Le sorprende que yo esté trabajando simultáneamente … de Matematicas.pdfVARIABLE COMPLEJA 1 HISTORIA DE LA VARIABLE COMPLEJA 2 Los números complejos 2 Funciones de variable compleja

I

Le sorprende que yo est trabajando simultneamente en literatura y matemticas. Muchas personas que no han tenido nunca la oportunidad de aprender que son las matemticas, las confunden con la aritmtica y la consideran una ciencia rida y fra. El hecho es que es la ciencia que ms imaginacin necesita. Uno de los ms grandes matemticos de nuestro siglo dice muy acertadamente que es imposible ser matemtico sin ser un poeta de espritu. A m me parece que el poeta debe ser capaz de ver lo que los dems no ven, debe ver ms profundamente que otras personas. Y el matemtico debe hacer lo mismo.

Sonya Kovalevskaya

II

ANLISIS MATEMTICO

MARA MOLERO APARICIO

ADELA SALVADOR ALCAIDE

TRINIDAD MENARGUEZ PALANCA

LUIS GARMENDIA SALVADOR

III

CONTENIDO

CONTENIDO I

PRLOGO XI VARIABLE COMPLEJA 1

HISTORIA DE LA VARIABLE COMPLEJA 2 Los nmeros complejos 2 Funciones de variable compleja 5

La funcin logaritmo 6 Integracin 8

Cauchy y la variable compleja 9 Riemann y la variable compleja 12 Weierstrass y la variable compleja 13

CAPTULO 1. Los nmeros complejos 17 1.1. EL CUERPO DE LOS NMEROS COMPLEJOS 18

1.1.1. Nmeros complejos en forma binmica 19 1.1.2. Operaciones en forma binmica 20 1.1.3. Propiedades algebraicas 21

Ejemplos resueltos 23 Ejercicios 23

1.2. REPRESENTACIN GEOMTRICA. DIAGRAMA DE ARGAND 25 Ejemplos resueltos 27 Ejercicios 29

1.3. FORMA POLAR 30 1.3.1. Mdulo 30 1.3.2. Argumento 31 1.3.3. Propiedades del mdulo, del conjugado y del

argumento de un nmero complejo 32 1.3.4. Forma polar 33


1.4. FORMA EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO 37 1.4.1. Operaciones entre nmeros complejos en forma exponencial 37 1.4.2. Frmula de Moivre 40


1.5. TOPOLOGA DEL PLANO COMPLEJO 43 Ejemplos resueltos 47 Ejercicios 47

1.6. LA ESFERA DE RIEMANN. PROYECCIN ESTEREOGRFICA. 48 Ejercicios 51

1.7. EJERCICIOS 52

IV

CAPTULO 2. Funciones complejas 57 2.1. DEFINICIN. FUNCIONES ELEMENTALES 59

2.1.1. Definicin de funcin compleja 59 2.1.2. Funciones Elementales 60

2.1.2.1. Polinomios 60 2.1.2.2. Funciones racionales 61 2.1.2.3. Funcin exponencial 61 2.1.2.4. Funciones trigonomtricas 63 2.1.2.5. Funciones hiperblicas 65 2.1.2.6. Funcin logaritmo 66 2.1.2.7. Funciones definidas como potencias 68 Ejemplos resueltos 70 Ejercicios 74

2.2. LMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. 76 2.2.1. Lmites de funciones 76 2.2.2. Lmites en el infinito. Lmites infinitos 76 2.2.3. Continuidad. 77


2.3. DERIVADA COMPLEJA 82 2.3.1. Definicin de derivada 82 2.3.2. Propiedades 85 2.3.3. Condiciones de Cauchy Riemann. 86 2.3.4. Estudio de la derivada de distintas funciones 89


2.4. FUNCIONES HOLOMORFAS 94 2.4.1. Funciones holomorfas. Definiciones 95 2.4.2. Estudio de la holomorfa de las distintas funciones 95 2.4.3. Propiedades de las funciones holomorfas 96


2.5. FUNCIONES ARMNICAS 99 2.5.1. Funciones armnicas. Definicin 99 2.5.2. Propiedades de las funciones armnicas. 101


2.6. EJERCICIOS 104

CAPTULO 3. Series complejas 111 3.1. SUCESIONES Y SERIES DE NMEROS COMPLEJOS 113


3.2. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES COMPLEJAS 120 3.2.1. Sucesiones de funciones complejas 120 3.2.2. Series de funciones complejas. Definicin y convergencia 122 3.2.3. Series de funciones complejas. Continuidad y derivabilidad 125


V

3.3. SERIES DE POTENCIAS 129 3.3.1. Definicin. Convergencia de una serie de potencias 129

Ejemplos resueltos 135 3.3.2. Funciones definidas por series de potencias 136


3.4. FUNCIONES ANALTICAS 145 3.4.1. Definicin y propiedades 145 3.4.2. Desarrollos en serie de funciones 147 3.4.3. Prolongacin analtica 148


3.5. SERIES DE LAURENT 154 3.5.1. Series de Laurent. Definicin y convergencia 154 3.5.2. Representacin de funciones en series de Laurent 158

Ejercicios 163 3.6. EJERCICIOS 163

CAPTULO 4. Integracin en el plano complejo 169 4.1. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. 170


4.2. INTEGRACIN SOBRE CAMINOS. 179 4.2.1. Integral de una funcin sobre un camino 180 4.2.2. Relacin de la integral compleja con la integral curvilnea real 181 4.2.3. Propiedades elementales 182


4.3. NDICE DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CURVA. 190 4.3.1. Definicin de ndice 190 4.3.2. ndice y homotopa 192 4.3.3. ndice y conexin 193


4.4. TEOREMA DE CAUCHY. 196 4.4.1. Primitivas 196 4.4.2. Distintos enunciados del teorema de Cauchy. 199

Versin primera del Teorema de Cauchy 200 Lema de Goursat 201 Teorema de Cauchy para un disco 205 Teorema de Cauchy para caminos homtopos 206 Teorema de Cauchy en dominios simplemente conexos 207 Teorema de Cauchy-Goursat 208 Ejemplos resueltos 208 Ejercicios 209

4.5. INTERPRETACIN FSICA Y GEOMTRICA DE LA INTEGRAL COMPLEJA 211

4.5.1. Trabajo y flujo 211 4.5.2. Teorema de la divergencia 213

VI

4.6. FRMULA INTEGRAL DE CAUCHY. 214 4.6.1. Frmula integral de Cauchy. 217


4.7. CONSECUENCIAS DE LA FRMULA DE CAUCHY. 221 4.7.1. Aplicacin al clculo de integrales reales 223 4.7.2. Desarrollo en serie de potencias de una funcin holomorfa 223 4.7.3. Derivadas de orden superior 225 4.7.4. Desigualdad de Cauchy 228 4.7.5. Teorema de Liouville 229 4.7.6. Teorema fundamental del lgebra 229 4.7.7. Teorema de Morera 230 4.7.8. Principio del mdulo mximo 232 4.7.9. Otras consecuencias 233

Principio de prolongacin analtica 234 Ceros de funciones holomorfas 234 Regla de LHpital 235 Ejemplos resueltos 236 Ejercicios 237

4.8. EJERCICIOS 238

CAPTULO 5. Singularidades y residuos 245 5.1. SINGULARIDADES 245


5.2. CARACTERIZACIN DE LAS SINGULARIDADES AISLADAS 248 5.2.1. Singularidades evitables 249 5.2.2. Polos 249 5.2.3. Singularidad esencial 251 5.2.4. Ceros de una funcin analtica 253


5.3. SERIES DE LAURENT 257 5.3.1. Expresin integral de los coeficientes de la serie de Laurent 258 5.3.2. Relacin entre el tipo de singularidad y los coeficientes de

la serie de Laurent 260 Ejemplos resueltos 260 Ejercicios 261

5.4. RESIDUOS 262 5.4.1. Teorema del residuo 263 5.4.2. Clculo de residuos. Residuos en los polos 264 5.4.3. Residuo en el infinito 267


5.5. FUNCIONES MEROMORFAS, ANALTICAS Y ENTERAS 278 5.5.1. Funciones meromorfas 278 5.5.2. El principio del argumento y sus consecuencias 279 5.5.3. Teorema de Rouch 282 5.5.4. Teorema fundamental del lgebra 282

VII

5.5.5 Teorema de Hurwitz 283 5.5.6. Teorema de la aplicacin abierta 284 5.5.7. Teorema del mdulo mximo 285 5.5.8. Teorema de los tres crculos de Hadamard 286 5.5.9. Problema de Dirichlet 286 5.5.10. Teorema de Phragmen-Lindelf 287 5.5.11. Lema de Schwarz. 289 5.5.12. Principio de Lindelf o principio de subordinacin 289 5.5.13. Clasificacin de las funciones enteras 291 5.5.14.Orden de una funcin entera 293

5.6. EJERCICIOS 296

CAPTULO 6. Geometra de las transformaciones complejas 307 6.1. TRANSFORMACIONES CONFORMES 308

Observaciones 310 Ortogonalidad 311 Equivalencia conforme 312

6.1.1. Teoremas de la aplicacin abierta y de la aplicacin de Riemann. 313 Teorema de la aplicacin abierta 313 Teorema de la aplicacin de Riemann 314 Ejemplos resueltos y ejercicios 316

6.2. ALGUNAS TRANSFORMACIONES SENCILLAS 317 6.2.1. La aplicacin lineal: f(z) = az + b 317 6.2.2. La funcin f(z) = z2 319 6.2.3. La funcin f(z) = zn 320 6.2.4. La funcin exponencial w = exp(z) = ez 320 6.2.5. La funcin w = cos(z) 321 6.2.6. La funcin w = z 321 6.2.7. La funcin w = 1/z 321 6.2.8. Otras transformaciones 323

Ejemplos resueltos y ejercicios 324 6.3. TRANSFORMACIN BILINEAL O DE MBIUS 327

6.3.1. Propiedades bsicas 328 6.3.2. Tipos particulares de transformaciones bilineales 331 6.3.3. Razn doble 334 6.3.4. Principio de simetra y principio de orientacin 338

Circunferencia de Apolonio 341 Ejemplos resueltos y ejercicios 344

6.4. APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES CONFORMES 349

6.4.1. Transformaciones de funciones armnicas 349 6.4.2. Ecuacin de Laplace con condiciones de contorno 349 6.4.3. Aplicaciones a la hidrodinmica 351 6.4.4. Aplicaciones a la teora del calor 352 6.4.5. Aplicaciones a la electrosttica 352 6.4.6. La transformacin de Schwarz-Christoffel 353

6.5. EJERCICIOS 354

VIII

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 365

HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 369

CAPTULO 7. Ecuaciones diferenciales en el mundo fsico. Integracin elemental 407

7.1. NATURALEZA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 409

7.1.1. Primeras definiciones 409 7.1.2. Soluciones 410 7.1.3. Campos de direcciones. Curvas integrales. Isoclinas 412


7.2. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOS 417

7.2.1. Crecimiento, desintegracin y reacciones qumicas 417 7.2.2. Cuerpos en cada libre y con resistencia 418 7.2.3. Movimiento pendular 420 7.2.4. La cicloide. La curva braquistcrona 423 7.2.5. Circuitos elctricos simples. Oscilaciones en resortes. 426 7.2.6. Dinmica de poblaciones. 428 7.2.7. La catenaria. 429 7.2.8. Ecuacin diferencial de una familia de curvas 430


7.3. INTEGRACIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 433

7.3.1 Ecuaciones diferenciales con variables separadas 434 Ecuaciones diferenciales reducibles a este tipo 434 Ejemplos resueltos 434 Ejercicios 435

7.3.2 Ecuaciones diferenciales homogneas 436 Ecuaciones diferenciales reducibles a homogneas 437 Ejemplos resueltos 438 Ejercicios 440

7.3.3. Ecuaciones diferenciales exactas 440 Ejemplos resueltos 442 Ejercicios 444

7.3.4. Factores integrantes 445 Factores integrantes que dependen exclusivamente de la variable x o de y. 446 Ejemplos resueltos 447 Ejercicios 448

7.3.5. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 449 Mtodos de resolucin 450 Mtodo 1: Factor integrante 450 Mtodo 2: Cambio de variable 450

IX

Mtodo 3: Variacin de las constantes 451 Ejemplos resueltos 453 Ejercicios 455

7.3.6. Algunas ecuaciones diferenciales especiales 456 Ecuacin de Bernoulli 456 Ecuacin de Ricatti 457 Ecuacin de Lagrange 459 Ecuacin de Clairaut 459 Ejemplos resueltos 460 Ejercicios: 462

7.3.7. Trayectorias ortogonales 462 Ejemplos resueltos 464 Ejercicios 465

7.3.8. Envolvente de un haz de curvas 466 Ejemplos resueltos 469 Ejercicios 469

7.3.9. Soluciones singulares 470 Ejemplos resueltos 470 Ejercicios 472

7.3.10. Aplicaciones 473 Circuitos elctricos 473 La curva tractriz 474 Ejemplos resueltos y ejercicios 475

7.6. EJERCICIOS 477

CAPTULO 8. Existencia y unicidad de soluciones 481 8.1. PROBLEMA DE CAUCHY. TEOREMAS PREVIOS 482

8.1.1. Problema de Cauchy 482 8.1.2. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo. 485 8.1.3. Funciones equicontinuas. Teorema de Ascoli-Arzel 487 8.1.4. Condicin de Lipschitz. 489


8.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIN. SOLUCIN GLOBAL 497

8.2.1. Teorema de existencia global. Teorema de Cauchy-Peano 498

8.2.2. Teorema de existencia y unicidad global. Teorema de Picard-Lindelf 501

8.2.3. Iterantes de Picard 504 Ejemplos resueltos 506 Ejercicios 511

8.3. PROBLEMA DE CAUCHY. SOLUCIN LOCAL 513 8.3.1. Teorema de existencia y unicidad local de soluciones 513 8.3.2. Teorema de existencia local de soluciones 518 8.3.3. Prolongacin de soluciones 518

Ejemplos resueltos y ejercicios 520 8.4. EJERCICIOS 532

X

CAPTULO 9. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Transformada de Laplace 535

9.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 537

9.1.1. Ejemplos 537 9.1.2. Conceptos previos 541 9.1.3. Reduccin de ecuaciones diferenciales a sistemas de

ecuaciones 543 Ejemplos resueltos 545 Ejercicios 547

9.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES 547 9.2.1. Teoremas de existencia y unicidad para sistemas 547 9.2.2. Teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones

diferenciales de orden n 549 Ejemplos resueltos 550 Ejercicios 551

9.3. MTODOS DE REDUCCIN DE ORDEN EN CASOS PARTICULARES 551

9.3.1. Ecuaciones en las que falta la funcin incgnita 551 La catenaria 552

9.3.2. Ecuaciones en las que falta la variable independiente. 553 El movimiento armnico simple 553 Movimiento de un cohete. Velocidad de escape 555 Ecuacin de Van der Pol 555

9.3.3. Reduccin de orden en sistemas autnomos. 556 Ecuaciones de rapaz y presa de Lotka-Volterra 557 La barca en el ro 557 Ejemplos resueltos 558 Ejercicios. 559

9.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE 559 9.4.1. Definicin, condiciones de existencia y primeras propiedades 560

Primeras propiedades: 564 Transformada de Laplace de algunas funciones 564 Ejemplos resueltos 565 Ejercicios 567

9.4.2. La funcin de Heaviside y la delta de Dirac 568 Ejemplos resueltos 570 Ejercicios 571

9.4.3. Teoremas de traslacin y transformada de una funcin peridica 572 Teoremas de traslacin 572 Transformada de una funcin peridica 573 Ejemplos resueltos 574 Ejercicios 575

9.4.4. Transformadas de derivadas e integrales 576 Transformada de una derivada 576 Transformada de una integral 578 Ejemplos resueltos 581 Ejercicios 582

XI

9.4.5. La convolucin 583 Propiedades de la convolucin 583 Ejemplos resueltos 585 Ejercicios 586

9.4.6. La transformada inversa 586 Transformadas inversas de funciones racionales 587 Ejemplos resueltos 591 Ejercicios 593

9.4.7. Aplicaciones 593 1. Resolucin de ecuaciones diferenciales lineales 593 2. Resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales 595 3. Resolucin de ecuaciones integrales 595 4. La curva tautcrona 596 Ejemplos resueltos 598 Ejercicios 602

9.5. EJERCICIOS 603

CAPTULO 10. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 607

10.1. CONCEPTOS PREVIOS. 609 10.1.1. El operador diferencial D 610 10.1.2. El operador lineal L 611 10.1.3. Operadores con coeficientes constantes. 613 10.1.4. Teorema de existencia y unicidad 614


10.2. ESTRUCTURA DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 617

10.2.1. Dependencia e independencia lineal. Wronskiano 617 10.2.2. Estructura de las soluciones de la ecuacin homognea 619 10.2.3. Estructura de las soluciones de la ecuacin completa 627


10.3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES 632

10.3.1. Ecuacin caracterstica. Autovalores 632 10.3.2. Discusin de las soluciones 633


10.4. MTODOS DE RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 639

10.4.1. Reduccin de orden de una ecuacin diferencial lineal homognea. Mtodo de DAlembert 639

10.4.2. Mtodo de variacin de las constantes 640 Ejemplos resueltos 643 Ejercicios 645

XII

10.4.3. Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas con coeficientes constantes 646 Mtodo del anulador 647 Mtodo de los coeficientes indeterminados 648 Ejemplos resueltos 650 Ejercicios 654

10.4.4. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes no constantes 655 Ecuacin de Euler-Cauchy 655 Cambios de variable 658 Ejemplos resueltos 658 Ejercicios 661

10.5. DESARROLLOS EN SERIES DE POTENCIAS 661 10.5.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios 662 10.5.2. Soluciones en torno a puntos singulares 666


10.6. APLICACIONES 677 10.6.1. Movimiento oscilatorio armnico 677

Vibraciones armnicas simples no amortiguadas 677 Vibraciones amortiguadas 678 Vibraciones forzadas 680 Vibraciones libres forzadas. Resonancia. 681

10.6.2. Circuitos elctricos 682 10.6.3. Las leyes de Kepler 684


10.7. EJERCICIOS 691

CAPTULO 11. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 695

11.1. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES

DIFERENCIALES. 696 11.1.1. Conceptos previos 697 11.1.2. Teoremas de existencia y unicidad. 701


11.2. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 705

11.2.1. Dependencia e independencia lineal. 705 11.2.2. Estructura de las soluciones del sistema homogneo 707 11.2.3. Matriz fundamental 714

Propiedades de la matriz fundamental 715 11.2.4. Estructura de las soluciones del sistema no homogneo 716


XIII

11.3. SISTEMAS LINEALES HOMOGNEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES 722

11.3.1. Resolucin por eliminacin mediante el operador diferencial D 723 Ejemplos resueltos 725

11.3.2. Resolucin buscando soluciones exponenciales. Mtodo de Euler 727 Ejemplos resueltos 730

11.3.3. Ecuacin caracterstica. Autovalores y autovectores 733 Ejemplos resueltos 745 Ejercicios 747

11.4. EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ 748 11.4.1. Propiedades de la exponencial de una matriz 750 11.4.2. Clculo de la funcin matricial eAx 751 11.4.3. Estudio del caso general 753


11.5. SISTEMAS LINEALES NO HOMOGNEOS 758 11.5.1. Mtodo de variacin de las constantes 758 11.5.2. Sistemas lineales no homogneos con coeficientes

constantes 759 Reduccin a una ecuacin diferencial mediante el operador diferencial D 760 Mtodo de coeficientes indeterminados 761 Ejemplos resueltos 762 Ejercicios 768


CAPTULO 12 775

Teora cualitativa de ecuaciones diferenciales 705 12.1. CONCEPTOS PREVIOS: GENERALIDADES 778

12.1.1. Soluciones y trayectorias en un sistema de ecuaciones diferenciales 778

12.1.2. Diagrama de fases 781 12.1.3. Puntos crticos 784 12.1.4. rbitas cclicas 787 12.1.5. Estabilidad de Liapunov y estabilidad orbital 790 12.1.6. Dinmica en un sistema lineal homogneo de dimensin

n = 1. 794 12.1.7. Dinmica en un sistema lineal homogneo de dimensin

n = 2. 795 Ejemplos resueltos 800 Ejercicios 802

XIV

12.2. COMPORTAMIENTO DINMICO DE UN SISTEMA LINEAL HOMOGNEO 805

12.2.1. Comportamiento dinmico de una ecuacin diferencial lineal homognea de coeficientes constantes de orden superior 809 Ejemplos resueltos 810 Ejercicios 812

12.3. SISTEMAS CASI-LINEALES 814 Ejemplos resueltos 818 Ejercicios 821

12.4. SISTEMAS BIDIMENSIONALES AUTNOMOS 823 12.4.1. Teorema de Poincar - Bendixson 823 12.4.2. Dinmica del pndulo 825 12.4.3. Dinmica de poblaciones: sistemas de Lotka-Volterra 831


12.5. ESTABILIDAD EN SISTEMAS HAMILTONIANOS O CONSERVATIVOS, EN SISTEMAS DISIPATIVOS Y EN SISTEMAS GRADIENTE. 838

12.5.1. Sistemas conservativos y funciones de Hamilton 838 12.5.2. Sistemas disipativos y funciones de Lyapunov 842 12.5.3 Sistemas gradiente 843


12.6. DINMICAS CATICAS 848 12.6.1. El sistema de Lorenz 848

Ejercicios 855 12.7. EJERCICIOS 856

XV

RESOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 869

HISTORIA DE LA RESOLUCIN NUMRICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. 875 Solucin numrica antes de los ordenadores 876 Solucin numrica despus de los ordenadores 881

CAPTULO 13. Mtodos numricos de un paso 883 13.1. EL MTODO DE EULER 886


13.2. ESTUDIO GENERAL DE LOS MTODOS DE UN PASO 896 13.2.1. Control del error: error de redondeo, error de truncamiento,

error local y error global 897 Clculo del orden del error de truncamiento para el mtodo de Euler: 900

13.2.2. Convergencia, consistencia y estabilidad de los mtodos de un paso 903 Ejemplos resueltos 905 Ejercicios 910

13.3. MTODOS DE TAYLOR 912 Ejemplos resueltos 914 Ejercicios 918

13.4. MTODOS DE RUNGE-KUTTA 920 13.4.1. Mtodos de Runge-Kutta de dos etapas o mtodos de

Euler modificados 924 13.4.2. Mtodos de Runge-Kutta de tres etapas 928 13.4.3. Mtodos de Runge-Kutta cuatro 930


13.5. ESTIMACIN DEL ERROR EN CADA PASO 938 La extrapolacin de Richardson 939 Pares encajados de Runge-Kutta 942 Ejemplos resueltos 948 Ejercicios 949

13.6. ESTABILIDAD ABSOLUTA EN LOS MTODOS DE UN PASO 950


13.7. APNDICE: ECUACIONES EN DIFERENCIAS 961 Ejemplos resueltos 966 Ejercicios 969


XVI

CAPTULO 14. Mtodos numricos lineales multipaso 983 14.1. DEFINICIN 984


14.2. MTODOS DE ADAMS 987 14.2.1. Mtodos de Adams-Bashforth 991 14.2.2. Mtodos de Adams-Moulton 996


14.3. CONVERGENCIA, CONSISTENCIA Y ESTABILIDAD 1015 14.3.1. Definicin de convergencia 1015

Ejemplos resueltos 1017 14.3.2. Orden de consistencia y error de truncamiento 1018 14.3.3. Constante de error 1020

Ejemplos resueltos 1025 14.3.4. Polinomios de estabilidad 1027 14.3.5. Estabilidad. Condiciones de raz 1029 14.3.6. Condicin de raz fuerte 1033

Ejemplos resueltos 1035 14.3.7. Relaciones entre convergencia, consistencia y estabilidad 1039 14.3.8. Orden mximo de convergencia: Primera barrera de

Dahlquist 1041 Ejemplos resueltos 1042

14.3.9. Mtodos multipaso vectoriales 1046 Ejemplos resueltos 1047 Ejercicios 1048

14.4. ESTABILIDAD ABSOLUTA Y ESTABILIDAD RELATIVA 1050 14.4.1. Estabilidad absoluta 1052 14.4.2. Estabilidad relativa 1059 14.4.3. Estabilidad absoluta de los mtodos lineales multipaso

en sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 1061 Ejemplos resueltos 1063 Ejercicios 1070

14.5. OTROS MTODOS DE K PASOS 1071 14.5.1. Nystrm y Milne-Simpson 1071 14.5.2. Mtodo predictor-corrector 1072 14.5.3. Mtodos multipaso de tamao de paso variable 1078 14.5.4. Problemas stiff 1080



BIBLIOGRAFA 1097 BIBLIOGRAFA DE CONSULTA RECOMENDADA 1097

Bibliografa de variable compleja 1097 Bibliografa de ecuaciones diferenciales 1098 Bibliografa de mtodos numricos para ecuaciones diferenciales ordinarias 1099

REFERENCIAS 1100

XVII

Prlogo

En este libro los autores y autoras hemos pretendido desarrollar los

contenidos de un curso clsico de Anlisis Matemtico: Variable Compleja,

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Mtodos Numricos para las ecuaciones

diferenciales. Est dirigido de manera especial a estudiantes de ingeniera y

por tanto los contenidos se han seleccionado teniendo muy presentes las

posibles aplicaciones. Nuestro deseo es que esta obra sea de utilidad tanto

para estudiantes de escuelas tcnicas como para el profesorado que imparte

las correspondientes asignaturas.

Se ha procurado que el texto tenga una estructura clara y sencilla. Por

esta razn se han eliminado las demostraciones de algunos resultados que,

quizs, por su excesiva abstraccin o sus dificultades tcnicas, pudieran

complicar la comprensin, en lugar de ayudar a mejorarla.

Se ha intentado mantener un orden coherente en la presentacin y

desarrollo de los distintos conceptos que se van introduciendo, incorporando al

final de cada apartado algunos ejemplos totalmente resueltos que pueden

contribuir en gran medida a su comprensin y asimilacin. Al final de cada

apartado y de cada captulo se adjuntan ejercicios y problemas, y en las

ocasiones que se ha considerado adecuado, se han aadido las soluciones.

El equipo formado por los autores y las autoras del libro lleva numerosos

aos explicando los contenidos del texto a alumnado de distintas ramas de

ingeniera: caminos, informtica, telecomunicaciones... A partir de la propia

XVIII

experiencia se observ que existen magnficos textos de ecuaciones

diferenciales ordinarias, que sin embargo proporcionan un tratamiento

demasiado elemental, en opinin de los autores, al estudio de los

procedimientos de resolucin numrica de ecuaciones diferenciales.

Igualmente, existen estupendos textos de mtodos numricos, pero que no

abordan el estudio general de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y de

forma similar sucede con la teora de las funciones complejas, donde se

encuentran esplndidos textos de variable compleja, pero que no tratan ni las

ecuaciones diferenciales ordinarias, ni los mtodos para la resolucin numrica

de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Aunque exista bastante bibliografa

de consulta, no conocamos ninguna obra en el mercado que reuniera todos los

aspectos que necesitbamos que tuviese el libro de texto. Desde un punto de

vista docente es muy importante que una materia de este tipo se encuentre

recogida en un nico texto, de forma que el profesorado pueda utilizarlo como

gua y recomendarlo a los alumnos. En este libro se ha pretendido recopilar los

contenidos bsicos de las materias anteriores de manera que su estructura

rena con el nivel de rigor requerido, ni demasiado riguroso, ms adecuado

para el alumnado de matemticas, ni carente de rigor, de manera que los

estudiantes de ingeniera, a los que va especialmente dirigido, encuentren lo

necesario para servirles de gua y les permita comprender y asimilar la materia

desarrollada.

El texto se puede considerar formado por tres secciones diferenciadas,

que abordan, en este orden, el estudio de las funciones de variable compleja, el

estudio general de la teora de ecuaciones diferenciales y el tratamiento

numrico de las ecuaciones diferenciales. En cada una de ellos se ha aadido

XIX

una introduccin histrica, con el fin de introducir en las distintas materias que

se van a estudiar a travs de un recorrido por el tiempo, en el que se muestra

su origen, evolucin y desarrollo posterior. Pensamos que conocer la evolucin

histrica de las matemticas, la forma de trabajar del matemtico profesional y

la contribucin de ste, as como las dificultades, las razones o los

procedimientos de los que han surgido los conceptos y las ideas, mejora el

aprendizaje.

La primera seccin aborda el estudio de la teora de funciones de una

variable compleja. Se ha dividido en seis captulos, que van precedidos por una

introduccin histrica. En ella se ha pretendido presentar de forma resumida la

aparicin de los nmeros complejos, su utilizacin en los comienzos como

solucin de distintos problemas planteados, pero pensando en los nmeros

complejos como entes extraos e imaginarios, y su sucesiva formalizacin

hasta llegar a su aceptacin por parte de la comunidad cientfica como

disciplina dotada de una base slida y coherente, eliminando definitivamente el

carcter misterioso que tenan en un principio dichos nmeros.

El primer captulo es esencialmente una revisin de los nmeros

complejos, concepto y propiedades, ya conocidos de cursos anteriores, tanto

por las asignaturas de primer curso de ingeniera como en el bachillerato: se

introducen los nmeros complejos, sus operaciones, propiedades y estructura.

Quizs se aade a lo que usualmente conocen, la notacin exponencial. Se

define el plano complejo, se representan conjuntos en l, se concretan algunas

definiciones topolgicas y se define la esfera de Riemann, que permite

introducir el punto de infinito en el plano complejo, insistiendo en la diferencia

XX

en el concepto de infinito en la recta real, que es un conjunto totalmente

ordenado con y +, y el concepto de infinito en el plano complejo.

En el segundo captulo se definen las funciones complejas. Se extienden

al plano complejo las funciones reales ya conocidas, y se define la derivada de

una funcin compleja, de importancia fundamental dentro de la teora, poniendo

especial atencin en presentar las diferencias existentes entre la derivada de

las funciones de en , las funciones de en y la derivada compleja.

Se introduce el concepto de holomorfa. Se podra haber definido funcin

holomorfa en un punto como funcin derivable en dicho punto, pero entonces

se perderan muchas de sus buenas propiedades, por lo que la experiencia en

su docencia, nos ha llevado a definir que una funcin es holomorfa en un punto

z0 si es una funcin derivable en todos los puntos de un entorno de z0. Este

hecho supone que dichas funciones adquieran propiedades muy diferentes a

las de las funciones derivables en el cuerpo de los nmeros reales o las

definidas en el plano real.

Se apunta ya el inters en sealar de manera especial a las funciones

holomorfas, pues como se demostrar en captulos posteriores las funciones

holomorfas van a tener muy buenas propiedades. Por el hecho de ser una

funcin holomorfa en un abierto, va a ser analtica, es decir desarrollable en

serie de potencias en los puntos de ese abierto; va a ser infinitamente derivable

en su dominio de holomorfa; y va a ser integrable, y las integrales a lo largo de

curvas cerradas en recintos donde la funcin sea holomorfa, valen cero, y si la

curva no es cerrada, la integral no depende del camino. Se puede decir que

derivacin, series, integracin se entretejen para construir estas funciones,

cuyas propiedades se desarrollan en los siguientes captulos. El captulo

XXI

termina con la introduccin de las funciones de dos variables reales armnicas,

estudiando su relacin con las funciones holomorfas.

El tercer captulo est dedicado al desarrollo en serie de las funciones

complejas. Adems de tratar con el desarrollo en serie de potencias, se

estudian las series de Laurent. Se podra haber dejado el tratamiento de las

series de Laurent para cuando se conocen los valores de sus coeficientes

mediante frmulas integrales, pero la experiencia en impartir esta enseanza

nos ha llevado a considerar que presentarlas en este momento simplifica su

comprensin. Se introducen las funciones analticas en un punto z0 como

funciones desarrollables en series de potencias en un entorno de z0, y se

estudian sus propiedades, como por ejemplo, el hecho de que una funcin

analtica es indefinidamente derivable. Finalmente se introducen las series

dobles o series de Laurent, que permiten desarrollar funciones que presenten

algn tipo de singularidad en series de potencias positivas y negativas.

En los captulos cuarto y quinto se estudia la integral de una funcin

compleja a lo largo de una curva situada en el plano complejo y se prueban sus

propiedades. Se presenta el teorema de Cauchy y sus consecuencias,

remarcando de manera especial la frmula integral de Cauchy, que permite

expresar el valor de una funcin en el interior de un recinto cerrado a travs de

los valores que toma la funcin en la frontera del recinto, y que autoriza a

asegurar que toda funcin holomorfa es desarrollable en serie de potencias, es

decir, es analtica, y por tanto infinitamente derivable. Se tiene demostrado

entonces que los conceptos de holomorfa y analiticidad son equivalentes.

Se considera a continuacin la situacin en la que la funcin que se

quiere integrar tenga singularidades aisladas. Se estudian los distintos tipos de

XXII

singularidades que puede presentar una funcin a travs de los

correspondientes desarrollos de Laurent. Se introduce el concepto de residuo

de una funcin en un punto, y se muestra la forma de obtener el valor de la

integral de la funcin a travs del teorema de los residuos, que se aplica

tambin para la obtencin de integrales de funciones reales y de integrales

impropias.

En el sexto captulo de consideran las funciones complejas como

transformaciones geomtricas, pues una funcin compleja transforma un

subconjunto del plano complejo en otro subconjunto del plano complejo que es

precisamente la imagen a travs de la funcin del conjunto inicial. Se dedica

una especial atencin al tratamiento de las transformaciones de Mbius por sus

especiales propiedades.

Los captulos siete al doce constituyen lo que los autores consideran

como la segunda seccin. En ellos se aborda el estudio de la teora general de

las ecuaciones diferenciales ordinarias y van precedidos por una introduccin

histrica, comenzando por el siglo XVI, donde se analizan los distintos logros

que se han ido obteniendo de forma sucesiva, as como los problemas que los

generaron. De esta forma se puede conocer el origen y la evolucin de los

distintos tipos de ecuaciones diferenciales que se van a estudiar, as como de

los mtodos que se van a aplicar o de los resultados que se van a poder aplicar

al estudiar los distintos temas que se presentan a continuacin.

El objetivo fundamental del captulo siete es introducir las ecuaciones

diferenciales en el mundo fsico acercando stas a las aplicaciones. Se tratan

diferentes problemas concretos que se pueden explicar a partir de

comportamientos regidos por ecuaciones diferenciales. De esta forma se da

XXIII

una primera aproximacin, que a lo largo de los siguientes captulos se ir

desarrollando, de cmo las ecuaciones diferenciales pueden proporcionar

modelos para estudiar casos tan diferentes como la dinmica de poblaciones o

como el crecimiento y desintegracin de las reacciones qumicas. Tambin,

siguiendo el desarrollo histrico de las matemticas, se tratan distintas

maneras de resolver algunas ecuaciones diferenciales conocidas, tal y como se

trabajaban en el siglo XVII.

Una de las cuestiones fundamentales en el tratamiento de las

ecuaciones diferenciales es el estudio de las condiciones por las que se puede

asegurar la existencia de solucin, o que sta sea nica, sin tener que

resolverla previamente. Una ecuacin diferencial en general no tiene por qu

tener solucin y aunque la tenga, sta no tiene por qu ser nica. En el captulo

ocho se introducen los problemas de valor inicial, o problemas de Cauchy, y se

tratan las condiciones que garantizan la existencia y la unicidad de solucin,

que se conocen como teoremas de existencia y unicidad.

Al escribir este captulo nos hemos encontrado con la dificultades

siguientes. Por un lado queramos que supieran que, siguiendo el desarrollo

histrico de las matemticas, en un principio no se imaginaba que una

ecuacin procedente de un problema fsico pudiera no tener solucin, o que

sta no fuera nica, y que fue en el curso de Anlisis que imparti Cauchy,

cuando se plante este problema, lo que supone una nueva etapa en las

matemticas. Ser conscientes de que toda ecuacin diferencial no tiene por

qu tener solucin y aunque la tenga, sta no tiene por qu ser nica, supone

un gran paso en la historia. Tratarlas, por ello, con el requerido cuidado, es

importante. Pero por otro, stos teoremas son complicados y sus

XXIV

demostraciones sobrepasan en muchas ocasiones el nivel de este libro. Se ha

valorado el grado de dificultad que presentan y se han incluido aqullas que por

el propio razonamiento que siguen puedan aportar una claridad adicional. D.

Alberto Dou fue profesor tanto de la escuela de ingenieros de caminos como de

la facultad de matemticas, impartiendo en ambos lugares, la asignatura de

ecuaciones diferenciales, y le hemos odo comentar que estos teoremas y su

desarrollo minucioso pareca adecuado en un determinado momento para los

matemticos, y que sin embargo, resultan ser tremendamente prcticos para

los ingenieros que iban a resolver las ecuaciones diferenciales que les

aparecieran usando el ordenador y los mtodos numricos, obteniendo una

solucin, que poda no tener ningn sentido si antes no haban garantizado la

existencia y unicidad de las soluciones.

El inters de los teoremas de existencia y unicidad estriba en que en

muchas ocasiones, al resolver un problema cuyo modelo es una ecuacin

diferencial, no es preciso encontrar la solucin exacta de la ecuacin y basta

encontrar valores aproximados de ella, lo que se puede conseguir aplicando

alguna frmula numrica como las que se presentan el los captulos trece y

catorce. Pero para que los valores obtenidos a partir de dichas frmulas sean

aceptables es preciso conocer a priori que el problema en cuestin tiene una

nica solucin.

En el captulo nueve se trabaja la relacin entre los sistemas de

ecuaciones diferenciales de primer orden y las ecuaciones diferenciales de

orden superior, particularizando los teoremas de existencia y unicidad a estos

casos. Se introduce la transformada de Laplace como herramienta para

transformar una ecuacin diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales

XXV

en una ecuacin algebraica o un sistema de ecuaciones algebraicas, y se

estudian sus propiedades. Se estudian, de nuevo, un buen nmero de

aplicaciones particulares.

El captulo diez se ocupa de las ecuaciones diferenciales lineales de

orden superior, y el captulo once de los sistemas de ecuaciones diferenciales

lineales. El orden para impartir estos captulos es discutible. Ya se ha visto, en

el captulo anterior, la relacin existente entre un sistema de n ecuaciones

diferenciales ordinarias lineales de primer orden y una ecuacin diferencial

lineal de orden n, y la posibilidad de convertir las unas en los otros. El estudio

de la estructura algebraica de las soluciones de las ecuaciones diferenciales

lineales, estructura de espacio vectorial para las que son homogneas, y de

espacio afn, para las no homogneas, proporciona una idea de cules deben

ser los procedimientos para buscar las soluciones. Quizs un orden ms

matemtico sera estudiar antes los sistemas, pero las ecuaciones de orden

superior resultan ms sencillas, por lo que se ha decidido trabajarlas antes, y

poder as aadir en el captulo once cuestiones como la exponencial de una

matriz, especficas de los sistemas lineales.

El captulo doce es una iniciacin a los sistemas dinmicos. Los modelos

matemticos simplifican la realidad para poder estudiarla, y una de esas

simplificaciones es la linealizacin, lo que implica considerar que el proceso es

lineal. Existe para ello una razn importante. En las ecuaciones diferenciales no

lineales aparecen grandes complicaciones. Con el uso de los ordenadores se

ha visto que ecuaciones diferenciales no lineales, que verifican los teoremas de

existencia y unicidad, pueden producir caos, es decir, que si existe un pequeo

error en la obtencin de las condiciones iniciales, pueda dar lugar al cabo de un

XXVI

cierto tiempo, a que la nueva solucin que se obtenga se aleje demasiado de la

anterior, con lo que el fenmeno resulte impredecible. Despus de explicar

durante muchos aos en cursos de doctorado y tercer ciclo estos hechos se ha

intentado dar unas orientaciones sencillas en este captulo donde quizs

queden abiertas las puertas de manera que el estudiante interesado pueda

sentirse invitado a seguir trabajando, pues ya sabe que no conoce todo sobre

ecuaciones diferenciales sino que existen muchos problemas abiertos de gran

inters y belleza que merecen el esfuerzo de ser estudiados.

La tercera seccin la constituyen los mtodos numricos para la

resolucin de ecuaciones diferenciales. Comienza, como las secciones

anteriores, con una breve introduccin histrica. Es interesante saber que estos

mtodos ya existan antes del uso de los ordenadores, y cmo se aplicaban a

resolver sobre todo problemas de balstica, por lo que muchas veces sus

resultados se mantenan en secreto. Con la aparicin de los ordenadores se

han podido analizar las soluciones obtenidas, comprobar qu mtodos tenan

mejores propiedades, y confeccionar aquellos que tienen una relacin calidad-

coste ptima.

Los distintos mtodos numricos para la resolucin de ecuaciones

diferenciales se agrupan en dos grandes grupos: los mtodos de un paso y los

mtodos lineales multipaso. Su estudio se realiza en los captulos trece y

catorce.

En el captulo trece se estudian los mtodos numricos para resolver

ecuaciones diferenciales de un solo paso como el mtodo de Euler, los

mtodos de Taylor, los mtodos de Runge Kutta o los pares encajados de

Runge Kutta. Una vez conocidos estos mtodos, sus ventajas y sus

XXVII

inconvenientes, se hace un estudio general de los mtodos de un paso para

poder analizar los distintos tipos de errores, el error global, el error de

truncamiento y el error local, as como los conceptos de convergencia y

consistencia. Se estudia a continuacin la estabilidad absoluta de las distintas

frmulas, y tambin se comenta brevemente la extrapolacin de Richarson.

En el captulo catorce se estudian los mtodos numricos para resolver

ecuaciones diferenciales lineales multipaso, especialmente los mtodos de

Adams-Bashforth y los mtodos de Adams-Moulton, siendo los primeros

mtodos explcitos y los segundos, implcitos. Termina el captulo con un

estudio detenido de los conceptos de convergencia, consistencia, orden de

consistencia y estabilidad, as como algunos tipos distintos de estabilidad,

como la estabilidad absoluta y la relativa de las frmulas lineales multipaso.

Termina el texto con una bibliografa separada en las tres secciones que

lo forman.

Esto es todo, los autores desean que el libro resulte de su agrado y sea

de utilidad.

Los autores

VARIABLE COMPLEJA

La teora de las funciones de variable compleja se puede considerar,

como se observa al analizar su azarosa historia, uno de los milagros de la

Matemtica. La derivabilidad de una funcin real en un abierto slo implica, en

general, que sta tenga derivada en los puntos del abierto. Sin embargo en el

campo complejo basta que una funcin sea derivable en un conjunto abierto

para que sea infinitamente derivable en dicho conjunto. La condicin de

derivabilidad es ms fuerte en el campo complejo puesto que deben cumplirse

las condiciones de Cauchy-Riemann, pero entonces se verifican otras muchas

relaciones: las funciones como transformaciones son conformes, sus funciones

componentes son armnicas ya que verifican la relacin de Laplace, son

desarrollables en serie de potencias, tienen funcin primitiva, la integral a lo

largo de un camino cerrado es nula, etc.

Comienza el apartado de Variable Compleja con una introduccin

histrica que permite comprender las dificultades que los matemticos han ido

encontrando y resolviendo hasta que la variable compleja se ha convertido en

lo que hoy es. Esta introduccin requiere distintas lecturas, quizs, una al

principio, pero al ir avanzando en el estudio de la variable compleja se aconseja

volver de nuevo a leerlo, pues entonces se estar en condiciones de

comprender el inters y la importancia de algunos resultados.

2 Variable Compleja

HISTORIA DE LA VARIABLE COMPLEJA

El desarrollo de las Matemticas est ntimamente relacionado con la

historia del nmero. Como el producto de un nmero real por s mismo es

siempre positivo es claro que se necesita ampliar el campo numrico para dar

solucin a determinadas ecuaciones. Stillwell1 dice que los nmeros complejos

son uno de los milagros de la Matemtica: La resolucin de la paradoja de

1 fue muy poderosa, inesperada y bella por lo que nicamente la palabra

milagro parece adecuada para describirla. Al principio de su historia los

nmeros complejos fueron considerados como nmeros imposibles tolerados

nicamente en un limitado dominio algebraico porque parecan tiles para

resolver ecuaciones cbicas. Cobraron significado cuando se interpretaron

geomtricamente y no obstante la variable compleja ha servido para la

unificacin de las funciones algebraicas con las transformaciones conformes,

teora del potencial y otros imposibles campos como las geometras no

eucldeas.

Los nmeros complejos

Los nmeros complejos se empiezan a utilizar para obtener soluciones de

ecuaciones algebraicas y culminan, en este sentido, cuando se demuestra el

teorema fundamental del lgebra.

B. Riemann dijo, en su Discurso inaugural de 1 851 que la introduccin

de magnitudes complejas en las Matemticas tiene su origen y finalidad

1 Stillwell, J.: Mathematics and its history. Springer. 1989. Pgina 188.

Historia de la variable compleja 3

inmediata en la teora de leyes de dependencia simple de magnitudes

variables, leyes expresadas por operaciones entre las magnitudes. En efecto si

se les aplican estas leyes de dependencia en un campo ms extenso,

atribuyendo valores complejos a las magnitudes variables a las que se refieren

estas leyes, se presenta entonces una armona y una regularidad que sin esto

quedan escondidas.

Usualmente se dice que los nmeros complejos nacen de la necesidad de

resolver la ecuacin cuadrtica x2 + 1 = 0, con la dificultad de que carece de

sentido geomtrico el que un cuadrado tenga un rea negativa. Sin embargo

esto no es enteramente cierto. Muchas ecuaciones cuadrticas, como crculos

o parbolas, estn ya implcitas en la geometra de los griegos y entonces se

analiz si tenan o no solucin real, por ejemplo, la interseccin de una recta

con dichas figuras. Los babilonios, alrededor del ao 2000 antes de Cristo,

conocan esencialmente el mtodo para resolver ecuaciones cuadrticas, y

Hern de Alejandra (100 a. C.) utiliz 63 , aunque algebraicamente, sin

preguntarse por su significado, pues por aquellos tiempos no se especulaba

acerca de la naturaleza de las races imaginarias.

Sin embargo cuando en 1 545 Girolamo Cardano escribi2

155)15540

estos nmeros fueron considerados sin sentido y se les aplic el trmino de

imaginarios.

Incluso cuando aparecen las ecuaciones cuadrticas, con Diofanto o los

rabes, no hay razn para admitir que no tengan solucin. Se comienza a

2 Bell, E. T. (1985): Historia de las Matemticas. (2 ed.). Edic. Fondo de Cultura Econmica.

4 Variable Compleja

necesitar cuando Ferro, Tartaglia y Cardano intentan resolver la ecuacin

cbica x3 = px + q en cuya frmula de solucin aparecen nmeros complejos

(cuando (q/2)2 (p/3)2 < 0) y sin embargo tiene siempre una solucin real.

Bombelli en 1 572 trabaj formalmente con el lgebra de los nmeros

complejos e implcitamente introdujo las funciones complejas, aunque a pesar

de ello los nmeros complejos todava eran considerados como imposibles. A.

Girard enunci en Linvention nouvelle en algbre en 1 629 el principio de

permanencia segn el cual se puede aplicar a los nmeros complejos todas

las identidades obtenidas en el campo real, y a lo largo del siglo XVIII se sigue

utilizando frecuentemente dicho principio usando la frase: recurso de las

razones extradas de la generalidad del lgebra. Estos argumentos son

criticados por Cauchy en su Cours dAnalyse (1 821) donde dice: las razones

de este tipo ... no pueden ser consideradas, a mi parecer, ms que como

inducciones propias para presentir alguna vez la verdad, pero estn poco de

acuerdo con la exactitud tan alabada de las ciencias matemticas.

Al final del siglo XVIII ya se tena una gran maestra en la manipulacin de

los nmeros complejos y sin embargo no se tena la nocin de un nmero

complejo como un par de nmeros reales formado por su parte real y su parte

imaginaria. C. Wessel, en 1 799, en el artculo Sur la reprsentation analytique

dune direction asoci todo nmero complejo con un vector del plano con

origen en O, y reinterpret con estos vectores las operaciones elementales de

los nmeros complejos. R. Argand en 1 806 en Essai sur une manire de

reprsenter les quantits imaginaires interpret geomtricamente los nmeros

complejos. El nmero i, por ejemplo, lo represent como una rotacin de un

ngulo recto alrededor del origen. A partir de dicha interpretacin ya


empezaron a usarse sin dificultades dichos nmeros.

Funciones de variable compleja

La teora moderna de las funciones de variable compleja ha tenido cuatro

fundadores: Carl Friedrich Gauss (1 777 1 855), Augustin-Louis Cauchy

(1789 1 857), Bernhard Riemann (1 826 1 866) y Karl Weierstrass (1 815

1 897).

Figura 1: Carl Friedrich Gauss (1 777 1 855)

El primero no ejerci influencia en su tiempo por no haber publicado nada,

y haberse encontrado sus manuscritos mucho tiempo despus de su muerte.

Cada uno de los otros tres matemticos sigui un camino diferente. Cauchy

impuso algunas condiciones restrictivas para que dichas funciones tengan

derivadas continuas. Su teora reposa sobre un teorema muy importante

relativo a las integrales complejas y sobre la nocin de residuo. Esta teora

contiene en germen los planteamientos geomtricos de Riemann y los

6 Variable Compleja

aritmticos de Weierstrass. La imagen geomtrica jug un papel predominante

en Riemann. Una funcin compleja era para Riemann una ley por medio de la

cual las superficies se pueden transformar y su objetivo fue el de representar

estas transformaciones y analizarlas. Weierstrass se preocup por el desarrollo

en series de potencias de la funcin dentro de su crculo de convergencia, que

se puede prolongar mediante la prolongacin analtica. Todo resultaba para l

como una consecuencia de la teora de series y esta teora estaba establecida

sobre bases slidas.

Los primeros desarrollos en serie de las funciones elementales

aparecieron en el siglo XVII. Taylor utiliz las frmulas de interpolacin de

Gregory-Newton para tener en 1 712 la frmula que lleva su nombre y obtener

el desarrollo en serie de potencias de una funcin, cuyas propiedades se

probaron por procedimientos algebraicos; se pueden utilizar las tcnicas de

derivacin e integracin de manera formal en el anillo de las series

consideradas, todava, sin preocupaciones de convergencia. Los analistas se

habituaron as, a lo largo del siglo XVIII a manipular indiferentemente

argumentos reales y complejos no slo en expresiones racionales sino incluso

en la funcin exponencial o en las funciones trigonomtricas. De Moivre, a

principios del siglo, gracias a una utilizacin sistemtica de las frmulas de la

trigonometra, resalt la relacin entre las races de un nmero complejo y la

divisin de la circunferencia en partes iguales. En la primera mitad del siglo se

utilizaron frmulas notables entre las funciones elementales.

La funcin logaritmo

La extensin del campo complejo a la funcin logaritmo hace aparecer un


problema que no tena lugar con las funciones reales: las funciones

multiformes. En virtud del principio de permanencia no existi duda, a principios

del siglo XVIII, sobre la existencia de una funcin, y por tanto unvoca, log z,

definida por: ze zlog , y que verifica la ecuacin diferencial: z

dz)z(logd . En

este contexto la determinacin de los logaritmos de 1 y de i condujo a

contradicciones indisolubles dando lugar a la clebre controversia entre

Gottfried Wilhelm Leibniz (1 646 1 716) y Jean Bernoulli de 1 700 a 1 716.

Bernoulli en 1 702 observ la descomposicin de la integral de 21 zdz

en

dos fracciones y lleg a la conclusin de que los logaritmos imaginarios

expresan sectores circulares reales, lo que dicho en lenguaje actual equivale a

decir que

zizilog

izarctg

21 . Sin embargo persistentemente sostena que

log(x) = log(x), y en particular que log(1) = 0, pues d(log(x)) = 1/x = d(log x).

Leibniz en cambio afirmaba que los logaritmos de los nmeros negativos,

y por una razn ms fuerte los de los nmeros imaginarios, eran imaginarios.

Utilizaba en su razonamiento el principio de permanencia, y por l, la

inyectividad del logaritmo complejo. Este desacuerdo entre dos grandes de las

Matemticas hizo que existiera una fuerte controversia y produjo en aquella

poca un profundo malestar.

Leonhard Euler3 (1 707 1 783) expres con claridad la necesidad de

abandonar el principio de permanencia, rompiendo con los principios de

Leibniz, y con una claridad genial afirm que se deba abandonar la unicidad de

la funcin logaritmo afirmando que todo nmero real positivo tiene una infinidad

3 Euler, L: Letter to John Bernoulli. 10-XII-1728. Bibli. Math. ser. 3, 4, 352-354.

8 Variable Compleja

de logaritmos complejos de los cuales slo uno es real. Los logaritmos

complejos son funciones infinitamente valoradas.

La memoria de Euler no convenci a sus contemporneos, en especial a

DAlembert (1 717 1 783) quien volvi a utilizar las ideas de Bernoulli,

apoyadas con las suyas propias, para mostrar que los logaritmos de las

cantidades negativas se podan suponer indiferentemente reales o imaginarios

dependiendo del sistema de logaritmos que se eligiese.

Diversas frmulas obtenidas por Leonhard Euler mostraron que a menudo

es posible reunir dos igualdades reales en una sola igualdad compleja, efectuar

en ella los clculos y separando parte real e imaginaria obtener nuevas

expresiones de inters, que son difciles de conseguir directamente. Al mismo

tiempo Ctes (1 714) descubri la relacin entre los logaritmos complejos y las

funciones circulares: log(cos x + isen x) = ix, reconociendo la importancia de

este resultado en el trabajo titulado Harmonia Mensurarum. Se usaron

medidas de las funciones logaritmo y arco tangente, relacionadas con las

integrales xdx

1 y 21 x

dx , aunque no se comprendi porqu eran necesarias

esas extraas medidas. Despus de Bernoulli sta fue la primera vez en que

se empez a sospechar que el problema de determinar el dominio de la funcin

logaritmo compleja y de las inversas de las funciones circulares era

esencialmente el mismo.

Integracin

En una serie de memorias de publicacin pstuma, escritas a partir de

1776, Euler utiliz los nmeros complejos para obtener, a partir de integrales


reales ya conocidas, otras integrales. Y en su obra De integrationibus maxima

memorabilis ex calculo imaginariorum oriundis lleg a escribir las ecuaciones

que tradicionalmente se conocen con el nombre de Cauchy-Riemann.

DAlembert en su ensayo Essai sur une nouvelle thorie de la rsistence des

fluides hizo la primera descripcin sobre las funciones armnicas conjugadas

que Riemann tomar como punto de partida de su teora sobre las funciones de

variable compleja en su discurso inaugural de 1 851. Joseph-Louis Lagrange

(1736 1 813) lo utilizar en la mecnica de fluidos.

Euler y Laplace, hacia la misma poca, pero de forma independiente,

utilizaron frmulas de clculo bastante parecidas para el tratamiento de

integrales definidas, aunque ninguno de ellos las consideraba suficientemente

rigurosas. En Memoire sur les intgrales dfinies Poisson seal que la

integral b

adx)x(f puede no ser la misma segn que la variable pase de a a b

por una sucesin de valores reales o por valores imaginarios, llegando a

expresar que la integral depende del camino recorrido, base del concepto de

integral curvilnea.

La idea de Gauss sobre la futura teora de variable compleja era ya

notablemente clara en 1 811. Por entonces Gauss ya tena la representacin

geomtrica de los nmeros complejos y la nocin de integral curvilnea, el

teorema integral de Cauchy e incluso las primeras nociones sobre los periodos

de las integrales. Pero no expuso sus ideas pblicamente hasta 1 831.

Cauchy y la variable compleja

Cauchy no utiliz la representacin geomtrica hasta 1 825 y en su

10 Variable Compleja

Cours dAnalyse continu representando a los nmeros complejos como

expresiones simblicas que pueden ser sometidas a las diversas operaciones

del lgebra.

Figura 2: Augustin-Louis Cauchy (1 789 - 1 857).

Cauchy est muy relacionado con los ms importantes resultados de la

poca. Estudi con precisin la convergencia de una serie de potencias

resaltando la existencia del radio de convergencia, y tambin el problema

recproco, la posibilidad de desarrollar localmente en serie de potencias una

funcin holomorfa, siendo el radio de convergencia la distancia del centro a la

singularidad ms prxima. Escribi Mmorie sur les intgrales dfinies prises

entre des limites imaginaires, autntico punto de partida de las integrales

curvilneas, donde aparece el concepto de variacin continua de las curvas que

hoy se conoce por homotopa y el caso en el que la funcin se vuelve infinita

en puntos de un rectngulo de lados paralelos a los ejes. Hasta 1 850 Cauchy

no consider otras singularidades que los polos. Introdujo la nocin de residuo

en Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinitsimal dando en


una nota posterior la frmula de los residuos para un rectngulo.

En Turn en 1 831 public una memoria sobre la mecnica celeste donde

desarroll un mtodo para el estudio de la convergencia de series y acotacin

de errores al sustituir la serie por la suma de un nmero finito de trminos.

Estableci la frmula integral que lleva el nombre de teorema integral de

Cauchy y las desigualdades de Cauchy de las que se sigue de forma

inmediata el teorema de Liouville, esencial en el estudio de las funciones

enteras.

Una extensin importante de estos resultados se debe a P. M. H. Laurent

(1 813 1 854) quien consider funciones holomorfas definidas sobre coronas

circulares y lleg al desarrollo conocido con su nombre, que es el punto de

partida del estudio de las singularidades esenciales.

Como ya se ha indicado, Cauchy no present jams una visin general de

su teora, que fue elaborada en distintas memorias e innumerables notas

publicadas en Comtes Rendues. Hacia 1 844 J. Liouville (1 809 1 882) en sus

clases impartidas en el Collge de France dedicadas a funciones peridicas

intent establecer una exposicin sistemtica de las funciones de variable

compleja, pero dichas lecciones no fueron publicadas, aunque dieron lugar a

una querella entre Cauchy y Liouville sobre la prioridad del teorema que hoy se

conoce como de Liouville. Las lecciones de Cauchy son el origen de la primera

presentacin de la teora de funciones realizada por Briot y Bouquet en

Recherches sur la thorie des fonctions (Journal de lEcole Polytechnique,

1856). Las demostraciones estn incompletas en muchas ocasiones y se

utilizaron nociones intuitivas de topologa por lo que es necesario esperar a

Weierstrass para una construccin precisa.


Riemann y la variable compleja

Figura 3: Bernhard Riemann (1 826 1 866)

La primera publicacin de Riemann fue su discurso inaugural Principios

fundamentales para una teora general de las funciones de una variable

compleja (Gttingen, 1 851). l mismo indic que sus demostraciones eran a

menudo incompletas, y nicamente con la construccin de nuevas teoras y

entes matemticos podran ser posteriormente rellenadas las lagunas. La

primera presentacin completa de estos trabajos de Riemann se debe a H.

Weyl que utiliz nociones como variedad analtica, homologa y formas

armnicas. Riemann descubri nuevas geometras que con una axiomatizacin

conveniente han llegado a ser el cuadro geomtrico de la Fsica y la

Matemtica contempornea.

Riemann se situ en un marco geomtrico y represent los nmeros

complejos como puntos de un plano. Escribi por ejemplo: Cuando a todo

valor de z le corresponde un valor determinado w, variando de forma continua


con z, ..., entonces a todo punto del plano A corresponde un punto del plano B,

a toda lnea, de forma general, una lnea, a toda porcin conexa de superficie,

una porcin de superficie igualmente conexa. En consecuencia se puede

considerar esta dependencia de la magnitud w de z como una representacin

del plano A sobre el plano B. As nos mostraba Riemann que w es una funcin

de z, derivable en sentido complejo si entre dos tringulos infinitesimales que

se corresponden hay similitud.

La idea fundamental de Riemann para estudiar una funcin multiforme fue

recuperar la uniformidad de la funcin desdoblando, tantas veces como fuera

necesario, los valores de la variable. Dijo entonces: la funcin multiforme

admite en cada punto de una superficie que representa as el modo de

ramificacin, un nico valor determinado, y puede ser vista como una funcin

perfectamente determinada sobre esa superficie. Explic cmo las familias de

funciones algebraicas y los perodos de sus integrales estn caracterizados por

un nico invariante topolgico de sus superficies de Riemann, el orden de

conexin, definido a partir de sistemas de curvas. Riemann obtuvo, en su

memoria, teoremas de prolongacin para funciones armnicas, el principio del

mdulo mximo y el principio de prolongacin analtica. Termin con una

magistral aplicacin del principio de Dirichlet, que dice que: Dos superficies de

Riemann simplemente conexas pueden siempre ser representadas

conformemente una sobre la otra.

Weierstrass y la variable compleja

La motivacin principal de Weierstrass fue el estudio de las funciones

elpticas y abelianas, y desde este punto de vista profundiz en la teora de las


funciones de variable compleja.

Hizo una presentacin rigurosa de la teora, independiente de toda

referencia a la intuicin geomtrica. Sus primeros trabajos, que datan de 1 840

a 1 842, se publicaron por primera vez en 1 894, por lo que fueron ignorados

por sus contemporneos.

Figura 4: Karl Weierstrass (1 815 1 897)

Conoci el desarrollo en serie de Laurent; introdujo la nocin de

convergencia uniforme y demostr, utilizando el mtodo de los mayorantes, el

teorema sobre las soluciones analticas de un sistema de ecuaciones

diferenciales mediante el desarrollo en serie; esboz la teora de la

prolongacin analtica y el estudio de los puntos singulares. Weierstrass se hizo

clebre cuando en 1 854 publica su memoria Sobre la teora de funciones

abelianas. Entre 1 857 y 1 887 elabor cuidadosamente su edificio

matemtico, donde partiendo de una construccin correcta de los nmeros

reales desemboc en una teora general de las funciones analticas, y en la

teora de las funciones elpticas y abelianas.

El punto de partida de Weierstrass fue el concepto de funcin analtica. La


representacin local de una funcin analtica como serie de potencias hizo ver

que una funcin de este tipo posee numerosas propiedades anlogas a las de

un polinomio. Esto permiti hablar del orden de un cero, y partiendo del hecho

de que los ceros son aislados se lleg al principio de prolongacin analtica.

En su memoria Teora de las funciones analticas Weierstrass demostr

que si una funcin tiene una singularidad esencial en un punto, z0, el conjunto

de imgenes de los puntos de un disco cualquiera centrado en dicho punto y

sin su centro (disco pinchado) es denso en el plano complejo. Este resultado

fue completado por E. Picard (1 856 1 941), en 1 879, demostrando que este

conjunto de valores omite, a lo sumo, un punto del plano complejo.

CAPTULO 1

Los nmeros complejos

La variable compleja permite resolver problemas muy diferentes dentro de

reas tan variadas como pueden ser hidrulica, aerodinmica, electricidad,

electromagnetismo... Algunos de ellos slo requieren el conocimiento de los

nmeros complejos, como sucede en el caso del clculo de los autovalores

asociados a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Otros en cambio

requieren la utilizacin de la teora de funciones analticas complejas, como los

problemas de contorno que aparecen, por ejemplo, en el estudio del flujo de

fluidos,1 la conduccin del calor, la elasticidad o el potencial electrosttico.

Muchos problemas geomtricos pueden resolverse utilizando las

transformaciones complejas. Mientras que para los primeros bastara con los

contenidos que se revisan en este captulo, sobre los nmeros complejos y las

propiedades de sus operaciones que quiz ya conozca el alumnado de

secundaria, sin embargo para resolver los problemas de los siguientes tipos se

requiere un conocimiento profundo sobre las funciones complejas que se

estudiarn en los siguientes captulos.

Dentro de las Matemticas propiamente dichas, es interesante estudiar la

variable compleja por estar estrechamente relacionada con distintas reas, de

manera que su estudio pueda hacer accesible parte del lgebra, de la

1 Ver en Lamb, H.: Hydrodynamics, aplicaciones de la teora de funciones analticas a la

hidrodinmica.

18 Captulo 1: Variable Compleja

trigonometra, o proporcione herramientas para el clculo integral y la teora de

ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.

Comienza este captulo con una revisin del conjunto de los nmeros

complejos, su estructura algebraica de cuerpo conmutativo, la conjugacin, los

conceptos de mdulo y argumento, su interpretacin geomtrica en el plano y

las operaciones elementales en forma binmica y en forma polar, pues para

poder entender adecuadamente las funciones de variable compleja es

necesario comprender el conjunto sobre el que estn definidas: los nmeros

complejos. Se suponen conocidas las propiedades de los nmeros reales.

Al dotar el campo de los complejos de una distancia se tiene un espacio

mtrico. La estructura de orden de los nmeros reales se pierde con los

nmeros complejos, por lo que el concepto de infinito es ahora distinto. Es

preciso ampliar el conjunto de los complejos aadiendo un nuevo ente, el

infinito, y explicar su significado.

1.1. EL CUERPO DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Los antiguos algebristas operaron con expresiones en las que apareca

1 . Leibniz, en el siglo XVII, todava deca que 1 era una especie de

anfibio entre el ser y la nada. En 1 777 Euler le dio al monstruo 1 el

nombre de i (por imaginario). En la actualidad esta notacin se usa casi

universalmente, excepto en ingeniera elctrica, donde se utiliza j en lugar de i,

ya que esta letra se usa para indicar la intensidad de la corriente.

Los nmeros complejos 19

Cuando se desarroll la teora de los nmeros complejos, la electricidad

era una materia de inters slo de laboratorio. Pero antes del final del siglo XIX

los descubrimientos sobre electricidad y electromagnetismo transformaron el

mundo, y en este proceso los nmeros complejos fueron una herramienta que

simplific el clculo con las corrientes alternas. Esto prueba que conocimientos

que son matemtica pura para una generacin se convierten en aplicados para

la siguiente.

1.1.1. Nmeros complejos en forma binmica

Definicin 1.1.1:

Un nmero complejo se define como una expresin de la forma

z = x + iy

donde x e y son nmeros reales.

Este tipo de expresin, z = x + iy, se denomina forma binmica.

Se llama parte real de z = x + iy al nmero real x, que se denota Re(z), y

parte imaginaria de z = x + iy, al nmero real y, que se denota Im(z), por lo

que se tiene entonces que: z = Re(z) + iIm(z).

El conjunto de los nmeros complejos es, por tanto,

C = {z = x + iy; x, y }.

Esta construccin permite considerar a los nmeros reales como un

subconjunto de los nmeros complejos, siendo real aquel nmero complejo de

parte imaginaria nula. As, los nmeros complejos de la forma z = x + i0 son

nmeros reales y se denominan nmeros imaginarios a los de la forma z = 0 +


iy, es decir, con su parte real nula.

Dos nmeros complejos z1 = x + iy y z2 = u + iv son iguales si y slo si

tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias: x = u, y = v.

1.1.2. Operaciones en forma binmica

Las operaciones de suma y producto definidas en los nmeros reales se

pueden extender a los nmeros complejos. Para la suma y el producto de dos

nmeros complejos escritos en la forma binmica: x + iy, u + iv se tienen en

cuenta las propiedades usuales del lgebra con lo que se definen:

Definicin 1.1.2:

Suma: (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)

Definicin 1.1.3:

Producto: (x + iy) (u + iv) = (xu yv) + i(xv + yu)

Se comprueba que el cuadrado del nmero complejo i es un nmero real

negativo, 1, pues: (0 + i) (0 + i) = 1 + i(0) = 1.

Si los nmeros complejos son reales, con su parte imaginaria nula, estas

operaciones se reducen a las usuales entre los nmeros reales ya que:

(x + i0) + (u + i0) = (x + u) + i(0)

(x + i0) (u + i0) = (xu) + i(0)

Esto permite considerar al cuerpo de los nmeros reales como un

subconjunto de los nmeros complejos, C.

Definicin 1.1.4:


El conjugado del nmero complejo z = x + yi, se define como: i yxz

1.1.3. Propiedades algebraicas

El conjunto de los nmeros complejos con las operaciones de suma y

producto tiene estructura de cuerpo conmutativo. Esto es, verifica las

siguientes propiedades:

1. Propiedad asociativa de la suma: (z1 + z2) + z3 = z1+ (z2 + z3) para

todo z1, z2, z3 C.

2. Propiedad conmutativa de la suma: z1 + z2 = z1 + z2 para todo z1, z2

C.

3. Existencia de elemento cero: Existe un elemento, 0 = 0 + 0i, tal

que para todo z C, verifica: z + (0 + 0i) = (0 + 0i) + z = z.

4. Existencia de elemento opuesto: Para todo z C, existe z C,

definido como z = x + (y)i, tal que z + (z) = 0.

5. Propiedad asociativa del producto: (z1z2)z3 = z1(z2z3) para todo

z1, z2, z3 C.

6. Propiedad conmutativa del producto: z1z2 = z1z2 para todo z1, z2

C.

7. Existencia de elemento unidad: Existe un elemento, 1 = 1 + 0i, tal

que para todo z C, verifica: z(1 + 0i) = (1 + 0i)z = z.

8. Existencia de elemento inverso: Para todo nmero complejo no

nulo, z C/{0}, existe z-1 = 221

yxiyx

z

, tal que zz -1 = 1.


9. Propiedad distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 para todo z1, z2, z3

C.

Todas estas propiedades son sencillas de verificar, lo que se deja como

ejercicio. (Ejercicio 1.1).

Se observa que, en efecto, el inverso de z no est definido para el

elemento nulo, pues entonces se estara dividiendo por cero, ya que entonces

x2 + y2 = 0.

El cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado. Esto significa que

cualquier polinomio de grado n, mayor o igual a uno, con coeficientes reales o

complejos tiene al menos una raz compleja. Este resultado, (que se

demostrar en el captulo 4) se conoce como Teorema Fundamental del

lgebra y fue probado por Gauss (1 799). Como consecuencia se tiene que

cada polinomio de grado n tiene exactamente n races en el campo complejo,

no necesariamente distintas.

Se recuerda que los nmeros reales tienen estructura de cuerpo

conmutativo y ordenado. Al ser un subconjunto de los nmeros complejos, son

un subcuerpo de ellos. Pero como contrapartida se pierde una importante

propiedad, el orden. El cuerpo de los nmeros complejos no es un cuerpo

ordenado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1.1.1: Calcular (2 i)(1 + 2i)

Para calcular (2 i)(1 + 2i) se procede con las reglas usuales del lgebra


teniendo en cuenta que i2 = 1:

(2 i)(1 + 2i) = 2 + 4i i 2i2 = 2 + 4i i + 2 = 4 + 3i.

Ejemplo 1.1.2: El conjugado del nmero complejo z = 3 + 5i, es iz 53

Ejemplo 1.1.3: Para dividir nmeros complejos se multiplica, numerador y

denominador por el conjugado del denominador, y as se consigue que el

denominador sea un nmero real:

i111i22

i)1(i)1i)12

i12

(( .

Ejemplo 1.1.4: Para elevar a potencias la unidad imaginaria, se tiene en

cuenta que i2 = 1, y por tanto, i3 = i, i4 = 1:

i6 = 1,

i-3 = .i1)(

ii

1i13

Ejemplo 1.1.5: Calcular (1 + i)4.

Utilizando el binomio de Newton se obtiene:

(1 + i)4 =

04

14 +

14

i +

24

i2 +

34

i3 +

44

i4 = 1 + 4i 6 4i + 1 = 4.

Ejercicios

1.1. Demostrar que las operaciones de suma y producto de nmeros

complejos dotan a C de una estructura de cuerpo conmutativo.

1.2. Comprobar que:

a) (1 i)4 = 4.


b) 2i

i24i3

10i5

c) (1 + i)5 = 4 4i

1.3. Realizar las siguientes operaciones con nmeros complejos:

a) i)(3i)(2i)(1

68

b) (2 + i) i (1 2i) .

c) 5i

i33i4i2

d) (3 2i)(3 + 2i)

1.4. Comprobar si:

a) Im(iz) = Re(z).

b) Re(iz) = -Im(z).

c) Im(iz) = 0.

d) Re((3 i)( i101

51 )(3 + i)) = 2.

1.5. Comprobar si:

a) Im z3 = 3x2y y3

b) (Im z)3 = y3.

c) Im zz

22

2yx

xy

1.6. Calcular:


a) Im zz

b) Re(z4)

c) (Re(z))4

1.2. REPRESENTACIN GEOMTRICA. DIAGRAMA

DE ARGAND

El desarrollo moderno de los nmeros complejos empez con el

descubrimiento de su interpretacin geomtrica que fue indistintamente

expuesta por John Wallis (1 685) y ya de forma completamente satisfactoria por

Caspar Wessel (1 799). El trabajo de Wessel no recibi ninguna atencin, y la

interpretacin geomtrica de los nmeros complejos fue redescubierta por Jean

Robert Argand (1 806) y de nuevo por Carl Friedrich Gauss (1 831).

El conjunto de los nmeros complejos con las operaciones de suma y el

producto por un nmero real tiene estructura de espacio vectorial de dimensin

dos, y es, por tanto, isomorfo a 2. Una base de este espacio est formada por

el conjunto {1, i}. (Ejercicio 1.7).

i

x

z = x + iy

Figura 1.1: Representacin de los nmeros complejos


Al igual que los nmeros reales representan los puntos de una recta, los

nmeros complejos pueden ser puestos en correspondencia biunvoca con los

puntos de un plano. Los nmeros reales se representan en el eje de abscisas o

eje real, y a los mltiplos de i = 1 se les representa como puntos del eje

imaginario, perpendicular al eje real en el origen. A esta representacin

geomtrica se la conoce como el Diagrama de Argand. El eje y = 0 se

denomina eje real y el x = 0, eje imaginario.

Como la condicin necesaria y suficiente para que x + iy coincida con u +

iv es que x = u, y = v, el conjunto de los nmeros complejos se identifica con

2, y los nmeros complejos se pueden representar como puntos del plano

complejo. El nmero complejo z = x + iy se corresponde con la abscisa y la

ordenada del punto del plano asociado al par (x, y). En unas ocasiones se

refiere el nmero complejo z como el punto z y en otras como el vector z.

La suma de nmeros complejos corresponde grficamente con la suma

de vectores. Sin embargo, el producto de nmeros complejos no es ni el

producto escalar de vectores ni el producto vectorial.

El conjugado de z, z , es simtrico a z respecto del eje de abscisas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1.2.1: Representar en el plano de Argand los nmeros complejos:

a = 2 + i, b = 2i y c = 2 2i.

Los nmeros complejos a = 2 + i, b = 2i y c = 2 2i se representan:


Figura 1.2.2: Representacin de los nmeros complejos a, b y c.

Ejemplo 1.2.2: Representar en el plano de Argand los nmeros complejos:

2 + 3i, 1 + 2i, 3 2i, 5 + i y 4 3i.

Ejemplo 1.2.3: Representar el nmero complejo conjugado de a = 2 + i.

El conjugado de a = 2 + i, 2 i, se representa:

a = 2+i b=2i

c=22i

Figura 1.2: Ejemplo 1.2.1 - Representacin de a, b y c.

Figura 1.3: Ejemplo 1.2.2 - Representacin de nmeros complejos


Figura 1.2.4: Representacin del conjugado.

y se observa que es el simtrico respecto del eje de abscisas. La conjugacin

es un automorfismo del campo complejo relacionado con la simetra.

Ejemplo 1.2.4: Representar la suma de dos nmeros complejos.

La suma se representa igual que la suma vectorial:

Figura 1.2.4: Representacin de la suma de nmeros complejos.

Ejemplo 1.2.5: Representar el producto del nmero complejo 2 + i por la

unidad imaginaria: i.

El producto de 2 + i por i es igual a 1 + 2i, y al representarlo se observa

que multiplicar por la unidad imaginaria es girar 90.

2 + i

2 i

Figura 1.4: Ejemplo 1.2.3 - Representacin del conjugado.

Figura 1.5: Representacin de la suma de nmeros complejos.


Figura 1.2.6: Representacin del producto de un nmero complejo por la unidad imaginaria

Ejercicios

1.7. Demostrar que C, con las operaciones de suma y el producto de

un nmero real, tiene estructura de espacio vectorial bidimensional.

1.8. Representar grficamente los siguientes nmeros complejos:

a) a = 3i

b) b = 2i

c) c = 5

d) d = 1 + i

e) e = 1 i

1.9. Representar grficamente el conjugado de los nmeros

complejos:

a) a = 3i

b) b = 2i

c) c = 5

i

Figura 1.6: Representacin del producto de un nmero complejo por la unidad imaginaria


d) d = 1 + i

e) e = 1 i

1.10. Representar grficamente la suma de los siguientes nmeros

complejos:

a) a + b

b) a + c

c) b + d

d) d + e

1.11. Representar grficamente el producto de los siguientes

nmeros complejos:

a) ai

b) bi

c) ci

d) di

e) ei.

1.3. FORMA POLAR

1.3.1. Mdulo

Definicin 1.3.1:


El mdulo de un nmero complejo se define como 22 yxz , y

representa la distancia de z al origen, es decir, la longitud del vector libre (x, y)

de 2.

Por tanto el mdulo nunca puede ser un nmero real negativo. El mdulo

de un nmero real coincide con su valor absoluto.

Aunque no tiene sentido decir si z1 < z2, salvo que sean nmeros reales,

s tiene sentido la desigualdad 21 zz y significa que z1 est ms prximo al

origen que z2.

Otra forma de expresar el mdulo de un nmero complejo es mediante la

expresin zzz donde z es el conjugado de z, siendo el producto de un

nmero complejo por su conjugado igual a (x + iy)(x iy) = x2 + y2 un nmero

real y positivo.

1.3.2. Argumento

El argumento de un nmero complejo z, si z 0, representa el ngulo, en

radianes, que forma el vector de posicin con el semieje de abscisas positivas.

Es por tanto cualquier nmero real tal que cos = zx , sen =

zy . Se tiene

entonces que cada nmero complejo no nulo tiene infinidad de argumentos,

positivos y negativos, que se diferencian entre s en mltiplos enteros de 2.

Si z es igual a cero, su mdulo es cero, pero su argumento no est

definido.

Si se quiere evitar la multiplicidad de los argumentos se puede


seleccionar para un intervalo semiabierto de longitud 2, lo que se llama

elegir una rama del argumento; por ejemplo, si se exige que (, ], (o para

otros autores a [0, 2)), se obtiene el argumento principal de z, que se denota

por Arg(z). Si z es un nmero real negativo su argumento principal vale . En

ocasiones es preferible utilizar argumentos multivaluados:

arg(z) = {Arg(z) + 2k; kZ}

donde Z representa el conjunto de los nmeros enteros.

Si se define Arg(z) como arctg(y/x) se tiene una nueva ambigedad, ya

que existen dos ngulos en cada intervalo de longitud 2 de los cuales slo uno

es vlido. Por todo ello, las afirmaciones con argumentos deben ser hechas

con una cierta precaucin, pues por ejemplo la expresin:

arg(zw) = arg(z) + arg(w)

es cierta si se interpretan los argumentos como multivaluados.

Si z es distinto de cero, z verifica que z = z, y Arg( z ) = Arg(z).

1.3.3. Propiedades del mdulo, del conjugado y del

argumento de un nmero complejo

Algunas propiedades del conjugado y del mdulo de un nmero complejo

son:

1. z, w C, wz = z + w , wz = z w , wz = z w .

2. z C, z = z, Arg( z ) = Arg(z), arg( z ) = arg(z).

3. z z = z .


4. z, w C, zz = z2, z = z, zw = zw, wz

wz

.

5. z = 0 z = 0.

6. z C, Re(z) = 2

zz , Im (z) = i2zz .

7. z C, Re(z)z, Im(z)z, zRe(z)+Im(z)

8. z, w C, zwz + w z+ w

Las propiedades de la conjugacin prueban que sta es un

automorfismo idempotente en C. Se observa que las desigualdades 7 y 8 son

siempre entre nmeros reales, no entre complejos, por lo que s tiene sentido

escribir una desigualdad. La segunda parte de la propiedad 8 se conoce con el

nombre de desigualdad triangular. Las propiedades del mdulo prueban que

ste es una norma en el espacio vectorial C.

La comprobacin de estas propiedades se deja como ejercicio. (Ejercicio

1.12).

1.3.4. Forma polar

Definicin 1.3.2:

Si es igual al mdulo del nmero complejo no nulo z y es un

argumento de z, entonces (, ) son las coordenadas polares del punto z.

La conversin de coordenadas polares en cartesianas y viceversa se

hace mediante las expresiones:

x = cos , y = sen , por lo que z = x + iy = (cos + isen ).

Esta ltima expresin es vlida incluso si z = 0, pues entonces = 0, por


lo que se verifica para todo .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1.3.1: Calcular el mdulo de los siguientes nmeros complejos:

2 + 3i y 4 + i.

Al calcular 1332 i y 174 i se sabe que el primero dista

menos del origen que el segundo.

Ejemplo 1.3.2: Calcular el argumento de los siguientes nmeros

complejos: 5i, 7i, 3 y3.

El argumento principal de 5i es igual a 2 , el de 7i es

23 , el de 3 vale 0

y el 3 es .

Ejemplo 1.3.3: Escribir en forma binmica el nmero complejo de mdulo

2 y argumento 3 .

El nmero complejo de mdulo 2 y argumento principal 3 es 1+ 3 i, ya

que: x = 2 cos3 = 1 e y = 2 sen

3 = 3 .

Ejemplo 1.3.4: Calcular el mdulo y el argumento de: 1 i.

El nmero complejo 1 i tiene de mdulo = 22 11 )()( = 2 .

Uno de sus argumentos es + 4 =

45 , y su argumento principal es

43 , por tanto arg(1 i) =

43 + 2k.


Ejemplo 1.3.5: Comprobar si se verifica que Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w).

Se verifica que arg(zw) = arg(z) + arg(w) considerando estos argumentos

como conjuntos, y en general no se verifica que Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w),

pues por ejemplo Arg((i)2) = Arg(1) = , mientras Arg(i) + Arg(i) = 2

2

= .

Ejercicios

1.12. Demostrar las propiedades del apartado 1.3.3.

1.13. Discutir el significado de las siguientes expresiones, poniendo

distintos ejemplos:

a) arg(zw) = arg(z) + arg(w),

b) arg( z ) = arg(z1) = arg(z),

c) arg(z/w) = arg(z) arg(w).

1.14. Calcular el modulo y el argumento principal de los siguientes

nmeros complejos:

a) i3

b) 2 2i

c) 1 i3

d) 4i

1.15. Expresar en forma polar los siguientes nmeros complejos:

a) i


b) i

c) 4 + 4i

d) 4

1.4. FORMA EXPONENCIAL DE UN NMERO

COMPLEJO

Definicin 1.4.1.:

Se denomina Frmula de Euler a la expresin:

ei = exp(i) = cos + isen ,

donde se mide en radianes.

Definicin 1.4.2:

La frmula de Euler permite expresar un nmero complejo no nulo en lo

que se conoce como la forma exponencial:

z = zei = ei.

Al estudiar la funcin exponencial se justificar esta expresin.

Para cada valor previamente fijado de los puntos de la ecuacin z =

ei estn sobre la circunferencia de radio y centro el origen.

Dos nmeros complejos, z1 = ei y z2= rei, no nulos, son iguales si, y

slo si, = r y = + 2k, donde k es cualquier nmero entero.


1.4.1. Operaciones entre nmeros complejos en forma

exponencial

Para multiplicar nmeros complejos expresa

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