,

,

TeorieAplicații

Lecția de MATEMATICĂ7Rodica Mărăcineanu Daniela Boanță Elena Țincu Felicia Mădălina Mocanu

Viorel Doia Tănțica Dorela Frâncu Monica Lucica Coadă Nadia GradAlina Chiricioglu Gabriel Vrînceanu Iliana Dumitrescu

Lecția de matematică. Clasa a VII-a Teorie și aplicații

Rodica Mărăcineanu, Daniela Boanță, Elena Țincu, Felicia Mădălina Mocanu, Viorel Doia, Tănțica Dorela Frăncu, Monica Lucica Coadă, Nadia Grad, Alina Chiricioglu, Gabriel Vrînceanu, Iliana Dumitrescu

Copyright © 2018 Grup Media LiteraToate drepturile rezervate

Editura LiteraO.P. 53; C.P. 212, sector 4, București, România

tel.: 021 319 63 90; 031 425 16 19; 0752 548 372 e‑mail: comenzi@litera.ro

Ne puteți vizita pe

Editor: Vidrașcu și fiiiRedactor: Gabriela Niță

Corector: Carmen BîtlanFiguri geometrice și grafice: Banu Gheorghe

Copertă: Dorel MelinteTehnoredactare: Banu Gheorghe

Coordonator departament educațional: Gabriela Niță

Descrierea CIP a Bibliotecii Naționale a RomânieiLecția de matematică : teorie, aplicații : 7

Rodica Mărăcineanu, Daniela Boanță, Elena Țincu, .... București : Litera, 2018

ISBN 978-606- 33-2398- 0I. Mărăcineanu, Rodica

II. Boanță, DanielaIII. Țincu, Elena

51

Cuvânt-înainte

Dragi elevi, citirea acestui cuvânt de întâmpinare ne confirmă faptul că ați considerat necesar și util să deveniți parteneri ai unui proiect detaliat de învățare a matematicii.

În cadrul acestui parteneriat, fiecare și-a asumat roluri bine definite care să asigure succesul învățării:

► colectivul de autori – prin faptul că a structurat în paginile cărții conținuturile programei de clasa a VII-a, evidențiind noțiunile-cheie (termeni, proceduri de calcul, algoritmi), acțiuni-cheie care fundamentează învățarea, zone de exersare și de asigurare a transferului, precum și trimiteri către domenii conexe matematice, către fapte de istorie matematică sau către curiozități din lumea numerelor și a figurilor geometrice;

► voi, elevii – prin faptul că accesarea informațiilor și rezolvarea sarcinilor de lucru propuse în mod etapizat, ritmic, temeinic și personalizat determină construirea unei personalități capabile să comunice argumente și idei bazate pe raționamente logice și să acționeze conștient pentru obținerea de rezultate benefice.

► profesorii care vă coordonează – prin faptul că pot urmări, pe etape, nivelul și calitatea rezolvărilor asociate sarcinilor de lucru din carte, optimizând astfel efortul pe care trebuie să-l depuneți în învățarea matematică;

► părinții care vă susțin – prin faptul că pot stabili, în acord cu voi, planuri de învățare realiste.

Pentru a asigura ușurința în utilizare, materialul grupează conținuturile programei școlare în 9 unități de conținut. Cele 9 unități conțin lecții de consolidare a învățării, oferind un preambul teoretic, urmate de zona de exersare, care introduce gradual elevul în zona de activitate, de la nivel de dificultate scăzut la unul ridicat. Rubrica „Știați că…” are rol de captare a atenției, de furnizare de motivații de învățare, de evidențiere a utilității matematicii în viața de zi cu zi sau în contexte interdisciplinare. La finalul fiecărei unități de conținut există zona de (auto)evaluare, organizată similar testelor propuse la Evaluarea națională (susținută la finalul de clasei a VIII-a), pentru a crea obișnuința cu astfel de evaluări.

Recomandăm ca secvențele de (auto)evaluare să se realizeze respectând următoarele etape:

► după parcurgerea integrală a tuturor activităților asociate unității de învățare; astfel, evaluarea capătă sens;

► după asigurarea tuturor condițiilor necesare evaluării (respectarea timpului, elemente de confort și concentrare – liniște, creion, pix, culori, instrumente de desen etc.).

Nu uitați că la fiecare instrument de evaluare punctajul este de 100 de puncte, compus din 90 de puncte acordate răspunsurilor corecte și 10 puncte (din oficiu).

Un sfat: punctajul pe care îl obțineți este important, însă, pentru a beneficia de toate atuurile evaluării, verificați cu profesorul de la clasă modul în care ați formulat răspunsurile și notați-vă erorile de raționament sau alte observații care vă sunt furnizate pentru a vă îmbunătăți învățarea.

Sperăm ca, la finalul clasei a VII-a, parcurgerea întregului material propus de colectivul de autori să fi contribuit la obținerea unor rezultate școlare foarte bune, sporind, în același timp, încrederea în voi, în puterea voastră de muncă și în puterea ideilor pe baza cărora comunicați cu cei din jur!

Succes!

Colectivul de autori

Cuprins

1 – Mulțimea numerelor raționale .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 8Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor, opusul unui număr rațional; valoarea absolută (modulul). .. .. .. .. .. .. .. .. .. 8

Test – Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor, opusul unui număr rațional; valoarea absolută (modulul) . .. .. .. .. .. .. .. 9

Operații cu numere raționale, proprietăți. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .10Test – Operații cu numere raționale. Proprietăți .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .11

Compararea și ordonarea numerelor raționale. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .12Test – Compararea și ordonarea numerelor raționale. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .13

2 – Mulțimea numerelor reale .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 14Rădăcina pătrată a unui număr natural .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 14

Test – Rădăcina pătrată a unui număr natural . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr‑un număr natural. Aproximări .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 16

Test 1 – Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural. Aproximări. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 17Test 2 – Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr

natural. Aproximări. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 18Exemple de numere iraționale. Mulțimea numerelor reale .. .. .. .. .. .. .. .. 19

Test 1 – Exemple de numere iraționale. Mulțimea numerelor reale .. .. 20Test 2 – Exemple de numere iraționale. Mulțimea numerelor reale . .. 21

Modulul unui număr real. Definiție, proprietăți .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 22Test – Modulul unui număr real .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 23

Compararea și ordonarea numerelor reale .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 24Test – Compararea și ordonarea numerelor reale .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 25

Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări . .. .. 26Test – Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor

prin aproximări .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 27ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 28

Test – ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 29Reguli de calcul cu radicali. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 30

Test – Reguli de calcul cu radicali. Scoaterea factorilor de sub radical .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 31

Reguli de calcul cu radicali. Înmulțirea și împărțirea radicalilor .. .. .. .. .. 32Test – Înmulțirea și împărțirea radicalilor .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 33

Operații cu numere reale (adunare, înmulțire, împărțire, ridicare la putere) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 34

Test – Operații cu numere reale .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 35Raționalizarea numitorului de forma a b .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 36

Test – Raționalizarea numitorului de forma a b .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 36Media aritmetică a n numere reale, n ≥ 2. Media geometrică a două numere reale pozitive .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 38

Test – Media aritmetică a n numere reale, n ≥ 2. Media geometrică a două numere reale pozitive . .. .. .. .. .. .. .. .. 39

3 – Calculul algebric .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 40Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: adunarea și scăderea .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .40

Test – Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: adunarea și scăderea .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 41

Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: înmulțire, împărțire, ridicare la putere .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42

Test – Calcule cu numere reale reprezentate prin litere .. .. .. .. .. .. .. .. .. 43Ordinea operațiilor în calculul cu numere reale reprezentate prin litere .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 44

Test – Ordinea operațiilor în calculul cu numere reale reprezentate prin litere .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 45

Formule de calcul prescurtat .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 46Test – Formule de calcul prescurtat .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 47

Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 48Test – Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ .. .. .. .. .. 49

Rezolvarea ecuațiilor de forma x2 = a, x ∈ ℝ . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 50Test – Rezolvarea ecuațiilor de forma x2 = a, x ∈ ℝ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 51

4 – Ecuații și inecuații . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 52Proprietăți ale relației de egalitate în mulțimea numerelor reale .. .. .. .. 52

Test – Proprietăți ale relației de egalitate în mulțimea numerelor reale .. .53Ecuații liniare. Mulțimea soluțiilor unei ecuații. Ecuații echivalente . .. .. 54

Test – Ecuații liniare. Mulțimea soluțiilor unei ecuații. Ecuații echivalente .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .55

Proprietăți ale relației de inegalitate „≤” pe mulțimea numerelor reale .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .56

Test – Proprietăți ale relației de inegalitate „≤” pe mulțimea numerelor reale .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .57

Inecuații de forma ax + b > 0 ( 0 (

6

Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării. .. .. .. .. .. .. 94Test – Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 95

Criterii de asemănare a triunghiurilor .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 96Test – Criterii de asemănare a triunghiurilor .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 97

8 – Relații metrice în triunghiul dreptunghic .. .. .. .. .. .. .. 98Proiecții ortogonale pe o dreaptă .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 98

Test – Proiecții ortogonale pe o dreaptă .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 99Teorema înălțimii. Teorema catetei .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..100

Test 1 – Teorema înălțimii. Teorema catetei . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..101Test 2 – Teorema înălțimii. Teorema catetei . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..102

Teorema lui Pitagora. Teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora .. .. .. ..103Test 1 – Teorema lui Pitagora.

Teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..104Test 2 – Teorema lui Pitagora.

Teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..105Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..106

Test – Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic . .. .. .. .. .. ..107Rezolvarea triunghiului dreptunghic . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..108

Test – Rezolvarea triunghiului dreptunghic .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..109

9 – Cercul .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..110Cercul: definiție; elemente în cerc: centru, rază, coardă, diametru, arc; interior, exterior; discul. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..110

Test – Cercul: definiție; elemente în cerc: centru, rază, coardă, diametru, arc; interior, exterior; discul .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..111

Unghi la centru; măsura arcelor; arce congruente. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..112Test – Unghi la centru; măsura arcelor; arce congruente .. .. .. .. .. .. .. ..113

Coarde și arce în cerc . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..114Test – Coarde și arce în cerc . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..115

Proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..116Test – Proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă .. .. .. .. .. ..117

Proprietatea arcelor cuprinse între coarde paralele . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..118Test – Proprietatea arcelor cuprinse între coarde paralele .. .. .. .. .. .. ..119

Proprietatea coardelor egal depărtate de centru .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..120Test – Proprietatea coardelor egal depărtate de centru . .. .. .. .. .. .. .. ..121

Unghi înscris în cerc; triunghi înscris în cerc .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..122Test – Unghi înscris în cerc; triunghi înscris în cerc .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..123

Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..124Test – Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc . .. .. .. .. .. .. .. .. ..125

Tangente dintr‑un punct exterior la un cerc .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..126Test – Tangente dintr-un punct exterior la un cerc .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..127

Triunghi circumscris unui cerc .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..128Test – Triunghi circumscris unui cerc .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..129

Poligoane regulate: definiție, desen .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..130Test – Poligoane regulate: definiție, desen . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..131

Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) pentru poligonul regulat cu trei laturi – triunghi echilateral .. .. .. .. .. .. ..132

Test – Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) pentru poligonul regulat cu trei laturi – triunghi echilateral .. ..133

Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) pentru poligonul regulat cu patru laturi – pătrat .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..134

Test – Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) pentru poligonul regulat cu patru laturi – pătrat . .. .. .. .. .. .. .. ..135

Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) pentru poligonul regulat cu șase laturi – hexagonul regulat .. .. .. .. .. .. ..136

Test – Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) pentru poligonul regulat cu șase laturi – hexagonul regulat.. ..137

Lungimea cercului și aria discului .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..138Test – Lungimea cercului și aria discului .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..139

Teze .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..140Teza 1, Semestrul I .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..140Teza 2, Semestrul I .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..141Teza 3, Semestrul al II-lea .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..142Teza 4, Semestrul al II-lea .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..143

10 – Indicații și răspunsuri .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..144

Teste și aplicații

8

1 Mulțimea numerelor raționaleReprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor,

opusul unui număr rațional; valoarea absolută (modulul)

Identificarea caracteristicilor numerelor raționale și a formelor de scriere a acestora în contexte variate. Aplicarea regulilor de calcul cu numere raționale, a estimărilor și a aproximărilor pentru rezolvarea unor

exerciții.Noțiuni-cheie: număr rațional, fracție zecimală, fracție ordinară, fracție reductibilă, axa numerelor, opusul

numărului rațional, parte întreagă, parte fracționară, modulul unui număr rațional.Acțiuni-cheie: scrierea unui număr rațional; aplicarea formulelor de transformare a fracțiilor zecimale în frac-

ții ordinare; aplicarea definiției modulului unui număr rațional pentru exerciții numerice; utilizarea proprietăților modulului pentru efectuarea de calcule; reprezentarea pe axă a numerelor raționale; utilizarea proprietăților părții întregi sau părții fracționare; exemplificarea de numere prin utilizarea noțiunii de opus al unui număr; aplicarea unui procedeu-tip pentru determinarea unei fracții reductibile.

Breviar teoretic

Reprezentarea pe axă a numerelor raționale

Definiție: Un număr rațional se poate exprima printr-un cât neefectuat, a : b, fie printr-o fracție ordinară, ab

, fie printr-o fracție zecimală finită sau periodică (câtul efectuat al numerelor întregi a și b, cu b nenul).

Mulțimea numerelor raționale se notează cu , astfel definim: � �= ∈ ≠ =

ab

a b b a b, , , ( , )0 1

Mulțimea numerelor raționale pozitive o notăm cu + și o definim: � �+ = ∈ ≥ ≠ =

ab

a b a b b a b, , , , , ( , )0 0 1

Mulțimea numerelor raționale negative o notăm cu – și o definim ca fiind: � �− = ∈ < =

ab

a b a b a b, , , , ( , )0 1

Dacă a ∈ , atunci a a1= . Deci avem a ∈ și atunci ⊂ .

Deoarece știm că ⊂ , iar acum am învățat că ⊂ obținem incluziunea ⊂ ⊂ .Definiție: Numim axa numerelor o dreaptă pe care fixăm un punct, numit origine, o unitate de măsură și un

sens pozitiv. Fiecărui număr rațional îi corespunde un unic punct pe axa numerelor.Formulele de transformare a fracțiilor zecimale în fracții ordinare:

a) transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare: a a a a a a an nn0 1 20 1

10, ...

...=

b) transformarea fracțiilor zecimale periodice simple în fracții ordinare: a a a a aa a a

qq

q

0 1 2 0

1 2

999 9,( )

...

...…

���=

cifrec) transformarea fracțiilor zecimale periodice mixte în fracții ordinare:

a a a a a b b b aa a a a b b b b a a a

p qp q

0 1 2 3 1 2 0

1 2 3 1 2 3 1 2 3, ( ... )

... ... ...… =

− aap

q p

999 9000 09

... ...cifre de și cifre de 0

Partea întreagă a unui număr rațional x este acel număr întreg notat [x], astfel încât să avem [x] ≤ x < [x] +1.Numărul x – [x] se numește partea fracționară a numărului rațional x și se notează cu {x}. Pentru orice număr rațional x, avem 0 ≤ {x} < 1.Oricare ar fi numărul rațional x, avem x = [x] + {x}.Orice număr rațional pozitiv se reprezintă printr-o fracție zecimală de forma x a a a a= 0 1 2 3, unde a0 este

partea întreagă a lui x și se notează cu [x], iar 0 1 2 3,a a a este partea fracționară a lui x și se notează cu {x}.

9Unitatea 1   Mulțimea numerelor raționale

TEST – Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor, opusul unui număr rațional; valoarea absolută (modulul)

Subiectul I. Scrieți doar rezultatul final. (30 p.)

5p 1. Fracția 5

8 se scrie sub formă de fracție zecimală astfel … .

5p 2. Fracția zecimală 3,(459) se scrie sub formă de fracție ordinară astfel … .5p 3. Partea întreagă a numărului 1,43 este … .5p 4. Partea fracționară a numărului –3,25 este … .

5p 5. Fie mulțimea A = − − − − − −

4

9

1

6

3

80 8 0 6 9

1

0 3

1

0 125

14

7

18

32 2; ; ; , , , ( ); ;

, ( );,

; ; ; ( )

∩ =A N 5p 6. Numerele întregi n pentru care |n| ≤ 5 sunt egale cu … .

Subiectul al II-lea. Scrieți rezolvările complete. (30 p.)

5p 1. Determinați x ∈ pentru care: | |x − =1 12

5p 2. Care este a 2015-a zecimală a numărului 1,432(867).3. Reprezentați pe axă numerele raționale care satisfac relațiile:

5p a) |x| = 3

5p b) |x| = 1

2

5p c) |x| = 1

5p d) |x| = 2

5

Subiectul al III-lea. Scrieți rezolvările complete. (30 p.)1. Se dau mulțimile: A = {3, 4, 5} și B = {0, 2, –3}.

5p a) Reprezentați pe axă elementele celor două mulțimi de mai sus.

5p b) Determinați mulțimea H x y x A y B= + ∈ ∈{ }/ , .

5p c) Determinați mulțimea S xy

x B y A= ∈ ∈

/ , .

2. Se dă fracția 2 35 4

xx++

, x număr întreg.

5p a) Determinați forma generală a lui x pentru care fracția este reductibilă.5p b) Determinați forma generală a lui x pentru care fracția este ireductibilă.

5p c) Calculați suma celor mai mici 99 de numere naturale nenule x pentru care fracția 2 3

5 4

xx++

este reductibilă.

10

1Operații cu numere raționale, proprietăți

Identificarea caracteristicilor numerelor raționale și a formelor de scriere a acestora în contexte variate. Utilizarea proprietăților operațiilor în efectuarea calculelor cu numere raționale. Determinarea regulilor eficiente de calcul în efectuarea operațiilor cu numere raționale. Interpretarea matematică a unor probleme practice prin utilizarea operațiilor cu numere raționale și a

ordinii efectuării operațiilor.Noțiuni-cheie: număr rațional, inversul unui număr rațional, distributivitate, semn.Acțiuni-cheie: utilizarea proprietăților operațiilor în efectuarea calculelor cu numere raționale; utilizarea

regulilor de semn; recunoașterea și exemplificarea de numere prin utilizarea noțiunii de invers asociată unui număr rațional, rezolvarea de exerciții care implică noțiunile-cheie.

Breviar teoreticAdunarea numerelor raționale. ProprietățiPrin adunarea a două numere raționale a și b se obține un număr rațional, notat a + b, numit suma numerelor

a și b. Numerele a și b se numesc termenii sumei. Pentru a aduna două numere raționale, procedăm astfel:• dacă a și b au același semn, se adună modulele lor și se scrie în fața rezultatului semnul comun;• dacă a și b au semne diferite, se scad modulele lor (din cel mai mare pe cel mai mic) și se scrie în fața

rezultatului semnul numărului cu modulul mai mare.În mulțimea numerelor raționale:• adunarea este asociativă: (a + b) + c = a + (b + c);• 0 este element neutru față de adunare: a + 0 = 0 + a = a;• pentru oricare a există –a, opusul lui a, astfel încât: a + (–a) = (–a) + a = 0;• adunarea este comutativă: a + b = b + a, pentru a, b, c ∈ .Scăderea numerelor raționale• prin scăderea a două numere raționale a și b se obține un număr rațional c, notat a – b, pentru care a = b + c.• c se numește diferența numerelor a și b, iar a este descăzutul și b este scăzătorul.• diferența a două numere raționale se efectuează adunând descăzutul cu opusul scăzătorului: a – b = a + (–b).• o succesiune de adunări și de scăderi de numere se numește sumă algebrică.Înmulțirea numerelor raționale. Proprietăți• prin înmulțirea a două numere raționale a și b se obține un număr rațional, notat a · b; a și b se numesc fac-

torii produsului.• dacă a = 0 sau b = 0, atunci a · b = 0.• dacă a și b au același semn, atunci a · b = |a| · |b|.• dacă a și b au semne diferite, atunci a · b = – (|a| · |b|).• produsul dintre un număr a și –1 este opusul numărului a, a · (–1) = –a, pentru orice număr rațional a.În mulțimea numerelor raționale, înmulțirea are următoarele proprietăți:• este comutativă: a · b = b · a;• este asociativă: a · (b · c) = (a · b) · c;• 1 este element neutru față de înmulțire: a ·1 = 1 · a = a;• este distributivă față de adunare și față de scădere: a · (b + c) = a · b + a · c și a · (b – c) = a· b – a · c, pentru orice a, b, c ∈ .Împărțirea numerelor raționale. Proprietăți

• Dacă a, b ∈ *, numărului rațional ab

i se asociază numărul rațional ba

, numit inversul numărului ab

.

Se notează ab

ba

=−1

.

• Dacă p și q sunt numere raționale și q ≠ 0, câtul dintre p și q, notat p : q, este acel număr rațional c, pentru care p = q · c, unde p este deîmpărțitul și q este împărțitorul.

• Împărțirea a două numere raționale se efectuează înmulțind deîmpărțitul cu inversul împărțitorului.• Produsul dintre un număr și inversul lui este egal cu 1.

Mulțimea numerelor raționale