160

LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER

ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS.

JUSTIFICACIÓN

En esta lección centraremos nuestro estudio en aquellas ecuaciones

diferenciales homogéneas mediante la aplicación de operaciones elementales y ciertos

cambios de variable, en cuyo caso se dirá que son ecuaciones diferenciales

reducibles a homogéneas.

Dichas ecuaciones diferenciales tienen la forma:

(a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0

donde

a1x + b1y + c1 = 0 y a2x + b2y + c2 = 0

son rectas.

Con base en la posición relativa de dos rectas en el plano se estudiarán dos

casos, cuando las rectas se cortan (tienen un punto en común) y cuando las rectas son

paralelas.

OBJETIVOS:

El estudiante podrá:

1- Identificar si la ecuación diferencial es reducible a homogénea.

2- Transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial

homogénea.

161

3- Obtener la solución general de ecuaciones diferenciales reducibles a

homogéneas.

PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

INTRODUCCIÓN:

En la Lección 6 ¿Qué estudiamos?

Estudiamos las funciones homogéneas.

¿Pueden decirme cuál es el criterio por medio del cual se establece que una

función dada es homogénea con grado n de homogeneidad?

Una función F(x,y) será homogénea de grado n de homogeneidad si se satisface

la igualdad F(λx, λy) = λn F(x,y).

Muy bien ¿Qué más estudiamos?

Estudiamos una proposición que cumple toda función homogénea, la cual dice

que si F(x,y) es una función homogénea con grado n de homogeneidad entonces

F(x,y) = xn f ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

xy

¿Podrían darme un ejemplo de una función homogénea e indicar el grado de

homogeneidad?

162

Por ejemplo, F(x,y) = x3y – 3x2y2 – 2xy3, es una función homogénea de grado

4 de homogeneidad.

Muy bien. Si le aplican la proposición a la función F(x,y) del ejemplo ¿Cómo

se transforma?

Se transforma en:

F(x,y) = x4 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

32

23xy

xy

xy

Correcto ¿Qué otro aspecto estudiamos?

Estudiamos la definición de ecuación diferencial homogénea.

Exacto ¿Qué característica dijimos que debían tener las funciones P(x,y) y

Q(x,y) para que la ecuación diferencial fuese homogénea?

Dijimos que para que la ecuación diferencial P(x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 fuese

homogénea, las funciones P(x,y), Q(x,y) debían ser homogéneas con igual grado de

homogeneidad.

Muy bien. ¿Podrían darme algún ejemplo de una ecuación diferencial

homogénea?

163

Por ejemplo, (3x2y + 2y3) dx + (5y2x – 4x3) dy = 0 es una ecuación diferencial

homogénea, ya que P(x,y) = 3x2y + 2y3 , Q(x1y) = 5y2x – 4x3 son ambas funciones

homogéneas con grado 3 de homogeneidad.

Excelente ¿Qué otro aspecto tratamos?

Vimos cuales eran los pasos que debían seguirse para obtener la solución

general de una ecuación diferencial homogénea.

Exactamente. ¿Podrían enumerarme esos pasos?

Para obtener la solución general de la ecuación diferencial

P(x,y) dx + Q (x,y) dy = 0

1- Se debe chequear que las funciones P(x,y) , Q(x,y) son homogéneas con igual

grado de homogeneidad.

2- Si el grado de homogeneidad de ambas funciones es “n”, se aplica la

proposición, es decir se saca factor común xn (o yn)

3- Se multiplica la ecuación por nx1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ny

1tambiéno obteniéndose:

0dyxyqdx

xyp =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0dy

yxqdx

yxp

4- Ya que p y q quedan dependiendo de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yxdeo se efectúa el cambio

de variable

164

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=⇒=

vdxxdvdy

vxyxy

v

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=⇒=

vdyydvdx

vyxyxv

resultando

p(v) dx + q(v) (xdv + vdx) = 0 (o p(v) (ydv + vdy) + q(v) dy = 0)

5- Sacamos factor común dx (o dy)

[p(v) + v q(v)] dx + x q(v) dv = 0 (o [vp(v) + q(v)] dy + y p(v) dv = 0

6- Se multiplica la ecuación por el factor

q(v)] v x[p(v)1+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ q(v)] y[vp(v)

1o

para obtener

0dv)v(vq)v(p

)v(qx

dx=

++ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

++ 0dv

)v(q)v(vp)v(p

ydyo

que es una ecuación diferencial de variables separadas.

7- Se integra cada término de la ecuación de variables separadas obtenida en el

paso 6.

8- Se resuelven las integrales.

9- Se devuelven los cambios de variables efectuados.

10- De ser posible se despeja “y”.

Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden reducible a homogénea

165

Consideren la ecuación diferencial

(2x + 5y + 1) dx – (4x + y – 1) dy = 0

¿Qué tipo de lugar geométrico representan las ecuaciones

2x + 5y + 1 = 0 y 4x + y – 1 = 0

Son rectas en el plano.

Correcto. ¿Qué necesitan identificar en cada recta para poder establecer la

posición relativa entre ellas?

Necesitamos conocer la pendiente de las rectas, sus vectores directores o sus

vectores normales.

Exacto. ¿Cuál es la pendiente para cada una de las rectas del ejemplo? ¿Cómo

las obtienen?

Las pendientes las obtenemos despejando “y” en cada ecuación. Así:

y = - 52 x -

51 y = - 4x + 1

Por lo tanto, la pendiente de la primera recta, llamémosla m1, es m1 = - 52 ; la

pendiente de la segunda recta, llamémosla m2, es m2 = - 4.

Bien. ¿Cuál será el vector normal y el vector director en cada una de ellas?

El vector normal es el que tiene por coordenadas los coeficientes de x e y

respectivamente. Así, el vector normal para la primera recta, llamémoslo N1 es,

166

N1 = (2,5); el vector normal para la segunda recta, llamémoslo N2, es N2 = (4,1).

Respectivamente los vectores directores serán, L1 = (5, - 2) y L2 = (1, - 4).

Muy bien. Con toda esa información ¿Cuál es entonces la posición relativa

entre las dos rectas y por qué?

Las rectas no son paralelas, se cortan, ya que sus pendientes son distintas y sus

vectores normales y directores no son proporcionales entre sí.

Exactamente. ¿Qué significa que las rectas se cortan?

Significa que existe un punto de coordenadas (h,k) por donde pasan ambas

rectas, es decir, el punto (h,k) es el punto de intersección de las dos rectas.

Correcto. Debemos determinar las coordenadas de dicho punto ¿Cómo lo

hacemos?

Ya que el punto (h, k) es común a ambas rectas, satisface sus ecuaciones, es

decir, 2h +5k + 1 = 0 y 4h + k – 1 = 0. Por lo tanto, para obtener los valores de h y

k bastará con resolver el sistema de ecuaciones.

⎩⎨⎧

=−+=++01kh401k5h2

Exacto. ¿Cómo resuelven el sistema?

Si la segunda ecuación la multiplicamos por (-5) y sumamos con la primera

ecuación.

167

⎩⎨⎧

=+−−=−+

05k5h2001k5h2

⇒ -18h + 6 = 0 ⇒ h = 1/3

el valor obtenido de h se sustituye en la ecuación 4h + k – 1 = 0 y se despeja k,

obteniéndose k = 1 – 4 31 = -

31 .

Muy bien. ¿Cuáles son entonces las coordenadas del punto de intersección?

♦ Las coordenadas del punto de intersección son (h,k) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31,

31

Lo que plantea ahora es realizar una traslación de ejes al punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31,

31

¿Recuerdan cómo debe hacerse eso?

♦ Se hace a través del cambio de variables

⎩⎨⎧

+=+=

kvyhux

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇒−=

=⇒+=

dvdy31vy

dudx31ux

Correcto. Con este cambio de variable ¿Cómo se transforma la ecuación

diferencial?

♦ La ecuación diferencial se transforma en:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 1

31v5

31u2 du - ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 1

31v5

31u4 dv = 0

esto es, (2u + 5v) du – (4u + v) dv = 0

168

La ecuación diferencial obtenida ¿De cuál de los tipos de ecuaciones

diferenciales estudiadas, es y por qué?

♦ La ecuación diferencial obtenida es una ecuación diferencial homogénea, ya

que las funciones

F(u,v) = 2u + 5v G(u,v) = 4u + v

son homogéneas con grado 1 de homogeneidad.

Excelente. ¿Qué paso deberán seguir ahora?

Aplicarles la proposición a las funciones F(u,v) y G(u,v). Esto es,

F(u,v) = u ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

uv52 G(u,v) = u ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

uv4

Si sustituyen este resultado en la ecuación diferencial ¿Qué obtienen?

♦ Al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos:

u ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

uv52 du – u ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

uv4 dv = 0

¿Qué paso sigue?

♦ Multiplicar por u1 (u ≠ 0), para obtener

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

uv52 du – u ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

uv4 dv = 0

Qué hacen ahora?

♦ Ahora debemos realizar el cambio de variable.

169

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=⇒=

=

duzdzudvzuvuvz

¿Cómo se transforma la ecuación diferencial con este cambio?

♦ La ecuación diferencial queda:

(2 + 5z) du – (4 + z) (udz + zdu) = 0

¿Qué deben hacer ahora ?

♦ Debemos sacar su factor común, resultando:

[2 + 5z – (4 + z) z] du – u (4 + z) dz = 0

o equivalentemente

(- z2 + z +2) du – u (4 + z) dz = 0

¿Qué deben hacer a continuación?

♦ Debemos separar las variables, multiplicando por el factor 2) z z (-u

12 ++

obteniendo:

0dz 2)- z (z

z4u

du2 =−+

+

Muy bien. ¿Qué tipo de ecuación obtuvieron?

♦ Obtuvimos una ecuación diferencial de variables separadas.

Exacto. ¿Cuál es el siguiente paso?

170

♦ El siguiente paso es integrar cada término

Cdz2zz

z4u

du2 =

−−+

+∫ ∫ (#)

¿Cómo resuelven ∫ udu ?

♦ Es inmediata, ∫ udu = ln |u|

Correcto. ¿Cómo resuelven dz2zz

z42∫ −−+ ?

♦ Factorizamos el polinomio - z2 + z +2 = (z – 2) (z + 1) y aplicamos el

método de descomposición en fracciones parciales, esto es:

1zB

2zA

2zzz4

2 ++

−=

−−+

A y B constantes a determinar

¿Qué paso sigue?

♦ Multiplicamos a ambos lados por (z – 2) (z + 1) obteniendo:

4 + z = (z + 1) A + (z – 2) B ⇒ 4 + z = (A + B) z + (A – 2B).

¿Qué deben hacer ahora?

♦ Se deben comparar los coeficientes de los términos a ambos lados de la

igualdad, resultando que:

171

⎩⎨⎧

=−=+

)2(4B2A)1(1BA

Restando (1) y (2) queda 3B = -3, es decir, B = -1. De (1) despejamos A,

obteniendo A = 1 – B, por lo tanto, A = 2.

¿Qué hacen ahora con los valores que obtuvieron para A y B?

♦ Lo sustituimos en la descomposición en fracciones parciales, quedando:

1z1

2z2

2zzz4

2 +−

+−

=−−

+

Muy bien. ¿Cuál es el siguiente paso?

♦ Integrar cada término respecto de x:

dz2zz

z42∫ −−+ = 2 ∫∫ +

−− 1z

dz2z

dz

¿Cómo resuelven las integrales?

♦ Son inmediatas, ya que:

∫∫ −−

=− 2z

)2z(d2z

dz = ln |z – 2|

∫∫ =++

=−+ 1z

)1z(d1z

dz ln |z + 1|

¿Cuál es entones el resultado de dz2zz

z42∫ −−+ ?

172

♦ El resultado es

dz2zz

z42∫ −−+ = 2 ln |z – 2| - ln |z + 1|

Muy bien. ¿Qué deben hacer ahora?

♦ Sumar los resultados de las integrales e igualar a la constante C (es decir,

sustituir en (#))

ln |u| + 2 ln |z – 2| - ln |z + 1| = C

¿Es esta la solución de la ecuación diferencial que estamos resolviendo?

♦ No. Hay que devolver los cambios de variables.

Correcto. Hagámoslo ¿Quién es u y quién es z en función de x e y?

♦ En el primer cambio de variable

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+=⇒−=

−=−=⇒+=

31v3

31yv

31vy

31x3

31xu

31ux

en el segundo cambio de variable

z = uv ⇒ z =

3131

−

+

x

y =

1313

−+

xy

Por lo tanto, el resultado queda

173

ln 3

1x3 − + 2 ln 21313−

−+

xy - ln 1

1313+

−+

xy = C

o equivalentemente

ln 3

13 −x + 2 ln 13

363−++

xxy - ln

13133

−+x

xy = C

¿Podrá simplificarse más esta solución? ¿Cómo lo harían?

♦ Si se puede simplificar más, aplicando las propiedades de logaritmo, es decir,

ln ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1333

13363

313 2

xxyx

xyx

= C

aplicando "e" a ambos lados:

)(3)13(

)13()12(3

313

2

22

xyx

xxyx

+−

−++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − = eC

simplificando, resulta:

( )k

xy1x2y 2

=+++

esto es, (y + 2x + 1)2 = k |y + x|

¿Qué concluyen entonces?

♦ Concluimos que (y + 2x + 1)2 = k |y + x| es la solución general de la

ecuación diferencial (2x + 5y + 1) dx – (4x + y – 1) dy = 0

174

Abran sus guías en la página 29 y leamos la información que allí aparece.

CASO 1: LA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIENE LA FORMA

e

P

(a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0

CON a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 RECTAS QUE SE CORTAN,

Este tipo de ecuación diferencial es reducible a homogénea. Para

transformar dicha ecuación en una ecuación diferencial homogénea se

deben realizar los siguientes pasos:

1- Obtener las coordenadas del punto (h,k) de intersección entre las dos

rectas, es decir, resolver el sistema de ecuaciones

⎧ =++ 0ckbha

2- Realizar el cambio de va

⎩⎨⎧

3- Resolver la ecuación dife

realizado el cambio de varia

4- Devolver los cambios de

5- De ser posible despejar "

Ahora van a disponer de

n sus guías en la página 29

ROBLEMA 1:

Obtenga la solución gen

⎩⎨

=++ 0ckbha 222

111

riables

=⇒+==⇒+=

dvdykvydudxhux

rencial homogénea que resulta luego de

bles

variables

y"

diez minutos para resolver el Problema 1 que aparece

eral de la ecuación diferencial:

175

5y2x31y3x2

dxdy

−−++

=

Revisemos que procedimientos utilizaron para resolver el Problema 1.

¿Qué es lo primero que deben hacer?

♦ Escribir la ecuación diferencial de la forma:

(a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2 )= 0

Muy bien ¿Cómo queda entonces la ecuación diferencial?

♦ La ecuación diferencial queda de la forma:

(2x + 3y + 1) dx + (2y – 3x + 5) dy = 0

Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?

♦ Determinar la posición relativa entre las rectas

2x + 3y + 1 = 0 2y – 3x + 5 = 0

¿Cómo determinar la posición relativa?

♦ Buscando las pendientes o los vectores normales.

¿Cómo hayan las pendientes de las rectas?

♦ Despejando “y” en cada una de las ecuaciones, obteniendo

176

y = - 32 -

31 y =

23 x -

25

así la pendiente de la primera recta es m1 = - 32 y la pendiente de la segunda recta es

m2 = 23

¿Qué conclusión obtienen sobre la posición relativa de las rectas?

♦ Que como m1 ≠ m2, entonces las rectas se cortan.

Muy bien. ¿Qué deberán hacer a continuación?

♦ Debemos buscar las coordenadas (h,k) del punto de intersección entre las dos

rectas, para lo cual resolvemos el sistema de ecuaciones:

⎩⎨⎧

=++−=++

)2(05k2h3)1(01k3h2

¿Cómo resuelven el sistema?

♦ La ecuación (1) la multiplicamos por 3 y la ecuación (2) la multiplicamos por

2, luego sumamos las dos ecuaciones que resultan:

⎩⎨⎧

=++−=++

010k4h603k9h6

⇒ 13k +13 = 0 ⇒ k = 1

Lograron obtener el valor de k, ¿Cómo obtienen el valor de h?

♦ Despejando h de la ecuación (1). Así,

177

h = 2

k31−−

Sustituyendo el valor de k = -1, resulta h = 1.

Muy bien. Luego que ya han conseguido las coordenadas del punto de

intersección ¿Qué deberán hacer?

♦ Debemos realizar un cambio de variables

⎩⎨⎧

+=+=

kvyhux

⇒ ⎩⎨⎧

=⇒−==⇒+=

dvdy1vydudx1ux

¿Cómo les queda la ecuación diferencial al sustituir el cambio de variables?

♦ La ecuación diferencial queda:

[2(u + 1) + 3(v – 1) + 1] du + [2(v - 1) + 3(u + 1) + 5] dv = 0

o equivalentemente:

(2u + 3v) du + (2v - 3u) dv = 0

Esa última ecuación diferencial obtenida ¿de qué tipo es?

♦ Es una ecuación diferencial homogénea.

¿Por qué?

♦ Porque las funciones (2u + 3v) y (2v – 3u) son homogéneas con grado 1 de

homogeneidad.

Exactamente. ¿Qué hacen ahora?

178

♦ Aplicamos la proposición a ambas funciones, resultando:

u ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

uv32 du + u ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 3

uv2 dv = 0 (u ≠ 0)

¿Cuál es el siguiente paso?

♦ Multiplicar la ecuación diferencial por u1 (u ≠ 0) para obtener

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

uv32 du + ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 3

uv2 dv = 0

¿De quién dependen ahora las funciones que aparecen en la ecuación

diferencial?

♦ Ambas dependen de uv

¿Qué se sugiere hacer?

♦ Se sugiere hacer el cambio de variables

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=⇒=

duzdzudv

zuvuvz

Al sustituir este nuevo cambio de variables ¿cómo se transforma la ecuación

diferencial?

♦ La ecuación diferencial se transforma en:

179

(2 + 3z) du + (2z – 3) (udz + zdu) = 0

Bien. ¿Qué deberán hacer ahora ?

♦ Debemos sacar factor común du

[2 + 3z + z (2z – 3)] du + u (2z – 3) dz = 0

o equivalentemente:

(2z2 + 2) du + u (2z – 3) dz = 0

¿Qué tipo de ecuación diferencial obtuvieron?

♦ Obtuvimos una ecuación diferencial de variable separable.

¿Cómo separan las variables?

♦ Multiplicando por el factor 2) z z (-u

12 ++

Exacto. ¿Cómo les queda la ecuación?

♦ La ecuación queda

0dz2z2

3z2u

du2 =+−

+

que es la ecuación de variables separadas.

Luego de separadas las variables ¿Cuál es el siguiente paso?

♦ El siguiente paso es integrar cada término

∫ udu + ∫ +

−2z2

3z22 dz = C (#)

180

¿Cómo resuelven ∫ udu ?

♦ Esa integral es inmediata: ∫ udu = ln |u|

¿Cómo resuelven ∫ +−

2z23z2

2 dz = 0

♦ Separamos en dos integrales:

∫ +−

2z23z2

2 dz = ∫ + )1z(2z2

2 dz - ∫ + )1z(2dz2

= 21 ∫ +

+)1z()1z(d

2

2

- 21 ∫ +1z

dz2

= 21 ln |z2 + 1| -

21 arctg z

Resueltas las integrales ¿Qué deben hacer?

♦ Debemos sustituir los resultados de las integrales en (#), obteniendo:

ln |u| + 21 ln |z2 + 1| -

21 arctg z = C

Correcto. ¿Qué les falta ahora?

♦ Falta devolver los cambios de variables.

⎩⎨⎧

+=⇒−=−=⇒+=

1yv1vy1xu1ux

z = uv =

11

−+

xy

181

sustituyendo queda:

ln | x -1| + 21 ln 1

1x1y 2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ -

21 arctg ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1x1y = C

¿Será posible simplificar ésta última ecuación?

♦ Si. Multiplicando por 2 y luego aplicando propiedades de logaritmo resulta:

ln ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−++

− 2

222

)1x(1x1y1x = 2 C + arctg ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1x1y

simplificando y aplicando "e" a ambos lados

y2 + x2 + 2y – 2x + 2 = k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1x1yarctg

e

¿Qué concluyen entonces?

♦ Concluimos que la función y2 + x2 + 2y – 2x + 2 = k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1x1yarctg

e es la solución

diferencial 5y2x31y3x2

dxdy

−−++

=

El Problema 2 que aparece en sus guías, les queda como ejercicio a fin de que

refuercen los conocimientos, acerca de los aspectos tratados hasta el momento.

PROBLEMA 2:

Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones

diferenciales:

1- (3x – y + a) y1 = 10 - 2x + 2y

182

2- (2x + 3y + 4) dx = (x + y – 1) dy

3- (2x + 2y) dx = (4x + 6y + 1) dy

4- 1yx5y3x

dxdy

−+−−

=

5- (3x + y + 1) y1 = x + 3y – 1

6- 1yx3yx

dxdy

++−−

=

7- yx

6yxdxdy

−−+

=

8- (2x - 5y + 3) dx - (2x + 4y – 6) dy = 0

9- (x – y – 1) + (4y + x – 1) y1 = 0

10- (x + y) dx + (x – y) dy = 0