Latihan Geometri - Jarak

8/20/2019 Latihan Geometri - Jarak

1/18

GEOMETRISoal dan Penyelesaian

Jarak

Nama : Gita Cahyaningtyas

NIM : 06081381419048


2/18

Latihan 1 halaman 71!

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH.

Tentukan jarak titik D ke bidang ACH!

2.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C

pada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik S adalah

Penyelesaian:

1. Panjang OH = √ = √ 2

=

2 = = = a


3/18

L.∆ = . . =

. . √ 2

=

√ 2

L. ∆ = .. =

. a .

L. ∆ = L. ∆ √ 2 = . a . = √

a

= √ a

= 2 .

=

= = √ . √ √ = √ 3 Jadi, jarak titik D ke bidang ACH =

√ 3 .


4/18

2.

∆ cos α =

+ −

.

.

= + a − a

. √ . a

=

√ =

√

∆ cos α =

√ =

√ = √ √ . √ √ = √ = √ 6 Jadi, jarak titik A ke titik S adalah √ 6 .


1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak AF ke

bidang CDHG!


5/18

2. T.ABC adalah bidang empat beraturan, dengan AB = 16. Jika P dan Q masing-masing

pertengahan TA dan BC, maka tentukan PQ.

3. Diketahui bidang empat D.ABC beraturan dengan AB = 10, dengan titik P dan Q masing-

masing merupakan titik tengah dari BA dan DC. Hitunglah jarak AB ke CD!

Penyelesaian:

1. Dapat dilihat dari gambar, bahwa AF sejajar dengan diagonal bidang dari CDHG, yaitu

DG. Seperti yang kita ketahui bahwa antara dua garis sejajar terdapat jarak. Selain itu,

garis juga terbentuk minimal dari 2 titik. Maka terdapat titik A dan titik F yang sejajar

dengan titik D dan titik G. Lalu kita hubungkan, karena G merupakan proyeksi titik F

pada bidang CDHG. Begitu juga dengan titik A.

Jadi, jarak AF ke bidang CDHG ialah sama dengan panjang AD atau FG, yaitu 6cm.

2. T.ABC

Langkah pertama:

∆ → ∆ 60°

90°

30°

60°

Garis bagi


6/18

Perhatikan ∆ merupakan segitiga samasisi karena, maka masing-masing sudutnya bernilai60°. Garis AQ merupakan garis bagi, karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama jauh dari AB dan AC. AQ tegak lurus BC dengan segitiga terbagi menjadi dua dan < bernilai90° untuk tiap-tiap segitiga sehingga segitiga yang terbentuk menjadi segitiga siku-siku.Sehingga nilai AQ dapat dicari dengan:

AQ = = √16 8 = √ 25664 = √ 192

Langkah kedua:

∆ → ∆

Perhatikan ∆ merupakan segitiga samasisi karena, maka masing-masing sudutnya bernilai60°. Garis TQ merupakan garis bagi, karena terdapat titik pada garis TQ yang letaknya sama jauh dari TB dan TC. TQ tegak lurus BC dengan segitiga terbagi menjadi dua dan < bernilai90° untuk tiap-tiap segitiga sehingga segitiga yang terbentuk menjadi segitiga siku-siku.Sehingga nilai TQ dapat dicari dengan:

TQ =

= √16 8 = √ 25664 = √ 192

Garis Bagi


7/18

Langkah ketiga:

PQ = = (√ 192 ) 8 = √ 19264= √ 128= 8√ 2

Jadi, panjang PQ adalah 8√ 2 .3. D.ABC

T P

xᴼ xᴼ

90ᴼ-X 90ᴼ-X

90

90

Q

A

Garis Bagi

192

V


8/18

Langkah pertama:

∆ → ∆

Soal ini sama dengan soal sebelumnya, jadi keterangan yang ada di gambar juga perhitungannya

juga tidak jauh berbeda bahkan persis sama, yang membedakan hanyalah pada penamaan titik

sudutnya.

Perhatikan ∆ merupakan segitiga samasisi karena, maka masing-masing sudutnya bernilai60° . Garis CP merupakan garis bagi, karena terdapat titik pada garis CP yang letaknya sama jauhdari BC dan AC. CP tegak lurus BC dengan segitiga terbagi menjadi dua dan < bernilai 90° untuk tiap-tiap segitiga sehingga segitiga yang terbentuk menjadi segitiga siku-siku. Sehingga

nilai CP dapat dicari dengan:

CP = √ = √10 5 = √ 10025= √ 75

PP

C

A A

C


9/18

Langkah kedua:

∆ → ∆

Perhatikan ∆ merupakan segitiga samasisi karena, maka masing-masing sudutnya bernilai60°. Garis DP merupakan garis bagi, karena terdapat titik pada garis DP yang letaknya sama jauhdari DA dan DB. DP tegak lurus AB dengan segitiga terbagi menjadi dua dan < bernilai 90° untuk tiap-tiap segitiga sehingga segitiga yang terbentuk menjadi segitiga siku-siku. Sehingga

nilai DP dapat dicari dengan:

DP =

√

= 10 5 = √ 10025= √ 75

Langkah ketiga: P

QCD


10/18

PQ = = (√ 75 ) 5 = √ 7525= √ 50= 5√ 2

Jadi, jarak AB ke CD ialah sama dengan panjang PQ, yaitu 5√ 2 .


1. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6cm.

a. Carilah jarak antara PU dan bidang RSWV

b.

Carilah jarak antara UW dan bidang PQRS

2. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10cm. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik

tengah FG dan HG. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang BDHF!

3. Sebuah kubus dengan rusuk a cm. Bidang alasnya ABCD, rusuk-rusuk tegaknya AE,

BF, CG, dan DH.

a. Carilah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG

b. Carilah jarak antara bidang BDE dan bidang CFH

4. Sebuah kubus yang bidang alasnya PQRS dan rusuk-rusuk tegaknya PT, QU, RV,

dan SW. Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm. Hitunglah jarak antara rusuk

VW dengan bidak diagonal RSTU!5. Perhatikan gambar di samping!

AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A.

Hitunglah jarak titik A ke bidang TBC!

Penyelesaian:

1. Soal ini menggunakan konsep Jarak antara sebuah garis dan sebuah bidang yang saling

sejajar.

a. Jarak antara garis PU dan bidang RSWV dapat diwakili oleh ruas garis UV atau TW,

sehingga didapatlah jaraknya sama dengan rusuk, yaitu 6cm.

b.

Jarak antara garis UW dan bidang PQRS dapat diwakili oleh ruas garis QU dan SW,

sehingga didapatlah jaraknya sama dengan rusuk, yaitu 6cm.


11/18

2. Kubus ABCD.EFGH

Pertama-tama kita harus mengetahui panjang PQ terlebih dahulu:

PQ =

= √ 5 5 = √ 2 5 2 5 = √ 50 = 5√ 2

HF merupakan diagonal bidang, yaitu 10√ 2 Berdasarkan gambar, maka didapatlah sebuah trapesium FHQP sebagai berikut:

Lalu, cari tinggi untuk mendapatkan nilai jaraknya.

PT =

= 5 √ 2 = 25 2 = 25


12/18

= = =

√ . √

√

= √ 2

Jadi, jarak garis PQ ke bidang BDHF sama dengan tinggi trapesium, yaitu PT = √ 2 .

3. Jarak antara bidang ACH dan bidang BEG

a. bidang ACH dan bidang BEG membentuk sebuah segitiga. Garis bagi dari kedua

segitiga ini membentuk bangun jajargenjang di bidang diagonal BDHF.

Seperti gambar di bawah ini:

L. persegi panjang BDHF = p x l

= √ 2 = √ 2

L. ∆ = . . = . √ 2 . =

√ 2

Karena ada dua segitiga yang kongruen, maka untuk segitiga yang lain luasnya juga

sama, maka:


13/18

L. ∆ ℎ = L. ∆ x 2=

√ 2 2

= √ 2

Maka kita dapat mencari luas jajargenjang dengan cara:

L. jajargenjang = L. persegi panjang BDHF - L. ∆ ℎ = √ 2 √ 2 =

√ 2

dengan luas jajargenjang yang telah diketahui, maka tinggi jajargenjang dapat diketahui.

L. jajargenjang = a x t √ 2 = √ 6 = √ √ = √ √ . √ √ = √ = √ = √ 3

Jadi, jarak antara bidang ACH dan bidang BEG sama dengan tinggi bangun jajargenjang, yaitu

√ 3 . b. jarak antara bidang BDE dan bidang CFH

bidang BDE dan bidang CFH membentuk sebuah segitiga. Garis bagi dari kedua

segitiga ini membentuk bangun jajargenjang di bidang diagonal ACGE.

Seperti gambar di bawah ini:


14/18

L. persegi panjang ACGE = p x l

= √ 2 =

√ 2

L. ∆ = . . =

. √ 2 .

= √ 2

Karena ada dua segitiga yang kongruen, maka untuk segitiga yang lain luasnya juga

sama, maka:

L. ∆ ℎ = L. ∆ x 2= √ 2 2 =

√ 2

Maka kita dapat mencari luas jajargenjang dengan cara:

L. jajargenjang = L. persegi panjang ACGE - L. ∆ ℎ = √ 2 √ 2 =

√ 2

dengan luas jajargenjang yang telah diketahui, maka tinggi jajargenjang dapat diketahui.

L. jajargenjang = a x t √ 2 = √ 6 = √

√

= √ √ . √ √ = √ = √ = √ 3

Jadi, jarak antara bidang BDE dan bidang CFH sama dengan tinggi bangun jajargenjang, yaitu √ 3 .


15/18

4. Kubus PQRS.TUVW

Jarak antara rusuk VW dengan bidang diagonal RSTU dapat diwakili dengan jarak antara

titik V ke garis UR atau titik W ke garis TS. Maka segitiga yang terbentuk:

dengan UV dan VR merupakan rusuk dengan panjang 12cm. Lalu UR merupakan

diagonal bidang yang terbagi 2 karena adanya proyeksi garis yang tegak lurus terhadap

garis UR, sebut saja titik V’ . Maka, panjang UV’ dan V’R masing-masing :

UR = √ 2 = 12√ 2 cmUV’ =

= √ 2

= 12√ 2 = 6√ 2 cm


16/18

Maka, terbentuk segitiga siku-siku di V’

VV’ = = 12 6√ 2 = √ 14472= √ 72= 6√ 2 cm

Jadi, jarak antara rusuk VW dengan bidang diagonal RSTU sama dengan panjang VV’, yaitu

6√ 2 cm.

5. T.ABC

kita diperintahkan untuk menghitung jarak titik A ke bidang TBC, maka dapat kita

gambarkan segitiganya sebagai berikut:


17/18

karena TA sudah diketahui, maka kita harus mencari panjang AA’ dan TA’.

(i) AA’

Perhatikan ∆

kita ketahui panjang AB dan AC masing-masing 5cm. Maka panjang BC:

BC = √ = 5 5 = √ 2525= √ 50= 5√ 2 cm

Karena tegak lurus di A, sehingga membagi 2 garis BC. Maka panjang BA’ danA’C masing-masing

√ 2cm.

Sehingga AA’ = √ ′ = 5 √ 2 = 2 5 =

=

√ . √ √ =

√ 2 cm

(ii) TA’

TA = 5cm ; AA’ = √ 2 cm


18/18

TA’ = √ ′ = 5 √ 2 =

25

= =

√ √ . √ √

= √ 6 cm

L. ∆ 1 = . . =

. √ 2. 5

= √ 2 cm2 L. ∆ 2 = .′.

= . √ 6.

L. ∆ 1 = L. ∆ 2

√ 2 =

.

√ 6.

AO =

√ √

=√ √ . √

=√

=. √

= √

=√

cm

Jadi, jarak titik A ke bidang TBC sama dengan jarak AO, yaitu√

cm.

Documents

Latihan Geometri - Jarak