 =≥ xXP ; d) Pentru raiuni de conservare limitat a cantitii de vaccinuri, numrul de vaccinuri disponibile imediat pentru eantionul de 2000 de indivizi este limitat la valoarea limx ce ar corespunde numrului maxim de persoane care se pot vaccina. Se noteaz cu R riscul de a nu putea rspunde la o cerin masiv de vaccinare. Care este numrul limx de vaccinuri ce trebuiete prevzut pentru ca acest risc s fie egal cu 5%? Dar cu 1%? 1) Evident c avem de a face cu o experien repetat de n ori care const în a cunoate inteniile a n persoane referitor la vaccinarea antigripal. De fiecare dat probabilitatea unui rspuns pozitiv este aceeai ( 4,0=p ) i rspunsurile celor chestionai sunt independente unele de altele. În aceast situaie X reprezentând numrul de rspunsuri pozitive, aceast variabil urmeaz legea binomial );( pnB . 2) 10=n a) Legea urmat de X va fi )4,0;10(B . b) Pentru exact 3 persoane avem
2150,0)6,0()4,0()3( 73310 ≈⋅⋅== CXP , unde am folosit
knkkn qpCknP −=),( asociat legii binomiale ),( knB .
Pentru a avea cel puin dou persoane care s cear a fi vaccinate trebuie s calculm
132
=−−==−=−=<−=≥ 91110
100010 )6,0()4,0()6,0()4,0(1)1()0(1)2(1)2( CCXPXPXPXP
9536,0= . 3) 2000=n a) Aici legea exact urmat de X ar fi desigur )4,0;2000(B . Cum evident calculele se enun a fi extrem de laborioase, n fiind mare (i superior lui 25) vom încerca o aproximare printr-o lege normal ( 800=np i 1200=nq fiind i ei superiori lui 5). Vom aproxima deci variabila discret )4,0;2000(~ BX printr-o variabil continu Y urmând legea normal ),( σmN cu 800== npm i
4802 == npqσ adic 91,21≈σ . b) Pentru a calcula
)849(...)751()750()850750( PPPXP +++=<≤ vom apela la aproximarea prin variabila continu Y, mai precis vom folosi
)5,05,0()( +<≤−≈= kYkPkXP . Adunând atunci aceste aproximaii
pentru 849,750=k , obinem c )5,8495,749()850750( <≤≈<≤ YPXP .
Introducând acum variabila centrat redus 91,21800−=−= YmY
Uσ
, care
urmeaz legea )1,0(N , vom avea c
=<=
−<≤−=<≤ )2592,2(91,21
8005,84991,21
8005,749)5,8495,749( UPUPYP
1)2592,2(2 −= UF . Cum )2592,2(UF poate fi aproximat din tabele, printr-o „regul de trei” (tiind c 988,0)2571,2( =UF i 989,0)2904,2( =UF ), prin 9881,0)2592,2( ≈UF , avem 9762,0)850750( ≈<≤ XP . c) Se caut acel numr real (întreg) pozitiv astfel ca
8,0)( 0 ≈≥ xXP . Utilizând din nou aproximarea prin variabila aleatoare continu Y, avem de rezolvat 8,0)5,0( 0 =−> xYP , adic
−−=
−≤−=
−>=
91,215,800
191,21
5,8001
91,215,800
8,0 000 xF
xUP
xUP .
Din tabele se gsete atunci c 416,091,21
5,800 0 =− x
i deci 7820 ≈x .
d) Numrul cutat limx este determinat prin condiia ca probabilitatea numrului de cereri de vaccin s-l depeasc pe limx s fie chiar R, adic RxXP => )( lim .
133
Prin raionament analog cu cel dinainte
−=
−>=
91,215,799
91,215,799 limlim x
Gx
UPR , unde am folosit i faptul c
riscul dat iniial este inferior lui 0,5 i deci, pentru tabele, se va folosi funcia G. Pentru %5=R din tabele avem 836lim =x iar pentru %1=R din tabele avem 850. Deci doar 14 vaccinuri suplimentare în stoc fac ca riscul s fie de 5 ori mai mic! Dac am lua 410−=R , 881lim =x . Concluzionm c dac se depete valoarea medie 800 se ating foarte repede riscuri practic nule.
134
10. Statistica
Statistica este o disciplin aplicativ care studiaz diferite colectiviti din punctul de vedere al unor proprieti comune, urmând s stabileasc anumite legiti pentru acestea, ea fiind fundamentat teoretic, în principal, de calculul probabilitilor. Statistica urmrete îmbogirea cunotiinelor tiinifice despre colectivitatea studiat în vederea lurii unor decizii i a planificrii de strategii. Preocupri de statistic apar înc din antichitate. Marile imperii se ocupau de organizarea populaiilor lor (de pild prin recesmânt) în vederea unor aciuni vitale (încasarea birurilor, participarea la rzboaie, etc.). Astzi statistica însoete cercetri atât din domeniul tiinelor umaniste cât i din cel al tiinelor exacte, ajutând la obinerea de informaii complete asupra fenomenelor analizate. Biostatistica (studii statistice în biologie, medicin i alte tiine ale vieii) este în zilele noastre un instrument indispensabil în luarea unor decizii fundamentale în cercetarea lumii vii. O prim faz a cercetrii statistice este statistica descriptiv. Ea precede cercetarea riguroas, fundamentat prin calculul probabilitilor, cunoscut i sub numele de statistic matematic.
10.1. Statistic descriptiv. Generaliti Statistica descriptiv studiaz proprieti numerice ale unei colectiviti, cutând s sistematizeze informaiile obinute de la acestea într-o form intuitiv adecvat care permite deducerea unor aspecte eseniale ale colectivitii respective. În statistic, vom numi colectivitate (sau populaie) o mulime de elemente cercetate din punctul de vedere al unei proprieti comune. Elementele colectivitii se mai numesc i indivizi. Numrul elementelor (indivizilor) dintr-o populaie (colectivitate) se numete volumul colectivitii. Proprietatea urmrit în cercetarea (statistic) a unei colectiviti se numete caracteristic. Aceste caracteristici pot fi: - calitative care nu se msoar (nu au valori numerice) i care sunt definite printr-un „atribut” (cum ar fi culoarea prului – brunet, blond, etc.) i care nu pot fi „ordonate” sau definite printr-o „modalitate” dar care
135
prezint o „relaie de ordine” (reacia unei colectiviti la un vaccin – nul, uoar, serioas, cauztoare de deces) adic este un factor calitativ „ordonat”; - cantitative care se msoar (având deci valori numerice) i care ar putea fi discrete când valorile luate sunt finite sau numrabile (de pild numrul leucocitelor dintr-o preluare sangvin) sau continue când ele iau toate valorile dintr-un interval real (cum ar fi înlimea unui om care ar putea lua orice valoare dintr-un interval dat) Orice caracteristic a unei colectiviti este, din punct de vedere probabilistic, o variabil aleatoare. Scopul final al cercetrii statistice va fi stabilirea legii probabilistice creia îi aparine aceast caraceristic.
10.2. Abordarea descriptiv a variabilelor
10.2.1. Cazul variabilelor calitative S considerm variabila calitativ X care, în analiza statistic a n indivizi, se prezint în c „modaliti” ( 1a , 2a , ..., ca ). Vom defini: - Efectivul total ca fiind numrul de indivizi ai colectivitii notat cu n; - Efectiv (sau frecven absolut) al modalitii ia , ca fiind numrul de indivizi in care se prezint cu modalitatea ia ;
- Frecvene relative ale modalitii ia ca fiind nn
f ii = ;
- Tabloul de distribuie ca fiind tabloul care prezint toi parametrii precedeni, adic Modaliti 1a ... ia ... ca Total
Efective 1n ... in ... cn =
=c
iinn
1
Frecvene relative 1f ... if ... cf
==
c
iif
1
1
136
Este de multe ori util de a avea i o reprezentare grafic a datelor statistice (numite i serie statistic) formând aa numitele diagrame. Exist multe maniere de a face acest lucru, cele mai utilizate diagrame fiind cele care apeleaz la figuri geometrice cum ar fi dreptunghiurile, ptratele, discurile. Exemple: a) S presupunem c studiind impactul gripei porcine asupra unei colectiviti, de-a-lungul întregului an, s-ar stabili urmtoarele modaliti de manifestare a gripei: uoar, moderat, grav. Sesizând modalitatea dominant în fiecare lun i numrul indivizilor atini de aceast modalitate, se poate face urmtorul tabel.
Luna Modalitatea de manifestare/numrul de indivizi atini de aceast modalitate
ianuarie moderat/29 februarie grav/23 martie uoar/31 ... ...
Luând atunci, într-un reper cartezian, dreptunghiuri de aceeai baz i înlime egal cu numrul de indivizi atini de „modalitatea” respectiv a gripei (i eventual asociind o culoare la fiecare modalitate ca de pild galben=uoar, portocaliu=moderat, rou=grav) se obine o diagram prin dreptunghiuri.
137
b) Într-un spital se analizeaz numrul deceselor cauzate de boli grave cum ar fi cancerul, tuberculoza, boli cardiovasculare. Formând un tabel cu numrul deceselor corespunztoare bolii, acestuia i se poate asocia o diagram prin ptrate („închise” unul în altul) a cror arie s fie egal respectiv cu numrul deceselor respective, ele fiind colorate diferit. Mai precis dac tabelul ar fi
Boli Numr decese Cancer 150 Tuberculoz 50 Boli cardiovasculare 350
am avea o diagram
c) Dorind s se studieze legile lui Mendel asupra caracterului „culoarea unei flori”, se studiaz, pentru aceasta, a doua generaie a unei încruciri de plante heterozigote. Se obin astfel patru culori („modaliti”) i, asupra a 3098 plante obinute, avem efectivele in i frecvenele relative
if din tabelul urmtor
Modaliti ia Purpuriu Roz Alb-
Lavand Alb Total
Efective in 1790 547 548 213 3098
Frecvene relative
if 57,78% 17,66% 17,69% 6,88% 100%
Diagrama prin disc circular (tip „camembert” sau „tort”), corespunzând procentelor celor 4 modaliti ar fi
138
Intersectarea variabilelor Se pot, de asemenea, intersecta (încrucia) mai multe variabile calitative urmrite în cercetarea statistic. Considerând de pild dou variabile X i Y, prima luând modalitile cj aaa ,...,,...,1 iar a doua
modalitile li bbb ,...,,...,1 putem atunci defini: - efectivele ijn , ca fiind indivizii prezentând simultan modalitile
ja i ib ;
vom nota cu .in (respectiv jn. ), efectivele de indivizi prezentând doar
caracteristica ib (respectiv ja ) i deci =
=c
jiji nn
1. ,
==
l
iijj nn
1. ,
= ===
===l
i
c
jij
l
ii
c
jj nnnn
1 11.
1. ;
- frecvenele relative n
nf ij
ij = , nn
f ii
.. = ,
n
nf j
j.
. = .
Roz
Purpuriu
Alb
Alb-Lavanda
139
Avem atunci i tabloul de distribuie („cu dou intrri”)
Modaliti 1a … ja … ca Total pe linie
1b 11n … jn1 … cn1 .1n
.
ib 1in … ijn … icn .in
lb 1ln … ljn … lcn .ln Total pe coloan 1.n … jn. … cn. n
Unui astfel de tabel i se poate asocia o diagram marcând cu un punct „plin” punctul de coordonate ),( ij ba , pentru care 0≠ijf , i cu un
punct „gol”, dac 0=ijf . Diagrama respectiv va fi cunoscut i sub numele de „nor statistic”.
10.2.2. Cazul variabilelor cantitative Vom observa de la bun început c, fr a fi o trecere obligatorie, este adesea interesant de a transforma o variabil (caracteristic) cantitativ într-o variabil calitativ ordonat. Pentru o variabil cantitativ discret acest lucru se face acceptând c respectivele valori ale variabilei sunt „modaliti” („clase”) a unei variabile calitative ordonate. În cazul variabilelor cantitative continue se împarte intervalul ],[ ba al valorilor acestei variabile, pe baza unor informaii legate de specificul problemei, într-un anumit numr de p subintervale (clase): ),[ 1xa , ),[ 21 xx , ..., ),[ 1+ii xx , ..., ],[ 1 bx p− i se ataeaz fiecrui interval numrul de indivizi a cror variabil aparine subintervalului respectiv. Se obin astfel efectivele care ne permit trecerea variabilei în „modaliti” specifice unei variabile calitative. Observaie: Lungimea subintervalelor este arbitrar. Dac ea este prea mic aceasta d un numr prea mare de „clase” („modaliti”) ceea ce complic lucrul; dac ea este prea mare se pot pierde multe informaii legate de specificul problemei. Acceptm, în statistic, o astfel de partiie încât
5≥in .
140
Cum modalitile (clasele) pot fi caracterizate prin variabile
cantitative (cum ar fi de pild mijlocul 2
1 iii
xxc
+= + al subintervalului
),[ 1+ii xx , în locul unor diagrame prin figuri geometrice („camembert”, etc.), se pot construi diagrame prin puncte sau linii (histograme) punând pe abscis „valoarea” clasei i pe ordonat efectivul (sau frecvena). Prin aceste puncte se pot trasa, pe lungimea fiecrei clase, segmente paralele cu axa Ox sau aceste puncte se pot uni prin segmente, etc., obinându-se astfel un echivalent al densitii de probabilitate. Dac în locul efectivelor se vor lua efectivele „cumulate”, adic, respectiv, pentru fiecare clas 1n , 21 nn + , ...321 +++ nnn s-ar obine o informaie despre alura posibil a funciei de repartiie asociate.
10.3. Caracteristici numerice empirice S considerm o populaie cu n indivizi i fie X o caracteristic. Dac aceast caracteristic este cantitativ discret s notm „seria statistic” (datele cercetrii statistice) prin valorile 1x , 2x , ..., nx , iar dac este continu fie cele c clase ia (definite de pild, prin centrul lor ix ) cu efectivele in i frecvenele relative if . Vom defini atunci distribuia (repartiia) statistic empiric prin
nn fx
fx
fx
22
11
respectiv
ccc fxa
fxa
fxa
222
111
Cum frecvena relativ if aproximeaz probabilitile teoretice (teorema lui Bernoulli) aceste distribuii vor corespunde, practic, distribuiilor (repartiiilor) variabilei aleatoare discrete asociate caracteristicei statistice X.
141
Vom defini valoarea medie empiric (statistic) prin n
xxm
n
ii
=== 1
respectiv n
anxm
c
iii
=== 1 (unde clasele ia sunt reprezentate de valori ix ).
Prin mediana eM a repartiiei statistice înelegem valoarea clasei „de
mijloc” adic de indice 12
+
n, respectiv 1
2+
c, sau dac )(cn este
impar, 2
12
1 ++ == cne XXM iar, pentru )(cn par, 2
122
++
=nn
e
XX
M .
Analog se pot defini quartilele: prima quartil 1Q împarte seria statistic )(121 ... cnn xxxx ≤≤≤≤ − în raportul ¼ i ¾ , a doua quartil 2Q este mediana iar a treia quartil împarte seria statistic în raportul ¾ i ¼. Modul repartiiei statistice este „valoarea” clasei 0i (a mijlocului ei) unde efectivul (frecvena relativ) este maxim, adic
)(,1max
0 cniii nn=
= .
O repartiie statistic are o singur median dar poate avea mai multe module. Prin întinderea seriei statistice (presupuse ordonate, adic
)(121 ... cnn xxxx ≤≤≤≤ − ) se înelege diferena între valorile extreme:
1)( xx cn − .
Interquartila este diferena 13 QQ − în timp ce intervalul interquartil este intervalul închis ],[ 31 QQ .
Prin dispersie empiric 2s se înelege fie cantitatea
21
2
1
2
2
)(x
n
x
n
xxs
n
ii
n
ii
−=−
=
== (în condiiile unei variabile discrete luând
valorile ix ), fie cantitatea
21
2
1
2
2
)(x
n
an
n
xans
c
iii
c
iii
−=−
=
== (în condiiile unei variabile care ia
„modalitile” sau clasele ia , ce vor fi reprezentate prin anumite valori ix ).
142
Se observ echivalena cu definiia dispersiei din calculul probabilitilor respectându-se relaia 222 )]([)( XMXMD −= . Rdcina ptrat din dispersie este abaterea medie standard empiric
s iar coeficientul de variaie xs
cv = .
Se numete funcie de repartiie empiric a repartiiei statistice
i
i
f
x
funcia în scar
>
≤<
≤
= +=
)(
11
1
)(
,1
,
,0
)(
cn
kk
k
iicn
xx
xxxf
xx
xF
Exemplu: Se dorete studiul valorilor de dozaj a unei anumite proteine în sânge. Pentru aceasta se dispune de 41 de dozaje exprimate în
1−⋅ mLmg mai precis 1,09 0,94 1,18 1,01 1,12 0,75 0,97 1,27 1,33 1,10 1,04 0,85 0,88 1,26 1,06 1,03 0,80 0,74 1,03 1,19 1,25 0,89 1,35 0,91 0,91 1,07 1,14 0,72 1,03 1,24 0,98 1,18 1,23 0,77 1,09 1,05 1,18 1,25 0,83 1,13 0,83 Aceste dozaje (date) vor reprezenta „seria statistic” adic valorile unei variabile (caracteristici) cantitative, valori care se pot împri într-un sistem de „clase” („modaliti”) care ar putea fi subintervalele de lungime 0,1 în care se poate împri intervalul „total” al valorilor de dozaj (care este inclus în ]4,1;7,0[ ).
143
Avem deci urmtorul tablou de repartiie asociat claselor amintite Clasele [0,7;0,8[ [0,8;0,9[ [0,9;1,0[ [1,0;1,1[ [1,1;1,2[ [1,2;1,3[ [1,3;1,4[ Total Efectivele 4 6 5 10 8 6 2 41 Frecvenele relative
9,76% 14,63% 12,20% 24,39% 19,51% 14,63% 4,88% 100%
sau, tabelul de repartiie cu efectivele i frecvenele relative cumulate <0,8 <0,9 <1,0 <1,1 <1,2 <1,3 <1,4 Total
Efectivele cumulate 4 10 15 25 33 39 41 41
Frecvenele cumulate 9,76% 24,39% 36,59% 60,98% 80,49% 95,12% 100% 100%
Corespunztor am avea histogramele
Histograma efectivelor
144
Histograma efectivelor cumulate
Pe aceste histograme sunt suprapuse, respectiv, funcia de densitate de probabilitate i funcia de repartiie a legii normale pentru a ne da seama, într-o prim abordare vizual, dac ar fi speran ca seria statistic s urmeze legea normal. Ordonm datele (dozajele) i dm un rang la fiecare msurtoare
Datele 0,72 0,74 0,75 0,77 0,80 0,83 0,83 0,85 0,88 0,89 0,91
0,91 0,94 0,97 0,98
Rangurile 1 2 3 4 5 6,5 8 9 10 11,5 13 14 15
1,01 1,03 1,03 1,03
1,04 1,05 1,06 1,07 1,09 1,09 1,10 1,12 1,13 1,14
1,18 1,18 1,18
1,19 1,23 1,24
16 18 20 21 22 23 24,5 26 27 28 29 31 33 34 35
1,25 1,25 1,26 1,27 1,33 1,35
36,5 38 39 40 41
Observaie: Dozajul 0,83 ar apare la poziiile de rang 6 i 7. Vom introduce atunci, pentru 0,83, rangul „medie” 6,5. Analog dozajul de 1,03 corespunde poziiilor de rang 17, 18 i 19 i deci cele trei valori 1,3 vor fi
asociate cu „rangul” unic 183
191817 =++.
145
Se deduc urmtorii parametrii caracteristici (empirici) ai acestei serii statistice: Intinderea 163,072,035,1 −⋅=−= mLmg Mediana: 105,1 −⋅= mLmgM e (rangul 21)
Modul: 105,1 −⋅ mLmg (adic „centrul” clasei celei mai populate, )10,1;1[ , care are un efectiv de 10 dozaje) Prima quartil: 1
1 91,0 −⋅= mLmgQ (valoarea 11-a) A treia quartil: 1
3 18,1 −⋅= mLmgQ (valoarea 31-a)
Interquartila 127,091,018,1 −⋅=−= mLmg Intervalul interquartil ]18,1;91,0[=
67,4241
1
==i
ix , 6025,4541
1
2 ==i
ix
1041,1 mLmgm ⋅≈ , 212 )(0291,0 −⋅≈ mLmgs , 11707,0 mLmgs ⋅≈ , %40,16=cv .
10.4. Teoria seleciei
Cercetarea statistic a unei colectiviti, în special când volumul acesteia este foarte mare sau când cheltuielile aferente studiului întregii colectiviti sunt enorme sau când nu toate elementele colectivitii sunt accesibile, etc., se poate face i printr-o cercetare parial – selectiv – a unei subcolectviti (subpopulaie), obinut printr-o alegere aleatoare i care va purta numele de selecie sau eantion. Pentru ca informaiile obinute prin studiul unei astfel de selecii (eantion) s poat fi extrapolate la întreaga populaie (colectivitate) – adic soluia s aib o valoare cognitiv suficient, trebuie ca: - Elementele care intr în subcolectivitate de selecie (eantion) s se aleag printr-un proces aleator; - Toate elementele colectivitii iniiale trebuie s aib aceeai ans (probabilitate) de a intra în colectivitatea de selecie (eantion); - Structura seleciei (eantionului) trebuie s fie cât mai apropiat de structura colectivitii generale, adic selecia (eantionul) trebuie s fie reprezentativ; - Volumul seleciei (eantionului) trebuiete s fie suficient de mare. În general creierul uman este incapabil de a genera spontan fenomene întâmpltoare i deci, pentru a construi o selecie, trebuie dat un
146
algoritm aleator bine stabilit dinainte. Dac, de pild, se face un sondaj prin interogarea persoanelor din strad i se las persoanei care-l face alegerea persoanelor abordate, aceasta va fi influenat de o oarecare „simpatie sau antipatie” fa de trectori i deci obiectivitatea sa va fi afectat (greu ar fi de a prefera un ceretor, cu o igien discutabil, în locul unei frumusei feminine îngrijite!). De aceea trebuie elaborat de la bun început un „protocol” de selectare a indivizilor, cum ar fi, de pild, abordarea fiecrui al 20-lea trector cu care s-ar intersecta în dreapta sa, etc. Pentru sondajele electorale aspectul decisiv este construirea de selecii reprezentative. Se tie c femeile nu voteaz ca i brbaii, tinerii nu voteaz ca i persoanele în vârst, cei din mediul rural nu voteaz la fel ca i orenii... Eantionul va trebui s respecte proporiile categoriilor amintite din întreaga populaie, „intersectând”, de asemenea, variabilele precedente: nu toate femeile trebuie s provin din ora, nu toi brbaii s vin de la ar, etc. S admitem c se pune problema studierii toxicitii unui produs i se ia pentru aceasta un lot de oareci cruia i se injecteaz produsul. Dar deoarece o injecie este traumatizant, trebuie, de asemenea, s avem alturi i un alt lot de oareci care la fel a fost injectat dar cu un simplu lichid fiziologic, pentru a compara cele dou loturi. Alegerea oarecilor care vor fi injectai cu produsul respectiv i a celor care vor primi doar lichidul fiziologic nu trebuie lsat la întâmplare; dac, de pild, primii oareci prini vor primi produsul iar urmtorii lichidul fiziologic, riscm s avem în final informaii eronate deoarece primii oareci vor fi evident mai „linitii”, fiind prini mai uor, în timp ce ultimii vor fi mult mai „agitai” vzând ce s-a întâmplat cu primii. Va trebui deci tras la sori substana (produsul sau lichidul fiziologic) care va fi injectat la fiecare oarece. Dac se presupune c sexul sau vârsta au o interaciune cu toxicitatea produsului, trebuie fie s aranjm ca loturile s aib oareci de aceeai vârst i acela sex, fie ca proporia oarecilor de acela sex s fie aceeai în cele dou grupe i cel puin vârsta medie a oarecilor din cele dou grupe s fie foarte apropiate. Selecia va fi repetat (cu întoarcere) când elementul extras din populaie este repus la loc sau nerepetat (fr întoarcere) când individul nu mai revine în populaie. Când volumul colectivitii generale este foarte mare, deosebirea între selecia repetat i cea nerepetat este neglijabil.
147
10.5. Fundamentarea matematic a teoriei seleciei
Fie X caracteristica cercetat (cantitativ sau calitativ), a întregii colectiviti, i care este asimilat cu o variabil aleatoare X „teoretic”. Obiectul cercetrii noastre va reprezenta legea de probabilitate a lui X (adic repartiia sau funcia de repartiie a variabilei teoretice X, dup cum aceasta este discret sau continu). Fie acum o cercetare parial a unei subcolectiviti de volum n, a unei selecii (eantion), i fie 1x , 2x , ..., nx datele de selecie care sunt de fapt valori ale variabilei X. De fapt aceste date de selecie se pot interpreta ca valori ale unui sistem de n variabile aleatoare (numite de selecie) 1X ,
2X , ..., nX care, în condiiile unei selecii repetate sunt independente i vor verifica aceeai lege de probabilitate ca i caracteristica X.5 Corespunztor putem scrie c
( ) ( ) rrr
i XMXM ν== , ni ,1=
( )[ ] ( )[ ] rrr
i mXMmXM µ=−=− , ni ,1= . unde )(XMm = este valoarea medie a variabilei teoretice X. Exemplu: Fie o colectivitate format din comprimate de aceai tip, rezultate pe o linie de fabricaie. Fie p probabilitatea evenimentului ca un comprimat produs s fie defect. Evident c producerea de comprimate defecte reprezint evenimente independente. S efectum a selecie de n comprimate la ieirea lor de pe linia de fabricaie. Definim variabilele (de selecie) iX , ni ,1= , ca fiind variabile ce iau valoarea 1 dac comprimatul este defect i 0 dac el nu este defect, adic
−= pqpX i 1
01. Atunci probabilitile corespunztoare variabilei
aleatoare X (teoretice) – care vor fi respectate i de variabilele de selecii independente iX , vor fi date de legea binomial, pentru fiecare iX având
xx pp −− 1)1( , cu 1,0∈x , iar p, probabilitatea, este un parametru satisfcând 10 << p . Pentru 0=x , qppf =−= 1),0( iar pentru 1=x ,
5 În cazul când selecia este nerepetat variabilele iX sunt dependente. În cele ce urmeaz ne vom mrgini la cazul strict al seleciei repetate (deosebirea dintre cele dou selecii fiind neglijabil pentru colectiviti de volum mare).
148
ppf =),1( , adic reobinem probabilitile pentru apariia sau neapariia evenimentului urmrit (comprimat defect). Definiie: Se numete repartiia (distribuia) seleciei asociate datelor
de selecie 1x , 2x , ..., nx , tabelul
n
n
fff
xxx
...,,
...,,
21
21 unde if sunt
frecvenele relative (aproximarea probabilitilor teoretice). Conceptul se poate extinde atât în cazul existenei a c clase de valori
'ix (X variabila discret) cât i în cazul variabilelor X, de tip continuu, prin
partajarea intervalului valorilor acesteia ),( ba , în subintervale, utilizând punctele de diviziune bxxxa c =<<<= ...10 (i implicit considerarea unor clase ],[ 1 ii aa − individualizate, de obicei, prin „mijlocul” claselor adic
21' ii
i
aax
+= − ).
Fie acum 1X , 2X , ..., nX variabile de selecie corespunztoare datelor de selecie 1x , 2x , ..., nx ale unei selecii repetate. Definiie: Se numete funcie de selecie o variabil aleatoare nZ
definit prin ( )nn XXXhZ ,...,, 21= unde RRn →:h este o funcie dat de n variabile. Prin valoarea acestei funcii de selecie se înelege numrul real
),...,,( 21 nn xxxhz = unde ix sunt datele de selecie.
Exemplu: Momentul de selecie de ordinul k, kν ,
=
=n
i
kik X
n 1
1ν (media de selecie, caz particular, pentru 1=k ,
=
==n
iiX
nX
11
1ν , momentele centrate de selecie de ordinul k, kµ ,
( )=
−=n
i
k
ik XXn 1
1µ (caz particular, pentru 2=k , 2µ legat de dispersia de
selecie 2σ prin relaia 22
1µσ
−=
nn
), etc. sunt funcii de selecie.
Teorem: Are loc )()( XMXM = , n
XDXD
)()(
22 = ,
)()( 22 XDM =σ , 0)(lim 22 =∞→
σDn
.
149
Definiie: Se numete funcie de repartiie de selecie corespunztoare unei selecii (repetate) de volum n, funcia ]1,0[: →RnF
dat prin n
xKxF n
n
)()( = , unde )(xK n determin numrul datelor de
selecie mai mici decât x. Acceptând c seleciei respective, de volum n, i se asociaz distribuia
(repartiia) de selecie a caracteristicii X de forma
c
c
fff
xxx
...,,
'...,','
21
21
unde 'ix sunt valori ce caracterizeaz clasa a „i”-a (în numr de c) iar if
sunt frecvenele relative respective nn
f ii = , in fiind numrul datelor de
selecie din clasa „i”-a, atunci <
=xx
ini
fxF'
)( sau
' ,1........................
'' ,
.......................
'' ,
' ,0
)(1
211
1
>
≤<
≤<≤
=+
c
iii
in
xx
xxxf
xxxf
xx
xF
O problem central a statisticii, în general, i a teoriei seleciei, în particular, este determinarea condiiilor în care putem afirma c )(xFn converge, pentru ∞→n ctre funcia de repartiie )(xF a variabilei aleatoare (caracteristicii) X „teoretice” a întregii colectiviti. Odat stabilite aceste condiii, simpla calculare a )(lim xFnn ∞→
va permite determinarea
funciei de repartiie a variabilei aleatoare teoretice i implicit a schemei probabilistice în care se încadreaz caracteristica cercetrii statistice. Urmtoarea teorem (dar nu este singura!) fundamenteaz din punct de vedere matematic teoria seleciei, artând maniera în care repartiia de selecie tinde ctre repartiia teoretic a întregii colectiviti (generale). Teorema lui Glivenco: Dac )(xF este funcia de repartiie a variabilei aleatoare (caracteristicei) teoretice X a întregii colectiviti, iar
)(xFn este funcia de repartiie de selecie, corespunztoare unei selecii de
150
volum n, atunci abaterea )()( xFxFn − converge „aproape sigur” ctre 0
pentru ∞→n , adic 10)()(suplim =
=−
∈∞→
Rx
nnxFxFP .
Exemplu: Se consider un eantion de 20 de clieni care intr într-o mare farmacie i se analizeaz atât frecvena cu care clienii fac apel la serviciile acestei farmacii de-a lungul unei luni (caracteristica X) cât i volumul cheltuielilor lunare în RON ale clienilor respectivi (caracteristica Y). S-au obinut urmtoarele date de selecii pentru X i respectiv Y. X: 1, 2, 1, 4, 3, 2, 5, 6, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 6, 2, 4, 3, 1, 2. Y: 89, 90, 101, 88, 85, 77, 102, 100, 86, 97, 76, 121, 113, 110, 96, 92, 108, 112, 103, 109. Se cere: a) repartiiile (distribuiile) empirice de selecie pentru X i Y; b) mediile de selecie, momentul centrat de selecie de ordinul al doilea; c) funciile de repartiie de selecie pentru X i Y. a) Se observ c datele de selecie pentru caracteristica X au numai
6=N valori distincte, deci repartiia corespunztoare acestor 6 „clase”
naturale este
202
201
203
204
206
204
654321X .
Pentru caracteristica Y toate datele de selecii sunt distincte, adic repartiia empiric ar fi un tablou unde pe prima linie se trec toate aceste 20 de valori (în ordine cresctoare) iar pe linia a 2-a frecvenele relative care
toate sunt 201
. Vom putea îns lucra cu un tablou „condensat”, introducând
„clase de cheltuieli” (prima clas 70-79 (RON), apoi 80-89 (RON)), etc. Introducând ca i „valori ale claselor” mijlocurile intervalelor respective
ajungem la
201
203
206
204
204
202
125115105958575Y .
b) Mediile de selecie vor fi, pentru aceste dou caracteristici,
variabilele aleatoare =
=20
1201
kkXX i
==
20
1201
kkYY , unde kX i kY sunt
variabilele aleatoare de selecie ce corespund valorilor
k
k
f
x i
'k
k
f
y cu k
fixat. Valorile mediilor de selecie vor fi:
151
2057
)625143342614(201
201 20
1
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅== =k
kxx (RON) iar
000.1075,97201 ×== kyy lei (1 RON).
Dac îns se folosesc datele grupate (pe clase) pentru Y am avea
yy ≈×=+⋅+⋅= lei 000.105,98...)854752(201
' .
Valorile momentelor centrate de selecii de ordinul al doilea sunt
respectiv =
==−=20
1
22 3275,2...)(
201
)(k
k xxXµ ,
=
==−=20
1
22 5,182...)'(
201
)(k
k yyYµ , ceea ce ar conduce la o valoare puin
diferit de valoarea ce s-ar obine lucrând cu datele de selecie primare (negrupate). c)Funciile de repartiie de selecie pentru cele dou caracteristici sunt respectiv:
>
≤<
≤<
≤
=
6 ,1....................
32 ,2010
21 ,204
1 ,0
)(20
x
x
x
x
xF , pentru caracteristica X i
>
≤<
≤<
≤
=
125 ,1....................
9585 ,206
8575 ,202
75 ,0
)(20
x
x
x
x
yF , pentru caracteristica Y.
152
Cu cât volumul acestor selecii este mai mare, cu atât funciile de repartiie de selecie de mai sus vor aproxima tot mai exact funciile de repartiie teoretice, în baza teoremei lui Glivenco.
10.6. Elemente de teoria estimaiei
În aplicaiile statisticii matematice exist situaii când forma funciei care exprim legea probabilistic a variabilei teoretice X este cunoscut. De pild, dac X reprezint numrul de comprimate cu defecte ce se obin într-o selecie de volum n, atunci X urmeaz legea binomial i deci repartiia sa
este
−= −xxx
n ppC
xX 1)1(
, nx ,0= , 10 << p , i unde, în general, p
(probabilitatea) nu este cunoscut de la bun început. Deci forma funciei este specificat dar parametrii de care ea depinde sunt necunoscui. Se pune problema evalurii acestor parametri ceea ce se va face prin operaia de estimare a parametrilor. Aceasta se va realiza pe o selecie de volum n – prin care se obin i variabilele de selecie 1X , 2X , ...,
nX , i se vor aproxima aceti parametrii prin intermediul aa numitelor estimaii punctuale. Apoi rezultatele (aproximative) obinute pe eantion se vor „transfera” la întreaga colectivitate.
10.6.1. Estimaiile punctuale Vom presupune, pentru uurina expunerii, c funcia de probabilitate depinde de un singur parametru necunoscut λ , adic );( λxf . Fie variabilele de selecie 1X , 2X , ..., nX ce corespund seleciei de volum n. Definiie: Se numete funcie de estimaie punctual (sau estimator punctual) al parametrului necunoscut λ , funcia de selecie
),...,,( 21**
nXXXλλ = care reprezint o aproximaie a lui λ , adic λλ ≈* .
Pentru ca funcia de selecie *λ s fie o cât mai bun aproximaie pentru parametrul λ trebuie ca valorile sale s fie cel mai frecvent „aproape” de valoarea adevrat a parametrului, adic s fie „cât mai concentrate” în jurul lui λ . Avem pentru aceasta:
153
Definiie: Spunem c ),...,,( 21**
nXXXλλ = este funcie de estimaie consistent (sau estimator consistent) pentru parametrul λ , dac
( ) 1lim * =<−∞→
ελλPn
, 0>∀ε .
Vom nota cu *cλ o estimaie consistent.
Definiie: O funcie de estimaie ),...,,( 21**
nXXXλλ = spunem c
este nedeplasat dac λλ =)( *M . Diferena ndM =− λλ )( * se numete deplasarea estimaiei. Are loc urmtoarea teorem: Teorem: Fie ),...,,( 21
**nXXXλλ = o funcie de estimaie a
parametrului λ satisfcând condiiile: 1. este nedeplasat sau 0lim =
∞→ nnd ;
2. dispersia funciei de estimaie (estimatorului) tinde la zero, adic 0)(lim *2 =
∞→λD
n.
În aceste condiii estimaia *λ este consistent. Funciile de estimaie pot avea i alte caliti importante cum ar fi absolut corectitudinea i corectitudinea (simpl). Definiie: ),...,,( 21
**nXXXλλ = este o funcie de estimaie absolut
corect dac îndeplinete condiiile λλ =)( *M i 0)(lim *2 =∞→
λDn
.
Vom nota cu *acλ un estimator „absolut corect”.
Definiie: ),...,,( 21**
nXXXλλ = este o funcie de estimaie corect (estimator corect) pentru parametrul λ dac sunt îndeplinite condiiile:
λλ =∞→
)(lim *Mn
i 0)(lim *2 =∞→
λDn
.
Orice estimator absolut corect este i estimator corect, afirmaia reciproc neavând loc, în general. Orice estimator absolut corect (i chiar doar corect) este consistent. Estimaiile eficiente: Estimaiile nedeplasate sunt preferate în locul celor deplasate. Dar nici în acest caz nu putem fi siguri c valorile lui *λ sunt suficient de aproape de parametrul necunoscut λ , sau c dispersia lui
*λ este suficient de mic (ceea ce ar micora evident eroarea înlocuirii lui λ cu *λ !) Definiie: Se numete cantitate de informaie a unei selecii de volum n relativ la parametrul necunoscut λ valoarea )(λnI dat prin
154
∂∂⋅−=
∂∂⋅= 2
22),(ln),(ln
)(λ
λλ
λλ XfMn
XfMnI n , unde ),( λXf
este funcia de probabilitate a variabilei teoretice X. Are loc Teorema (Rao-Cramer): Dac *λ este o estimaie nedeplasat a parametrului λ din funcia de probabilitate ),( λXf , a
variabilei teoretice X, atunci )(
1)( *2
λλ
nID ≥ , unde )(λnI este cantitatea de
informaie. Definiie: Estimatorul *λ se numete eficient dac are cea mai mic
dispersie, adic )(
1)( *2
λλ
nID =
Raportul )()(
)(1
**2 λ
λλ
eDI n = se numete eficiena estimatorului *λ .
Observaie: Un estimator nedeplasat este eficient dac are eficiena egal cu 1. Dac avem doar 1)(lim * =
∞→λe
n el este asimptotic eficient.
Se arat i c orice estimator eficient este i consistent. Exemplu: S se arate c media de selecie X este un estimator eficient pentru parametrul λ al repartiiei Poisson. Se tie c dac X urmeaz o repartiie Poisson de parametru λ atunci
λλλ −=== ex
xXPXfx
!)(),( iar λ=)(XM , λ=)(2 XD ,
λλ += 22 )(XM . Se tie c X este un estimator absolut corect (deci i nedeplasat)
deoarece λ=)(XM i 0)(
)(2
2
∞→→==
nnnXD
XDλ
.
Din λλλ −−= )!ln(ln),(ln XXXf se obine 1),(ln −=
∂∂
λλλ XXf
i deci
λλ
λλλ
λλλλλ n
nXX
MnX
MnIn =
+−+=
+−⋅=
−⋅= 12
)(1
121)( 222
22
,
adic
155
)(1
)(2
λnIXD = i deci X este i estimator eficient.
10.7. Reluarea unor rezultate din calculul probabilitilor utilizate în statistic
Conform teoremei limitei centrale dac 1X , 2X , ..., nX sunt n variabile aleatoare independente, urmând legi de probabilitate oarecari, de medii )( iXM i dispersii 2
iσ , atunci pentru n mare (în practic 30≥n ),
suma nXXX +++ ...21 va urma o lege de probabilitate ce se poate aproxima, suficient de bine, printr-o lege normal ),( σµN , unde
=
=n
iiXM
1
)(µ iar =
=n
ii
1
2σσ .
Dac se consider variabila „medie”, n
XXXX n+++
=...21 ,
aceasta având valoarea medie µ i abaterea medie standard n
σ, rezultatul
de mai sus arat c
nNX
σµ,~ , oricare ar fi distribuiile lui 1X , 2X ,
..., nX , dac n este suficient de mare ( 30≥n ). Evident dac considerm
variabila medie „centrat redus” vom avea i )1,0(~ N
n
Xσ
µ−.
Dac îns variabilele 1X , 2X , ..., nX urmeaz legea normal iar s
este un estimator, pe eantionul de volum n, a lui σ , atunci 1~ −−
nT
n
sX µ
(repartiia Student cu 1−n grade de libertate). De asemenea dac 1X , 2X , ..., nX sunt n variabile aleatoare continue urmând legea normal centrat redus )1,0(N , atunci variabila
aleatoare 2222
21 ~... nnXXX χ+++ . Se demonstreaz c pentru n mare
156
(practic 30≥n ), variabila )1,0(122 2 Nnn
n ∞→→−−χ , adic putem
considera aproximarea
)1,0(~122 2 Nnn −−χ .
10.8. Intervale de încredere Aspectul probabilistic al problemei estimrii parametrilor necunoscui ai unei repartiii teoretice sugereaz c pentru fiecare parametru s se determine un interval finit astfel încât, cu o probabilitate cât mai mare, valoarea real a parametrului respectiv s se gseasc în interiorul acelui interval. Evident c o asemenea estimare este cu atât mai bun cu cât intervalul are lungime mai mic i cu cât probabilitatea este mai mare. Parametrii estimai pentru o întreag colectivitate, plecând de la un eantion de volum n, în general, nu sunt exaci. Se demonstreaz c: - (estimarea valorii medii µ a unei populaii) se poate face prin xm
= ,
valoarea medie de selecie (eantion); - (estimarea dispersiei 2σ a unei populaii) se poate face prin dispersia de
selecie 2esantion
2
1s
nn
s−
= (pentru n mare 2esantion
2 ss ≈ );
(estimarea probabilitii p a populaiei) se poate face prin f, frecvena relativ calculat pe eantion. Definiie: Se numete interval de încredere de risc „α ” al unei variabile teoretice X (sau a unui parametru al colectivitii) un interval ],[ ba în care acea variabil (sau acel parametru) se gsete cu probabilitatea
α−1 . Observaie: În practic se ia de multe ori %951 =−α . Dac legea de repartiie a variabile este simetric, valoarea central c este des luat ca mijloc al intervalului ],[ ba , adic acesta va lua forma simetric ],[ αα lclc +− , unde αl depinde de legea variabilei, de riscul α i de mrimea volumului eantionului (seleciei). În acest caz se poate defini i
un „coeficient de precizie”, clα .
157
Intervalul de încredere de risc α pentru vaiabila X Acceptm c variabila X urmeaz legea normal ),( σµN . Va trebui atunci s distingem trei cazuri: - µ i σ cunoscui i atunci intervalul ar fi [ ]σµσµ αα uu +− ; ,
unde σ
αα
xu = iar ( ) αµµ αα =+<≤− xXxP , ( αu se afl pe Tabelul
Legii Normale – Anexa 1); - µ necunoscut dar estimat prin m iar σ cunoscut, intervalul de încredere având atunci forma [ ]σσ αα umum +− ; ; - µ i σ ambii necunoscui dar estimai prin m i s esantions≈ când
(dac n este suficient de mare pentru ca 11 ≈+
nn
) i atunci avem
[ ]stmstm vv ,, ; αα +− , unde vt ,α este luat din Tabelul repartiiei Student
(Anexa 2) în cazul 1−= nv grade de libertate. În cazul %5=α , %951 =−α , 96,1=αu iar vt ,α - cu 15=n i
141 =−= nv , va fi 145,2, =vtα . Acest ultim caz este, de departe, cel mai frecvent întâlnit în biostatistic. Într-adevr pentru a determina intervalul unei variabile biologice trebuie de regul estimai i µ i σ prin m i s. Intervalul de încredere de risc α pentru variabila X
Considerând variabila n
XXXX n+++
=...21 , dac
),(~)( σµNXX i , atunci se tie c
nNX
σµ,~ . Intervalul de risc „α ”,
va fi atunci
+−n
un
uσµσµ αα ; , cu αu extras din Tabelul Legii
Normale (Anexa 1). Remarcm c aceast structur a intervalului de încredere are loc i dac )( iXX nu urmeaz legea normal dar n este suficient de mare. Intervalul de încredere de riscα pentru valoarea medie µ
Acceptm din nou c variabila X urmeaz legea normal ),( σµN . Avem dou cazuri:
158
- µ necunoscut (dar estimat prin m) i σ cunoscut, când intervalul
de încredere pentru µ este dat de
+−n
umn
umσσ
αα ; ;
- µ i σ ambii necunoscui (dar estimai prin m i s), când
intervalul de încredere a lui µ este dat de ];[ ,,n
stm
n
stm vv αα +− .
Dac n este suficient de mare (practic 30≥n ) aceast structur a intervalului de încredere rmâne valabil chiar dac variabilele nu mai urmeaz legea normal. Dac, de pild, 3041 >=n , %5=α , 021,240%,5 =t , ultima formul pentru intervalul de încredere se aplic oricare ar fi legea de probabilitate urmat de )( iXX . Intervalul de încredere de riscα pentru dispersia 2σ Presupunem c ),(~)( σµNXX i . Fie n, talia (volumul)
eantionului i 2esantions , dispersia pe eantion. Atunci intervalul de încredere
pentru 2σ va fi dat de
2
/2-v,1
2esantion
2/2v,
2esantion ;
αα χχnsns
, cu 1−= nv iar 2/2v,αχ i 2
/2-v,1 αχ
reprezintând valorile repartiiei 2vχ din tabelele corespunztoare (Anexa 3)
în coloanele 2/α i 2/1 α− . Dac %5=α i 28=v se citesc din tabele 46,442
%5,2;28 =χ i
31,152%5,97;28 =χ .
Aceast formul este utilizat, pentru n mare, chiar dac legea variabilei X nu mai este normal. Dac îns 3040 >=v , tabelele nu mai pot fi utilizate i se folosesc aproximrile (valorile pentru v mare)
96,114022 2%5,97;40 −≈−⋅−⋅ χ
96,114022 2%5,2;40 +≈−⋅−⋅ χ i intervalul de încredere pentru 2σ , cu
riscul %5=α , va deveni ]0498,0;0202,0[ . Intervalul de încredere de riscα a probabilitii (procentajului) p
159
Fie un eantion de talie n, f frecvena relativ asociat eantionului iar p probabilitatea (procentajul) asociat întregii colectiviti. Dac n e suficient de mare (de pild 30≥n ) legea binomial
),( pnB poate fi aproximat suficient de bine prin ),( npqnpN . Frecvena relativ ar avea ca i intervalul de încredere pe
+−
npq
upnpq
up αα ; , cu pq −= 1 . Invers, dac nu se cunoate p (dar
se estimeaz f), intervalul de încredere pentru aceasta ar fi
−+−−n
ffuf
nff
uf)1(
;)1(
αα .
Exemple: 1) O sut de pacieni au primit un nou tratament contra migrenei. La sfâritul tratamentului au fost chestionai dac au sesizat o ameliorare a strii lor. Proporia rspunsurilor favorabile a fost 57%. Care este intervalul de încredere, de risc 5%, pentru probabilitatea (procentajul) ca toi pacienii s fie satisfcui de acest nou tratament? Variabila aleatoare implicat este calitativ cu dou „modaliti” (ameliorare – neameliorare). Avem un eantion de )30(100 >=n i
57,0=f (proporia rspunsurilor favorabile). Intervalul de încredere de risc %5=α pentru probabilitatea p este
−+−−n
ffuf
nff
uf)1(
;)1(
αα adic
]6681,0;472,0[100
43,057,096,157,0;
10043,057,0
96,157,0 ≈
⋅+⋅− .
Înseamn c numrul de pacieni ce ar fi satisfcui (cu 95 de anse din 100) este cuprins între 47,2% i 66,81%. 2) Într-o populaie, proporia (procentajul) indivizilor imunizai fa de un virus este 0,45. Preluând un eantion de talie n ( 30> ) din aceast populaie, s se determine intervalul de încredere de risc α , pentru a gsi în acest eantion o populaie de f indivizi imunizai. Aplicaie: 50=n ; 200=n , %5=α . Avem iar o variabil aleatoare calitativ cu dou „modaliti” (imunizai – neimunizai). Proporia (procentajul) indivizilor imunizai este
45,0=p .
160
Cum 30≥n , intervalul de încredere de risc α pentru f (proporia de indivizi imunizai în eantion) este
−+−−n
ppup
npp
up)1(
;)1(
αα adic, dac %5=α i 50=n
respectiv 200=n s avem: ]58789822,0;31210178,0[ i respectiv ]51894911,0;38105089,0[ .
3) Pe un eantion de 50 de indivizi s-a msurat valoarea ureei sangvine i s-a obinut c media acesteia ar fi Lg /30,0 iar abaterea medie standard Lg /05,0 . a) S se determine estimrile mediei, dispersiei i abaterii medii standard pentru întreaga populaie din care s-a extras eantionul; b) S se determine estimrile acestor parametrii pentru a aparine unor intervale de risc de 5%. Fie X variabila aleatoare cantitativ care msoar nivelul ureei în sânge. Avem, pentru un eantion de talia 50 )30(> , Lgm /30,0= i
Lgsesantion /05,0= . a) – media nivelului de uree µ a întregii populaiei va fi aproximat prin estimatorul Lgm /30,0= . - dispersia 2σ va fi estimat prin 2s , unde
222esantion
2 )/(0026,005,04950
1Lgs
nn
s ≈=−
= .
- abaterea medie standard σ , va fi estimat prin 05050763,02 ≈s i deci σ este estimat prin Lgs /0505,0≈ . b) Intervalul de încredere, de risc α , pentru valoarea medie a ureei în întreaga populaie (cu µ i σ necunoscui, dar 30≥n ) va fi
]1
;1
[ ,, −+
−−
n
stm
n
stm esantion
vesantion
v αα , cu 491 =−= nv .
Din Anexa 2, valoarea 49%;5t se obine prin interpolare linear între
021,240%;5 =t i
016275,24080
021,2000,2)4049(021,2000,2 49%;580%;5 ≈
−−−+== tt , adic
intervalul de încredere pentru µ este ]315,0;285,0[ . În ceea ce privete intervalul de încredere cu risc de 5% pentru 2σ , aceasta ( 3050 >=n iar 491 =−= nv ) este
161
249;97,5%
2esantion
249;2,5%
2esantion ;
χχnsns
.
Folosind aproximarea (pentru n mare)
7245613,69)(96,1972 2%5,2;49%5
2%5,2;49 =⇔−≈−⋅ χχ u
1170387,31)(96,1972 2%5,97;49%5
2%5,97;49 =⇔−−≈−⋅ χχ u
se obine în final intervalul de încredere
]00402,0;00179,0[1170387,31
05,050;
7245613,6905,050 22
≈
⋅⋅ în 22 / Lg .
10.9. Testarea (Verificarea) ipotezelor statistice
Se numete ipotez statistic orice presupunere fcut în legtur cu caracteristica X a unei colectiviti generale fie în ceea ce privete funcia ei de probabilitate, fie în ceea ce privesc parametrii de care depinde aceasta. O astfel de ipotez statistic fiind deci o presupunere se pune problema verificrii corectitudinii ei i, de asemenea, problema alegerii celei mai performante „aproximri” a acesteia din mai multe variante posibile. Acest lucru se va face prin intermediul testelor statistice construite pe baza datelor obinute dintr-un eantion reprezentativ extras din populaia (colectivitatea) considerat. Va fi important a se evalua i „încrederea” pe care o putem da concluziilor noastre sau, mai precis, de a calcula riscul ca decizia noastr s fie eronat. Prin „decizie” vom înelege aici alegerea între dou ipoteze: ipoteza
0H (numit i ipoteza nul) i ipoteza 1H (numit u ipoteza alternativ) în raport cu care se va testa ipoteza 0H . Ambele ipoteze vor fi definite pe colectivitatea general studiat, structura lor fiind în funcie de problema pus. 0H trebuie s fie o ipotez simpl de formulat ea permiând calcule facile în scopul lurii unei decizii. Exemplu: Se analizeaz ansamblul de comprimate, de acelai tip, produse de o main într-un anumit interval de timp în vederea validrii respectivei maini. Dac µ este greutatea medie a comprimatelor produse iar 0µ ar fi greutatea de referin (indicat prin prospectul mainii), cea mai simpl ipotez 0H ar fi 0µµ = iar ipoteza alternativ 1H este 0µµ ≠ .
162
Dup ce s-au formulat ipotezele 0H i 1H , testul statistic va pretinde apoi determinarea unei variabile de decizie D care s aduc maximul de informaii asupra problemei propuse. Legea sa trebuie s fie cunoscut (în condiiile acceptrii lui 0H ). Dup cum este vorba de legea
normal, legea Student, legea 2χ , ... vom nota variabila de decizie prin U ,
T , 2χ , ... Se va pune apoi problema determinrii zonei de respingere (zonei critice) adic ansamblul valorilor variabilei de decizie care conduce la respingerea lui 0H , cu un risc α , fixat de la bun început. Aceasta va reveni
la a determina (prin intermediul tabelelor legii normale, Student, 2χ ,...) a regiunii de respingere a lui 0H sau a intervalului de încredere a variabilei de decizie cu un risc α . Plecând de la datele, obinute pe eantion, noi vom estima variabila D printr-o valoare cd (sau cu , pentru legea normal, ct pentru legea Student, ...). Se va respinge 0H , cu riscul α (adic se va alege 1H !), dac
cd aparine regiunii critice determinat înainte. Exemplu: Acceptând c dup formularea lui 0H i 1H , am stabilit c variabila de decizie, notat cu U, ar urma legea normal )1;0(N . S presupunem c plecând de la datele pe un eantion am stabilit valoarea „experimental” a variabilei de decizie, adic 60,2=cu . Se tie îns c dac )1;0(~ NU zona de nerespingere a lui 0H , cu riscul %5=α este [ ] ]96,1;96,1[; −≡+−∈ σµσµ αα uuu ( 0=µ , 1=σ ,
%5=α , 96,1=αu ) i deci zona de respingere a lui 0H , cu riscul de 5%, este );96,1()96,1;( +∞∪−−∞∈u . Cum ]96,1;96,1[−∉cu se poate respinge, cu risc de 5%, ipoteza 0H . Vom da acum un test de baz care s permit compararea unui parametru observat la o populaie cu un parametru teoretic. Ne vom limita din nou la compararea valorilor medii µ i 0µ (media teoretic) i vom
folosi un eantion reprezentativ de volum n de medie x , i dispersie 2esantions .
Dac ipoteza 0H este din nou 0µµ = iar 01 : µµ ≠H , variabila de decizie
depinde de cunoaterea sau nu a dispersiei 2σ a populaiei întregi.
163
Dac 2σ este cunoscut,
n
XU σ
µ−= , indiferent de legile urmate de
variabilele iX (pentru n mare) va satisface, în condiiile 0H adevrat, ( 0µµ = ) legea )1;0(N .
Valoarea „experimental” a variabilei de decizie U este
n
xu σ
µ0−= .
Deci dac riscul %5=α , intervalul de încredere de risc 5% (zona de nerespingere a lui 0H ) va fi ]96,1;96,1[−∈u iar zona de respingere
);96,1()96,1;( +∞∪−−∞∈u . Exemplu: S presupunem c maina de fabricat comprimate are, conform prospectului su, datele teoretice mg5000 =µ i mg8,110 =σ . Pentru a verifica dac maina nu s-a dereglat, se preleveaz regulat eantionul de 40 de comprimate i se controleaz la acestea greutatea medie (se presupune constant abaterea medie standard 0σσ = ). În timpul unui control, greutatea medie a fost evaluat la mg503 . Se poate spune c maina este dereglat? Fie variabila X, greutatea comprimatelor. Avem, pentru eantion,
40=n i mgx 503= . Vom pune 00 : µµ =H i 01 : µµ ≠H , adic maina va fi considerat dereglat dac media greutii µ , pe întreaga populaie din care
s-a extras eantionul, este diferit de 0µ .
Deoarece 30≥n (sau ),(~ σµNX ), vom putea scrie c 0H este adevrat ( 0µµ = ) )1;0(~ NU i deci dac
[ ] ]96,1;96,1[;
40
8,115005030 −≡+−∈−≡
−= σµσµσ
µαα uu
n
xuc maina nu este
dereglat cu un risc de 5%. Dar, în cazul nostru,
]96,1;96,1[61,1
40
8,11500503 −∈≈−=cu i deci, cu o probabilitate de 95%, nu
putem spune c maina este dereglat.
164
Dac 2σ nu este cunoscut, atunci 0H este adevrat ( 0µµ = ) implic c variabila de decizie ~T legea Student cu n-1 grade de libertate (cu condiia ca ),(~ σµNX sau 30>n ).
Valoarea „experimental”
n
sx
n
sx
tesantion
00 µµ −=
−= va trebui s aparin
intervalului de încredere (cu risc de 5%) pentru ]228,2;228,2[−∈t (zona de nerespingere) i );228,2()228,2;( +∞∪−−∞∈t (zona de respingere), unde am acceptat 11=n i deci 10111 =−=v i am folosit Tabelele pentru Legea Student (Anexa 2). Exemplu Nivelul normal de glicemie este Lg /0,1 . Se dozeaz glicemia la 17 subieci diabetici, nemâncai, timp de 4 ore. Media este de
Lg /2,1 cu o abatere medie standard de Lg /10,0 . Se poate spune, cu riscul de 5%, c aceti subieci sunt hiperglicemici acceptând c nivelul de glicemie urmeaz o lege normal? Variabila studiat X, nivelul de glicemie, urmeaz o lege normal. Eantionul, cu 17=n , are Lgx /2,1= i Lgs /10,0esantion = . Media teoretic (pe o populaie cu subieci normale) ar fi Lg /10 =µ . Vom pune 00 : µµ =H i 01 : µµ >H (media ar fi mai mare decât cea teoretic!). Cum condiia ~X ”o lege normal” este verificat, putem
spune c 0H este adevrat ( 0µµ = ) implic c ~
n
sX µ−
”legea Student T
cu 16=v ” i deci valoarea sa
1esantion
0
−
−=
n
sx
tµ
.
Pentru datele noastre 8
1610,0
12,1 =−=ct , iar zona de nerespingere a lui 0H , cu
un risc de 5%, este ]746,1;(−∞ . Cum valoarea ]746,1;(−∞∉ct se poate spune, cu un risc de 5%, (probabilitate 0,95) c grupul de indivizi este hiperglicemic.
165
11. Anexe
Anexa 1 – Tabele de distribuie a lui U (legea normal redus) )()( uUPuF ≤= )()()( uFuUPuG −=>=
166
Mari valori pentru u
Anexa 2 – Tabele de distribuie pentru T (legea Student) )( tTP ≥=α
=ν numrul gradelor de libertate
167
