Le Galassie: proprietà dinamiche

Sistemi non collisionaliConsideriamo un sistema stellare: questo è costituto da un numero molto grande di stelle (es. 107-1012) le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle dimensioni tipiche dei sistemi stellari stessi (R☉ ~ 7 ×1010 cm - Rgal~kpc = 3× 1021 cm).

Le stelle possono quindi essere considerate come un gas di particelle puntiformi.

Tuttavia, c’è una differenza fondamentale tra i gas di stelle (galassie) ed i gas reali (atomi o molecole in una scatola): la natura delle forze di interazione tra le particelle in esame.

L’interazione tra due atomi o molecole è a corto raggio; le forze si manifestano solo quando le molecole sono molto vicine tra loro (collisione) per cui le particelle tra una collisione e la successiva si muovono di moto rettilineo uniforme.

L’interazione tra due stelle invece è di tipo gravitazionale e pertanto è a lungo raggio e spesso il contributo maggiore all’attrazione viene da stelle a più grande distanza r se la loro massa è tale da vincere la caduta come r -2 rispetto alle stelle più vicine.

Sistemi non collisionaliDi conseguenza, se le collisioni tra singole stelle sono poco importanti, possiamo considerare il moto di ogni stella come se accelerasse in modo regolare (e non in modo impulsivo come durante le collisioni) nel campo gravitazionale generato da una distribuzione continua di massa (e non una “somma” di delta di Dirac, cosa che dovrei fare se le collisioni con le singole stelle fossero importanti). Dimostriamo questa affermazione.Cerchiamo di ottenere una stima dell’ordine di grandezza della differenza di velocità tra il moto di una stella dopo la collisione con una stella di campo e la velocità che avrebbe se la massa delle stelle fosse distribuita in modo uniforme.Una stella passa entro una distanza b da una stella di campo e la sua velocità viene variata di δv; assumiamo che la stella di campo resti fissa durante la collisione e che δv/v << 1; in questo caso possiamo considerare la traiettoria rettilinea e δv deve essere perpendicolare a v perchè lungo la traiettoria rettilinea le componenti parallele della forza mediamente sono nulle.

1.2 Collisionless stellar systems 35

Figure 1.5 A field star approachesthe subject star at speed v and im-pact parameter b. We estimate theresulting impulse to the subject starby approximating the field star’s tra-jectory as a straight line.

and find in the notation of Figure 1.5,

F⊥ =Gm2

b2 + x2cos θ =

Gm2b

(b2 + x2)3/2=

Gm2

b2

!1 +

"vt

b

#2$−3/2

. (1.28)

But by Newton’s laws

mv̇ = F so δv =1

m

% ∞

−∞dt F⊥, (1.29)

and we have

δv =Gm

b2

% ∞

−∞

dt

[1 + (vt/b)2]3/2=

Gm

bv

% ∞

−∞

ds

(1 + s2)3/2=

2Gm

bv. (1.30)

In words, δv is roughly equal to the acceleration at closest approach, Gm/b2,times the duration of this acceleration 2b/v. Notice that our assumption ofa straight-line trajectory breaks down, and equation (1.30) becomes invalid,when δv ≃ v; from equation (1.30), this occurs if the impact parameterb ∼< b90 ≡ 2Gm/v2. The subscript 90 stands for a 90-degree deflection—seeequation (3.51) for a more precise definition.

Now the surface density of field stars in the host galaxy is of orderN/πR2, where N is the number of stars and R is the galaxy’s radius, so incrossing the galaxy once the subject star suffers

δn =N

πR22πb db =

2N

R2b db (1.31)

encounters with impact parameters in the range b to b + db. Each such en-counter produces a perturbation δv to the subject star’s velocity, but becausethese small perturbations are randomly oriented in the plane perpendicularto v, their mean is zero.10 Although the mean velocity change is zero, themean-square change is not: after one crossing this amounts to

&δv2 ≃ δv2δn =

"2Gm

bv

#2 2N

R2b db. (1.32)

10 Strictly, the mean change in velocity is zero only if the distribution of perturbingstars is the same in all directions. A more precise statement is that the mean changein velocity is due to the smoothed-out mass distribution, and we ignore this because thegoal of our calculation is to determine the difference between the acceleration due to thesmoothed mass distribution and the actual stars.

b ' b? =2Gm

v2

Sistemi non collisionaliPonendo l’origine del tempo nell’istante di massimo avvicinamento tra le due stelle e l’origine della coordinata x nel punto in cui questo avviene otteniamo (m massa delle stelle)

F? =

Gm

2

b

2+ x

2cos ✓ =

Gm

2b

(b

2+ x

2)

3/2=

Gm

2

b

2

"1 +

✓vt

b

◆2#�3/2

Per le leggi di Newton md~v

dt= ~F �v =

1

m

Z +1

�1F?dt

�v =Gm

b2

Z +1

�1

dt

[1 + (vt/b)2]3/2=

Gm

bv

Z +1

�1

ds

(1 + s2)3/2=

2Gm

bv

con la sostituzione s = vt/b

In pratica la variazione di velocità è pari all’accelerazione alla distanza minima (G m /b2) moltiplicata la durata dell’accelerazione (2b/v ).Notare che la nostra approssimazione di traiettoria rettilinea cade quando

�v

v' 1

Sistemi non collisionaliConsideriamo la galassia sferica ed una stella S che si trova al bordo esterno in procinto di attraversarla.La densità superficiale delle stelle nella galassia come vista dalla stella S è dell’ordine di N/πR2 con N numero di stelle e R raggio della galassia; pertanto in un attraversamento della galassia la stella in esame subisce un numero di “incontri” con parametro di impatto tra b e b+db pari a

�n =N

⇡R22⇡b db =

2N

R2b db

Ognuno di questi incontri produce una perturbazione della δv velocità, ma poiché queste perturbazioni sono distribuite casualmente nel piano perpendicolare alla velocità la loro media è nulla. Tuttavia non è nulla la variazione quadratica media della velocità che, dopo un attraversamento della galassia, considerando “incontri” con parametro di impatto b, b+db è

�v2 = ⌃i�v2i ' �v2�n =

✓2Gm

bv

◆2 2N

R2b db

R

bdb

Galassia vista dalla stella S

Sistemi non collisionaliInfine integrando tra il minimo ed il massimo parametro di impatto otteniamo la variazione totale di velocità ad ogni singolo attraversamento della galassia

�v2 =

Z bmax

bmin

⌃�v2 ' 8N

✓Gm

Rv

◆2

ln⇤

con il logaritmo di Coulomb dato da

Il logaritmo diverge per bmin=0 e bmax=∞; ma possiamo considerare bmin pari a b★ valore trovato in cui δv/v = 1 e bmax = R, dimensione della galassia.

ln⇤ = ln

✓bmax

bmin

◆= ln

✓R

bstar

◆

Questi incontri a due corpi causano un tipo di processo diffusivo per la stella in esame che è distinta dall’accelerazione regolare dovuta alla distribuzione complessiva della massa del sistema stellare (considerata continua).Questo processo diffusivo è chiamato “two-body relaxation” dal momento che è il risultato di collisioni multiple a due corpi.

nrelax

' N

8 lnN

�v2

v2⇡ 8 ln⇤

N=

8 ln(R/b?)

N=

8 lnN

N

Sistemi non collisionaliLa velocità tipica di una stella in una galassia la possiamo stimare come quella di una particella in orbita circolare ai bordi della galassia

v2 ⇡ GNm

R2

Da cui ricaviamo che

Se la stella subirà molte collisioni con molti passaggi nella galassia, la velocità cambierà approssimativamente di Δv2 ad ogni attraversamento per cui il numero di collisioni necessarie a cambiare v di una valore pari a se stesso è dato da

Definiamo quindi il tempo di rilassamento (relaxation time)

trelax

= nrelax

tcross

' 0.1N

lnNtcross

✓�v2

v2

◆

TOT

= nrelax�v2

v2= 1

Sistemi non collisionalidove abbiamo definito il tempo di attraversamento ed abbiamo ricavato Λ utilizzando le espressioni per b★ e v

Dopo un tempo pari a trelax l’effetto cumulativo delle piccole perturbazioni dovute alle collisioni con le singole stelle avrà cambiato significativamente la velocità rispetto alla v che si avrebbe per il potenziale dovuto ad una distribuzione continua di massa.Dopo trelax la stella avrà perso memoria delle sue condizioni iniziali!Le galassie hanno tipicamente N~1011 stelle e età pari ad alcuni centinaia di tempi di attraversamento, per cui le collisioni sono del tutto trascurabili eccetto che nelle regioni centrali più dense (trelax ~4×108 tcross).Al contrario negli ammassi globulari N~105 e tcross~1Myr per cui il tempo di rilassamento può influenzare significativamente la struttura dell’ammasso la cui età è ~10 Gyr (trelax ~900 tcross ~0.9 Gyr).

tcross

=R

v⇤ =

R

b?⇡ Rv2

Gm⇡ N t

relax

' 0.1N

lnNtcross

Sistemi non collisionaliFino ad ora abbiamo considerato gli urti deboli. E’ possibile che le collisioni forti riescano a far raggiungere l’equilibrio?Per avere un urto forte sappiamo che b < b★ ed in tal caso possiamo anche assumere che basti un solo urto per avere 𝛥v/v = 1. Quindi, per capire l’importanza degli urti forti dobbiamo calcolare la probabilità di avere almeno un urto durante un attraversamento. Questa è semplicemente

ovvero occorrono almeno N2 attraversamenti prima di avere un urto forte, quindi il loro effetto è ancora minore di quello degli urti deboli.In tutti questi sistemi la dinamica su tempi <trelax è quella di un sistema senza collisioni in cui le particelle si muovono semplicemente sotto l’azione di un campo gravitazionale generato da una distribuzione continua di massa piuttosto che da una raccolta di masse puntiformi.Però le galassie sono dinamicamente “rilassate” (es. seguono il teorema del viriale), pertanto devono esistere processi che permettono di raggiungere l’equilibrio. Questi sono, ad esempio, processi di interazione a più corpi.

P =⇡b2?⇡R2

=

✓2Gm

v2

◆2 1

R2=

4

N2

A. Marconi Introduzione all’Astrofisica 2015/2016

Densità dalla FotometriaLa brillanza superficiale osservata di una galassia può essere convertita in densità di luminosità facendo delle assunzioni sulla struttura tridimensionale della galassia stessa. Supponiamo che la galassia abbia simmetria sferica.

s

R rr

N

E

N

Z

piano del cielo vista di lato

P P

La brillanza superficiale osservata in P [ Σ(r) ] sul piano del cielo alla distanza proiettata r dal centro, è pari all’integrale della densità di luminosità (luminosità/volume) lungo la linea di vista, ovvero lungo la direzione perpendicolare al piano del cielo

10

�(r) =Z +1

�1J(s)ds = 2

Z +1

r

J(R)RpR2 � r2

dR s =pR2 � r2

A. Marconi Introduzione all’Astrofisica 2015/2016

Densità dalla Fotometria

11

⌃(r) = 2

Z +1

r

J(R)RpR2 � r2

dR Σ(r) è osservata, J(R) è ingognita

Questa è una equazione integrale di Abel con soluzione:

J(r) = � 1�

Z +1

R

d�(r)dr

drpr2 �R2

Questo approccio può essere generalizzato agli sferoidi assissimmetrici oblati o prolati che sono una migliore approssimazione di una vera galassia.

ab=a

c

z

y

x

Oblato: a = b > c

Prolato: a = b < c

La struttura ellissoidale più generale è triassiale: a = b < c

Se la galassia ha una struttura a disco sottile allora ⌃(r) ' J(R)�Rr = R

Orbite delle stelleDalla fotometria otteniamo quindi la densità di luminosità che possiamo convertire in densità di massa assumendo (o tenendo come parametro libero) un certo rapporto massa/luminosità Γ; ρ(r) = Γ J(r)ρ(r) è la densità di massa della galassia, composta da stelle, gas, materia oscura; l’ho ricavata come una distribuzione continua ma, per quanto detto sulle galassie come sistemi non collisionali, questo è corretto.Allora posso ricavare il potenziale gravitazionale dall’equazione di Poisson

r2�(~r) = 4⇡G⇢(~r)E quindi l’orbita di una stella sarà data dacon opportune condizioni iniziali.Per esempio si possono assegnare alla stella valori definiti di energia e momento angolare all’istante iniziale.

md2~r

dt= �m~r�

Il moto non è quello di una massa test attorno ad una massa puntiforme ma è quello di una massa test in una distribuzione continua di massa, per cui le orbite non sono più semplici come nel caso del problema di Keplero.

3.2 Orbits in axisymmetric potentials 161

Figure 3.4 Two orbits in the potential of equation (3.70) with q = 0.9. Both orbits areat energy E = −0.8 and angular momentum Lz = 0.2, and we assume v0 = 1.

for v0 = 1, Lz = 0.2 and axial ratios q = 0.9 and 0.5. This resembles theeffective potential experienced by a star in an oblate spheroidal galaxy thathas a constant circular speed v0 (§2.3.2). Notice that Φeff rises very steeplynear the z axis, as if the axis of symmetry were protected by a centrifugalbarrier.

The minimum in Φeff has a simple physical significance. The minimumoccurs where

0 =∂Φeff

∂R=∂Φ

∂R−

L2z

R3; 0 =

∂Φeff

∂z. (3.71)

The second of these conditions is satisfied anywhere in the equatorial planez = 0 on account of the assumed symmetry of Φ about this place, and thefirst is satisfied at the guiding-center radius Rg where

!∂Φ

∂R

"

(Rg,0)

=L2

z

R3g

= Rgφ̇2. (3.72)

This is simply the condition for a circular orbit with angular speed φ̇. Thusthe minimum of Φeff occurs at the radius at which a circular orbit has angularmomentum Lz, and the value of Φeff at the minimum is the energy of thiscircular orbit.

Unless the gravitational potential Φ is of some special form, equations(3.68a) cannot be solved analytically. However, we may follow the evolutionof R(t) and z(t) by integrating the equations of motion numerically, startingfrom a variety of initial conditions. Figure 3.4 shows the result of two suchintegrations for the potential (3.69) with q = 0.9 (see Richstone 1982). Theorbits shown are of stars of the same energy and angular momentum, yet theylook quite different in real space, and hence the stars on these orbits mustmove through different regions of phase space. Is this because the equationsof motion admit a third isolating integral I(R, z, pR, pz) in addition to E andLz?

Esempio di orbita in potenziale assisimmetrico

(riferimento cilindrico con R, z, ϕ)

Per quanto sia possibile calcolare le orbite delle stelle (problema di calcolo numerico), non è pensabile di seguire le orbite di ~1011 stelle. Allora è necessario un approccio statistico che si avvantaggia del fatto che la distribuzione di massa la possiamo considerare continua.

Consideriamo lo spazio delle fasi ovvero localizziamo ogni stella nello spazio con coordinate (r,v) Consideriamo la funzione di distribuzione f(r,v,t) che fornisce la probabilità di trovare una stella in un determinato volumetto dello spazio delle fasi

La densità di probabilità di trovare una stella in x è

La densità di probabilità di trovare una stella con velocità v per una data posizione x è, ricordando il teorema di Bayes

Integrando f possiamo trovare quindi tutte le grandezze che misuriamo sperimentalmente come brillanza superficiale e dispersione di velocità

La funzione di distribuzione

dp = f(~x,~v; t) d3~x d3~v

Zf(~x,~v; t) d3~x d3~v = 1

P

~x

(~v) = P (~v|~x) = f(~x,~v)

⌫(~x)

⌫(~x) =

Zf(~x,~v; t) d3~v

hQ(~x, t)i =Z

d

3~v Q(~x,~v)P (~v|~x) = 1

⌫(~x)

Zd

3~v Q(~x,~v)f(~x,~v, t)

Tutte le altre grandezza da confrontare con i valori osservati si ottengono integrando la funzione di distribuzione. I momenti di qualsiasi grandezza Q sono

Supponiamo di avere un riferimento con x,y piano del cielo e z direzione della linea di vista.

Densità di massa (N stelle di massa m)

Dispersione di velocità totale nell direzione i-esima

Brillanza superficiale (l★ luminosità stella; z coordinate lungo la linea di vista vedi anche relazione ρ-Σ )

La funzione di distribuzione

hQ(t)i =Z

d

3~x

Zd

3~vQ(~x,~v)f(~x,~v, t)

hv2i i =Z

d

3~x

Zd

3~vv

2i f(~x,~v, t)

⇢(~x) = Nm⌫(~x) = Nm

Zf(~x,~v; t) d3~v

h⌃(x, y)i = Nl?

Z Z Zd

3~vdz f(~x,~v, t)

Troviamo adesso l’equazione che soddisfa la funzione di distribuzione.Consideriamo w = (q,p) generico insieme coordinate canoniche che definisca lo spazio delle fasinel tempo, se non ci sono processi che aumentano o distruggono le stelle, f (densità di probabilità) varia solo per il flusso attraverso le superfici del volumetto dw dello spazio delle fasi una cosa analoga l’avevamo trovata per la densità di massa dell’elemento fluido

pertanto l’equazione per f sarà

La funzione di distribuzione

@⇢

@t

+@

@~x

· (⇢~̇x) = 0 ~r· =@

@~x

· ~v = ~̇x

~w = (~q, ~p)@f

@t+

@

@ ~w· (f ~̇w) = 0

@

@ ~w· (f ~̇w) = @

@~q· (f ~̇q) + @

@~p· (f ~̇p)

~̇q =@H@~p

~̇p = �@H@~q

La funzione di distribuzionesviluppando la derivata ed utilizzando le equazioni di moto si ottiene infine

e quindi l’equazione per f diventa

abbiamo cioè trovato che il “flusso” di probabilità nello spazio delle fasi è incompressibile

ricordiamo che per i fluidi era

@

@ ~w· (f ~̇w) = ~̇q · @f

@~q+ ~̇p · @f

@~p

@f

@t+ ~̇q · @f

@~q+ ~̇p · @f

@~p= 0

@f

@t

+ ~̇x · @f@~x

+ ~̇v · @f@~v

= 0

d

dt

f(~x,~v, t) = 0

d⇢

dt= �⇢~r · ~v

r2�(~r) = 4⇡G⇢(~r) = 4⇡GNm

Zd

3~v f(~x,~v, t)

L’equazione di BoltzmannAbbiamo trovato l’equazione di Boltzmann

d

dt

f(~x,~v, t) = 0

dove la derivata è quella Lagrangiana estesa allo spazio delle fasi, allora

ovvero, utilizzando il II principio della dinamica per insieme di stelle autogravitante possiamo scrivere.

@f

@t

+ ~v · ~rf � ~r�(~x) · @f@~v

= 0 ~a = �~r�(~x)

inoltre il potenziale gravitazionale è dato dall’equazione di Poisson

con N numero totale di stelle e m massa della singola stella.

@

@tf(~w, t) +

~̇w · @

@ ~w,

�f(~w, t) = 0

@

@t

f(~x,~v, t) +

⇣~̇x, ~̇v

⌘·✓

@

@~x

,

@

@~v

◆�f(~x,~v, t) = 0

è un insieme incompleto, conoscendo potenziale e densità ci sono 9 funzioni incognite (3 vi, 6 componenti del tensore simmetrico vij) e 4 equazioni indipendenti.Occorrono delle assunzioni per chiudere il sistema (es. simmetria sferica) ma le assunzioni sbagliate possono portare risultati sbagliati!

Le equazioni di JeansPrendendo i momenti dell’equazione di Boltzmann si trovano le equazioni di Jeans, analoghe alle equazioni fluide (una trattazione analoga si può fare per i fluidi dimostrando le equazioni già viste)@n

@t

+@(nv̄i)

@xi= 0

n

@v̄j

@t

� v̄j@(nv̄i)

@xi+

@(nvivj)

@xi= �n

@�

@xj

v̄j velocità media direzione jvivj tensore dispersione

velocitàvivi = �2

i dispersione velocità lungo i

n(~x) = N⌫(~x) = N

Zf(~x,~v; t) d3~v v̄i(~x) =

1

⌫(~x)

Zvif(~x,~v; t) d

3~v

vivj(~x) =1

⌫(~x)

Z(vi � v̄i)(vj � v̄j)f(~x,~v; t) d

3~v

Consideriamo un sistema stellare a simmetria sferica e stazionario, ovvero f = f(r, v, t), cioè f dipende solo da r e dal modulo della velocità ( ϕ=ϕ(r) )L’equazione di Boltzmann è allora

l’equazione di Poisson è

cerchiamo di vedere se esiste una soluzione tipo sfera isoterma.La distribuzione di Maxwell Boltzmann per un gas a temperatura T è

dal modello cinetico del gas perfetto, per UN grado di libertà

La sfera isoterma

@f

@t

+ ~v · ~rf � ~r�(~x) · @f@~v

= 0

v@f

@r� d�

dr

@f

@v= 0

1

r2

@

@r

✓r2

@�

@r

◆�= 4⇡G⇢

f(~v)d3~v =

✓m

2⇡kBT

◆3/2

exp

� mv2

2kBT

�4⇡v2dv

1

2m�2 =

1

2kBT

La sfera isotermaovvero

torniamo al gas di stelle e definiamo l’energia per unità di massa

f(v)dv =

✓1

2⇡�2

◆3/2

exp

� v2

2�2

�4⇡v2dv

Em =E

m=

1

2v2 + �

e consideriamo, in analogia alla distribuzione di Maxwell Boltzmann

f(r, v) = n0

✓1

2⇡�2

◆3/2

exp

�Em

�2

�= n0

✓1

2⇡�2

◆3/2

exp

�1/2v2 + �

�2

�

verifichiamo che soddisfa l’equazione di Boltzmann v@f

@r� d�

dr

@f

@v= 0

@f

@r= f

✓� 1

�2

d�

dr

◆@f

@v= f

✓� 1

�2v

◆

da cui l’equazione è chiaramente soddisfatta!

=

n0Nm

(2⇡�2)

3/2exp

✓� �

�2

◆Z 1

0exp

✓� v2

2�2

◆4⇡v2 dv

che è l’equazione già vista per la sfera isoterma con soluzione singolare, che però è relativa al “gas” di stelle con dispersione di velocità lungo una direzione dello spazio (1 grado libertà)

La sfera isotermaDobbiamo ancora soddisfare l’equazione di Poisson per trovare il potenziale. Ricaviamo la densità

Z 1

0x

2e�ax

2

dx =1

4

r⇡

a

3

⇢(r) = mN

Zf(r, v)d3~v = mN

Z 1

0f(r, v)4⇡v2dv

=

4⇡⇢0(2⇡�2

)

3/2exp

✓� �

�2

◆✓�3

4

p8⇡

◆= ⇢0 exp

✓��(r)

�2

◆

�(r) = ��2 ln

✓⇢(r)

⇢0

◆

d

dr

✓r2

1

⇢

d⇢

dr

◆= �4⇡G

�2r2⇢

⇢(r) =�2

2⇡Gr2

ricordando che

Si ottiene poi il potenziale per l’equazione di Poissonda cui

Orbite delle stelle3.2 Orbits in axisymmetric potentials 161

Figure 3.4 Two orbits in the potential of equation (3.70) with q = 0.9. Both orbits areat energy E = −0.8 and angular momentum Lz = 0.2, and we assume v0 = 1.

for v0 = 1, Lz = 0.2 and axial ratios q = 0.9 and 0.5. This resembles theeffective potential experienced by a star in an oblate spheroidal galaxy thathas a constant circular speed v0 (§2.3.2). Notice that Φeff rises very steeplynear the z axis, as if the axis of symmetry were protected by a centrifugalbarrier.

The minimum in Φeff has a simple physical significance. The minimumoccurs where

0 =∂Φeff

∂R=∂Φ

∂R−

L2z

R3; 0 =

∂Φeff

∂z. (3.71)

The second of these conditions is satisfied anywhere in the equatorial planez = 0 on account of the assumed symmetry of Φ about this place, and thefirst is satisfied at the guiding-center radius Rg where

!∂Φ

∂R

"

(Rg,0)

=L2

z

R3g

= Rgφ̇2. (3.72)

This is simply the condition for a circular orbit with angular speed φ̇. Thusthe minimum of Φeff occurs at the radius at which a circular orbit has angularmomentum Lz, and the value of Φeff at the minimum is the energy of thiscircular orbit.

Unless the gravitational potential Φ is of some special form, equations(3.68a) cannot be solved analytically. However, we may follow the evolutionof R(t) and z(t) by integrating the equations of motion numerically, startingfrom a variety of initial conditions. Figure 3.4 shows the result of two suchintegrations for the potential (3.69) with q = 0.9 (see Richstone 1982). Theorbits shown are of stars of the same energy and angular momentum, yet theylook quite different in real space, and hence the stars on these orbits mustmove through different regions of phase space. Is this because the equationsof motion admit a third isolating integral I(R, z, pR, pz) in addition to E andLz?

Esempio di orbita in potenziale assisimmetrico (riferimento cilindrico con R, z, ϕ)