Analiza matematică – probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia

2012

1

Model test primitive și integrala nedefinită

1. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 3 2, 1

ln , 1x x x

x x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

2. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 2, 1

( 1)ln , 1x x xx x x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

3. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=, 1

2 , 1

xe e xx x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

4. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 , 0

1, 0

xx e x

x x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

5. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=3 , 0

, 0

x x

x x x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

6. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2

5, 13 1, 1x xx x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

7. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=1 , 12

ln 2, 1

x xx

x x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

8. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 3 2, 1

ln , 1x x x

x x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive.

9. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=1 , 0

1 , 01

x x

x xx

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

10. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x)= 211x

. Să se arate că funcţia F: ,0 R ,

F(x)= 1xx

este o primitivă a funcţiei f.

11. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= xxe . Să se arate că funcţia F: R R, F(x)= ( 1) xx eeste o primitivă a funcţiei f.

12. Se consideră funcţiile f,g: ,0 R , date prin f(x)= 2 lnx x x şi g(x)= 2x + ln x + 1. Săse arate că f este o primitivă a funcţiei g.

Analiza matematică – probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia

2012

2

13. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= 23 2xe x . Să se arate că funcţia F: R R,F(x)= 3 2 1xe x x este o primitivă a funcţiei f.

14. Se consideră funcţia f: ,1 R , f(x)= ln xx

. Să se arate că funcţia g: ,1 R ,

g(x)= 21 ln x

x este o primitivă a funcţiei f.

15. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= 2 2xe x x . Să se arate că funcţia F: R R,

F(x)=3

2 13

x xe x este o primitivă a funcţiei f.

16. Se consideră funcţiile f,F: ,0 R, 1( ) x xf x ex

şi F(x)= lnxe x x . Să se arate

că funcţia F este o primitivă a funcţiei f.17. Se consideră funcţia f: 1,0 R , f(x)= 2x . Să se calculeze 2 ( )f x dx .18. Se consideră funcţia f:

,21 R , f(x)= 2 1x . Să se calculeze 2 ( )f x dx .

19. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x) = 1 11 2x x

. Să se arate că

2( 1)( 2) ( ) 3 , 0x x f x dx x x C x .20. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x)= 1x

x . Să se determine ( )f x dx .

21. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2xe . Să se determine , 0,f x dx x .

22. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2

2

2 11

x xx

. Să se determine 2( 1) ( )x f x dx .23. Se consideră funcţia, f(x)= 1004 2012xx . Să se determine ( )f x dx .

24. Se consideră funcţiile f,g: ,0 R , date prin f(x)= lnx x şi g(x)= 22x

x . Să se

arate că f este o primitivă a funcţiei g.25. Se consideră funcţia f: 0,1 R , f(x)=1– x. Să se determine ( )f x dx .26. Se consideră funcţia f: 2,1 2, ( )f x x

x R . Să se determine ( )f x dx .

27. Să se determine 1 3 x dxx

.

28. Să se determine ( )x x dx .29. Se consideră funcţia f: ,1 R , f(x)= 1ln x

x . Să se arate că funcţia F: ,1 R,

F(x)=(x+1) ln x – x + 1 este o primitivă a funcţiei f.30. Se consideră funcţiile :[0,2]mf R definite prin (2 )

nmf x . Să se determine 1( )f x dx .

Analiza matematică – probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia

2012

3

31. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin (1 )m mmf x x x . Să se determine2 ( )f x dx .

32. Se consideră funcţiile :mf R R definite prin 1m

mf x . Să se determine 1( )f x dx .33. Se consideră funcţiile : 0,1mf R definite prin 2 2 2( ) ( 1) 1,mf x m x m m x unde

mR. Să se calculeze 1( ) .f x dx34. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin

1( 1)m xmf x e . Să se determine

0 ( )xf x e dx .

35. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin ( ) ,nx

nf x e n N . Să se

determine 1( )f x dx .